Теоретико-модельные методы в теории колец и модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

V- >

С • 1

Г'"--

сг;

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.55+512.55.0

ПУНИНСКИЙ Геннадий Евгеньевич

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОЛЕЦ И МОДУЛЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена и Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических на\к. профессор Генералов А. И. доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев A.A. доктор физико-математических наук, профессор Ткжавкин Д. В.

Ведущая организация — Институт математики Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится " ^^ (¿Ь-Я-Ь/") (и^-р |д()б года в 16— часов на заседании диссертационного (,'овета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899 ГСП. Москва, Воробьевы горы, МГУ. механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание. 14 этаж)

Автореферат разослан К: suitfctfi _ 199J? года

Ученый секретарь диссертационного

Совета Д.053.05.0.5 при МГУ ,

доктор физико-математических наук, профессор В. П. Чуба

ариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Задача классификации чисто-инъективных (в другой терминологии — алгебраически компактных) модулей является классической и восходит к работе Капланского в которой он описал алгебраически компактные абелевы группы. Этот результат определил устойчивый интерес, к проблеме исследования свойства алгебраической компактности для модулей. Тем не менее довольно долго он оставался обособленным в рамках теории абе-левых групп п не имел развития в общей теории модулей.

Положение существенно изменилось, когда одновременно появились книга А. П. Мишиной и Л. А. Окорнякова2, где развивался гомологический подход к исследованию тесно связанного с алгебраической компактностью понятия чистоты в категории модулей, и статья Уорфилда 3, в которой было дано определение алгебраически компактного модуля над произвольным кольцом и доказана эквивалентность топологического и алгебраического определений агебраической компактности для модулей.

Эти две работы являются рубежными — после них собственно и произошел отход от чистой теории абелевых групп и началось исследование алгебраической компактности для модулей в общей постановке. Алгебраически компактные модула могут быть определены как модули инъективные относительно специального класса вложений модулей, которые называются чистыми (по Кону). Поэтому алгебраически компактные модули часто называют чисто-инъективными.

Отметим существенное продвижение Марубаяши 4 в классификации чисто-инъективных модулей над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами — которая по духу и используемой технике близка к описанию Капланского для случая абелевых групп.

Достаточно важным явился цикл работ Циммерманна 5, 6 и Циммерманн-Хуисген 7, в которых введено понятие матричной подгруппы. Это дало наглядную интерпретацию

'Kaplansky I. Infinite abelian groups.— Ann. Arbor, Michigan. — 1954.

'Мишина А. П., Скорняков Л. А. Абелоны группы и модули. — М.: Наука. — 1969.

3Warfield R.B. Purity and algebraic compactness for modules. — Pacif. J. Math. — 1969.

— v. 28. — P. 699-719. .

"'Marubayashi H. Modules over Dedekind prime rings. II. — Osaka J. Math. —1972. — v. 9, N 3. — 1'- 427-445.

'"Zimmermann W. Rein injektive direkte Summen von Moduln. — Comm. Algebra. — 1977.

— v. 5, N 10. — P. 1083-1117.

"Zimmermann W. (E)-algebraic compactness of rings. — J. Pure Appl. Algebra. —• 1982.

— v. 23, N 3. - P. .119 -328.

'Zimmermann-Huisgen В., Zimmermann VV. Algebraically compact rings and modules. — Math. Z. — 1978. — v. 161. — P. 81-93.

некоторых категорных понятий на "элементном" уровне. В частности, были получен общие теоремы о локальности кольца эндоморфизмов произвольного неразложимого чис-то-инъективного модуля и разложимости произвольного Е-чисто-инъективного модуля в,прямую сумму неразложимых.

Силу и универсальность алгебраического (категорного) подхода к изучению алгебраически компактных модулей показал А. И. Генералов в цикле работ 8, 9, 10, В частности, ему удалось получить описание всех чистот над конечномерной ручной наследственной алгеброй и полуцепным нетеровым кольцом. Это позволило во многом прояснить структуру чисто-инъективных модулей над перечисленными классами колец вплоть до полной классификации.

Параллельно с алгебраическим развитием теории чисто-инъективных модулей возникает интерес к этому понятию, идущий из логики и теории моделей. Шмелева 12 прямой элиминацией кванторов доказала разрешимость теории абелевых групп. Но только позднее Эклоф и Фишер 13 фактически построили теорию моделей для абелевых групп и смогли продвинуться несколько дальше. В частности, расширяя результат Капланского, они описали чисто-инъективные модули над коммутативными дедекиндовыми областями и показали, как теория моделей может быть использована для изучения вопросов разрешимости в этом случае. Применяемая при этом техника казалась все же довольно громоздкой и практически не оставляла шансов на успех в случае достаточно произвольного кольца.

Каравалья 14, 15 использовал теоретико-модельный вариант понятия матричной подгруппы Циммерманна и передоказал ряд его теорем. Матричные подгруппы определя-

8Генералов А. И. Собственные классы коротких точных последовательностей над Неверовыми полуцепными кольцами. В кн.: Пред. теор. теор. вер. Вып. 1. Ленинград: 1986.

— С. 87-102.

9Генералов А. И. Индуктивно замкнутые собственные классы над ограниченными hnp-кольцами. — Алгебра и логика. — 1986. — т. 25, N 4. — С. 384-404.

"Генералов А. И. Алгебраически компактные модули над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами. -—Деп. ред. Сиб. матем. ж. в ВИНИТИ. — 12.09.89. — N 5805-В89.

"Генералов А.И. Алгебраически компактные модули и относительная гомологичегкая алгебра над ручными наследственными алгебрами. — Алгебра и логика. — 1991. — т. 30, N 3.' — С. 259-292.

'^Szmielev W. Elementary properties of abelian groups. — Fund. Math. — 1955. — v. 41.

— P. 20:5-271.

uEk!of P., Fisher E. The elementary theory of abelian groups. — Ann. Math. Logic. — 1972.

— v. 4, N 1. — P. 115-171.

HGaravaglia S. Direct product decomposition of theories of modules. —■ J. Symb. Logic. — 1979. — v. 44, N 1. — P. 77-86.

15Garavaglia S. Decomposition of totally transcendental modules. — J. Symb. Logic. — 1980.

— v. 45, N 1. — P. 155-164.

1ог(я пшитшию-примитивными формулами и поэтому получили более употребимое сейчас название позитивно-примитивных подгрупп.

Активное внедрение теоретико-модельных методов в теорию модулей началось после доказательства Монком 16 теоремы о пп-элиминации кванторов для теории всех модулей над кольцом — любая формула в теории модулей эквивалентна булевой комбинации специального вида предложений и позитивно-примитивных формул. Роль этой теоремы трудно переоценить. Именно после нее многие теоретико-модельные понятия получили алгебраическое звучание.

Ключевая роль чисто-инъективных модулей (особенно неразложимых) в теории моделей для модулей была осознана после пионерской работы Циглера17. Он в вы понятие спектра (Циглера) как топологического пространства на множестве неразложимых чисто-инъективных модулей и показал, что изучение этого пространства является определяющим в решении множества вопросов, например, вопроса о разрешимости теории модулей над фиксированным кольцом. Он же фактически создал синтаксический подход к исследованию чисто-инъективных модулей, заменив изучение самих модулей изучением пп-тнпов, то есть множеств позитивно-примитивных формул.

В частности, Циглер полностью описал неразложимые чисто-инъективные модули над коммутативными областями нормирования и показал, что любой неразложимый чисто-инъективный модуль над коммутативным кольцом локализуется — то есть естественным образом становится чисто-инъективным модулем над некоторой локализацией основного кольца по простому идеалу. Последнее означает, что описание неразложимых чисто-инъективных модулей над коммутативным кольцом редуцируется к локальному случаю.

Чисто алгебраический подход к изучению чисто-инъективных модулей над коммутативной областью нормирования применили Фукс и Сальче18. В частности, они дали простую геометрическую интерпретацию классификации Циглера неразложимых чисто-инъективных модулей над коммутативной областью нормирования и получили некоторые продвижения в общем (не обязательно неразложимом) случае.

Любопытную категорную технику использовал Факкини19 для описания чисто-инъективных модулей над коммутативными кольцами нормирования (возможно, с делителями нуля). Он получил теорему представления для неразложимых чисто-инъективных модулей в этом случае.

l6Monk I. Elementary-recursive decision procedures. — Doctoral thesis. — Berkley. — 1975.

17Ziegler M. Model theory of modules. — Ann. Pure Appl. Math. — 1984. — v. 26, N 2. — P. ! 49-213.

l8Fuchs L., Salce L. Modules over valuation domains. — Lect. Notes Pure Appl. Math. — 198.'). - v. 97.

14Facchini A. Relative injectivity and pure-injective modules over Prüfer rings. — J. Algebra.

1987. — v. 110, N 2. — P. 380-406.

Наконец, фундаментальная книга Престаго собрала все, или почти все, что было известно о чисто-инъективных модулях на момент ее выхода. Важным новым понятием, используемым в ней, явилось понятие свободной реализации пп-формулы .

Недавно, вышла статья Эклофа и Херцога21, где они, используя теоретико-модельные методы, существенно продвинулись в изучении неразложимых чисто-инъективных модулей над произвольным полуцепным кольцом.

Таким образом, изучение чисто-инъективных модулей яаадется сейчас интенсивно развивающимся направлением, находящимся на стыке теории моделей и теории колец и модулей. '

Цель работы

Целью работы является развитие теоретико-модельного подхода к исследованию чисто-инъективных модулей, чистот в категории модулей, а также колец, определяемых этими чистотами. В сравнение с предшествующими работами, использующими теорию моделей в теории колец и модулей, предложенная в диссертации техника позволяет существенно задействовать аппарат теории колец и теории категорий и получить результаты в максимальной- общности для некоммутативных колец. С другой стороны, используемые в работе методы привносят теоретико-модельную интуицию в стандартные методы теории колец и модулей. При этом некоторые достаточно сложные теоретико-кольцевые вопросы получают прозрачные формулировки на языке теории моделей, что открывает возможность их эффективного исследования.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава состоит из 5 параграфов, вторая — из 3. Диссертация набрана, используя издательскую систему UTgX. Полный объем диссертации 185 страниц. Библиография включает 109 наименований.

20Prest M. Model theory and modules. — Cambridge Univ. Press. — 1988.

2lEklof P., Herzog I. Some model theory over a serial ring. — J. Pure Appl. Logic. — 1995. — v. 72. — P. 145-176.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. Решены следующие важные проблемы:

1) дана полная система инвариантов для неразложимого чисто-инъективного модуля над произвольным цепным кольцом;

2) классифицированы произвольные чисто-инъективные правые, модули над полуцепным нетеровым справа кольцом;

3) приведен точный критерий существования суперразложимого чисто-инъективного модуля над коммутативным кольцом нормирования, и тем самым устранена существенная неточность в формулировке соответствующего результата Циглера12 (где утверждалось, что таких моделей не существует);

4) разработан обший метод исследования чистот, проективно порожденных классом конечно представимых модулей и колец, определяемых такими частотами;

5) охарактеризованы артиновы с одной стороны RD-кольца как кольца Кёте, и показано, что любое дедекиндово первичное кольцо, например, первая алгебра Вейля над полем характеристики ноль, обладает ЛЛ-своиством.

Среди других результатов, полученных в диссертации, отметим доказательство при некоторых дополнительных ограничениях разрешимости теории всех модулей над коммутативным кольцом нормирования.

Общие методы исследования

В диссертации используются как общие методы теории колец и модулей, так и теоретико-модельные ("'синтаксические" или логические) подходы к исследованию изучаемых объектов. Кроме того, по ходу доказательств привлекаются соображения иэ теории категорий и теории решеток.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в различных разделах теории колец и модулей, а также теории моделей для модулей, в частности, в теории модулей над полуцепными, цепными и дедекиндовыми первичными кольцами. Кроме того, развитая в работе техника полезна для исследования вопросов разрешимости теории всех модулей над кольцом. ,

"Ziegler М. Model theoiy of modules. — Ann. Pure Appl. Math. — 1984. — v. 26, N 2. — P. 149-213.

Апробация работы

Результать! работы докладывались на Международной школе "Алгебра и анализ" (Байкал, август 1992), Ш-ей международной конференции по алгебре (Красноярск, август

1993), конференции по применению теории моделей в теории представлении (Билефельд. Германия, ноябрь 1994), где автор автор читал пленарный доклад, а также семинарах математических институтов Копенгагена (Дания, март 1994) и Удине (Италия, февраль

1994), семинаре факультета математики и информатики университета Падерборн (Германия, ноябрь 1994) и семинаре института логики (Киль, Германия, апрель и июнь 1991). Кроме того, автор неоднократно выступал с сообщениями по теме диссертации на семинарах "Алгебра и логика" (И петиту и математики РАН, Новосибирск), "Кольцам модули" (МГУ), а также на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - [19].

Содержание работы

Во введении изложена предыстория исследуемых в диссертации вопросов, собраны важнейшие факты, необходимые в дальнейшем изложении.

В главе 1 диссертации рассматриваются проблемы классификации чисто-инъективных модулей в разных вариантах, начиная от коммутативных колец нормирования до полуцепных колец. Секция 1.1 носит вводный характер. В ней собраны основные определения и часто используемые факты из теории моделей для модулей, а также из классической теории колец.

В секции 1.2 мы проводим классификацию неразложимых чисто-инъективных модулей над произвольным цепным кольцом. В начале подсекции 1.2.1 напоминается факт о диа-гонализируемости матриц над произвольным цепным кольцом и вытекающая из этого элиминация кванторов в теории модулей над цепным кольцом до уровня ЛО-формул (след. 1.2.2). Удается выделить еще более простой (чем Я£>-формулы) класс базисных пп-фор-мул , так что любая пп-формула от одной переменной эквивалентна конечной конъюнкции базисных.

Достаточно неожиданной является доказанная в предложении 1.2.4 дистрибутивность решетки пп-формул от одной переменной над произвольным цепным кольцом. Такие кольца мы называем пп-дистрибутивными. Мы покажем, что это свойство лево-право симметрично, из него вытекает дистрибутивность кольца (след. 1.2.9), и (предл. 1.2.10) для коммутативного кольца оно эквивалентно дистрибутивности, то есть прюферовости.

Теорема 1.2.6. Следующие условия на произвольное кольцо R. эквивалентны:

1) R пп-дистрибутивно справа;

2) любой конечно предспавимый правый модуль над R эндодистрибутивен;

3) любой чисто-проективный правым модуль над R эндодьстрибутивен;

Í) любой чисто-инъективкый правый модуль над R эпдодистрибутивен;

5) любой чисто-ьнъективный неразложимый правый модуль над R зндоцепной;

6)-10) левые аналоги пунктов 1)-5).

В подсекции 1.2.2 мы устанавливаем ряд вспомогательных фактов необходимых для последующей классификации неразложимых чнсто-инъективных модулей над цепным кольцом. А именно, приведен критерий цепности решетки определимых подгрупп для произвольного модуля над цепным кольцом (зам. 1.2.14), а таже критерий неразложимости пп-типа от одной переменной (1-пп-типа) над цепным кольцом (предл. 1.2.15). Установлено также (предл. 1.2.19), что чисто- инъективная оболочка модуля над цепным кольцом неразложима тогда и только тогда, когда его решетка определимых подгрупп цепь и любые два его некулевых элемента связаны (простейший вид связывания — когда один элемент получается из другого умножением на элемент кольца), причем оба последних условия существенны. Приводится пример правого идеала цепного кольца с разложимой чисто-инъективной оболочкой (прим. 1.2.22). Это контрастирует с коммутативным случаем, поскольку даже при слабых условиях типа коммутативности (например, полуинвариантности — то есть сравнимости по включению левого и правого идеалов, порожденного одним элементом) чисто-инъективная оболочка правого идеала цепного кольца неразложима (леи. 1.2.23).

В подсекции 1.2.3 доказывается теорема о реализации для чисто-инъективного модуля над цепным кольцом, аналогичная теореме Факкини33 для коммутативных колец нормирования . Точнее, показывается (теор. 1.2.24), что любой неразложимый чисто-инъекти-вный модуль над цепным кольцом либо инъективен по модулю своего аннулятора, либо является прямым слагаемым чисто- инъективной оболочки некоторого правого идеала кольца. Однако эту теорему, также как и теорему Факкини, трудно рассматривать как классифицирующую, поскольку собственно инварианты для типов изоморфизма изучаемых модулей отсутствуют.

Этот недостаток устраняется в подсекции 1.2.4, где приводится полная классификация для неразложимых чисто-инъективных модулей над цепным кольцом (теор. 1.2.28). А именно, показывается, что инвариантами для типов изоморфизма неразложимых чисто-инъективных модулей над цепным кольцом Я являются смежные классы множества

допустимых собственных пар (!,J), где 1 С R правый, J С R левый идеалы кольца R, по

Ф #

"Facchini A. Relative ¡njectivity and pure-ínjective modules over Prüfer rings. — J. Algebra. — 1987. — v. 110, N 2. — P. 380-406.

следующему отношению эквивалентности, задаваемому диагональным действием кольца: {/, J) = (К, L) если найдутся такие ненулевые элементы 0 ф u, v g Ii, что либо uí = К и J — Lu , либо I = vK и Jv — L . При этом собственная пара {l,J) допустима, если она удовлетворяет условию "звездочка":

s'r" ф sr' + s'r для всех г £ / , г" 6 /* , s 6 / , -s* € J' , (* ¡

где /" = ñ\I, J" = R\J. На конкретном примере (лем. 1.2.29) показывается, что это условие является достаточно сложным для проверки. Простым следствием условия (*) (при г = s — 0) служит:

s'r" ф 0 для всех r'Çl",a'Çj'. (**)

В подсекции 1.2.5 установлено, что в классификации неразложимых чигто-инъективных модулей над цепным полуинвариантным кольцом условие (*) может быть заменено на (**) (предл. 1.2.30), что существенно упрощает вычисления. Более того, показано (там же), что полуинвариантные цепные кольца — это в точности цепные кольца Крулля-Шмидта, или цепные кольца R такие, что все модули R/rR имеют локальные кольца эндоморфизмов. В частности, предъявлен конкретный пример неполуинвариантного цепного кольца и (конечно представимого цепного) модуля R/rR над ним с нелокальным кольцом эндоморфизмов.

Отметим, что вопрос о существовании локального модуля с нелокальным кольцом эндоморфизмов ставили Мохаммед и Мюллер24. Как заметили Кампс а Дике 35, пример ар-тинова циклического локального модуля с нелокальным кольцом эндоморфизмов может быть извлечен из одной конструкции Менала. В нашем примере модуль ценной конечно представимый, но, конечно, не артинов и не не-теров (поскольку цепной артииов или нетеров модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов).

В секции 1.3 исследуется суперразложимые чисто-инъективные модули над коммутативными кольцами нормирования. Модуль называется суперразложимым, если любое его ненулевое прямое слагаемое (в частности, сам модуль) допускает нетривиальное прямое разложение. Мы используем терминологию книги26. Циглер 27 называл такие модули непрерывными.

Ключевой здесь является доказанная в подсекции 1.3.1 лемма о тривиализации отношения следования для базисных пп-формул над коммутативным кольцом нормирования . Точнее,

24Mohamed S., Müller В..J. Continuous and discrete modules. — Cambridge. — 1990.

2SCamps R., Dicks W. On semiloral rings. — Israel J. Math. — 1993. — v. 81. — P. 203-211.

■Tuchs L., Salce L. Modules over valuation domains. — Lo.ct. Notes Pure Appl. Math. — 1985. — v. 97.

27Ziegler M. Model theory of modules. — Ann. Pure Appl. Math. — 1984. — v. 26, N 2. — P, 149-213.

мы покалываем (лем. 1.3.2), что импликация вида ipt А ... Л tp„ —► р для базисных 1-пп-()>ормул над коммутативным кольцом нормирования имеет место тогда и только тогда,-когда 1pi —> ip для некоторого t. Это означает, в частности, что базисные 1-пп-формулы неразложимы в пересечение в решетке всех 1-пп-формул йад коммутативным кольцом нормирования. Отметим, что доказательство идет довольно технической индукцией по л , использующей лемму Преста. Далее указывается (лем. 1.3.6), как получить эту лемму в, более общей ситуации цепного полуинвариантного кольца, избегая сложных вычислений, с помощью дуальности Преста и свободных реализаций пп-формул.

В подсекции 1.3.2 рассматриваются приложения развитой техники к вопросу о разрешимости теории всех модулей над коммутативным кольцом нормирования .

В подсекции 1.3.3 дается геометрическая интерпретация понятия 1-пп-типа над полуцепным полуинвариантным кольцом. Точнее, показано (теор. 1.3.15), что существует взаимно однозначное соответствие между 1-пп-типами над полуцепным полуинвариантным кольцом и специальными (в частности, неубывающими) функциями область определения и область значений которых связаны с линейными упорядочениями множеств левых и правых идеалов кольца. При этом неразложимым пп-типам соответствуют функции с графиком типа "ступенька".

Варьируя графики допустимых функций, можно получать чисто-ипъективные модули с разнообразными свойствами. В частности функции типа "диагонали" часто дают суперразложимый чисто-цнъективный модуль.

Теорема 1.3.19. Следующие условия на коммутативное кольцо нормирования R лкви-

ваяептны:

1) R имеет суперразложимый чисто-инъективный модуль;

2) R. не имеет размерности Круллл.

Поскольку коммутативная область нормирования не имеет размерности Крулля в точности если ее группа нормирования содержит плотный линейный подпорядок, и для любой линейно упорядоченной абелевой группы существует коммутативная область нормирования с этой группой нормирования, то (например, рассматривая рациональные числа 0J) получаем контрпример к утверждение Циглера 28 о несуществовании суперразложимых чисто-инъентивных модулей над коммутативными областями нормирования. Отметим, что несколько позже аналогичный результат для коммутативных областей нормирования (с более сложной формулировкой) получил Сальче 29.

В секции 1.4 рассмотрена классификация неразложимых чисто-инъективных модулей над полуцепными кольцами. Полученные результаты во многом аналогичны случаю цепных

2SZiegler И. Model theory of modules. — Ann. Pure Appl. Math. — 1984. — v. 26, N 2. — P. 149-213.

29Sa!ce L. Valuations domains with superdecomposable pure-injective modules. — Lect. Notes Pure Appl. Math. — 1993. — v. 146. — P. 241-245.

колец (см. выше), хотя часто, естественно, слабее. Аналогично цепному случаю, неразложимые чисто -инъективные модули здесь классифицируются смежными классами множества е-пар, то есть пар (/,J) , где / С е!1 правый к J С И левый идеалы для неразложимого

идемпотента е £ Я, с условием (*), где отождествление задается "диагональным" действием кольца (предл. 1.4.8). Мы на конкретном примере (прим. 1.5.4) показываем, как работает эта классификация.

В подсекции .1.5 описаны полуцепные кольца Крулля-Шмидта (предл. 1.5.1), и доказана теорема реализации для неразложимых чисто-инъективных модулей над полуцепным кольцом "аналогично случаю цепного кольца:

Теорема 1.5.5. Пусть М точный неразложимый чисто-ин-ьсктивный правый модуль над полуцепным кольцом Я. Если М «е икъективен , то найдется неразложимый идем-потент / £ Д такой, что М изоморфен прямому слагаемому чисто-инъективкой оболочки РЕ(Г) точного правого идеала Т С /Я .

Далее описываются чисто-лнъективные правые модули над полуцепным нетеровым справа кольцом. Во-первых, такое кольцо имеет свойство Крулля-Шмидта, поэтому условие (*) в теореме классификации неразложимых чисто-инъективных модулей можно заменить на более простое условие (**). Более того (след. 1.5.6), любой неразложимый точный чисто-инъективный правый модуль над полуцепным нетеровым справа кольцом есть либо инъективная , либо чисто-инъективная оболочка конечно представимого неразложимого модуля:

Теорема 1.5.7. Не существует суперразложимы! чисто-инъективных правых модулей над'полуцепным нетеровым справа кольцом.

Тем самым, любой правый чисто-инъективный модуль над нетеровым справа полуцепным кольцом есть чисто-инъективная оболочка прямой суммы неразложимых чисто-инъективных модулей. В. качестве приложения развитой техники показано (предл. 1.5.9), что любой неразложимый Х-чисто-инъективный модуль над полуцепным кольцом Е-инъек-тивен по модулю своего аннулятора.

В главе 2 исследуются чистоты, проективно порожденные классом А* конечно представи-мых (правых) модулей, а также кольца, определяемые с помощью этих чистот. В секции 2.1 введены необходимые определения и приведены доказательства некоторых фольклорных фактов, например, что любая такая чистота плоско порождена в смысле 30 классом А'* левых конечно представимых модулей, задаваемых теми же матрицами, что и модули из К.

В подсекции 2.2 вводится важное техническое понятие А'-фильтрованного модуля как модуля с выделенной системой абелевых подгрупп (в его конечных декартовых степенях),

'10Скляренко Е. Г. Относительная гомологическая алгебра в категории модулей. — Успехи мат. наук. — 1978. — т. 33, N 3. — С. 85-120.

которые индексируются модулями из К и удовлетворяют некоторым естественным условиям согласования. Показывается (лем. 2.2.4), что все /¿"-фильтрации на фиксированном модуле образуют решетку с наименьшим и наибольшим элементом, причем для инъек-тивного модуля все /("-фильтрации совпадают. Наимепьша.1 А'-фильтрация называется естественной, и мы показываем (лем. 2.2.6), что любая А'-фильтрация на модуле может быть получепа индуцированием из естественной фильтрации некоторого его расширения.

Класс К конечно представимых модулей определяет чистоту и тем самым порождает понятия А'-инъектявного и /("-проективного модулей (последние есть в точности прямые слагаемые прямых сумм модулей из К). В подсекции 2.2.2 вводится (предабелева) категория А'-фильтрованных модулей и указывается связь гомологических понятий в ней с сответствукмцими их А'-вариантами. Например (лем. 2.2.11), /¿-фильтрованный мрдуль инъективен относительно ядер в этой категории тогда и только тогда, когда он А'-инъ-ектнвен и имеет естественную фильтрацию. Используя эту теорему, показывается, как проверять не К-инъективность конкретных модулей.

Наконец в подсекции 2.2.3 установлен изоморфизм (предл. 2.2.14) между категорией А'-фильтрованных модулей и категорией аддитивных ковариантных сохраняющих эпиморфизмы функторов из малой предаддитивяой категории К" (рассматриваемой как полная подкатегория категории левых модулей) в категорию ЛЬ абелевых групп.

Назовем Я правым /¿-кольцом, если любой конечно представимый правый модуль над Я является А'-проективным. /¿"-формулой называется пп-формула, матрица уравнений которой берется из К. В подсекции 2.3 подробно изучаются эти понятия.

Теорема 2.3.1. Следующие условия на кольцо Я и класс конечно представимых правых модулей К над Я такой, что Яд 6 К эквивалентны:

1) Я есть правое К-кольцо;

2) любой конечно представимый (чисто-проективный) правый модуль над Я является

К-проективным;

3) любой чисто-инъективный правый модуль над Я лвляетсл К-инъ ективным;

4) любая правая пп-формула над Я эквивалентна конечной конъюнкции правых К-формул;

5) Я есть левое К"-кольцо;

6) любой конечно представимый (чисто-проективный ) левый модуль над Я лвляетсл

К"-проективным;

7) любой чисто-инъективный левый модуль над Я является А'"-инъективным;

8) любая леваг пп-формула над Я эквивалентна конечной конъюнкции левых К'-формул.

Назовем R правым RD-кольцом, если любой конечно представимый правый модуль над R есть прямое слагаемое прямой суммы циклических циклически представимых модулей (то есть модулей RfrR, г € R) ■ Аналогично, если взять в последнем определении циклические конечно представимые модули, то получим понятие правого W-кольца (W от "Warfield"). Из предыдущей теоремы сразу вытекает симметричность понятия RD-кольца. Кроме того, показывается (след. 2.3.5), что любое левое и правое кольцо Уорфилда является 7Ш-кольцом. Этот факт есть следствие любопытной комбинаторной леммы (предл. 2.3.3), позволяющей понижать число порождающих и соотношений модулей из класса К в определении if-кольца, доказательство которой многократно использует лемму об общем зна-' менателе.

Заметим, что понятия RD- и И'-кольца (без употребления этих аббревиатур) возникли и изучались в работах Уорфилда31, 32, В частности, в м ставилась проблема описания И^-колец. Кроме того, в работе 32 были описаны коммутативные RD- (=И'-) кольца как коммутативные прюферовы кольца. Поэтому (след. 2.3.9) прюферовы кольца — это в • точности коммутативные кольца, теория модулей над которыми допускает элиминацию кванторов до уровня ДО-формул.

Скажем, что R есть кольцо Кёте, если любой левый и правый модуль над R есть прямая сумма циклических модулей. Мы охарактеризуем артиновы с одной стороны RD-кольца.

Теорема 2.3.12. Следующие условия на артиново справа или слева кольцо R эквивалентны:

1) R является RD-кольцом ;

2) R есть (правое и левое) кольцом Кёте.

Любое полуцепное кольцо обладает RD-cвойством (это сразу вытекает из теоремы Ю. А. Дрозда35); класс колец Кёте строго шире класса полуцепных артиновых колец. Де-декиндовым первичным кольцом называется наследственное нетерово первичное кольцо без нетривиальных идемпотентных идеалов.

Теорема 2.3.16. Любое дедекиндово первичное кольцо является RD-кольцом.

В последний класс попадают, например, первичные кольца главных идеалов и первая алгебра Вейля над полем характеристики нуль. Отсюда вытекает, что любое кольцо главных

3lWarfield R.B. Purity and algebraic compactness for modules. — Pacif. J. Math. — 19C9.

— v. 28. — P. 699-719.

32Warfield R. B. Decomposability of finitely presented modules. — Proc. Amer. Math. Soc.

— 1970. — v.25. — P.167-172.

33 War field R. B. Serial rings and finitely presented modules. — J. Algebra. — 1975. — v. 37.

— P. 187-222.

34ibid

35Дрозд Ю. А. Об обобщенно однорядных кольцах. — Математ. заметки. — 1975. -т. 18, вып. 5. — С. 705-710.

идеалов есть RD-кольцо.

Из этого выводится (след. 2.3.17), что любой неразложимый (правый) модуль над кольцом Кёте есть прямое слагаемое модуля R/rR для некоторрго элемента г £ й, и то же верно для конечно порожденного модуля кручения над дедекипдовой первичной областью.

В подсекции 2.2.3 приводятся некоторые приложения только что описанных результатов. Указывается пример (прим. 2.3.20) наследственной петеровой первичной области без RD-свойства.

Теорема 2.3.22. Пусть М конечно порожденный модуль кручения над первой алгеброй Вейля Ai(k) (поле к имеет характеристику нуль). Тогда любая пп-определимая подгруппа в М конечномерна или коконечномерна как векторное пространство над к.

Более того, мы показываем, что возможны произвольно большие конечные значения размерности и коразмерности для пп-определимых подгрупп в последней теореме (лем. 2.3.23). Кроме того (след. 2.3.24) любой Е-чисто-инъективный модуль над первой алгеброй Вейля (поле характеристики нуль) Е-инъективен.

Основной шаг в характеризации Уорфилда38 коммутативных RD-колец — доказательство того, что локальное коммутативное RD-колъпо есть коммутативное кольцо нормирования . В подсекции 2.3.4 мы обобщаем этот результат, показав, например (предл. 2.3.29). что локальное полуинвариантное RD-кольцо является цепным слева и справа. Это же заключение верно, если R (локальная RD-) область, иетерово с одной стороны, или совершенно с одной стороны.

Наконец, в подсекции 2.3.5 исследуется вопрос о неразложимости А'-инъективной оболочки кольца. Например, показано (пред. 2.3.36), что чисто-инъективная оболочка кольца неразложима тогда и только тогда, когда это кольцо локально, что отвечает на вопрос Факкини37. В частности, последнее условие лево-право симметрично. Это не так (прим. 2.3.34) для /?/.)-инъективной оболочки кольца, хотя, если класс К содержит все модули Я/гй, г 6 Л, то из неразложимости А'-инъективной оболочки кольца также вытекает его локальность. Заметим, что из этого примера вытекает неантиизоморфность решеток левых и правых /Ш-формул в общем случае.

36Warfield R. 13. Decomposability of finitely presented modules. — Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. — v.25. — P. 167-172.

37Facchini A. Pure-injective envelope of a commutative ring and localizations. — Quart. J. Math., Ser. 2 — 1988. — v. 39, N 155. — P. 380-406.

Работы автора по теме диссертации

[1] Пунинский Г. Е. Булевы степени модулей. — Вестник МГУ, сер. 1. — 1983. — N 1. . С. 28-31.

[2] Пунинский Г. Е. Модельно полные теории ограниченных унаров. — Сиб. матем. ж.

— 1987. — т. 28, N 5. — С. 145-148.

[3] Пунинский Г. Е. Мультидерев^я. Модельная полнота и разрешимость. — Вестник МГУ, сер. 1. — 1988. — N 1. — С. 84-86.

[4] Puninski G. Е. The model completion of the theory of all partially ordered sets. — Zeitschr. Math. Log. Gründl. Math. — 1989. — v. 35. — P. 481.

[5] Пунинский Г. E. Модельно полные теории деревьев. — Сиб. матем. ж. — 1990. — т. 31, N 6. — С. 142-148.

[6] Пунинский Г. Е. Конечная система аксиом для модельного компаньона теории всех мультидеревьев. — Дискр. матем. — 1990. — т. 2, вып. 4. — С. 3-10.

[7] Пунинский Г. Е. Чисто-инъективная и ЯД-инъективная оболочки кольца. — Мате-мат. заметки. — 1992. — т. 52, вып. 6. — С. 81-88.

[8] Пунинский Г. Е. Суперразложимые чисто-инъективные модули над коммутативными кольцами нормирования. — Алгебра и логика. — 1992. — т. 31, N 6. — С. 655-671.

[9] Пунинский Г. Е. Эндодистрибутивные и чисто-инъективные модули над цепными кольцами. — Успехи матем. наук. — 1993. — т. 48, вып. 3. — С. 201-202.

[10] Пунинский Г. Е. RD-формулы и lV-кольца. — Математ. заметки. — 1993. — т. 53, вып. 1 — С. 95-103.

[11] Пунинский Г. Е. Кольца, определяемые чистотами. — Успехи матем. наук. — 1993.

— т. 48, вып. 6. — С. 169-170.

[12] Пунинский Г. Е. О кольцах Уорфилда. — Алгебра и логика. — 1994. — т. 33, N 3. — С. 264-285.

[13] Пунинский Г. Е. Решетки рр-определимых подгрупп. — Абелевы группы и модули.

— Томск, 1994. — вып. 11-12. — С. 193-203.

[14] Пунинский Г. Е. Неразложимые чисто-инъективные модули над цепными кольцами.

— Труды Моск. матем. общества. — 1994. — т. 56. — С. 1-13.

[15] Пуиингкии Г.Е. Одно замечание о чнсто-инъективных модулях над полуцепным кольцом. — Успехи матем. наук. — 1994. — т. 49, вып. 5. — С. 171-172.

[16] Facchini Л. , Puninski G. Е. X-pure-injective modules over serial rings. — "'Abelian groups and modules'1. — A. Facchini. C. Menini eds., Kluwer Acad. Publishers. — 1995. — P. 145-1G2.

[!7] Гейдар К. If., Михалёв А. В., Пунинский Г.Е. Логические аспекты теории колец и модулей. — Фу идам, и прикл. матем. — 1995. — т. 1, вып. 1. — С. 1-62.

[18] Puninski G.E. Pure-injective modules over right noetherian serial rings. — Comm. Algebra. — 1995. - v. 23, N 4. — P. 1579-1592.

[19] Пунинский Г. E. Полуцепные кольца Крулля-Шмидта и чисто-инъективные модули. — Фундам. и прикл. матем. — ¡995. — т. 1, вып. 2. — С. 471-490.