Выпуклые и компактные подмножества функциональных и локально выпуклых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ в&юзв М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 516.12

РЕЗНИЧЕНКО Евгений Александрович

ВЫПУКЛЫЕ И КОМПАКТНЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фнонко- математи те скпх наук

Москва — 1992

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор фгоико-математических наук,

профессор А. В. Архангельский Официальные доктор фшзико-математическях наук,

оппоненты: доцент С. П. ГУяько,

кандидат фшэико-математических наук О. Г. Охунев Ведущая органгоация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится %

в 16час. 05мин. на оаседашш спехцшшоированного совета М-2 до математике при Московском государственном университете (Д.053.05.05) по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно оонакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан к£-я1?|р А

Ученый секретарь специализированного

совета Д.053.05.05, В. Н. Чубаряюв

доктор фгоико-мате-матических наук

рпгл Hfi^M

S;.:,. • -Л[£'*--, k:SÎ BHa-flhU ïtXfy —---!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В исследованиях по функциональному анализу часто возникают имеющие топологическую структуру объекты, для поучения которых необходимо опать пх чисто топологические свойства. Объекты такого рода играют важную роль з общей топологии и топологической алгебре. К ним относятся компакты Корсона, Гулъко, Талаграна, Эбер-лейна и выпуклые компакты. Сюда же, беоусловно, можно причислить и класс компактов Радона-Никодима (RN-компактов), т.е. компактов, лежащих в пространствах со слабой* топологией, сопряженных к банаховым асплундовым пространствам. Класс RN-компактов ввел и систематически исследовал Намио-ка1*. Этот класс содержит все разреженные компакты и компакты Эберлепна; сам он содержится в классе фрагментируе-мых компактов ^. Отметим, что фрагментпруемым компактом является также и любой компакт Гулько — это доказала Ри-барска2). В диссертации исследуются топологические свойства перечисленных классов компактов и соотношения между ними.

Корсону принадлежит оадача характергоации банаховых пространств, линделефовых в слабой топологии. Данная оадача носит чисто топологический характер — это обусловлено тем обстоятельством, что банахово пространство со слабой топологией линейно гомеоморфно оамкнутому линейному подпространству пространства непрерывных вещественных функций в топологии поточечной сходимости Ср(Х) для некоторого компакта X. Одним го "наиболее широких классов компактов X, для которых Ср{Х) линделефово, является класс компактов Корсона3,4) ; однако но вестей пример не корсоновского компак-

D Namioka I. Mathematika. 1957. V. 34. P. 258-251.

») Ribaxska N. К. Mathematika. 1987. V. 34. P. 243-257.

з) гулько С. П. Докл. АЕ СССР. 1079. Т. 237, ЛДЗ. С. 505-508

4>' Alster К., Pol R. Puni. Math. 1980. V. 107. P. 135-143.

та X, для которого СР(Х) линделефово6). В настоящее время разными авторами широко исследуются условия нормальности, паракомпактности, линделефовости и т.д. пространств вида Ср{Х). Оказывается, для таких пространств эти свойства часто совпадают а дня компактных X линделефовость СР(Х) равносильна нормальности; последний результат принадлежит автору' и излагается в диссертации. Кроме того, поучаются свойства типа нормальности выпуклых подмножеств локально выпуклых пространств.

Весьма .важный объект функционального анализа — выпуклые подпространства локально выпуклых пространств (ЛВП), в частности, выпуклые компактные подмножества ЛВП; в дальнейшем такие подмножества мы будем именовать выпуклыми компактами. В изучении выпуклых компактов особую роль играет множество крайних точек. Корсон доказал, что если у выпуклого компакта К множество крайних точек £{К) является ¿-аналитическим пространством, то вес К равен сетевому весу £( 1С)7). В частности, компакт К метриоуем тогда и только тогда, когда £(К) — аналитическое пространство. Вслед оа этим результатом Корсона разными авторами был получен ряд критериев метризуемости выпуклого компакта К в терминах топологических свойств £(К)*~пК В диссертации продолжаются исследования связи топологических свойств выпуклых

5> Pol Е. Studio, Math. 1979. V. 64. Р. 280-285.

Асанов М. О. Современнаi топологих и теория множеств. №2. Ижевск, 1979. С. 456.

7> Corson H. H. Truns. Amer. Math. Soc. 1970. V. 151, No. 2. P. 589-696.

Debs G. Ann. de L'instiibt Fourier. 1980. XXX, No. 2. P. 2944.

s> HaydonR. Quarterly J. Math. 2nd series. 1976. V.27,No.l07. P. 379-385.

10> Jayne J. E. Math. Ann. 1978. V. 234. P. 109-115. n> McGibbon B. J. Fund. Anal 1972. V. 11. P. 385-392.

компактов и юс крайних точек.

Цель работы состоит в исследовании топологических свойств компактов Эберлейна, ТЬлаграна, Корсона, Радона-Ни-яодпма и фрагмеятируемых компактов, а также функциональных пространств в топологии поточечной сходимости и выпуклых подпространств локально выпуклых пространств, в частности, выпуклых компактов и их крайних точек.

Методы исследований. В работе используются методы Ср -теории, функционального анализа, теории кардинальных инвариантов и метод разложения топологических пространств в обратные спектры.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором саиостоятельпо. Они заключаются в следующем:

1. Исследуются топологические свойства обраоов при непрерывных отображениях компактов Радона-Нпкодпма.

2. Охарактеризованы компакты Эберлейна в терминах фрагментирующпх метрик на них и свойств типа наследственной металинделефовости.

3. Построен пример компакта Тклаграна, некоторая точка которого не является а--точкой.

4. Доказаны следующие соотношения между кардинальными инвариантами произвольного выпуклого компакта К и множества £ его крайних точек:

1{£) • Д(£) = пы{£) = и>(£) = ю(£) • К)

и>{К) = М{К) • А{£) = Ы{К) - Иад(£). Если К — симплекс или £ — лпнделефово пространство, то

и>(К) =*{£).

Кроме того, для любого х 6 £

Ф{х>£) = х{*>К)

и тем более

т=хт

5. Установлено совпадение нормальности и коллективной нормальности для пространств вида СР(Х) и для широкого класса яокально-вьшуклых линейных пространств в слабой топологии.

6. В предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы исследуются компакты X, для которых пространство СР(Х) лшщелефово.

Практическая н теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Бе результаты могут найти применение в топологической алгебре и функциональном анализе, а именно, в С? -теории и в теории локально выпуклых пространств в слабой топологии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах и конференциях по общей топологии и топологической алгебре в Московском и Латвийском государственных университетах, на общемосковском топологическом семинаре им. П. С. Александрова, на Бакинской международной топологической конференции (1987г.) и на шжолз во топологической алгебре в Тирасполе (1988г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура диссертации. Работа состоит из введения, рапдела "Терминология и обооначения", трех глав и списка цитированной литературы. Первая и вторая главы содержат по три параграфа, третья — два. Объем диссертации — 114 страниц машинописного текста. Библиография содержит 43 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность тематики, кратко полагается содержание диссертации. В разделе "Терминология и обозначения" сформулированы все необходимые определения и введены используемые в диссертации обозначения.

Первая глава посвящена изучению RN-компактов, фраг-ментируемых компактов и компактов Эберлепна, Ikiarpana, Корсона.

Метрика р на пространстве X называется фрагментпирро-щей (топологию X), если для любого непустого подмножества М С. X и любого с > 0 существует такое непустое открытое в М множество U С М, что <йатД(7) < е. Пространство X называется фрагнентируемым, если на X существует фрагмен-тирующая топологию X метрика.

Компактные фрагментируемые пространства называются фрагментируемъши компакталш. Компакт называется компактом Радопа-Никодима (RN-компактом), если он вкладывается в пространство со слабой* топологией, сопряженное к асплун-дову банахову пространству1*, Намиока установилчто X является RN-компактом в том и только том случае, если на X существует фрагментпрующая метрика р, для которой выполнено условие:

если ж, у € X и > е > 0, то существуют открытые

множества U,V С X, для которых х € Uy у G V и p{U, V) > е.

Очевидно, любой PN-компакт является фрагментируемым компактом.

Первый параграф' первой главы посвящен частичному решению следующего вопроса Нампокп1*: верно ли, что непрерывный образ компакта Радона-Ншсодима является компактом Радона-Нпкодима?

Для изучения непрерывных образов RN-компактов вводится класс сильно фрагментнруемых пространств:

1.1.13. Определение. Метрику р на пространстве X назовем сильно фрагментирующей (топологию X), если р фраг-ментирует топологию X и для любых различных х,у € X существуют открытые окрестности V и V точек х и у соответственно, для которых р(11, V) > 0.

Пространство X называется сильно фрагментируемьш (ЗР-пространстеом), если на X существует сильно фрагмен-тирующая метрика. Компактные БЁ-пространства называются ЯР-компактими. В силу упомянутого критерия Намиоки любой ГШ-шшшет- является БР-компактом. Автору неизвестно, различаются ли классы 1Ш-компактов и БЕ-компактов.

Предложение 1.1.16. Пусть X — ЗР-пространстоо. Тогда

а) если У СХ, то У — ЗР-пространство;

б) если /; X У — совершенное отображение "на", то У — ЗР-пространство.

1,1.18. Предложение. Пусть {Хп : п £ — последовательность ^-пространств. Тогда X — П{Х„ : п € — ЗР-пространство.

ТЬсим образом, класс БР-конпактов (как и класс 1Ш-компактов^) замкнут относительно операций перехода к замкнутому подпространству и произведения счетного числа пространств. Кроме того, класс Бикомпактов замкнут относительно взятия непрерывного образа, поэтому любой непрерывный образ ГШ-компакта является БР-компактом.

Основные результаты первого параграфа первой главы таг ковы:

1.1.22. Теорема. Для нульмерного компакта X следующие условна зкаи.в алентаны:

а) X вкладываетеж в произведение счетного числа разреженных пространств;

б) X — ИИ-компакт;

в) X — непрерывный образ НН-компакта;

г) X —• ЗР-компакт.

б

1.1.23. Теорема (MA). Пусть X — SF-компакт u w(X)< 2Ko. Тогда X хвлжется RN-компактом.

В гонце параграфа докапана

1.1.32. Теорема. Любое счетно компактное SF-npocm-ранство Фреше-Урысона лвляется пространством Прейсса-Симона, т.е. xuieem наследственный счетный 6-характер.

Любой компакт Эберлейна является RN-компактон Фреше-Урысона, а ¡значит, и компактом Прейсса-Симона. По существу, передокаоапа теорема Прейсса-Симона13).

Второй параграф первой главы посвящен ответу на следующие вопросы Намиоки1':

совпадают ли классы фрагментируемых компактов п UN-компактов?

являются ли компакты Талаграна (ГУлько) RN-компахтамя?

каковы условия, влекущие для RN-комлактов свойство быть компактом Эберлейна?

Ответ дает

1.2.9. Теорема. Длл компакта X следующие условия эквивалентны:

а) X — компакт Эберлейна;

б) X — RN-компакт Корсопа;

в) X — компакт Корсопа, который лолtemct непрерывным образом RN-компакта;

г) X — SF-компакт Корсопа;

д) X — наследственно металшделефов SF-компакт.

Кроме отого реоультата получены критерии того, когда фрагментируемый компакт является компактом Эберлейна шш Корсона:

1.2.5. Теорема. Любой наследственно металинделефоо фрагментируемый компакт X sвллетсл компактом Корсопа.

12> Preise D., Simon P. Comment. Math. Univ. Carol. 1974. V. 15,

No. 4. P. 603-609.

(напомним, что всякий компакт Корсона наследственно мета-линделефов) и

1.2.6. Теорема. Для произвольного компакта X следующие условия эквивалентны:

а) X — компакт дберлеНьа;

б) X — наследственно а -мстакомпактный фрагиентиру-емый компакт.

В третьем параграфе первой главы строится компакт ТЬла-грана (даже а-эберлейновсыш компакт) Я, некоторая точка х» которого не является 7г-точкой. Доказывается, что пространство Ко = К \ {ж»} псевдокомпактно'и не замкнуто в /С, поэтому К не является компактом Прейсса-Симона. Компакт К фрагментируем, т.к. любой компакт ГУлько фрагментируем2). Следовательно, теорема 1.1.32 не переносится на класс фраг-ментпруемых компактов.

Полученный пример оказывается полезным при доказательстве невозможности естественного обобщения некоторых результатов такого типа: любое псевдокомпактное пространство X С СР(У), где У — счетно компактное пространство, является компактом (Эберяеина)13); любое счетно компактное пространство X С СР(У), где У — линделефово 2-пространство, является компактом (ГУлько) 14>. Например, последний результат нельзя усилить до случая, когда X — псевдокомпактное пространство. Действительно, пространство Ко псевдокомпактно и не компактно, У =Ср{Ко) — АС-аналитическое пространство (это доказывается в диссертации) и Ко естественным образом замкнуто вкладывается в СР(У).

Во второй главе исследуются топологические свойства выпуклых компактов и их крайних точек; особенно подробно

Архангельский А. В. Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, вып. 5 (239). С. 11-50.

Батуров Д. П. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех.. 1987. N4. С. 66-69

изучаются кардинальные инварианты крайних точек. В первых двух параграфах развивается необходимая техника, а в третьем излагаются главные результаты этой главы.

В первом параграфе второй главы вводятся специальные классы непрерывных аффинных отображений выпуклых компактов — ¿ер-отображения, ¿-отображения и ».»-отображения. Основными результатами втого параграфа являются три теоремы, в которых устанавливаются достаточные условия для того, чтобы непрерывное аффинное отображение выпуклых компактов являлось гомеоморфизмом.

Во втором параграфе второй главы получены некоторые факторноационные теоремы, необходимые в дальнейшем.

В третьем параграфе второй главы доказаны следующие соотношения между кардинальными инвариантами произвольного выпуклого компакта К и множества £ его храйних точек:

!(£) ■ А(£) = nw(£) = w{£) = v>(£) - Щ, К)

w{K) = hl{K)-A(£) = hl{K)-Nog(£). Если К — симплекс или £ — линделефово пространство, то

w(K) = w{£). Кроме того, для любого г € £

и тем более

Ф(£) = х(П

Эти соотношения обобщают результаты разных авторов7"11).

В третьей главе изучаются выпуклые нормальные подмножества ЛВП.

В первом параграфе третьей главы рассматривается вопрос о соотношении свойств типа нормальности в ЛВП и их выпуклых подмножествах. Докапывается центральная теорема отого параграфа, из которой выводятся следующие результаты:

3.1.17. TfeopeMa. Длх произвольного тихоновского пространства X следующие г/слоних эквивалентны:

а) СР(Х) — нормальное пространство;

б) Ср{Х) — нормальное пространство и е(Ср(Х)) < Но/ о) Ср(Х) — коллективно нормальное пространство.

3.1.15. Теорема. Пусть L — ЛВП, Lvi — пространство L в слабой топологии. Если L еоллетсх непрерывным образом некоторого метризуемого ЛВП, то следующие условия эквивалентны:

aj 'Lw — нормальное пространство;

б) Lw — нормальное пространство и e(Lw) < Ко/

о) Lw — коллективно нормальное пространство.

Отметим, что рассматриваемые пространства СР(Х) и гомеоморфны плотным подпространствам произведения сепара-бельных метрических* пространств, и, значит, к ним применима следующая теорема Корсона15); если пространство X всюду плотно в произведении сепарабельных метрических пространств и X X X нормально, то X слабо паракомпактно (тем более, коллективно нормально). Как доказал Д. П. Батуров16», с системой ZFC совместимо существование наследственно нормального плотного подпространства произведения сепарабельных метрических пространств, которое не коллективно нормально.

С помощью другого результата Д. П. Батурова14* из теорем 3.1.15 и 3.1.17 получается следующее утверждение:

если X — либо пространство вида CP[Y), Y — линде-лефово £-пространство, либо метриэуемос ЛВП в слабой тоно-

15> Corson Н. Н. Amer. J. Math. 1959. V. 81, по. 3. Р. 785-796.

16) Батуров Д. П. Канд. дисс. Москва, МГУ, 1990.

лопга, то нормальность пространства X эквивалентна его лин-делефовостп (теоремы 3.1,19 п 3.1.21).

Во втором параграфе третьей гшшы исследуюто: компакты X, для которых пространство Ср(Х) линделефово. Отметим, что га теоремы 3.1.19 вытекает, что ото в точности те компакты X, для которых Ср(Х) — нормальное пространство. Докапывается, что такие компакты в предположении аксиомы Мартина и отрицания контпиуум-гипотеоы (МА + ->СН) являются Но-монолитными компактами Фреше-Урысона. Это утверждение "папвно" доказать нельзя.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А. В. Архангельскому, под руководством которого выполнена эта работа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Реонпченко Е. А. О компактах, для которых пространство функций в топологии поточечной сходимости аналитическое. Вакипсках иежд. топологии, коьф. Тезисы (часть II). Баку, 1987. С. 257.

2. Реониченко Е. А. Нормальность и коллективная нормальность пространств функций. Топологических алгебра. Тг-зисы дек^ий и научных сообщений Республиканской шкоды. Кишинев: Штшшца, 1988. С. 64435.

3. Реонпченко Е. А. Нормальность и коллективная нормальность функциональных пространств. Вестпк Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. 1990. ЯЧ. С. 5&-58.

4. Reznichenko Е. A. Convex compact spaces and their maps. Topol. and Appl. 1990. У. 36. P. 117-141.