О некоторых вопросах теории регуляризованных следов дискретных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение. ^

1. Формулы регуляризованных следов обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в Ь2(-оо,+оо).

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в /,2(-оо,+со).

Ф 1.3. Формулы регуляризованных следов.

1.4. Пример оператора 6-го порядка, возмущенного оператором 2-го порядка.

2. Формулы регуляризованных следов одного класса абстрактных дискретных самосопряженных операторов, возмущенных ограниченным.

2.1. Формулы регуляризованных следов.

2.2. Примеры.

Целью данной работы является изучение некоторых вопросов в теории регуляризованных следов дискретных операторов. В ней рассматривается изучение формул регуляризованных следов некоторых классов дискретных операторов, вычисление явных выражений для регуляризованных сумм собственных чисел этих операторов через параметры операторов.

Теория следов линейных операторов берёт своё начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной линейной алгебры: инвариантности матричного следа линейного оператора и совпадении его В со спектральным следом.

Хорошо известно, что сумма диагональных элементов матрицы линейного преобразования в и-мерном пространстве, т. е. след матрицы, равняется сумме собственных значений преобразования с учетом их кратности.

Сумма собственных значений линейного оператора в «-мерном пространстве называется спектральным следом, а сумма диагональных ^ элементов матрицы преобразования - матричным следом. Хорошо известно, что спектральный след оператора равен его матричному следу. Естественно возникает вопрос: справедливы ли подобные факты и для каких классов операторов в гильбертовом пространстве? Следы операторов играет важную роль в различных разделах анализа, в вопросах приближенного вычисления собственных значений, при решении обратных задач спектрального анализа, их изучение представляет и самостоятельный интерес.

Отметим, что справедливо следующее утверждение: • 3

Если А - ядерный оператор, то при любом выборе ортонормированного

00 базиса {фкУк11 в гильбертовом пространстве Н ряд ^>) абсолютно

А=1 сходится, имеет место неравенство сингулярные к=1 *=1

00 числа оператора А) и сумма ряда У!(А(рк,(рк) = ЗрА ? которую мы назовем матричным следом оператора А, не зависит от выбора базиса {(рк • Спектральным следом ядерного оператора А называется сумма его собственных значений Як, занумерованных с учетом алгебраической

00 кратности, т. е. выражению ^ \ . к-1

Отметим, что если А - ядерный (и, следовательно, вполне непрерывный) и самосопряженный оператор, то к нему применима теорема Гильберта -Шмидта, согласно которой существует ортонормированный базис Н из собственных векторов оператора А. Вычисляя матричный след оператора А

00 в этом базисе, получим, что е. матричныи след оператора к=1 совпадает с его спектральным следом.

Естественно возникает вопрос о справедливости такого рода утверждений для произвольных ядерных операторов. Ответ на этот вопрос положителен. Справедлива следующая теорема В. Б. Лидского [7, 13, 38]: Если оператор А - ядерный, то его матричный след совпадает с его спектральным следом:

А(Рк,(Рк) = ^Хк{А)> к=1 к=1 где {(рк - произвольный ортонормированный базис в Н, Лк(А)— собственные значения оператора А.

Возникает вопрос об аналоге этих теорем для неограниченных операторов. В этом случае спектральный и матричный следы оператора не существуют. Дальнейшее развитие теории привело к постановке и исследованию вопроса о распространении понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа. Отметим, что существуют примеры физической интерпретации этого подхода в квантовой статистике([16]). Естественным образом возникает понятие так называемых «регуляризованных следов».

Классическим регуляризованным следом порядка а оператора А называется соотношение вида

4 («)) = *(«), (1) к где Як — собственные числа оператора А , а —вещественное число, а Ак{а) и В{а) — явно вычисляемые через характеристики оператора выражения.

Первым результатом теории регуляризованных следов дискретных операторов стала формула Гельфанда - Левитана для оператора л

Штурма - Лиувилля с потенциалом q{x), ^{х)(1х = 0 ? порожденного о краевой задачей - у" + д(х)у = ¡лу, .у(О) = у{п) = 0:

1=1 4 была получена в работе [5] методом, опиравшимся на прямое исследование характеристического определителя задачи. К аналогичным результатам пришел Л. А. Дикий в работе [8] для оператора Штурма -Лиувилля, доказав равенство:

СО Г 2 ле ^ ¡Лп-Пг--[<7(х)8Н12 пхйх

И=Л Я" о т 5

Далее следует отметить работу И. М. Гельфанда [6], в которой он методом основанным на исследовании асимптотического разложения следа резольвенты впервые получил формулы следов высших порядков для оператора Штурма - Лиувилля

00 икп-Ак{П))=т,

Л=1 где Ак{п)— отрезок разложения /ик„ по степеням п (то есть фактически по степеням невозмущенного спектра содержащий только неотрицательные степени п, В{к) в конечном виде выражаются через и ее производные.

Следует отметить работу Л. А. Дикого [9], который первым использовал дзета-функцию оператора для получения формул следов оператора Штурма - Лиувилля и получивший формулы следов всех порядков.

Дальнейшее развитие теории после завершения исследования регулярной задачи для оператора второго порядка, было посвящено распространение полученных результатов на обыкновенные дифференциальные операторы более высоких порядков. В работе Р. Ф. Шевченко [39] получен первый результат теории следов для дифференциального оператора порядка большего двух, и далее в работах В. А. Садовничего[23, 24] в этом направлении был получен ряд сильных результатов.

Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены В. Б. Лидским и В. А. Садовничим в работе [14], где было установлено, что доказательство формул типа (1) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой. В этой работе было использовано применение методов теории функций для исследования дзета - функции, ассоциированной с функцией из специального класса функций К, включающего в себя характеристические определители многих спектральных задач. Также был дан метод вычисления регуляризованных сумм корней, что вместе с данным в работе этих же авторов [15] методом вычисления асимптотических разложений этих корней по степенно - логарифмическим функциям номера позволило решать задачи теории следов во многих важных случаях. Здесь можно выделить исследование нулей функций Бесселя [25], задачу о суммировании полуцелых степеней собственных чисел и связанную с ней задачу о суммировании собственных чисел в одной серии [26, 27], исследование спектральной функции оператора [28] через исследование взвешенной дзета - функции. В работе [36] рамки метода В. Б. Лидского и В. А. Садовничичего были расширены.

Далее следует сказать о развитии теории регуляризованных следов сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов на неограниченных промежутках.

В начале 60-х в работах М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана [3, 4] впервые были рассмотрены операторы Штурма - Лиувилля на полуоси, т.е. на некомпактном многообразии. В работе [3] были рассмотрены две задачи для обыкновенных дифференциальных полуограниченных операторов второго порядка на оси и полуоси с дискретным спектром, возмущённых оператором умножения на финитную функцию р(х) с нулевым средним, и для задачи на оси доказана формула

-Я„) = 0, п=1 а для задачи на полуоси с дополнительным требованием дифференци-ируемости р(х) в некоторой окрестности нуля доказана формула п=1 4

Следует отметить, что крупное продвижение теории было достигнуто А. Г. Костюченко ([11]). Для возмущения положительного дискретного дифференциального оператора в Ь2{К) с операцией вида

1у = (-1Г + р2т-2 Сх)/2т-2) + . + р0 (х)у оператором умножения на финитную функцию д(х) е Ц было доказано,

00 что если 00 д(х)с1х = 09 хо ]>](//„ -Лп) = 0 и был получен результат 1 для оператора четвертого порядка на полуоси: для граничной задачи .У(О) = У(0) = 0 и для потенциала х), имеющему, кроме уже указанных

00 условий (q{x) -финитная, д(х) е. Ьх, х)^х = 0 ^ ограниченную вариацию о в некоторой окрестности нуля, верна формула п—1 4

Далее следует сказать о некоторых результатах, связанных с получением регуляризованных следов дифференциальных операторов с частными производными. Нужно отметить многочисленные работы В. В. Дубровского, посвященные формулам регуляризованных следов для степеней оператора Лапласа на прямоугольнике, возмущенного различными классами ограниченных операторов.

Первыми работами в этом направлении стали работы В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [29, 30]. Абстрактная теорема первой из этих работ позволила исследовать возмущение оператора Лапласа на квадрате интегральным оператором с гладким ядром, а во второй формула следа была получена для возмущения оператором умножения на функцию р(х,у) степени Ъ + £ оператора Лапласа на двумерном прямоугольнике с условиями Дирихле, и при некоторых ограничениях на потенциал формула приобретает вид, весьма сходный с формулой Гельфанда - Левитана:

В этой же работе формула следа была доказана и для билапласиана, но для потенциалов, ряд Фурье которых содержит конечное число ненулевых слагаемых. Заметим, что в настоящее время формула следа для возмущения степени оператора Лапласа оператором умножения на ограниченную функцию была значительно усилена: из результатов работы

35] следует, что такие формулы справедливы для степеней (-А)" оператора Лапласа при а > 1 с условиями Дирихле на границе квадрата, возмущенного оператором умножения на ограниченную измеримую (комплекснозначную) функцию.

Одной из важнейших конкретных задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И. М. Гельфандом — получить формулы следов для оператора Лапласа - Бельтрами на сфере. Крупным продвижением стала работа В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [31], в которой был рассмотрен оператора Лапласа - Бельтрами - А + возмущенный гладким нечетным вещественнозначным потенциалом # на двумерной единичной сфере Б2. Позднее в работе тех же авторов [33] было предложено доказательство замечательной формулы

В работе [22] эта формула была уточнена В. Е. Подольским. В дальнейшем В. Е. Подольским были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.

7(0,0) + р(а, 0) + р(0,Ь) + р(а,Ь) 16 оо 2 п 1

В заключение обзора развития теории регуляризованных следов следует отметить, что получение таких формул может быть полезно для нахождения собственных чисел соответствующих операторов.

Равенства (1) важны и интересны потому, что Ак{а) и В{а) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения. Формулы (1) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений р

2 СК-Ак{а)) = В{а),а = \,2,.,р к=1 относительно неизвестных Я1,Я2,.,Лр. Это обстоятельство особенно существенно для приближенного нахождения первых собственных чисел соответствующих задач. Отметим, что регуляризованные следы, основанные на поправках теории возмущений, использовались для приближенной оценки собственных чисел в работах В. А. Садовничего, В. В. Дубровского и других [32, 34].

Перейдем к обзору содержания диссертации. Первая глава посвящена доказательству формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов на вещественной оси с полиномиальными коэффициентами. Заметим, что дифференциальное выражением на прямой вида

1 = Т.РМ> у=о &Х1 где Ру(х) - заданные полиномы с комплексными коэффициентами от вещественного переменного х можно представить в нормальной форме:

Здесь - комплексные числа, а

Г 1 Г л N й х + 1 а = 1 х-

V йх у

4г\ йху 42 называют операторами рождения и уничтожения соответственно а и а*

В качестве невозмущенного оператора рассматривается самосопряженный положительный оператор А в Z2(-oo,+oo)5 порожденный дифференциальным выражением вида (а )р ар, где р- натуральное число. В качестве возмущаемого оператора рассматривается оператор В, порожденный дифференциальным выражением вида / Mst а У а , где qs+t<q натуральное число (q <2р). Через обозначим собственные числа оператора А . Через ¡лк обозначим собственные числа оператора А + В, занумерованные с учетом алгебраической кратности в порядке возрастания действительных частей.

Отметим, что бесконечная матрица, которая получается при матричном представлении дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в базисе, состоящем из функций Чебышева - Эрмита является обобщенной якобиевой матрицей.

В современной математической физике спектральная теория якобиевых матриц сама по себе занимает важное место, так как операторы, соответствующие таким матрицам, могут рассматриваться, как дискретные аналоги дифференциальных операторов, имеющих ясную физическую интерпретацию. Кроме того, теория операторов Якоби служит мостом к другим математическим областям вне теории операторов, в частности, к таким областям, как теория ортогональных полиномов и теория непрерывных дробей. Тем не менее, несмотря на давнее происхождение и огромное количество накопленных результатов, вопрос о спектральных свойствах матриц Якоби, в зависимости от поведения их элементов, изучен далеко не полностью.

В параграфе 1.1. мы приводим некоторые необходимые предварительные сведения из тории дискретных операторов, теории Шатена - фон Неймана симметрично - нормированных идеалов компактных операторов, следах и определителях возмущения.

В параграфе 1.2. рассматриваются матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в £2(-00>+00) и свойства матриц Якоби. Также здесь рассматривается условие самосопряженности оператора, порожденного симметрической дифференциальной операцией с полиномиальными коэффициентами в Ь2 (-оо,+оо).

Параграф 1.3. посвящен получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов на вещественной оси с полиномиальными коэффициентами. В нем доказана следующая теорема: Теорема 1.3.1. Пусть # < 2(р -1). Тогда существует возрастающая последовательность положительных чисел ат, ат —» +оо при т -» +оо такая, что

Нш т ->+оо

0 2 т* к т > 0 где /о Ч

2(р-\)-Ч 1 и через обозначена окружность на комплексной плоскости радиуса ат с центром в нуле. В частности, при # < — 1 формула регуляризованного следа принимает следующий вид: тгкН

При доказательстве этой теоремы используются методы, близкие к методам, развитым В. Е. Подольским ([37]) .Однако, отметим, что в вышеприведенной теореме в формуле регуляризованного следа суммирование происходит без скобок и последовательность контуров Гт строится явно.

В параграфе 1.4. рассматривается частный случай вышеприведенной теоремы. Здесь получена формула регуляризованного следа для оператора

6-го порядка, порожденного дифференциальным выражением (а )3я3, возмущенного оператором второго порядка, порожденного дифференциальным выражением вида

И20(а*)2 + киа*а + И02а2 + Июа* + И0]а + /г00, где е С:

00 |

-Л] = ~~КгК. у=0 ->

Основные результаты первой главы опубликованы в работах автора [17,

18, 19].

Вторая глава работы посвящена формуле регуляризованного следа для одного класса абстрактных дискретных самосопряженных операторов, возмущенных ограниченным оператором.

Пусть Т — дискретный полуограниченный снизу самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н . Пусть Яп - собственные числа оператора Г, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, Р - ограниченный оператор в Н. Обозначим через ¡лп собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Пусть собственные числа Яп оператора Т удовлетворяют следующим условиям:

1. Хп ~ Сп, С > 0 при п -» +оо.

2. Бир(Яя+1 -Лп) = + оо. п

3. Существует возрастающая последовательность положительных чисел

00 | ат} т=\ > ат ~~+0° такая, что Г7 ~ ^ для некоторого р, р> 1,

К > О, К не зависит от т.

Выберем подпоследовательность {пт натуральных чисел так, что /1И < а т < Л. . п„ т л„ +1 •

В параграфе 2.1. доказана следующая теорема: Теорема 2.1.2.

Справедлива следующая формула регуляризованного следа:

Г1 / /о Г-П*-1 ^ ^ lim 2>* Sp fl Е^т— Ьл т -»+оо л=1 2я/ r I к / e т N 7 где Гт - окружность с центром в начале координат радиуса ат,

Заметим, что в данном случае рассматривается ограниченное возмущение оператора Т, который обладает неядерной резольвентой. Вместе с тем собственные числа Ял удовлетворяют условию ~ Сп, С > О при п —» +оо, но при этом на вещественной оси существуют промежутки сколь угодно большой длины, свободные от чисел Яп.

В параграфе 2.2. рассматривается пример абстрактного оператора, удовлетворяющего условиям вышеприведенной теоремы. Далее обсуждается случай оператора, порожденного задачей Дирихле для оператора Лапласа на квадрате.

Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [20,

21].

1. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа связанные с нею-М.: Физматлит, 1961. - 310 с.

2. Березапский 10. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.- 799 с.

3. Гасымое М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов//ДАН СССР. 1963.-Т. 150, №6.-С. 1202 - 1205.

4. Гасымое М. Г., Левитан Б. М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. -1963. Т. 151, №5.

5. Гельфаид И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. —1953. -Т. 88.-С. 593 -596.

6. Гельфаид И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // УМН. 1956. - Т. 11, №1. - С. 191-198.

7. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. - 448 с.

8. Дикий Л. А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана // УМН. 1953. - Т. 8, вып.2.-С. 119- 123.

9. Дикий Л. А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма -Лиувилля // УМН. 1958. - Т. 13, вып. 3. - С. 111 - 143.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

11. Костюченко А. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. М., 1966.

12. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. II Функциональный анализ и его приложения. — 1999. Т. 33. вып. 1. - С. 30-45.

13. Лидский В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след // ДАН СССР. 1959. - Т.125, №3.-С. 485-488.

14. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения. 1967. - Т. 1, №2. - С. 52 -59.

15. Лидский В. В., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Мат. Сборник. 1968. - №4, т. 75(117). - С. 558 - 566.

16. Лифшш{ И. М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой // УМН. 1952. - Т. 7, №1. - С. 173 - 180.

17. Михаскив Д. Н. Регуляризованный след обыкновенного линейного дифференциального оператора с полиномиальными коэффициентами в L2 (-оо,+оо)//УМН. 2005. - Т. 60, №2. - С. 167 - 168.

18. Подольский В. Е. Формула регуляризованного следа оператора ЛапласаБельтрами с нечетным потенциалом на сфере S2 // Мат. Заметки. 1994. - Т. 56, вып. 1.-С. 71 -77.

19. Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. Сборник. 1967. - Т. 72, №2. - С. 293 - 317.

20. Садовничий В. А. Формулы следов для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. Заметки. 1967. - Т. 1, №2. - С. 179 - 188.

21. Садовничий В. А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Соотношения для нулей функций Бесселя // Вестник МГУ, сер. 1, матем., мех. 1971. -№3. - С. 77 - 86.

22. Садовничий В. А. Регуляризованные суммы полуцелых степеней оператора Штурма Лиувилля // Мат. Заметки. - 1973. - Т. 14, №2. - С. 279 - 290.

23. Садовничий В. А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов // Дифф. Уравнения. 1974. - Т. 10, №7. - С. 1276 - 1285.

24. Садовничий В. А. О следах с весом и об асимптотике спектральной функции // Дифф. Уравнения.- 1974.-Т. 10, №10.-С. 1808 1818.

25. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов // Дифф. Уравнения. 1977. - Т. 13, №7. - С. 1264 - 1271.

26. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных // Дифф. Уравнения. 1977. - Т. 13, №11. -С. 2033 - 2042.

27. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Классическая формула регуляризован-ного следа для собственных чисел оператора Лапласа Бельтрами с потенциалом на сфере S2 // ДАН СССР. - 1991. - Т. 319, №1. - С. 61 - 62.

28. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Замечания об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретного оператора // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1994. - Т. 17. - С. 244 - 248.

29. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О классической формуле первого регу-ляризоваиного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1996. - Т. 19. - С. 37 - 72.

30. Садовничий В. А., Дубровский В. В. и др. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе//Дифф. Уравнения. 1998.- Т. 34, №1.-С. 50- 53.

31. Садовничий В. А., Конягин С. В., Подольский В.' Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным // Докл. РАН. -2000.-Т. 373, №1.-С. 26-28.

32. Садовничий В. А., Любишкип В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа // ДАН СССР. 1981. - Т. 256, №4. - С. 794 - 798.

33. Садовничий В. А., Подольский В. А. Следы операторов с относительно компактным возмущением //Матем. сб. 2002. - Т. 193, №2. - С. 129-152.

34. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Дрофа, 2001. - 384 с.

35. Шевченко Р. Ф. О следе дифференциального оператора // ДАН СССР. 1965. -Т. 164, №7. - С. 62- 65.

36. Яфаев Д. Р. Математическая теория рассеяния. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1994. - 494 с.