Градуированные регуляризованные кольца и теоремы плотности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Условные обозначения и термины

1 Предварительные сведения

2 Определение регулярности для колец, градуированных по полугруппам

3 Некоторые свойства градуированных регулярных колец

4 Теорема о слабой плотности

5 Теорема плотности для градуированных вполне приводимых модулей

6 Критически-сжимаемые градуированные модули

7 Теорема плотности для градуированных слабо-примитивных колец

В теории колец широко известна и находит многочисленные применения теорема плотности Джекобсона: примитивное кольцо1 является плотным подкольцом кольца линейных преобразований векторного пространства над некоторым телом (см. [2], [10]).

За последние десятилетия появилось много обобщений этой теоремы на более широкие классы колец.

В работе Джонсона [11] было показано, что первичное кольцо Я, обладающее минимальными ненулевыми правым первичным и левым первичным идеалами2, является слабо транзитивным кольцом линейных преобразований. Именно, в этом случае минимальный правый первичный идеал N является (К, Л)-бимодулем для некоторой области Оре К, и для любых линейно независимых над К элементов х\,. ,хп 6Е N и произвольных у\,.,уп £ N найдутся такие гбйиО^е/С, что Xi,r = kyi для всех г = 1,., п.

Затем Кох и Мьюборн в [13] распространили этот результат Джонсона на первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеалом. Другую характеризацию "типа плотности" для этих колец получил Амицур ([5]).

В работе [14] в рассмотрение были введены почти максиольцо R называется примитивным, если оно обладает точным неприводимым модулем; модуль MR называется неприводимым, если MR ф 0 и М имеет ровно два подмодуля; модуль Mr называется точным, если Mr Ф 0 для любого 0 ф г £ R.

2Правый идеал / кольца R называется правым первичным идеалом, если для любых двух правых идеалов An В кольца R таких, что А В С I и В ф 0, верно включение А С I. мальные правые идеалы кольца и показано, что кольцо, обладающее таким идеалом, первично и является слабо транзитивным кольцом линейных преобразований некоторого векторного пространства над телом.

В [12] Кох и Jly вплотную приблизились к вершине в первичном случае, доказав теорему плотности для квази-простого модуля3.

Этап первичных колец венчает теорема плотности Зель-мановича для слабо-примитивного кольца4, опубликованная в [23] и [24]. Этот результат содержит в качестве частных случаев классическую теорему плотности, а также теорему Ами-цура ([5]).

Следует отметить, что и примитивные, и слабо-примитивные кольца первичны.

В работе [1] О.Д. Авраамова, пользуясь методами теории ортогональной полноты (см. [6]), доказала теорему плотности для обобщенного слабо-примитивного ортогонально полного кольца. Обобщенные слабо примитивные кольца являются полу первичными, но не все из них первичны.

Принципиально иным подходом к развитию сюжета, связанного с теоремой плотности, является рассмотрение градуированных колец и модулей (см. монографию [16]).

В работе [20] была обобщена классическая теорема плотности на случай примитивных колец, градуированных по группе.

3Модуль называется квази-простым, если он, во-первых, сжимаем (т.е. вложим в каждый свой ненулевой подмодуль), а во-вторых, кольцо эндоморфизмов его квазиинъективной оболочки является телом.

4Кольцо называется слабо-примитивным, если оно обладает точным критически-сжимаемым модулем; модуль называется критически-сжи-маемым, если он, во-первых, сжимаем, а во вторых, не может быть вложен ни в какой свой собственный фактор-модуль.

В 1990 году Настасеску, Раиану и ван Ойстайен в [17] рассмотрели кольца, градуированные по группе, и модули, градуированные по множеству, на котором действует эта группа.

Одним из направлений данной диссертации являются теоремы плотности для случая, когда кольца градуированы по полугруппам, а модули — по полигонам над этими полугруппами (при некоторых условиях сокращения).

Нужно заметить, что градуировка по произвольной группе является частным случаем градуировки по полугруппам и полигонам, при этом существуют полугруппы с правым и левым сокращениями, которые не вкладываются ни в какую группу (см. [4], с. 39-45).

Другим направлением диссертации являются градуированные регулярные кольца.

Регулярные кольца5 были введены в рассмотрение фон Нейманом в работе "Continuous Geometry" [18] (см. также одноименную монографию [19]) для исследования задачи коорди-натизации некоторых решеток, которые возникают в алгебрах операторов на гильбертовом пространстве.

Регулярные колца затрагивает широкий спектр интересов таких отраслей математики, как

• некоммутативная теория колец,

• функциональный анализ (алгебры фон Неймана, известные также как W*-алгебры),

• геометрия (координационные теоремы).

5Кольцо R называется регулярным, если уравнение ах а — а разрешимо для любого а Е R.

Все это способствовало интенсивному развитию теории регулярных колец (см. книгу [7]).

Развитие суперанализа и теории суперколец6 поставило ряд задач о градуированных регулярных кольцах ([16]).

Первоочередными из них являются следующие:

• сравнительный анализ различных возможных подходов к определению градуированного регулярного кольца (на основе рассмотрения основных модельных примеров — рядов Лорана, групповых и полугрупповых колец);

• выделение видов идемпотентов, удобных для работы в градуированных кольцах;

• изучение свойств главных и конечно порожденных идеалов градуированных регулярных колец, а также прямых сумм этих идеалов;

• выяснение корреляции между градуировками и строгими градуировками кольца с одной стороны и регулярностью градуированного кольца и некоторых его однородных компонентов с другой стороны;

• характеризация градуированных регулярных колец на основании свойств градуированных модулей над этими кольцами;

• обобщение на случай градуированных колец с последующим изучением свойств таких понятий, как абелевы регу

6Приставка "супер-" означает, что изучаемые объекты градуированы по группе Z/2Z. лярные7 (известные также как строго регулярные) кольца, унитарно регулярные8 (или w-регулярные) кольца, а также регулярные модули.

Интенсивное изучение градуированных регулярных колец началось сравнительно недавно.

Отметим, что в работе [22] делается попытка обобщения понятия регулярности для кольца, градуированного по группе. Именно, вводится понятие Z-регулярного элемента, каковым называется такой однородный элемент о, для которого разрешимо уравнение ка = аха, где х — элемент кольца, а к — целое число. В работе [21] рассматриваются градуированные по группам регулярные кольца. В частности, изучены некоторые свойства абелевых регулярных градуированных колец, а также дано прямое доказательство следствия С. 1.5.3 из работы [16], которое устанавлявает связь регулярности кольца R, строго градуированного по группе с единицей е, с регулярностью его однородного компонента Re.

Поскольку полугруппы являются обобщением групп, то естественно возникает вопрос об исследовании понятия градуированного регулярного кольца для случая градуировки по полугруппе.

7Абелевы регулярные кольца — это подкласс класса регулярных колец, в которых, по определению, разрешимо уравнение а2х = а для любого элемента а.

8 Унитарно регулярные кольца — это подкласс класса регулярных колец, в которых уравнение аха = а для любого а имеет в качестве решения обратимый элемент.

Целью настоящей работы является:

1. Исследование понятия регулярности для колец, градуированных по полугруппам, и изучение структуры таких колец.

2. Получение теоремы плотности для колец, градуированных по полугруппам, и модулей, градуированных по полигонам над этими полугруппами, которая расширяла бы классические теоремы плотности.

В работе используются методы теории полугрупп, теории градуированных колец, гомологической алгебры.

Результаты работы являются новыми. Основными из них являются следующие:

1. Проведен сравнительный анализ различных расширений понятия регулярности на градуированные кольца (Теорема 2.21).

2. Доказаны теоремы о строении градуированных по полугруппам регулярных колец (Пример 3.3, Теорема 3.8, Следствие 3.12).

3. Доказана теорема о слабой плотности для градуированного контекста (Теорема 4.11).

4. Доказана теорема плотности для градуированных вполне приводимых модулей (Теорема 5.14).

5. Доказана теорема плотности для градуированных слабопримитивных колец (Теорема 7.9).

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в структурной теории колец, гомологической алгебре, алгебраической К-теории, теории градуированных колец, в частности, в теории суперколец.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, семинаре "Кольца и модули", а также на ряде международных конференций (см. [25], [27], [28], [31]).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [25]—[30].

Работа состоит из введения, семи разделов и списка литературы. Объем диссертации — 80 страниц, список литературы содержит 31 наименование.

1. О.Д. Авраамова. Обобш^енная теорема плотноети ¡1Томск, Издательство томского университета, 1989, Сборник "Абелевы группы и модули", вып. 8, 3-16.

2. Н. Джекобсон. Строение колец // Москва, Издательствоиностранной литературы, 1961.

3. И. Ламбек. Кольца и модули // Москва, Мир, 1971.

4. А.И. Мальцев. Избранные труды. Т. 2: Классическая алгебра 11 Москва, Наука, 1976.

5. S.A. Amitsur. Rings of quotients and Morita contexts jJJ. Algebra, 1971, vol. 17, W 2, 273-298.

6. K.I . Beidar, W.S. Martindale III, A .V . Mikhalev. Rings withGeneralized Identities / / New York, Marcel Dekker, Inc., 1996.

7. K .R . Goodearl. von Neumann Regular Rings, Second Edition/ / Florida, Malabar, Krieger Publ. Co., 1991.

8. C. Faith. Lectures on injective modules and quotient rings

9. Lecture Notes in Math., vol. 49, Springer-Verlag, Berlinand New-York, 1967.

10. S.K. Jain, K. Manjunatha Prasad. Right-left symmetry ofaR ® hR a -\- h)R in regular rings j I J . Pure and Appl. Algebra, 1998, vol. 133, 141-142.

11. N . Jacobson. Structure theory of simple rings without finitness assumptions 11 Trans. AMS, 1945, vol. 57, ^^2, 228-245.

12. R.E. Johnson. Representations of prime rings / / Trans.AMS, 1953, vol. 74, №2, 351-357.

13. K. Koh, J. Luh. On a finite dimensional quasi-simple module1/ Proc. AMS, 1970, vol. 25, №4, 801-807.

14. K . Koh, A .C . Mewborn. Prime rings with maximal annihilator and maximal complement right ideals // Proc. AMS , 1965, vol. 16, ^^5, 1073-1076.

15. K. Koh, A .C . Mewborn. A class of prime rings // Canad.Math. Bull. , 1966, vol. 9, №1, 63-72.

16. T .Y . Lam, W. Murray. Ujiit regular elements in corner rings

18. C. Nástásescu, F. van Oystaeyen. Graded Ring Theory //Amsterdam, North-Holland Mathematical Library, vol. 28, 1982.

19. C. Nástásescu, S. Raianu, F. van Oystaeyen. Modules gradedby G-sets // Math. Z., 1990, vol. 203, №4, 605-627.

20. J. von Neumann. Continuous Geometry / / Proc. Nat. Acad.Sei. U.S.A., 1936, vol. 22, 92-100.

21. J. von Neumann. Continuous Geometry // Princeton, Princeton University Press, 1960.

22. Liu Shaoxue, M . Beattie, Fang Hongjin. Graded divisionrings and the Jacobson density theorem / / Journal of Beijing Normal University (Natural Science), 1991, vol. 27, K^2, 129134.

23. H. Yahya. A note on graded regular rings // Comm. Algebra,1997, vol. 25, m , 223-228.

24. Wang Yao, Li Dongdong. Graded Z-Regular Rings // Journal of Jishou University (Natural Science Edition), 1998, vol. 19, №1, 56-58.

25. J. Zelmanowitz. An extension of the Jacobson density theorem II Bull . AMS, 1976, vol. 88, №4, 551-553.

26. J. Zelmanowitz. Weakly primitive rings ¡1 Comm. Algebra,1981, vol.9, ^ ^ l , 23-45. Работы автора по теме диссертации

27. C.B. Зеленев. Теорема плотности в градуированном случае 11 Москва, МГУ, Механико-математический факультет, 1998, "Kurosh Algebraic Conference '98, Abstracts of Talks", 174.

28. C.B. Зеленев. Теорема слабой плотности в градуированном случае / / Москва, 1999, "Труды 6-х математических чтений МГСУ", 107-110.

29. C.B. Зеленов. Теорема плотности Зельмановича в градуированном случае // Успехи математических наук, 2001, Т. 56, вып. 3, 167-168.

30. C.B. Зеленов. Теоремл плотности Зельмановича для колец, градуированных по полугруппам / / Фундаментальная и прикладная математика, 2001, Т. 7, вып. 2, 373-385.

31. И.Р. Нуретдинов, С В . Зеленов. Градуированные регулярные кольца II Москва, МАКС Пресс, 2000, "Формальные степенные ряды и алгебраическая комбинаторика. 12-я Международная конференция, FPSAC'OO: дополнительные тезисы", 51-52.