Пространства непрерывных отображений в множественно-открытых топологиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи 005053371) О.Г

I/

ОСИПОВ Александр Владимирович

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В МНОЖЕСТВЕННО-ОТКРЫТЫХ ТОПОЛОГИЯХ

01.01.04 — геометрия и топология

автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

18 0кт2012

Екатеринбург — 2012

005053370

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессо

Величко Николай Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессо

Грызлов Анатолий Александрович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Сипачева Ольга Викторовна

член-корреспондент РАН, профессор Ченцов Александр Георгиевич

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится <ОСГУиЯ.^^ 2012 г. в Ус?,¿Учасов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан "¿Р" Ш^т^^чШ г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.03. ИММ УрО РАН, кандидат физ.-мат. наук И.Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Множество С(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X обладает различными топологиями. Идея прозрачного описания предельного перехода во множестве функций достигается средствами общей топологии — путем определения той или иной естественной топологии на множестве непрерывных функций С(Х), отражающей свойства связываемых функциями пространств. На множестве С(Х) топологии можно вводить различными неэквивалентными способами, и каждая из возникающих топологий имеет свои преимущества в определенных ситуациях.

Исторически изучение пространств непрерывных отображений из одного топологического пространства в другое активно ведется с конца XIX века. Первые топологии на пространствах функций вводились с целью изучения различных видов сходимости функциональных последовательностей; это были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости на всем пространстве. Первыми работами, посвященными этой тематике были статьи Асколи1, Арцела2 и Адамара3.

В 1906 году на пространстве отображений из топологического пространства X в произвольное метрическое пространство Y Фреше4 впервые рассмотрел supremum metric, и соответствующую ей топологию.

Топология равномерной сходимости на С(Х) задается базой в каждой точке / € С{Х). Эта база состоит из всех множеств вида

{д € С(Х): sup{|5(o;) - f{x)\} < Е}, где е > 0. хеХ

Естественным обобщением этой топологии является топология равномерной сходимости на элементах семейства Л (Л-топология), где Л — фиксированное семейство непустых подмножеств пространства X. Базу A-топологии в точке / 6 С(Х) образуют все множества вида

{д £ С(Х) : suplía:) - f(x)\} < е}, где F € А и е > 0.

xeF

Если в качестве семейства А взять все конечные подмножества про-

'Ascoli G., "Le curve limite di una varieta data di curre". Mem. Accad. Lined, 1883, v.(3)18, p.521—586.

2Arzela G , "Funzioni di linee". Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti v.5, 1889, p.342—348.

3Hadamard J., "Sur certaines applications possibles de la theorie des ensembles". Verhandle. Eastern Intern Math.Kcmgress, B.G.Teubner, Leipzig, 1898.

4Frechet M., "Sur quelques points du calcul functionnel". Rend. del.Cire.Mat.di Palermo, 1906 p. 1—74.

странства X, то получившаяся топология называется топологией поточечной сходимости на пространстве СР(Х); если взять все компактные подмножества X — топологией равномерной сходимости на компактах, или компактно-открытой на пространстве Сс{Х).

В 1945 году Фокс5 определил компактно-открытую топологию Сс(Х), предбазу которой образуют все множества вида

{/ € С(Х): f(F) С [/}, где F — компактное подмножество пространства X, a U — открытое подмножество числовой прямой. Заметим, что топология поточечной сходимости может быть определена похожим образом: заменой в определении предбазы компактных подмножеств конечными.

В следующем, 1946 году Арене6 ввел понятие допустимой топологии на С(Х, Y) (т.е. топологии, для которой непрерывно отображение вычисления), а в 1951 году Арене и Дугунджи7 определили собственные топологии. В дальнейшем компактно-открытая топология изучалась Джексоном8, Моритой 9, Келли10 и другими.

На пространствах непрерывных отображений рассматривались и другие типы топологий. В 1969 году Крикорян11 впервые рассмотрел тонкую топологию, которая является обобщением топологии, порожденной supremum metric. В дальнейшем эта топология исследовалась Эклун-дом12, МакКоем13 и другими топологами.

В конце 60-х годов активно изучалась топология графиков — здесь окрестности функций из С(Х, У) определяются окрестностью их графиков в X х Y. Отождествляя функции с их графиками, МакКой14 рас-

5Fox R. Н., "On topologies for fuction spaces". Bull. Amer. Math. Soc., 1945, v.Sl, p. 429-432.

6Arens R., "A topology of spaces of transformations". Annals of Math., 1946, v.47, p.480—495.

7Arens R. , Dugundji J., "Topologies for functions spaces". Pacific J. Math., 1951, v.l , p.5—31.

8Jackson J. R., "Spaces of mappings on topological products with appliances to homotopy theory". Proc. Amer. Math. Soc., 1952, v.3, p. 327-333.

9Morita K., "Note of mapping 6paces". Proc. Japon Acad., 1Э56, v.32, p.671—675.

10Kelley J. L., "General topology". — Van Nostrand, New York, 1955.

l,Krikorian N ., "A note concerning the fine topology on function spaces". Composito Math., 1969, v.21, p.343—348.

12Eclund A. D. — The fine topology and other topologies on C(X, Y). — Dissertation, Virginia Politehnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia, 1978.

l3McCoy R. A. — The topology on function spaces. — Intern.J.Math, and Math., Sei, 1986, v.9, p.417— 424.

"McCoy R. A., Ntantu I., "Topological Properties of Spaces of Continuous Functions". Berlin: SpringerVerlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

сматривал пространство С(Х, Y) как подпространство пространства замкнутых подмножеств произведения X х Y, наделенное топологией Вье-торисса.

И все же наиболее известные топологии на пространстве отображений С(Х, Y) — это топология поточечной сходимости и компактно-открытая, одно из достоинств которых состоит в том, что они линейны. Существует несколько естественных обобщений этих топологий: множественно-открытая топология, слабо множественно-открытая топология и топология равномерной сходимости на элементах семейства подмножеств пространства X. Некоторые свойства этих топологий и их взаимотношения описаны в монографиях Маккой и Нтанту15 и A.B. Архангельского16. Множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости посвящены кандидатские диссертации М.О. Асанова17, С.Э. Нохрина18 и М.И. Альперина19 в которых установлено несколько утверждений, связанных с кардинальнозначными инвариантами пространства функций.

Множественно-открытая топология является обобщением компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости. Множественно-открытая топология на семействе Л — непустых подмножеств пространства X (Л-открытая топология) была впервые введена Р. Аренсом и Ж. Дугунджи 20. Предбазу А-открытой топологии образуют все множества вида {/ 6 С(Х) : f(F) Ç U), где F G Л, a U — открытое подмножество числовой прямой.

Топология равномерной сходимости на семействе ограниченных подмножеств (ограниченно-открытая топология) была определена в 1970 году Бухгалтером21. Предбазу такой топологии образуют все множе-

15МсСоу R. А. , Ntantu I., "Topological Properties of Spaces of Continuous Functions11. Berlin: SpringerVerlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

16Архангельский A.B., "Пространства отображений и кольца непреьгвных функций". Итоги пауки и техники, фундаментальные направления, т.51, с.81—172.

17Асанов М.О., "Пространство непрерывных отображений". Диссертация па соискание ученой степени к.ф-м.п., Свердловск, 1980г.

18Нохрин С.Э., "Пространство непрерывных функций в множественно-открытых топологиях". Диссертация на соискание учепой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1997г.

19Альперип М.И., "Вложение пространств функций". Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1994г.

20Arens R. , Dugundji J., "Topologies for functions spaces". Pacific J. Math., 1951, v.l , p.5—31.

21Buchwalter H., "Parties barnées d'un espace topologique complétment régulier". Sem. Choquet: 1969/70. Initiation & Г Analyse Fasc. 2, Exp. 14. Paris: Secrétariat mathématique, 1970. 15 p.

ства вида {/ 6 С(Х): /(Р) С [/}, где .Р — ограниченное подмножество пространства X, а С/ — открытое подмножество числовой прямой. Слабо множественно-открытая (слабо А-открытая) топология на семействе произвольных подмножеств А является естественным обобщением ограниченно-открытой топологии. Предбазу слабо А-открытой топологии образуют все множества вида

{/ £ С(Х): f{F) С и}, где Р 6 А, а и — открытое подмножество числовой прямой.

Основными объектами исследования диссертационной работы являются пространства С\(Х) и С\-(Х) — всех непрерывных вещественнознач-ных функций в А-открытой и слабо А-открытой топологиях.

Почти все вопросы, исследуемые в диссертации, имеют следующий общий вид: какими свойствами должны обладать пространство X и семейство А, чтобы пространства С\(Х) и С\.(Х) обладали теми или иными "хорошими" свойствами. И наоборот, пусть С\(Х) (или С\-(Х)) — в каком-либо смысле "хорошее" пространство. Что можно в этом случае сказать об топологических свойствах пространства X и семействе А ?

Рассматривая эти вопросы, видим, что пространства X и С\(Х) не равноправны: на X есть только топологическая структура, в то время как С\{Х) несет топологию и две естественные алгебраические операции — сложения и умножения.

Это позволяет рассматривать С\(Х) (или С\*(Х)) в зависимости от семейства А как топологическое пространство, как топологическое кольцо, топологическую группу или как линейное топологическое пространство, что открывает возможность исследовать свойства пространства X и семейства А в соответствии с тем, определяются ли они алгебраической структурой кольца С(Х), зависят ли от свойств С\{Х) как линейного топологического пространства или могут быть полностью охарактеризованы чисто топологическими свойствами пространства С\(Х).

Цель работы. Работа посвящена исследованию тополого-алгебраических свойств множества С(Х), наделенного множественно-открытой или слабо множественно-открытой топологией.

Целью работы является решение следующих задач.

1) Выделение свойств пространства X и семейства А, которые харак-

теризуются одними лишь топологическими свойствами С\(Х).

2) Выделить свойства пространства X и семейства А, отвечающие свойствам топологического векторного пространства С\(Х).

3) Какие свойства X и семейства Л зависят от свойств С\(Х) именно как топологического кольца или топологической алгебры?

4) Найти свойства пространства X и семейства Л, характеризующиеся одними групповыми свойствами С\{Х).

5) Исследовать аналогичные вопросы для множества С(Х) в слабо множественно-открытой топологии.

6) Изучить свойства семейства А при котором множественно-открытая (слабо множественно-открытая) топология совпадает с топологией равномерной сходимости на семействе А.

7) Найти внутренние характеристики 5(п) компактно функционально замкнутых (Б(п)СРС) пространств.

8) Исследовать вопрос о мультипликативности подклассов неуплотня-емых пространств.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии, функционального анализа и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1) Решается вопрос о совпадении А-открытой топологии и А-топологии на множестве С(Х,У), где У — метризуемое топологическое векторное пространство (ТВП) или дискретное пространство.

2) Получены свойства семейства А необходимые и достаточные для того чтобы пространство С\(Х, У), где У — метризуемое ТВП, являлось топологической группой, ТВП, топологической алгеброй.

3) Определяется С-компактно-открытая топология на множестве С{Х) и изучаются топологические свойства пространства Сгс(Х) такие, как субметризуемость, сепарабельность, метризуемость, полнота по Чеху, вторая и первая аксиомы счетности и другие.

4) Строится пример топологического пространства X у которого множество функций С(Х) обладает различными (не гомеоморфными) классическими множественно-открытыми топологиями.

5) Получены свойства семейства Л необходимые и достаточные для того чтобы множество С(Х, Y), наделенное слабо множественно-открытой топологией, являлось топологической группой, ТВП, топологической алгеброй.

6) Получен ответ на вопрос Н.В.Величко22 о существовании внутреннего (без привлечения vX) критерия для веса пространства С'х-(Х).

7) Получен ответ на вопрос Н.В.Величко23 о компактности семейства Л при условии, что пространство Су{Х) линделёфово и уплотняется на пространство СР(Х).

8) Решается задача Фредлера, Джироу, Петгей и Портера24 о внутренней характеризации минимально урысоновских пространств.

9) Получен ответ на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портера25 о внутренней характеризации минимально регулярных пространств.

10) Решается проблема 1984 года, поставленная Дикманом и Портером26, о произведении CFC-пространств.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем исследовании тополого-алгебраических свойств функциональных пространств в общей топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, топологической алгебре и теории меры.

Апробация результатов работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

1) Международной конференции посвященной памяти J1.B. Келдыш (г. Москва, 2004).

2) Всероссийские молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г. Екатеринбург, 1998-2011).

22N.V. Velichko, "A-Topologies on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 1.

23Там же. Вопрос 4.

24L. M. Friedler, M. Girou, D. H. Pettey and J. R. Porter, "A survey of Я-, U-, a«d CH-closed spaces Topology Proceedings, (1992), Vol. 17, 71-96, Question 40.

25Там же. Question 39.

2SR.F. Dickman, J.R. Porter, "Between minimal Hausdorff and compact Hausdorff spaces". Topology Proceedings (1984), Vol. 9, 243-268.

3) International conference on topology and its applications (Aegion, Greece, 2006).

4) Первом Российском Научном Форуме "Демидовские чтения"на Урале (г. Екатеринбург, 2006).

5) Международной конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета (г. Томск, 2008).

6) International conference on topology and its applications (Brno, Czech Republic, 2009).

7) International conference on topology and its applications (Nafpaktos, Greece 2010).

8) Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (г. Екатеринбург, 2011).

9) International conference on topology and its applications (Islamabad, Pakistan, 2011).

10) 11th Prague Topological Symposium (Praga, Czech Republic, 2011).

11) Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики "(г. Екатеринбург, 2012).

12) На топологическом семинаре под руководством Н.В. Величко в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург).

13) На топологическом семинаре кафедры общей топологии и геометрии под руководством В.В. Федорчука в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (г. Москва).

14) На семинаре по топологип и функциональному анализу под руководством С.П. Гулько в Томском государственном университете (г.Томск).

15) На теоретико-множественном семинаре под руководством С. Фридмана в Венском государственном университете (г. Вена).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 30 печатных работ, список которых представлен в конце автореферата, 12 из них представлены в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, че-

тырёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.1.5 означает, что эта теорема находится в параграфе 1 главы 2. Объем диссертации составляет 210 страниц машинописного текста и содержит 110 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первом параграфе первой главы определяется секвенциально компактно-открытая топология на множестве С(Х).

Напомним, что множество А называется ограниченным (С- компактным) подмножеством в X, если для любой / 6 С{Х) образ /(Л) ограничен (компактен) в числовой прямой R.

Пространство X называют субметризуемым, если существует уплотнение /: X —» У, где У метризуемое пространство.

В теореме 1.1.1. доказывается, что семейство всех С-компактных подмножеств субметризуемого пространства X совпадает с семейством мет-ризуемых компактных подмножеств пространства X, а также совпадает с семейством всех замкнутых ограниченых подмножеств пространства X.

Пусть SC(X) — семейство всех секвенциально компакных подмножеств X. Предбазу секвенциально компактно-открытой (sc-топологии) топологии образуют все множества вида {/ £ С(Х) : f(F) С U}, где F € SC(X), a U открытое подмножество числовой прямой. Топологическое пространство С(Х) с sc-топологией будем обозначать Csc(X).

Для любого / е С(Х), А € SC(X) и е > 0 обозначим (f,A,e) = {д 6 С(Х) : |f(x) - д(х)\ < е для всех х е А}. Тогда для любого / е С{Х) семейство {(f,A,e): А е SC(X), е > 0} образует базу в точке /. Семейство {(f,A,e): f 6 С(Х),А 6 SC{X), е > 0} образует базу топологии равномерной сходимости на семействе SC(X). Множество С(Х) с топологией равномерной сходимости на семействе SC{X) будем обозначать как CSCiU(X).

Теорема 1.1.4. Для произвольного тихоновского пространства X выполняется Csc(X} — Csc^u (X).

Следующая теорема 1.1.9. характеризует пространство X при котором sc-топология совпадает с топологией равномерной сходимости Си(Х).

Теорема 1.1.9. Csc(X) — Си(Х) тогда и только тогда, когда в X есть всюду плотное секвенциально компактное подмножество.

Отметим, что для пространства X, обладающего всюду плотным секвенциально компактным подмножеством, сепарабельность, счетность

числа Суслина и линделёфовость пространства Сзс(Х) эквивалентны (Теорема 1.1.13.).

Второй параграф первой главы посвящен исследованию вопроса о совпадении А-открытой и А-топологии на множестве С(Х, £>(т)), где В(т) — дискрет мощности т.

Если У — метрическое пространство с метрикой р, а А — семейство подмножеств X, то на множестве С(Х, У) определены А-топология и А-открытая топология.

Базу А-топологии в точке / € С(Х, К) образуют все множества вида < /, ^ е > = {<7 € С(Х, У) : вир/о(/(я;), д{х)) < с}, где ^ е А, £ > 0.

Предбазу А-открытой топологии образуют все множества вида

[Р, Щ = {/ € С(Х, У) : Д^) С 17},

где 7*1 6 А, а [/ — открытое подмножество У.

Множество С(Х,У) с А-открытой и А-топологией будем обозначать через С\{Х,У) и С\<и(Х,У) соответственно.

Определение 1.2.3. Пусть А С X и У — произвольное пространство. Множество Л будем называть У-компактным, если для любого непрерывного отображения / Е С(Х, У) множество /(Л) компактно в У.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении этих топологий в случае, когда У — дискретное метрическое пространство (р(уг, у г) = 1 при любых 2/1 ф у2 из У).

Теорема 1.2.5. Пусть У — дискретное метрическое пространство. Тогда С\(Х, У) = 0\и(Х, У) в том и только том случае, когда выполнены одновременно два условия:

1) А состоит из У-компактных множеств;

2) для любого элел1ента Р £ X и любого открыто-замкнутого в X множества II, пересекающего найдётся Т7!, /<2, ..., Рп конечное чис-

п

ло элементов семейства X, таких что У ^ С {/ и для любого открыто-

¡=1

п

замкнутого V С и такого, что VП.Р ф 0 следует, что УГ\ (и ф 0.

¿=1

Для нульмерного пространства X и дискретного двоеточия D = {0,1} получаем следующее следствие.

Следствие 1.2.8. Пусть пространство X нульмерно, а А замкнуто относительно конечных объединений. Тогда С\ и (.X, D) = Сх(Х, D) в том и только том случае, когда для любого открыто-замкнутого U С X найдётся F € А, замыкание которого совпадает с пересечением U А и множества U.

В третем параграфе рассматривается множество С(Х, У) — непрерывных отображений из топологического пространства X в метризуе-мое векторное пространство (У, я), наделённое множественно-открытой (А-открытой) топологией или топологией равномерной сходимости на семействе А (А-топология).

Маккой и Нтанту27 получили следующий результат.

Предложение 1.3.1. Если А состоит из компактных множеств, то C\U{X,Y) > С\(Х, Y). Если дополнительно А наследственно замкнуто (т.е. вместе с каждым своим элементом содержит все его замкнутые подмножества), то эти топологии совпадают.

В случае У = R предложение 1.3.1. было усилено Нохриным28.

Предложение 1.3.2. С\<и(Х) > С\(Х) тогда и только тогда, когда А состоит из С-компактных множеств.

Предложение 1.3.2. показывает, что С-компактность элементов семейства А является существенным свойством при рассмотрении вопросов о совпадении А-открытой и А-топологии на пространствах функций.

В случае А = X свойство множества А быть С-компактным совпадает с псевдокомпактностью пространства X. Очевидно, что любое псевдокомпактное подмножество является С-компактным и любое С-компактное множество является ограниченным.

Отметим, что существует пример 1.3.3. (Ф — пространство Исбела-Мрувка-Фролика), в котором понятия псевдокомпактность, С- компактность и ограниченность отличаются даже для замкнутых подмножеств.

27МсСоу R.A., Ntantu I., "Topological properties of spaces of continuous functions. Lecture Notes in Mathematics". 1315. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 124 p.

28Нохрин С. Э. "Пространство непрерывных функций в ьшожественно-открытых топологиях". Диссертация на соискание учепой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1997г.

Пусть дано семейство Л не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через А(С) = {А £ А : для любого С-компактного подмножества В пространства X такого, что В С А, множество [В, II] открыто в С\(Х, К) для любого открытого множества и пространства У}.

Очевидно, что для разных семейств А и ¡1, А-открытая топология может совпадать с /¿-открытой топологией т.е., Сх(Х, У) = С^(Х,У). Обозначим для фиксированного семейства А через Ат = : С^Х, У) = Семейство Ат является единственным максимальным семейством, порождающим А-открытую топологию.

Следующая теорема относится к основным теоремам диссертации и отвечает на вопрос о совпадении множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на множестве С(Х, У), где У — мет-ризуемое топологическое векторное пространство.

Теорема 1.3.10. Пусть А — тг-сеть тихоновского пространства X и У — метризуемое топологическое векторное пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Сх(Х,У) = сЛ,ц(х,п-

2) А-открытая топология на С(Х, У) инвариантна относительно сдвигов;

3) С\{Х) У) — паратопологическая группа;

4) С\(Х, У) — топологическая группа;

5) С\(Х, У) — топологическое векторное пространство;

6) А состоит из С-компактных подмножеств и А = А (С);

7) Ат состоит из С-компактных подмножеств и замкнуто относительно С-компактных подмножеств пространства X.

Более того, если У является топологической алгеброй, то

8) С\{Х, У) — топологическая алгебра.

Заметим, что теорема 1.3.10. выявляет свойства необходимые и достаточные для семейства А при которых пространство С\(Х,У) является топологической группой, топологическим векторным пространством и топологической алгеброй.

Отметим, что для доказательства теоремы 1.3.10. применяются некоторые утверждения, которые имеют самостоятельный интерес.

К таким утверждениям относятся лемма 1.3.12., теорема 1.3.13. и теорема 1.3.14.

Лемма 1.3.12. Пусть семейство А состоит из С-компактных множеств и С\(Х,У) = С„(Х,У) для некоторого семейства ¡1. Тогда \1 состоит из С-компактных множеств.

Теорема 1.3.13. Пусть А семейство подмножеств такое, что С\(Х, У) = С\.и(Х, У). Тогда, семейство Хт замкнуто относительно С-компактных подмножеств т.е., для любого С-компактного подмножества В С А, где А 6 Ат следует, что В 6 Ат.

Теорема 1.3.14. Предположим, что семейство А состоит из С-компактных подмножеств X таких, что € А для А 6 А

и любого нуль-множества ^ с условием, что А р) 1ЫГ ф 0. Тогда, Сх(Х,У) = Сх<и(Х,У).

Если У — К, то теорема 1.3.10. имеет следующий вид.

Следствие 1.3.19. Пусть А — тг-сеть тихоновского пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) сАрО = сих);

2) А-открытая топология инвариантна относительно сдвигов;

3) С\(Х) — паратопологическая группа;

4) С\(Х) — топологическая группа;

5) С\(Х) — локально выпуклое топологическое векторное пространство;

6) А состоит из С-компактных подмножеств и А = А (С);

7) Ат состоит из С-компактных подмножеств и замкнуто относительно С-компактных подмножеств пространства X;

8) С\{Х) — топологическая алгебра.

По теореме 1.1.1. следует, что для субметризуемых пространств X из того, что множественно-открытая топология на С(Х) (или на С(Х,У) для У — метризуемого ТВП) является инвариантной относительно сдвигов следует, что А состоит из метризуемых компактных подмножеств и семейство А замкнуто относительно замкнутых подмножеств.

Так как любое замкнутое ограниченное подмножество Р-пространства является конечным, то при инвариантности относительно сдвигов

множественно-открытой топологии на множестве С(Х, У), где X — Р-пространство, следует, что А состоит из конечных подмножеств. Если при этом и А = X, то Сх(Х, У) = СР(Х, У).

В четвёртом параграфе первой главы изучаются свойства пространства Сх(Х) в предположении, что С\(Х) — топологическая группа.

Пусть С? — топологическая группа (относительно сложения) и г — бесконечный кардинал. Тогда (? вполне т-ограничена, если для каждой окрестности 17 группового нулевого элемента в С существует подмножество 5 из С? такое, что |5| < т и (7 = {в + и: в £ 5 и и е £/}. Заметим, что С? вполне т-ограничена тогда и только тогда, когда С? изоморфна подгруппе группы с числом Суслина, не превосходящим т. Отметим, что СР(Х) обладает счетным числом Суслина и, значит, является вполне Неограниченным.

Пусть т„х(Х) = 8ир{ю(АиХ): А £ А}, где ~А°Х — замыкание в Хью-иттовском пополнении уХ множества А. Следующий результат является критерием вполне т-ограниченности для топологической группы (по сложению) С\{Х).

Теорема 1.4.1. Топологическая группа Сх(Х) вполне т-ограничено тогда и только тогда, когда юиХ(Х) < т.

Через 1(С\(Х)) и с(С\(Х)) обозначим число Линделёфа и число Суслина пространства Сх(Х) соответственно.

Теорема 1.4.3.Пусть X — тихоновское пространство. Тогда

1. Если 1(С\{Х)) < т, то гииХ(Х) <т и их(Х) < т.

2. Если с(Сх(Х)) < т, то и)уХ(Х) <т и и)Х(Х) < т.

Для т = Но получаем критерий без привлечения пополнения по Хью-итту ьХ.

Теорема 1.4.4. Топологическая группа Сх(Х) вполне Но-ограничена тогда и только тогда, когда А — семейство метризуемых компактных подмножеств пространства X.

Следствие 1.4.5. Пространство Сх(Х) топологически изоморфно подгруппе топологической группы со счетным числом Суслина тогда и только тогда, когда А — семейство метризуемых компактных подмножеств в пространстве X.

Следствие 1.4.6. Если С\(Х) липделёфовая топологическая группа, то А — семейство метризуемых компактных подмножеств пространства X.

Вторая глава полностью посвящена С-компактно-открытой топологии на пространстве С(Х). Важность этой топологии была замечена в теореме 1.3.10. Действительно, С-компактно-открытая топология на множестве С(Х) является максимальной среди всех множественно-открытых топологий при которых С(Х) является топологической группой, топологическим кольцом, топологической алгеброй или локально выпуклым топологическим векторным пространством.

Обозначим через ЯС{Х) — множество всех С-компактных подмножеств пространства X. Если семейство А = ЯС(Х), то множество С(Х), наделённое С-компактно-открытой топологией, будем обозначать через Сгс(Х). Заметим, что по теореме 1.3.10., СТС(Х) — СГС]и(Х).

Топологию равномерной сходимости на семействе А можно определить и другим путем. Для любого А € А определим полунорму Ра на С(Х): рА(/) = 5ир{\/(х)\-. х € А}.

Для любых А € А и е > 0 положим

= {/ € С{Х): рА(/) < е} и Ф = {УА,£: Л € А, £ > 0}.

Очевидно, что для каждой точки / £ С(Х) семейство / + Ф = {/ + V: V 6 Ф} является базой в точке /. Так как топология определяется семейством полунорм, она локально выпукла.

Таким образом, СГС(Х) является локально выпуклым пространством.

Во втором параграфе второй главы строятся примеры пространств функций для которых А-открытые топологии различаются.

Далее используются следующие обозначения подсемейств ограниченных подмножеств пространства X.

Р(Х) — семейство всех конечных подмножеств X.

МК{Х) — семейство всех метризуемых компактных подмножеств X.

К{Х) — семейство всех компактных подмножеств X.

БС(Х) — семейство всех секвенциально компакных подмножеств X.

СС(Х) — семейство всех счетно-компактных подмножеств X.

РБ(Х) — семейство всех псевдокомпактных подмножеств X.

НС(Х) — семейство всех С-компактных подмножеств X.

В{Х) — семейство всех ограниченных подмножеств X.

Заметим, что Г(Х) С МК(Х) С К(Х) С СС{Х) С С

ЯСрГ) С и ^(Х) С МК(Х) С С сс(л-).

Соответствующие топологические пространства Сд(Х) будем обозначать:

СР(Х) при А = Р(Х) (С(Х) с топологией поточечной сходимости);

Сщк(Х) при А = МК{Х) (С(Х) с метризуемо компактно-открытой топологией);

Сс(Х) при А = К(Х) (С(Х) с компактно-открытой топологией);

с их) при А = 5С(А') (С(Х) с секвенциально-компактно-открытой топологией или вс-топологией);

Ссс(^) при А = СС(Х) (С(Х) с счетно-компактно-открытой топологией);

Срз(Х) при А = РБ(Х) (С(Х) с псевдокомпактно-открытой топологией);

Сгс(Х) при А = НС(Х) (С(Х) с С-компактно-открытой топологией).

Топологическое пространство С(Х) с ограниченно-открытой топологией на семействе всех ограниченных подмножеств пространства X будем обозначать через Сь(Х). Напомним, что предбазу ограниченно -открытой топологии (в отличии от А-открытой топологии) образуют все множества вида {/ £ С(Х): /(.Р) С и}, где ^ — ограниченное подмножество пространства X, а и — открытое подмножество числовой прямой.

Следующая диаграмма иллюстрирует различные взаимоотношения между А-открытыми топологиями и ограниченно-открытой топологией.

VX С„(Х) < Стк(Х) < Сс{Х) и С,с(Х) < сих) < СР,(Х) < Сгс(Х) < Сь(Х) < Са(Х)

Пр.2.2.1 СР(Х) < Стк(Х) = Сс(Х) < Сас(Х) = С«(Х) = СР,(Х) = Сгс(Х) = Сь(Х) = С*(Х)

Пр.2.2.2 С„(У) = Стк(У) = С„(У) < Сс(У) = С«(У) = СР,(У) = Сгс(У) = Сь(У) = С„(У)

Пр.2.2.3 с„(2Г) < Стк(г) < Сс(2) О сиг) < сиг) = ср,(г) = сиг) = сь(г) = с„(2)

Пр.2.2.4 Ср(X) < Стк(Х) < Сс(Х) = С,с(Х) = С«(Х) = СР,(Х) = СТС(Х) = С«*) = С„(Л-)

Пр.2.2.6 СР(Х) = Стк(Х) = С5СрО = Сс(Х) < С«(Х) = СР,(Х) = С„(Х) = Сь(Х) =

Пр.2.2.7 СР(Х) < Сть(Х) = сих) = Сс(Х) = сих) < СР,(Х) = С«(Х) = Сь(Х) = Си(Х)

Пр.2.2.8 < Стк(Х) < С5С(Х) < Сс(Х) < С«(Х) < СР,(Х) = = СЬ(Х) = С„(Х)

Пр.2.2.9 ср(с) < стк(о) < сс(а) < с«(с) < су с) < ср.(а) = = а(с) = с„(с?)

Пр.2.2.12 ср(2) < стк(г) < Сс(г) < сиг) < сиг) < сиг) < сиг) < сь(г) < с„(2)

| X - субметризуемое | Стк(Х) = Сс(Х) = СК(Х) = СУ*) = СГ.(Х) - Стс{Х) СЪ{Х) |

Третий параграф второй главы посвящен метризуемости и свойствам типа счетности пространства Стс(Х).

Определение 2.3.10. Пространство X называется сг-С-компактным, если в X существует последовательность {Ап} С-компактных подмножеств таких, что X = IJ^i Ai- Пространство X называется почти а-С-компактным, если в X существует плотное а-С-компактное подмножество.

Каждое компактное (псевдокомпактное) подмножество в субметризуе-мом пространстве является (^-множеством. Пространство X называется .En-пространством, если каждая его точка является (^-множеством. Суб-метризуемые пространства являются ¿^-пространствами.

Следствие 2.3.14. Для любого пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Сгс(Х) субметризуемо.

2. Сгс(Х) есть Е0-пространство.

3. X почти сг-С-компактно.

Пространство X (точечно) счетного типа, если любое компактное множество (любая точка) содержится в компактном множестве счетного типа.

Пространство X называют ^-пространством, если для каждой точки х е X существует последовательность {£/„: п € N} окрестностей точки х такая, что если хп S Un для каждого п, то последовательность {х„ : п € N} имеет предельную точку.

Более сильным свойством, чем быть ç-пространством, является свойство быть М-пространством. Пространство X называют М- пространством, если X может быть отображено на метрическое пространство квази-совершенным отображением (т.е. непрерывным замкнутым отображением, в котором полный прообраз любой точки счетно компактен).

Пространство X назовем хеми-С-компактным, если существует последовательность С-компактных подмножеств {Ап : п G N} в X такая, что для любого С-компактного подмножества А существует по € N такое, что А С АПо.

Следующее утверждение характеризует метризуемость пространства Сгс(Х) через топологические свойства пространства X.

Следствие 2.3.18. Для любого пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Сгс(Х) метризуемо.

2. СТС{Х) с первой аксиомой счетностпи.

3. Сгс(Х) счетного типа.

4. СТС(Х) точечно счетного типа.

5. Сгс(Х) имеет плотное подмножество точечно счетного типа.

6. Сгс(Х) — М-пространство.

7. Сгс(Х) — ц-пространство.

8. X хеми-С-компактно.

Следующая теорема характеризует свойство сепарабельности пространства СГС(Х).

Теорема 2.3.19. Пусть А — сеть из С-компактных подмножеств пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. С\{Х) сепарабельно.

2. Сгс{Х) сепарабельно.

3. Сс(Х) сепарабельно.

4. СР(Х) сепарабельно.

5. X уплотняется на сепарабельное метризуемое пространство.

6. X субметризуемо и плотность (1(Х) не превосходит 2"°.

В четвертом параграфе второй главы исследуются свойства типа полноты пространства Сгс(Х).

Топология равномерной сходимости на С-компактных подмножествах пространства X индуцирована равномерностью равномерной сходимости на этих подмножествах. Напомним, что равномерное пространство Е полно в том и только том случае, если каждый фильтр Коши в Е сходится к точке пространства Е.

Для характеризации полноты равномерного пространства СГС(Х) необходимо определить гс-непрерывные функции и г су-пространства.

Определение 2.4.1. Функцию / :Х|->Е будем называть г с- непрерывной, если для каждого С-компактного подмножества А С X, суще-

ствует непрерывная функция </:1нЁ такая, что д\л = /|л- Пространство X будем называть гс^-пространством, если каждая гс-непрерывная функция на X является непрерывной.

Теорема 2.4.2. Равномерное пространство Сгс(Х) является полнъш тогда и только тогда, когда X является гс/-пространством.

Так как СТС(Х) — локально выпуклое пространство, Стс(Х) является бэровским пространством тогда и только тогда, когда Сгс(Х) второй категории. Так как локально выпуклое бэровское пространство является бочечным, мы найдем необходимое условие для того, чтобы Стс(Х) было бочечным. Напомним, что локально выпуклое пространство X называется бочечным, если каждая бочка (замкнутое выпуклое уравновешенное поглощающее множество) в X является окрестностью Ох-

Теорема 2.4.3. Пусть пространство СТС{Х) бочечно. Тогда каждое ограниченное подмножество пространства X содержится в С-компактном подмножестве X.

Получаем следующую характеристику метризуемости полной метрикой пространства Сгс(Х).

Теорема 2.4.5. Для любого пространства X эквивалентны следующие утверждения.

1. Сгс(Х) — метризуемо полной метрикой.

2. Сгс(Х) — полно по Чеху.

3. Сгс(Х) — локально полно по Чеху.

4. СТС(Х) — открытый непрерывный образ паракомпактиого полного по Чеху пространства.

5. Сгс(Х) — открытый непрерывный образ полного по Чеху пространства.

6. X — хеми-С-компактное гс/-пространство.

В пятом параграфе второй главы исследуются свойства локально-выпуклого пространства Сгс(Х) с точки зрения теории меры.

Функциональное пространство С(Х), также как С*(Х), является векторной решеткой — частично упорядоченным вещественным векторным пространством с отношением порядка: / < д, если /(х) < д(х) для всех х € X. Обозначим /+(х) = тах{/(х),0} и /~(х) = тах{—/(х),0} для

всех х Е X. Линейный функционал А на С(Х) (или С*(X)) называется положительным, если А(/) > 0 для каждого / £ С(Х) (или для каждого / € С*(Х)) такого, что / > 0. Будем обозначать положительный линейный функционал как А > 0 и множество положительных функционалов Л1-(Х) = {А £ Aj(X) : А > 0}, где j = с,ре, гс, оо, будем называть положительным конусом Aj(X).

Пусть А — линейный функционал на С(Х) (или на С*(Х)) и А — подмножество пространства X, тогда эиррХ-А значит, что А имеет носитель А, то есть для любого / £ С(Х) (/ £ С*(Х)) с условием /|д - 0 выполняется, что А(/) = 0.

Теорема 2.5.1. Для каждого А £ АГС(Х) существует С-компактное подмножество А пространства X такое, что виррХ^А. Верно и обратное, если А — положительный линейный функционал на С(Х) с носителем на некотором С-компактном подмножестве, тогда А £ Л+(Х).

Напомним, что линейный функционал А на пространстве С(Х) (или С*[Х)) называется ограниченым, если для каждого д £ С(Х) (или С*(Х)) д > 0 существует М > 0 такое, что |А(/)| < М выполняется для всех / £ С(Х) (/ £ С*(Х)) при условии |/| < д. Ясно, что каждый положительный линейный функционал на С(Х) или на С" (X) является ограниченным. Множество всех ограниченых линейных функционалов на С(Х) (на С*(Х)) обозначим как С(Х)~ (С*(Х)~) и будем называть порядково ограниченным сопряженным к С(Х) (С*(Х)).

Теорема 2.5.3. Для любого тихоновского пространства X,

1. лгсрг) с с(хг,

2. ЛЮ(Х) = С*{Х)~.

Далее определим естественную норму на пространстве ЛГС(Х) которая согласуется с решетчетой структурой, то сеть ЛГС(Х) будет рассматриваться как нормированная векторная решетка.

Напомним, что Л^(А') — пространство всех непрерывных линейных функционалов на банаховом пространстве Положим на простран-

стве Л00(Х) норму ||А||* = вир{|Л(/)| : / £ С*{Х) и И/^ < 1}. Заметим, что тогда (Л00(ЛГ), ||.||*) — банахова решетка.

Теорема 2.5.7. Для тихоновского пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. X — псевдокомпакт.

2. сгс{х) = с;с(х) = сых).

3. АгС(Х) = ЛооСХ).

4. (ЛГС(Х), ||.||*) — банахова решетка.

5. (Л+с(Х),с1*) — полное метрическое пространство.

Теорема 2.5.8. Для тихоновского пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Каждое замкнутое С-компактное подмножество пространства X является компактным.

2. Се{Х) = Сгс(Х).

3. АС(Х) = АГС(Х).

Алгебру порожденную замкнутыми подмножествами пространства X будем обозначать как Во*{Х), а порожденную ст-алгебру как Во(Х). Бо-релевским множеством называем элемент сг-алгебры Во{Х).

Пусть М(Х) — линейное пространство всех замкнуто регулярных а-адцитивных борелевских мер определенных на Во(Х), МС(Х) = {ц € М(Х) : ц — компактно регулярна } и МТС{Х) = {ц е М(Х) : ¡1 имеет носитель на замкнутом С-компактном подмножестве пространства X }. Через М+(Х), М+(Х) и М+С(Х) обозначим подмножества положительных мер в пространствах М{Х), МС(Х) и МГС(Х) соответственно. Для /1 € М(Х) определим норму \\ц\\ = НРО- Пусть /¿и!/6 М(Х), определим (1<и, если /х(Л) < и(А) УА е Во{Х). Относительно этого порядка, пространство М{Х), обладающее полно вариационной нормой ||/х||, нормированная решетка.

Пусть Ми(Х) — {/I е Мс(уХ) : существует С-компактное подмножество А пространства X такое, что \ц\{ьХ \ с1УхА) = 0} и М+(Х) = {/х € М„(Х) : ¡х > 0}. Заметим, что М„(Х) — линейное подпространство Мс(уХ). Следующий результат отождествляет пространство МУ{Х) с пространством КТС{Х).

Теорема 2.5.13. Для любого пространства X, отображение Р : (Му(Х), ||.||) (ЛГС(Х), ||.||.) определенное как Р((г){/) = $хГ<1ц, яв'

ляется изометрическим решегпчетъш изоморфизмом МУ(Х) на АГС(Х). При этом изоморфизме, М+(Х) отождествляется с Л+(АГ).

Исследуем некоторые условия эквивалентные сепарабельности пространства Напомним, что норма ||.|| на пространстве МГС(Х) индуцирует метрику ¿, где ¿(/х, и) — для /х, и 6 МГС{Х). В частности (М+(АГ), в.) — метрическое пространство.

Теорема 2.5.14. Для пространства X, следующие условия эквивалентны.

1. (Л+ (X), — сепарабельно.

2. (Лгс(Х),||.у — сепарабельно.

3. X — счетно.

4. (М+(АГ),с/) — сепарабельно.

5. (МГС(Х), ||.||) — сепарабельно.

В третьей главе на множестве С(Х) рассматривается слабо множественно-открытая топология, изучаются ее топологические свойства и взаимоотношения с другими топологиями на множестве С(Х).

В первом параграфе определяется слабо множественно-открытая топология на множестве С(Х) и изучаются некоторые её основные свойства.

Пусть А — семейство подмножеств X, тогда слабо множественно-открытая топология определяется предбазой вида: [Л, [/] = {/ € С(Х) : /(.Р) С [/}, где Р Е А, а и — открытое подмножество числовой прямой. Соответствующее топологическое пространство будем обозначать С\-{Х).

Второй параграф третьей главы посвящен теореме о совпадении слабо множественно - открытой топологии и топологии равномерной сходимости; теорема является критерием для пространства С\- (X, У) быть паратопологической группой, топологической группой, топологическим векторным пространством.

Пусть дано семейство А — не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через А (В) = {А £ А : для любого ограниченного подмножества В пространства X такого, что В С. А, множество [В, II] открыто в С\'(Х,У) для любого открытого множества /У пространства У}.

Очевидно, что для разных семейств А и ¡л, слабо А-открытая топология может совпадать со слабо ¿¿-открытой топологией т.е., С\.(X, У) = СР*(Х, У). Обозначим для фиксированного семейства А через Х*т = : С/1-(Х,У) = С х- (X. К)}. Семейство Л*д является единственным максимальным семейством, порождающим слабо А-открытую топологию.

Следующая теорема относится к основным теоремам диссертации.

Теорема 3.2.1. Пусть А — тг-сеть тихоновского пространства X и У — метризуемое топологическое векторное пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Сх-(Х, У) = СА,и(Х,У);

2) слабо Х-открытая топология на С(Х, У) инвариантна относительно сдвигов;

3) Сл* (X, У) — паратопологическая группа;

4) Су (X, У) — топологическая группа;

5) С х- (X, У) — топологическое векторное пространство;

6) А состоит из ограниченных подмножеств и А = А (В);

7) А^ состоит из ограниченных подмножеств и замкнуто относительно подмножеств.

Более того, если У является топологической алгеброй, то

8) С х- (X, У) — топологическая алгебра.

В третьем параграфе третьей главы исследуются кардиналь-нозначные характеристики пространства Сд.(Х).

В этом параграфе семейство А — наследственно замкнутая, ограниченная тг-соть пространства X замкнутая относительно конечных объединений. Такое семейство А будем называть насыщенным, а если и А = X, то борнологией. Борнологшо будем называть ограниченной (компактной), если все её элементы ограниченные (компактные) подмножества пространства X.

Напомним, что А-покрытием пространства X называется семейство подмножеств пространства X такое, что каждый элемент А содержится в некотором элементе этого семейства. Число А-Аренса пространства X определяется как Ао(Х) = и + тт{|£| : £ С А и £ — А-покрытие X}. Когда А состоит из компактных подмножеств пространства X, тогда А-покрытие называется ^-покрытием, и X называется хемикомпактом,

если Ха(Х) = и. Если А является множеством всех конечных подмножеств пространства X, тогда А-покрытие называется ш-покрытием, и в этом случаи Аа(АТ) = |АГ|.

Если х € X, семейство а непустых открытых подмножеств пространства X называется локальной 7г-базой в точке х, если для каждой окрестности U точки х, существует V G а, которое содержится в U. Определим тг-характер пространства X как лх(Х) = и + sup{irx(X,х) : х € X}, где 7гх(Х, х) = min{\a\ : а — локальная тг-база в точке х}.

Следующая теорема даёт характеризацию характера пространства С\-(Х). Так как для любой топологической группы, характер и тг-характер совпадают, теорема характеризует 7г-характер пространства

Теорема 3.3.8. Пусть А — насыщенное, семейство пространства X.

Тогда х(Са.(Х)) = тгх{Сх.(Х)) = Ха(Х).

Вопрос29. Существует ли внутренний (без привлечения vX) критерий для веса С\*(Х) ?

Семейство 5 подмножеств пространства X называется /А-сетью, если для любого множества А £ А и любой функциональной окрестности V множества А, существует множество В £ 5 такое, что А С В С V. Тогда /А-сетевой вес пространства X определяется как fXnw(X) — min{\5\ : S — f А-сеть на X}.

Определим fXw(X) = min{|<5| : S С A — /А-сеть пространства X}.

Теорема 3.3.10. Пусть А - насыщенное семейство пространства X.

Тогда fXw(X) = mzx{fXnw{X),Xa{X)}.

Следующая теорема даёт внутреннюю характеристику веса пространства С\*(Х).

Теорема 3.3.11. Пусть X - насыщенное семейство пространства X.

Тогда ш(СЛ.(Х)) = тrw(Cx.{X)) = fXw{X).

В Cp-теории, существует формула Асанова l(Cp(X)) > t*(X), где t*(X) — sup{t(Xn) : п 6 N} является супертеснотой пространства X.

29N.V. Velichko, "Л-Topologics on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 1.

Пусть Л ограниченная борнология пространства X. Существует естественное уплотнение С\-(Х) на пространство Ср(Х). Число Линделёфа не возрастает при непрерывных отображениях; таким образом, получаем формулу l(Cy(X)) > l(Cp(X)) > t*(X).

Вопрос30. Будут ли элементы семейства А компактными множествами при уплотнении линделёфова пространства С\*(Х) на Ср(Х)?

Следующая теорема отвечает положительно на данный вопрос в случаи, если А — С-компактная борнология пространства X.

Теорема 3.3.15. Пусть А — С-компактная борнология пространства X и Су (X) является линделёфовым. Тогда А состоит из метри-зуемых компактных подмножеств пространства X.

Теорема 3.3.19. Пусть А — ограниченная борнология пространства X и С\* {X) имеет счетный характер. Тогда С\-(Х) является линделёфовым тогда и только тогда, когда X является хемикомпактным ^-пространством.

В общем случаи ответ на вопрос Н.В. Величко отрицательный. Е.А.Резниченко31 был построен замечательный пример компакта Та-лаграна X. В этом пространстве существует точка Ь £ X такая, что X — стоун-чеховская компактификация пространства У = X \ {&}. При этом У— псевдокомпактно и не замкнуто в X.

Рассмотрим пространство У и семейство всех сепарабельных подмножеств У как семейство А. Получаем, что пространство Са-(У) является линделёфовым (по теореме С.П. Гулько32), но семейство А не является компактным.

Последняя четвертая глава относится к теории 5'(п)-замкнутых и 5,(тг)-неушютпяемых пространств.

Пусть V некоторое топологическое свойство, тогда "Р-пространство называют "Р-неуплотняемым, если оно не имеет строго слабее топологию со

30N.V. Velichko, "A-Topologies on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 4.

31Резпиченко E.A., "О выпуклых и компактных подмножествах функциональных и локально выпуклых пространств". Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н..Москва, 1992, с. 114.

32Гулько С.П., "О свойствах некоторых функциональных пространств". Док. РАН, (1978), с. 14201424.

свойством V. Далее через MU и MR будем обозначать урысоновское неуплотняемое и регулярно неуплотняемое пространства соответственно.

Определение 4.1.20. Множество А 0(тг)-сходится к множеству В, если для любого S(n — 1)-покрытия 7 = {Ua} тожества В существует конечное семейство {17aj}*=1 Ç 7 такое, что |А \ Uf=1 Uai)| <

Теорема 4.1.21. Для п G N, S(п)-пространство X является S(n)-неуплотняемым пространством тогда и только тогда, когда любое бесконечное множество А С X в(п)-сходится к множеству В своих точек полного в (п)-накопления, и если существует точка х такая, что А не в(п)-сходится к X \ {ж}, тогда х точка полного накопления для множества А.

В работе Фредлера, Джироу, Петтей и Портера33 ставится вопрос о характеристике MU пространств. А именно, найти свойство Q из которого не следует ^-замкнутость, но при этом выполняется, что пространство U-замкнуто и обладает свойством Q тогда и только тогда, когда оно MU.

Следующая теорема отвечает на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портера.

Теорема 4.1.23. Урысоновское пространство X — MU тогда и только тогда, когда X — U-замкнуто, и если существует точка х и множество А такие, что бесконечное множество А не в(2)-сходится к множеству X \ {я}, тогда х — точка полного накопления для множества А.

Определение 4.1.28. S (п)-пространство X — S(n)FFC (S(n)CFC), если каждое непрерывное отображение f пространства X на S(п)-пространство У с условием, что /_1(у) конечно (компактгю) для любого у&У является замкнутым отображением.

Теорема 4.1.29. Для п € N, S(п)-пространство X — S(n)FFC (S(n)CFC) тогда и только тогда, когда X — 3{п)-замкнуто, и если существует конечное (компактное) множество С и множество А такие, что бесконечное мноэ/сество А не в(п)-сходится к множеству

33L. M. Priedler, M. Girou, D. H. Pettey and J. R. Porter, "A survey of R-, U-, and СЯ-dosed spaces Topology Proceedings, (1992), Vol. 17, 71-96, Question 40.

X \ С, тогда С является множеством полного накопления для множества А.

В работе Фредлера, Джироу, Петтей и Портера34 ставится вопрос о характеристике MR пространств. А именно, найти свойство V из которого не следует Л-замкнутость и для которого выполняется: Я-замкнутое пространство имеет свойство V тогда и только тогда, когда пространство MR.

Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема 4.1.34. Регулярное пространство X — MR пространство тогда и только тогда, когда X — R-замкнуто, и если существует точка х и множество А такие, что бесконечное множество А не в(и)-сходится к X \ {z}, тогда х — точка полного накопления множества А.

Второй параграф четвертой главы посвящен решению проблемы Портера и Дикмана о произведении С .FC-пространств.

В 1984 году Р.Ф. Дикманом и Д.Р. Портером35 была поставлена задача: будет ли произведение С FC-пространств являться CFC - пространством?

Определение 4.2.5. Сюрьективное непрерывное отображение

/ : X -> У будем называть Ст-отображением, если полный прообраз любой точки компактное подмножество мощности меньше т.

При т = 2 получаем уплотнение, при т = ш — конечно-кратное отображение и при г таком, что |Х| < г, получаем компактное отображение.

Определение 4.2.6. Пространство X будем называть

Ст-функционально-компактным (CTFC) пространством, если всякое СТ- отображение / : X —> У является замкнутым отображением.

При т = 2 получаем неуплотняемое пространство, при т = и> — FFC-пространство и при т таком, что |Х| < т, получаем CFC- пространство.

34L. M. Friedler, M. Girou, D. II. Pettey and J. R. Porter, "A survey of Й-, U-, and CH-closed spaces Topology Proceedings, (1932), Vol. 17, 71-96, Question 39.

35R.F. Dickman, J.R. Porter, "Between minimal Hausdorff and compact Hausdorff spaces". Topology Proceedings (1984), Vol. 9, 243-268.

Определение 4.2.7. Пространство X будем называть Ст-полурегулярным, если для любого компактного подмножества К С X такого, что \К\ < т и любой окрестности О (К) найдется канонически открытая окрестность V(K) множества К такая, что К С V(K) С О (К).

При т = 2 получаем полурегулярность пространства X.

Теорема 4.2.8. Следующие условия эквивалентны:

1. X — CTFC пространство;

2. X — H-замкнутое и СТ-полурегулярное пространство.

Следующая теорема относится к основным теоремам диссертации и отвечает на вопрос Портера и Дикмана.

Теорема 4.2.9. Для того, чтобы тихоновское произведение X =

1~[ Ха было CTFC- пространством, необходимо и достаточно, чтобы аеА

каждое Ха было CrFC- пространством.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях (в соответствии с Перечнем ВАК)

[1] Osipov А.V., "Weakly Я-closed spaces". Ргос. Steklov Inst. Math., 2004, suppl.l., pp.15-17.

[2] Osipov A.V., "Nearly Я-closed spaces". Journal of Mathematical Sciences, 2008, T. 155, № 4, pp. 624-631.

[3] Осипов A.B., Нохрин С.Э., "К вопросу о совпадении множественно-открытой и равномерной топологий". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2009, Т. 15, № 2, с. 177-184.

[4] Осипов A.B., "Слабо множественно-открытая топология". Тр. Инта математики и механики УрО РАН, 2010, Т. 16, № 2, с. 167-176.

[5] Osipov A.V., "The Set-Open topology". Topology Proceedings, 2011, № 37, P. 181-204.

[6] Осипов A.B., "Свойства С-компактно-открытой топологии на пространстве функций". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2011, Т. 17, № 4, с. 258-277.

[7] Осипов A.B., Косолобов A.B., "О секвенциально-компактно-открытой топологии". Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют.

науки, 2011, Лг* 3, с. 75-84.

[8] Osipov А.V., "Topological-algebraic properties of function spaces with set-open topologies". Topology and its Applications. 2012, № 159, issue 3, P. 800-805.

[9] Осипов A.B., "Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений". Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012, Т. 17, № 1., с. 47-53.

[10] Осипов А.В., "О свойствах типа полноты С-компактно-открытой топологии на С{Х)". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012, Т. 18, № 2., с. 191-198.

[11] Осипов А.В., "Сопряженное пространство к Сгс(Х)". Вестн. Уд-муртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2012, № 1, с. 41-49.

[12] Osipov A.V., "The C-compact-open topology on function spaces". Topology and its Applications. 2012, № 159, issue 13, P. 3059-3066.

Работы, опубликованные в других изданиях

[13] Осипов А.В., "Р-замкнутые и Р-неуплотняемые пространства". ТюмГУ, Сборник научных трудов, Математический и прикладной анализ, Том 2, 2005, стр. 120-143.

[14] Осипов А.В., "Заметка о слабо Я-замкнутых пространствах". Труды 37-ой Региональной молодежной конференции Проблемы теоретической и прикладной математики, Екатеринбург, 2006, стр.66-69.

[15] Osipov A.V., "Different Kinds of Closedness in S(n)-Spaces". Municipal library of Aegion, Greece, Abstracts of International conference on topology and its applications, 2006, p.125-128.

[16] Осипов A.B., "Множественно-открытая топология на пространстве непрерывных функций". Тезисы докладов Первого Российского Научного Форума "Демидовские чтения"на Урале, 2-3 марта 2006г, с.44-46.

[17] Осипов А.В., "О множественно-открытой топологии". Тезисы докладов Международной конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета, Томск, 2008, с.106.

[18| Осипов А.В., "Р-замкнутые и Р-неуплотняемые прстранства, часть 2". ТюмГУ, Сборник научных трудов, Математический и прикладной анализ, 2008, с.114-136.

[19] Осипов А.В., "Множественно-открытая топология". Труды 39-той Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2008, с.43-47.

[20] Осипов А.В., Нохрин С.Э., "М-компактные множества и их свойства". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.54-59.

[21] Осипов А.В., Нохрин С.Э., "Совпадение А-открытой и А топологий". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.63-66.

[22] Осипов А.В., "Мультипликативность компактно функционально-компактных пространств". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики 2009, стр.59-63.

[23] Osip ov А.V., "Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Brno, Czech Republic, 2009,p. 15.

[24] Осипов A.B., "Слабо-множественно-открытая топология". Труды 41-ой Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики Екатеринбург, 2010, с. 58-69.

[25] Osipov А.V., "Weakly Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Nafpaktos, Greece, 2010, p.75.

[26] Осипов A.B., "Регулярность множественно-отркрытой топологии". Тезисы всероссийской конференции "Современные проблемы математики 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция, 2011, с.271-272.

[27] Osipov А.V., "Group of isometries and groups of homeomorphisms" Тезисы Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80 -летию со дня рождения А.И. Старостина, с.186-189.

[28] Osipov A.V., "Topological-algebraic properties of function spaces with set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, ICTA 2011, Islamabad, Pakistan. P48.

[29] Osipov A.V. "The C-compact-open topology". Abstracts of 11th Prague Topological Symposium, 2011, (Czech Republic) p.95.

[30] Osipov A.V., "Cardinal functions of the linear space C(X)". Тезисы Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики" (г. Екатеринбург, 2012) с.186-188.

Подписано в печать 14.05.2012. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 8,4 Тираж 100 экз. Заказ № Л Об Б'

Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Введение

1 Множественно-открытые топологии на пространствах непрерывных отображений

1.1 Секвеициальгю-компактпо-открытая топология па множестве С(Х. К)

1.2 Совпадение А-открытой и А-топо.логии на, множестве С{Х, D(t))

1.3 О совпадении множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на множестве непрерывных отображений.

1.4 Тополого-алгебра.ические свойства, функциональных пространств

2 С-компактно-открытая топология на множестве С(Х, R)

2.1 Различные способы определения С-комнактио-открытой топологии

2.2 Взаимоопошепия множественно-открытых топологий.

2.3 Метризуемость и свойства тина счётпоети пространства, Сгс.(Х. К)

2.4 Полнота, равномерного пространства, С,.С.(Х. К)

2.5 Сопряженное пространство к пространству Сгс(Х. К).

3 Слабо множественно-открытая топология на пространстве непрерывных отображений

3.1 Слабо множественно-открытая топология на множестве С(Х. R)

3.2 О совпадении слабо множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости па множестве непрерывных отображений

3.3 Кардипалыкииачпые характеристики функциональных пространств

4 К теории 5(п)-пеуплотняемых пространств

4.1 Характсризация ¿>(и)-за.мкнутых и 6*(п)-неуплотнясмых пространств

4.2 О мультипликативности CFCV-iipocrpaircTB.

Множество С(Х) всех непрерывных всщсствсннозпачпых функций па тихоновском пространстве X обладает различными топологиями. Идея прозрачного описания предельного перехода во множестве функций достигается средствами общей топологии — путем определения той или иной естественной топологии на множестве непрерывных функций С'(Х). отражающей свойства связываемых функциями пространств. На множестве С(Х) топологии можно вводить различными неэквивалентными способами, и каждая из возникающих топологий имеет свои преимущества в определенных ситуациях.

Исторически изучение пространств непрерывных отображений из одного топологического пространства в другое активно ведется с конца XIX века. Первые топологии на пространствах функций вводились с целью изучения различных видов сходимости функциональных последовательностей; это были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости на всем пространстве. Первыми работами, посвященными этой тематике, были статьи Асколи |25]. Арцела |24| и Ада-мара [51].

В 1906 году на пространстве отображений из топологического пространства X в произвольное метрическое пространство V Фреше [44| впервые рассмотрел supremum metric, и соответствующую ей топологию.

Топология равномерной сходимости наС(Х) задается базой в каждой точке / Є С(Х). Эта база состоит из всех множеств вида д Є С{X): sup |д(х) - f(x) | < с}, где є > 0. хеХ

Естественным обобщением этой топологии является топология равномерной сходимости на элементах семейства Л (А-топология), где А — фиксированное семейство непустых подмножеств пространства X. Базу А-топологии в точке / Є С(Х) образуют все множества вида д е С(Х): sup \д(х) - f(x)| < е}: где F Е А и е > 0. xeF

Если в качестве семейства Л взять все конечные подмножества пространства X, то получившаяся топология называется топологией поточечной сходимости на пространстве СР(Х); если взять все компактные подмножества X — топологией равномерной сходимости на компактах, или компактно-открытой на пространстве Сс(Х).

В 1945 году Фокс [43] определил компактно-открытую топологию Сс{Х), предбазу которой образуют все множества вида Е С(Х): f(F) С U}. где F — компактное подмножество пространства X, a U — открытое подмножество числовой прямой. Заметим, чго топология поточечной сходимости может быть определена похожим образом: заменой в определении предбазы компактных подмножеств конечными.

В следующем, 1946 году Арене [2U| ввел понятие допустимой топологии на C(X1Y) (т.е. топологии, для которой непрерывно отображение вычисления), а в 1951 году Арене и Дугунджи [21] определили собственные топологии. В дальнейшем компактно - открытая топология изучалась Джексоном [55]. Моригой |70|, Келли [57| и другими.

На пространствах непрерывных отображений рассматривались и другие типы топологий. В 1969 году Крикоряп |58] впервые рассмотрел топкую топологию, которая является обобщением топологии, порожденной suprcmum metric. В дальнейшем эта топология исследовалась Эклундом [41], МакКоем [62] и другими топологами.

В конце 60-х годов активно изучалась топология графиков — здесь окрестности функций из С(Х, У) определяются окрестностью их графиков в X х Y. Отождествляя функции с их графиками, МакКой |62| рассматривал пространство С(Х,У) как подпространство пространства замкнутых подмножеств произведения X х У. наделенное топологией Вьеторисса.

И вес же наиболее известные топологии па пространстве отображений С(Х,У) — это топология поточечной сходимости и компактно-открытая, одно из достоинств которых состоит в том. что они линейны. Существует несколько естественных обобщений этих топологий: множественно-открытая топология, слабо множественно-открытая топология и топология равномерной сходимости на элементах семейства подмножеств пространства X. Некоторые свойства этих топологий и их взаимотношения описаны в монографиях Маккой и Нтанту |65| и A.B. Архангельского [4]. Множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости посвящены кандидатские диссертации М.О. Асанова [5|. С.Э. Но-хрипа [12| п М.И. А.пьпсрипа [2) в которых установлено несколько утверждений. связанных с кардинальпозпачпыми инвариантами пространства функций.

Множественно-открытая топология является обобщением компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости. Множественно-открытая топология на семействе А — непустых подмножеств пространства X (А-открытая топология) была впервые введена Р. Аренсом и Ж. Дугунджи [21]. Прсдбазу А-открытой топологии образуют все множества вида {/ € С(Х): f(F) С [/}. где F £ А. а U — открытое подмножество числовой прямой.

Топология равномерной сходимости па семействе ограниченных подмножеств (ограниченно-открытая топология) была опрслслсг-ia в 1970 году Бухгалтером [34]. Прсдбазу такой топологии образуют все .множества вида {/ €Е С(Х): f(F) С [/}, где F — ограниченное подмножество пространства X, а U — открытое подмножество числовой прямой. Слабо множественно-открытая (слабо А-открытая) топология на семействе произвольных подмножеств А является естественным обобщением ограниченно-открытой топологии. Прсдбазу слабо А-открытой топологии образуют все множества вида е С(Х) \ /(Р) С и), где Р £ А. а С/ - открытое подмножество числовой прямой.

В 2000 году Анна Де Консилио и Сом Наимналлн [36] исследуют топологии на функциональных множествах С(Х, У). Эти топологии определяются с помощью близостей на множестве У и являются естественными обобщениями множественно-открытых топологий. Для произвольной близости 5 на пространстве У и сети Л пространства X предбазиспые множества имеют вид:

1, В] = {,/' 6 С'(Х.У) : /(Л)6{Х \ В)}, где А е X, В С У. Такие топологии имеют название — проксимальные множественно-открытые топологии.

Основными объектами исследования диссертационной работы являются пространства С\(Х) и С\*{Х) — всех непрерывных веществен-нозначных функций в А-открытой и слабо А-открытой топологиях.

Почти все вопросы, исследуемые в диссертации, имеют следующий общий вид: какими свойствами должны обладать пространство X и семейство А. чтобы пространства С\(Х) и С\*(Х) обладали теми или иными "хорошими" свойствами. И наоборот, пусть Сд(Х) (или — в каком-либо смысле "хорошее" пространство. Что можно в этом случае сказать об топологических свойствах пространства X и семействе А ?

Рассматривая эти вопросы, видим, что пространства X и С\(Х) не равноправны: на X есть только топологическая структура, в то время как С\{Х) несет топологию и две естественные алгебраические операции — сложения и умножения.

Это позволяет рассматривать С\(Х) (или С\*(Х)) в зависимости от семейства А как топологическое пространство, как топологическое кольцо, топологическую группу или как линейное топологическое пространство, что открывает возможность исследовать свойства пространства X и семейства А в соответствии с тем, определяются ли они алгебраической структурой кольца С(X), зависят ли от свойств С\{Х) как линейного топологического пространства или могут быть полностью охарактеризованы чисто топологическими свойствами пространства С\(Х).

Краткое содержание работы

В первом параграфе первой главы определяется секвенциально компактно-открытая топология на множестве С(Х).

Секвенциальная компактность и счетная компактность равносильны в классе секвенциальных ^-пространств и. в частности, ^-пространств с первой аксиомой счстности.

Напомним, что множество А называется ограниченным (С- компактным) подмножеством в X, если для любой ,/' (Е С'(А') образ /(А) ограничен (компактен) в числовой прямой К.

Пространство X называют субметризуемым, если существует уплотнение /: X —> У, где У метризуемое пространство.

В теореме 1.1.1. доказывается, что семейство всех С'-компактных подмножеств субметризуемого пространства X совпадает с семейством мет-ризуемых компактных подмножеств пространства X. а также совпадает с семейством замкнутых ограпичепых подмножеств пространства X.

Пусть ЗС(Х) — семейство всех секвенциально компакных подмножеств X. Предбазу секвенциально компактно-открытой (йс-топологии) топологии образуют все множества вида {/ £ С(Х) : /(-Р) С £/}, где Р 6 ЗС(Х), а и открытое подмножество числовой прямой. Топологическое пространство С(Х) с зс-топологией будем обозначать С'8С(Х).

Для любого / Е С(Х), А Е ЗС(Х) и £ > 0 обозначим (/,А,е) = {д е С{Х) : вир |/(.т) — д(х)\ < с}. Тогда для любого / 6 С'(А') семейхеА ство {(/, А,е)\ А Е вС^Х), г > 0} образует базу в точке /. Семейство {(/, А, е): / €Е С(Х), А 6 ЗС'(Х), е > 0} образует базу топологии равномерной сходимости на семействе 5С'(Х). Множество С{Х) с топологиой равномерной сходимости па семейство БС{X) будем обозначать как С8СЛ1{Х).

Теорема 1.1.4. Для произвольного тихоновского прост,ранет,ва, X выполняется С8С(Х) — С8С-и(Х).

Следующая теорема 1.1.9. характеризует пространство X при котором 5 с-то 11 о лог и я совпадает с топологией равномерной сходимости Си(Х).

Теорема 1.1.9. Сьс(Х) = С'и(Х) тогда и только тогда, когда в тихоновском, пространстве X есть всюду плотное секвенциально компактное п одмножество.

Отметим, что для пространства X, обладающего всюду плотным секвенциально компактным подмножеством, сепарабельность, счегность числа Сусли на и линделёфовость пространства Сзс(Х) эквивалентны.

Теорема 1.1.13. Пусть X содержит плотное секвенциально компакт,но подмножество. Тогда следующие условия ,эквивалентны:

1) С'зс(Х) им,ест, счетное число Су слина;

2) С8С(Х) се:па,рабел,ьно;

3) Свс(Х) линделефово;

4) X мет,ризуемый компакт,.

Второй параграф первой главы посвящен исследованию вопроса о совпадении А-открытой и А-топологии на множестве С(Х. 0(т)). где £)(т) — дискрет мощности т.

Если У -— метрическое пространство с метрикой а А — семейство подмножеств X. то на множестве С(Х, У) определены А-топология и А-открытая топология.

Базу А-топологии в точке / Є С'(Х, У) образуют все множества вида < /, ^ є > - {д Є С{Х, У) : вирріЦх), д{х)) < е}, где Є А, £ > 0.

ТЕР

Предбазу А-открытой топологии образуют все множества вида

Г, и) = {/ 6 С(Х, У) : ¡(И) С [/}, где Г 6 А. а и — открытое подмножество У.

Множество С(Х,У) с А-открытой и А-топологисй будем обозначать через С\(Х. У) и С\и(Х, У) соответственно.

Определение 1.2.3. Пусть АС X и У — произвольное пространство. Множество Л будем называть У-компактньш, если для любого непрерывного отображения /' б С(Х, У) множество f(A) компактно в У.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении этих топологий в случае, когда У — дискретное метрическое пространство (р(уь уч) — 1 при любых У[ Ф у-2 из У).

Теорема 1.2.5. Пусть У — дискретное метрическое пространство. Тогда С\(Х, У) = С\М{Х, У) в том, и только том случае, когда выполнены одновременно два условия:

1) А состоит из У-компактных множеств;

2) для любого элемента Р £ А и любого открыто-замкнутого в X множества и. пересекающего V. существует, . Т7^ конеч,ное п число элементов семейст.ва А таких, чт.о и С и и для любого 1 от,крыт,о-замкнутого V С и т.акого, что К П Р / 0 следует,, что /=1

Для нульмерного пространства X и дискретного двоеточия I) = {0, 1} получаем следующее следствие.

Следствие 1.2.8. Пусть прост,ранет,во X нульмерно, а А зам,кнут,о относительно конечных объединений. Тогда, С\М(Х. О) = С\(Х, О) в том а только том, случае, когда, для любого открыто-замкнутого и С X найдётся Р е А, замыкание которого совпадает, с пересечением, У А и множества II.

В третем параграфе рассматривается множество С(Х, У) — непрерывных отображений из топологического пространства X в мстризус-мое векторное пространство (У,р), наделённое множественно-открытой (А-открытой) топологией или топологией равномерной сходимости на семействе А (А-топология).

Маккой и Нтанту |65| получили следующий результат.

Предложение 1.3.1. Если А состоит из компактных множеств, то С\,Ь{Х.У) ^ С\(Х, У). Если дополнительно А наследственно замкнуто (т.е. вместе с %;аждым своим элементом, содержит все его замкнутые подмножества), то эти топологии совпадают.

В случае У = М предложение 1.3.1. было усиленно Нохрипым |1'2].

Предложение 1.3.2. С\у(Х) ^ С\(Х) тогда и т.олько тюгда, когда А состоит, из С-компактных множеств.

Предложение 1.3.2. показывает, что С'-компактность элементов семейства А является существенным свойством при рассмотрении вопросов о совпадении А-открытой и А-топологии на пространствах функций.

Отметим некоторые свойства С-компактных подмножеств.

В случае А = X свойство множества А быть С-компактным совпадает с псевдокомпактностью пространства X. Очевидно, что любое пссвдокомпактиое подмножество является С-компактным и любое С-компактнос множество является ограниченным.

Отмстим, что существует пример 1.3.3. (Ф — пространство Исбелла-Мрувка-Фролика). в котором понятия псевдокомпактность. С- компактность и ограниченность отличаются даже для замкнутых подмножеств.

Утверждение 1.3.7. Пересечение С-ком,па,ктп,ого множества и •нуль-множества является С-компактным. множеством,.

Утверждение 1.3.8. Если А С X — С-компактное множество, то А таклее -компактное множество (т.е. для любой непрерывной функции, действующей из X в образ А является компактным подмножест,волі

Теорема 1.3.9. Мнооісест,во А являет,ся С-компактным подмножеством X тогда и только тогда, когда из любого счет,його функционально - открытого покрытия множества, А можно выделить конечное подпокрытие.

Пусть дано семейство Л не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через А(С') = {Л Є А : для гпобого С'-компактного подмножества В пространства X такого, что В С; А, множество [В, II] открыто в С\(Х,У) для .любого открытого множества II пространства У}.

Очевидно, что для разных семейств А и /і, А-открытая топология может совпадать с /./-открытой топологией т.е. С\(Х,У) = С'^Х, У). Обозначим для фиксированного семейства А через А,„ = \J\jJ, : С^(Х.У) — С\(Х,У)}. Семейство Хт является единственным максимальным семейством, порождающим А-открытую топологию.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на множестве С(Х.У), где У — метризуемое топологическое векторное пространство.

Теорема 1.3.10. Пусть А іг-сегпь пространства X и У метризуемое топологическое векторное прост ранет,во. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) СХ{Х,У) = СХМ{Х,У);

2) А-открытая топология на С(Х.У) инвариантна относительно сдвигов;

3) С\(Х,У) — паратопологическая группа;

4) С\(Х,У) — топологическая группа;

5) Сх(Х.У) — типологическое вект.орное пространство;

6) А состоит из С-компакт,пых подмиоэюеетв и, А = А(С'); п —

7) Л,77 состоит, из С-компактных подмножеств и замкнуто относительно С-компактных подмножеств пространства X.

Более того, если У является топологической алгеброй, то

8) С\(Х, У) — топологическая алгебра.

Заметим, что теорема 1.3.10. выявляет свойства необходимые и достаточные для семейства А при которых пространство С\(Х,У) является топологической группой, топологическим векторным пространством и топологической алгеброй.

Отметим, что для доказательства теоремы 1.3.10. применялись некоторые утверждения, которые имеют самостоятельный интерес.

К таким утверждениям относятся лемма 1.3.12., теорема 1.3.13. и теорема 1.3.14.

Лемма 1.3.12. Пуст.ь семейство А состоит, из С-компакт,пых множеств и С\(Х,У) = С^(Х.У) для некоторого семейства Тогда ¡л состоит из С-компактных множеств.

Теорема 1.3.13. Пуст.ь А семейст.во подмиоо1сест,в такое, что С\(Х, У) = С\,и(Х,У). Тогда, семейство Хт замкнут,о от,носит,ельно С-компакт,пых подмножеств т,.е., для любого С-компактного подмножества В С /1. где А £ Хт следует, что В £ Ат.

Теорема 1.3.14. Предположим, что семейство А состоит, из С-компакт.иых подм,ножест,в X таких, чт.о /1 Р| Г 6 А для А €Е А и любого иуль-м,иожест,ва Г с условием, что Л(~)1п1Р ф 0. Тогда. Сх{Х,У) = Сх,и{Х,У).

Если У = К, то теорема 1.3.10. имеет следующий вид.

Следствие 1.3.19. Пусть А — тт-сеть пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) С'А(X) = С\„(Х);

2) А-открытая топология инвариантна относительна сдвигов;

3) С\(Х) — паратопологическая группа;

4) С\(X) — топологическая группа;

5) С\(X) — топологическое векторное пространство;

0) Л состоит из С-компактных подмножеств и А = Л (С);

7) Хт состоит из С-компактных подмножеств и замкнут,о от,носит,ел,ьио С-компактных подмножеств прост,раист,ва X;

8) С\(Х) т,опологи,ч,еская алгебра.

По теореме 1.1.1. следует, что для субметризуемых пространств X из того, что множественно-открытая топология на С(Х) (или па С(Х.У) для У — метризусмого ТВП) является инвариантной относительно сдвигов следует, что Л состоит из метризуемых компактных подмножеств и семейство Л замкнуто относительно замкнутых подмножеств.

Так как любое замкнутое ограниченное подмножество Р-пространства является конечным, то при инвариантности относительно сдвигов множественно - открытой топологии на множестве С(Х, У), где X — Р-пространство, следует, что Л состоит из конечных подмножеств. Если при этом [)Х = Х, то Сх{Х, У) = СР{Х, У).

В четвёртом параграфе первой главы изучаются свойства пространства С\(Х) в предположении, что С\(Х) — топологическая группа.

Пусть С — топологическая группа (относительно сложения) и г — бесконечный кардинал. Тогда С вполне т-ограничена. если для каждой окрестности 11 группового нулевого элемента в С существует подмножество £> из С такое, что ^ х и С7 = \s-\-u: в Е 5 и и Е II}. Заметим, что С вполне т-ограничена тогда и только тогда, когда С изоморфна подгруппе группы с числом Суслипа, не превосходящим т. Отметим, что СР(Х) обладает счетным числом Суслипа и, значит, является вполне ^о-ограничснным.

Пусть У1у\(X) = 8ир{'ш(.4</А ): А Е А}, где /1ъА — замыкание в Хьюит-товском пополнении иХ множества .4. Следующий результат является критерием вполне т-ограиичеппоети для топологической группы (по сложению) С \(Х).

Теорема 1.4.1. Пространство С\{Х) вполне т-ограничено т,огда и только тогда, когда и)и\(Х) ^ т.

Через 1(С\(Х)) и с(С\(Х)) обозначим число Линделёфа и число Сус-лина пространства С\(Х) соответственно.

Теорема 1.4.3. Пусть X — произвольное пространство. Тогда

1. Если 1{С\(Х)) < г, то ъиьХ(Х) «С г и гих{Х) < т.

2. Если с{С\{Х)) < т. то шоХ{Х) ^ г и тх{Х) ^ т.

Для г = ^о получаем критерий без привлечения пополнения по Хью-и гту иХ.

Теорема 1.4.4. Топологическая группа С\(Х) вполне ^-ограничена тогда и т,олько тогда, когда А — сем,ей,ст,во ,м,ет,ризуем,ых компактных подмножеств пространства X.

Следствие 1.4.5. Прост,ранет,во С\(Х) т,оп,ологи,чески изом.орфн,о подгруппе топологической группы, со счетным числом Суслипа, т.огда и только тогда, когда А — сем,ейст,во метризуемых компактных под-миожеапв в пространстве X.

Следствие 1.4.6. Если С\{Х) липделёфовая топологическая группа, т,о А — семейство метризуемых ком,пакт,ных подмножеств пространства X.

Вторая глава полностью посвящена б'-компактно-открытой топологии на пространстве С\Х). Важность этой топологии была замечена в теореме 1.3.10. Действительно, С-компактно-открытая топология па множестве С(X) является максимальной среди всех мпожествсппо-открытых топологий при которых С(Х) является топологической группой, топологическим кольцом, топологической алгеброй или локально выпуклым топологическим векторным пространством.

Обозначим черта ЯС(Х) — множество всех С-компактпых подмножеств пространства X. Если семейство Л = ЯС(X), то множество С(Х). наделённое С-компактно-открытой топологией, будем обозначать через СгсХ^)- Заметим, что по теореме 1.3.10., Сгс(Х) = С'гсь(X).

Топологию равномерной сходимости па семействе Л можно определит], и другим путем. Для любого А Е Л определим полунорму ра на С'(Х): рА(/) = тр{\/{х)\:хеЛ}.

Для любых Л £ Л и £ > 0 положим

УА.е = {./' € С(Х):рА(./') < г} и Ф = /1 € А.е > 0}.

Очевидно, что для каждой точки / £ С'(Х) семейство / + Ф = {/ + V: V е Ф) является базой в точке /. Так как топология определяется семейством полунорм, она локально выпукла.

Таким образом, СГГ(Х) является локально выпуклым пространством.

Во втором параграфе второй главы строятся примеры пространств функций для которых Л-открытые топологии различаются.

Далее используются следующие обозначения подсемейств ограниченных подмножеств пространства X.

Я(Х) — семейство всех конечных подмножеств X.

МК(Х) — семейство всех мстризусмых компактных подмножеств X.

К(Х) — семейство всех компактных подмножеств X.

БС(Х) — семейство всех секвенциально компакных подмножеств X.

СС(Х) — семейство всех счетно-компактных подмножеств X.

РБ(Х) — семейство всех псевдокомпактных подмножеств X.

ЯС(Х) — семейство всех С-компактных подмножеств X.

В(X) — семейство всех ограниченных подмножеств X.

Заметим, что Р{Х) С МК{Х) С К(Х) С СС(Х) С РБ(Х) С ЯС{Х) С В{Х) и Я{Х) С МК{Х) С вС{Х) С СС{X).

Соответствующие топологические пространства Сд(АА) будем обозначать:

СР(Х) при Л = Р(Х) (топология поточечной сходимости);

Стк(Х) при Л = МК(Х) (топология равномерной сходимости на мст-ризуемо компактных подмножествах);

Сс(Х) при Л = К(Х) (компактно-открытая топология);

С8С(Х) при Л = БС{Х) (секвенциально-компактно-открытая топология или зс-топология);

Ссс(X) при Л = СС(Х) (счетно-компактно-открытая топология);

Срз(Х) при Л = Р5(Х) (псевдокомпактно-открытая топология);

Сгс(Х) при Л = ЯС'(Х) (С-комиактно-открытая топология).

Топологическое пространство С(Х) с ограниченно-открытой топологией па семействе всех ограниченных подмножеств пространства. X будем обозначать через Сь(Х). Напомним, что предбазу ограниченно -открытой топологии (в отличии от А-открытой топологии) образуют все множества вида {/ Е С(Х):/(Г) С 17}, где Р — ограниченное подмножество пространства X, а 17 — открытое подмножество числовой прямой.

Следующая диаграмма иллюстрирует различные взаимоотношения между А-открытыми топологиями и ограниченно-открытой топологией. х СР(Х) < Сгпк(Х) < Сс(Х) и Сяс{Х) < Ссс(Х) < Сра{Х) < Сгс(Х) < С'ь(Х) < С,,(Х)

Пр.2.2.1 СР(Х) < Стк(Х) = Сс(Х) < С,с(Х) = Ссс(Х) = Сра{Х) = Сгс(Х) = СЬ(Х) = Си(Х)

Пр.2.2.2 ср(У) = С,„к(У) = С,с(У) < Сс(У) = Ссс(У) = СР!1(У) = Сгс(У) = СЬ(У) = Сп{У)

Пр.2.2.3 Ср(г) < с„1к{г) < сс(г) <> с\с(г) < ссс{г) = срД£) = сгс{г) = сь(г) = си{г)

Пр.2.2.4 СР{Х) < Сшк{Х) < Сс{Х) = С,с{Х) = Ссс{Х) = СР,{Х) = Сгс(Х) = СЬ{Х) = Си(Х)

Пр.2.2.6 СР(Х) = Сгпк(Х) = С\с(Х) = Сс{Х) < Ссс(Х) = Срй{Х) = Сгс{Х) = СЬ(Х) = Си(Х)

Г1р.2.2.7 СР(Х) < Стк(Х) = С\с(Х) = Сс(Х) = Ссс(X) < Сре(Х) = Сгс(Х) = СЬ(Х) = Си{Х)

Пр.2.2.8 Ср(А') < Стк(Х) < СЖ(Х) < Сс(Х) < Ссс(Х) < Срз{Х) = Сгс(Х) = Сь(X) = Си{X)

Г1р.2.2.9 СР(С) < Стк(С) < Сс{С) < Сяс(С) < Ссс(С) < Сря(<2) = Сгс(С) = С'ь(С) = СЦС)

Пр.2.2.12 ср{г) < стк{%) < Сс(2:) < С\с(г) < ссс(2:) < ср.ъ(2) < сгс{г) < сь(г) < с ¿г)

X - субметризуемое Стк{Х) = Сс(Х) = С\Г(Х) = Ссг(Х) = Сря(Х) = Сгг{X) = СЬ{Х)

Третий параграф второй главы посвящен метризуемости и свойствам типа счетности пространства Сгс(Х).

Определение 2.3.10. Пространство X называется а-С- компактным,, если в X существует, последовательность {Ап} С-компактных подмножеств таких, что X = (J^ Ап. Пространство X называется почти а-С-компактным. если в X существует плотное а-С-компакт.ное подмножество.

Каждое компактное (псевдокомпактное) подмножество в субметризу-емом пространстве является ¿¡^-множеством. Пространство X называется Ео-пространством. если каждая его точка является С^-множеством. Субметризуемые пространства являются /^-пространствами.

Следствие 2.3.14. Для любого пространства, X следующие ут,верен сдепия эквивалент,иы,.

1. С'гс(Х) субметризуемо.

2. С'гс(Х) есть Ец-прост,ранет,во.

3. X 'почти о-С-компакт)т.

Пространство X (точечно) счетного типа, если любое компактное множество (любая точка) содержится в компактном множестве счетного типа.

Пространство X называют ^-пространством. если для каждой точки х € X существует последовательность {Un\ п Е N} окрестностей точки х такая, что если хп G Un для каждого п. то последовательность {хп\'п, €Е N} имеет предельную точку.

Более сильным свойством, чем быть (/-пространством, является свойство быть М-нространством. Пространство X называют A4- пространством, если X может быть отображено па метрическое пространство квази-совершенным отображением (т.е. непрерывным замкнутым отображением, в котором полный прообраз любой точки счетно компактен).

Пространство X назовем хсми-С-компакгпым, если существует последовательность С-компактных подмножеств {Ап:п € N} в X такая, что для любого С'-компактпого подмножества Л существует щ £ N такое, что А С ЛПп.

Следующее утверждение характеризует метризуемость пространства Сгс(Х) через топологические свойства пространства X.

Следствие 2.3.18. Для любого пространства X следующие утверждения эквивалентны,.

1. Crc(X) мстризуемо.

2. СГ( (А') с первой аксиомой счетпости.

3. Crr{X) счетного типа.

4. Сгс(Х) точечно счетного типа.

5. Crc(X) имеет плотное подмножество точечно счетного типа.

6. Crc(X) М-прост,ранет,во.

7. Crc{X) q-npocm,ранет,во.

8. X хем,и-С-компактно.

Следующая теорема характеризует свойство сепарабельности пространства Сгс(Х).

Теорема 2.3.19. Пуст.ъ X -— сеть из С-компактных подмножеств пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Сд(Л') сепарабсл,ьио.

2. Crc(X) сепарабелъпо.

3. Сс(Х) сепарабелъпо.

4. СР(Х) сепарабелъпо.

5. X уплотняется на сеплрабелъное метризуемое пространство.

6. X суб,м,етризуем,о и плот ноет,ь d( X) не превосходит 2Ш°.

В четвертом параграфе второй главы исследуются свойства типа полноты пространства Сгс(Х).

Топология равномерной сходимости на С'-компактных подмножествах пространства X индуцирована равномерностью равномерной сходимости па этих подмножествах. Напомним, что равномерное пространство Е полно в том и только том случае, если каждый фильтр Коши в Е сходится к точке пространства Е.

Для хара.ктеризапии полноты равномерного пространства Сгс(X) необходимо определить гс-нспрерывные функции и гсу-пространства.

Определение 2.4.1. Функцию / : X и К будем называть г с- непрерывной, если для каждого С-компактпого подмножества А С X. существует непрерывная функция д : X М гакая. что д|4 = Пространство X будем называть гс/-пространством, если каждая гс-непрерывная функция на X является непрерывной.

Теорема 2.4.2. Равномерное пространство Сгс(Х) является полным тогда и только тогда, когда X является гс/-пространством.

Так как Сгс(Х) — локально выпуклое пространство, Сгс(Х) является бэровским пространством тогда и только тогда, когда СГГ(Х) второй категории. Так как локально выпуклое бэровское пространство является бочечным, мы найдем необходимое условие для того, чтобы Сгс(Х) было бочечным. Напомним, что локально выпуклое пространство X называется бочечным, если каждая бочка (замкнутое выпуклое уравновешенное поглощающее множество) в X является окрестностью Од-.

Теорема 2.4.3. Пуст,ь пространство С'гс(Х) б оченно. Тогда каждое ограниченное подмножество прост,ранет,в а X содержится в С-компактном, подмножестве X.

Получаем следующую характеристику метризуемости полной метрикой пространства Сгс(Х).

Теорема 2.4.5. Для любого пространства X эквивалент,ны следующие утверждения.

1. СГГ(Х) — м,етризуем,о полной метрикой.

2. СГ({X) — полню по Чеху.

3. С'гс(Х) — локально полно по Чеху.

4. Сгс(X) — открытый перерывный образ паракомпактного полного по Чеху пространства.

5. С'гс(X) — открытый непрерывный образ полного по Чеху пространства.

6. X хеми-С-компактное гс^-пространство.

Пятый параграф второй главы исследует свойства локально-выпуклого пространства Сгс(Х) с точки зрения теории меры.

Функциональное пространство С(Х), также как С*(Х), является векторной решеткой — частично упорядоченным вещественным векторным пространством с отношением порядка: / < д, если }\х) < д(х) для всех х Є X. Обозначим /+(.г) = тах{/(.г), 0} и /~(х) = тах-{ — /(.г). 0} для всех х Є X. Линейный функционал А на С(Х) (или С*(X)) называется положительным, если А(/) > 0 для каждого / Є С(Х) (или для каждого / Є С*(Х)) такого, что /' > 0. Будем обозначать положительный линейный функционал как А > 0 и множество положительных функционалов Л+(Х) = {А Є Ау(Х) : А > 0), где і = к,рв,гс, оо, будем называть положительным конусом А-¡(X).

Пусть А — линейный функционал на С(X) (или на С*(АЛ)) и А — подмножество пространства X, тогда зиррХ=А значит, что А имеет носитель А, то есть для любого / Є С(Х) (/ Є С*{X)) с условием = 0 выполняется, что А(/) = 0. Заметим, что в силу линейности А, равенство зиррХ- ,4 эквивалентно, что для любых /, д Є С(Х) (или /. д Є С*(Х)) с условием /|.4 = д\д выполняется, что А(/) = А(д).

Теорема 2.5.1. Для каждого X Є А,Т(.Х) существует С-компактное подмнооїсество А про стран ств а X такое, что зиррХ=А. Верно и обратное, если X полоэ/сительный линейный функционал на С(Х) с носителем, па некотором С-компактном подмножестве, тогда X Є л+да.

Напомним, что линейный функционал Л па пространстве С(Х) (или С*(А')) называется ограничены,м,, если для каждого д Є С(Х) (или С*(Х)) д > 0 существует М > 0 такое, что |А(/)| < М выполняется для всех / Є С(Х) (/ Є С*{Х)) при условии |/| < д. Ясно, что каждый положительный линейный функционал на С(Х) или на С*(Х) является ограниченным. Множество всех ограниченых линейных функционалов на С(Х) (па С*(Х)) обозначим как С(Х)~ (С'*(Х)~) и будем называть порядково ограниченным сопряженным к С(Х) (С*(Х)).

Теорема 2.5.3. Для любого пространства X,

1. АГС(Х) С С(Х)~,

2. Л00(Х) = С*(Х)~.

Далее определим естественную норму на, пространстве АГС.(Х) которая согласуется с решетчетой структурой, то есть ЛГГ(АЛ) будет рассматриваться как нормированная векторная решетка.

Напомним, что Ах(Х) — пространство всех непрерывных линейных функционалов па банаховом пространстве С^.(Х). Положим на пространстве Л00(Л') норму ||А||* = вир{|Л(/)| : / Є С'*(Х) и Ц/Ц^ < 1}. Заметим, что тогда (Л00(ЛГ), ||.||*) — банахова решетка.

Теорема 2.5.7. Для пространства, X следующие утверждения эквивалентны.

1. X — псевдокомпакт,.

2. сгсро = с;с(х) = с~х{х).

3. АГС(Х) = А00(Х).

4. (ЛГС(Х), ||.||*) ба,пахова решетка.

•5. (Л+(Х). (Ц) полное метрическое прост,ранет,во.

Теорема 2.5.8. Для пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Каждое замкнутое С-компактное подмиооїсество пространства

X являет,ся компактным.

2. СГ{Х) = СГГ(Х).

3. АС(Х) = АГГ{Х).

AJlгeбpy порожденную замкнутыми подмножествами пространства. X будем обозначать как Во*(Х), а порожденную <7-алгебру как Во(Х). Бо-релевским множеством называем элемент а-алгебры Во(Х).

Пусть М(X) — линейное пространство всех замкнуто регулярных а-аддитивпых борелевских мер определенных па Во(Х), М,.(Х) = {/і Є М(Х) : //, — компактно регулярна } и МГГ(Х) = {//, є М(X) : ц, имеет носитель на замкнутом С-компактном подмножестве пространства X}. Через 7\/+(X). М,+ (Х) и М+.(Х) обозначим подмножества положительных мер в пространствах М(Х), МС(Х) и МГС(Х) соответственно. Для /і Є М(Х) определим норму ||/7,¡1 = |/х|(Х). Пусть /л и ^ Є М(Х), определим /і < и. если /¿(у1) < и (Л) МЛ є Во(Х). Относите.ііьно этого порядка, пространство М(Х). обладающее полно вариационной нормой ||/х(|, нормированная решетка.

Следующий результат доказывается в работе Куиду |59|.

Теорема 2.5.10. Пусть X нормальное счетно комплктное пространство. тогда, отображение Р : (М(Х), ||.||) н-» (Л0С(Х), ||.||*); определенное как Р(/і)(/) = [х фдфі,, являет,ся изометрическим, решет,четы,м, изоморфизмом, М{Х) на, Ах,(Х). При этом изоморфизме, М+(Х) отождествляется с Л^(А').

Так как любое С-компактное подмножество нормального пространства является счётно компактным, то получаем следующую теорему.

Теорема 2.5.11. Пусть X — нормальное пространство, тогда отображение Р : (МГС(Х). ||.||) ь-» (Л„.(Х). ||.||*), определенное как -^(/А)(/) = /\- являет,ся изометрическим решетчетым изоморфизмом, МГГ(Х) на АГГ(Х). При этом изоморфизме, М*(Х) отооїсдествляется с Л+(Х).

Пусть МУ{Х) = е Мс(уХ) : существует С-ком пакт мое подмножество А пространства X такое, что |д|(г;Х \ с1УхА) = 0} и МУ(Х) = {¡л е Ми(Х) : д > 0}. Заметим, что МУ(Х) — линейное подпространство Мс(иХ). Следующий результат отождествляет пространство А4У(Х) с п ростран ст вом Лгс (X).

Теорема 2.5.13. Для любого пространства X, отображение Г : (МУ(Х),\\.\\) (ЛГС(Х), ||.|| + ) определенное как (/') = /А-является изометрическим решет,четым изоморфизмом МУ(Х) на АГС(Х). При этом изоморфизме, МУ(Х) от,ождест,вляет,ся с

Исследуем некоторые условия эквивалентные сепарабельности пространства ЛГГ(А^). Напомним, что норма ||.|| на пространстве МГС(Х) индуцирует метрику (I, где 4(11,, и) = ||//,— и\\ для //,. и Е МГС(Х). В частности (М+(Х), в) — метрическое пространство.

Теорема 2.5.14. Для пространства X. следующие условия эквивалентны.

1. — сепарибельпо.

2. (ЛГС(АА), ||.||*) — сепарабельно.

3. X счет,по.

4. (М^'Г(Х),Н) сепарабел/ьпо.

•5. (МГС(Х), ||.||) сепарабельно.

В третьей главе на множестве С(Х) рассматривается слабо множественно -открытая топология, изучаются ее топологические свойства и взаимоотношения с другими топологиями на множестве С(X).

В первом параграфе определяется слабо множественно-открытая топология на множестве С(Х) и изучаются её основные свойства.

Пусть Л — семейство подмножеств X, тогда слабо множественно-открытая топология определяется предбазой вида: [А, 17] = {/ е С(Х) :

Т) С и], где И 6 Л, а V — открытое подмножество числовой прямой. Соответствующее топологическое пространство будем обозначать сах).

Второй параграф третьей главы посвящен теореме о совпадении слабо множественно - открытой топологии и топологии равномерной сходимости; теорема является критерием для пространства С\>-(Х,У) быть паратопологической группой, топологической группой, топологическим векторным пространством.

Пусть дано семейство А — не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через А (В) — {/4 Е А : для любого ограниченного подмножества В пространства X такого, что В С А, множество [В, и] открыто в Сх*(Х, У) для любого открытого множества и пространства У}.

Очевидно, что для разных семейств А и ¡1. слабо А-открытая топология может совпадать со слабо /¿-открытой топологией т.е., С\*(Х, У) = С/Г(Х,У). Обозначим для фиксированного семейства А через Хт = (Л/7, : С1х*{Х.У) = С\*(Х,У)}. Семейство Хт является единственным максимальным семейством, порождающим слабо А-открытую топологию.

Теорема 3.2.1. Пусть А — п-сет/ь тихоновского пространства X и У — мстризуемое топологическое векторное пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны,:

1) Сх.(Х,У) = СХи(Х,У);

2) слабо Х-от,крыт,а,я, топология на С(Х,У) инва,риан,т,на, относительно сдвигов;

3) С\*(Х,У) парат,опологическая группа;

4) С х- {X .У) — т,опологическая группа;

•5) С\*(Х.У) — топологическое векторное пространство;

6) А состоит из ограниченных подмпоо/сеств и X = А (В)

7) Хт состоит из ограниченных, подмножеств и замкнуто относителъно подмножеств.

Более того, если У является топологической алгеброй, то

8) С\*(Х,У) — топологическая алгебра.

В третьем параграфе третьей главы исследуются кард и нал ь-нозначные характеристики пространства С\*(Х).

В этом параграфе семейство Л — наследственно замкнутая, ограниченная тг-сеть пространства X замкнутая относительно конечных объединений. Такое семейство Л будем называть насыщенным, а если |J А = X. то борнологией. Борнологию будем называть ограниченной (компактной). если все её элементы ограниченный (компактные) подмножества пространства X.

Напомним, что A-покрытием пространства X называется семейство подмножеств пространства X такое, что каждый элемент А содержится в некотором элементе этого семейства. Число A-Apenca пространства X определяется как Ха(Х) = и> + min{|£| : £ С А и £ — А-покрытие X}. Когда А состоит из компактных подмножеств пространства X. тогда A-покрытие называется ^-покрытием, и X называется хемикомпактом, если Aa(A") = и>. Если А является множеством всех конечных подмножеств пространства X, тогда A-покрытие называется w-покрытием, и в этом случаи Аа(Х') = \Х\.

Если х 6 А", семейство а непустых открытых подмножеств пространства X называется локальной 7г-базой в точке х, если для каждой окрестности U точки х, существует V Е а, которое содержтся в U. Определим 7Г-характер пространства X как 7гх(Х") = tu + sup{nx(X, л;) : х Е А"}, где тгх(Х,х) — тгп{\а\ : а — локальная 7г-база, в точке .г-}.

Следующая теорема даст характеризацию характера пространства С\*(Х). Так как для любой топологической группы, характер и тт-характер совпадаю']1, теорема характеризует 7г-характср пространства. Су(Х).

Теорема 3.3.8. Пусть А — насыщенное семейство пространства X. Тогда х(Сл-РО) = ъ(Сх-(Х)) = \а(Х).

В работе Н.В. Величко |83| ставится следующий вопрос (Вопрос 1). Существует ли внутренний (без привлечения ьХ) критерий для веса Сх,(Х) ?

Семейство 5 подмножеств пространства X называется /А-сетью, если для любого множества А е А и любой функциональной окрестности V множества А, существует множество В е 5 такое, что А с В с V. Тогда /А-сстсвой вес пространствах определяется как /Хпги(Х) = тлп{\6\ : 6 — /А-ссть на X}.

Определим fХги(Х) = тгп{\6\ : 5 С А — /А-сеть пространства X}.

Теорема 3.3.10. Пусть X - насыщенное семейство пространства

X.

Тогда /Агч(Х) = тах{/Хпт(Х). Ха(Х)}.

Следующая теорема даст внутреннюю характеристику веса пространства С\*(Х).

Теорема 3.3.11. Пусть X - насыщенн.ое семейство пространства

X.

Тогда ш(Сх-{X)) = тг'ш(С\,{Х)) = /А-ш(Х).

Отмстим несколько замечаний о числе Линделёфа. В Ср-тсории, существует формула Асанова 1{СР(Х)) > £*(Х). где Р(Х) = зир{Ь(Хп) : п е м} является супертеснотой пространства X.

Пусть А ограниченная борнология пространства X. Существует естественное уплотнение С'д«(X) на пространство Ср(Х). Число Линделёфа не возрастает при непрерывных отображениях: таким образом, получаем формулу 1(С\-(Х)) > 1(СР{Х)) > 1*{Х).

Н.В. Величко [83] была доказана следующая теорема.

Теорема 3.3.12. Пусть X ограниченная борнология пространства

1.1(С\(Х))>Г(Х).

2. Вес любого А Е X и. более того, вес АьХ не превосходит 1(С\*(Х)).

В частности, мы имеем следующие следствия этой теоремы.

Следствие 3.3.13. Если С\*(Х) липделёфовое пространство, тогда X имеет, сметную супертесноту и каждое А Е А, также как и замыкание в уХ. имеет счетную базу.

Следствие 3.3.14. Если Су(Х) линделёфово пространство и имеет счётный псевдохарактер, тогда X сепарабельпое пространство со счётной супертеснотой и счётным. Х-весом.

В самом деле, А-вес и супертеснота пространства X счетны так как С\*(Х) линделёфово пространство, и объединение некоторого счетного множества элементов А (каждое из которых сепарабельно) является плотным в X так как С\*(Х) имеет счётный пссвдохарактср.

В работе Н.В. Величко |83] ставится следующий вопрос (Вопрос 4).

Будут ли элементы семейства А компактными множествами в случаи уплотнения линделёфова пространства С\*(Х) на Ср(X)?

Следующая теорема отвечает' положительно на данный вопрос в случаи, если А — С-компактная борнология пространства X.

Теорема 3.3.15. Пусть X — С-компактная борнология пространства X и С'х'(Х) является лииделёфовым. Тогда X состоит из мет/ри-зуемых компактных подмножеств пространства X.

Теорема 3.3.19. Пусть X ограниченная борнология, прост,ранет,ва X и С\*{Х) имеет, счет,ный характер. Тогда С\*(Х) является лииделёфовым тогда и только тогда, когда, X являет,ся хемикомпактным Н[)-пространст.вом.

В общем случаи ответ на вопрос Н.В. Величко отрицательный. Е.А.Рсзпичснко был построен замечательный пример компакта Талагра-на X [15]. В этом компакте существует точка Ь Є X такая, что Л' — стоун-чеховская компактификация пространства У = Х\{Ь}. При этом У— псевдокомпакгное и не замкнутое в X.

Рассмотрим пространство У и семейство всех сепарабельных подмножеств У как семейство А. Получаем, что пространство С\*{У) является линделёфовым (по теореме С.П. Гулько [8|). но семейство А не является компактным.

Последняя четвертая глава относится к теории ¿'(незамкнутых и 5 (11) ■- н еу п л от н я е м ы х пространств.

Пусть V некоторое топологическое свойство, тогда "Р-просгранство называют "Р-псуплотпяемым, если оно пс имеет строго слабее топологию со свойством V. Далее через МІІ и МЯ будем обозначать урысоновскос неуплотпяемое и регулярно неуплотняемое пространства соответственно.

Определение 4.1.20. Множество А 0(п)-сходится к множеству В. если для любого 5'(п — 1)-покрыгия 7 = {иа} множества В существует конечное семейство \иаі}^=1 С 7 такое, что \А \ иа)\ < \А\.

Теорема 4.1.21. Для п Є N. Б (і і)-пространство X является 5"(?/-)-неуплотпяемым пространством. т,огда и тол/ько тогда, когда любое бесконечное .множество А С X 0(п)-сходится к м.ножест,ву В ево-их т.очек полного 0(п)-накопления, и если существует, точка х т,акая, что А не 0(іі)-сходится к X \ {.7;}. тогда, х точка, полного накопления для м,нож:ества А.

В работе Фредлера. Джироу, Петтей и Портера |45| ставится вопрос о характеристике Ми пространств. А именно, найти свойство <2 из которого не следует [/-замкнутості) при этом выполняется, что пространство [/-замкнуто и обладает свойством О, тогда и только тогда, когда оно Ми.

Следующая теорема отвечает на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портера.

Теорема 4.1.23. Урысоновское прост,ранет,во X М11 тогда и только тогда, когда X — и-зам,кнут,о, и если существует точка х такая, что бесконечное множество А не в(2)-сходится к множеству X \ {х}, тогда х — точка полного накопления для множества А.

Определение 4.1.28. Б(п)-прост,ранет,во X 8(п)РРС (Б(п)СЕС), если каждая непрерывная функция / на Б (и)-пространство У с условием. что f~l{y) конечно (компактно) для, любого у £ У являет, ся замкнут, ой фунтщей.

Теорема 4.1.29. Для п Е М, 8(п)-пространство X — 8(п)РРС (8(п)СРС ) тогда и только тогда, когда, X — ¿"(п)-замкнут,о. и если существует, конечное (компактное) множество С такое, что бесконечное множество А не в(п)-сходит,ся к множеству В \ С, т,огда, С являет,ся множеством полного накопления для множества А.

В работе Фредлера. Джироу. Петтей и Портера |45| ставится вопрос о характеристике МВ, пространств. А именно, найти свойство V из которого не следует Я-замкнутость и для которого выполняется: Я-замкнутое пространство имеет свойство V тогда и только тогда., когда пространство МВ,.

Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема 4.1.34. Регулярное пространство X — М В пространство тогда и только тогда, когда, X — В-зам,киут,о, и если существует точка х Е В такая, чт,о бесконечное мноэюеетво А не в (со)- сходится к X \ {х-}, тогда х точка полного накопления множества А.

Второй параграф четвертой главы посвящен решению проблемы Портера и Дикмапа о произведении С^С-простраиств.

В 1984 году Р.Ф. Дикманом и Д.Р. Портером [39] был предложен слсдующий вопрос: будет, ли произведение С ГС-пространств являться СРС - пространством?

Введем новый класс пространств, который будет некоторым расширением класса неуплотняемых пространств.

Определение 4.2.5. Отображение / : X —> У будем называть Ст-отображением, если полный прообраз любой точки компактное подмножество мощности меньше т.

При т = 2 получаем уплотнение, при г — ю — конечно-кратное отображение и при т таком, что |Х| < т, получаем компактное отображение.

Определение 4.2.6. Пространство X будем называть Ст-фупкциопадьпо-компактпым (СТРС) пространством, если всякое Ст- отображение /' : А' —> У является замкнутым отображением.

При т = 2 получаем неуплотняемое пространство, при т = и — РРС-пространство и при т таком, что |Х| < т. получаем СТО'- пространство.

Определение 4.2.7. Пространство X будем называть Ст- полурегулярным, если для любого компактного подмножества К С X такого, что \К\ < г и любой окрестности О (К) найдется канонически открытая окрестность У{К) множества А такая, что К С У(К) С О (К).

При т = 2 получаем полурегулярность пространства X.

Теорема 4.2.8. Следующие условия эквивалентны:

1. X СТРС пространство;

2. X Н-замкнутое и СТ-полурегулярное пространство.

Следующая теорема отвечает положительно на вопрос Портера и Дикмана.

Теорема 4.2.9. Для т,ого: чтобы тихоновское произведение X =

РЗ Хп было СТ РС- пространством. "необходимо и достаточно, чтобы, аеА каждое Ха было СТРС- пространством.

Основные определения

Если X и У — два топологических пространства, то запись X ^ У (X > У, X = У) означает, что X и У совпадают как множества и топология на X сильнее или равна (строго сильнее, равна) топологии на У. Символы Е и N обозначают ¡множества вещественных и натуральных чисел соответственно; через обозначается счётная степень пространства М. Функцию, тождественно равную нулю, будем обозначать через /о. Нульмножеством называется множество, имеющее вид /1(0) для некоторой функции / е С(Х). Ко-пуль множеством (или функционально открытым) называется дополнение до нуль-множества. Покрытие называется функционально открытым, если оно состоит из функционально открытых множеств. Если X — топологическое пространство, а С С С(Х), то подмножество А С X называют С-ограниченным при условии, что /(А) — ограниченное подмножество из К для любой функции / 6 С. Если множество А является С-ограниченным при С = С(X), то А называют ограниченным на X. Пространство X называют /¿-пространством (иногда гиперизокомпакным или пространством Нахбина-Широта), если каждое замкнутое ограниченное множество является компактом. Замыкание множества А будем обозначать через А, символом 0 обозначаем пустое множество. Если А С X и / 6 С{Х). то через обозначаем сужение функции / на множество А. Как обычно, /(Л) и /-1(Л) — это соответственно образ и полный прообраз множества А при отображении /. Остальные обозначения можно найти в [17].

1. Александров П.С., Урысон П.С. — Мемуар о компактных топологических пространствах,- М.: Наука, 1971.-144 с.

2. Альперип М.И. — Вложение пространств функций. — Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1994г.

3. Архангельский А. В. — Топологические пространства функций. — М.: Мир, 1986.

4. Архангельский A.B. — Пространства отображений и кольца непреывных функций. — Итоги науки и техники, фундаментальные направления, т.51, с.81—172.

5. Асаиов М. О. — Пространство непрерывных отображений. — Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Свердловск, 1980.

6. Величко, Н.В. — Н-замкнугые топологические прострасгва. — Матсм.сб,- 1966,- Т.70 С. 98-112.

7. Грызлов, A.A. — Н-замкнуллде пространства и свойства тина компактности. Дне. . канд.физ.-мат.наук Свердловск: 1973.-70 с.

8. Гулько С.П. — О свойствах некоторых функциональных пространств. — Док. РАН, (1978), с. 1420-1424.9| Киртадзе, Г. — О различных вилах полноты люпологических пространств. Матсм.сб. 1960. - Т.50. - С.67-90.

9. Куратовский К. — Топология. — М.:Мир., Том 1, (19G6), с.594.

10. Нохрин С.Э. — Некоторые свойства множественно-открытых топологий — Современная математика и её приложения. 2004. Т. 10. С.1-30.

11. Нохрин С.Э. — Пространство непрерывных функций в множественно-открытых топологиях. — Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.п., Екатеринбург, 1997.

12. Нохрин С.Э., Осипов A.B. — К вопросу о совпадении множественно-открытой и равномерной топологий — Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 2. С. 177-184.

13. Осипов A.B. — Слабо множественно-открытая топология. — Тр. Инта математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, .N'a 2. С. 177-184.

14. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. — Positive operators — Academic Press, Orlando -1985.

15. Arcns R. — A topology of spaces of transformations. — Annals of Math., 1946, v.47. p.480 495.

16. Arhangel'skii A.V. Tkachenko M. — Topological group and related structures. — Ser.: Atlantis Stud. Math. Vol. 1. Paris: Atlantis Press, 2008. 800 p.

17. Arzela G . — Funzioni di lmee. — Atti della Reale Accademia dei Lincei, R.endiconti v.5. 1989, p.342 348.25| Ascoli G . — Le curve lirnite di una varieta, data di curve. — Mem. Accad. Lincei, 1883, v.(3)18, p.521 586.

18. Aull C.E. — Sequences in topological spaces — Prace Mat. 1968. Vol. 11. 329-336.

19. Aull C.E. On C- and C'*-embeddirigs - Indag. Math. 1975. Vol. 37. P. 26-33.

20. Aull C.E. — Absolute C-embedding in functionally normal spaces and related spaces — Topology. Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. Vol. 23. Amsterdam: New York: North-Holland, 1980. P. 129136.

21. Boni M P, Soigcnhoy RH— Minimal icgulai ьрасеь — Pioc Amoi Math Soc 14 (1963) 454-458

22. Blai R L Douwcn E К van — Neaily lealoompact ьрасеь — Topology Appl 1992 Vol 47, no 3 P 209-221

23. Buhagiai D Yoshioka I — Sieves and с oinpleteiiess piopeitieb Quebtiorib Anbwcib Gen Topology 2000 no 18 P 143-162

24. Conciho A D , Namipally S — Pioxmial Set-Open Topologicb — Bollettino U M I (8) 1-B, (2000) pp 173-191

25. Chevallcy С , Funk О — Biconipactncbb of Caitobian pioductb — Bull Amer Math Soc v 47 (1941) pp 612-614

26. Davib S W — A nibhionmg-type weak covenng piopertv — Pacific J Math ] 979 Vol 80 no 2 P 359-370

27. Dickman R F Poitei J R — Between minimal Haubdoifî and compact Haubdorff ьрасеь — Topology Procecdmgb 1984, Vol 9 pp 243-268

28. Dikl an] an D — 5'(г?)-6'-с1оьсс1 ьрассь — Topology and its application 28 1988 - P 59-74

29. Eclund AD— The fine topology and othei topologies on C( X Y) — DibbCitation Vngmia Pohtehmc Institute and State Univcibity Blackbbuig Vngmia 1978

30. Ebt W T van FieudcnthalH — Tiemiung duic h btetigc Funktionen m topologibfhcn R Räumen — Nedcil Akad Wctciibch Pioc Sei Indag Math 13 (1951), 359-368

31. Fox RH— On topologieb foi function bpaccb — Bull Aniei Math Soc 1945 Vol 51 P 429-432

32. Fiechct M — Sui quelques pomtb du calcul functionnel — Rend del Cue Mat di Paleimo 1906 p 1 74

33. Fnedlci L M , Gnou M Pcttey D H and Poitci I R — A buivey of R- U- and G'W-clobcd bpaceb — Topology pioceedmgb (1992) Vol 17 71-96

34. Fnedlci LM Poitci JR — Compactlv functionally compact bpaces -Houbton Journal of mathematics v 22 JV° 4, (1996) pp 775-78547| Fiolik Z — Generalizations of compact and Lmdelof spaceb — Czech Math J 1959 Vol 9 no 2 P 172-217

35. Fiolik Z — Gcneiah/atioiib of the GVpiopcity of complete nietnc bpaceb Czech Math J 1960 no 10 P 359-379

36. Gillman L Jeiibon M — Rmgb of contmuoub functioiib — The Umveibity Senes m Highei Mathematics Pimceton New Teibey D Van Nobtiand Co Inc 1960 300 p

37. GiuenhageG —Gcneiahzed nietnc bpaceb —Handbook of bct-theoietic topology Edb K Kunen J E Vaughan Noith-Holland 1984 P 423 501

38. Hadamaid J — Sui ceitanicb applications possibles dc la theone deb enbcmbles — Vcihandle Eabtem lutein Math Kongiobb B G Teubnei Leipzig 189852| Hoiilieh H — TVAbgeschlossonhoit unci TrMinnnahtat Math Z 88 -1965 P 285-294

39. Heindnde/ S Sanclns M Tkacenko VI — Bounded sets in spaces and topological gioups — Topology and itb Applicationb 2000 Vol 101 P 21-43

40. Ibmail M Nyikob P On spaces in which tountably compact betb aic clobcd and hcicditaiy propei tics — Topology Appl 1980 Vol 11 no 3 P 281-292

41. Jackson I R — Spaces of mappmgb on topological pioductb with appliances to homotopy th( oiy —Pioc Auk i Math Soc 1952, v 3, p 327 — 333

42. Jiang S — Some piopeities of S(ri) — 0—i losed spac cs — Topology and its Applications 96- 1999- P 23-29

43. Kelley J L — Geneial topology — Van Nostiand New Yoik 195558| Kukoiian N — A note conceiinng the hue topology on function spaces- Composito Math 1969 v 21 p 343 348

44. Kundu S — Spaces of continuous lincai functional something old and something new — Topology Pioccedmgs (1989), № 14(1) P 113-129

45. Kundu S Gaig P — Count ability piopeities of the psouciocompact-open topology on C(X) A comparative study — Rend Istit Mat Umv Tnestc Vol 39 2007 P 421-444

46. Kundu S Ralia A B — The bounded-open topologj and its lelativesRend Istit Mat Um\ Tneste 1995 Vol 27 no 1-2 P 61-77 (1996)

47. McCoy R A — The topology on function spaces Intern J Math and Math Sci 1986 \9 p 417-424

48. McCoy R.A. — Countability properties of function spaces. — Rocky Mountain J. Math. 1980. Vol. 10, no. 4. P. 717-730.

49. Michael E. — Partition-complete spaces are preserved by tri-quotient, maps. Topology Appl. 1992 no. 44. P. 235-240.

50. Michael E. tVspaces. — -T- Math. Mech. 1966. Vol. 15. P. 983-1002.

51. Morita K. — Products of normal spaces with metric spaces. — Math. Ann. 1964. Vol. 154. P. 365-382.

52. Morita K. — Note of mapping spaces. — Proc. Japon Acad., 1956, v.32, p.671 675.

53. Noble, N. — The densite character of function spaces. Proc. Amor. Math. Soc. 42:1, 1974, p.228-233.

54. Osipov, A.V. — An example of the nonfeebly compact product of U-6-closcd spaces. Proc. Steklov Inst. Math. 2001. suppl.2 P. S186-S188.

55. Osipov, A.V. — Different kinds of closedness in S(?i)-spaces. Proc. Steklov Inst. Math. 2003. suppl.l.- P. S155-S160.

56. Oxtoby J.C. — Cartesian products of Baire spaces. — Fund. Math. 1961. no. 49. P. 157-166.

57. Porter J.R. — Almost 77-closed. — Topology Proceedings, (2011), Vol 38, 301-308.

58. Porter J.R., Votaw C. — 5'(o;)-Spaces and Regular Hausdorff Extensions- Pacific J. Math., (1973), Vol. 45, 327-345.

59. Taylor A.E., Lay D.C. — Introduction to functional analysis. — 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1980. 244 p.

60. Todd A.R. — Pseudocompact sets, absolutely Warner bounded sets and continuous function spaces. — Arch. Math. (Basel) 1991. Vol. 56, no. 5. P. 474-481.

61. Osipov А.V., "Weakly //-closed spaces". Proc. Steklov Inst. Math., 2004, suppl. 1., pp. 15-17.

62. Osipov A.V., "Nearly //-closed spaces". Journal of Mathematical Sciences, 2008. T. 155, № 4, pp. 624-631.

63. Осипов А.В., Нохрип С.Э. "К вопросу о совпадении множественно-открытой и равномерной топологий". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2009, Т. 15, № 2, с. 177-184.

64. Осипов А.В., "Слабо мпожссгвсппо-открытая топология". Тр. Инта математики и механики УрО РАН. 2010, Т. 16, № 2, с. 167-176.

65. Osipov А.V., "The Set-Open topology". Topology Proceedings, 2011. № 37, P. 181-204.

66. Осипов А.В., "Свойства С'-компактно-открытой топологии на пространстве функций". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2011, Т. 17, № 4, с. 258-277.

67. Осипов А.В., Косолобов А.В., "О секвенциально-компактно-открытой топологии". Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Ком пьют, науки, 2011, № 3, с. 75-84.

68. Osipov А. V. "Topological-algebraic properties of function spaccs with set-open topologies". Topology arrd its Applications. 2012, № 159, issue 3, P. 800-805.

69. Осипов А.В., "Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений". Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012, Т. 17, № 1., с. 47-53.

70. Осипов А.В., "О свойствах типа полноты С-компактно-открытой топологии наС(Х)". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012, Т. 18, № 2., с. 191-199.

71. Осипов А.В., "Сопряженное пространство к Сгс(Х)". Вести. Уд-муртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки, 2012, № 1, с. 41-49.

72. Осипов А.В., "Р-замкнутые и Р-неуплотняемые прстранства, часть 2". ТюмГУ, Сборник научных трудов. Математический и прикладной анализ, 2008, с.114-136.

73. Осипов А.В., "Множественно-открытая топология". Труды 39-той Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2008. с.43-47.

74. Осипов А.В., Нохрин С.Э. "М-компактные множества и их свойетва". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.54-59.

75. Осипов А.В., Нохрин С.Э., "Совпадение А-открытой и А топологий". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.бЗ-GG.

76. Осипов А.В., "Мультипликативность компактно функционально-компактных пространств". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики 2009, стр.59-63.

77. Osipov А.V., "Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Brno. Czech Republic. 2009,p.15.

78. Осипов А.В., "Слабо-мпожествеппо-открытая топология". Труды 41-ой Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики Екатеринбург, 2010, с. 58-69.

79. Osipov А.V., "Weakly Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Nafpaktos, Greece, 2010, p.75.

80. Осипов А.В., "Регулярность мпожественно-отркрытой топологии". Тезисы всероссийской конференции "Современные проблемы математики 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция, 2011, с.271-272.

81. Osipov А.V., "Group of isometrics and groups of homcomorphisms" Тезисы Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-лстию со дня рождения А.И. Старостина, с.186-189.