Инъективные булевы пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА II СВОЙСТВА ИНЪЕКТИВНЫХ БУЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОПЕРАЦИЙ НАД НИМИ

§ I.I. Различные определения класса инъективных булевых пространств

§ 1.2. Операции над инъективными булевыми пространствами

§ 1.3. Представление инъективных булевых пространств в виде пределов непрерывных спектров с открытыми проекциями

ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ИНЪЕКТИВНЫХ БУЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ И

ИХ ОТОБРАЖЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ.

§ 2.1. Открытые отображения инъективных булевых пространств

§ 2.2, Продолжения и неприводимые отображения инъективных булевых пространств

§ 2.3. Об одном варианте спектральной теоремы Щепина для однородных инъективных булевых пространств

Класс инъективных булевых пространств является одним из наиболее хорошо: изученных классов топологических пространств. Определение булевых пространств как вполне несвязных бикомпактов восходит к М. Стоуну, доказавшему в 1936 году [28J классическую теорему о топологическом представлении булевых алгебр, именно: для кавдой булевой алгебры 60- существует единственное с точностью до гомеоморфизма вполне несвязное бикомпактное хаусдорфо-во пространство X. такое, что поле всех его открыто-замкнутых подмножеств изоморфно булевой алгебре М- . Инъективные булевы пространства были определены П. Халмошем в 1961 году [31*] как такие булевы пространства Y » что каждое непрерывное отображение из некоторого подпространства в У может быть продолжено до непрерывного; отображения со всего булева пространства в V . Таким образом класс инъективных булевых пространств, обозначаемый далее через , есть в точности класс инъективных объектов в категории булевых пространств с непрерывными отображениями в качестве морфизмов. П. Халмош показал, что класс С? замкнут относительно тихоновского произведения и конечной топологической :суммы. Заметим, что ряд результатов, важных для изучения класса С/ , был получен раньше. Так в 1928 году В. Серпинский [24J доказал теорему о том, что всякое непустое замкнутое подмножество Р"1 нульмерного метрического пространства есть его ретракт, из которой следует инъективность каждого булевш пространства со счётной базой. Р. Сикорский в 1951 году [25J, изучая гомоморфизмы полей множеств, фактически показал, что класс С/ совпадает с классом Г-образов ^D . Решая проблемы П. Халмоша, Р. Знгелькинг [39^ доказал, что не всякий диа-дический нульмерный бикомпакт принадлежит классу , а С. Коппельберг [i^f] установила, что не всякое пространство из класса С/ может быть получено из нульмерных компактов С мет-ризуемых бикомпактов ) с помощью операций тихоновского произведения, конечной топологической суммы и одноточечной компак-тификации счётной топологической суммы. Далее В.В. Пашенков [19] показал, что не всякий диадический нульмерный топологически однородный бикомпакт принадлежит классу С/ . Таким образом класс с одной стороны содержит объекты, не получаемые из нульмерных компактов с помощью основных топологических операций, с другой стороны объекты класса 0 должны иметь определённую внутреннюю структуру, близкую к структуре произведений компактов. Это в полной мере выявили работы Р. Хейдона [зз] 1л Е.В. Ще-пина [37] , в которых изучение пространств Дугунджи основано на специальном спектральном представлении. Из результатов Р. Хейдона следует совпадение класса 'З с классом нульмерных пространств Дугунджи. Е.В. Щепин доказал важную теорему о том, что всякое однородное по характеру нульмерное пространство ДуV гунджи! гомеоморфно 3) , решил проблему А. Пелчинского [*2о] , показав несовпадение классов нульмерных пространств Дугунджи и Милютина.

Целью настоящей работы является дальнейшее изучение инъектив-ных булевых пространств, их отображений и операций над ними.При этом большее внимание уделяется исследованию пространств несчётного веса, поскольку случай счётного веса подробно изучен в работах А. Мостовского [l7] , П. Пирса [2lJ , Кетонена [d] и других авторов.

В работе используются методы тео;рии обратных спектров, а также методы теории диадических бикомпактов и метод булевых алгебр.

В настоящей работе показана замкнутость класса инъективных булевых пространств относительно некоторых операций, найдена простая спектральная характеристика инъективных булевых пространств. Доказывается существование открытой ретракции \) на любое подпространство Дугунджи, что подтверждает одну гипотезу Б.А. Ефимова. Дано обобщение конструкции В.В. Пашенкова продолжения бикомпактов, как следствие получено решение его задачи о продолжении канторова множества. Исследуется вариант спектральной теоремы EJ3. Щепина в сингулярном случае для однородных инъективных булевых пространств.

Диссертационная работа имеет теоретический характер. Её реi зультаты могут быть применены при изучении булевых пространств, i их отображений, а также в теории булевых алгебр и её применениях к другим областям математики.

Перейдём к краткому изложению содержания диссертации.

Параграф I.I. носит вспомогательный характер, в нём рассматриваются различные подходы к классу С/ , что позволяет в дальнейшем использовать наиболее удобное для конкретного случая определение инъективных булевых пространств.

Предложение 1.7. Для каждого булева пространства Y эквивалентны следующие условия:

1) ■ Y - инъективно;

2) : Y есть Г-образ канторова диконтинуума Т) веса Т ;

3) I Y есть Б классе булевых пространств;

4) Y есть AE(oU0j-пространство;

5) ! Y есть пространство Дугунджи.

Эквивалентность условий 1-3 была доказана П. Халмошем [32] на языке булевых алгебр. В работе дано число топологическое доказательство, основанное на возможности представления любого непрерывного отображения J-: X"—»]) в виде диагонального произведения непрерывных отображений пространства Б простое двоеточие. Эквивалентность условий 5 и Ч была доказана Р. Хейдоном [зз] ; эквивалентность условий I и 4 в классе булевых пространств очевидна.

В параграфе 1.2. изучается вопрос: относительно каких топологических операций замкнут класс инъективных булевых пространств? П. Халмошем[з2] было доказано, что класс замкнут относительно; операций конечной топологической суммы и тихоновского произведения любого семейства пространств, из чего следовало, что топологическая сумма конечного числа булевых пространств, каждое -из которых есть произведение нульмерных компактов, является инъективным булевым пространством. Естественно возникла проблема: всякое ли пространство из класса CJ представимо в таком виде? Отрицательный ответ был дан С. Коппельберг [т] , одновременно доказавшей замкнутость класса С7 относительно операции одноточечной бикомпактификации счётной топологической суммы. После анализа примера С. Коппельберг была доказана следующая теорема.

Теорема I.I. Пусть пространство X является пределом непрерывного спектра yj^ ~£Х0L } oL<p<^~t удовлетворяющего следующим условиям:

D Xi. есть инъективное булево пространство;

2) для каждого < .Я отображение ; —^ЗСы есть проекция локально тривиального расслоения, все слои которого являются инъективными булевыми пространствами.

Тогда X также является инъективным булевым пространством.

Б.А. Ефимов [7] и Р. Энгелькинг [зэ] первыми привели примеры нульмерных диадических бикомпактов, не принадлежащих классу ^J , что явилось решением ещё одной проблемы П. Халмоша [3lj ; Обобщая эти примеры, обозначим символом XVpX Фак-торпространство, полученное из суммы Х4 ©Хг пУтём попарного отождествления соответствующих точек F\ ф f~\ , где р некоторое непустое замкнутое подмножество, пространства X

Теорема 1.2. Пусть . Тогда в том и только в том случае, если % (р*,Х ) ^ •

Теорема 1.2. является ответом на один вопрос Б.А. Ефимова. В параграфе 1.3. решается естественно возникающая задача о нахождении операций, которые позволяют отправляясь от нульмерных компактов получать любое пространство X . Такова операция взятия предела непрерывного спектра, проекции которого есть локально тривиальные расслоения. Заметим, что эта операция является обобщением операций тихоновского произведения, конечной топологической суммы и одноточечной бикомпактификации счётной топологической суммы»

Хорошо известно, что всякий бикомпакт X веса X. можно представить в виде предела непрерывного спектра из бикомпактов меньшего веса. Р. Хейдон [зз"] доказал, что всякое пространство Дугунджи можно представить в виде предела непрерывного спектра oi+i из бикомпактов меньшего веса, в котором все проекции открыты и обладают метризуемыми ядрами. Ограничивая далее класс пространств Дугунджи до нульмерных пространств, представляем произвольное нульмерное пространство: Дугунджи в виде предела непрерывного спектра ещё более специального вида.

Определение 1.8. Открытое отображение ^ бикомпакта X на бикомпакт Y называется заданным ot-отображением, если гомео-такото счётно где обозначает проекцию

Теорема 1.3. Всякое нульмерное пространство Дугунджи А. веса 'С можно представить в виде предела непрерывного спектра длиной f , удовлетворяющего условиям:

1) 3Ci есть нульмерный компакт;

2) для каждого U<V отображение р<< есть заданное d -отображение.

Лемма 1.5. Всякое заданное о( -отображение ^ rX""* Y морфно сквозной проекции ро го обратного спектра Sx. » чт0 Б все соседние проекции n+i р ъ | есть проекции локально тривиальных расслоений.

Теорема 1.4. Всякое инъективное булево пространство ЗС веса Ъ можно представить в виде предела непрерывного спектра длиной f , удовлетворяющего условиям:

1) есть нульмерный компакт;

2) для каждого cL< ~ отображение р°с есть проекция локально тривиального расслоения, все слои которого являются нульмерными компактами.

Перейдём к изложению содержания второй главы. Параграф 2.1. начинается со следующей теоремы, являющейся усилением теоремы В. Серпинского для компактного случая.

Теорема 2.1. Для любого замкнутого непустого подмножества Р пространства 7) существует открытая ретракция Г : D

Следующее утверждение было высказано Б.А. Ефимовым в качестве гипотезы.

Теорема 2.2. Пусть , где f - произвольный бесконечный кардинал и "X - инъективное булево пространство. Тогда существует открытая ретракция

Теорема 2.2. доказывается с помощью теоремы I.3., теоремы 2.1. и некоторых лемм, среди которых наиболее важной является

Лемма 2.3. Пусть ""Y есть заданное ci -отображение нульмерных бикомпактов. Тогда существует открытая ретракция

Г: Y*;D такая, что Г - /И4^

Доказательство леммы проводится с помощью построения измельчающейся последовательности разбиений пространства YXD ° таких, что X хорошо лежит в каждом элементе каждого разбиения.

Определение 2.1. Пусть Vc Y , l/cX,AcY*X. Говорим, что множество Н хорошо лежит в , если рП. [ Д Л (VЛ/)"} есть V или Ф .

Теорема 2.3. является частичным решением поставленной Б.А. Ефимовым задачи нахождения условий, при которых, существует открытое отображение нульмерного бикомпакта X на 1) веса X

Теорема 2.3. Пусть Тогда существует открытое отображение X на •

Основным результатом параграфа 2.2. является решение задачи З.В. Пашенкова [191 о продолжении канторова множества. о-чО/о

Теорема 2.4. Продолжение канторова множества \J гомео

- ("ТчС. nUJe морфно пространству JJ веса С = С

Из!теоремы 2.4. следует, что существует в точности двукратное неприводимое отображение пространства D на себя. Этот результат обобщает

Теорема 2.5. Для любого нульмерного компакта /С существует с на такое непрерывное неприводимое отображение пространства *J) себя, при котором полный прообраз любой точки гомеоморфен 1С . Следствие 2.2. Для любого нульмерного компакта 1С и лю

0J о существует непрерывное неприводимое отображение пространства D на себя, при котором полный прообраз; любой точки гомеоморфен К- ,

В ;параграфе 2.3. исследуется вариант спектральной теоремы Е.В.Щепина [зч] в сингулярном случае для однородных инъективных булевых пространств, показано что наличие изоморфных конфиналь-ных подспектров зависит от того, каковы проекции рассматриваемых спектров.

Определение 2.2. Непрерывный спектр У Л < р < -А называется правильным:, если = JC »

VTjC=r , cf(rJ = Jl , VXXdi < Ъ для каждого ouA, Заметим, что если c/ff) = > OJo , то правильный спектр становится регулярным.

Пример 2.1. Существуют правильные спектры ^ и ^ , предельные пространства которых гомеоморфны пространству JJ ; элементы спектров есть канторовы дисконтинуумы, проекции спектров открыты, однако спектры S± и Лг не содержат конфиналь-ные изоморфные подспектры.

Теорема 2.6. Пусть f есть такой кардинал, что. Тогда любые два представления пространства D в виде предела правильного спектра, проекции которого есть естественные проекции произведений на подпроизведения, содержат конфинальные изоморфные подспектры.

Далее дано независимое и простое доказательство теоремы, двойственной к спектральной теореме Е.В. Щепина, применённой в категории нульмерных бикомпактов.

Теорема 2.7. Если изоморфные булевы алгебры Л и 3k несчётной регулярной мощности представлены в виде объединений непрерывных цепей своих подалгебр меньшей мощности, то указанные цепи имеют изоморфные конфинальные подцепи.

Параграф завершается построением некоторых примеров. В частности, | пример 2.4. показывает, что в сингулярном случае с одной стороны может не иметь место факторизационная лемма, играющая важную! роль при доказательстве спектральной теоремы для регулярных спектров, а с другой стороны предел отображения конфинальных. подспектров может быть отличен от исходного гомеоморфизма пределов спектров, что имеет место в регулярном случае, j

Кроме основного текста, диссертация содержит два приложения. В приложении- А делаются соответствующие выводы для двойственной категории булевых алгебр. Сначала вводятся понятия правильного гомоморфизма, d -мономорфизма, тривиального мономорфизма и почти тривиального мономорфизма, которые соответствуют понятиям открытого отображения, d -отображения, тривиального расслоения и локально тривиального расслоения.

Предложение A.I. Если - проективная булева алгебра, то для каждого эпиморфизма fсвободной булевой алгебры на булеву алгебру 3 существует правильный мономорфизм; 5 ; такой, что / ^ = id ^ .

Предложение А.2. Пусть Л- есть проективная булева алгебра, причём характер каждого ультрафильтра ^ Т , тогда в можно правильно вложить свободную булеву алгебру с 'сГ независимыми образующими.

Предложение А.4. Каждая проективная булева алгебра мощности х является объединением непрерывной цепи {.fy^^t своих ;подалгебр меньшей мощности, удовлетворяющей условиям:

1) есть счётная булева алгебра;

2) для каждого J.<rC мономорфизм ^^ ; —vfyj+i является почти тривиальным;, все дополнительные косомножители которого есть счётные булевы алгебры.

Вi приложении В исследуются булевы пространства: с некоторыми дополнительными алгебраическими структурами с целью выявления среди них инъективных пространств. Например, из известной теоремы В.И. Кузьминова [l~fj о том, что пространство всякой нульмерной бикомпактной топологической группы гомеоморфно "J) , следует, что пересечение класса булевых пространств с классом бикомкактных. топологических групп содержится в классе .

В теории булевых алгебр важную роль играют различные топологии, которые достаточно разумно согласованы с упорядочением. В [^з] был введён; класс Т[1Ф] -топологий, задаваемых, на булевых алгебрах в терминах идеалов и фильтров.

Теорема В.1. Tfl'D] -топология сильнее интервальном топологии в том и только в том случае, если ТИФ! "топология' хаусдорфова.

Теорема В.2. Булева алгебра образует топологическую

Т[ГФ]. группу относительно операции симметрическои разности и топологии тогда и только тогда, когда D = I » то есть -топология является автотопологией. Наконец, даётся частичный ответ на вопрос, какой о пересечение класса булевых пространств с классом

ТОО)] -топологий на булевых алгебрах.

Следствие B.I. Инъективная

7TI-D] -топология может быть задана только на полной атомной булевой алгебре , при этом достаточным условием инъективности ТИФ] -топологии является её совпадение с автотопологией.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному рукоI водителю S.A. Ефимову за постановку многих, задач и постоянную помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1. Луценко А.Г. О ретрактах Т) . - Тезисы 4 -го Тирасполь-ского симпозиума по общей топологии и её приложениям. - Кишинев.: Штиница, 1979. - 184 с.

СТ\

2. Луценко А.Г. О ретрактах JJ . - Мат. заметки, 1982, т.31, № 3, с. 433 - 442.

3. Луценко А.Г. О представлении свободных булевых алгебр в виде объединения цепей своих подалгебр. - Тула, 1983. - 9 с.-Рукопись представлена Тульским гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 22 марта 1983, № 1426-83 Деп. /Ш Мат. 7 А 48, 1983 /. Б.у. "Деп. рук.", 1983, № 7, б/о 383.

4.: Луценко А.Г. Некоторые вопросы топологии в булевых алгебрах. - Тула, 1983. - б с. - Рукопись представлена Тульским гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 31 мая 1983, № 2914-83 Деп. /РЖ Мат. 9 А 240, 1983 /. Б.у. "Деп.рук.", 1983, № 9, б/о 373.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Кардинальные числа отождествляются с начальными порядковыми числами, поэтому вместо Я^ часто применяется обозначение 6)^ , каждое порядковое число отождествляется с множеством меньших порядковых чисел. Под топологическим пространством, если не оговорено особо, подразумевается хаусдорфово бикомпактное пространство, все отображения пространств предполагаются непрерывными. Компактом называется метризуемый бикомпакт, булевым пространством -нульмерный бикомпакт. Вместо слов "булево пространство" и "булева алгебра" часто будем писать соответственно "б.п." и "б.а.".

Будут применяться следующие термины и обозначения: | Д1 -мощность множества J\ ; oi - мощность порядкового числа oL ;: cUr) - конфинальный характер порядкового числа с' ; OJ(tYl)-начальное порядковое число мощности Wl ; CcL-g - тождественное отображение множества X на X » ~ отображение подмножества А сХ в множество А , определяемое формулой! = X для каждого ОС £ А ; ^ / - суперпозиция отображений ^J^Y и ; Y—j ^flA ~ ограничение отображения /'X—?Y на подмножество. /А^Х- такое, что J- j А = £ г Oil £- сокращение отображения fOC->Y на ДсХ соответственно произведение и сумма семейства отображений Х^-^ Y-dfueA ^{j^'^/lj диагональное произведение семейства отображений £ ; X—* Yot ] и а А г jW /1 соответственно внутренность и замыкание множества /\ в пространстве ЗС * П{Хо<:и ~ соответственно тихоновское произведение и топологическая сумма семейства пространств t d'jlfc. ~ бикомпактификацш Александрова пространства X » З)^ канторов дисконтинуум веса f , то есть тихоновское произведение с экземпляров простого двоеточия, точка пространства 1) будет обозначаться через X =[xal}oU=/\ , где 0 или i , о/е/1 и А произвольное множество индексов мощности f ; - свободная булева алгебра, имеющая независимое множество образующих мощности - булева алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств топологического пространства - пространство Стоуна булевой алгебры Л ; С ОС) - банахова алгебра всех вещественнозначных функций на пространстве jC .

Термины и факты теории множеств и теории булевых алгебр в основном соответствуют принятым в [l2j и [26 , топологические термины и факты можно найти в [ij , £3, , [z^J > [30]; и [40] .

Остановимся более подробно на часто используемых поняi тиях и фактах теории обратных, спетров. Пусть задано сем.ейство-£ Y '—непрерывных отображений пространства

Y Б пространства спектра $ = , Р £ ] , oS ell , причём = Р* при любых aL <с f!> . Тогда существует единственное непрерывное отображение = j^U. : Y"~* S-X. называемое пределом семейства отображений такое, что ^fk ~ pal f- для любого € % . Отображением спектра Si = = {Хов спектр & fH} , de.ll называется семейство непрерывных отображений F = Jj-^ :Хи-?^J, таких, что CjsoC - J-4 pпри любых < p>

Для любого отображения существует единственное непрерывное отображение : (л-т ^ Sim. Si такое, что ^ £ ~ h р+ при любом U € К. . Спектр = ~{.Хк 7 3 > ol gH называется вполне упорядоченным, если множество его индексов есть множество всех порядковых чисел, меньших некоторого фиксированного начального порядкового числа 'f j , называемого длиной спектра. В этом случае спектр обозначается^ = {Xot , Р £ 3 , fi < X. . Если. = = {Х°i 7 Р*} - вполне упорядоченный спектр и у< X. , то через S/ будет обозначаться ограничение спектра на у то есть Sjjf ={ХоL,pl] .

Вполне упорядоченный спектр У = "{Xai 9 рЩ j , °L<p>< ~ , называется непрерывным, если отображение $ являющееся пределом семейства отображений гХ^-ОСл}oi<y> есть гомеоморфизм при любом предельном. ^ .

Нумерация определений и утверждений ( лемм., теорем и т.п. ) внутри глав и приложений является сквозной.

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. - M.s Наука, 1973. - 576 с.

2. Александров П.С., Федорчук В ЛЗ. Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии. УМН, 1978, т. 33,

3. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. - 424 с.

4. Борсук К. Теория ретраклюв. М.: Мир, 1971. - 292 с.

5. Дранипшиков A.Hi. О нульмерных прообразах пространств Дугунджи. Докл. АН СССР, 1980, т. 254, № I, с. 24 - 28.

6. Ефимов. Б.А. Диадические бикомпакты. Труды Моск. Мат. Общ», 1965, т. 14, с. 211 - 247.

7. Ефимов Б.А. Решение некоторых задач о диадических бикомпактах. Докл. АН СССР, 1969, т. 187, № I, с. 21 - 24.

8. Ефимов Б.А. Экстремально несвязные бикомпакты и абсолюты. -Труды Моск. Мат. Общ., 1970, т. 23, с. 235 276.

9. Ефимов Б.А. Отображения и вложения диадических пространств. Матем. сб., 1977, т. 103, № I, с. 52 - 68.

10. Кузьминов В.И. О гипотезе П.С. Александрова в теории топологических групп. Докл. АН СССР, 1959, т. 125, № 4,с. 727 730.

11. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. - т с.вып. 3, с. 3 48.

12. Kelorien, Tie siructut-e, o-f сourvia^tfioo&cm afyetfrqs.- Ann. Ы., i9?W ^i, р.4Ш

13. KoppeiSery, /Г. tame с Masses of profezlLvz BooteqnaM™- AWft. Am., 4973, v.ZOi, p. 2*3-3».15. koppetfety Booheori aiyeSnH ад untowj о/ cRctdhj of иШе^^.Ч^р.т-Щ.

14. Мардепшч С., Папич П. Диадические бикомпакты и непрерывные отображения упорядоченных, бикомпактов. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 3, с. 529 - 531.

15. Mosiomkc А. АёгаШ^г Mesc/le. Korper uW cfire ftnwevicLuYKftwi cwf dcz attymeihzMd^ikmdck.-FmlHdl, 1937,^9,^-53.

16. Пасынков Б.А. О размерности и геометрии отображений. -Докл. АН СССР, 1975, т. 221, № 3, с. 543 546.

17. Пашенков В.В. Продолжения бикомпактов. Докл. АН СССР, 1974, т. 214, )Ь I, с. 44 - 47.

18. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. М.: Мир, 1970, - 144 с.

19. PcerceP. Ejccs^ence anct цпссрцепек lHeoi~ems -for- exienicoas of zeroсСспепг сопя £ cotv\pac£ me^Kc s/jaces. ~ Twns. Amer. Malfr.Soc., £970^ YЛ/ii, р.Ш.

20. Рохлин. B.A., §укс Д.Б. Начальный курс топологии, М»: Наука, 1977. - 488 с.

21. SemcictenL Z. ProjQcicvUy, Lnjeo.-Civcly.W И02pwWy Maltmdyctne,24Wq : PWtf,M3.- кЧр.

22. Surpcnskc w. W Ы prvjzcicons das eajemie2; сompdemen-LaCres снлос li. -F«W. MalL, v И} Л 114-122.

23. Scl/orskc R. liomOmorpkums, Ynappinp and Kincfc.- P- 202-2H.I

24. Сикорский P. Булевы алгебры. M.: Мир, 1969. - 376 с.

25. Сирота С.М. О спектральном представлении пространств замкнутых подмножеств бикомпактов. Докл. АН, СССР, 1968, т. 181, № 5, с. 1069 - 1072.

26. М. Н. Ч1?е theory, of t~epresenlalions> -for бообесзк d^etfras. —Troms Амег I4qi(\. jSoc., p. W-Ui

27. Sione MM. Apphchitons 0/ Meory ofBoolean, io PineraC iopoPoay,—•Trans, Amer. M*tt. Soc.,i331, v.M, p.m-W.

28. Федорчук В.В. Произведения и спектры топологических пространств. М.: Из-во Моск. университета, Ч. I, 1979. -88 с. ; 4.2, 1980. - 94 с.

29. Na^mos Р. #. ^yec^tiTe аис( pwjedctfeBooIwyi а fyegw.- Ргос. Цтроь. Purt Hall,р.Ш-Ш.

30. Наётоя. P. R. Lzciuc-es ок Boofaan alcfedras.- 'Toronio Д/evx/ Уог/с - London,, 1963.

31. Налоги Й. On q ргоШт о/ PefayMki: Akiulin. spaces, Dugundji spices ctndДЕ (0-Jjim.l-ttutlun Пи^1Щ,г.52,Ш,р.гг-И.

32. Ио{{та.п В■ A SurjeclUTz cHaraciet-Czqlieno-f !3)ugunctj'C ;/)aces.- Ргос. Л mer. МеД. &>c.,

33. Шапиро Л.Б. О некоторых свойствах функторов экспоненциального типа. Тезисы 4 -го Тираспольского симпозиума по общей топологии и её приложениям. - Кишинев.: Штиница, 1979. - Ш с.

34. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и каппа-метризуемых бикомпактов. Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 5, с. 1073 - 1077.

35. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчётных обратных спектров. УМН, 1976, т. 31, вып. 5,, с. 191 - 226.

36. Щепин Е.В. Функторы и несчётные степени компактов. УМН, 198I, т. 36, вып. 3, с. 3 - 62.

37. R. Cqrie $>Сак pro clucks and dyadicspacer w-m.

38. Encje^kcnj /?. General Topodoyy.— Warszawa:

39. Биркгоф Г. Теория структур. М.: Изд. ин. лит., 1952.

40. Remok Р. $. /\uio-iopoioyLei Lyl ЗооЫап atyeeras.- J.Licfccm

41. Bectzer 4. TopotoyUs on BootwK aigetircts, ole^ned 6c/eafe aW Celiacs.—

42. Луценко А.Г. О ретрактах ±) . Тезисы 4 -го Тирасполь-ского симпозиума по общей топологии и её приложениям. -Кишинев.: Штиница, 1979. - 184 с.Т\ "о

43. Луценко А.Г. О ретрактах J) . Мат. заметки, 1982, т. 31, № 3, с. 433 - 442.

44. Луценко А.Г. О представлении свободных булевых алгебр в виде объединения цепей своих подалгебр. Тула, 1983. -9 с. - Рукопись представлена Тульским гос. пед. ин-том, Деп. в ВИНИТИ 22 марта 1983, № 1426-83 Деп. /РЖ Мат.

45. А 48, 1983 /. Б.у. "Деп.рук.", 1983, № 7, б/о 383.

46. Луценко А.Г. Некоторые вопросы топологии в булевых алгебрах. Тула, 1983. - 6 с. - Рукопись представлена Тульским гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 31 мая 1983, № 2914-83 Деп. / РЖ Мат. 9 А 240, 1983 /. Б.у. "Деп.рук.", 1983,№ 9,б/о 373.