Теория возмущений и следы операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА, МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ.

РГВ од

На прзрах рукописи.

^имо&сши Аюлисоиу^ ^йьиаыиаь

О Теория возмущений и Л1еды оператороз. <01.01.01. - матенатический анализ). Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико- натенатических наук.

Москва, 1993 г.

Работа выполнена на кафедре математического анализа неханико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор В.А.Садовничий.

Официальные оппонен* >1: доктор физико-математических наук, профессор В.В.Киков,

доктор физико-матенатических наук. профессор Е.И.Моисеев, доктор физико-матенгтических наук, профессор Я.Т.Султанаев. Ведущая организация - Московский инженерно-физический институт. Зашита диссертации состоится Ч У() 19513 года в часов на

заседании специализированного совета Д 053.05.04 при Московском государственном униперситете по адресу: 119899. Россия, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ. механико-математический факультет, аудитория 16-24. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

механико-математиче-кого факультета МГУ <Главное здание. 14 этах>

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.04. при МГУ.

профессор Т.П.Лукашенко

i. Оощая характеристика pabotu.

Актуальность тени. Проблема вычисления регуляризованных следов восходят к работе [IJ и. м. Гельфанда и б.М.Левитана 1953 года. Ими был рассмотрен оператор Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле (граничные условия типа sin»:

-у'' + q(:<) у = \y, о < х < п. У <0) = у<П> = О.

Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел X этой задачи имеет вид

X - г,2 * С + оп/г,2 ]. С = — / 4(x)dx.

позтому ряд

оэ

Е < х - Г,1 - с >

п О

I'ISJ

сходится. И. М. Гельфандом и Б.М.Левитаном было доказано,что

~ г , , _ 1 - q<0) * r¡tn)

Е <х„

где а<х> - дважды дифференцируемая на отрезке СО. П] функция. Другой подход был предложен М. Г.Крейиом в работе С2Э. а также у СельбергаС см. С 35). Затем в работе СО Л.Д.Фаддеев перенес результат указанных авторов на обыкновенные дифференциальные операторы с непрерывным спектром. Л.А.Дикий в работе С55 вычислил регуляризованные следы регулярного оператора Штурма-Лиувилля высших порядков и исследовал дзета-функцию оператора. В классической работе С8Э В.Б.Лидского установлено, что матричный след совпадает со спектральным у ядерных операторов. Его доказательство основано на s-числах операторов и методах теории функций комплексного переменного. В работах СС6Э.С7ЭЭ В.Б.Лидского. В.А.Садовничего вычислены регуляризованные следы всех порядков произвольных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений со сложным вхождением параметра.

о

Дальнейшее развитие эта проблематика получила в работах В. Л. Садовничего и учеников Сси.С9Э-С10ЭЭ. До последнего времени оставался открытым вопрос о перенесении соотвествующих результатов на многомерные операторы с дискретным спектром. Различные результаты в этом направлении были получены в работах С11Э-С12Э А.Г.Костюченко. М. Г. Гасымова.В.Гийемина С13Э. Трудность задачи состоит в тон, что для уравнений с частными производными резольвента имеет сложное строение и трудно точно описать целые Функции, корнями которых являются собственные числа и потому неизвестна точная асимптотика всех собственных чисел как по одному, так и по нескольким целочисленным параметрам.

Ло сих пор неизвестны связи мехду Формулами типа Сельберга, М. Г". Крейнз. И. И. Ге ль^анда и Б.М.Левитана для операторов с дискретный спектром. Возникает вопрос о подходе к проблеме следов через поправки теории возмущений. .Проблеме вычисления асимптотики спектральной функции дифференциальных и псевдодифференциальных саносопряженных операторов посвящены работы многих математиков см.СИЭ С155. При этой существует несколько различных подходов Заметим что, формулы регуляризованных сумм оператора Лапласа с потенциалом используются в теории нелинейных солитонных уравнений.Получение формулы следа угловой части оператора Лапласа на единичной двумерной сфере ставит вопрос о получении формул следов всех порядков на симметрических пространствах для оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом.В работе С13Э В.Гийемин в 1978 году показал, что собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере 3" с нечетным потенциалом ведут себя, как

/л = г,2 + п + 0< 1/п2) » х = О, 2'п» п - 1 , оо.

Однако из-за кратности 2п +■ 1 каждого невозмущенного числа оператора Лапласа эта формула не позволяет вычислить регуляризованный след.Действительно. в этом случае

N 2п N

и < Г ( I и - ( г>2 + г, ) < 2п -I 1 >> - М + Г 0(1/п) = 0< lr.N l

О.О . ПА о .О

И =1 I = О п=1

и остаток требует уточнения.

В работе С16Э Вейнштейн в 19 77 году нашел кластерные асимптотики собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами как угодно точно.

Но кластерные асиптотики собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрани с потенциалом не есть обычные асиптотики собственных чисел.В 1983 Гийемин и Уриба в работе С17Э сформулировали результат об асимптотике оператора Лапласа-Бельтрани, возникаюпего в теории групп Ли. Цель работа.

1. Вычислить регуляризованные следы эллиптических

пространственных операторов с помощью поправок теории вознушений.

2. Обосновать метод приближенного нахождения собственных чисел и функций через регуляризованные следы.

3. Развить новые методы исследования асимптотики спектральной Функции на квантовомеханической основе.

4. Вычислить первый регуляризованный след операторов Лапласа-Бельтрани и Лапласа-Бохнера, заданных на двумерной единичной сфере в двух различных случаях.

Методы исследования основаны на теории возмущений и методах спектральной теории.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и новые форнулы могут найти применение в квантовой механике, квантовой теории поля, радиофизике, гидромеханике, теории упругости, в нелинейных уравнениях математической физики, в спектральной теории операторов, в вычислительной математике различных математических школ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в Москве, руководимых В.А.Ильиным, Я. Г. Синаем; А . В. Вицадзе; Ю. 3. Егоровым . В. А . Кондратьевым , А.Г.Костпченкс. Е И.Моисеевым, В.М.Левитаном. В.Б.Лидским, А.И.Прилепко. В.А . Саловничип. А . А. Шпаликовым . Ю. В. Шестопаловым; В.С.Серовым; С . А. Степиным , а также на конференциях в Воронеже, Гродно, Самаре и Санкт-Петербурге. Многие результаты докладывались на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара имени И.Г.Петровского, руководимых О.А.Олейник, а также на конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» в честь А.Н. Тихонова. Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех

глав. Объем диссертации 145 страниц. Список литературы содержит 29 работ.

Обзор содержания диссертации.

В главе 1 вычислены регуляризованные следы абстрактных

операторов с помощью поправок теории возмущений. Пусть Т

самосопряженный, для простоты полуограниченный оператор с

компактной резольвентой; {X > 00 - все его фундаментальные

т тп=1

значения, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности; V - собственные ортонормированные векторы оператора Т отвечающие характеристическим числам X , т.е. Ту = X V •

______т п п п'

\ . ' , - 6 , м,.п = 1 ,оо. Предположим, что X = Сг." + 0< г./ , где

т г, |->т п

л а О .', 1 • Р - ограниченный, вообще говоря,

несамосспряженный оператор; ц - все собственные числа оператора Т * Р. занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетон алгебраической кратности, т.е.

е ^ £ Ре ..'5 Ре ^ < Р'е ^ ^—► а».

Ае/^ма I. Существует подпоследовательность натуральных чисел и> > такая, что

Теорема I. При г * 1 аю - п ' и а ; 1 справедливо равенство

1 1 * (Е < М - ' - а < г, > -... -а ! 11 ) ) = ' |.

т-»со * 1т I гг,

I = 1

где а < г, ■> - поправки теории возмущений.

с т

При дополнительных,чем в предыдущей теореме, условиях на оператор Р и на асимптотику собственных значений X , оператора т получены следующие результаты .

Теорема г. При а > 2 справедливо равенство Г) т

Нт Г [ < м - X > - ' Р ✓ , V ) ] = 0•

т-*со г> п п п

Г|= 1

Теорема 3. Если Р - оператор Гильберта-Шмидта и а > 1, то справедлива формула

И« Г ССр - X > - СРУ .V 1] « О-

т+СО г» п п п

Г< = 1

Эти теоремы спрапедливы для широкого класса эллиптических многомерных псевдодифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях, а именно: если м - замкнутое п-мерное гладкое многообразие, т - классический эллиптический псеэдодифференцигльный самосопряженный оператор т - го порядка, то теорема 2 справедлива при щ > 2п. а теорема 3 при |п > п. В третьем параграфе приведена

-1

Теорема 4. При а £ Л + 2 О. /1 > 1 верно равенство

т

''С £ - л > - (ру .V = о.

т-»СХ> п п п П

П= 1

Теорема 4 справедлива для вышеозначенных конкретных операторов при о = 2 и т > 5/2.

В четвертом параграфе даны конкретные примеры операторов, для которых явно вычислены регуляризованных суммы из фундаментальных чисел, причем еше раз доказаны независимо от теории первых параграфов с использованием теории чисел и представлений ортогональной группы. В частности вычислены следы для билаплэсиана на квадрате, для оператора Лэпласа-Бельтрами на единичной сфере в трехмерной пространстве с комплексным потенциалом. В пятом параграфе вычислены регуляриэованньк? следы высоких порядков дискретных операторов. Теорема 5. При А > 3 имеем

п

т

1 ¡14 <Г - Хг - ¿ЦТ * р_>2 - Т2}«/. , V >Л '

ГЯ-.00 ^ \ VI.

V - 1

оо «.ГОТ + ¡>>2- 7*7». ,0«.ит * Р>2 - ТгЛ V . *

_ г Г -----^------> -- б,

1=1 ]=п .1 Л. - Л .

4 т I )

причем на операторы Т и Р наложены условия, при которых существуют степени оператора т + Р с натуральным показателем.

В шестой параграфе обоснован метод вычисления первых собственных значений и соответствующих им фундаментальных функция «при условии, что собственное число, для которого вычисляется фундаментальная функция, однократно) с помощью теории следов. Идея

этого метода восходит к Л.А.Дикому.

Во второй главе диссертации изучается асимптотическое поведение спектральной функции дискретного самосопряженного оператора.

В первом параграфе рассмотрен самосопряженный оператор X,

заданный обыкновенной дифференциальной операцией 2а-ого порядка и

усиленно регулярными краевыми условиями на отрезке [0,1].

Р - оператор умножения на гладкую функцию р£н>; и и v (х) -

п п

собственные ортонорнированные в 1_г[0,1] функции операторов Т + F*

и Т соответственно.

Теорема 6. При а = ¿Тоо имеем

«6* 1С lu (%>м (у) - V IxjVTyjy 1= о-

п -» аз *,yelo, i J 1 _ ^ L v i L 1 .

С помощью методики. предложенной М. Г. Гасымовыи Ссм.С12ЭЗ можно вычислять регуляриэовакные следы для этих операторов.

Во втором параграфе рассмотрен на замкнутом гладком многообразии М полуограниченный самосопряженный дискретный оператор Т , действующий в Н = I. 1М, со;, где <1к - плотность, удовлетворяющая условиям Л. Хермандера, Р - самосопряженный ограниченный оператор в И; и - собственные ортонорнированные в

Н векторы оператора Т + Р , отвечающие фундаментальным числам Предполагаем, что | V (я.) | 2 Сп^, л е <1. я «rfx^ - ограничены на М, не обязательно в совокупности. Теорема 7. Если

+ 11РН- ^ м " 11рН> "

ЛЪ 2г О

^t^vM IK.,. - е/х.у.ьЛ^

о.

где О и д спектральные функции операторов Т т+р т

и Т ♦ Р

соответственно, р > 1.

В третьем параграфе эта теорема усилена.

В третьей главе диссертации изучается оператор

Лапласа-Бельтрами. который является угловой частью обычного

2

трехмерного лапласиана, с нечетный потенциалом на сфере 5 . т.е.

то

если ввести сферические коорлинаты в» *>» О < а < П, О < р < 2П, то Р и + Ги = -Дц + Ри =

= -snre-ae5-141"0^ - —Г~ ^Г + pte' «»« -

sin в Ор

где РСП - в, П + =-PC0i «) .

В первой параграфе детально исследованы так называемые кусочно-монотонные рьды. Во второй параграфе изучена вторая поправка теории возмущений. В третьем параграфе доказана основная теорема.

Теорема в. Если потенциал р - четырежды непрерывно дифференцируемая, нечетная, вообще говоря, комплексная функция на единичной двумерной сфере S2, то для фундаментальных чисел fj .:

= n + n + ОС1)> i = 0< 2п< n - оо оператора Г + Р справедливо равенство:

lim ifj * £ < £ М , ~ + n)CZn + \)t -

N-»00 О.О n,t ' П - 1 L — О

_I £ £ I2k-H)í3j+17 Г 1 1 " tta) , » «. „ ^

7Г TtTT" s 4in<k-j+i3o. <»а|> = - -Ц /f(c,iin(Z<i4iCa>r2);ei«

* o J 3 П o

где На)'- введенное в этой главе интегральное преобразование потенциала р: СЮ,) = 1 (П) = 0), а именно:

уСа, Э, в, =

^ . г

У [eos <в-в> - eos о] [-eos + CÜ5 а]

якобиан перехода от сферических координат в, р, в. к

координатам в, р, в, а. Тогда по определению Л-интегральным преобразованием функции назову следующее представление:

f<a> = s р(р, e>sir, в лр ле i f p<¿, e>sin¿ *><.<»,p,в,e-> £ dgj

sin ex

SI T<co

где T<a> - пересечение конуса (с вершиной в центре сферы и осью со сферическими координатами р, в и углом 2а, О < a S П) со сферой со сферическими координатами р, в (с тем же центром).

В четвертой главе проведен более детальный анализ второй поправки теории возмущений и доказаны следующие теоремы. Теорема 9. Если р - нечетный, четырежды непрерывно дифференцируемый, вообще говоря, комплексный потенциал, то для

собственных чисел /j оператора-Д + Р верно равенство:

п.С

2n . п

Г и . = < Nz + NX2N + 1) - -i —J* f < оГ> ctq П-а> da + Cir±2H )

ЧЛ N rr-n» „ м»'*

i = o ЗЛ1 o N

Теорема 10. Если p - вещественный, бесконечно гладкий, нечетный потенциал, то для собственных чисел оператора -Д + Р справедливо тождество:

00 zk г 1 1 "

Ц + Е { Е V ~ <k + к > Г + 1) —:--/f (.а) с tgaí n-a)da> =

о.о , к,i. *

4=1 i SO -■Л О

= - -L=. ss v v £,<ю,e>sir,e dp je - -l— // >?' p,e>sine d*> de -

24П 1c к л

- —— ./1ЧсО скП-аЫа,

64 П3 о

где у - постоянная Эйлера, связность Леви-Чивита.

Я выражаю искреннюю глубочайшую благодарность Учителю Виктору Антоновичу Садовничему.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровский В.В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате. Доклады АН БССР, 1980, т. 24. ЫЗ. СПОЛЗ-

2. Дубровский В. В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля Дифференц. уравнения, 1980, т.16, N 6, с 1127-1129.

3. Дубровский В.В. 0 регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных. Труды семинара И.Г.Петровского, 1983, вып.9, с.40-44.

4. Дубровский В.В. 0 формулах регуляризованных следов самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка. Дифференц. уравнения, 1984. т.20. N 11. с.1995-1998.

5. Дубровский В. В. Об оценке разности спектральных функций и о формулах регуляризованных следов операторов Вести АН БССР, 1987, N 3. с . 46-50.

6. Дубровский В.В. Асимптотика спектральной функции обыкновенного дифференциального оператора. Дифференц. уравнения. 1990. т.26, N 3, с.533-534.

7. Дубровский В.В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой. Дифференц. уравнения, 1990, т.26, N 12,

с.2046-2051.

8. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана.

УМН. 1991. т.46. N 3, с.187-188.

9. Дубровский В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях. Дифференц. уравнения, 1991, т. 27,

N 12. с.2164-2166.

10. Дубровский В.В. К асимптотике спектральной функции дифференциальных операторов в L <м>. Дифференц. уравнения, 1992, т.гг. n 1, c.6v-75.

И. Садовничий В. А.. Дубровский В. В. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом.

Докл.АН СССР, 1991. т.318, N 4. с.825-827.

12. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Классическая формула, регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере S2. Докл.АН СССР. 1991, т.319, N 1. с - 61 -6213. Садовничий В.А. , Дубровский В.В.. Нагорный A.B. Асимптотика спектральной функции оператора с дискретным спектром в LТруды семинара И.Г.Петровского, 1991. вып. 16. с. 182-185.

Цитированная литература.

1. Гельфанд И.М..Левитан Б.М. Об однон простои тождестве для собственных значений диференциального оператора второго порядка. Докл. АН СССР.1953.т.88.N 4.с. 593-596.

2.Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений. Матем.сборник.1953,т.33,N З.с.597-626.

3. Selberg А.Harmonie analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Ri emarmi an spaces with appl i cat i oris to Dizichlet series J. ind Math.Soc.1956,v.20,p.47-87.

4. Фаддеев Jl. Д. 0 выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля ДАН

СССР.1957.т.115,N З.с.878-881.

5. Дикий Л. А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке Изв. АН СССР,сер. матем. 1955,т19. N 4.с. 187-200.

6.Лидский В.Б. .Садовничий В. А. Регуляризованные сунны корней одного класса целых функций Докл. АН СССР.1967,т. 176.

2.с.259-262.

7.Лидский В.Б..Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций. Функц. анализ и его прил. 1967,т. 1. N 2.с.52-59.

8.Лидский В.Б. Несамоспряженные операторы, имеющие след. Докл. АН СССР,1959,т.125, З.с.485-487.

9.Садовничий В. А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа ДАН СССР,1981,т.256,N 4,с.794-798.

10.Садовничий В.А. .Любишкин В. А. 0 некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов. Дифференц.уравнения.1982.т.18.N 1,с.109-116.

11. Костюченко А. Г. 0 некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов. Матем.заметки. 1967.Т.1, N З.с. 365-378.

12.Гасымов М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов Докл.АН СССР 1963,т. 150,

N 6.с. 1202-1205.

13.Gui1lemiп У.Some spectral results for the Laplace operator With potential on the n-sphere Adv.math.1978,v.27,N 3,p.273-^ьь. IJ.HoiiMivJsv L. The spectral function of an elliptic operator

to

Math- 1968, v.121,N 3-4,p.193-218.

15.Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов.Саносопряженные дифференциальные операторы. М; Наука. 1991.

16.Wensteiп A. Asymptotics of eigenvalues clusters for Laplacian plus potential Duke Math.J.1977,v-44,N 4,p.883-892.

17-Oui1lemin V.,Uribe A. Spectral properties of a certain class of complex potentials. Tr aris • AMS-1983, v ■ 279, N 2,p.759—771.

B печать 27.04.93г. Изд. » 53 Формах 60x84/16 Тираж 100 экз. . Пэч. л 0,54_

Размножено в ЦНИИНТИКПК