Регуляризованные следы дискретных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Механико — математический факультет

На правах рукописи УДК 517.984

Подольский Владимир Евгеньевич Регуляризованные следы дискретных операторов 01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико -математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный консультант: академик РАН, профессор В. А. Садовничий.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор В. В. Жиков;

доктор физико - математических наук, профессор А. Г. Костюченко;

доктор физико - математических наук, профессор В. Б. Лидскии.

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

Защита диссертации состоится 20 февраля 2004 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико - математический факультет, ауд. 16 - 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико - математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (Главное здание, 14-й этаж). Автореферат разослан 19 января 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, профессор

ИИ Tjë/fiœ

27037

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория регуляризованных следов линейных операторов берёт своё начало с фундаментального факта конечномерной теории — инвариантности матричного следа линейного оператора и совпадении его со спектральным следом, и исследует вопрос о распространении понятия инвариантности следа на неограниченные операторы. Здесь естественно возникает следующая постановка задачи: при расходимости ряда из матричных элементов оператора исследовать как аналог инвариантного следа соотношение

£ ((М». 4>п) - (Афп.фгг)) = 0,

или его спектральный аналог, формулируемый в терминах теории возмущений:

здесь — базис из собственных векторов оператора с собственными

числами {A,,}, {V>n} — базис из собственных векторов оператора À = Aq + В с собственными числами {/.tn}, а степень подчиненности оператора В оператору

фактически является мерой близости базисов.

Пример содержательной физической интерпретации так понимаемых следов можно найти в работах И. М. Лифшица1.

На начальном этапе развития теории основным был подход, при котором член (Bipn,<pn) обязательно исследуется, от него отделяется расходящаяся составляющая, выраженная только в терминах собственных чисел оператора Ао и его параметров (коэффициентов, краевых операторов и т. п.), а все остальное суммируется и заносится в правую часть. Первый результат для оператора Штурма - Лиувилля получили И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан2, первые формулы следов высших порядков были доказаны И. М. Гельфандом3, Р. Ф. Шевченко4 получил первый результат для дифференциального оператора высокого

1 Лифгииц И. М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой. УМН, 1952, т. 7, ЦП, с. 173 - 180.

1 Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простои тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, т. 88, 1953, с. 593 - 596.

'Гельфанд И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка УМН, 1956, т 11, «U, с. 191 -198.

* Шевченко Р. Ф. О следе дифференциального оператора. ДАН СССР, 1965, т. 164, №7, с. 62 - 65.

РОС., НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПетсрбург tfli 09 Щлчег-t 7

порядка, А. Г. Костюченко5 получил формулу следа для сингулярного дифференциального оператора высокого порядка.

Принципиальным прорывом в теории следов стало применение методов теории функций для исследования дзета - функции оператора в работе В. Б. Лид-ского и В. А. Садовничего6, на основе которого были исследованы характеристические определители многих спектральных задач, в том числе "почти всех" задач для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Полностью все характеристические определители регулярных обыкновенных дифференциальных операторов были охвачены в работе В. А. Садовничего и В. А. Любишкина7.

Первым на связь теории регуляризованных следов с теорией возмущений дискретного спектра абстрактных операторов указал Л. А. Дикий8, и первый результат в этом направлении был получен в работе Хальберга и Крамера9: для возмущения ограниченным оператором V дискретного самосопряжённого оператора Т такого, что Г"1 ядерный, в предположении, что сходятся ряды XX^n ~ ^п) и ZX^Vn.Vn)) доказано равенство

здесь {vn} — собственные векторы оператора Т. В качестве примера в работе впервые был найден след для оператора второго порядка на конечном отрезке с нераспадающимися краевыми условиями. Затем в работе Гильберта и Кра-мера10 для самосопряжённых операторов Т и V таких, что были получены формулы регуляризованных следов с регуляризацией, состоящей из нескольких поправок теории возмущений, и в качестве примера были доказаны формулы следов порядка выше первого.

М. Г. Гасымов" ввел для произвольного оператора^ понятие следа в базисе:

6Костюченко А. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов.: Дисс.... д-р& физ.-мат. наук. М-, 1966.

'Лидский В. Б., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций. Фукк.ан. и его прил., 1967, т. 1, №2, с. 52 - 59.

7 Садовничий В. А., Любишкин В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа. ДАН СССР, 1981, т. 258, №4, с. 794 - 798.

'Дикий Л. А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля, Успехи матем. наук, 1958, т. 13, вып. 3, с. 111 - 143.

* Halberg С. J. A. Kramer V. A. A generalization of the trace concept. Duke Math. J., I960, v. 27, Л>4, p. 607 -628.

10 Gilbert R. C„ Kramer V. A. Trace formulas for powers of a Sturm-Liouville operator. Canad. J. Math., 1964, v. 16, JM, p. 412 - 422.

n Гасымов M. Г. СУ сумме разностей .собственных значений двух самосопряженных операторов. ДАН

если для некоторого ортонормированного базиса пространства {<рп} существует

ет предел lim ^2(А<р„,<рп), то он называется следом оператора А в базисе w-+oon=1

{¡fin}- Основным результатом работы стала теорема: пусть А — самосопряжённый дискретный оператор, В — самосопряжённый оператор такой, что А+В — самосопряжённый дискретный оператор, и пусть существует и совпадает след оператора В в двух базисах из собственных векторов операторов Ли А + В. Тогда

где; и Ап соответственно собственные числа операторов А + В и А.

Крупным продвижением после длительного отсутствия результатов стала работа В. А. Садовничего и В. В. Дубровского12. Абстрактная теорема этой работы позволила в качестве примера впервые рассмотреть дифференциальный оператор в частных производных, а именно, формула следа была получена для возмущения оператором умножения на функцию р(х, у) степени 3 + £ оператора Лапласа на двумерном прямоугольнике с условиями Дирихле. Далее отметим работы В. А. Садовничего и В. А. Любишкина13, В. А. Садовничего, В. А. Любишкина и В. В. Дубровского14, В. В. Дубровского15. Во всех работах, посвященных исследованию абстрактных операторов, формула следа была доказана для различных классов операторов, на которые, помимо других условий, обязательно накладывались условия: оператор Ло самосопряженный, его собственные числа удовлетворяют условию с некоторым (различным в разных результатах) S > 0, а оператор В ограничен. Наиболее сильный результат был получен в работах В. В. Дубровского16: справедли-

СССР, т. 150, 1063, Л» 6, с. 1202 -1205.

13 Садовничий В. А.г Дубровский В. В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных. Дифф. уравнения, 1977, т. 13, JM1, с. 2033 - 2042.

13 Садовничий В. А., Любиьлкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляриэованных следов дифференциальных операторов. Дифф. уравнения, 1982, т. 18, №1, с. 109 - 116. Садовничий В. А., Лю-битикин В. А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. Функц. анализ и его прил., 1986, т. 20, №3, с. 55 - 65.

" Садовничий В. А., Любишхин В. А., Дубровский В. В. Следы дискретных операторов. ДАН СССР, 1982, т. 264, №4, с. 830 - 832.

1г Дубровский В. В. Регуляриэоваиный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате. ДАН БССР, 1980, т. 14, №3, с. 210 - 213.

"Дубровский В. В. Формулы регуляриэованных следов операторов с компактной резольвентой. Дифф. уравнения, 1990, т. 26, №12, с. 2046 - 2051. Дубровский В. В. Абстрактные формулы регуляриэованных

N

N

вость формулы следа была установлена для самосопряжённого оператора А с 7У(Л) = 0(ЛР), где р ^ 1/2 и ограниченного В, а для возмущения, принадлежащего классу Гильберта - Шмидта, формула была доказана при р ^ 1; в продолжении этих исследований автор для случая ограниченного возмущения и р < 1 получил формулы следов для степени п собственных чисел, регуляри-зовав их поправкой теории возмущений, где

В спектральной теории линейных операторов давно используется при решении разных задач метод суммирования рядов по Абелю. Пионерской здесь была работа В. Б. Лидского17, в которой этот метод использован для суммирования разложений по главным векторам оператора. К исследованию регу-ляризованных следов метод суммирования по Абелю впервые был применен в работе В. А. Любишкина и Г. В. Козлова18, идейно и технически прямо опиравшейся на работу17.

В 1993 г. в работе В. А. Любишкина и В. Е. Подольского19 была предложена новая техника суммирования регуляризованных следов методом Абеля, применимая для операторов с известным асимптотическим поведением в нуле следа голоморфной полугруппы, генератором которой является исследуемый оператор. Она позволила для широкого класса дифференциальных операторов на компактных многообразиях (порядок которых больше размерности многообразия) получать суммированные по Абелю формулы регуляризованных следов вида:

существенным достоинством которой является то, что в качестве регуляри-затора в ней фигурирует конечная сумма степеней собственных чисел невозмущенного оператора, при том, что в общем положении собственные числа операторов этого класса подобного асимптотического разложения не имеют. Позже в работе автора [б] было предложено называть эту регуляризующую

следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях. Дифф. уравнения, 1991, т. 27, №12, с. 2164 - 2166.

"Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Тр. ММО, 1962, т. 11, с. 3 - 35.

"Козлов Г. В., Любишкип В. А. Регулярнзованные следы сингулярных дифференциальных операторов. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1993, ЛЧ с. 6 - И.

1*Любишким В. А., Подольский В. Е. О суммируемости регулярнзованных следов дифференциальных операторов. Матем.эаметки, 1993, т. 54, >2, с. 33 - 38.

сумму слабой асимптотикой спектра рассматриваемого оператора..

К задаче суммирования по Абелю разложений по собственным функциям и регуляризованных следов близко примыкает важная самостоятельная задача теории операторов — задача исследования полугрупп операторов, их теория возмущений, оценки приближений в различных нормах. Приближения полугрупп в нормах идеалов компактных операторов исследовались, мы укажем здесь на работы20, в которых изучается скорость приближения полугруппы членами последовательности типа Троттера. Однако в основном изучению подвергались конкретные дифференциальные операторы, а для абстрактных операторов исследование асимптотики при t -4 0+ следа полугруппы ограничивалось оценкой главной части.

Одной из важнейших конкретных задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И. М. Гельфандом — получить формулы следов для оператора Лапласа - Бельтрами на сфере. Долгое время для дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихарактеристи-ческим потоком не удавалось вообще сколь-либо содержательно исследовать спектр, и продвинуться в этой задаче удалось лишь после создания современного микролокального анализа — теории интегральных операторов Фурье. Первые общие результаты здесь были получены Ж. Шазарэном, Дюйстермаа-том и Гийеминым, А. Вейнстейном, Колином де Вердье, которые показали, что спектр таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра невозмущенного (отвечающего главному символу) оператора. Особое место, как основная модель и как физически наиболее интересный случай, в этой теории занимает возмущенный оператором умножения на гладкую функцию оператор Лапласа - Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком. Важнейшим классом таких многообразий являются симметрические пространства ранга 1. В наиболее общем случае в работе В.Гийемина и А. Уриба21 детально изучен спектр оператора — вещественная функция,

и показано, в частности, что оценка не мо-

жет быть улучшена при для всех симметрических пространств

тIchinose T., Tamvra H. Error bound in trace norm for Trotter - Kato product formula of Gibt» semigroups. Asymptot. Anal. 1998. v. 17. ЛЧ. p. 239-266. Takanobu S. On the trace norm estimate of the Trotter product formula for Schrödinger operators. Osaka J. Math. 1998. v. 35. №3. p. 659-682.

31 Guillcmin V., Uribe A. Spectral properties of a crtain class of complex potentials. Trans, of the Aroer. Math. Soc., 1983, v. 279, №2, p. 759 - 771.

ранга 1, кроме Sn, и более того, доказано, что множество предельных точек последовательности (nk,i ~ ,к = 0,1,... есть отрезок [а,Ь] вещественной оси и для о и 6 предъявлены формулы, выражающие их через ç; на 5" эта оценка может быть улучшена только для нечетных q до следующей: — /ifc.J = О (l/&2) ,i = l,...tNk — и эта оценка также неулучшаема.

Из неулучшаемости приведенных оценок ясно, что трудно рассчитывать найти простую регуляризующую последовательность v* такую, чтобы сходился ряд с общим членом — во всех случаях, кроме случая с нечетным q. Отсюда ясна и цель дальнейших исследований — в условиях, когда дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра оператора по сути, невозможно, тем не менее исследовать "тонкую структуру" спектра: суммируемость разности собственных чисел различными методами. Один из подходов — суммирование со скобками, и в этом направлении в работе В. А. Садовничего и В. В. Дубровского22 для S2 с нечетным q была получена следующая формула:

со

Мо + Е

п=1

Другое приложение теории следов - приближенное вычисление собственных чисел - также было предложено И. М. Гельфандом на примере оператора Штурма - Лиувилля. Задача о вычислении первых собственных чисел операторов является одной из важных классических задач математической физики и этой проблеме были посвящены многочисленные исследования. С появлением в работах И. М. Гельфанда и Л. А. Дикого системы следов высших порядков появилась возможность другого подхода к этой задаче. Коэффициенты в такой системе выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий и их вычисление вполне может быть алгоритмизировано, как это сделано, например, в более сложной задаче Орра - Зоммерфельда в работе В. Б. Лидского и В. А. Садовничего23 или для периодической задачи для оператора Штурма - Лиувилля в работе МакКина и ван Мёрбеке24.

32 Садовничий В. А., Дубровский В. В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на сфере S*. ДАН СССР. 1991, т. 319, №1, с. 61 - 62.

™Лидсхий В. Б., Садовничий В. А. Формулы следов в случае уравнения Орра - Зоммерфельда. Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, т. 32, №3, с. 633 - 648.

иМсКеап Н. P., van МоегЬеке P. The spectrum of Hill's equation. Invent. Math., 1975, v. 30, p. 217 - 274.

2n

i=0

(i)

В связи с этим И. М. Гельфанд и Л. А. Дикий25 предложили новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел оператора Штурма -Лиувилля: удержать в системе следов частные суммы рядов до TV-го слагаемого в (N + 1)-м регуляризованном следе и полученную приближенную систему решить, найдя некоторые приближения к собственным числам задачи, В работе25 сделано конкретное вычисление для уравнения Матье по указанной схеме и получены значения трех первых собственных значений, верные в третьем знаке после запятой, однако данный метод авторами не был обоснован: никаких оценок при переходе от рядов к их частным суммам сделано не было. Не было дано обоснование этого метода и позже.

В 1995 г. С. А. Шкарин26 доказал неединственность решения бесконечных нелинейных систем определенного вида и, в частности, для систем следов из его результатов следует существование континуума решений, причем мы можем заранее совершенно произвольно задать любое конечное число и всегда существуют решения с этими заданными числами. Таким образом, было показано, что метод приближенного вычисления первых собственных чисел с помощью системы регуляризованных следов в трактовке И. М. Гельфанда и Л. А. Дикого не может быть реализован.

Цель работы. Настоящая работа посвящена исследованиям в теории регу-ляризованных следов дискретных операторов: условиям существования регу-ляризованных следов, их суммируемости различными методами, вычислению явных выражений для регуляризованных сумм собственных чисел через параметры операторов; также некоторым приложениям теории к смежным вопросам спектрального анализа, таким как обратная задача, приближенное вычисление собственных чисел, исследование классических функций, связанных с оператором: спектральной функции, дзета - и тэта - функции, функции Вей-ля - Титчмарша.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы о существовании регуляризованных следов для абстрактных дискретных операторов, охватывающие все основные возможные ситуации: случаи ядерной и неядерной резольвенты невозмущенного операто-

тДикий Л. А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля. ДАН СССР, 1957, т. 116, »1, с. 12 - 14.

"Шкарин С. А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма - Лиувилля. Вестник МГУ, сер. 1,1996, №1, с. 39 - 44.

ра, с выделением случаев лакунарного спектра. По степени подчиненности возмущения доказанные теоремы значительно продвинули существовавшую теорию, в ряде случаев получены неулучшаемые результаты. Впервые в общем виде рассмотрены неограниченные возмущения и случай неядерной резольвенты. Получены результаты о конструктивной расстановке скобок.

2. Развит метод суммирования регуляризованных следов по Абелю, изучен случай известного асимптотического поведения тэта-функции оператора и дан метод вычисления слабой асимптотики спектра; получены оценки в ядерной норме следа операторных полугрупп и на их основе изучена суммируемость по Абелю формул следов с регуляризацией поправками теории возмущения.

3. Для ряда конкретных операторов математической физики получены новые формулы следов, в частности, улучшена оценка степени оператора Лапласа на квадрате, при которой верна формула первого следа с одной поправкой теории возмущений; впервые получена формула следа для оператора в частных производных, возмущенного оператором в частных производных; получена формула первого следа для оператора Лапласа - Бельтрами на двумерной сфере с нечетным потенциалом, просуммированная без скобок.

4. Для оператора Лапласа - Бельтрами на компактных симметрических пространствах ранга 1, возмущенного оператором: умножения на функцию, доказаны формулы следов всех порядков как со скобками, так и просуммированные по Абелю. Установлены точные границы для степени этих операторов, при которых существуют формулы следов без скобок.

5. Изучен класс операторов Штурма - Лиувилля с обрывающейся асимптотикой собственных функций, получен ряд характеристических свойств операторов этого класса, найдена его характеристика в терминах обратной задачи. Доказана возможность приближенного вычисления первых собственных чисел таких операторов с помощью формул регуляризованных следов.

6. Получены новые прямые соотношения между спектральной функцией оператора Штурма - Лиувилля и потенциалом оператора, с их помощью установлена связь между асимптотическим поведением потенциала в окрестности нуля и асимптотическим поведением спектральной функции на бесконечности. Изучены особенности взвешенной дзета - функции и асимптотическое поведение функции Вейля - Титчмарша.

Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории возмущений операторов, теории симметрично-нормированных идеалов компактных операторов, теории операторных полугрупп и их возмущений, элементы теории функций, теории псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, теории обобщенных функций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в спектральной теории линейных операторов, теории следов, в обратных спектральных задачах, теории операторных полугрупп. Они могут быть использованы в МГУ им. М. В. Ломоносова, МИРАН им. В. А. Стеклова, Санкт-Петербургском, Башкирском, Воронежском, Саратовском университетах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

МГУ, механико - математический факультет: семинар под рук. академика РАН В. А. Садовничего (неоднократно), семинар под рук. проф. А. Г. Ко-стюченко и проф. Б. М. Левитана, семинар под рук. проф. А. Г. Костюченко и проф. А. А. Шкаликова (неоднократно), семинар под рук. проф. А. А. Шка-ликова (неоднократно), семинар под рук. чл.-корр. РАН П. Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б. С. Кашина, семинар под рук. проф. А. М. Седлецкого и проф. В. В. Власова, семинар под рук. проф. А. С. Мищенко;

МГУ, факультет ВМиК: семинар под рук. академика РАН В. А. Ильина, академика РАН Е. И. Моисеева и проф.1 А. А. Дезина;

МФТИ: семинар под рук. проф. В. Б. Лидского, проф. С. П. Аллилуева и проф. Э. Е. Сона (неоднократно).

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

Совместные заседания семинара им. И. Г. Петровского и Московского Математического общества, Москва, МГУ, механико-математический факультет, 1994 г., 1995 г., 1996 г., 2001 г.

Функциональные пространства, дифференциальные операторы, проблемы математического образования. И-я межд. конф., поев. 80-летию Л. Д. Кудрявцева, Москва, Университет Дружбы Народов, 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора [1-8] и 6 совместных работах [9-14], список которых приведен в конце

автореферата. В работах [9, 10] А. Н. Боброву принадлежат доказательства утверждений о сходимости регуляризованных следов без скобок для степеней собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами, автором диссертации в этих работах доказаны случаи расходимости указанных рядов. В работах [11, 12, 14] В. А. Садовничему принадлежат постановки ряда задач и определение класса операторов с обрывающейся асимптотикой собственных функций, остальные результаты работ принадлежат автору диссертации. В работе [13]

B. А. Садовничему принадлежит формулировка леммы о росте резольвенты,

C. В. Конягину принадлежит доказательство этой леммы, остальные результаты работы принадлежат автору диссертации:

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на 19 параграфов и списка цитированной литературы. Общий объём диссертации составляет 185 страниц, библиография содержит 114 наименований.

Обзор содержания диссертации.

Первая27 глава целиком посвящена доказательству формул регуляризован-ных следов со скобками для широких классов дискретных операторов в гильбертовом пространстве. Во всей главе невозмущенный оператор Ло предполагается самосопряженным и положительным. В параграфе 1.1. мы приводим необходимые предварительные сведения из теории симметрично - нормированных идеалов компактных операторов, некоторые неравенства, оценки ядерной нор. мы резольвенты дискретных операторов; утверждения о выборе контуров на плоскости расположения спектра с заданными свойствами. Некоторые утверждения этого параграфа являются новыми.

Параграф 1.2. посвящен случаю ядерности резольвенты невозмущенного оператора, в нем доказаны две теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть оператор В таков, что 2?(Ло) С существует чис-

ло 5 € [0, 1) такое, что оператор ВАпродолжается до ограниченного, и существует число и> € [0, 1), и + 5 < 1 такое, что А^1 — ядерный оператор. Тогда существует подпоследовательность натурального ряда {пт}™^ и

"Нумерация глав, параграфов, теорем в лемм приведена нами в точном соответствии с нумерацией, принятой в диссертации. Нумерация формул самостоятельная.

последовательность конуров Гт 6 С такая, что при ш ^ 8/1 верна формула

В частности, при и ^ 5 верна формула

Ji™ X) - Хз - (B<Pb Vi)) = 0.

(2)

j=o

В этой теореме впервые в общем виде исследован случай неограниченных возмущений, и даже при ограниченном возмущении (S = 0) полученный результат существенно улучшает результат В. В. Дубровского, понижая требования к невозмущенному оператору с условия на собственные числа р ^ 1/2, до условия ядериости обратного. Так же выделим доказанную в параграфе в условиях теоремы оценку ядерной нормы оператора BR(А): существует бесконечно большая последовательность положительных чисел ат такая, что

Далее в этом параграфе доказана аналогичная теорема для специального класса невозмущенных операторов, последовательность собственных чисел которого имеет лакуны большей длины, чем длина, гарантированная главным членом асимптотики.

Теорема 1.2.3. Пусть оператор В таков, что 2Э(Ао) С f (В), существует число S £ [0, 1) такое, что оператор ВАЦг продолжается до ограниченного, а оператор Aq1+s € &р-ы, где р натуральное и р ^ 2, а из 6 [0, 1). Предположим также, что для подпоследовательности собственных чисел {Ап^,}*^, для которой АПт<ат< А„т+1, где Ий^а™)^ -> 0, выполнено - ^ с, где р> S. Тогда при q £ N U {0} и

q = тт

Р1-6

в случае выполнения неравенства + 1), где рч = р — р\, верна

следующая формула

а если 6 ^ рг(р+д—1),то при I ^ 2 и таком, что<5—рг(р+д—1)—[р—¡){1—1) ^ О

верна формула

При доказательстве этой теоремы мы пользовались одной формулой для ре-гуляризованного определителя возмущения, отсутствующей в известных нам источниках: пусть ВА$1 6 &р, тгогда при А 6 С таких, что выполнено неравенство для логарифма регуляризованного определителя возмущения верно представление

Параграф 1.3. посвящен случаю неядерности оператора Лд1. Этот случай в литературе для абстрактных операторов не рассматривался, есть ряд работ, посвященных конкретным операторам математической физики. Основная сложность этого случая в том, что в общем положении в спектре оператора АО отсутствуют растущие лакуны.

В первой из теорем этого параграфа на невозмущенный оператор не налагается никаких ограничений, кроме наличия последовательности неограниченно возрастающих лакун. Аналогичный факт был ранее известен только для ядерного возмущения.

Теорема 1.3.1. Пусть у оператора До существует подпоследовательность его собственных чисел {АПт}*"0 такая, что АПт+1 — АПт —* оо при т —»• оо. Пусть оператор В 6 ©р, где р натуральное и Тогда верна формула

Следующая теорема в некотором смысле является аналогом первой теоремы предыдущего параграфа, однако является более простой по структуре, так как необходимая компактность возмущения лишает смысла введение параметра, аналогичного и. Результатов для такого класса абстрактных операторов ранее не было.

Теорема 1.3.2. Пусть существует число 6 ^ 0 такое, что оператор В А§ продолжается до ограниченного и что Л^1"1"^ — ядерный оператор. Тогда существует подпоследовательность натурального ряда {гст}т=1 такая, что верна формула

1™. £ ~ Х3 - (В<р}> ¥>*)) = 0.

}-0

Наконец, последняя теорема в этом параграфе касается случая, когда невозмущенный оператор имеет в последовательности собственных чисел лакуны большей длины, чем длина, гарантированная главным членом асимптотики. Для этого класса абстрактных операторов так же ранее результатов не было.

Теорема 1.3.3. Пусть существует число 5^0 такое, что оператор ВА$ продолжается до ограниченного, оператор € ©р-ш» где р натуральное и р ^ 2, а от € [0, 1). Предположим также, что для подпоследовательности собственных чисел для которой Хп„ < От < А„„+1, где {о„,} — последовательность чисел, на которой стремиться к нулю резольвента оператора А выполнено Тогда при

(1 + Р1)(р-1)-Ц1 + Д).

q = 1шп

е N и {0}

(¿-Р1)

при выполнении условия д + 5 + и > 0 верна следующая формула

Если 5 = ^ = ш = 0, то верна формула

В параграфе 1.4. рассмотрены операторы с регулярным поведением собственных чисел. Дополнительные предположения о собственных числах позволяют, получить конструктивный метод расстановки скобок. Мы ограничиваемся теоремами о выборе контуров, на которых стремится к нулю ядерная норма резольвент, формулы следов доказываются на основании этих результатов идентично формулам предыдущих параграфов. Так же для большей прозрачности рассуждений мы ограничились случаем ядерности невозмущенного

оператора и ограниченного возмущения.

Теорема 1.4.1. Пусть собственные числа оператора Ло обладают следующими свойствами:

Тогда последовательность {о,,, = (Am+i + Am)/2}j^1 обладает свойством: max ||Äo(A)||i 0 при т —> +оо.

Теорема 1.4.2. Пусть AQ — оператор теоремы 1.4.1, но вместо (4) выполнено: существуют 0<£<1h.W€N такие, что

п*/К>(п+1)*/\п+ь п> N,

а так же существует последовательность {»7п}£й> удовлетворяющая условиям (3) и (4) и такая, что

1 А» < 1/ч».

Тогда последовательность = (а,^ + A^+i^ /2^ ^, где последовательность А„ определена соотношением n/A„ = max {fc/Ajt} , а номер rip, условием обладает свойством

В параграфе 1.5. мы рассмотрели ряд примеров применения полученных результатов к конкретным операторам математеческой физики.

Рассмотрим в качестве оператора AQ оператор (—Д)°, действующий в £г([0,7г] X [0,7!-]) с условиями Дирихле на границе квадрата, а в качестве оператора В оператор умножения на ограниченную измеримую (комплекснознач-ную) функцию q{x!у). Формула ранее была известна28 для степени оператора и доказательство опиралось на тонкие результаты теории чисел. Так как в этой задаче An ~ па, то из теоремы 1.2.1 следует, что формула следа верна для а > 1.

Рассмотрим в качестве оператора AQ оператор (—Д)2+£, в > 0, действующий в ¿г([0| f] X [0,7г]) с условиями Дирихле на границе квадрата, а в качестве оператора В дифференциальный оператор первого порядка J/)gj +р{х,у)щ,

Дубровский В. В., Пузанхова Е. А. Оценка разности спектральных функций и формулы регуляризован-ных следов степени оператора Лапласа, заданного на треугольнике или квадрате, >£,, 1 ^ р < 2. Дифф.

где периодические продолжения функций. , принадлежат Са(Л2)

с показателем а > 1. Мы в этом случае так же получили формулу первого регуляризованного следа, и это первый пример формулы следа для оператора в частных производных, возмущенного оператором в частных производных..

Возьмём в качестве оператора АО обыкновенный дифференциальный оператор, действующий в ¿^[О* ""]■ Конечно, для обыкновенных операторов все вопросы теории решены, но реальные вычисления для операторов порядка выше 4-го известными методами практически необозримы, и для той гладкости коэффициентов, которую позволяет наш метод, известные методы практически неприменимы. В диссертации проведено вычисление для оператора возмугценного неограниченным оператором — дифференциальным оператором второго порядка: д(х)у" +р(х)у. В силу теоремы 1.2.1 необходимо вычисление только величины {В(рп,1рп). Так как <р„ = у^ятпх, то соответствующие вычисления несложны, и мы получили формулу следа классического вида при р(х), д"(я) 6 1*2[0,п] и тригонометрические ряды Фурье этих функций сходятся к ним на концах отрезка.

Теорема 1.3.2 применена нами к возмущению гармонического осциллятора некоторым интегральным оператором класса Гильберта - Шмидта.

Теорема 1.3.3 применима к операторам со спектром неограничен© возрастающей кратности. Рассмотрим в качестве оператора АО оператор Лапласа -Бельтрами на каком-либо симметрическом пространстве ранга 1, а в качестве оператора В — оператор умножения на ограниченный) измеримую функцию на этом многообразии. Данная задача интенсивно исследовалась в последние годы, и то, что для получения формулы первого следа необходимо вычитать две поправки, ранее было получено (даже при использовании дополнительных сведений в силу конкретности оператора) на пути весьма трудных и объёмных вычислений и оценок. Наша абстрактная теорема дает здесь точный ответ.

В качестве оператора АО рассмотрим оператор, задаваемый дифференциальным выражением —у" + я{х)у с 9(1) > хм для всех больших |х| и некоторым 5 > 0, действующий в ¿г(К) или в £г[0; +оо) с каким-либо условием на границе, а в качестве оператора В оператор умножения на ограниченную измеримую функцию р(х). Наложенное условие на потенциал гарантирует ядер-ность резольвенты оператора Ао, и в этом случае по теореме 1.2.1. верна формула следа с одной поправкой. Эта формула является новым результатом в

весьма обширных исследованиях операторов второго порядка на неограниченных интервалах, так как для операторов такого вида вообще не было формул следов с неубывающими возмущениями. В частности, хорошо известно, что если |д(х)| x2+i и удовлетворяет еще ряду условий на гладкость и поведение производных на бесконечности, то и для ограниченного возмущения ранее известные результаты утверждают формулу следа с числом вычитаемых поправок то есть ни при каком не достигается доказанная нами формула.

Во второй главе изучается применение метода суммирования рядов по Абелю к регуляризованным следам. В параграфе 2.1. получен центральный для суммирования следов по Абелю операторов с известным асимптотическим поведением при следа соответствующей полугруппы технический результат — лемма об асимптотическом разложении дробной производной Вейля

следа голоморфной в некотором секторе правой полуплоскости операторной полугруппы с генератором — дискретным оператором. Этот результат, а так же полученное ниже следствие из него будут играть решающую роль при доказательстве существования и нахождении слабой асимптотики собственных чисел.

Лемма 2.1.1. Пусть {А*}£10 — последовательность чисел такая, что что при определена функция причем при

существует асимптотическое разложение

щ —> Н-оо. Тогда для функции F(t,S) = А"*5 ехр(—Ajti), 6 € С имеет место следующее разложение (здесь при

где r(s) — гамма-функция Э й л Z(s) — Añ* —та- функция, ассо-

п=0

циированная с последовательностью {An}5JLg,

если Z(s + <$) не имеет особенностей в точке s = —к и

+ ^ reg Z(s),

если Z(s + 5) имеет полюс в s = —к. Здесь ч е р <reg /(а) 5 н а ч е н коэф-

»=»0

фициент лорановского разложения /(s) в окрестности s = so при (s — Sq) в нулевой степени, через fj(k) коэффициенты лорановского разложения Г(в) =

TI Тj(k)(s + ky. При 6 таком, что Reí ^ 1 асимптотическое разложение для j=-1

F(t, Í) при í 0+ можно получить из имеющегося почленным дифференцированием.

Так же в этом параграфе изучено поведение при t -> +0 функции

F(íIíIm) = ^A-ílnmA„e-A-t,

П=1

исходя из заданного асимптотического разложения F(t)\ здесь 5 £ С,

В параграфе 2.2. рассмотрено ограниченное возмущение А + В оператора А, который полуограничен снизу и для которого

У) ехр (- Ие А„<) < +оо.

Это условие обеспечивает ядерность полугруппы, генератором которой является оператор А. Главная характеристика выделенного в этом параграфе случая — существование разложения

JV N,

F(t) = Tr(exp(-tA)) = £ £ «И**ln''* + - *~>°+> (7)

1=0 j=о

здесь no < Mi < • • • < пц, причем N0 = 0, и аналогичного разложения

G(i) = TV(eXp(-i(^ + S))) = ^^Aii*ilnJ'f + o(i), *-f0 + . (8)

Укажем в качестве поясняющего примера, что эллиптические дифференциальные операторы на компактных многообразиях без края имеют тэта-функцию с разложением типа (7) без логарифмических членов, классические псевдодифференциальные операторы имеют в таком разложении члены с логарифмом только в первой степени, а для краевых задач уже в одномерном случае даже дифференциальный оператор может иметь разложение с логарифмами в более высоких степенях, если производные коэффициентов имеют особенности на крае интервала, подобные примеры построены нами в главе 4.

В данном параграфе доказаны две теоремы о суммируемости регуляризо-ванных следов по Абелю. Использование сильного метода суммирования дает возможность в весьма общей ситуации получить регуляризацию конечной суммой степенно - логарифмических функций от собственных чисел невозмущенного оператора. Всегда, когда собственные числа возмущенного оператора имеют асимптотическое разложение (такой структуры) по собственным числам невозмущенного, этот метод в качестве регуляризатора дает именно это разложение, и в некоторых задачах это является единственным известным методом получения асимптотики спектра.

В первой теореме параграфа доказывается суммируемость по Абелю формулы первого регуляризованного следа при наличии некоторой оценки на собственные числа операторов, при этом не предполагается наличие прямой связи между разложениями (7) и (8): они могут содержать различные степени, различное число слагаемых. Если соотношение на собственные числа выполнено для более высоких степеней операторов, то с помощью этой теоремы можно получить формулы следов старших порядков.

Теорема 2.2.1. Пусть А — дискретный оператор с собственными числами1 {A„}£L0, действующий в гильбертовом пространстве Я такой, что в некотором, секторе | arg sj < е определена ядерная полугруппа ехр(—tA), причем для F(t) = Тг(ехр(—tA)) имеет место асимптотическое разложение (7), и пусть оператор В таков, что в том же секторе определена ядерная полугруппа ехр(-<(Л + В)), для G(t) = Tr(exp(—t{A + ¿?))) имеет место разложение (8), и пусть также

где {fin}n!Lo — собственные числа оператора А + В. Тогда существуют наборы чисел такие что имеет место равенство

Um ¿е-*»' L-An-

П=1 \

Во второй теореме предполагается, что разложения (7) и (8) есть частные случаи единого разложения параметрического семейства операторов при различных значениях дополнительного параметра. За счет этого оказывается возможным доказать формулы следов всех порядков, причем без ограничений на порядок невозмущенного оператора и степень подчиненности возмущения. Условия этой теоремы во всяком случае выполнены для псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях.

Теорема 2.2.4. Пусть А — дискретный оператор, собственные вектора которого образуют ортонормированный базис, и оператор В таков, что собственные вектора оператора А + В также образуют ортонормированный базис: Пусть так же операторы Аи В таковы, что в секторе | arg s| < е определена ядерная полугруппа для которой при для любого

существует равномерное по разложение

оо ЛГ,

F(t, т) —Тг (ехр (- (А + тВ) t)) atj(r) In't, (10)

l'=0 j=0

и пусть (10) можно бесконечно дифференцировать по т. Тогда существует набор чисел {xh, 6h, mh}h-it такой что при любом натуральном р имеет место равенство

=0.

л=1 /

В параграфе 2.3. мы изучаем след полугруппы где А — дискрет-

ный, а В — ограниченный оператор, на основе полученных нами оценок для

приближения указанной полугруппы невозмущенной полугруппой е_м в ядерной норме. В этом параграфе оператор А таков, что Л-1 € ©р с некоторым р ^ 1, его собственные вектора ■ образуют ортонормированный ба-

зис, соответствующие собственные числа лежат в открытом секторе

П : -тг/2 + ы < а^г < тг/2 - из, 0 < ы < я"/2.

Теорема 2.3.1. Пусть существует число а > 0 такое, что

при Тогда ряд

сходится в ядерной норме, причем сходимость остатка ряда равномерна на любом отрезке [а, Ь] 6 [0,+оо).

Следствие 2.3.2. В условиях теоремы 2.3.1. при всех N 6 N таких, что — < 1 верна асимптотическая при формула для следа возмущеннойполу-

группы

Следствие 2.3.3. Если вместо условия теоремы 2.3.1. при Ь —► 0+ верна асимптотическая оценка Це~<Л||1 = о (4~а), то в формуле (12) (по-прежнему верной при тех же N остаточный член имеет вид о

Подчеркнем, что теорема 2.3.1 (и следствия 2.3.2 и 2.3.3) никак не использовали структуру спектра оператора, и полученные результаты имеют место для операторов с произвольной природой спектра.

Далее мы применяем полученные результаты к доказательству одного из основных результатов параграфа — одной формулы регуляризованного следа.

Теорема 2.3.5. Если |А„|_1 = о то верна формула

Подчеркнем, что в отличии от предположений параграфа 2.2 мы не предполагаем наличие разложений (7) и (8), а в качестве регуляризатора берем последовательность (Вц>п, <рп). Условие (9) при ограниченном операторе В в общем положении предполагает ядерность обратного к А, при этом разложения (7) и (8) являются существенными ограничениями на операторы. В качестве компенсации мы в параграфе 2.2 получили слабую асимптотику собственных чисел.

В конкретных задачах математической физики вычисление слагаемых в формуле (12) при к ^ 2 уже сопряжено с заметными техническими трудностями (при к = 2 для псевдодифференциального оператора А на компактном многообразии размерности т, возмущенного оператором умножения на функцию, речь идет о вычислении (3т + 2)-кратного интеграла).. В следующей теореме мы предлагаем упрощение этих формул при некоторых дополнительных предположениях об операторах, сравнительно легко проверяемых для псевдодифференциальных операторов. Мы ограничиваемся наиболее важным случаем к = 2.

Теорема 2.3.6. Пусть неравенство (11) выполнено с а < 4 и пусть существует такое, что оператор продолжается до ограниченного, тогда при верно

В параграфе 2.4 мы исследуем поведение следа полугруппы другими по сравнению с предыдущим параграфом техническими средствами, ориентируясь при этом не на асимптотическое.поведение собственных чисел (и соответственно следа полугруппы), а на их интегральные свойства — сходимость некоторых рядов, то есть на принадлежность обратного оператора некоторому классу Шаттена - фон Неймана. Этот метод более громоздкий, и мы ограничились изучением случая, когда А6 6г- Остальные предположения об операторе А такие же, как и в предыдущем параграфе, оператор В предполагается ограниченным.

Сначала мы доказываем ряд вспомогательных фактов о резольвенте и полугруппе:

||До(А)||г равномерноограниченав области С\{| argА| SJ тг/2—2w+5}, S >

О и lim ||.Ro(A)||2 = 0 равномерно по аргументу в этой области; |А|-юо

Следующая теорема посвящена получению асимптотической формулы для следа возмущенной полугруппы того же типа, что и в теореме 2.3.6, но здесь мы вместо условий на подчиненность коммутатора найдем несколько вариантов условий на спектр невозмущенного оператора и на матричные элементы возмущения (в базисе собственных векторов невозмущенного). Так же в теореме получено соотношение между собственными числами операторов и диагональными элементами операторов В и В2. Это соотношение (не являясь формулой следа в стандартном смысле) является максимально возможным продвижением к формуле следа для такого широкого класса операторов и представлено в виде, удобном для дальнейшего исследования с конкретными операторами. Дополнительно предположим, что оператор А сверх общих предположений параграфа самосопряжен.

Теорема 2.4.6. Пусть для операторов А и В выполнено одно из следующих условий:

1) Пусть при некотором а € (0,2] для собственных чисел оператора А выполнено

1С < +оо.

п=1

Ai+a

где АП1 — первое собственное число, сторого большее А„, и пусть оператор В таков, что

ц) Пусть при некотором а £ [1,2] выполнено

£ I(В<рл,<рк)(В<рк,Уп)| (Л* - А„)« = О (АГ1) .

4:А*>А„

И1) Пусть при некотором 0 < /3 < 1 выполнено

+00

п=1

+00

Тогда при верна асимптотическая оценка

и верна формула

Последний параграф второй главы 2.5 содержит пример применения развитого метода: мы получаем просуммированные по Абелю формулы регуляризо-ванных следов для оператора Лапласа - Бельтрами в случае сфер размерности не выше 5, возмущенного нечетным потенциалом. Особенно выделяется случай размерности 2: из полученных формул с помощью тауберовой теоремы Литтлвуда доказано, что ряд в (1) сходится без скобок:

Отметим, что это единственный известный в настоящее время пример оператора в частных производных, не допускающий разделения переменных, след которого сходится таким образом. Выделим и тот факт, что левая часть этой формулы имеет в точности вид левой части формулы (2), ведь в данном случае из-за нечетности потенциала, однако справа мы напротив, имеем заведомо ненулевое выражение (по крайней мере, для вещественных потенциалов). Остается заметить, что для собственных чисел оператора Лапласа

и

- Бельтрами — Д на двумерной сфере верно А* ~ А: и его резольвента ядерной не является (хотя для любого 5 > 0 оператор (—уже имеет ядерную резольвенту). Таким образом; этот результат является конструктивным примером, показывающим существование границы применимости формулы (2) и близкую к предельной точность нашей теоремы 1.2.1 из первой главы для случая ограниченного возмущения.

Третья глава посвящена исследованию оператора Лапласа - Бельтрами на симметрических пространствах ранга 1 методами, опирающимися на теорию псевдодифференциальных операторов.

Параграф 3.1 носит вспомогательный характер и содержит известные сведения о спектре как самого оператора Лапласа-Бельтрами на симметрических пространствах ранга 1, так и его возмущения оператором умножения на гладкую функцию.

Далее, с помощью кластерной асимптотики собственных чисел оператора, полученной в выше упоминавшихся работах В. Гийемина и А. Уриба, в параграфе 3.2 получены просуммированные по Абелю регуляризованные следы ненулевых степеней оператора Лапласа - Бельтрами на всех симметрических пространствах ранга 1 всех размерностей с возмущением любым гладким ком-плекснозначным потенциалом.

Теорема 3.2.4. Для любого а > 0 существуют явно выражаемые через q и метрику М константы такие, что верна формула

+оо / п+[2а]

*=1 \ /=2

Так же верна и следующая теорема о суммируемости методом Абеля регу-ляризованных следов отрицательных степеней собственных чисел оператора

(конечно, эта теорема содержательна до тех пор, пока остается неядерным).

Теорема 3.2.5. Для любого 0 < а ^ ^ существуют явно выражаемые через q и метрику М константы {хг}^1"'20' такие, что верна формула +00 / п-ро]

Мо + Дт £ Ц* ~ V " Ка Е ^ к=1 \ 1=2

В параграфе 3.3 в той же общности получены формулы регуляризованных следов со скобками.

Теорема 3.3.1. Для любого натурального / существуют выражаемые явными формулами через / и метрику М к о н с т {^"(О^^г^-ц и е > 4X0 веРна формула

Подчеркнем, что до результатов параграфов 3.2 и 3.3 формул следов для дифференциальных операторов в случае, когда размерность многообразия больше порядка оператора, известно не было.

В параграфе 3.4 мы исследуем формулы регуляризованных следов без скобок оператора — А + д на сферах 5". Здесь доказаны точные границы сходимости без скобок регуляризованных следов степеней рассматриваемых операторов, а именно, рассматривается регуляризованный след порядка а оператора на сфере вида

При а = 0 ряд (13) становится тривиальным и в дальнейшем не рассматривается. В работе [10] А. Н. Бобров доказал при некоторых а, что существуют соответствующие И Х}(&) такие, что ряд (13) сходится. Мы доказываем,

что найденные им границы для а являются точными.

Теорема 3.4.1. Для вещественнозначного нечетного потенциала д верны следующие утверждения: 5 — п

1. П а ^ —-— е существует регуляризации п о собственным числам невозмущенного оператора — Д, то есть для любого набора констант Ху (о) и степеней к^(а) ряд (13) расходится.

4 — п

2. При а ^ —-— ¡регуляризованный след (13) не может сходится абсолютно, то есть для любого набора констант Хз (°0 и степеней kj (а) ряд, составленный из модулей членов ряда (13), расходится.

Аналогичное утверждение доказано и для потенциала, не являющегося нечетным, соответственно с границами для условной и абсолютной сходимости

3-о 2-п ^

а ? —-— и а э —^—' комплекснозначного потенциала эти результаты о сходимости не могут быть точными: например, как показал В. Гийемин29, существуют такие ненулевые комплексные потенциалы, что у операторов и на двумерной сфере спектры совпадают.

В отношении результатов трех последних параграфов отметим, что в силу известных дополнительных свойств конкретных операторов полученные формулы следов являются более точными и детальными по сравнению с тем, что можно было бы получить из общих теорем первой главы; так же отметим, что все они являют собой новые необходимые условия на спектр оператора Лапласа - Бельтрами на симметрических пространствах ранга 1, возмущенного гладким потенциалом. Получение необходимых условий на спектр есть неотъемлемая составляющая решения обратной спектральной задачи, что позволяет надеяться на приложимость этих результатов в будущем.

Четвёртая глава диссертации посвящена приложениям теории следов к некоторым классическим вопросам теории операторов типа Штурма - Лиувилля.

В параграфе 4.1 мы определяем и исследуем специальный класс 5 операторов Штурма - Лиувилля, а именно: рассмотрим оператор

где д(я) € 12[0,7г], Л, Я € Д. Пусть <р(х, А) — решение задачи Коши для уравнения (14) с начальными данными у>(0, А) = 1,уэ'(0, А) = Л. Если £ С"[0,7г],

то имеет следующее асимптотическое разложение:

Определение. Оператор вида (14) - (15) мы назовем оператором класса 5[0,7г], еели в разложении (16) для некоторого целого j, 1 < J < n+1, kj(x) = О ™ fO- d-_

"GuiUemin V. Band asymptotics In two dimensions. Adv. in Math., 1981, v. 42, p. 248 - 282.

Мы доказываем ряд важных свойств операторов этого семейства:

1. асимптотическое разложение (16) имеет конечное число ненулевых членов и являет собой точное решение уравнения (14);

2. переходная функция обратной задачи есть квазиполином;

3. потенциал продолжается во всю комплексную плоскость как мероморфная (обязательно не целая) функция с полюсами только второго порядка и с нулевыми вычетами в полюсах;

4. ядро оператора преобразования, связывающего рассматриваемый оператор с простейшим оператором Штурма - Лиувилля, есть полином по второй переменной, причем содержащий только четные степени.

Также в этом параграфе проведено более детальное исследование одного плотного в классе 5 подсемейства, переходные функции которого — полиномы по четным степеням переменной. Показано, что соответствующие потенциалы есть рациональные функции и изучены их свойства:

В параграфе 4.2 для операторов класса 5 доказана возможность использования системы регуляризованных следов для нахождения приближенных величин первых собственных чисел оператора. Основной результат этого параграфа:

Теорема 4.2.1. Пусть — спектр некоторого оператора Ь из класса 5 и

пусть

— полная система регуляризованных следов этого оператора. Тогда система (17) однозначно определяет спектр {A„}{JL0 и более того, для любого е > О существует натуральное N(e), а также существует натуральное К, зависящее только от оператора L (и не зависящее от е), что если использовать в .An(fc) (17) при к = 1,...,К первые N членов асимптотического разложения А„ по степеням п, то будут верны неравенства

00

(17)

п=0

АГ-Х

п=0

В параграфе 4.3 доказана

Теорема 4.3.1. Для произвольного оператора Штурма - Лиувилля Ь с потенциалом из £<г[0, т] и произвольного £• > 0 существует оператор класса 5 с областью определения такой же, как и у Ь и такой, что норма их разности не превосходит е.

Доказательство этой теоремы конструктивно, что позволяет предложить метод нахождения приближенных величин первых собственных чисел любого оператора Штурма - Лиувилля: сначала сам оператор приближается оператором класса 5, а затем уже для этого оператора по методу параграфа 4.2 находим приближение собственных чисел.

Следующий параграф 4.4 содержит новый метод исследования асимптотики первообразных спектральной функции р(/х) оператора (14), (15), который позволяет существенно упростить, а в ряде случаев и уточнить, исследование многих классических задач теории операторов Штурма - Лиувилля. Основной результат параграфа — формула

верная при (то есть и для самой спектральной функции), здесь

переходная функция обратной задачи.

И наконец, в параграфе 4.5 мы приводим два примера применения метода параграфа 4.4. Мы показываем, как с помощью полученных соотношений можно исследовать аналитическое продолжение взвешенной дзета - функции оператора за полуплоскость сходимости интеграла, ее определяющего:

для оператора с положительным спектром, в случае негладкого потенциала q(x). Даны примеры операторов, взвешенная дзета - функция которых имеет полюса порядка выше первого, существенные особенности, неизолированные особенности и т.д. До сих пор были известны лишь Z{$) с полюсами первого порядка.

Второй пример — исследование асимптотического поведения функции Вей-ля - Титчмарша т(А) оператора Штурма - Лиувилля. Асимптотическое поведение изучалось многими авторами. В работе А. А. Даниеляна, Б. М. Левитана30 при предположении о том, что д(х) € С[0,е] для некоторого фиксированного е > 0 и: принадлежит классу Гельдера с показателем а, 0 < а < 1,. было доказано следующее асимптотическое разложение:

Полученные нами формулы позволяют прямо связать существование и вид асимптотического разложения с асимптотическим разложением потен-

циала оператора, мы приводим точный алгоритм решения этой задачи и для примера вычисляем асимптотику для неограниченного в нуле потенциала с логарифмической особенностью, не позволяющей точно позиционировать в каком-либо классе Гельдера даже его первообразную: пусть в некоторой окрестности нуля и краевое условие определяется параметром к = 0. Тогда

т(А) = ¿А"* - ¿А"! 1п(—А) + - ^(-А)"* + О ((-А)"? 1п2(-А))

В отношении результата работы А. А. Даниеляна и Б. М. Левитана мы доказали неулучшаемость оценки (18) при сделанных предположениях.

ыДтиелл» А. А., Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении т-функции Вейля - Титчмарша. Изв. АН СССР, сер. матем., 1990, т. 54, №3, с. 469 - 479.

(18)

Публикации автора по теме диссертации.

1. Подольский В. Е. О восстановлении оператора Штурма - Лиувилля по его весовой дзета - функции. ДАН СССР, 1990, т. 313, №3, с. 559 - 562.

2. Подольский В. Е. Регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами с нечётным потенциалом на сфере. УМН, 1994, т. 49, №4, с. 36.

3. Подольский В. Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа -Бельтрами с нечётным потенциалом на сфере S2. Матем. заметки, 1994, т. 56, вып. 1, с. 71 - 77.

4. Подольский В. Е. Асимптотическое поведение функции Вейля оператора Штурма - Лиувилля. Вестник МГУ, сер. матем., мех., 1994, №5, с. 38 - 44.

5. Подольский В. Е. Регуляризованные следы оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на симметрических пространствах ранга 1. УМН, 1995, т. 50, №4, с. 53.

6. Podol'skii V. E. On the summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. Rus. J. Math. Phys. 1996, v. 4, M, p. 123 - 130.

7. Подольский В. Е. Суммирование по Абелю регуляризованных следов. Вестник МГУ, сер. матем., мех., 1999, №5, с. 42 - 48.

8. Подольский В. Е. Ядерные оценки возмущённой операторной полугруппы. Докл. РАН, 2002, т. 387, №4, с. 1 - 2.

9. Бобров А. П., Подольский В. Е. О сходимости следа степени оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на сфере S'. Функц. ан. и его прил., 1997, т. 31, JK с. 69 - 72.

10. Бобров А. П., Подольский В. Е. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S'. Матем. сб., 1999, т. 190, № 10, с. 3 - 16.

И. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Об одном классе операторов Штурма -Лиувилля и приближённом вычислении первых собственных значений. Матем. сб., 1998, т. 189, №1, с. 133 - 148.

12. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Регуляризованный след ограниченного возмущения оператора с ядерной резольвентой. Дифф. уравнения, 1999, т. 34, №4, с. 556 - 564.

13. Садовничий В. А., Конягин С. В., Подольский В. Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущённого ограниченным. Докл. РАН, 2000, т. 373, №1, с. 26 - 28.

14. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением. Матем. сб., 2002, т. 193, №2, с. 129 - 152.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать О2.0!■ S00A1. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 4 О Тираж iOO экз. Заказ 03

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

1.18 3 3

РНБ Русский фонд

2004-4 27037

Введение.

1. Суммирование регуляризованных следов методом расстановки скобок.

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Операторы с ядерной резольвентой.

1.3. Операторы с неядерной резольвентой.

1.4. Операторы с регулярным поведением спектра.

1.5. Примеры.

2. Суммирование регуляризованных следов методом Абеля.

2.1. Асимптотическое поведение дробной производной Вейля следа голоморфной операторной полугруппы.

2.2. Суммирование по Абелю следов операторов с известным асимптотическим поведением тэта - функции.

2.3. Суммирование по Абелю следов операторов, регуляризованных диагональю возмущения.

2.4. Суммирование по Абелю следов операторов, регуляризованных диагональю возмущения: случай резольвенты Гильберта - Шмидта.

2.5. Пример: оператор Лапласа на двумерной сфере с нечетным потенциалом.

3. Оператор Лапласа — Бельтрами на компактных симметрических пространствах ранга 1.

3.1. Предварительные сведения.

3.2. Суммирование следов по Абелю.

3.3. Суммирование следов со скобками.

3.4. О точной границе сходимости.

4. Некоторые вопросы теории оператора

Штурма - Лиувилля.

4.1. Операторы класса S.

4.2. О приближении первых собственных чисел оператора класса S.

4.3. Приближение оператора Штурма-Лиувилля общего положения оператором класса S.

4.4. Прямые соотношения между спектральной функцией и переходной функцией обратной задачи.

4.5. Асимптотика функции Вейля - Титчмарша.

Настоящая работа посвящена исследованиям в теории регуляризован-ных следов дискретных операторов: условиям существования регуляри-зованных следов, их суммируемости различными методами, вычислению явных выражений для регуляризованных сумм собственных чисел через параметры операторов; также некоторым приложениям теории к смежным вопросам спектрального анализа, таким как обратная задача, приближенное вычисление собственных чисел, исследование классических функций, связанных с оператором: спектральной функции, дзета - и тэта - функции, функции Вейля - Титчмарша.

Теория следов линейных операторов берёт своё начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной теории: инвариантности матричного следа линейного оператора и совпадении его со спектральным следом:

N N N

Афп, ч>п) = (Афп, фп) = ^ Ап, (0.0.1)

П=1 71=1 П=1 здесь {Ап} — собственные числа оператора А, а ({<Рп}^=1) {^п}^) ~~ два произвольных базиса пространства.

Этот результат был последовательно перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом — иначе называемых ядерными, а именно, было доказано (см. [15]), что если оператор А — ядерный, то для любой пары {^"Кй}ортонормированных базисов верно

00 +оо

X) (А(Рп, <Рп) = X) М , (0.0.2)

П=1 П=1 и так же верно равенство, известное как теорема В. Б. Лидского [15, 39] оо

Г(д</?п,<аО = ]Гап, (о.о.з) п=1 п где {Ап} — все собственные числа оператора А. Этими результатами классическая теория была завершена, так как здесь в максимальной общности охвачен весь класс операторов, имеющих след.

Дальнейшее развитие теории привело к постановке и исследованию вопроса о распространении понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа. Пример содержательной физической интерпретации этого можно найти в цикле работ И. М. Лифшица, завершенном работой [44]. Здесь естественно, в соответствии с одними из основых идей и методов теории суммирования расходящихся рядов, возникает следующая постановка задачи: при расходимости ряда из матричных элементов оператора доказать как аналог формулы (0.0.2) соотношение

00

Асрп, <рп) - (Афп, фп)) = 0. (0.0.4)

71=1

Разумеется, в такой общей формулировке задача не имеет решения вовсе, так как верен следующий простой факт: если ряд из матричных; элементов расходится в каком-то базисе {</?«}» то всегда существует такая перенумерация векторов этого базиса, которую можно принять за другой базис {фп}\ что ряд (0.0.4) расходится. Это означает, что для любых неядерных операторов А, в том числе и определенных во всем пространстве, соотношение (0.0.4) не может быть верно для любых пар базисов, и задача необходимо имеет вид: указать класс операторов и соответствующий класс пар базисов, для которых имеет место инвариантность следа в смысле (0.0.4).

Эта постановка естественно влечет следующую проблему: как выбрать пару базисов? — ведь хотя ясно, что второй из этих базисов должен быть в каком-то смысле близок к первому, но определение первого базиса должно быть обусловлено содержательными внутренними причинами. Безусловно, можно предложить несколько разумно мотивированных подходов к задаче выбора базисов, для дискретных операторов (то есть операторов с компактной резольвентой) один из наиболее естественных путей дает спектральная формулировка (0.0.3), и в рассматриваемых в настоящее время в теории следов постановках задач в качестве одного из базисов выбирается базис из собственных векторов оператора — разумеется, в предположении, что он есть, а для определения второго базиса оператор "расщепляется" в сумму двух Л = Ао + Ву причём предполагается подчинённость в каком-либо смысле оператора В оператору Ао, и формула (0.0.4) приобретает вид оо

2 {{А(Рпу <Рп) - (Лфп, фп)) = п=1 оо Ц (((А) + В) 1рп, <рп) - ((Ао + В) фп, фп)) =

П=1 оо ((А0<рп, (рп) - ((А) + В) фп, фп) + (В<рП1 (рп)) =

П=1 оо ^ (Ап - А^П + (Верп, (Рп)) = 0, (0.0.5)

71—1 где {<^п} — базис из собственных векторов оператора Ао с собственными числами {Ап}, {фп} — базис из собственных векторов оператора А с собственными числами а степень подчиненности оператора В оператору Ао фактически является мерой близости базисов.

Укажем здесь ещё на одно важное обстоятельство — в случае общего положения мы вынуждены рассматривать суммирование в (0.0.5) со скобками, так как если оператор Ао имеет кратное собственное число, то в соответствующем инвариантном подпространстве у нас не будет никакого приоритетного выбора базиса и вновь простая перенумерация векторов приведет нас, вообще говоря, к потере смысла задачи, причём в силу симметрии основной формулы (0.0.4) реально мы должны будем рассматривать как единое целое след конечномерной части оператора, действующей в сумме подпространств, отвечающих пусть различным, но близким (кратное собственное число при возмущении В рассыпется в группу близких в смысле данного возмущения) собственным числам. Другими словами, мы должны объединить в одну группу те собственные числа оператора Ао, которые при возмущении некоторым (своим для каждой группы) оператором В' из того же класса, что и В, могут перейти в одно кратное собственное число оператора Aq + В'.

В нашем обзоре истории вопроса мы ограничимся случаем дискретных операторов, не касаясь теории регуляризованных следов операторов со спектром произвольной природы, начало которой было положено работами М. Лифшица [44] и М. Г. Крейна [36]. Обзор этого направления вплоть до современного состояния теории можно найти в [4], мы же ограничимся тем замечанием, что результаты этой теории в применении к дискретным операторам всегда уступали результатам прямых, исследований.

Первый результат теории регуляризованных следов дискретных операторов — формула Гельфанда - Левитана для оператора Штурма ж

Лиувилля [12] с потенциалом q(x), fq(x) dx = 0: о п=1 была получена методом, опиравшимся на прямое исследование характеристического определителя задачи и на первый взгляд не имела вида (0.0.5), но почти сразу Л. А. Дикий показал, что эти подходы прямо связаны, рассмотрев в работе [17] для оператора Штурма - Лиувилля сумму (0.0.4):

00 ( 2 } \ I и,п — п2--I q(x) sin2 пх dx I = 0,

М . ) и показавший, что формула Гельфанда - Левитана фактически есть формула (0.0.5), в которой авторы провели исследование таким обра

1Г зом, что член (В<рп,<рп), равный в этой задаче | f д(х) sin2 пх dx, автоо матически, самим методом был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, был оставлен на месте (в левой части формулы), а все остальное просуммировано и сумма записана в правую часть.

Именно такой подход, при котором член {Bipn,ipn) обязательно исследуется, от него отделяется расходящаяся составляющая, выраженная только в терминах собственных чисел оператора. Ло и его параметров (коэффициентов, краевых операторов и т. п.), а все остальное суммируется и заносится в правую часть, долгое время был центральным в многочисленных исследованиях, причем авторы весьма успешно разрабатывали прямые методы получения формул следов такого вида, минуя выражения типа (0.0.5). Отметим, что возможность выразить регуляри-затор через собственные числа невозмущенного оператора есть важный результат сам по себе — на этом пути вскрывается связь теории следов с теорией дзета ,- функций операторов, устанавливаются важные формулы обратных задач и исследуется ряд других вопросов.

Метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа резольвенты предложил использовать И. М. Гельфанд [13], для оператора Штурма - Лиувилля впервые получив формулы следов высших порядков:

00

Y,(ú-Ah(n)) = B(k), (0.0.6)

71=1 где Ак{п) — отрезок разложения по степеням п (то есть фактически по степеням невозмущенного спектра Ап), содержащий только неотрицательные степени п, В (к) в конечном виде выражаются через q(x) и ее производные.

Первым прямо использовал дзета - функцию оператора для получения формул следов Л. А. Дикий [18, 19], так же получивший формулы следов всех порядков. Продолжались исследования по регуляризованным следам абстрактных операторов, после работ Дикого [17, 19] результат в этом направлении был получен в работе Хальберга и Крамера [106]: для возмущения ограниченным оператором V дискретного самосопряжённого оператора Т такого, что Т-1 ядерный, в предположении, что сходятся ряды ^(Лп — цп) и (Vv?n, </?„), доказано равенство А«п) = У?п), ■ здесь {<рп} — собственные вектора оператора Т. В качестве примера в работе впервые был найден след для оператора второго порядка на конечном отрезке с нераспадающимися краевыми условиями. Некоторое усиление этого результата было получено в работе [98], и затем в работе Гильберта и Крамера [99] для самосопряжённых операторов Т и V таких, что Т-1, VT~l G были получены формулы регуляризован-ных следов с регуляризацией, состоящей из нескольких поправок теории возмущений, и в качестве примера были доказаны формулы следов порядка выше первого. Отметим важное обстоятельство: в этой работе вслед за работой Дикого [19] выражение (В<рп,<рп) трактуется как первая поправка теории возмущений дискретного спектра, и формула следа (0.0.5) обобщается до формулы с вычитанием большего числа поправок, за счет чего расширяется класс охваченных формулой пар операторов.

Далее, в начале 60-х в работах М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана [10, 11] впервые были рассмотрены операторы Штурма - Лиувилля на полуоси, т. е. на некомпактном многообразии, остановимся подробнее на работе М. Г. Гасымова [10]. Для произвольного оператора А автор ввёл понятие следа в базисе: если для некоторого ортонормированного базиса N пространства {<£п} существует предел lim то он называла ооп=1 ется следом оператора А в базисе {tpn}- Основным результатом работы стала теорема: пусть А — самосопряжённый дискретный оператор, В — самосопряжённый оператор такой, что А + В — самосопряжённый дискретный оператор, и пусть существует и совпадает след оператора В в двух базисах из собственных векторов операторов А и А + В. Тогда

N N lim У>п Л„) = lim У2(В<рп> <рп),

N-*oo L—; N-too n=l n=l где fin и Ап соответственно собственные числа операторов А + В и А. В качестве приложений в [10] были рассмотрены две задачи для обыкновенных дифференциальных полуограниченных операторов второго порядка на оси и полуоси с дискретным спектром, возмущённых оператором умножения на финитную функцию р(х) с нулевым средним, и для задачи на оси доказана формула N lim y^ißn - А„) = 0,

П=1 а для задачи на полуоси с дополнительным требованием дифференци-руемости р{х) в некоторой окрестности нуля доказана формула

П=1

Крупное продвижение теории было достигнуто А. Г. Костюченко в своей докторской диссертации [35]. Для возмущения положительного дискретного дифференциального оператора в Хг(М) с операцией вида

1у = (-1)ту(2т) + Р2т-2(х)у{2т~2) + • • • +Ро(х)у оператором умножения на финитную функцию q{x) G Li было доказано,

00 +оо что если f q(x)dx = 0, то ^2(fJ>n — = 0, и был получен результат

00 П=1 для оператора четвертого порядка на полуоси: для граничной задачи у(0) = у'(0) = 0 и для потенциала q(x), имеющему, сверх уже указанных условий, ограниченную вариацию в некоторой окрестности нуля, верна формула

2> п-лп) = ——•

71—1

Другой вопрос, выдвинутый развитием теории на первый план после завершения исследования регулярной задачи для оператора второго порядка, был рассмотрен математиками в начале 60-х годов — это распространение полученных результатов на обыкновенные дифференциальные операторы более высоких порядков. В работе Р. Ф. Шевченко [91] получен первый результат теории следов для дифференциального оператора порядка большего двух, и далее в работах В. А. Садовничего [58, 59,60,61] в этом направлении был получен ряд сильных результатов, отметим полученную методом тэта - функций формулу для обыкновенного дифференциального оператора 4-го порядка.

Принципиальным прорывом в теории следов стало применение методов теории функций для исследования дзета - функции оператора в работе В. Б. Лидского и В. А. Садовничего [41]. В работе [41] для специального класса функций К, включающего в себя характеристические определители многих спектральных задач, в том числе "почти всех" задач для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов, был дан метод вычисления регуляризованных сумм корней, что вместе с данным в работе этих же авторов [42] методом вычисления асимптотических разложений этих корней по степенно - логарифмическим функциям номера позволило решать задачи теории следов во многих важных случаях. Выделим здесь задачу Орра - Зоммерфельда [43], исследование нулей функций Бесселя [62], задачу о суммировании полуцелых степеней собственных чисел и связанную с ней задачу о суммировании собственных чисел в одной серии [63, 64], исследование спектральной функции оператора [65] через исследование взвешенной дзета - функции.

Во многом завершили развитие этого направления в теории следов работы В. А. Садовничего, В. А. Любишкина и Ю. Беллабасси [74, 79], в которых теория функций класса .К" расширена до функций типа синуса, что позволило включить в рассмотрение все характеристические определители регулярных обыкновенных дифференциальных операторов.

Однако постепенно стало ясно, что в общем положении (и уже для большинства операторов в частных производных) выражение (В(рп, (рп) не может быть эффективно исследовано (достаточно сказать, что даже для одномерного гармонического осциллятора этот агрегат слабо исследован и до сих пор находится в стадии активного изучения) и с конца 70-х годов возобновились активные исследования формул вида (0.0.5) и близких к ней. Первыми работами в этом направлении стали работы В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [66, 67]. Абстрактная теорема первой из этих работ позволила исследовать возмущение оператора Лапласа на квадрате интегральным оператором с гладким ядром, а во второй теорема была усилена, что позволило в качестве примера впервые рассмотреть дифференциальный оператор в частных производных, а именно, формула следа была получена для возмущения оператором умножения на функцию р(х,у) степени 3 + £ оператора Лапласа на двумерном прямоугольнике с условиями Дирихле, и при некоторых ограничениях на потенциал формула приобретает вид, весьма сходный с формулой Гельфанда - Левитана:

В этой же работе формула следа была доказана и для билапласиана, но для потенциалов, ряд Фурье которых содержит конечное число ненулевых слагаемых.

Глубокое исследование формул следов в случае конечномерного возмущения, во многом повлиявшее на дальнейшее развитие теории, было проведено в статье В. А. Садовничего и В. А. Любишкина [80]. Здесь рассмотрено возмущение самосопряженного дискретного оператора А конечномерным оператором Ви = ^1=1 (Аи,/к)дк, где и дь ~ некоторые вектора пространства. Подчеркнем, что так как вектора вообще говоря, не принадлежат области определения оператора А} то оператор В может быть неограничен. В работе для оператора А, считающая функция спектра которого имеет асимптотику N(X) = с\ +О (Ар), р(0) 0) + р(а, 0) + р(0, Ь) + р(а, Ь) 16 с ^ О, 0 < р < 1, доказана формула следа

Шп ¿ - Лп) = (л1-«^, , n+0° fc=l j=l где 0 ^ qj < 2 — некоторые числа, fj e V(Aqj), gj G {А2~ъ).

Далее отметим работы В. А. Садовничего и В. А. Любишкина [75, 76, 77], В. А. Садовничего, В. А. Любишкина и В. В. Дубровского [78], В. В. Дубровского [22, 23, 24], В. А. Любишкина и Г. В. Козлова [33, 34], В. Е. Подольского [47, 48]. Во всех работах, посвященных исследованию абстрактных операторов, формула (0.0.5) (или более общая, с регуляризацией несколькими поправками теории возмущений) была доказана для различных классов операторов, на которые, помимо других условий, обязательно накладывались условия: оператор Aq самосопряженный, его собственные числа удовлетворяют условию |AnJ > cnl+s с некоторым (различным в разных результатах) <5 > 0, а оператор В ограничен. Наиболее сильный результат был получен в работах В. В. Дубровского [23, 24]. В [23] справедливость формулы следа (0.0.5) была установлена для самосопряжённого оператора А с N(X) = О (Ар), где р ^ 1/2 и ограниченного В, а для возмущения, принадлежащего классу Гильберта - Шмидта, формула была доказана при р ^ 1. В продолжении этих исследований [24] автор для случая ограниченного возмущения и р < 1 получил формулы следов для степени п собственных чисел, ре-гуляризовав их I — 1 поправкой теории возмущений, где I ^ гг/(1 — р). Некоторое уточнение этих результатов для специального случая наличия асимптотической формулы Ап = па + о(п^), 1 < /3 ^ а < /3 +1 было получено В. В. Дубровским1 и А. С. Печенцовым [26, 27].

В несколько отличающейся по технике оценок поправок теории возмущений работе [96] М. Достанич получил ряд интересных теорем с ясными формулировками. Рассматриваемые им невозмущенные операторы имеют спектр с особо регулярным поведением, и за счет этого автору

В отношении ряда более поздних работ В. В. Дубровского см. [29]. удалось, не налагая дополнительных условий на возмущение, получить результаты для операторов с не слишком быстро растущей последовательностью собственных чисел. Формула следа (0.0.5) была доказана им для случая, когда с\ ^ (Ап+1 — А„) ^ С2, 0 < р < 1, та же формула при более слабом условии lim У] (An+1 — Аk) = 0 была доказана для случая N(А) ~ сАр, 0 < р < 2/3. Еще отметим, что в этой работе был рассмотрен и случай неограниченных возмущений при регулярности невозмущенного спектра и подчиненности возмущения степени невозмущенного оператора: если с\ ^ (A„+i — А„) ^ сг, 0 < р < .1/2 и возмущение подчинено степени ß невозмущенного оператора, 0 ^ ß < \ — р, то верна формула (0.0.5).

В спектральной теории линейных операторов давно используется при решении разных задач метод суммирования рядов по Абелю. Пионерской здесь была работа В. Б. Лидского [40], в которой этот метод использован для суммирования разложений по главным векторам оператора. К исследованию регуляризованных следов метод суммирования по Абелю впервые был применен в работе В. А. Любишкина и Г. В. Козлова [34], идейно и технически прямо опиравшейся на работу [40].

В 1993 г. в работе В. А. Любишкина и В. Е. Подольского [45] была предложена новая техника суммирования регуляризованных следов методом Абеля, применимая для операторов с известным асимптотическим поведением в нуле следа голоморфной полугруппы, генератором которой является исследуемый оператор. Она позволила для широкого класса дифференциальных операторов на компактных многообразиях (порядок которых больше размерности многообразия) получать суммированные по Абелю формулы регуляризованных следов вида:

Дт+ ^ е"А*< Vßk - \к + ) = хп+1, (0.0.7) к \ 1=0 / существенным достоинством которой является то, что в качестве регуляризатора в ней фигурирует конечная сумма степеней собственных чисел невозмущенного оператора, при том, что в общем положении собственные числа операторов этого класса подобного асимптотического разложения не имеют. Позже, в работе автора [55] было предложено называть эту регуляризующую сумму слабой асимптотикой спектра рассматриваемого оператора.

Ожидалось, что суммирование по Абелю, как весьма сильный метод суммирования, будет давать опережающие обычное (со скобками) суммирование следов результаты, и в том числе предлагать содержательные ориентиры для исследований обычных форм регуляризованных следов, что и подтвердило несколько работ, отметим в этом контексте [52, 5,1], и выделим работу Е. В. Александровой [2], в которой по методу работы [52] для возмущенного гармонического осциллятора удалось с помощью тауберовой теоремы Литтлвуда снять в формуле следа суммирование по Абелю.

К задаче суммирования по Абелю разложений по собственным функциям и регуляризованных следов близко примыкает важная, самостоятельная задача теории операторов — задача исследования полугрупп операторов, их теория возмущений, оценки приближений в различных нормах. Приближения полугрупп в нормах идеалов компактных операторов исследовались, мы укажем здесь на работы [107, 112], в которых изучается скорость приближения полугруппы членами последовательности типа Троттера. Однако в основном изучению подвергались конкретные дифференциальные операторы (см., например, большой обзор Б. Саймона [110]), а для абстрактных операторов исследование асимптотики при Л —> 0+ следа полугруппы ограничивалось оценкой главной части.

Одной из важнейших конкретных задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И. М. Гельфандом—получить формулы следов для оператора Лапласа - Бельтрами на сфере. Остановимся коротко на истории вопроса. Долгое время для дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихаракте-ристическим потоком не удавалось вообще сколь-либо содержательно исследовать спектр, и продвинуться в этой задаче удалось лишь после создания современного микролокального анализа — теории интегральных операторов Фурье. Первые общие результаты здесь были получены Ж. Шазарэном [94], Дюйстермаатом и Гийеминым [97], А. Вейнстей-ном [113], Колином де Вердье [95], которые показали, что спектр таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра невозмущенного (отвечающего главному символу) оператора. Особое место, как основная модель и как физически наиболее интересный случай, в этой теории t занимает возмущенный оператором умножения на гладкую функцию оператор Лапласа - Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком. Важнейшим классом таких многообразий являются симметрические пространства ранга 1. В работах А. Вейнстейна [113], В. Гийемина [101, 102, 103, 104], X. Видома [114] и работе В.Гийемина и А. Уриба [105] детально изучен спектр оператора —А + q, где q — вещественная функция, q G С°°(М) и показано, в частности, что оценка |Аk,i — /J>k,i\ = 0(1)> i — !)♦•♦> Nk, легко получаемая из минимаксного принципа, не может быть улучшена при q ф const для всех симметрических пространств ранга 1, кроме 5", и более того, доказано, что множество предельных точек последовательности (//^ — А^), к = 0,1, — есть отрезок [а, Ь] вещественной оси и для а и Ь предъявлены формулы, выражающие их через q\ на Sn эта оценка может быть улучшена только для нечетных q до следующей: lA^ — fik,i\ = О (l/к2) , i = 1,., Nk — и эта оценка также неулучшаема.

Из неулучшаемости приведенных оценок ясно, что трудно рассчитывать найти простую регуляризующую последовательность Uk такую, чтобы сходился ряд с общим членом (/¿^ — Ак — Vk) ~ во всех случаях, кроме случая Sn с нечетным q. Отсюда ясна и цель дальнейших исследований — в условиях, когда дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра оператора —А + <7, по сути, невозможно, тем не менее исследовать "тонкую структуру" спектра: суммируемость разности собственных чисел —А и — А + д различными методами.

Один из подходов — суммирование со скобками, и в этом направлении в работах В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [68, 70], для 52 с нечетным д была получена следующая формула:

Другое приложение теории следов - приближенное вычисление собственных чисел - также было предложено И. М. Гельфандом на примере оператора Штурма - Лиувилля. Задача о вычислении первых собственных чисел операторов является одной из важных классических задач математической физики и этой проблеме были посвящены многочисленные исследования. Мы ограничимся обсуждением теоретических методов и алгоритмов, не касаясь методов численных.

Одним из наиболее употребительных способов является метод, основанный на хорошо известных равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой задачи и ее собственные значения:

Глубокое исследование в этом направлении принадлежит А. А. Дородницыну [20]. Суть метода проста: обрываем в этих равенствах ряды до слагаемых с номером N и берем (.Л/- + 1)-но первое равенство. Решаем полученную конечную систему и получаем приближенные значения собственных чисел, тем более точные, чем большее N взято. В силу хорошо известной во многих классических задачах локализации собственных чисел с точностью до 0(1) оценку отброшенного остатка ряда сделать несложно и корректность метода очевидна. Вместе с тем метод обладает существенным недостатком: вычисление конкретных значений интеграоо Г 2п

0.0.8)

0.0.9) лов из левой части данных равенств не алгоритмизуется и эти интегралы в конечном виде через параметры исходной задачи, вообще говоря, не выражаются.

С появлением в работах И. М. Гельфанда [13] и Л. А. Дикого [18] системы следов высших порядков (0.0.6) появилась возможность другого подхода к этой задаче. Равенства (0.0.6) важны и интересны в том числе и потому, что Ап (к) и В (к) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий и их вычисление вполне можно алгоритмизовать, как это сделано, например, в более сложной задаче Орра - Зоммерфельда в работе В. Б. Лидского и В. А. Садовничего [43] или для периодической задачи для оператора Штурма — Лиувилля в работе МакКина и ван Мёрбеке [108].

В связи с этим И. М. Гельфанд и Л. А. Дикий [18] предложили в 1957 г. новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля: аналогично схеме использования системы (0.0.9) удержать в системе (0.0.6) частные суммы рядов до .Л/'-го слагаемого в (Ы + 1)-м регуляризованном следе и полученную приближенную систему решить, найдя некоторые приближения к собственным числам задачи. В [18] сделано конкретное вычисление для уравнения Ма-тье по указанной схеме и получены значения трех первых собственных значений, верные в третьем знаке после запятой. Однако в [18] данный метод не обоснован: никаких оценок при переходе от рядов к их частным суммам сделано не было. Не было дано обоснование этого метода и позже.

Тем не менее регуляризованные следы, основанные на поправках теории возмущений, использовались для приближенной оценки собственных чисел, укажем здесь на работы В. А. Садовничего, В. В. Дубровского и других [69, 71, 72, 73].

В 1995 г. С. А. Шкарин [92] доказал неединственность решения бесконечных нелинейных систем определенного вида и, в частности, для систем вида (0.0.6) из его результатов следует, что если решать эту систему относительно Л„, то у (0.0.6) существует континуум решений, причем мы можем заранее совершенно произвольно задать любое конечное число Ап-х и всегда существуют решения с этими заданными числами. Таким образом, было показано, что метод приближенного вычисления первых собственных чисел с помощью системы регуляризованных следов в трактовке И. М. Гельфанда и Л. А. Дикого не может быть реализован.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Первая глава целиком посвящена доказательству формул регуляризованных следов со скобками для широких классов дискретных операторов в гильбертовом пространстве. Во всей главе невозмущенный оператор Ао предполагается самосопряженным и положительным. В параграфе 1.1. мы приводим некоторые необходимые предварительные сведения из теории Шаттена - фон Неймана симметрично - нормированных идеалов компактных операторов, некоторые неравенства, оценки ядерной нормы резольвенты дискретных операторов, утверждения о выборе контуров на плоскости расположения спектра с заданными свойствами. Некоторые утверждения этого параграфа являются новыми.

Параграф 1.2. посвящен случаю ядерности резольвенты невозмущенного оператора, в нем доказаны две теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть оператор В таков, что Т>(Ао) С Т){В), существует число <5 Е [0, 1) такое, что оператор В Ад5 продолжается до ограниченного, и существует число ал Е [0, 1),а; + 8 < 1 такое, что Ад^1-5-^ — ядерный оператор. Тогда существует подпоследовательность натурального ряда {пт}^=1 и последовательность конуров Гт Е С такая, что при 6/1 верна формула й, + А = 0.

0 Гт к=1 /

В частности, при и ^ 6 верна формула

Пт

- Л/ - (В(Р]> <Рз)) = п—юо '

3=О

В этой теореме впервые в общем виде исследован случай неограниченных возмущений, и даже при ограниченном возмущении (5 = 0) полученный результат существенно улучшает результат В. В. Дубровского [24], понижая требования к невозмущенному оператору с условия • на собственные числа N(X) = 0(Хр),р ^ 1/2 до условия ядерности обратного. Так же выделим доказанную в параграфе в условиях теоремы оценку ядерной нормы оператора В11(\): существует бесконечно большая последовательность положительных чисел ат такая, что ||ВЩйт)||х = 0(а~и) при 771 оо.

Далее в этом параграфе доказана аналогичная теорема для специального класса невозмущенных операторов, последовательность собственных чисел которого имеет лакуны большей длины, чем длина, гарантированная главным членом асимптотики.

Теорема 1.2.3. Пусть оператор В таков, что Т>(Ао) С существует число <5 6 [0, 1) такое, что оператор ВА^6 продолжается до ограниченного, а оператор 6 ©р-ш, где р натуральное и р ^ 2, а и Е [0, 1). Предположим также, что для подпоследовательности собственных чисел (Лпт}ш=1, Для которой ЛПт < ат < ЛПт+ь где ИДо^т)^ 0, выполнено А*"^ - ^ с, где р > 6. Тогда при я е N и {0} и в случае выполнения неравенства 6 < р2{р+Я ~ 1)» где р2 — р — р\1 верна следующая формула

Я =

Ш1П

6<Р1^Р р-1)(г-р1)-и(1-6)

Р1 - з ш - л,) + £ ъ ] (вдо(л)) ¿а =о

Р+Я а если 5 ^ + q — 1), то при / ^ 2 и таком, что 6 — р2(р + — 1) — (р — <5) (I — 1) ^ О верна формула пт Р+9+/-1 / ^jfe-l Л \ i=o /т /

При доказательстве этой теоремы мы пользовались одной формулой для регуляризованного определителя возмущения, отсутствующей в известных нам источниках: пусть BAq1 G &р, тогда при A Е С таких, что выполнено неравенство ||B.Rg(A)|| < 1, для логарифма регуляризованного определителя возмущения верно представление

In Dp{ А) = Tr ПГ tip. (ВДо(А))'

Параграф 1.3. посвящен случаю неядерности оператора Лд1. Этот случай в литературе для абстрактных операторов не рассматривался, есть ряд работ ([1, 2, 5, 6, 7, 33, 34, 52, 55, 68, 70, 87]), посвященных конкретным операторам математической физики. Основная сложность этого случая в том, что в общем положении в спектре оператора Лд отсутствуют растущие лакуны.

В первой из теорем этого параграфа на невозмущенный оператор не налагается никаких ограничений, кроме наличия последовательности неограниченно возрастающих лакун. Аналогичный (и более общий) факт был ранее известен только для ядерного возмущения.

Теорема 1.3.1. Пусть у оператора Лд существует подпоследовательность его собственных чисел {АПт}^0 такая, что АПт+1— АПт —>• оо при т —>• оо. Пусть оператор В £ 6Р, где р натуральное и р ^ 2. Тогда верна формула

Нт - А, + g tjglTr f lBRo{A))' dx) = 0. j=o *=i rJm J

Следующая теорема в некотором смысле является аналогом первой теоремы предыдущего параграфа, однако является более простой по структуре, так как необходимая компактность возмущения лишает смысла введение параметра, аналогичного и. Результатов для такого класса абстрактных операторов ранее не было.

Теорема 1.3.2. Пусть существует число 5 ^ 0 такое, что оператор В А$ продолжается до ограниченного и что — ядерный оператор. Тогда существует подпоследовательность натурального ряда {пт}^=1 такая, что верна формула п„

Наконец, последняя теорема в этом параграфе касается случая, когда невозмущенный оператор имеет в последовательности собственных чисел лакуны большей длины, чем длина, гарантированная главным членом асимптотики. Для этого класса абстрактных операторов так же ранее результатов не было.

Теорема 1.3.3. Пусть существует число 5 ^ 0 такое, что оператор В А§ продолжается до ограниченного, оператор Ац £ где р натуральное и р ^ 2, а и Е [0, 1). Предположим также, что для подпоследовательности собственных чисел {АПта}^1, для которой АПт < ат < гДе {<2т} — последовательность чисел, на которой стремиться к нулю резольвента оператора выполнено — А^ > с, где с > 0, р< 5. Тогда при д е N и {0} и при выполнении условия д + <Г+ и; > 0 верна следующая формула пт Р+Я / -.\fcl л \

0 *=1 ¿т )

Если д = <5 = и> = 0, то верна формула

Пт Р+Ч+1 (Л\к-1 С \

Е ^ГЪ (¿ВД)*<*А =0. о *=1 £ )

В параграфе 1.4 рассмотрены операторы с регулярным поведением собственных чисел. Дополнительные предположения о собственных числах позволяют получить конструктивный метод расстановки скобок. Мы ограничиваемся теоремами о выборе контуров, на которых стремится к нулю ядерная норма резольвент, формулы следов доказываются на основании этих результатов идентично формулам предыдущих параграфов. Так же для большей прозрачности рассуждений мы ограничились случаем ядерности невозмущенного оператора и ограниченного возмущения.

Теорема 1.4.1. Пусть собственные числа оператора Ао обладают следующими свойствами: оо

Е 1/Ап < +оо, (0.0.10)

П=1 п/\п>(п+ 1)/Ап+1. (0.0.11)

Тогда последовательность {ат — (Ат+х + Лт)/2}^1 обладает свойством: шах ||^о(А)||1 —> 0 при 7тг —у +оо.

А|=ат

Теорема 1.4.2. Пусть Ао — оператор теоремы 1.4.1, но вместо (0.0.11) выполнено: существуют 0<<5<1и./УеМ такие, что п6/Хп > (п + 1)(5/Ап+ь п>7У, а так же существует последовательность {?7п}пЛ» удовлетворяющая условиям (0.0.10) и (0.0.11) и такая, что

1/Л„ < 1/г)п.

Тогда последовательность { ат — I + Апт+1^ » гДе последовательность Ап определена соотношением п/Хп = тах{&/А*;}, а номер пт к^п условием Л„то = АПт, обладает свойством ||Ло(ат)||1 —> 0 при т —V +оо.

В параграфе 1.5. мы рассмотрели ряд примеров применения полученных результатов к конкретным операторам математеческой физики.

Рассмотрим в качестве оператора Ао оператор (—Д)а, действующий в ¿2([0,7г] х [0,7г]) с условиями Дирихле на границе квадрата, а в качестве оператора В оператор умножения на ограниченную измеримую (комплекснозначную) функцию д(ж, у). Формула ранее была известна [28] для степени оператора а > 93/80 и доказательство опиралось на тонкие результаты теории чисел. Так как в этой задаче Ап ~ пау то из теоремы 1.2.1 следует, что формула следа верна для о; >1.

Рассмотрим в качестве оператора Ао оператор (—Д)2+е, е > 0, действующий в £г([0,7г] х [0,7г]) с условиями Дирихле на границе квадрата, а в качестве оператора В дифференциальный оператор первого порядка + р(х,у)щ, где периодические продолжения функций др<$уУ^, принадлежат Са(Ж2) с показателем а > 1. Мы в этом случае так же получили формулу первого регуляризованного следа, и это первый пример формулы следа для оператора в частных производных, возмущенного оператором в частных производных.

Возьмём в качестве оператора Ао обыкновенный дифференциальный оператор, действующий в 0,я-]. Конечно, для обыкновенных операторов все вопросы теории решены [41], но реальные вычисления для операторов порядка выше 4-го известными методами практически необозримы, и для той гладкости коэффициентов, которую позволяет наш метод, известные методы практически неприменимы. В диссертации проведено вычисление для оператора Ао = —возмущенного неограниченным оператором — дифференциальным оператором второго порядка: я(х)у"р(х)у. В силу теоремы 1.2.1 необходимо вычисление только величины (В(рп)<рп). Так как </?п = у^вт пх, то соответствующие вычисления несложны, и мы получили формулу следа классического вида при р(х), </'(я) Е ¿2[0, 7г] и тригонометрические ряды Фурье этих функций сходятся к ним на концах отрезка.

Теорема 1.3.2 применена нами к возмущению гармонического осциллятора некоторым интегральным оператором класса Гильберта - Шмидта.

Теорема 1.3.3 применима к операторам со спектром неограничено возрастающей кратности. Рассмотрим в качестве оператора Ао оператор Лапласа - Бельтрами на каком-либо симметрическом пространстве ранга 1, а в качестве оператора В — оператор умножения на ограниченные» измеримую функцию на этом многообразии. Данная задача интенсивно исследовалась в последние годы, и то, что для получения формулы первого следа необходимо вычитать две поправки, ранее было получено (даже при использовании дополнительных сведений в силу конкретности оператора) на пути весьма трудных и объёмных вычислений и оценок, см. [25, 70]. Наша абстрактная теорема дает здесь точный ответ.

В качестве оператора Ао рассмотрим оператор, задаваемый дифференциальным выражением — у"+д{х)у с д(я) > х2+5 для всех больших |ж| и некоторым 5 > 0, действующий в ¿^(М) или в 1^2[0; +оо) с каким-либо условием на границе, а в качестве оператора В оператор умножения на ограниченную измеримую функцию р(х). Наложенное условие на потенциал гарантирует ядерность резольвенты оператора Ао, и в этом случае по теореме 1.2.1 верна формула (0.0.5). Эта формула является новым результатом в весьма обширных исследованиях операторов второго порядка на неограниченных интервалах, так как для операторов такого вида вообще не было формул следов с неубывающими возмущениями. В частности, из результатов [37, гл. 12, §6] следует, что если |<7(я)| ~ х2+6 и удовлетворяет еще ряду условий на гладкость и поведение производных на бесконечности, то Ап ~ сп1+<+*, и для ограниченного возмущения теорема работы [24] утверждает формулу следа с числом вычитаемых 4 поправок теории возмущений I ^ 1 + 7, то есть ни при каком 6 > 0 не о достигается доказанная нами формула.

Во второй главе изучается применение метода суммирования рядов по Абелю к регуляризованным следам. В параграфе 2.1. получен центральный для суммирования следов по Абелю операторов с известным асимптотическим поведением при t —»• 0+ следа соответствующей полугруппы технический результат — лемма об асимптотическом разложении дробной производной Вейля [8, гл. 7, §3] оо X следа голоморфной в некотором секторе правой полуплоскости операторной полугруппы с генератором — дискретным оператором. Этот результат, а так же полученное ниже следствие из него будут играть решающую роль при доказательстве существования и нахождении слабой асимптотики собственных чисел.

Лемма 2.1.1. Пусть {А&}£10 — последовательность чисел такая; что что оо при |argi| <7, 0 < 7 < | определена функция F(t) = ^ ехр(—А&£), к=о причем при t —> 0+ существует асимптотическое разложение оо Nt t=0 j=о оо

П{ +оо. Тогда для функции F(t,6) = Апгехр(—A^i), <5 G С имеет

71=0 место следующее разложение (здесь Re <5 > 1) при t —0+:

00 N* frii+8 3 t=0, j=о 3 1=0

Щ+St NU{0} oo 00

00 N* tm+5

- E i=o, j=о J ^ ni+JeNUio}

V In f-l

J (m + 6)\г(-п,)ш

-1)^ ]fc!(ni + i-ib),+1r(i-ife) X x ¿(-l)'(i + Ш''' U - l + 1) In'"' * ), (0-0.13) i=o / oo где T(s) — гамма-функция Эйлера, ^(s) = ^ A~s — дзета - функция,

71=0 ассоциированная с последовательностью {An}£L0,

1)к

Ck{6) = L-f-Z(8-k), если Z(s + 6) не имеет особенностей в точке s = —к и

Ok{S) = ¿(-1 )jj\aij7j(k) + t^L reg Z(s), j=o K- s=-n« если Z(s+6) имеет полюс в s = —к. Здесь через reg f(s) обозначен коэф

8=30 фициент лорановского разложения f(s) в окрестности s = so при (s — so) в нулевой степени, через jj(k) коэффициенты лорановского разложения оо

F(s) = 7j(^)(s + к)1. При 5 таком, что Re<5 ^ 1 асимптотическое j=-i разложение для 5) при t —у 0+ можно получить из имеющегося почленным дифференцированием.

Так же в этом параграфе изучено поведение при t —> +0 функции оо

F(t, <5, m) = ^Г^ Х~6 lnmAne-Ani,

71=1 исходя из заданного асимптотического разложения F(t); здесь S 6 С,

А"5 = e-ÄlnA», m = 0,1,

В параграфе 2.2. рассмотрено ограниченное возмущение А + В оператора Л, который полуограничен снизу и для которого

У^ ехр (— Re Xnt) < +оо.

Это условие обеспечивает ядерность полугруппы, генератором которой является оператор А. Главная характеристика выделенного в этом параграфе случая — существование разложения

N Ni

F(t) = Tr(exp(-M)) = 2 "ijt** \nj t + o(t), t 0+, (0.0.14)

0 j=о здесь no < щ < •' • < tin, причем No — 0, и аналогичного разложения к

G(t) = Tr(exp(-i(A+J3))) = t 0+. (0.0.15) г=0 j=0

Укажем в качестве поясняющего примера, что эллиптические дифференциальные операторы на компактных многообразиях без края имеют тэта-функцию с разложением типа (0.0.14) без логарифмических членов, классические псевдодифференциальные операторы имеют в таком разложении члены с логарифмом только в первой степени, а для краевых задач уже в одномерном случае даже дифференциальный оператор может иметь разложение с логарифмами в более высоких степенях, если производные коэффициентов имеют особенности на крае интервала, подобные примеры построены нами в главе 4.

В данном параграфе доказаны две теоремы о суммируемости регу-ляризованных следов по Абелю. Использование сильного метода суммирования дает возможность в весьма общей ситуации получить регуляризацию конечной суммой степенно - логарифмических функций от собственных чисел невозмущенного оператора. Всегда, когда собственные числа возмущенного оператора имеют асимптотическое разложение (такой структуры) по собственным числам невозмущенного, этот метод в качестве регуляризатора дает именно это разложение, и в некоторых задачах это является единственным известным методом получения асимптотики спектра (такой пример содержится в работе [2]).

В первой теореме параграфа доказывается суммируемость по Абелю формулы первого регуляризованного следа при наличии некоторой оценки на собственные числа операторов, при этом не предполагается наличие прямой связи между разложениями (0.0.14) и (0.0.15): они могут содержать различные степени, различное число слагаемых. Если соотношение на собственные числа выполнено для более высоких степеней операторов, то с помощью этой теоремы можно получить формулы следов старших порядков.

Теорема 2.2.1. Пусть А — дискретный оператор с собственными числами {An}£L0> действующий в гильбертовом пространстве Н такой, что в некотором секторе | arg s| < е определена ядерная полугруппа ехр(—tA), причем для F(t) = Tr(exp(—tA)) имеет место асимптотическое разложение (0.0.14), и пусть оператор В таков, что в том же секторе определена ядерная полугруппа ехр(—t(A+B)) , для G(t) = Tr(exp(—t(A+B))) имеет место разложение (0.0.15), и пусть также где {а4п}^=о — собственные числа оператора А + В. Тогда существуют наборы чисел {хь, ¿л, тл}^, такие что имеет место равенство

Во второй теореме предполагается, что разложения (0.0.14) и (0.0.15) есть частные случаи единого разложения параметрического семейства операторов при различных значениях дополнительного параметра. За счет этого оказывается возможным доказать формулы следов всех порядков, причем без ограничений на порядок невозмущенного оператора и степень подчиненности возмущения. Условия этой теоремы во всяком случае выполнены для эллиптических самосопряженных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях.

Теорема 2.2.4 Пусть А — дискретный оператор, собственные вектора которого образуют ортонормированный базис, и оператор В таков, что собственные вектора оператора А + В также образуют ортонормированный базис. Пусть так же операторы А и В таковы, что в секторе

0.0.16) arg s| < e определена ядерная полугруппа exp(—t(A + тВ)), для которой при t —>> 0 для любого г £ [0; 1] существует равномерное по т разложение

00 Ni

F(t, т) = Тг (ехр (- (А + тВ) t)) ~ £> (0-0-17) i=0 j=0 и пусть (0.0.17) можно бесконечно дифференцировать по т. Тогда при любом натуральном р существует набор чисел {хд, 6h, такой что имеет место равенство

00 / Я \

5а £еЛ"' [л-Лп-Е ь™*л» =

71=1 \ h= 1 /

В параграфе 2.3. мы изучаем след полугруппы где А — дискретный, а В — ограниченный оператор, на основе полученных нами оценок для приближения указанной полугруппы невозмущенной полугруппой e~tA в ядерной норме. В этом параграфе оператор А таков, что А~1 £ &р с некоторым р ^ 1, его собственные вектора образуют ортонормированный базис, соответствующие собственные числа {Ап}^ лежат в открытом секторе Q : —7г/2+о; < argz < ir/2 — uj, 0 < и < 7г/2.

Теорема 2.3.1. Пусть существует число а > 0 такое, что

Ие-^И^сГ" (0.0.18) при t £ (0, +оо). Тогда ряд оо ъ tl e-«A+B) = e-tA + JI. I e-(t-WB # Be-tkA dtk ^ dti к=1 0 о О сходится в ядерной норме, причем сходимость остатка ряда равномерна на любом отрезке [а, 6] £ [0, +оо).

Следствие 2.3.2. В условиях теоремы 2.3.1 при всех N £ N таких, что а . < 1 верна асимптотическая при t —>• 0+ формула для следа возмущенной полугруппы

Tre-tiA+в) = ^ е-и ^ (Вг-**) t+

N—2 * / • • • / е-«-*1)лВ. Л*. <ИХ + О .

2 о О

0.0.19)

Следствие 2.3.3. Если вместо условия теоремы 2.3.1 при t —> 0+ верна асимптотическая оценка ||е~м||1 = о(£~а), то в формуле (0.0.19) (по-прежнему верной при тех же -Л/") остаточный член имеет вид о (¿//-1а).

Подчеркнем, что теорема 2.3.1 (и следствия 2.3.2 и 2.3.3) никак не использовали структуру спектра оператора, и полученные результаты имеют место для операторов с произвольной природой спектра.

Далее мы применяем полученные результаты к доказательству одного из основных результатов параграфа — одной формулы регуляризо-ванного следа.

Теорема 2.3.5. Если |АП|-1 = о (п1), то верна формула оо

Дт - Ап - (В<рп, <рп))е~А"г = 0.

П=1

Подчеркнем, что в отличии от предположений параграфа 2.2. мы не предполагаем наличие разложений (0.0.14) и (0.0.15), а в качестве ре-гуляризатора берем последовательность (В(рп,(рп). Условие (0.0.16) при ограниченном операторе В в общем положении предполагает ядерность обратного к А, при этом разложения (0.0.14) и (0.0.15) являются существенными ограничениями на операторы. В качестве компенсации мы в параграфе 2.2. получили слабую асимптотику собственных чисел.

В конкретных задачах математической физики вычисление слагаемых в формуле (0.0.19) при к ^ 2 уже сопряжено с заметными техническими трудностями (при к = 2 для псевдодифференциального оператора А на компактном многообразии размерности т, возмущенного оператором умножения на функцию, речь идет о вычислении (3т + 2)-кратного интеграла). В следующей теореме мы предлагаем упрощение этих формул при некоторых дополнительных предположениях об операторах, сравнительно легко проверяемых для псевдодифференциальных операторов. Мы ограничиваемся наиболее важным случаем к = 2.

Теорема 2.3.6. Пусть неравенство (0.0.18) выполнено с а < 4 и пусть Л существует —а < 5 < 1 — ^ такое, что оператор (ВА — AB) |А| продолжается до ограниченного, тогда при t —» 0+ верно

Ъе-tiA+B) = тте-и tTr + + Q (¿3-a-i) .

В параграфе 2.4. мы исследуем поведение следа полугруппы другими по сравнению с предыдущим параграфом техническими средствами, ориентируясь при этом не на асимптотическое поведение собственных чисел (и соответственно следа полугруппы), а на их интегральные свойства — сходимость некоторых рядов, то есть на принадлежность обратного оператора некоторому классу Шаттена - фон Неймана. Этот метод более громоздкий, и мы ограничились изучением случая, когда Л-1 € ©2- Остальные предположения об операторе А такие же, как и в предыдущем параграфе, оператор В предполагается ограниченным.

Сначала мы доказываем ряд вспомогательных фактов о резольвенте и полугруппе: || ехр(—tÄ)\\\ — о {t~2)y t —0+; t|| exp(-tA)||i € Li[0,+oo); 11Rq(A)112 равномерно ограничена в области C\{| arg А| ^ 7г/2 — 2и + <5}, S > 0 и lim ||Яо(А)Ц2 = 0 равномерно по аргумен

А|—>оо ту в этой области; ||exp(-£(A + В)) — ехр(-^Л)||1 = о (t'1), t 0+; II ехр(—¿(Л + В)) - exp(-L4)||i Е ¿i[0, +оо).

Следующая теорема посвящена получению асимптотической формулы для следа возмущенной полугруппы того же типа, что и в теореме 2.3.6, но здесь мы вместо условий на подчиненность коммутатора найдем несколько вариантов условий на спектр невозмущенного оператора и на матричные элементы возмущения (в базисе собственных векторов невозмущенного). Так же в теореме получено соотношение между собственными числами операторов и диагональными элементами операторов В и В2. Это соотношение (не являясь формулой следа в стандартном смысле) является максимально возможным продвижением к формуле следа для такого широкого класса операторов и представлено в виде, удобном для дальнейшего исследования с конкретными операторами. Дополнительно предположим, что оператор А сверх общих предположений параграфа самосопряжен.

Теорема 2.4.6. Пусть для операторов А и В выполнено одно из следующих условий:

1) Пусть при некотором а 6 (0,2] для собственных чисел оператора А выполнено

Е(ЛП1 — Ап)а --<+0°'

1+а п=1 п где АП1 — первое собственное число, сторого большее Ап, и пусть оператор В таков, что оо

В(рп,(р1)(Вщ,(рп)

00 к:Хк>К

1=к+1

Хк+1 - А*) < +оо.

11) Пусть при некотором а € [1,2] выполнено

00 |(В(рп, (рк)(Вфк, Уп) | (А* - Ап)" = о (АГ1)

А*>А„

111) Пусть при некотором 0 < /3 < 1 выполнено оо п=1 и

00 \(В<рп,<рк)(В<рк^п)\ = 0(\2/-2).

Ак=[Л„+Лп]+1

Тогда при £ 0+ верна асимптотическая оценка

Тг (е-ЧЛ+В) = + *1тг (В2е~ы) + о{1) и верна формула оо /

До+ ХД ~ Лп ~ (В(Рп> ^ ~ п=1 ^ п=1 х ((£2<Аг, ¥>п) - (/¿п - е

Последний параграф главы 2.5. содержит пример применения развитого метода: мы получаем просуммированные по Абелю формулы регу-ляризованных следов для оператора Лапласа - Бельтрами в случае сфер размерности не выше 5, возмущенного нечетным потенциалом. Особенно выделяется случай размерности 2: из полученных формул с помощью тауберовой теоремы Литтлвуда доказано, что ряд в (0.0.8) сходится без скобок:

Отметим, что это единственный известный в настоящее время пример оператора в частных производных, не допускающий разделения переменных, след которого сходится таким образом. Выделим и тот факт, что левая часть этой формулы имеет в точности вид левой части формулы (0.0.5), ведь в данном случае (В(рп,(рп) — 0 из-за нечетности потенциала, однако справа мы напротив, имеем заведомо ненулевое выражение (по крайней мере, для вещественных потенциалов). Остается заметить, что для собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами —Д на двумерной сфере верно Д^ ~ к и его резольвента ядерной не является (хотя для любого 5 > 0 оператор (—Д)1+г уже имеет ядерную резольвенту).

Таким образом, этот результат является конструктивным примером, по казывающим существование границы применимости формулы (0.0.5) и близкую к предельной точность нашей теоремы 1.2.1 из первой главы для случая ограниченного возмущения.

Третья глава посвящена исследованию оператора Лапласа - Бельтрами на симметрических пространствах ранга 1 методами, опирающимися на теорию псевдодифференциальных операторов.

Параграф 3.1. носит вспомогательный характер и содержит известные сведения о спектре как самого оператора Лапласа-Бельтрами на симметрических пространствах ранга 1, так и его возмущения оператором умножения на гладкую функцию.

Далее, с помощью кластерной асимптотики собственных чисел оператора, полученной в выше упоминавшихся работах В. Гийемина и А. Уриба, в параграфе 3.2. получены просуммированные по Абелю регуля-ризованные следы ненулевых степеней оператора Лапласа - Бельтрами на всех симметрических пространствах ранга 1 всех размерностей с возмущением любым гладким комплекснозначным потенциалом.

Теорема 3.2.4. Для любого а > 0 существуют явно выражаемые через q и метрику М константы {х/}^1"1"^ такие, что верна формула

00 / п+[2а] \

О + Д^Е - Хк Е *1Хк1/2 = *п+1+[2а]к=1 \ 1=2 )

Так же верна и следующая теорема о суммируемости методом Абеля регуляризованных следов отрицательных степеней собственных чисел оператора — Д +д (конечно, эта теорема содержательна до тех пор, пока (—Л + д)~а остается неядерным). ть

Теорема 3.2.5. Для любого 0 < а ^ — существуют явно выражаемые через <7 и метрику М константы {х/}"^1"^ такие, что верна формула оо / п—[2а] \ + (Л" - К" - Ка Е е-лг1 = хп+1.[2а1. к=\ \ 1=2 )

В параграфе 3.3. в той же общности получены формулы регуляризованных следов со скобками.

Теорема 3.3.1. Для любого натурального I существуют выражаемые явными формулами через I и метрику М константы {>^(0}"=12(/-1) такие» что верна формула оо

МО + Е к=1

Як п

Е Е

3=1 ¿=-2(/-1)

Подчеркнем, что до результатов параграфов 3.2. и 3.3. формул следов для дифференциальных операторов в случае, когда размерность многообразия больше порядка оператора, известно не было.

В параграфе 3.4. мы исследуем формулы регуляризованных следов без скобок оператора —Д + <? на сферах 5П. Здесь доказаны точные границы сходимости без скобок регуляризованных следов степеней рассматриваемых операторов, а именно, рассматривается регуляризованный след порядка а оператора — Д + д на сфере £п вида

Е Е» («)А^вЛ. (0.0.20) к=0 \ з )

При а = 0 ряд (0.0.20) становится тривиальным и в дальнейшем не рассматривается. В работе [7] А. Н. Бобров доказал при некоторых а, что существуют соответствующие %(а) и хДа) такие, что ряд (0.0.20) сходится. Мы доказываем, что найденные им границы для а являются точными.

Теорема 3.4.1. Для вещественнозначного нечетного потенциала д верны следующие утверждения: 5 — п

1. При а ^ —-— не существует регуляризации по собственным чис1 лам невозмущенного оператора — Д, то есть для любого набора констант Хэ (°0 и степеней к^ (а) ряд (0.0.20) расходится. 4 — п

2. При а ^ —-— регуляризованный след (0.0.20) не может сходится а абсолютно, то есть для любого набора констант х^ (<*) и степеней к^ (а) ряд, составленный из модулей членов ряда (0.0.20), расходится.

Аналогичное утверждение доказано и для потенциала, не являющегося нечетным, соответственно с границами для условной и абсолютной 3-п ^ 2 — п „ сходимости а —-— иа) —-—. Для комплекснозначного потенциат £ ла эти результаты о сходимости не могут быть точными: например, как показал В. Гийемин [104], существуют такие ненулевые комплексные потенциалы, что у операторов —А и — А + д на двумерной сфере спектры совпадают.

В отношении результатов трех последних параграфов отметим, что в силу известных дополнительных свойств конкретных операторов полученные формулы следов являются более точными и детальными по сравнению с тем, что можно было бы получить из общих теорем первой главы; так же отметим, что все они являют собой новые необходимые условия на спектр оператора Лапласа - Бельтрами на симметрических пространствах ранга 1, возмущенного гладким потенциалом. Получение необходимых условий на спектр есть неотъемлемая составляющая решения обратной спектральной задачи, что позволяет надеяться на приложимость этих результатов в будущем.

Четвёртая глава диссертации посвящена приложениям теории следов к некоторым классическим вопросам теории операторов типа Штурма - Лиувилля.

В параграфе 4.1. мы определяем и исследуем специальный класс 5 операторов Штурма — Лиувилля, а именно: рассмотрим оператор где q(x) € ^[0,7г], h, Н 6 R. Пусть (р(х, А) — решение задачи Коши для уравнения (0.0.21) с начальными данными </?(0, А) = 1, <¿/(0, А) = h. Если q(x) € Сп[0,7г], то <р(х, А) при |А| оо имеет следующее асимптотическое разложение:

-у" + q{x)y = At/, у'(О) - МО) = 0) у'М + Яу(тг) = о»

0.0.21)

0.0.22) гг . .

Л) = cos V Хх + к\{х)-■=—

0.0.23)

Определение. Оператор вида (0.0.21) - (0.0.22) мы назовем оператором класса ^[0,7г], если в разложении (0.0.23) для некоторого целого 3, ГО' < п + 1, = 0 на [0,7г].

Мы доказываем ряд важных свойств операторов этого семейства:

1. асимптотическое разложение (0.0.23) имеет конечное число ненулевых членов и являет собой точное решение уравнения (0.0.21);

2. переходная функция обратной задачи есть квазиполином;

3. потенциал продолжается во всю комплексную плоскость как меро-морфная (обязательно не целая) функция с полюсами только второго порядка и с нулевыми вычетами в полюсах;

4. ядро оператора преобразования, связывающего рассматриваемый оператор с простейшим оператором Штурма - Лиувилля, есть полином по второй переменной, причем содержащий только четные степени.

Также в этом параграфе проведено более детальное исследование одного плотного в классе 5 подсемейства, переходные функции которого — это полиномы по четным степеням переменной. Показано, что соответствующие потенциалы есть рациональные функции и изучены их свойства.

В параграфе 4.2. для операторов класса Б доказана возможность использования системы регуляризованных следов (0.0.6) для нахождения приближенных величин первых собственных чисел оператора. В связи с обсуждавшимся выше результатом С.А.Шкарина [92] подчеркнем, что принципиальным отличием операторов класса 5 от операторов Штурма - Лиувилля общего положения, в силу которого появляется возможность решения системы (0.0.6), состоит в том, что асимптотическое разложение собственных чисел операторов класса 5 по степеням п для всех собственных чисел, кроме конечного их числа, образует сходящийся к собственным числам ряд. Основной результат этого параграфа:

Теорема 4.2.1 Пусть {Ап}^=0 ~~ спектр некоторого оператора Ь из класса 5 и пусть оо

- Лп(к)) = В{к), к = 1,2,. (0.0.24) п=0 полная система регуляризованных следов этого оператора. Тогда система (0.0.24) однозначно определяет спектр {Ап}^=0 и более того, для любого е > 0 существует натуральное N(6), а также существует натуральное К, зависящее только от оператора Ь (и не зависящее от е), что если использовать в Ап(к) (0.0.24) при к — К. первые N членов асимптотического разложения Ап по степеням п, то будут верны неравенства

К-1 кп-Мк))-В(к) п=0

В параграфе 4.3. доказана е, к = 1,., К.

Теорема 4.3.1. Для произвольного оператора Штурма - Лиувилля Ь с потенциалом из ¿2 [0, тг] и произвольного е > 0 существует оператор класса 5 с областью определения такой же, как и у Ь и такой, что норма разности их потенциалов не превосходит е.

Доказательство этой теоремы конструктивно, что позволяет предложить метод нахождения приближенных величин первых собственных чисел: любого оператора Штурма - Лиувилля: сначала сам оператор приближается оператором класса 5, а затем уже для этого оператора по методу параграфа 4.2. находим приближение собственных чисел.

Следующий параграф 4.4. содержит новый метод исследования асимптотики первообразных спектральной функции р{ц) оператора (0.0.21), (0.0.22), который позволяет существенно упростить, а в ряде случаев и уточнить, исследование многих классических задач теории операторов

Штурма - Лиувилля. Основной результат параграфа — формула г

Д1/ •'•/ Р(*1)<Й1.СЙ*2 = о

00 { +оо +оо \ (—1)к— [ \ [ ■ [ • • • ¿Хк-1 > х2 СОЭ Ьх<1х, тг у у ) х1 I

О V. I 12 ) верная при к ^ 2 (то есть и для самой спектральной функции), здесь Ро(х) ~~ переходная функция обратной задачи.

И наконец, в параграфе 4.5. мы приводим два примера применения метода параграфа 4.4. Мы показываем, как с помощью полученных соотношений можно исследовать аналитическое продолжение взвешенной дзета — функции Я (в) оператора за полуплоскость сходимости интеграла, ее определяющего:

00 о для оператора с положительным спектром, в случае негладкого потенциала Даны примеры операторов, взвешенная дзета - функция которых имеет полюса порядка выше первого, существенные особенности, неизолированные особенности и т.д. До сих пор были известны лишь с полюсами первого порядка.

Второй пример — исследование асимптотического поведения функции Вейля - Титчмарша т(А) оператора Штурма - Лиувилля. Асимптотическое поведение т(А) при |А| —оо и 6 < а^А < 7г — <5, 6 > О, изучалось многими авторами (см. [16] и литературу). В работе [16] при предположении о том, что q(x) Е. Сп[0,е] для некоторого фиксированного е > 0 и принадлежит классу Гельдера с показателем а, 0 < а < 1, было доказано следующее асимптотическое разложение: т(А) = Л + + £>(-А)-^ + 0(| АГ2^). (0.0.25) м

Для доказательства (0.0.25) в работе [16] исследовалась асимптотика средних Рисса спектральной функции р{у) оператора Штурма— Лиувилля и также предложен метод вычисления

Полученные нами формулы позволяют прямо связать существование и вид асимптотического разложения т(А) с асимптотическим разложе российская государственная библиотека нием потенциала оператора, мы приводим точный алгоритм решения этой задачи и для примера вычисляем асимптотику ш(А) для неограниченного в нуле потенциала с логарифмической особенностью, не позволяющей точно позиционировать в каком-либо классе Гёльдера даже его первообразную: пусть в некоторой окрестности нуля = 1п2х + \/2ж, и краевое условие определяется параметром к = 0. Тогда т(А) = гА-5 - 1'л-1 1п(-А) + ^А"* - ^(-А)"* + О ((-А)"* 1п2(-А)) .

В отношении результата работы [16] мы доказали неулучшаемость оценки (0.0.25) при сделанных предположениях.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57] и совместных работах [6, 7, 81, 82, 83, 84]. В работах [6, 7] А. Н. Боброву принадлежат доказательства утверждений о сходимости регуляризованных следов без скобок для степеней собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами, автором диссертации в этих работах доказаны случаи расходимости указанных рядов. В работе [81] В. А. Садовничему принадлежит определение класса операторов с обрывающейся асимптотикой собственных функций и постановка, задачи о применении этого класса к приближенному вычислению первых собственных чисел, остальные результаты работы принадлежат автору диссертации. В работе [82] В. А. Садовничему принадлежит постановка задачи о выделении класса операторов с конструктивной расстановкой скобок, остальные результаты работы принадлежат автору диссертации. В работе [83] В. А. Садовничему принадлежит формулировка леммы о росте ядерной нормы резольвенты на некоторой системе контуров, С. В. Конягину принадлежит доказательство этой леммы, остальные результаты работы принадлежат автору диссертации. В работе [84] В. А. Садовничему принадлежит постановка задачи о рассмотрении неограниченных возмущений и операторов с лакунарным спектром, остальные результаты работы принадлежат автору диссертации. Все результаты диссертации принадлежат диссертанту.

1. Александрова Е. В., Бочкарева О. В., Подольский В. Е. Суммирование регу-ляризованных следов сингулярного оператора Штурма - Лиувилля. Дифф. уравнения. 1997. т. 33, JV«3. с. 291 - 295.

2. Александрова Е. В. Формула следа гармонического осциллятора с нефинитным возмущением. Деп. ВИНИТИ РАН 18.01.1997, Ш29-В97.16 с.

3. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М., Мир, 1980, 325 с.

4. Бирман М. Ш., Яфаев Д. Р. Функция спектрального сдвига. Работы М. Г. Крейна и их дальнейшее развитие. Алгебра и анализ, 1992, т. 4, вып. 5, с. 1 -44.

5. Бобров А. Н. Регуляризованные следы высших порядков оператора Лапласа -Бельтрами с потенциалом на симметрических пространствах ранга 1. Дифф. ур-ия, 1997, т. 33, №6, с. 800 804.

6. Бобров А. Н., Подольский В. Е. О сходимости следа степени оператора Лапласа Бельтрами с потенциалом на сфере Sn. Функц. ан. и его прил., 1997, т. 31, №4, с. 69-72.

7. Бобров А. Н., Подольский В. Е. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере Sn. Матем. сб., 1999, т. 190, № 10, с. 3- 16.

8. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.:"Наука", 1977, 288 с.

9. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М., Физматгиз,1960, 319 с.

10. Гасимое М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов. ДАН СССР, т. 150, 1963, JV* 6, с. 1202 1205.

11. Гасимое М. Г., Левитан Б. М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма Лиувилля. ДАН СССР, т. 151, 1963,

12. Гелъфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, т. 88, 1953, с. 593 596.

13. Гелъфанд И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. УМН, 1956, т. 11, №1, с. 191 198.

14. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва, Гостехиздат, 1950, 436 с.

15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965, 448 с.

16. Даниелян А. А., Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении т-функции Вейля Титчмарша. Изв. АН СССР, сер. матем., 1990, т. 54, №3, с. 469 - 479.

17. Дикий Л. А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана. УМН, 1953, т. 8, вып. 2, с. 119-123.

18. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. УМН , 1952, т. 7, №6, с. 3 96.

19. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1986, 760 с.

20. Дубровский В. В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате. ДАН БССР, 1980, т. 14, №3, с. 210 213.

21. Дубровский В. В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой. Дифф. уравнения, 1990, т. 26, №12, с. 2046 2051.

22. Дубровский В. В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях. Дифф. уравнения, 1991, т. 27, №12, с. 2164 2166.

23. Дубровский В. В. Теория возмущений и следы операторов. Дисс. . доктора физ. мат. наук. М., 1992 г.

24. Дубровский В. В., Пененцов А. С. Регуляризованные следы эллиптических операторов высших порядков. Дифф. уравнения, 1993, т. 28, №1, с. 50 57.

25. Дубровский В. В., Пененцов Л. С. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов. Дифф. уравнения, 1993, т. 28, №5, с. 852 858.

26. Дубровский В. В., Пузанкова Е. А. Оценка разности спектральных функций и формулы регуляризованных следов степени оператора Лапласа, заданного на треугольнике или квадрате, в Ьр, 1 ^ р ^ 2. Дифф. уравн., 1999, т. 35, №4, с. 552 555.

27. Дубровский В. В. Письмо в редакцию. Мат. заметки, 2000, т. 67, №2, с. 320.

28. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974, 400 с.

29. Карасев М. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740 с.

31. Козлов Г. В., Любишкин В. А. Регуляризованные следы высшего порядка для гармонического осциллятора. Дифф. уравнения, 1993, т. 29, №1, с. 61 63.

32. Козлов Г. В., Любишкин В. А. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1993, №4, с. 6 -11.

33. Костюченко Л. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов.: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1966.

34. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений. Мат. сб., 1953, т. 33, вып. 3, с. 597 626.

35. Левитан В. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М., "Наука", 1970. 672 с.

36. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма Лиувилля. М., Наука, 1984, 320 с.

37. Лидский В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след. ДАН СССР, 1959, т. 125, №3, с. 485 488.41