Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение 3 1 Неядерные возмущения абстрактных дискретных операторов и формулы следов

1.1 Основная теорема о возмущениях

1.2 Формулы следов для возмущений Гильберта-Шмидта

1.3 Формулы следов для относительно компактных возмущений

1.4 Примеры

2. Спектральные свойства возмущения оператора

Лапласа-Бельтрами

2.1 Асимптотика собственных чисел возмущения оператора Лапласа-Бельтрами на сфере о

2.2 Формула следов возмущения оператора Лапласа-Бельтрами

3 Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора

3.1 Локализация спектра

3.2 Сумма третьей поправки теории возмущений

3.3 Асимптотическое представление Рп (х,у)

3.4 Асимптотика ядра Вп (х,у)

3.5 Асимптотика второй поправки теории возмущений

3.6 Формула следов 163 Список литературы

Настоящая работа посвящена исследованию регуляризованных следов абстрактных дискретных операторов, а также исследованиям спектра и формул следов возмущений некоторых операторов в частных производных математической физики: оператора Лапласа-Бельтрами и двумерного гармонического осциллятора.

Теория следов линейных операторов берет свое начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной теории: инвариантности матричного следа линейного оператора L и совпадения его со спектральным следом: л" n n к=1 к=1 к=1 где {А&} - собственные числа оператора L, a {fk}k=n {dk}k=v ~ Лва произвольных базиса пространства.

Далее этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом, иначе называемых ядерными, а именно доказано (см. [34]), если L ядерный оператор, то для любой пары {fk}kLi, {gk}kLi, ортонормированных базисов справедливо оо сю к=1 к=1 и также верно равенство

00 оо

Lgk, Як) = X]

А-1 к=1 где {^к} ~ собственные числа оператора L. известное как теорема В.Б. Лидского ( [18], [36]). Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.

Дальнейшее, развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа па операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой [39], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.

Так как для неядерных операторов L ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно следует следующая постановка: указать класс операторов и соответствующую пару базисов ЫГ=1' таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение

Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется спектральной постановкой (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {gk}kLi оператора L, конечно, в предположении его существования. Для подбора второго базиса оператор L представляется в виде суммы L = Lq-\-V, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору Lo; второй базис строится из собственных векторов {fk}tLi оператора Lq. Тогда формула (0.4) приобретает

00

0.4) следующий вид оо оо к А/*, л) - ^ 9k)] = Y1 + /*) - (№&> ы] = к=1 Jfc=l оо [*fc + (yfk: fk) - = 0, (0.5) k=1 где Afc - собственные числа оператора Lq, ци ~ собственные числа оператора L. Отсюда видно, что степень подчиненности оператора V оператору Lq фактически является мерой близости базисов {fk}kL\ и

Отметим, что в общем случае если оператор lq имеет кратное собственное число, то при возмущении оно расщепляется на группу собственных чисел оператора L, близких в смысле возмущения V, поэтому суммирование в (0.5) (соответственно, в (0.4) ) нужно понимать в смысле суммирования со скобками: Е к=1

0, (0.6)

- №) + Sp (Р,10

L 7 = 1 где Vk ~ кратность собственного числа А& оператора Lq, Рк - оператор проектирования на собственное подпространство, соответствующее собственному числу А а-, г — 1, 2,., щ - группа собственных чисел, на которую распадается собственное число А*. при возмущении V, Sp - след ядерного оператора.

Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица [39], М.Г. Крейна [34] и И.М. Гель-фанда, Б.М. Левитана [16]. М.Г. Крейном в работе [34] для достаточно широкого класса функций ip и самосопряженного ядерного возмущения V оператора Lq была доказана формула

00

Sp (<p(Lq + V) - <p(L0)) = I <p'№(t)dt, (0.7) oo где £(t) - так называемая функция спектрального сдвига. Там же установлено равенство оо

I £(0df = SpV, оо которое означает справедливость формулы (0.7) для Lp(t) = t. Откуда, в случае дискретности оператора Lq, следует, что справедлива формула сю pik - Л,) = SP V, (0.8) к=—оо которая совпадает с (0.5) для ядерных V. Аналогичный результат дл51 диссипативных ядерных операторов был получен в работе [1]. Обзор развития формул регуляризованных следов, связанных с функцией спектрального сдвига, которая позволяет рассматривать операторы со спектром произвольной природы, от М.Г. Крейном до современного состояния можно найти в работе [10]. Лишь отметим, что результаты этой теории в применении к дискретным операторам всегда уступали результатам прямых исследований.

И. М. Гельфанд и Б.М. Левитан [16] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q{x) получили формулу, названную впоследствии формулой Гельфат id а-Левитана: ос y^ivk - к2 ~ с0)

7Г где с0 — - f q(x)dx. И почти сразу Л. А. Дикий в работе [21] показал, ж о что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству т.е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И. М. Гельфанда и Б.М. Левитана член (Vfk, fk) в формуле (0.5), который есть для оператора Штурма-Лиувилля, самим методом - разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях - был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.

Такой подход, при котором член (Vfk, fk) разбивается на расходящуюся и сходящуюся части, первая из них выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Lo, а вторая, сходящаяся, часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути о открывается связь теории следов с теорией дзета - функций операторов.

И. М. Гельфанд [15] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил формулы регуляризованных следов высших порядков:

00 п=1 где Ak(n) - расходящаяся часть разложения по степеням собственных чисел Ап, В(к) - сумма сходящейся части разложения /i^, которая в конечном виде выражается через q(x) и ее производные.

Л.А.Дикий [22], [20] существенно развил идею И. М. Гельфанда и, впервые используя дзета-функцию оператора, также получил формулы следов высших порядков для оператора Штурма-Лиувилля. Отметим важное обстоятельство: в работе [20] Л. А. Дикий выдвинул гипотезу, что если самосопряженный оператор L отличается от оператора lq "малым"оператором sV:

L = L0 + eV, е - малый параметр и /ип, п = 1, 2,., ~ собственные числа оператора L, fn, п = 1, 2,., - ортонормированные собственные функции оператора L0, соответствующие собственным числам Хп, тогда при достаточно большом к будет оо (,«„ - А„ ■ ■ eA<J>-----е*А<«) = О п =1 где А?> - (У/„,/„), aL2) = Е l(VMf)|J» ■ • • ~ п0"Равки теории возму

4 ' '—7 'чп т^п щений ( см. [35, гл. 6, §38, с. 169]). JI.A. Дикий доказал справедливость этой гипотезы для оператора Штурма - Л иу вилл я и его квадрата.

В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [101], [96]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора Lq с ядерной резольвентой ряды оо

1—1 к—1 сходятся, доказали равенство

00 оо к=1 к=1 В качестве примера впервые рассмотрены обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка на конечном отрезке с нераспадающимися краевыми условиями, обобщающие формулу Гельфанда -Левитана. А в работе Гильберта и Крамера [97] для самосопряженных операторов lq и V, удовлетворяющих условиям lq1, vlq1 £ 51 (S1 - класс ядерных операторов) получены регуляризовапные следы с несколькими поправками теории возмущений, в подтверждение выше упомянутой гипотезы Л.А.Дикого. Далее в работах М. Г. Гасы-мова и Б. М. Левитана [13], [14] впервые рассматривались сингулярные дискретные операторы Штурма-Лиувилля, то есть операторы на некомпактном многообразии. Следует отдельно отметить работу М. Г.

Гасымова [13], где доказана теорема :

Пусть Lq - самосопряженный дискретный оператор, V - самосопря-'лсениыи оператор такой, что L = Lq + V - дискретный самосопряженный оператор a cyuifcmeyem т т lim y^(VfnJn)= lim У^(Удп,дп). jm—^nn < * m—Уrv> ' »

Тогда lim V]{fin - An) = lim /„), m-too A—' m —>oo *—4 n=1 71=1 где {fin} и {Xn} собственные числа, a {gn} и {fn} ~ базисы из собственных функций операторов L и Lq, соответственно.

В качестве приложения для оператора Штурма-Лиувилля на оси с финитным потенциалом q(x) с нулевым средним доказана формула т lim У2(/1п - К) = О, т.—Vrvi ' * т—>оо ' ш->оо

11=1 11=1 т т тп—»сх> п=1 а на полуоси с дополнительным условием дифференцируемое™ q(x) в окрестности нуля получена формула limf>„-A„) = -?M т—»оо ' * 4 п=1

Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А. Г. Костюченко в его докторской диссертации [33]. Для положительного дифференциального оператора в ^(М), порожденного дифференциальным выражением

1у = (-1 Гу(2т) + Р2т-2Ш2т~2) + • • • + Ро(х)У, возмущенного оператором умножения функцию q(x) Е Ь\ с финитным носителем и с нулевым средним, доказано, что п=1

А для оператора четвертого порядка на полуоси с граничными условиями: с дополнительным требованием, что функция q(x) имеет ограниченную вариацию в некоторой окрестности нуля, получена формула

В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины 60-х годов основным па-правлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В.А. Садовничим [56], [57]. [58], [59]; особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка, полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функции в исследовании дзета-функции оператора в работах В.Б.Лидского и В.А.Садовничего [37], [38]. В этих работах был разработан метод вычисления регуляризованных сумм корней специального класса функций /С, включающего в себя характерис тические

00 у(0) - г/Ч0) = О,

71=1 определители многих спектральных задан, в том числе почти все задачи для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов. В частности, этот метод дал возможность решать целый ряд важных задач в других областях математики. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В.А.Садовничего, В.А.Любишкпна и Ю.Беллабассп [68], [73], в которых функции класса /С расширены до функций класса типа синуса, включающего все характеристические определители регулярных обыкновенных дифференциальных операторов.

С конца 70-х годов на пеозьтй план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений (Vfk- fk) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В.А.Садовничего и В.В.Дубровского [63], [64]. Абстрактная теорема работы [63] позволила получить формулу следов для степени 3 + е, о > 0, оператора Лапласа задачи Дирихле на прямоугольнике, возмущенного оператором умножения на функцию р(х,у); при некоторых условиях на потенциал эта формула следов приобретает вид, весьма сходный с формулой Гельфанда - Левитана для оператора Штурма

Лиувилля:

- Лп) - — .

Работа В.А.Садовничего и В.А.Любишкина [72] сыграла определяющую роль на дальнейшее развитие теории; в ней рассмотрено возмущение самосопряженного дискретного оператора lq конечномерным оператором специального класса: г

Vu = fk)gk, к=1

1ки9к~ некоторые векторы. Отметим, что так как векторы вообще говоря, не принадлежат области определения оператора Lq. то оператор V не обязательно ограничен. В этой работе для оператора Lq. функция распределения спектра которого имеет асимптотику iV(A) = с\ + 0(\р), , с > 0, ре(0;1), доказана формула к v lim - Хк) = n—too ' * ' ' к=1 j=1 где 0 < qj < 2 - некоторые числа, fj £ V(LqQ'): gj £ V(L2^<h).

Далее, отметим работы В.А. Садовничего и В.А. Любишкина [69], [70], [71], В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского [74], В.В. Дубровского [23], [24], [25], В.А. Любишкина и Г.В. Козлова [28],[29]. В.Е. Подольского [50], [51]. Во всех работах, посвященных исследованию абстрактных операторов методом контурного интегрирования резольвентного уравнения, формула (0.5) (или более общая, с регуляризацией несколькими поправками теории возмущений) была доказана для различных классов операторов, на которые, помимо других условий, обязательно накладывались условия: оператор lq - самосопряженный, его собственные числа удовлетворяют условию

А„| > сп1+6 с некоторым <5 > 0 (различным в разных результатах), а возмущающий оператор V ограничен. Наиболее сильный результат из вышеперечисленных был получен в работах В.В.Дубровского [24], [25]. В работе [24] справедливость формулы (0.5) была установлена для самосопряженного оператора Lq с N{А) = 0(ХР). р < 1/2, возмущенного произвольным ограниченным оператором V, а для возмущения V из класса Гильберта-Шмидта формула доказана при р < 1. В [25] для ограниченного Г при р < 1 получены формулы следов для п-й степени собственных чисел возмущенного оператора, регуляризовав их с (I — 1)-й поправкой теории возмущений, где I >

Ряд интересных результатов получил М. Достанич [93] для самосопряженного возмущения оператора lq с регулярным поведением спектра; последнее позволяет использовать для оценок поправок теории возмущений несколько иную технику, чем метод контурного интегрирования. Для ограниченного самосопряженного возмущения формула следов (0.5) была доказана М. Дос/ганичем в случае, когда An+i — Ап ci - "^й/Г - С2' 0 < р < а при более слабом условии н

-, 1 - А»)"1 = о(1) к=1 та же формула была доказана для случая N(А) ~ сЛр, 0 < р < 2/3. Отмегим, что в этой работе рассмотрен и случай неограниченных возмущений при особой регулярности спектра невозмущенного оператора. А именно, получена формула (0.5), если

-^71+1 " Ап , п(1р)/р < С2, О <Р< 1/2, и

VfW <с0||^/||, 0 < (3 < 1/2 — р.

Принципиальный прорыв в теории следов был сделан в серии статей В.А. Садовничего и В.Е. Подольского [76], [75] и В.А. Садовни-чего. С.В. Конягина и В.Е. Подольского [77]. Особо отметим одну из центральных в данной тематике работу [75]. В ней впервые в общем виде исследован случай неограниченных возмущений: формула следов с вычитанием I поправок теории возмущений доказана при условии, что оператор VLqA, 0 < 5 < 1, ограничен, а оператор ядерный, uj £ [0; 1), ш + <5 < 1, ш > 5/1. В частности, отсюда вытекает, что для ограниченного V формула (0.5) имеет место, если резольвента оператора lq - ядерный оператор, что существенно улучшает вышеупомянутые результаты В.В. Дубровского и М. Достапича.

В этой же работе для компактных возмущений V таких, ч то VLq ~ ограниченный, а Ь0 - ядерный операторы, установлена справедливость формулы (0.5); эти условия позволяют рассматривать случаи, когда у невозмущенного оператора lq наибольшее расстояние между собственными числами стремится к пулю.

JI.C. Коплиенко [31] и М. Достанич [92] изучали обобщения формулы (0.7) для возмущений из класса Гильберта-Шмидта. В работе [92] доказано, что для каждой функции из класса сю оо

M2 = {ip: J eij*g(t)dt, J |f"0(f)|d*<oo} оо —оо существует функция ограниченной вариации r](t), удовлетворяющая условию 1И12 со такая, что справедлива формула оо

Sp (v(Lo + V)~ <p(Lo) - a(p(L°d+ XV) = J (p"(t)drj(t). (0.9) oo

Отметим также, что A.M. Савчуком и А.А. Шкаликовым [54], [55] исследовались асимптотика собственных значений и формула следов для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.

Одной из важнейших задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И.М. Гельфаидом - изучить асимптотику спектра и получить формулы следов для оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Долгое время для дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихарактеристическим потоком не удавалось сколь-л ибо содержательно исследовать спектр, и, лишь после создания теории интегральных операторов Фурье, И.С. Шаза-реном [91], Ж.Ж. Дюстермаатом и В. Гийеминым [95], А. Вейстейном [106] (более подробно см. [7]) получены общие результаты, которые показывают, что спектр возмущения таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра иевозмущенного оператора.

Физически наиболее интересным, как основная модель, является в этой теории оператор Лапласа-Бельтрами на сфере §"', возмущенный оператором умножения на функцию q{x). В работах В. Гийемина [99] и Н. Видома [107] детально изучен спектр оператора —Д + q в пространстве L2(Bn), здесь потенциал q - вещественная функция из класса C°°(Sn). В частности, для нечетного потенциала q (т.е. удовлетворяющего условию q(rs) = -q(s), 6- G где г - антиподное отображение) получена оценка т~ hi\ = 0(k~2), г = 1, 2,., Nkl

Щ - кратность собственного числа Аы оператора — Д. Эта оценка не улучшаема в том смысле, что 0{к~2) можно заменить на о{к~2) тогда и только тогда, когда q = 0.

Далее, В. Гийемин и А. Урибе [98], [100] показали, что для гладкого, необязательно вещественного потенциала q на компактных симметрических пространствах М ранга 1 верно асимптотическое разложение nk оо f(Xki - fH-i) ~ Y1 * оо, (0.10) г=1 /=0 для любой функции /(-), аналитической в некоторой области, содержащей последовательность

Vki — 0, i=I'

Причем

Ш)= I s*m

- где S*M - расслоение единичных косфер на М, <Jo(q) - главный символ оператора т q = ^ j e'^qe-'^dt, о

T - наименьший общий период геодезической многообразия М. Вычисление коэффициентов в (0.10) составляет отдельную важную и весьма трудную задачу, продвижений в которой не так много; в работе В. Гийемипа [98] приведена формула для /^(Z) в случае нечетного потенциала на сфере.

Исследование формулы следов - вторая часть задачи, поставленной И.М.Гельфандом, для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами - до начала 90-х годов оставалось открытым из-за сложности изучения второй поправки теории возмущений, связанной с отсутствием равномерных асимптотических формул для сферических функций -собственных функций оператора —А на S2. Первые результаты в этом направлении были получены в работах В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [65], [66]. В работе [65] для нечетного бесконечно гладкого потенциала q на S2 получена следующая формула: оо / 2/1 \ 1 /* С о+Е + + ~ 247Г У п=1 \г=0 / g2

0.11) где 7 - постоянная Эйлера, с - некоторая констанста, явно выражаемая через q. Позже формула (0.11) была уточнена В.Е. Подольским [49], а в его же работе [103] были получены аналогичные формулы для оператора Лапласа-Бельтрами на компактных симметрических пространствах ранга 1, и в работе [11] А.Н. Боборовым - на поверхности Цолля, для произвольного бесконечно дифференцируемого потенциала q. Отметим, что для получения формулы следов в работах [65], [49], [11] применяется метод суммирования Абеля с использованием хорошо известного асимптотического поведения тэта-функций операторов —Д и — А + q. причем гладкость потенциала q в этом методе существенна.

В ряде областей физики, особенно в квантовой теории, фундаментальную роль играет задача о гармоническом осцилляторе. Спектральные свойства степенных возмущений одномерного гармонического осциллятора активно исследовались в работах В.П. Маслова (см., например, монографию [42]), Л.А. Сахновича [82], Н.М. Костеико [32], В.П. Белогрудя и А.Г. Костюченко [5]. Х.Х. Муртазина и Т.Г. Аман-гильдина [43], В.А. Любишкина [40].

Формулы следов для финитного возмущения одномерного гармонического осциллятора изучались в работах [13], [14]. [33], [40], [4], [29],

Для нефинитного возмущения формула регуляризованного следа для одномерного гармонического осциллятора получена в работах [3], [2].

Впервые возмущение двумерного гармонического осциллятора исследовал В.А. Любишкин в работе [41], однако там им рассматривалось финитное возмущение, зависящее только от радиальной переменной; также носитель возмущения не должен был содержать окрестность нуля. Для таких возмущений В. А. Любишкин доказал равенство нулю регуляризованного следа с вычитанием одной поправки теории возмущений. Такой результат показывает, что этот случай (когда возмущение зависит только от радиальной переменной г) мало отличается от одномерного случая.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Первая глава целиком посвящена доказательству формул регуля-ризованных следов со скобками для широкого класса неядерных возмущений дискретных операторов в гильбертовом пространстве Во всей главе невозмущенный оператор Lq предполагается самосопряженным положительным, оператор возмущения V - симметрическим и 1/о-компактным; через {Afc}^ и {да;}ь=1 обозначены, соответственно, собственные числа операторов Lq и Lq + V, пронумерованные в порядке возрастания с учетом их кратпостей, {fk}kLi ~ оргопормиро-ванный базис из собственных функций оператора Lq, соответствующий собственным числам Хк.

В отличие от сплошной нумерации спектра оператора Lo, через обозначена поточечная нумерация его спектра так, что

О < Ai < • • • < Хк < Хк+1 < .

Обозначим также через Рк - ортогональный проектор на собственное подпространство оператора Lo, соответствующее собственному числу Хк, G(X) = (Lo — A/)-1, R(А) = (L — А/)-1 - резольвенты операторов Lo и L, и для А > 0 положим

К0(А) - G(-X)VG(-X)VG{~X), К(А) = G(-\)VR(-X)VG(-\)

Параграф 1.1 посвящсн изучению интегрального представления резольвентного уравнения, при А —оо оператора L. в нем доказаны три теоремы о возмущениях.

Теорема 1.1 Пусть оператор Kq(X) — ядерный. Тогда при А 1 справедливо тождество со о где p(t) = £ (Afc + (Vfk, fk) ~ fik) > Ол k<t

Ценность этой теоремы заключается в том, что, не предполагая ядерности резольвенты оператора Lq, из резольвентного уравнения

R(-А) - G{-А) + G(-X)VG{-X) = G{-\)VR{-\)VG(-\) при Л 1 следует равенство (0.12). Формула такого вида получена впервые.

Далее, с целью представления правой части равенства (0.12) через параметры невозмущенного оператора Lq доказана следующая теорема.

Теорема 1.2 Пусть оператор А'о(Л) — ядерный, а V — симметрический Lo-ограпиченный оператор с относительной ?рапыо пуль. Тогда ос Ё = SP «,(Л)[1 + 0(||VG(-A)||)]. 0

Учитывая определение оператора Ао(А), имеем оо оо оо (X1 I/т. л \|2

1Ж «fern = Sp PkVPmVPk, причем amfc = akm > 0.

Далее в этом же параграфе доказана следующая основная теорема о возмущениях.

Теорема 1.3 Пусть V — симметричный Lq-компактный оператор в % и Sp А"о(Л) < оо. Тогда при А >> 1 ос оо о о где t u(t) = 2 J p(s)ds + ^ v(t) = 2 J r(s)ds + akki .r(t) =

A k<t

CLkm x . л x * ^m ~ ^к

Л k<t \k<t\k>t

Теоремы 1.1. 1.2 и 1.3 составляют основу новой техники исследования дискретного спектра в случае самосопряженных возмущений, приводящую к существенно более сильным, фундаментальным результатам абстрактного характера в теории следов, которым посвящены последующие параграфы главы 1.

Параграф 1.2 посвящен формулам следов для возмущений Гильберта-Шмидта. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, для формулировки которой введем функцию со

ДА) = SP Ко(Х) = 3 J (0.13) о

Теорема 1.4. V — оператор Гильберта-Шмидт а тогда и только тогда, когда /(А) = 0(А~3) при А —»• +оо. При этом имеет место формула следов оо со p(t)dt + - А*)2 = SPr2. (0.14)

0 k=1

Из формулы (0.14) вытекает важное следс твие.

Следствие 1.1 Если V — самосопряженный оператор Гильберта-Шмидта, то существует последовательность натуральных чисел такая, что ilk пк lim V [/& - 2Аm(Vfm, frn) - АУ = lim ]T(F2/™, fm) = SpV2 k^oo z—' k^-oo —' m=1 m— 1 пк lim Anfc p(Xnk + 0) = lim Anjk ]Г[А; + (Vfj: /,) - = 0, (0.15) k—>co A' —>oo ' * lim р(ХПк + 0) = lim ]Г[А; + (Vft, fj) - = 0; (0.16)

00 «-> OO '

3=1 кроме того, выполнено соотношение: оо

Х>-А,)2<оо. (0.17) к=1

Формула (0.14) получена впервые. В теореме 1.4 и следствии 1.1 никаких ограничений на рост функции распределения спектра N(X) невозмущенного оператора не накладывается, тогда как формула (0.16) из следствия 1.1 для возмущений Гильберта-Шмида в работе [24] доказана при условии, что N(А) — 0(Хр), 0 < р < 1/2. Утверждение следствия 1.1 сильнее теоремы 4 работы [75] для возмущений Гильберта-Шмидта, так как существует оператор из класса 52, для которого упомянутая теорема 4 не применима (см. замечание 1.2 ниже).

Отметим также, что <p(t) = t2 М2 и поэтому следствие 1.1 (см. первую формулу (0.15) ) расширяет класс функций и усиливает результаты работ [31], [92] для дискретных операторов, в том смысле, что при <p(t) = t2 с учетом условия на функцию rj(t), из (0.9) следует лишь неравенство. Дан иное замечание позволяет заключить, что формула (0.14) может названа аналогом формулы М.Г. Крейна (0.7) для возмущений Гильберта-Шмидта. Формулы (0.15) и последнее утверждение (0.17) следствия 1.1 для абстрактных дискретных операторов ранее не были известны.

В параграфе 1.3 изучаются формулы следов для относительно компактных возмущений. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 1.5 Пусть Lq = Lq — дискретный полу ограниченный снизу, а V - симметрический Lo-компактпый операторы в гильбертовом, пространстве И пусть выполнено одно из нижеследующих условий:

L g О^Ый < оо; к=1

2. V — компактный оператор и N it) — 0(t), t —ь оо.

3. V — ограниченный оператор и N(t) = o(t), при t —> оо; 4- V е Sp7 2 < р G N, и N(t) = o(tf/Cp-2)) при t оо.

Тогда существует подпоследовательность натуральных чисел {нт}т= такая, что

11 т

Нт р(пт + 0) - lim V) (ЛА. + (Vfki fk) - /лк) = 0. (0.18) ill—too Н!—>00 —* fc=1

Условие 1 теоремы 1.5 является довольно универсальным в том смысле, что из него следует справедливость формулы (0.18) как для неограниченных Lo-компактных возмущений, так и для ограниченных или компактных возмущений:

Следствие 1.2 Пусть симметрический оператор V таков, что V(L0) С Т>(у), и существует число (3,0 < (3 < 1/2, такое, что оператор vlq^ продолжается до ограниченного, а оператор lq^1 2^ - ядерный. Тогда имеет место формула (0.18).

Утверждение следствия 1.2 сильнее цитированного выше результата для неограниченных возмущений из работы М. Достанича [93] и совпадает с утверждением теоремы 1 из [75] в смысле справедливости формулы (0.18) для самосопряженных Lo-компактных возмущений.

Следствие 1.3 Пусть существует 5 > 0 такое, что оператор V2Lq продолжается до ограниченного, а оператор ~ ядерный. Тогда справедлива формула (0.18).

Следствие 1.3 сильнее теоремы 4 работы [75] в случае самосопряженных возмущений, в этой теореме для справедливости формулы (0.18) вместо ограниченности оператора v2lq требуется ограниченность оператора VLq.

Формула (0.18) для ограниченных возмущений (не обязательно самосопряженных) в работе [75] (теорема 1) доказана при условии ядер-ности резольвенты оператора Lq. Из пункта 1 нашей теоремы 1.5, в частности для ограниченных возмущений V вытекает достаточность ядерноетп резольвенты lq для справедливости формулы (0.18).

Условия 2, 3 и 4 теоремы 1.5 устанавливают порядок роста функции распределения N(t) невозмущенного оператора Lq в зависимости от конкретных классов возмущеьий, что важно для приложении к дифференциальным операторам. Отдельно отметим утверждение пункта 3 этой теоремы для ограниченных возмущении, которое перекрывает все ранее известные результаты, в том числе результаты работы [75] (теорема 1), так как наше условие слабее условия "резольвента оператора Lq ядерная": из нашего условия следует, что дос гаточным будет более слабое условие

Примеры, рассмотренные в параграфе 1.4 позволяют заключить, что условие 3 теоремы 1.5 "iV(t) = o{t) при t —» оо"нельзя ослабить для произвольных ограниченных возмущении V.

Заметим, что следствие 1.3 (как и теорема 4 работы [75]) предполагает определенные ограничения на скорость стремления к нулю последовательности собственных чисел компактного возмущения V в зависимости от Lq (V2Lq продолжается до ограниченного оператора, L0{1+S) - ядерный, 5 > 0), следовательно, существует компактный оператор V, для которого следствие 1.3 неприменимо. Например, fk собственные функции оператора Lq, соответствующие собственным значениям = к.

N(t) = o(t) t —> оо п —У оо.

В отличие от этого замечания в пункте 2 теоремы 1.5 содержатся лишь ограничения на рост собственных чисел оператора Lo в виде оценок снизу, а V - произвольное компактное возмущение. Утверждения такого типа ранее нам не были известны.

Вторая глава диссертации посвящена изучению спектра оператора Лапласа-Бельтрами Lq = —Д на двумерной сфере §2, возмущенного оператором умножения V на функцию конечной гладкости и доказательству формулы следов для этого случая.

В параграфе 2.1 исследуется кластерная асимптотика собственных чисел возмущенного оператора. Там доказаны две теоремы, в которых впервые для оператора в частных производных детально удается изучить вторую поправку теории возмущений где Pk - проектор на собственное подпространство невозмутценного оператора — Д, соответствующее собственному числу = k(k + 1).

Теорема 2.1 Пусть V(lj) - произвольная комплексное полная функция из С3(§2). Тогда для второй поправки теории возмущений оператора L — — Д + V справедлива формула ак = 71 + к оо, где

32-7Г3 1

V(cu)V(cv о)

V2{to)duo, (0.19)

§2 §2 at,o>o) - скалярное произведение at = (cos Lp sin 9, sin cp sin 9: cos 9), векторов ujq = (cos c/?o sin 9q, sin щ sin 0o5 cos 0q) •

Далее, на основе теоремы 2.1, впервые для возмущения оператора в частных производных получен второй член кластерной асимтотики собственных чисел. При этом от возмущния требуется лишь конечная гладкость, в отличие от всех вышеупомянутых работ по теме.

Теорема 2.2 Пусть V(tu) - произвольная комплекснозначная функция из класса С3(§2). Тогда для собственных чисел оператора L справедлива следующая асимптотическая формула а постоянная С\ определена формулой (0.19).

Теорема 2.3 Пуст,ь V - оператор умножения, вообще говоря, па комплексную функцию из класса С2(§2) в пространстве 1/2(§2). Тогда для собственных чисел оператора L справедливо тождество оо к

J2 Y1 Ьы - к(к + ~ со] = 2сь (0-21) к=0 i=-k постоянные со и с\ определены в теоремах 2.1 и 2.2, причем ряд в (0.21) сходится абсолютно.

J2 1Чн = (2к + 1) [к(к + 1) + со] + ^ + О (j^J , (0.20) к i=—k где

Как отмечалось выше, ранее формула следов была получена В.Е. Подольским в [49] только для нечетных вещественных потенциалов V из класса С°°. Формула (9.21) в случае нечетного V совпадает с результатом этой работы.

Третья глава работы посвящена изучению спектральных характеристик (локализации спектра, асимптотики спектральной функции, формулы следов) финитного возмущения двумерного гармонического осциллятора. Отметим, что двумерный гармонический осциллятор -второй оператор в частных производных, когда размерность пространства (многообразия) равна размерности оператора (первый - оператор Лапласа-Бельтрами, изученный нами во второй главе), для которого получена формула следов.

Основная сложность исследования заключается в том, что у невозмущенного оператора Н0 — —Д + х\ + х\ в L2(1K.) спектр {Агг} = {2п+2}^0 (каждое собственное значение Х.п = 2/1+2 имеет кратность 71 + 1) отсутствуют растущие лакуны, а собственные функции (р^\х), к = 0, 1,., п, соответствующие собственным числам Ап = 2тг + 2, есть произведения ортонормированных собственных функций одномерного гармонического осциллятора — ^ +

Р{к\х) = fk{xi)fn-k(x2), здесь H\(t) - многочлены Эрмита. Последнее обстоятельство усложняет исследование асимптотики проектора п я»/= £(/,*> на собственное подпространство оператора Щ, и спектра возмущенного опера гора Н = Но + V.

В первом параграфе третьей главы исследуется спектр финитного возмущения (V - оператор умножения на финитную ограниченную измеримую вещественную функцию) оператора Hq. А именно, доказана следующая теорема о локализации спектра.

Теорема 3.1 Пусть п 1, тогда собственные значения z оператора Н, лелсащие в окрестности точек 2(?? + 1) удовлетворяют неравенству

Пусть Rq(z), r(z) ~ резольвенты операторов Hq и Н, соответственно. В параграфе 3.2 для собственных чисел к = 0,., п, оператора Н, лежащих в окрестности собственного числа Ап = 2п + 2 оператора Hq, доказана лемма:

Лемма 3.3 При п 1

Г!

2(n + I)2 + Sp PnV - = <*„ + Д п, к=О г^е Sp - след ядерного оператора, т

0.22) тфп

Рп = Sp

1 г

2т f z\Ro^v) \ |А„-*|=1 )

0.23)

Для последовательности (Зп имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.2 Последовательность абсолютно суммируема и

00 к=О

В третьем параграфе изучается асимптотическое поведение (равномерное на компактах К С Ж2 X Ш?) функции Vn(x, у) - ядра проектора Рп на собственное подпространство оператора Hq, соответствующее собственному числу \п — 2п + 2.

Теорема 3.4 Пусть (х,у) Е К компакт в R2 х R2. Тогда для 1 и (х, у) е К

Vn{x, у) = MVb*-v\) + + + гЛг< у)> где J0(s) - функции Бесссля i-го рода, а гп(х, у) при каждом а 6 (0; допускает оценку л-„(яг, 2/)| < + причем с^ > 0 (k = 1; 2) и зависят только от а и К.

В параграфе 3.4 мы исследуем (равномерную на компактах К С К2 xl2) асимптотику ядра Д?(ж, у) оператора Вп: определенного формулой (0.22). Устновлен весьма интересный факт, что главный член асимптотики ядра Вп(х,у) выражается через функцию Бесселя второго рода.

Теорема 3.7 Пусть К - произвольный компакт е I2 х I2. Тогда при п 1 и (ж, у) £ К

Вп(х,у) = - У\) + Qn(x,y). где \п = 2п-\- 2, ^o(-s)- функции, Бесселя второго рода, причем

В пятом параграфе с использованием теорем 3.4 и 3.7 исследуется асимптотика второй поправки теории возмущений ап — PnVBnVPn.

Теорема 3.8 Пусть V G Cq4\m2), тогда при п 1 ап = 0(п'х), А > 1, т.е. последовательность ап абсолютно суммируема.

В последнем, шестом, параграфе изучаются формулы следов. Там доказаны три теоремы.

Теорема 3.9 Пусть W — оператор умножения па функцию W(x) из класса Cq4^(R2). Тогда при, п —> оо справедлива асимптотическая формула

Sp J W(x)dx +J(l-x2)W(x)dx + o(l), к2 K2 где х1 = х\ + х\, Еп = J2 ркк—О

В последующих двух теоремах получены формулы следов для двумерного гармонического осциллятора.

Теорема ЗЛО Пусть V е ^(М2). Тогда оо Е п=0

2(n + l)2 + SpP„y-£X п) к=О

8тг

V2(x)dx.

Теоремы 3.9, 3.10 составляют основу вывода классической формулы следов Гсльфанда-Левитан а для двумерного гармонического осциллятора.

Теорема 3.11 Пусть V Е С^4)(М2). Тогда п=0 к=0 п) i [ v^dx-T+i где Cq = ^ f V(x)dx, х2 = х\ + ж2, — собственные значения оператора Н, к — 0, п.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [84]. [45], [85]. [86], [78], [87], [79], [88], [80], [89], [46]. В совместных работах [78], [79], [80] В.А. Садовничему принадлежит постановка задачи, полученные результаты полностью принадлежат автору диссертации. В работах [45], [46] Х.Х. Мурта^ину принадлежат результаты, относящиеся к случаю неполуограниченных операторов, остальные результаты принадлежат автору диссертации. В работах [86], [85] Х.Х. Муртазину принадлежат постановка задачи и идея доказательства результата о локализации спектра, остальные результаты этих работ принадлежат автору диссертации. Все результаты данной диссертации принадлежат диссертанту.

1 Неядерные возмущения абстрактных дискретных операторов и формулы следов

В начале главы приведем определения объектов и понятий, используемых и исследуеемых в этой главе. Все рассматриваемые операторы действуют в сепарабельном гильбертовом пространстве И\ через V(-) С У. обозначается область определения оператора. Далее, через Lq будем обозначать самосопряженный полуограниченный снизу дискретный оператор, через {А^})^ - его собственные числа, пронумерованные в порядке возрастания и с учетом кратности, {fk}fLi ~ °РТ0~ нормированный базис из собственных функций оператора L0; функция распределения спектра оператора Lq обозначается iY(A) = 1. Через G(А) в этой главе обозначается резольвента оператора Lq. Обозначение V будет везде использоваться для возмущающего оператора, х ~ собственные числа оператора L — Lq + V . занумерованные в порядке роста и с учетом кратностей, (условия на операторы Lq и V всегда таковы, что V{L) плотна в К); через R{А) обозначаем резольвенту оператора L.

В отличие от сплошной нумерации спектра оператора Lq, через {Afc}^ мы обозначим поточечную:

Ai < А2 < • • • < Аа, < A*+i < ., наконец, через Р^ - ортогональный проектор на собственное подпространство оператора Lq, соответствующее собственному числу

Приведем некоторые сведения из теории компактных (вполне непрерывных) операторов, подробное изложение которой можно найти в монографии [18].

Определение 1.1 Собственные числа {saJ^Li оператора \/W* называются сингулярными числами или -числами компактного оператора V.

Определение 1.2 Компактный оператор V принадлежит классу оо

SP, если Т, 4 < sk ~~ упорядоченные по убыванию s-числа ь= 1 оператора V.

В частности, оператор V называется ядерным или оператором со следом, если V Е S1; оператор V из класса S2 называется оператором Гильберта-Шмидта.

Для ядерного оператора V и любого ортоиормированиого базиса 00

Pk}kLi в 7~L ряд ^{VtpkiVk) сходится, его сумма называется матк= 1 ричным следом оператора V и обозначается БрТЛ

Для ядерного оператора V имеет место равенство (теорема Лид-ского)

00 spv = щ' к- 1 где vк ~~ собственные числа оператора V.

В данной главе изучается вопрос о регуляризовапных следах неядерных возмущений самосопряженного оператора Lq с дискретным спектром в сепарабельном гильбертовом пространстве

А именно, найти как можно более общее (но форме и содержанию) условие, связывающее операторы Lq и У. в том числе, для определенных классов возмущений V, в виде ограничений на функцию распределения спектра N(X) оператора Lq в зависимости от V, чтобы существовала подпоследовательность натуральных чисел {пт}^=1 такая, что верна формула lim V (А, + (У/,, Л) - = О? т-^оо к= 1

1. Адамян В.М., Павлов Б.С. Формула следов для диссипативных операторов.// Вест. ЛГУ, сер. матем. 1979. №2. С.5-9.

2. Александрова Е.В. Формула следов для гармонического осциллятора с нефанитным возмуимением.// Депонир. в ВИНИТИ РАН 18.01.97, М29-В97. 16 с.

3. Александрова Е.В., Бочкарева О.В., Подольский В.Е. Суммирование регуляризованнмх следов сингулярного оператора Штурма-JIuyвилля.// Дифф. уравнения .1997. Т. 33. №3. С. 291295.

4. Амангильдин Т.Г. Регуляризовапный след оператора Штур.ма-Лиувилля.// Дифф. уравнения. 1989. Т. 25. №8. С. 1439-1441.

5. Белогрудь В.П., Костючеико А.Г. О плотности спектра оператора Штурма-Лиувилля.// УМН. 1973. Т. 28. №2. С. 227 228.

6. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.// Киев. "Hayкова думка". 1965.

7. Боссе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими.// М.: Мир. 1980. 325 с.

8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотическое поведение спектра слабо полярных интегральных операторов.// Изв. АН СССР, сер. матем. 1970. Т. 34. Nob.

9. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оценки сингулярных значений дифференциальных операторов.// УМН. 1977. Т. 193. №1(193). С. 1784.

10. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.:ИЛ. 1949.

11. Гасьтмов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов.// ДАН СССР. 1963. Т.150. №6. С. 1202-1205.

12. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. О сул(ме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма -Лиувилля.// ДАН СССР. 1963.Т. 151.№5 С.1014-1017.

13. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка.// УМН. 1956. Т.Н. Ж С.191-198.

14. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка.// ДАН СССР. 1953. Т. 88. С.593-596.I173

15. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.// М.:ИЛ. 1952.

16. Гохберг И.Ц. Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.// М.: Наука. 1965. 448 с.

17. Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы, часть 2.// М.: Мир. 1966. 1063 с.

18. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальны,х операторов Штурм,а-Лиувилля.// УМН. 1958. Т. 13. Вып. 3. С. 111-143.

19. Дикий Л.А. Об одной формуле Гельфаида-Левитан а. / / УМН. 1953. Т.8. Вып. 2. С.119-123.

20. Дикий Л.А. Новый способ при,ближ.енного вычисления собственных чисел задачи Штурм,а-Лиувилля./ / ДАН СССР. 1957. Т. 116. т С. 12-14.

21. Дубровский В.В. Регу ля риз о ванный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате.// ДАН БССР. 1980. Т. 14. №3. С. 210-213.

22. Дубровский В.В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой.// Дифф. уравнения. 1990. Т. 26. №12. С. 2046-2051.

23. Дубровский В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях.// Дифф. уравнения. 1991. Т. 27. №12. С. 2164 2166.

24. Дубровский В.В.,. Пузанкова Е.А. Оценка разности спектральных функций и формулы регуля.ризованных следов степени, оператора Лапласа, заданного на треугольнике или квадрате в Lp. 1 < Р < 2.// Дифф. уравнения. 1999. Т. 35. №4. С. 552-555.

25. Т. Като. Теория возмуи^еиий линейных операторов.// М.: Мир. 1972. 740 с.

26. Козлов Г.В., Любишкин В.А. Регуляризованные следы высшего порядка, для гармонического осциллятора.// Дифф. з'равнения. 1993. Т. 29. т. С. 61-63.

27. Козлов Г.В., Любишкин В.А. Регуляризованные следы, сингулярных дифференциальных операторов.// Вестник МГУ, серия матем. мех. 1993. №4. С. 6-11.

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.// М.: Наука. 1981. 542 с.

29. Коплиенко Л.С. О формуле следов для возмущений неядерного типа.// Сиб. матем. ж. 1984. Т. XXV. №5. С. 62 -71.

30. Костенко Н.М. Асимптотика собственных чисел ангармонического осциллятора.)I Матем. сб. 1970. Т. 81(123). №2. С. 163-175.

31. Костючепко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов.// Диссд-ра физ.-мат. наук. М. 1966.

32. Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений.// Матем. сб. 1953. Т. 33(3). С. 597-626.

33. Ландау Л.Д., Лифшиц И.М. Квантовая механика и нерялит,и-вистская теория, Том 3.// М.: Наука. 1989. 768 с.

34. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеюи^ие след.// ДАН СССР. 1959. Т. 125. №3. С 485-488.

35. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функц. анализ и его приложения. 1967. 1. т. С.52-59.

36. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций.// Матем. сб. 1968. Т. 75(117). Ш. С. 558-566.

37. Лифшиц И.М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой.//УМН. 1952. Т.7. С.173-180.

38. Любишкин В.А. Вычисление регуляризова,иного следа оператора Штурма-Лиу вил ля в случае предельного круга, Вейля.// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1981. Вып 6. С. 167-194.

39. Любишкин В.А. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора.// Матем.заметки. 1993. Т.53. №3. С.156-158.

40. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений.//' М.: Наука. 1988. 310 с.

41. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля. // Матем. сб. 1979. Т. 110. №1. С. 135— 149.

42. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера.// М.: изд-во МГУ. 1988.

43. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. О формулах следов для неядерных возмущены!.// ДАН РАН. 1999. Т. 368. №4. С. 442-444.

44. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов.// Матем. сб. 2005. Т. 196. №12. С. 123-156.

45. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики.// М.: Наука. 1984.

46. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции.// М.: Наука. 1990.

47. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Белътрами с нечетным потенциалом на сфере S2.// Матем. заметки. 1994. Т. 56. Вып. 1. С. 71-77.

48. Подольский В.Е. Регул,я риз о ванные следы матричных ПДО на окружности.!/ М.: Изд-во Московского ун-та. 1988. С. 91-92.

49. Подольский В.Е. Регуляризованиые следы некоторгах дифференциальных операторов на окружности.// Вестник МГУ, серия матем., мех. 1988. №6. С. 11-13.

50. Подольский В.Е. Регуляризованные. следы дискрет,пых операторов./ / Дисс. на соискание . доктора физико-матем. наук. 2003.

51. М. Рид,. Б. Саймой. Методы современной математической физики. Часть 4.// М.: Мир. 1982. 452 с.

52. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами.// Матем. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 6. С. 897-912.

53. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сгтгулярными потенциалами.// Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 3. С. 427-442.

54. Садовничий В.А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков.// Дифф. уравнения. 1966. Т.2. №12. С. 1611-1624.

55. Садовничий В.А.О следах дифференциальных операторов высших порядков.// Матем. сб. 1967. Т.72. №2. С.293-317.

56. Садовничий В.А.Формуло1 следов для, обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков.// Матем. заметки. 1967. Т. 1. №2. С. 179-188.

57. Садовничий В.А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и неоторых других систем высшего порядка.// Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика. 1967. №3. С. 3747.

58. Садовничий В.А. О некоторых тождествах для собственных чисел, сингулярных дифференциальных операторов. Соотношения для, нулей функции Бесселя.// Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика. 1971. №3. С. 77-86.

59. Садовничий В.А. Дзета-функция а собственные числа дифференциальных операторов.// Дифф. уравнения. 1974. Т. 10. №7. С. 1276-1285.

60. Садовничий В.А. О следах с весом, и об асимптотике спектральной функции.// Дифф. .уравнения. 1974. Т. 10. №10 С. 1808-1818.

61. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Об одной абстрактной теореме теории, возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов.// Дифф. уравнения. 1977. Т. 13. т. С. 1264 1271.

62. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференцнальных операторов в частных производных.// Дифф. уравнение 1977. Т. 13. №11. С. 2033-2042.

63. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере §2// ДАН СССР. 1991. Т. 319. КП. С. 61-62.

64. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризовапноро следа опера тора Лапласа с нечетным потенциалом на сфереч f Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1996. Т. 19. С. 37-42.

65. Садовничий В.А. Дубровский В.В. Порецков О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на двумерной сфере.// ДАН РАН. 2002. Т.382. № 1. С.11-14.

66. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа.// ДАН СССР. 1981. Т. 256. №4. С. 794-798.

67. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные следы дискретных операторов.// ДАН СССР. 1981. Т. 261. №2. С. 290-293.

68. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых вопросах теории возмущений линейных операторов// Дифф. уравнения. 1981. Т. 17. №10. С. 1911-1914.

69. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории ре гуляризованных следов дифференциальных операторов// Дифф. уравнения. 1982. Т. 18. №1. С. 109-116.

70. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмупоения дискретных операторов и фюрмула следов.// Функ. анализ и его прилож. 1986. Т. 20. №3. С. 55-65.

71. Садовничий В.А. Любишкин В.А., Белаббаси Ю. О нулях целых функций одного класса./, Труды семинара им. И.Г. Пе фовского. 1982. Вып. 8. С. 211

72. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Дубровский В. В. Следы, дискретных операторов./ ' ДАН СССР. 1982. Т. 264. №4. С. 830-832.

73. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с от,по-сительно компактмым возмущением.// Матем. сб. 2002. Т. 193. №2. С. 129-152.

74. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Регуляризованный след ограниченного возмущения оператора с ядерного резольвентой./! Дифф. уравнения. 1999. Т. 34. №4. С. 556-564.

75. Садовничий В.А. Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризован-ный след оператора с яО^рнои резольвентой, возмуи^енного ограниченным.// Доклады РАН. 2000. Т. 373. №1. С. 26-28.

76. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Формула первого регуляризо-ванного следа для оператора Лапласа-Бельтрами.// Дифф. уравнения. 2001. Т. 37. .№3. С. 402-409.

77. Садовничий В.А., Фазу/глин З.Ю. Кластерная асимптотика собственных чисел возмущения оператора Лапласа на сфере §2. // ДАН РАН. 2003. Т.391. № 4. С.456-459.

78. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2.// Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 3. С. 434-448.

79. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Дробные интегралы и производные и некоторые приложения.//' Минск. 1987.

80. Сахнович Л.А. О спектре ангармонического осциллятора,.// Изв. АН СССР. сер. матем. 1964. Т. 28. С. 1345-1362.

81. Сеге Г. Ортогональные многочлены./ / М.: ГИФМЛ. 1962.

82. Фазуллин З.Ю. Формула регуляризованного следа для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами./, Междупар. конф. по компл. анализу и смежным вопросам. Тезисы докладов. Нижний Новгород. 1997. С. 80-81.

83. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регуляризоваиный след двумерного гармонического осциллятора.// Матем. сборник. 2001. Т. 192. №2. С. 109-138.

84. Фазуллин З.Ю. Муртазин Х.Х. Классическая формула регуля-ризованного следа многомерного гармонического осциллятора.// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2001. Вып. 21. С. 298-339.

85. Фазуллин З.Ю. Кластерная асимптотика собственных чисел возмущения оператора Лапласа-Бельтрами. на сфере S2.// Труды математического центра им. H.II. Лобачевского. Казань. 2002. Т. 14. С. 260-274.

86. Фазуллин З.Ю. Фор,мула следов для компактных возмущений дискретных операторов. >/ Тезисы докл. Междунар. конф. „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", гюсв. 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского. Москва. 2004. С. 63.

87. Фазуллин З.Ю. Относительно компактные возмущения дискретных операторов.// Тезисы докл. Междунар. конф. „ Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", поев. 100-летию ак. С.М. Никольского. Москва. 2005. С. 231.

88. Шубин М.А. ПсевдодифгЬеренциалъные операторы и спектральная теория.// М.: Наука. 1978. 279 с.

89. Chazarain J. Formules de Poisson pour les varieties riemanniennes.// Invent Math. 1974. V. 24. P. 65-82.

90. M. Dostanic. Trace formula for nonnuclear perturbations of self adjoint operators.// Publ. de l'lnstitut Mathematique, Nouvelle series. 1993. T. 54(68). P. 71-79.

91. M. Dostanic. Trace formulas of Gelfand-Levitan type./j Publ. de l'lnstitut Mathematique, Nouvelle series. 1994. T. 55(69). P. 51-63.

92. M. Dostanic. Spectral properties of the operator of Riesz potential type.// Proc. of the Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. №8. P. 22912297.

93. Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics.// Invent. Math. 1975. V. 29. P. 39-79.

94. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for a perturbed operator.// Duke Math. J. 1963. V. 30. №. P. 275-286.

95. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for powers of Sturm-Liuouille operator.// Canad. J. Math. 1964. V. 16. №4. P. 412-422.

96. Guillemin. V. Som.e spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere.// Adv. in Math. 1978. Vol 27. P. 273-286.

97. Guillemin. V. Band asymptotics in two dimensions.// Adv. in Math. 1981. V. 42. P. 248-282.

98. Guillemin. V., Uribo A. Spectral properties of a certain class of complex potentials.// Trans. Of Amor. Math. Soc. 1983. V. 279. №2. P. 759-771.

99. Halberg C.J.A., Kramer V.A. A generalization of the trace concept./j Duke Math. J. 1960. V. 27. №4. P. 607-628.

100. Kac. M. Distribution of eigenvalues of certain integral operators.// Michigan Math. J. 1955-56. P. 141-148.

101. Podolskii V.E. On summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. // Rus. J. of Math. Phys. 1996. V.3. №4. P.l-8.

102. Rid J.B. Asymptotic behaviour of eigenvalues of certain integral equations.// Proc. of Edinburgh Math. Soc. 1979. V. 22. P. 137-144.

103. Rosenblatt M. Some results on the asymptotic behaviour of eigenvalues for a class of integral equations with translation kernels.// J. Math. Mech. 1963. №-12. P. 619-628.

104. Weinstein A. Asymptoticз of eigenvalue clusters for the laplasian plus a potential.// Duke Math. J. 1977. V. 44. №4. P. 883-892.

105. Widom. H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere.// Adv. in Math. 1979. Vol. 31. P. 63-66.