Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Торшина, Ольга Анатольевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Магнитогорск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
УДК 517.9
На правах рукописи
Торшина Ольга Анатольевна
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА - БЕЛЬТРАМИ С ПОТЕНЦИАЛОМ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
01.01.02. - дифференциальные уравнения
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Иркутск - 2004
Работа выполнена на кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Дубровский Владимир Васильевич! кандидат физико-математических наук, доцент Кадченко Сергей Иванович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент Шароглазов Владимир Семенович
Ведущая организация: Институт математики
им. С .Л. Соболева СО РАН
Защита диссертации состоится 19 октября 2004 г. в 15® на заседании диссертационного совета Д003.021.01 вИДСТУ СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, зал заседаний Ученого совета, ком. 407.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН Автореферат разослан _17 сентября 2004 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук
Опарин Г.А.
2.006-4 t43l
tiloi?o
Общая характеристика работы Актуальность темы диссертации
Исследование спектральных свойств возмущенных операторов является одной из значимых задач спектральной теории. Эта область математической науки своим развитием во многом обязана работам Г.Вейля1. Именно Г. Вейль стоит у истоков исследования собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Разрабатывая эту проблему, необходимо было определить асимптотику спектра. Однако при ее рассмотрении улучшение остаточного члена иногда оказывается невозможным, более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. В связи с этим возникла необходимость перейти к исследованию более глубокой структуры спектра. Стандартным инструментом такого исследования стало получение формул регуляризованных следов оператора.
У истоков исследования проблемы вычисления регуляризованных следов стоит работа И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана2 1953 года, в которой рассматривается оператор, порожденный краевой задачей
-У" + Я(х)у = Ху, 0 < х < 7Г,
УФ) = у(») = о,
где g - дважды непрерывно дифференцируемая функция на интервале (0,1).
Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел
этого оператора выражается формулой
»
Xn=n2+lJq{x)dx+° (¿) •
О
В силу этого числовой ряд
'Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesaz der Eigenverte linearer partieller differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf Theoril Hohraumstrahlung) //Math.Ann. 1912. 71. P.441-479.
2Гельфанд И.M..Левитан Б.М. Об одном простои тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порадка//ДАН СССР. 1953. Т.88, N4. С.593-596.
РОС • ч , ,я
f -дЗ
' ,-г
сходится. В рассматриваемой работе первый регуляризованный след оператора определяется формулой
п—1
1
Здесь со = - / q{x)dx.
о
К аналогичным результатам пришел в том же году и JI.A. Дикий3. Позже он показал, что формула (1) эквивалентна равенству
оо
- n2 - (?«„,*>»)) = О,
П=1
где — собственные ортонормированные функции оператора
-у" = >Ф, 0 < ж < тг, 1/(0) = К*) = о.
В работе 1955 года4 Л.А. Дикий вычислил регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля высших порядков. Л.Д. Фадеев в 1957 году5 рассмотрел обыкновенные дифференциальные операторы с непрерывным спектром. В дальнейшем Л.Д. Фадеевым и B.C. Буслаевым8,7 получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.
М.Г. Гасымов в 1963 году8 получил формулу для суммы разностей собственных значений двух самосопряженных операторов Штурма - Лиувилля, отличающихся друг от друга финитным потенциалом. Он же в соавторстве с Б.М. Левитаном в 1963 году9 вывел формулу
* Дикий Л. А. Об одной формуле Гельфавда-Левитана//УМН. 1953. Т.54, N8:2. С.119-123.
4Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнении на.
конечном отрезке // Изв. АН СССР. 1955. Т.19. N4. С. 187-200.
6Фадеев Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1957. Т.115, N5. С.878-881.
6Буслаев B.C. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве// ДАН СССР. 1962. Т.143. N 5. С.1067-1070.
7Буслаев B.C., Фаддеев Л.Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма - Лиувнлля// ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 1. С. 13-16.
'Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов//ДАН СССР. 1963. Т-150, N6. С.1202-1205.
9Гасымов М.Г.,Леввтан Б.М. О сумме разностей собственных значения двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1963. Т.151, N5. С.1014-1017.
для суммы разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма - Лиувилля, отличающихся друг от друга граничными условиями и финитным потенциалом. Согласно им, если А - полу ограниченный снизу самосопряженный оператор в 1/г[0, оо), заданный на полуоси дифференциальным выражением
1(у) = -у" + д(Х)у, д(х)еС(Я+)
и граничным условием
у{0) - 0,
имеет дискретный спектр - оператор умножения на вещест-
венную функцию д(х), причем
+оо
д(х)еС0(11+), I д(х)<1х = 0 (2)
о
(Со(К+)-множество непрерывных, финитных на функций), то для собственных чисел возмущенного оператора А+В справедливо
равенство
п—1
В 1965 году Р.Ф. Шевченко10' 11 вычислил сумму разности собственных значений для несамосопряженных операторов А и А + В, задаваемых дифференциальными выражениями на отрезке [0,1]
соответственно, и одинаковыми регулярными краевыми условиями12.
Из логики его рассуждений следует, что если функция д(х) достаточно 1
гладкая и / д(х)с1х = 0, то
-IIп) = -
п= 1
э(1) + з(0)
10Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора//ДАН ССР. 1965. Т.164, N1. С.62-65.
11Шевченко Р.Ф. Регуляризация следа обыкновенного дифференциального опера-тора//Вест. Моск. ун-та. 1965. N 6. С.28-36. Т.164, N1. С.62-65.
12Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
В 1966 году А.Г. Костюченко13 вычислил регуляризованные следы (1) для полу ограниченных дифференциальных операторов высших порядков. При этом предполагалось, что возмущение д[х) удовлетворяет условиям (2). Наиболее общие результаты достигнуты В.Б. Лидским и В.А. Садовничим14. Им удалось вычислить регуляризованные следы всех порядков произвольных краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра. Метод, развитый в их работе, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.
Однако, при рассмотрении прикладных задач механики, порожденных дифференциальными операторами с частными производными, возможна более сложная зависимость от спектрального параметра, что подтверждается совместным исследованием А.Г. Костюченко, A.A. Шка-ликова15 и работой Е.П. Богомоловой16.
Возникает задача суммирования регуляризованных следов. Один путь — суммирование по Абелю. Еще в 1962 году В.Б. Лидский17 применил метод Абеля при суммировании рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Кроме того, такое суммирование использовалось В.А. Любишкиным и Г.В. Козловым18 при вычислении регуляризованных следов в случае финитных гладких возмущений степенных потенциалов, где была известна асимптотика собственных значений. А.Г. Костюченко и Г.Н. Радзиевский19 в 1974 году использовали этот метод для суммирования n-кратных разложений.
В.А. Любишкин и В.Е. Подольский, начиная с 1993 года, стали применять его для суммирования регуляризованных следов эллиптических
13 Костюченко А.Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального порядка 2т//ДАН СССР. 1966. Т.168, N2. С.276-279.
14Лидский Б.В.,Садовничий В.А.Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций//Функц. анализ и его прил. 1967. Т.1, N2. C.52-S9.
15Костючеяко А.Г., Шкаликов A.A. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функц. ан. 1983. Т. 17. С. 38-61.
16Богомолова Е.П. Некоторые вопросы спектрального анализа несамосопряженного дифференциального оператора с "плавающей" особеностью// Дифф. ур. 1985. Т. 21. N 11.
17Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов//Труды ММО. 1962. N11. С.3-35.
18Любитпкин В.А., Козлов Г.В. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов // Вестник МГУ. 1993, N 4. С. 6-11.
19Костюченко А.Г.,Радзиевский Г.Н. О суммируемости методом Абеля п-кратных разложений//Сиб. матем. журн. 1974. Т. 15, N4. С.855-870.
дифференциальных операторов на компактных многообразиях20, 21.
Второй путь — суммирование следов со скобками — впервые применен в 1987 году В.А. Садовничим , В.. Любишкиным и М. Марти-новичем22 для получения формул следов конечномерных возмущенных дискретных операторов. В 1991 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский23 получили классическую формулу регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. Позже ими была выведена формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере24. Затем Подольский25 в 1996 году получил аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.
В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский26 получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полу ограниченного снизу оператора Т
1<4Р)Ы1 < l^maxWiR^rW, ||Р||* '\к> .„,
в случае, когда существует такое натуральное число so t что оператор ((Т — /х-Е?)-1)"0 является ядерным. Здесь -резольвента оператора
Т. Это позволило при < 1 и условии ограниченности оператора Р, записать нелинейные уравнения
по По
к=1 4=1 fc=l
20Любишкин В.А., Подольский В.Б. О суммируемости регуляризованных следов дифференциальных операторов //Математические заметки. 1993. Т.54, N2. С.33-38.
21 Подольский В.Е. Суммирование по Абелю регуляризованных следов//Вестник МГУ. Сер.1. 1999. 5. С.42-48.
22Садовничий В.А.,Любишкин В.А.,Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов//ДАН СССР. 1987. Т.239, N5. С.1062-1064.
гзСадовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере 52//ДАН СССР. 1991. Т.319, N1. С.61-62.
24Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1996. Вып.19. С.37-72.
25PodoIski¡ V.E. On summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one// Rus. J. of Math. Phys. 1996. V.3, N4. P.l-8.
26Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов// Труды сем. И.Г. Петровского. 1994. В. 17. С.244-248.
°)л>'о,Р = 1,по (3)
для нахождения первых п0 собственных чисел {/3„}"lj оператора Т+Р. Здесь а^(тю) = J fiP-1[PRtl{T)]hd/lt-поправки теории воз-
Ти0
мущений оператора Г -f Р, ТПо - круг радиуса р„а = ^"о-^—^з! с центром в начале координат комплексной плоскости, R,i(T) - резольвента оператора Т, {(¿n}X=i ~ собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, d„ — |/x„+i — /¿„1- При этом, было показано, что ряды поправок тео-
оо
рии возмущений ^ о^(по) сходятся, а а£(п0) явно вычисляются через
характеристики операторов Т и Р с помощью теории вычетов.
Исследования В А. Садовничего и В.В. Дубровского легли в основу разработанного С.И. Кадченко27' 28 • 28 ■ 30 нового метода (метод регу-ляризованных следов) вычисления первых собственных чисел дискретных операторов, основанного на уравнениях (3). Зная регуляризован-ный след оператора необходимого целого порядка п, используя метод регуйяризованных следов, можно вычислить первые его собственные числа. Отметим, что с задачами теории гидродинамики вязкоупругих жидкостей тесно связаны работы Г.А. Свиридюка31 и его учеников.
Итак, в многочисленных исследованиях последних десятилетий были открыты новые направления спектральной теории операторов. Ее развитие шло по пути расширения класса операторов, для которых можно выписать формулы регуляризованных следов, конкретизации регуляризирующих слагаемых в этих формулах, ослабления условий (типа гладкости) на рассматриваемые возмущения, анализа степени
37Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора//Новые мат. методь*. Электромаги. волны я электронные системы. 199S/N 2. Т. 3. С. 4-8.
48 Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод вычисление первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами// ДАН. 2001. Т. 381, N 3. С. 320-324.
м Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Паузейля в круглой трубе// ДАН. 2001. Т. 380, N 2. С. 160-163.
40Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Заммерфельда// ДАН. 2001. Т. 378, N 4. С. 443-446.
31Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Известия ВУЗов. Математика. 1994. N 1. С.62-70.
подчиненности возмущений и нахождение 'следов дифференциальных операторов с потенциалом на различных поверхностях. Новые возможности для углубления исследований в этой области открывает изучение дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости и создание алгоритмов вычисления регуляризованных следов соответствующих операторов, что предопределяет значимость этой проблемы и актуальность диссертационного исследования.
Целью работы является нахождение регуляризованного следа оператора Лапласа — Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости. Ее достижение предполагает доказательство теоремы сложения для четных сферических гармоник и ряда промежуточных лемм, открывающих путь к вычислению поправок теории возмущений с последующим выходом на формулу регуляризованного следа эллиптического дифференциального оператора.
Научная новизна
Вычисление регуляризованных следов возмущенных операторов на проективной плоскости до сих пор не проводилось. Эта проблема находится на начальной стадии изучения в спектральной теории. В диссертационной работе впервые:
1. доказана теорема сложения для четных сферических гармоник;
2. получены оценки числовых рядов, используемые при нахождении поправок теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости;
3. вычислены четыре поправки теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами;
4. вычислен регуляризованный след первого порядка возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами на проективной плоскости;
5. показано направление исследования регуляризованных следов со сложным вхождением спектрального параметра.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты проведенного исследования могут быть использованы для нахождения первых поправок теории возмущений различных дифференциальных операторов в частных производных. Обращение к теореме сложения при рассмотрении регуляризованного следа дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра позволит также в большинстве случаев обойти нахождение асимптотических формул для присоединенных полиномов Лежандра, что существенно упростит решение этих задач.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы при проведении научных исследований в области спектрального анализа при МГУ имени М.В. Ломоносова, института математики РАН имени В.А. Стеклова, института математики СО РАН имени С.Л. Соболева, Воронежского, Новосибирского, Иркутского, Челябинского и Магнитогорского университетов.
Методы исследования
При решении поставленной задачи используются методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов и теории возмущений. В работе широко используются новые методы, разработанные московской научной школой академика РАН В.А. Садовни-чего.
Апробация работы
Результаты работы представлялись на Четвертой Всеросийской научной internet-конференции "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2002), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2002), International conference "Ш-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003), International conference "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2003), а также на научно- исследовательских семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В. Дубровского в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 2000-2002).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. В совместных работах В.В. Дубровскому принадлежит постановка задач. Получение конкретных результатов принадлежит диссертанту.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и изложена на 115 страницах. Список литературы содержит 145 наименований, включая работы автора.
Содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяются цели работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются результаты диссертации.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней рассматриваются дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы, оператор Лапласа - Бельтрами, функции Лежандра и сферические
функции, используемые нами при доказательстве теорем, позволяющих перейти к нахождению следа возмущенного оператора на проективной плоскости.
Во второй главе определяются подходы к исследованию дифференциальных операторов на проективной плоскости, обращается внимание на целесообразность представления проективной плоскости через сферу посредством отождествления противоположных точек и выкалывания полюсов. В результате появляется возможность применить к исследованию дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости отдельные методы, используемые при работе на сфере.
В параграфе 2.1 доказывается теорема сложения для четных сферических гармоник, необходимая при вычислении поправок теории возмущений.
Теорема 1. Пусть
— сферические гармоники. Тогда для четных функций на сфере справедливы формулы
X) Уп1У'п1 = Ь!(Рп{со8а)),
1=1 (шо<1 2) п
XI = ¿2 (Л. (сое а)).
1=0 (тек) 2)
Здесь
п п ¿Г 1.2
пт | тт — т=0 ' " ' к=0,к^т
ж т | тт ~ ¿¡р1
т=0 к=0,к^т
Параграф 2.2 содержит оценки числовых рядов, которые в следующей главе используются при получении оценок сходимости числовых рядов.
В третьей главе, состоящей из трех параграфов, с помощью теоремы сложения для четных сферических гармоник и оценок числовых рядов находится регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости.
В параграфе 3.1 после констатации того, что первая поправка теории возмущений в силу четности потенциала р(в, <р) по аргументу в равна нулю, находится вторая поправка теории возмущений.
Теорема 2. Вторая поправка теории возмущений на проективной плоскости Р имеет вид
ап{р) =
2п + 1
£
|А*-АП|| /+/
1 LO ir-e
х/(a) sin aPikicos д)Ргп(eos a)da+
+
ir—с
J f(a) sin a
cos{(2fc + l/2)a-7Г/4} (sin а)1/2
sin{(2fc + 3/2)а - Я-/4} Q( 1)
/• . _ . о /о
(2/ТГ O(l)
(2 fc)1/2 (2fe)3/2
0(1)
+
(sin a)3/2 (2k)3/2 (Sina)5/2(2A)5/2
cos{(2TÍ + 1/2)а - ir/4}
+
\ (sin а)1/2
sin{(2n + 3/2)a - 7t/4} 0(1)
(2/тг)У2 | O(l)
(2n)1/2 (2n)3/2 + ^
+
■ da
(sin a)3/2 (2 n)3/2 (sina)5/2(2n)5/2
где e - положительное число, которое будет оценено позже,
/(а) = JIр(в,<р) sin 9dedipy
/ /
Т(а)
Далее в процессе вычисления второй поправки формулируются леммы, содержащие оценки каждого из ее членов.
Лемма 1. Верна асимптотическая формула
2п + 1 ^ 2 к +
¿Ь* I1'
Ь{[Ь1]
V 1.0 1Г-е.
х f{a) аш аРк (соб а)Р„ (сов = 0(е21п п).
Лемма 2. Имеет место соотношение порядка 2п+1 ^ 2& 4-1
< ! /(а) со8{(А; + 1/2)а - тг/4> соз{(п + 1/2)а - тг/4}
е
Лемма 3. Верно асимптотическое соотношение 2п + 1 ^ 2к+1
е
х ^ /(а)со8{(*! + 1/2)а-7г/4}со8{(п + 1/2)а-7г/4}
е
Лемма 4. Справедливо соотношение порядка 2п + 1 ^ 2к + 1
7Г—е
х J /(а)со8{((к + 1/2)а-1г/4}со8{(п+1/2)а-1г/4}
Е
0(1) *3/2пг/2
(¿а
к^п3^
¿а
Лемма 5. Справедлива асимптотическая оценка 2 п + 1 ^ 2Л; + 1
7Г—е
X
7Г—е
/ ¿ё соз{(а+1/2)а - */4} вь{(п+з/2)а -е
ж—е
= //И^-аМа + О^).
е
Лемма 6. Верна асимптотическая формула 2п + 1 ^ 2&+1
4*2 ,А* ~ Ап|
ж—е
х / ¿Й С08{(* + 1/2)а ~ *п{(п + 3/2)а ~ =
В итоге получена следующая теорема.
Теорема 3. Для второй поправки теории возмущений имеет место асимптотическая оценка
В параграфе 3.2 вычисляются третья и четвертая поправки теории возмущений.
Теорема 4. Третья поправка теории возмущений на проективной плоскости равна нулю.
Для нахождения четвертой поправки доказывается лемма.
Лемма 7. Для оператора Лапласа-Белътрами с четным дважды непрерывно дифференцируемым, потенциалом на проективной плоскости на прямых 1п — {А|А = Хп + п + \-\-ip, —оо < р < оо} справедливо неравенство
\\{Т-ХЕ)-'\\1< -ВД
|е| + п'
где А € и е. — 1т(\).
Полученный результат позволяет сформулировать теорему Теорема 5. Четвертая поправка теории возмущений па проективной плоскости равна
В параграфе 3.3 формулируются основные теоремы. Теорема 6. Еслир — четный, по аргументу в, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т + Р верно равенство
Теорема 7. Еслир — четный, по аргументу в, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами на проективной плоскости имеет вид
Основные результаты и выводы:
1. доказана теорема сложения для четных сферических гармоник;
2. вычислены четыре поправки теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами;
3. вычислен регуляризованный след первого порядка возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами на проективной плоскости.
Автор благодарен научным руководителям исследования: доктору физико-математических наук, профессору В.В. Дубровскому и заведующему кафедрой прикладной математики и вычислительной техники МаГУ, кандидату физико-математических наук, доценту С.И. Кадчен-ко за постоянное внимание и ценные рекомендации, а также коллективам кафедр математического анализа, прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за конструктивную критику и поддержку.
+ + =0.
Список публикаций по теме диссертации
1. Дубровский В.В., Торшина O.A. Об одном из вопросов теории возмущений// Четвертая Всеросийская научная internet - конференция "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках". Тамбов, 2002. Вып. 17. С. 36.
2. Дубровский В.В., Торшина O.A. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра//Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 2002. N 9. Т. 7. С. 4-10.
3. Дубровский В.В., Торшина O.A. Формула первого регуляризован-ного следа для дифференциального оператора Лапласа - Бельт-рами// Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара. 2002. С. 9-19.
4. Дубровский В.В., Торшина O.A. Формула регуляризованного следа для дифференциального оператора в частных производных //Тез. докл. Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2002. С. 69-70.
5. Торшина O.A. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ. Математика. 2003. В. 4. С. 183 - 215.
6. Торшина O.A. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости / / Вестник Челябинского университета. Математика, механика, информатика. 2003. Серия 3. С. 178 - 192.
7. Торшина О.А Формула асимптотики собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Матер, конф., Воронеж: Воронежский гос. университет. 2003. С. 258-259.
8. Торшина O.A. Формула регуляризованного следа дифференциаль- * ного оператора со сложным вхождением спектрального параметра //Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики: матер, межд. конф. Тамбов: Тамбовский университет. 2003. С. 467 - 468.
9. Торшина О. А. Регуляризованный след эллиптического дифференциального оператора// Деп. ВИНИТИ. 2003. N 60-2003. 52 с.
10. Dubrovskiu В.В., Torshina О. A. The regularized trace of the Laplase-Beltrami operator on a projective plane// Ill-Posed and inverse problems: Inter. Conf. Novosibirsk. Sobolev Institute of Mathematies. 2002. P. 51.
11. Torshina O.A. The first regularized trace of the Laplase-Beltrami operator on a projective plane// Nonlinear partial differential equations: Inter. Conf., Donetsk. 2003. P.212.
Редакционно-издательский отдел Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Подписано к печати 28.07.04
Формат 60*84 1/16 объем 1 пл. Заказ 338. Тираж 100 экз. Типография Магу
27 СЕН?т *
Введение 3
1 Оператор Лапласа — Бельтрами. Функции Лежандра
1.1 Дифференцируемые многообразия.
1.2 Дифференциальные формы.
1.3 Оператор Лапласа-Бельтрами
1.4 Регуляризованный след оператора
Лапласа - Бельтрами на сфере.
2 Проблема сложения четных сферических гармоник
2.1 Теорема сложения.
2.2 Оценки числовых рядов.
3 Регуляризованный след оператора Лапласа — Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости
3.1 Вычисление второй поправки теории возмущений на проективной плоскости.
3.2 Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости
3.3 Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа
Бельтрами
Постановка задачи
Рассмотрим оператор Лапласа - Бельтрами Т = —А, действующий в гильбертовом сепарабельном пространстве Н, взятом с плотностью sinOdddif {в, у? — сферические координаты). Как известно, An = п(п + 1) (п = 0, сю) являются собственными числами оператора Т. Обозначим через Vnj (i = 0,2п, п = 0, оо) ортонормированные собственные функции оператора Т, которые соответствуют собственным числам Ап. Введем семейство прямых ln = {А|А = An + п + 1 + гр, —оо < р < оо}, параллельных мнимой оси гауссовой плоскости. Пусть Р — оператор умножения на функцию р £ C2(W), W = (0,7г) х (0,2тг). Известно [ТО], что если оператор Р является ограниченным и dn = inf |Am — An| —> О, тфп то можно так занумеровать собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, что справедливо l/^n.i - п(п 4-1)| < const. (0.1)
Регуллриз о ванным следом первого порядка оператора Т+Р назовем равенство вида оо оо
-ЛП(Т)} = В(Т),
71— 1 г=0 где Ап(Т), В(Т) явно определяются через характеристики оператора выражения.
В научной литературе вопросы нахождения регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости до настоящего времени не обсуждались. В связи с этим вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа -Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости представляет научный интерес. Такое исследование требует доказательства теоремы сложения для четных сферических гармоник и ряда промежуточных лемм, открывающих путь к вычислению поправок теории возмущений с последующим выходом на формулу регуляризованного следа эллиптического дифференциального оператора.
Обоснование интереса к проблеме
Спектральная теория дифференциальных операторов является важным разделом общей спектральной теории и активно разрабатывается различными математическими школами, прежде всего московской школой под руководством В. А. Садовничего. Только в последние годы учеными представлены формулы первого регуляризованного следа для дискретных операторов [90], регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов [64], регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой [75], формулы следа М. Г. Крейна на случай возмущения типа Гильберта - Шмидта [126], [106], регуляризованный след операторного уравнения Штурма
- Лиувилля на конечном отрезке [3], формула следа для потенциала, содержащего (^-функции [13], формулы регуляризованных следов операторов с относительно компактным возмущением [143] и т. д. Однако ряд существенных проблем спектральной теории остается по-прежнему не разрешенным. К их числу относится нахождение регуляризованных следов дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости, чем обусловлен наш интерес к этой задаче.
Историография вопроса
Еще в первой половине XX столетия множество задач для спектрального анализа предложила квантовая механика. Поиск путей их решения привел в конце 20-х годов к созданию теории возмущений. В области физики основы этого метода были заложены Д. У. Рэле-ем. Его математическое обоснование дано в работах Н. Реллиха, который, прописывая метод последовательных приближений, опирался не только на соответствующие исследования в области квантовой механики, но и на опыт своих предшественников, в частности — Г. Вей-ля [129]. Именно Г. Вейль стоит у истоков исследования собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. В случае сингулярного оператора Штурма - Лиувилля оно нашло дальнейшее развитие в работах Э. Ч. Титчмарша. В частности, Э. Ч. Титчмарш, применяя метод Т. Карлемана, строго установил асимптотическую формулу для числа собственных значений для полуограниченного оператора Штурма - Лиувилля при некоторых условиях на потенциал. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов (в частности, с помощью гиперболических или параболических уравнений, соответствующих исследуемым операторам) были разработаны Б. М. Левитаном, А. Плейелем, С. Ми-накшисундарамом, А. Г. Костюченко, В. А. Ильиным и др. Изучение спектральных свойств краевых задач со сложным вхождением спектрального параметра было проведено в классческих работах Г. Д. Бир-кгофа [102] и Я. Д. Тамаркина [89]. Теория пучков операторов, порожденных этими задачами, получила широкое развитие после появления фундаментальной работы М. В. Келдыша [44].
Важной задачей спектрального анализа является исследование собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Разрабатывая эту проблему, необходимо было определить асимптотику спектра. Однако при ее рассмотрении улучшение остаточного члена иногда оказывается невозможным; более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. В связи с этим возникла необходимость перейти к исследованию более глубокой структуры спектра. Стандартным инструментом такого исследования стало получение формул регуляризованных следов оператора.
У истоков исследования проблемы вычисления регуляризованных следов стоит работа И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [17] 1953 года, в которой рассматривается оператор, порожденный краевой задачей
-у"+ q(x)y = \y, 0<ж<7г, (0.2)
2/(0) = У(тг) - 0, (0.3) где q - дважды непрерывно дифференцируемая функция на интервале (0,1). Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел этого оператора выражается формулой тг
Ап = п2 + ^ J q(x)dx + О Qj ^ . о
В силу этого числовой ряд
00 ( If \
I Ап - п2--/ q(x)dx
Л о / сходится. В рассматриваемой работе первый регуляризованный след оператора определяется формулой
Л„-пг-с„)ЛС0-£М±2М (0.4)
71 = 1 1
Здесь Со — ~г fq(x)dx. о
К аналогичным результатам пришел в том же году и JL А. Дикий [19]. Позже он показал, что формула (0.4) эквивалентна равенству оо
5>„ -п2 - (qvn,vn)) = 0, п=1 где — собственные ортонормированные функции оператора
-у" = \у, 0 < х < тг,
2/(0) = у(тг) = 0. (0.5)
В работе 1955 года [96] J1. А. Дикий вычислил регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля высших порядков.
JI. Д. Фадеев в 1957 году [10] рассмотрел обыкновенные дифференциальные операторы с непрерывным спектром. В дальнейшем JI. Д. Фадеевым и В. С. Буслаевым [11], [10], [96] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.
В начале 60-х годов С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [120], [111], [110] получили формулу оо оо
- Мтг) = (°'6) п=1 п=1 оо при условии, что ряд (Вфгпфп) сходится. Здесь {^п}п=1 ' с°бстп= 1 венные числа с учетом алгебраической кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора А, действующего в гильбертовом сепарабельном пространстве Н, a ~ соответствующая этим собственным числам последовательность ортонормированных собственных векторов, {An}£Lx - собственные числа оператора А + В. Для оператора А, действующего в пространстве ^2[0,7г] и заданного краевой задачей (0.5), fin = п2 являются собственными числами, а (рп(х) = ^ sin пх
- ортонормированными собственными функциями. Пусть, как и ранее, Ап - собственные значения оператора А + В Р у{ 0) = у W = 0, где д(х) - дифференцируемая на [0,7г] функция, среднее значение которой на этом отрезке равно 0. Оператор В является оператором умнооо жения на функцию д(х). Тогда ряд Y1 (.дРтфп) сходится [21], причем
71—1
VV , 9(0) + д( тг)
П=1 и формула (0.6) принимает вид (0.4).
М. Г. Гасымов в 1963 году [14] получил формулу для суммы разностей собственных значений двух самосопряженных операторов Штурма
- Лиувилля, отличающихся друг от друга финитным потенциалом. Он же в соавторстве с Б. М. Левитаном в 1963 году [15] вывел формулу для суммы разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма - Лиувилля, отличающихся друг от друга граничными условиями и финитным потенциалом. Согласно им, если А - полуограниченный снизу самосопряженный оператор в L2[0, оо), заданный на полуоси дифференциальным выражением
1{у) = -у" + q{x)y, q(x)eC(R+) и граничным условием у( 0) = 0, имеет дискретный спектр В - оператор умножения на вещественную функцию д(ж), причем оо g(x)eC0(R+), J g(x)dx = 0. (0.7) о
Со(R+ )-множество непрерывных, финитных на R+ функций), то для собственных чисел {Anj^Lj возмущенного оператора А-\-В справедливо равенство
9(0) оо
- ип) = п=1
В 1965 году Р. Ф. Шевченко [98], [99] вычислил сумму разности собственных значений для несамосопряженных операторов А и А + задаваемых дифференциальными выражениями на отрезке [0,1] dn dn
-—, ---1-д(х) dxn' dxn УК ' соответственно и одинаковыми регулярными краевыми условиями [58].
Из логики его рассуждений следует, что если функция д(х) достаточно гладкая и f g(x)dx = 0, то о
71=1
В 1966 году А. Г. Костюченко [47] вычислил регуляризованные следы (0.4) для полуограниченных дифференциальных операторов высших порядков. При этом предполагалось, что возмущение д{х) удовлетворяет условиям (0.7). Таким образом, к концу 60-х годов была заложена необходимая основа для изучения спектра дифференциальных операторов.
Актуальность темы диссертации
Основной вклад в изучение регуляризованных следов дифференциальных операторов внесла Московская школа. Наиболее общие результаты достигнуты В. Б. Лидским и В. А. Садовничим [53]. Им удалось вычислить регуляризованные следы всех порядков произвольных краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра. Приведем условия, при которых достигаются результаты, полученные в этой работе. Пусть / — целая функция, которая при каждом целом h > 0 допускает представление вида
N-1 fc=о 11 где а.]ь — комплексные постоянные, а h
Pkh(z) ~ + o(znk~h) при z 0. Здесь Пк — некоторое целое число, a /3q ф 0. Предполагается, что комплексную плоскость можно покрыть конечным числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каждом из которых функции Pkh являются аналитическими при \z\ > R. Функции с описанными выше свойствами называются функциями класса К, а (к) ак и {31 ' — параметрами асимптотики функции /. Функции класса К возникают при решении дифференциальных уравнений, содержащих параметр z. Например, в краевой задаче для дифференциального уравнения dxn dny ai(®,+ • • • + Z)V = °> °<x < 1» (°-8) коэффициенты которого имеют вид с граничными условиями, зависящими полиномиально от -г
Uj(y) = 0, при у = 0,1,
0.9)
0.10) i/=0 где Uj — линейные формы относительно решения (0.8), (0.9). п 1
ЩУ) = tia^HO) + bJfcy^U)} + fo^{x)y{x)dx. к=i {
Пусть коэффициенты уравнения (0.8) и функции а^(ж) бесконечно дифференцируемы по х на интервале (0,1). Если предположить, что aq0(x) = aq0r(x) (g = 1,п), где г(ж) > 0 и многочлен 7г(Л) = An+ai0An-1-|-. .+ап0 не имеет кратных корней, то уравнение для определения собственных чисел задачи имеет вид = 0,. где / € К. При этом параметры асимптотики функции / явно выражаются через коэффициенты уравнения и коэффициенты, входящие в граничные условия (0.9). Метод, развитый в рассматриваемой работе, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой и позволяет находить регуляризованные следы дифференциальных операторов (0.8) m-го порядка
Х^Г - Лт(Щ = 5т, mG N, I где zi - корни функции f(z) (т.е. собственные числа краевой задачи (0.8) - (0.10), Am(l) - числа, обеспечивающие сходимость рядов). А.С. Печенцов дополнил результат работы [53] в случае кратных корней многочлена 7г.
Однако при рассмотрении прикладных задач механики, порожденных дифференциальными операторами с частными производными, возможна более сложная зависимость от спектрального параметра, что подтверждается совместным исследованием А. Г. Костюченко, А. А. Шкаликова [50] и работой Е. П. Богомоловой [9]. В этих случаях метод В. Б. Лидского и В. А. Садовничего непосредственно не применим, так как характеристический определитель может не быть целой функцией. В сингулярном случае тоже возникают трудности при применении данного метода, связанные с отсутствием точных асимптотических равенств для фундаментальной системы решений дифференциального уравнения. В частности, в сингулярных задачах Штурма - Лиувил-ля с неограниченно растущим потенциалом возможно наличие точки поворота, в которой резко меняется поведение решений задачи, что показал М. В. Федорюк при рассмотрении асимптотических методов для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [97].
В результате возникает задача суммирования регуляризованных следов. Один путь — суммирование по Абелю. Еще в 1962 году В. Б. Лид-ский [52] применил метод Абеля при суммировании рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Кроме того, такое суммирование использовалось В. А. Любишкиным и Г. В. Козловым [57] при вычислении регуляризованных следов в случае финитных гладких возмущений степенных потенциалов, где была известна асимптотика собственных значений. А. Г. Костюченко и Г. Н. Радзиевский [?] в 1974 году использовали этот метод для суммирования n-кратных разложений. В. А. Любишкин и В. Е. Подольский, начиная с 1993 года стали применять его для суммирования регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов на компактных многообразиях [55], [63].
Второй путь - суммирование следов со скобками - впервые применен в 1987 году В. А. Садовничим , В. А. Любшпкиным и М. Мартиновичем [80] для получения формул следов конечномерных возмущенных дискретных операторов. В 1991 году В. А. Садовничий и В. В. Дубровский [71] получили классическую формулу регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. Позже ими была выведена формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере [74]. Затем Подольский [127] в 1996 году получил аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.
В 1994 году В. А. Садовничий и В. В. Дубровский [68] получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полуограниченного снизу оператора Т
4Р)Ы1 < fa^ax Н^СТ))-!!, ||Р||* (£-) '\к> so, в случае, когда существует такое натуральное число so, что оператор ((Г —//.Б)-1)50 является ядерным. Здесь ЛМ(Т) -резольвента оператора Т. Это позволило при < 1 и условии ограниченности оператора
Р, записать нелинейные уравнения по По tp
О' 1 к= 1 к= 1 к= 1
Р J Л>*о,Р=1,п0 (0.10) для нахождения первых по собственных чисел {/?n}nLi оператора Т+Р. Здесь а^ (n0) = Р Sp f /np~1[PRM(T)]kd/j, - поправки теории воз
Тгго мущений оператора Т+Р, ТПо - круг радиуса рПо — 1 с центром в начале координат комплексной плоскости, ЯМ(Т) - резольвента оператора Т, {^„j^-j - собственные числа оператора Г, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, dn — |Мп+1 — /лп|- При этом, было показано, что ряды поправок теооо рии возмущений ^ с^(по) сходятся, а о^(по) явно вычисляются через fc=i характеристики операторов Т ж Р с помощью теории вычетов.
Исследования В. А. Садовничего и В. В. Дубровского легли в основу разработанного С. И. Кадченко [37], [38] нового метода (метод регуляризованных следов) вычисления первых собственных чисел дискретных операторов основанного на уравнениях (0.10). Знал регуляризованный след оператора необходимого целого порядка п используя метод регу-ляризованных следов можно вычислить первые его собственные числа. Отметим, что с задачами теории гидродинамики вязкоупругих жидкостей тесно связаны работы Г. А. Свиридюка [85] и его учеников.
Итак, в многочисленных исследованиях последних десятилетий были открыты новые направления спектральной теории операторов. Ее развитие шло по пути расширения класса операторов, для которых можно выписать формулы регуляризованных следов, конкретизации регуляризирующих слагаемых в этих формулах, ослабления условий (типа гладкости) на рассматриваемые возмущения, анализа степени подчиненности возмущений и нахождение следов дифференциальных операторов с потенциалом на различных поверхностях. Новые возможности для углубления исследований в этой области открывает изучение дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости и создание алгоритмов вычисления регуляризованных следов соответствующих операторов, что предопределяет значимость этой проблемы и актуальность диссертационного исследования.
Научная новизна
Вычисление регуляризованных следов дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости находится на начальной стадии изучения в спектральной теории. В предлагаемой диссертационной работе впервые:
1. доказана теорема сложения для четных сферических гармоник;
2. получены оценки числовых рядов, используемые при нахождении поправок теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости;
3. вычислены поправки теории возмущений для соответствующего оператора;
4. вычислен регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами на проективной плоскости;
5. показано направление исследования регуляризованных следов со сложным вхождением спектрального параметра.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты проведенного исследования могут быть использованы для нахождения поправок теории возмущений различных дифференциальных операторов в частных производных. Обращение к теореме сложения при рассмотрении регуляризованного следа дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра позволит в большинстве случаев обойти нахождение асимптотических формул для присоединенных полиномов Лежандра, что существенно упрощает решение этих задач.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы при проведении научных исследований в области спектрального анализа при МГУ имени М. В. Ломоносова, института математики РАН имени В. А. Стеклова, института математики СО РАН имени С. Л. Соболева, Воронежского, Новосибирского, Иркутского, Челябинского и Магнитогорского университетов.
Методы исследования
При решении поставленной задачи используются методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов и теории возмущений. В работе широко используются новые методы, разработанные московской научной школой академика РАН В. А. Садовни-чего.
Апробация работы
Результаты работы представлялись на Четвертой Всеросийской научной internet-конференции "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2002), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2002), International conference "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003), International conference "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2003), а также на научно-исследовательскш семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. В. Дубровского в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 2000-2002).
Краткое содержание диссертации
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава носит пропедевтический характер. Она содержит четыре параграфа, в которых характеризуются дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы, оператор Лапласа-Бельтрами.
Вторая глава определяет подходы к исследованию дифференциальных операторов на проективной плоскости. В ней обращается внимание на целесообразность представления проективной плоскости через сферу посредством отождествления противоположных точек и выкалывания полюсов, что позволяет применить к исследованию дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости отдельные методы, используемые при работе на сфере. Она включает два параграфа. Первый — содержит доказательство теоремы сложения для четных сферических гармоник, необходимой при вычислении поправок теории возмущении.
Теорема. Пусть уп1(в, <p) = Jcos^pf" (cos в), сферические гармоники. Тогда для четных функций на сфере справедливы формулы п ynivni = Li {рп(cos а))
1=1 (mod 2) n
Здесь vniv'nl = L2 (Pn(cosa)).
1=0 (mod 2) n n d2 i,2
• 71-771 TT ~ dip2 ~ K
IlE^rTI П m2k2 ' m—0 k=0,k^rn n n d2 7,2 v^r i 7гm j-r - dip2 ~ « i2S^|C0S| д m2fc2 ■ m=0 fc=0,fc^m
Второй параграф содержит оценки числовых рядов, используемые в дальнейшем для нахождения поправок теории возмущений.
В третьей главе вычисляется регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости. В нее входят три параграфа, в первом из которых находятся первая и вторая поправки теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами, во втором - третья и четвертая поправки теории возмущений на проективной плоскости, в третьем - приводятся основные теоремы.
Теорема. Если р— четный, по аргументу в, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т + -Р верно равенство
Теорема. Еслир — дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа -Бельтрами на проективной плоскости имеет вид
Благодарности
Автор благодарен научным руководителям исследования: доктору физико-математических наук, профессору В. В. Дубровскому и заведующему кафедрой прикладной математики и вычислительной техники МаГУ, кандидату физико-математических наук, доценту С. И. Кад-ченко за постоянное внимание и ценные рекомендации, а также коллективам кафедр математического анализа, прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за конструктивную критику и поддержку.
1. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1990. Т.63. С.5-123.
2. Александрян Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М. Наука. 1970. С. 3-35.
3. Асланова И.М. Регуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Тр. инс-та мат. и мех. АН Азербайджана. 1998. N9. С.23-26.
4. Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т. М.: Наука, 1973. 296с.
5. Бирман М.Ш.,Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1977. Т.14. С.5-58.
6. Бобров А.Н. Регуляризованные следы высших порядков оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на симметрическихпространствах ранга 1//Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N6. С.800-804.
7. Бобров А.Н., Подольский В.Е. О сходимости следа степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере 5П//Функц. анализ и его прилож. 1997.Т.31, N4. С.69-72.
8. Бобров А.Н., Подольский В.Е. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере 5П//Матем. сборник. 1999. Т.190, N10. С.3-16.
9. Богомолова Е. П. Некоторые вопросы спектрального анализа несамосопряженного дифференциального оператора с "плавающей" особенностью// Дифф. ур. 1985. Т. 21. N 11.
10. Буслаев В. С. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве// ДАН СССР. 1962. Т.143. N 5. С.1067-1070.
11. Буслаев В. С., Фаддеев Л. Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма Лиувилля// ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 1. С. 13-16.
12. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. О равномерно неэллиптических задачах //Матем. сборник. 1967. Т.73, N1. С.126-154.
13. Винокуров В.А.,Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего ^-функцию //Докл. РАН. 2001. Т.376, N4. С.445-448.
14. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов//ДАН СССР. 1963. Т.150, N6. С.1202-1205.
15. Гасымов М.Г.,Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1963. Т.151, N5. С.1014-1017.
16. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений для дифференциального оператора 2-го порядка//УМН. 1956. Т.11, N1:67. С.191-198.
17. Гельфанд И.М.,Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго по-рядка//ДАН СССР. 1953. Т.88, N4. С.593-596.
18. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966. 1063с.
19. Дикий Л.А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана//УМН. 1953. Т.54, N8:2. С.119-123.
20. Дикий JI.A. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля// УМН. 1958. Т.13, N3. С.111-143.
21. Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Изв. АН СССР. 1955. Т.19. N4. С. 187-200.
22. Дубровский В.В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадратуре//ДАН СССР. 1980. Т.24, N3. С.210-213.
23. Дубровский В.В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N6. С.1127-1129.
24. Дубровский В. В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных //Тр.семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып.9. С.40-44.
25. Дубровский В.В. О формулах регуляризованных следов самостоятельных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка//Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N11. С.1995-1998.
26. Дубровский В.В. Об оценке разности спектральных функций и о формулах регуляризованных следов дискретных операто-ров//ВЕСУИ АН БССР. 1987. N3. С.46-50.
27. Дубровский В.В. Асимптотика спектральной функции обыкновенного дифференциального оператора//Дифференц. уравнения.1990. Т.26, N3. С.533-534.
28. Дубровский В.В.Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой//Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, N12. С.2046-2051.
29. Дубровский В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, зада-нанных на компактных многообразиях//Дифференц. уравнения.1991. Т.27, N12. С.2164-2166.
30. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана//УМН. 1991. Т.46, N3. С.187-188.
31. Дубровский В.В. К асимптотике специальной функции дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, N1. С.69-75.
32. Дубровский В.В. Регуляризованные следы несамосопряженных операторов//Матем. заметки. 1999. Т.65, N5. С.783-787.
33. Дубровский В.В.,Аливердиев В.X. Асимптотика собственных значений одного сингулярного дифференциального оператора// Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, N1. С.35-40.
34. Дубровский В.В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф., Садовничий В. А. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора/ /Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 1998. N 2. Т. 3. С. 4-8.
35. Дубровский В.В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф., Садовничий В. А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Паузейля в круглой трубе// ДАН. 2001. Т. 380, N 2. С. 160-163.
36. Дубровский В.В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф., Садовничий В. А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Заммерфельда// ДАН. 2001. Т. 378, N 4. С. 443-446.
37. Дубровский В.В.,Кулакова Е.Ю. Формула регуляризованного следа степени оператора Штурма-Лиувилля на треугольни-ке//Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28, N7. С.1274-1276.
38. Дубровский В.В., Печенцов А.С. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов//Дифференц.уравнения. 1993. Т.29, N5. С.852-858.
39. Иврий В.Я. О точных спектральных асимптотиках для оператора Лапласа Бельтрами при общих эллиптических краевых услови-ях//Функц. анализ. 1981. Т.15, N1. С.74-75.
40. Кадченко С. И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда//Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. N 6. Т. 5. С. 4-10.
41. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.:Мир, 1972.
42. Кельдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// ДАН СССР. 1951. Т. 77. С. 11-14.
43. Коган Ю.В. Формулы следов для псевдодифференциальных операторов на окружности//Вестник МГУ. Сер. матем. 1980. N6. С.7-10.
44. Кожевников А. Н. Оценка остатка в асимптотике спектра и комплексные степени систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу//ДАН СССР. 1980. Т. 254, 1. с.32-35.
45. Костюченко А.Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального порядка 2т//ДАН СССР. 1966. Т.168, N2. С.276-279.
46. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов//Матем.заметки. 1967. Т.1, N3. С.365-378.
47. Костюченко А.Г.,Радзиевский Г.Н. О суммируемости методом Абеля n-кратных разложений//Сиб. матем. журн. 1974. Т.15, N4. С.855-870.
48. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функц. ан. 1983. Т. 17. С. 38-61.
49. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений// Мат. сб. 1953. Т. 33. В. 3. С.597 -626.
50. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов//Труды ММО. 1962. N11. С.3-35.
51. Лидский Б.В.,Садовничий В.А.Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций//Функц. анализ и его прил. 1967. Т.1, N2. С.52-59.
52. Логинов Б. В., Сидоров Н. А. Вычисление собственных чисел и векторов ограниченных операторов методом ложных возмущений // Математические заметки. 1976. Т.19, N1. С. 105-108.
53. Любишкин В.А., Подольский В.Е. О суммируемости регуляризованных следов дифференциальных операторов //Математические заметки. 1993. Т.54, N2. С.33-38.
54. Максудов Ф.Г.,Байрам Оглы М., Адыгезалов А.А. О регуляри-зованном следе оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неограниченным операторным коэффициентом//ДАН СССР. 1984. Т.277, N4. С.795-799.
55. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы// М. МГУ. 1965.
56. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
57. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.:Наука, 1978. 376 с.
58. Печенцов А.С. Формулы следов обыкновенных дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1998. Т.2. С.150-152.
59. Печенцов А.С. Следы одного класса сингулярных дифференциальных операторов: метод Лидского-Садовничего//Вестник МГУ. Сер.1. 1999. 5. С.35-42.
60. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S2 //Матем.заметки. 1994. Т.56, N1. С.71-77.
61. Подольский В.Е. Суммирование по Абелю регуляризованных сле-дов//Вестник МГУ. Сер.1. 1999. 5. С.42-48.
62. Садовничая И.В. Регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов//Дифференц. уравнения. 2001. Т.37, N6. С.771-778.
63. Садовничий В.А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков //Дифференциальные уравнения. 1966. Т.2, N12. С.1611-1624.
64. Садовничий В.А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных опера- торов//Дифференц. уравнения. 1974. Т.10, N4. С.1276-1285.
65. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. 367 с.
66. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. М.: МГУ, 1994. В. 17. С. 244 248.
67. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета функции операторов// Дифф. ур. 1977. Т. 13. N 7. С.1264-1271.
68. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных произвед-ных//Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, N11. С.2033-2042.
69. Садовничий В.А.,Дубровский В.В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере 52//ДАН СССР. 1991. Т.319, N1. С.61-62.
70. Садовничий В.А.,Дубровский В.В. Формула первого регуля-ризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциа-лом//ДАН СССР. 1991. Т.318, N4. С.825-827.
71. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов// Труды сем. Петровского. 1994. В. 17. С.244-248.
72. Садовничий В. А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1996. Вып.19. С.37-72.
73. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Соченко Н.Ю. Регуляризо-ванные следы несамосопряженных дискретных операторов с не ядерной резольвентой//Докл. РАН. 2000. Т. 370, N1. С. 24-26.
74. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой,возмущенного опера-тором//Докл. РАН. 2000. Т.373, N1. С.26-28.
75. Садовничий В.А.,Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа//ДАН СССР. 1981. Т.256, N4. С.794-798.
76. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов//Дифференц. уравнения. 1982. Т.18, N1. С.109-116.
77. Садовничий В.А.,Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов//Функц. анализ и его прил. 1986. Т.20, N3. С.55-65.
78. Садовничий В.А.,Любишкин В.А.,Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов//ДАН СССР. 1987. Т.239, N5. С.1062-1064.
79. Садовничий В. А., Подольский В. Е. О вычисление первых собст-веных значений оператора Штурма Лиувилля // ДАН (России). 1996. Т. 346, N 2. С. 162-164.
80. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно ядерным возмущением//Докл. РАН. 2001. Т.378, N3. С.324-325.
81. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением//Матем. сб. 2002. Т.193, 2. С.129-152.
82. Садовничий В.А., Фазулин З.Ю. Формула первого регуляризо-ванного следа для возмущений оператора Лапласа-Бельтрами //Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N3. С.402-409.
83. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Известия ВУЗов. Математика. 1994. N 1. С.62-70.
84. Сидоренко С.В. О формулах регуляризованных следов//Успехи матем. наук. 1999. Т.54, N5. С.173-174.
85. Сидоров Н. А. Вычисление собственных чисел и векторов линейных операторов на основе теории возмущений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14, N 8. С.1522-1255.
86. Сидоров Н. А. О регуляризации линейных дифференциальных уравнений с постоянными операторами в вырожденном случае // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14, N 3. С.556-560.
87. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917.
88. Томин Н.Г. О первом регуляризованном следе дискретного оператора //Дифференц. уравнения. 1998. Т.2. С.165-167.
89. Томин Н.Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам/Тезисы докладов. Владимир. 2000. С.189-190.
90. Томин И.Г. О некоторых формулах первого регуляризованного следа для дискретных операторов//Матем. заметки. 2001. Т.70, N1. С.109-122.
91. Томина И.В. Первый регуляризованный след степени оператора Лапласа на прямоугольном треугольнике с углом |г в случае задачи Дирихле// Фунд. и прикладн. математика. 1995. Т.1, N2. С.569-572.
92. Томина И.В., Томин И.Г. О регуляризованных следах степени оператора Лапласа с потенциалом на круге//Воронежская зимняя математическая школа " Современные методы теории функций и смежные проблемы"/Тезисы докладов. Во- ронеж. 2001. С.260-261.
93. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.
94. Фадеев Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1957. Т.115, N5. С.878-881.
95. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// М. Наука. 1983.
96. Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора//ДАН ССР. 1965. Т.164, N1. С.62-65.
97. Шевченко Р.Ф. Регуляризация следа обыкновенного дифференциального оператора//Вест. Моск. ун-та. 1965. N 6. С.28-36. Т.164, N1. С.62-65.
98. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.гНаука, 1978.
99. Avakumovic V.G. Uber die Eigenfunktionen auf geschlossen Riemannschen Mannigfaltigkeiten//Math.Z. 1956. V.65. P.324-344.
100. Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter// Trans Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. P. 219-231.
101. Boutet de Monvel L. Hupoelliptic operators with double characteristics and related pseudodifferential operators//Com. Pure. Appl. Math.27 (2974). P.585-639.
102. Carleman T. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen/Ber.Sachs. Acad. Wiss.//Leipzig. 1936. V.88. P.119- -132.
103. Duistermaat G.G.Oscilatory integrals,Lagrange immersions and unfoldings of singularities//Camm.Pure.Appl.Math. 1974. V.27. P.207-281.
104. Duistermaat G.G.,Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics//Ivn. Math. 1975. V.29. P.39-79.
105. Duistermaat G.G.,Hormander L. Fourier integral operators II//Acta Math. 1972. V.128. P.183-269.
106. Gilbert R. C., Kramer V. A. Trace formulas for a perturbed operator// Duke Math. J. 1963. V. 30. N 2. P. 275-296.
107. Gilbert R. C., Kramer V. A. Trace formulas for powers of a Sturm-Liouville operator// Can. Math. J. 1964. V. 16. N 2. P. 412-422.
108. Gilkey P., Branson P. The asymptotics of the Laplacian on a manifold with boundary //Commun.Part.Different. Equations. 1990. V.15, N2. P.245- -272.
109. Guillemin V. Symplectic spinors and partial differential equations, C.N.R.S. Symposium on symplectic qeometry and mathematical physics// Aix-en-Provence. 1974.
110. Guillemin V. The Radon transform on Zoll surfaces//Adv. in Math. 1976. V.22. P.85-119.
111. Guillemin V. An addendum to: some spectral results on rank one symmetric spaces//Advances in Math. 1978. V.28. P.138-147.
112. Guillemin V. Some spektral results on rank one symmetric spaces//Adv.Math. 1978. V.28. P.129-137.
113. Guillemin V. Some spektral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere //Advan.Math. 1978. V.27. P.273-286.
114. Guillemin V. Band asymptotics in two dimensions//Adv. in Math. 1981. V.42. P.248-282.
115. Guillemin V. The Radon transform on Zoll surfaces//Adv. in Math. 1976. V.22. P.85-119.
116. Halberg C. J. A., Jr Kramer V. A. A generalisation of the trase concept// Duke Math. J. 1960. V. 27. N 4. P. 607-617.
117. Hormander L. Pseudo-dilferential operators and non-elliptic boundary problem//Ann/Math. 1966. V.83. P.129-209.
118. Hormander L. The spectral function of an elliptic operator//Acta Math. 1968. V.121. P.193-218.
119. Hormander. Fourier integral operators//Acta Math. 1971. VI. P.79-183.
120. Ivrii V. Precise spectral asymptotics for elliptic operators//Lect.Notes in Math. 1984. V.1100. P.l-238.
121. Moser I. On the volume element on a manifold//Trans.Amer.Math.Soc. 1965. V.120. P.286-294.
122. Neidhardt H. Spectral shift function and Gilbert-Schmidt perturbation: extensions of some work of L. S. Koplienko//Math. Nachr. 1988. V.138. P. 7-25.
123. Podolskii V.E. On summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one// Rus. J. of Math. Phys. 1996. V.3, N4. P.l-8.
124. Shamma S.E. Asymptotic eigenfunctions of mixed problems of Stekloff type// Zs.Angev.Math.Phys. 1972. V.23. P.l-12.
125. Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesaz der Eigenverte linearer partiel- ler differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf Theoril Hohraumstrahlung) //Math.Ann. 1912. 71. P.441-479.
126. Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential// Duke Math. J. 1977. V.44. P.883-892.
127. Widom H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere//Adv. in Math. 1979. V.31. P.63-66.
128. Winstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential//Duke Math.G. 1977. V.44. P.883-892.
129. Yilrey P.,Branson P. The asymptotics of the Laplaccian on a manifolds with boundary//Comm. in Partial Diff.Equations. 1990. V.15, N2. P.245-272.
130. Zoll O. Uber Flachen mit Scharen geschlossener geodatischer Linien//Math. Ann. 1993. V.57. P.108-133.
131. Дубровский В. В., Торшина О. А. Об одном из вопросов теории возмущений// Четвертая Всеросийская научная internet конференция "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках". Тамбов. 2002. Вып. 17. С. 36.
132. Дубровский В. В., Торшина О. А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра//Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 2002. N 9. Т. 7. С. 4-10.
133. Дубровский В. В., Торшина О. А. Формула первого регуляри-зованного следа для дифференциального оператора Лапласа -Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. 2002. N 1. С. 9 -19.
134. Дубровский В. В., Торшина О. А. Формула регуляризованного следа для дифференциального оператора в частных производных //Тез. докл. Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2002. С. 69-70.
135. Торшина О. А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ. Математика. 2003. В. 4. С. 183 -215.
136. Торшина О. А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского университета. Математика, механика, информатика. 2003. Серия 3. С. 178 192.
137. Торшина О. А. Регуляризованный след эллиптического дифференциального оператора// Деп. ВИНИТИ. 2003. N 60-2003. 52 с.
138. Dubrovskiu В. В., Torshina О. A. The regularized trace of the Laplase-Beltrami operator on a projective plane// Ill-posed and inverse problems: Inter. Conf., Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics. 2002. P. 51.
139. Torshina O. A. The first regularized trace of the Laplace — Beltrami perfubed operator on a projective plane // Nonlinear partial differential equations: Inter. Conf., Donetsk. 2003. P. 212.
