Асимптотика спектра и следы негладких возмущений дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи (■

Ахмерова Эльвира Фангизовна

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА И СЛЕДЫ НЕГЛАДКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01 01 01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2007

003071192

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Муртазин Хайрулла Хабибуллович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Голичев Иосиф Иосифович

доктор физико-математических наук профессор Гадыльшин Рустем Рашитович

Ведущая организация - Московский государственный университет

имени М В Ломоносова

Защита диссертации состоится " Л " ¿ ¿/■¿У''* С 2007 г в час на заседании диссертационного совета Д002 057 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу 450077, г Уфа, ул Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Автореферат разослан " " 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ -мат наук

Попенов С В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Результаты полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются дифференциальные операторы с дискретным спектром, заданные на бесконечном интервале При этом распределение собственных значений - один из изучаемых вопросов

Начало изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром в случае сингулярного оператора Штурма - Лиувилля было положено в работах Г Вейля и нашло дальнейшее развитие в монографиях Э Ч Титчмарша

Методы выделения первого члена асимптотического разложения для собственных чисел разработаны достаточно полно Что касается последующих членов разложения, то этот вопрос относительно подробно изучался для некоторых дифференциальных операторов при соответствующих дополнительных предположениях гладкости па потенциал На семинаре по спектральной теории МГУ В А Садовничим поставлен вопрос о связи свойств гладкости потенциала q{x) с существованием асимптотического представления собственных значений при п —> оо Для задачи Штурма - Лиувилля на отрезке значительным продвижением в этом направлении являются результаты работ В А Винокурова и В А Садовничего, где получены асимптотика собственных значений и нормированных собственных функций, предполагая лишь суммируемость потенциала (1998), а также потенциала содержащего д — функцию (2001) Что касается дифференциальных операторов с дискретным спектром, заданных на бесконечном интервале, то этот вопрос впервые подробно изучался в работе X X Муртазина и Т Г Амангильдина (1979) для задачи Штурма - Лиувилля на полуоси в предположении степенного роста потенциала <7(2:), причем д(ж)— финитная, дважды непрерывно дифференцируемая функция Как известно, в сингулярных задачах Штурма-Лиувилля с неограниченно растущим потенциалом возможно наличие точек поворота, в которых резко меняется поведение решения, в следствии чего возникают дополнительные трудности в их изучении В работе Е В Александровой (Формула следа гармонического осциллятора с нефинитным возмущением // Депопир в ВИНИТИ РАН 18 01 97, № 129-В97, 16 с ) рассматривается задача Штурма - Лиувилля на полуоси в случае возмущенного гармонического осциллятора, при этом возмущение гладкое но не предполагается финитным

В 1957 году И М Гельфанд и Л А Дикий предложили использовать ре-гуляризоваиные следы для приближенного вычисления собственных чисел операторов Впервые, в 1953 году, формулы регуляризованных следов для классической задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом д(х) е Сх[0,7г] при

7Г

условии / = 0 получили И М Гельфанд и Б М Левитан

) =----,

П=1 4

где Цп— собственные числа оператора

Сру

Ну{х) = + = А у, у( 0) = у( тг) = 0

Вслед за этой работой появилось много результатов по теории регуляризован-ных следов, те по нахождению соотношений вида

£(АП - А(п)) = В, (1)

п

где Хп— собственные значения оператора Н, а А() и В— явно вычисляемые через параметры краевой задачи выражения Получению формул регуляри-зованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И М Гельфанда, Б М Левитана, В Б Лидского, В А Садов-ничего и многих других ( достаточно полный обзор дан в работе Садовничего В А , Подольского В Е Следы операторов // Успехи математических наук 2006 Т 61, вып 5, с 89-156 )

Суммирование методом Абеля применялось В Б Лидским (1962) в вопросах разложения по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов Такое суммирование также использован Е В Александровой для задачи Штурма - Лиувилля на полуоси в случае возмущенного гармонического осциллятора, где возмущение гладкое но не предполагается финитным

3 Ю Фазуллин и X X Муртазин (2001) предложили новый метод исследования и доказательства формул регуляризованных следов для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве на примере двумерного гармонического осциллятора с финитным и гладким возмущением Эта техника использована в данной диссертации для негладких возмущений одномерного гармонического осциллятора на всей числовой оси При этом возмущение не предполагается финитным

Следует отметить, что в этом направлении формулы регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов получены следующими авторами

- А М Савчуком и А А Шпаликовым (2001) для оператора Штурма - Лиувилля на отрезке с сингулярными потенциалами, не являющихся локально интегрируемыми функциями,

- В А Винокуровым и В А Садовничим (2001) для оператора Штурма - Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащим 6— функцию,

- В А Садовничим и В Е Подольским (2002) для дифференциального оператора, действующего в £2[0,7г], определяемого дифференциальным выражением —уи краевыми условиями у(0) = у^2'(0) = 2/'4'(0) = у(тг) = у(2\тт) = у^1\тс) = 0, где в качестве возмущения рассматривается оператор д(х)у№ +р(х)у с областью определения ?/(0) = 0) = у(ж) = = 0

Цель работы.

1) Для произвольных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве получить уравнение для определения спектра,

2) получить асимптотику спектра возмущений конкретных дифференциальных операторов, в частности гармонического осциллятора на всей числовой оси,

3) Для негладких возмущений гармонического осциллятора на всей числовой оси, а также для дифференциальных операторов 2п- го порядка на отрезке получить формулы следов типа Крейна и Гельфанда - Левитана

ЕГаучная новизна.

1) Разработана новая техника получения асимптотики спектра для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве,

21 С помощью этого метода получена асимптотика спектра гармонического осциллятора на всей числовой оси, при этом на потенциал накладываются лишь условия типа суммируемости,

3) На конечном отрезке получена асимптотика спектра дифференциального оператора н 2п— го порядка, возмущенного дифференциальным оператором порядка 2п — 2,

4) Методика получения формул следов ранее примененная для гладких и финитных потенциалов, предложенная X X Муртазиным и 3 Ю Фазулли-ным, продемонстрирована для негладких и нефинитных потенциалов

Методика исследования. Методы теории возмущений линейных операторов, комплексного анализа и теории специальных функций математической физики

Теоретическая и практическая значимость Работа носит в основном теоретический характер Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории операторов, теории дифференциальных уравнений, квантовой механике

А пробация работы. Основные результаты докладывались на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003), региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004), Международной уфимской зимней школе - конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005), в Башкирском государственном университете - на научных семинарах под руководством проф X X Муртазина, на научном семинаре по теории функций Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ Список публикаций приводится в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфов, и списка цитированной литературы, содержащего 03 наименований Нумерация формул двузначная первое число означает номер главы, второе - номер формулы Общий объем диссертации -116 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава целиком посвящена к изучению асимптотики спектра возмущенного оператора Я = Я0 + V.

В § 1 1 показано, что для широкого класса возмущений V нахождение асимптотики спектра оператора Я = Я0 + V в гильбертовом пространстве Н сводится к исследованию поведения Д°(А) = /?°(А) — (А„ — А)-1Р„— части резольвенты Д°(А) самосопряженного невозмущенного оператора Н° в окрестное ги А = Хп, где {Ап}^0~ спектр Я0 (Ао < А1 < ), Рп— соответствующие проекторы на собственные подпространства

В § 1 2 приведены несколько примеров применения указанной методики на отрезке Пусть Н— самосопряженный оператор порожденный дифференциальным выражением порядка 2т

(-1 )ти^ + Уи

и граничными условиями

«(0) = «"(0) = = и<2т-2)( 0) = 0, и{ тг) = и" (тс) = = ы(2т-2)(тг) = о,

где V— дифференциальный оператор порядка 2т — 2

Г71 — 1

Уи = £ + ди,

к=1

Рк(х), я(х)— вещественные функции, рк(х) € И^О,тг], к = 1,2, ,т — 1, 9(1) е 12[0,7г] Справедлива

Теорема 1. Спектр {/¿п}^ оператора Н имеет следующую

асимптоти-

ку

2 т-1 к "... . 9 "г

=п2т + - £ ¿С* I Рк '{х)(5тпхУк+,)зтпх<1х+ - / я(х) вт2 пхс1х+ * *=1 «=о 5 ъ 6

о т-1т—1 А: / ^ ,, , ,

Е £ Е^/р^КвтиГ'х

X / Р/^^ОМ т)^В°п(х, ¿, п2т)Л^+

0

4 ш-1 к пг ,, . *

+- £ ЕСНрГ'Ч^ттга:)^1' ^ Я°0М,п2т)'Кг)8ШтггсМ;г+

я" *=1 г=о й Й

2 77 ^ / 1 \ +-/9(2:)вита;+ ),

7Г 0 0 ЧП /

где

-,2т-2

т—1

Ь0Сп(х,г,п2) + £ Ъкв{х^,п2£к) к=1

2> 1

С(ж,г,п2) = м(х,г,п2) -

а; соз га эт

соэ гЛ. вт пг

+

7т вт пх вт

= М(х,Ыек) -

2тто2 ' ^ эт п^/Цх эт пу^г,

1 cos \ÍXx sin t < x,

M(x,t,X) = -?f{

VA I cos VAisin vAa:, í > x

fm—l Л"1

bk = I П (cfc — £n) I i ejt принимает все значения корня т— о и степени из ^ »¿к

единицы, £k — е~', к = 0,1, ,т — 1, С{ — ку\г^(к — г)']

В задаче Штурма-Лиувилля в качестве граничных условий могут выступать условия периодичности а) периодические граничные условия «(0) = и(27г), ?¿'(0) = и'(2п), б) антипериодические граничные условия и{0) = —u(?,7r), u'(0) = -и'(2п) Как известно, в этом случае каждому собственному значению Ап, п > 0 (в условии а) п > 1) соответствуют две линейно независим! ie собственные функции В этом параграфе также получена асимптотика спектра оператора Н = —cP/dx^+V, возмущенного потенциалом являющимся оператором умножения на вещественную функцию V(z) из Ь2[0,27т]

Теорема 2. Пусть V(a:) £ L2[0, 2тт], тогда при п » 1 собственные значения оператора Н° 4- V представляются в виде

1 2"

К = + — / V{x)dx ±

VX . Вп ±

27Г J 2тг ny/X¡,

2Вп , Сп 2'

/ V{x)dx + J п*) cos

где

An~{j cos + ^J V(x)

2зг

Bn = J V(x) cos \f\nx J V(t) cos \[\n{t — x) sin yfx^tdtdx-o ü

j 2Jг 2тг

-- J V(x) J V{t) cos y/x~(t - x) sm JXnix + t)dtdx+ 0 ü

J !l 2n

+— J V(x) J V{t)(x - í) sin2\/An(x - t)dtdx,

, 2iг 2?r

Cr = -f vr(x) j V(t)sm2sf\„{x + t)dtdx-0 o

^ ¿n ¿n

— J V(x) J V(t){x - t) cos yfx^it + x) sin )/K(x - t)dtdx— ,7r o o

2тг x _

-2 / V(z)cos\/Â~r / V{t) eos \¡X^{t 4- x) sm \f \ntdtdx, o o

, 2ir 2K

Dn = - j V(x) J V{t) sm2 y/xjjc + t)dtdx-

^ 2т 2ir

- —- f V{x) í V(t)(x - í) sm Jx^(t + x) sin - t)dtdx-2?r o o

2ir x _

—2 j V(x) eos \[XnX j V{t) sin \[X~n(t + x) sin \[Xntdtdx o o

Пусть H° = —d2/dx2 + ж2, тогда, как известно, спектр оператора Н° состоит из чисел Аге = 2п 4- 1, п > 0, а соответствующие ортонормированные собственные функции суть р„(х) — Нп(x)e~x*t2/где Нп(х)— многочлены Чебышева-Эрмита

В L2(0, оо) рассмотрим операторы L%u{x) — —и"(х) + х2и(х), и(0) = О и L^¡u{x) — —и"(х) + х2и(х), и'(0) = 0 Тогда спектр состоит из чисел An = An + 3, п > 0, а оператор имеет собственные значения А„ = 4тг 4- 1, п > О

Показано, что для изучения ядра R°(x, t, А), а также его части R„(x, í, А) резольвент R°(А) и Л®(А) при х € (—оо,оо), t € (—оо, оо), соответственно, достаточно изучить ядра В%(х, i, А), В%(х, t, А) резольвент By (А) и Вр(Х) операторов L¿ и Lj- при а; € (0, оо), £ 6 (0, оо)

В § 1 3 получены представления ядер B¿(x,t,X), B^(x,t, А), и их частей Врп(х, t, A), Btrn(x, t, А) Для этого методом эталонных решений строятся линейно независимые решения А), А; = 1,2 уравнения

-y"(z) + ar2î/(a:) = АуСя:), (2)

причем vi(x, А) 6 L2(0, оо) Введем обозначения при х > О, А > О

/_ , \2/3

Ç(*,A) =

Yj\t2~X\l'2dt\ sgn(x-v^),

v^ /

A) = S"(x, X)S-1(x, A)|x2 - АГ1/2, S(x, A) = ^'(ar, A)|~1/2, Q(x, A) =

A) = ?(A - i2)1^, при 0 < a: < VX,

Qi(x, A) = / (Í2 - A)l'4t, при x > y/X, VI

- /о, при 0 < X < л/А,

Щх, А) = <

^1(1, А), при х>уА

В качестве эталонных решений, следуя работе X X Муртазина и Т Г Аман-

гилъдина, берем функции г\(х, А) = Б(х, А)Лг(£(х, А)), 22(2, А) = 5(х, А)

•Вг(£(А)), где Лг(^), £'г(£) — вещественные функции Эйри Соответствующие интегральные уравнения указанного метода имеют вид

оо

у1(х,А) = 2:1(а:,А)+ / Я(х,г, Х)У1(г, А)Л,

X X

у2{х, А) = 22(х, А) - I Н{х, Ь, Х)у2{Ь, Х)(И,

о

где Н(х, г, А) - {г1(х, А) А) - Х)г2(х, Х)}К(1, А)|I2 - Х\1'2

Показано, что функция ги(х,Х) = [С(А)/;] (х) удовлетворяет уравнению —у" + х2у — Ау — к(х) и условию ю(х,Х) £ Ь2[0, оо), где ядро оператора С?(А) имеет вид

А _ 1 12/1(2, А)№(4, А), 0 < I < х < оо,

ЩА) = ух(х, Х)у'2(х, Х)-у[(х, Х)у2{х, А) Тогда функция/(х, А) = [55(А)Л] (х)-

[С?(А)/г] (х) удовлетворяет уравнению (2) при А ф 4п + 3, п > О, /г(х) е

Ь2[0, оо) Аналогичные рассуждения проводятся и для задачи Неймана Итак, справедлива

Теорема 3. Ядра В¥{х,Ь, X) и В£(х,Ь, А) резольвент В+(А) и (А), соответственно, имеют вид

(2п+1-к) /р. .ч

в+(х,г,А) = в(х,г,А)- ;' ^¿¿'-т^^Л) IV (X )у\ \0,Х)

Вв(М, А)-<?(*,«, А) ^(А)уР"+1-*)(0>А) М+1-А'

где к, п > 0, яфа В~(х, I, А) и В*(х, А) определяются следующим образом

. >ч [ Во(х,£,А) при /с = 2п + 1, (х, А) = <

I В%{х,Ь, X) при к — 2п,

, и ( ВЕ>п(х^,Х) при к = 2п+1, (X, '1 А) = \

I при к = 2п

В § 1 4 получена асимптотике вспомогательных функций, имеющих существенное значение для дальнейших исследований Мы не будем приводить формулировку теорем 4-6 Они являются вспомогательными и используются для оценки одномерной части ядер

Как известно, при переходе через точку поворота резко меняется поведение решений уравнения, в следствии чего возникают дополнительные трудности в их изучении Использование эталонных решений, строящихся с помощью функций Эйри или цилиндрических функций, асимптотические представления которых известны, позволяют обойти эту трудность Основным результатом этого параграфа является следующая теорема

Теорема 7. При достаточно больших Л, Л^>1 и :г > 0 функции ук{х, Л), к = 1,2 и ду\ (х, Л)/ЗА представляются в виде

ук(х, А) = гк(х, А) (1 + г£\х, А)) ,

ду1(х,Х)^дг1{х,Х) (1 + 2(2)(а.А))

д\

д\

причем функции гь(х, А), г£\х,Х), г\''(х, А), дг\(х,Х)/дХ, где к = 1,2, ?/&>-влетворяют оценке

Л«/

№,Л)| <

СеС-!)'^, А) |х2 - А|!/4 + Л1/12'

!(х,А)

дХ

<

зир |42)(^Л)| <

х>0,А>1 л

зир |г^(х,А)|< х>0,А>1 А

А) + 1)

А(А1/12 + |А-з:2|1/4)

С

В последней теореме этого параграфа получена асимптотика функции IV(X) - 2/1 (х, Х)у'2(х, А) - у[(х,Х)у1 (х, А) и ее производной И"(А) при больших значениях А

Теорема 8. При А >> 1 функции IV(X) и ИГ'(А) имеют следующую асимптотику

Результаты предыдущих параграфов позволяют выписать асимптотику ядер Впп{х,1, А), В~^п{х, А) в окрестности соответствуют,их собственных значений В § 1 5 получена асимптотика этих ядер, а также ядер Вр{х, £, А), х, t, А) в окрестности Хп = 4п + 1 и А„ = 4п + 3, соответственно

Теорема 9. При |А - А„| < 1/2 и х > О, £ > 0 справедливы асимптотические формулы

ВЦх,1,Х)=С°(х,1

п+1„2 А

х +/ («с.«+/ —<<<■)+

4 Г, , , . {а^Ог.иЬ^у^С.р).

+ (А-А ) / | I ^:J^zí:¿dp + G(x,t,Xn)+gl(x,t,K),

где

С Врп(х, А), пры п-нечетном, Вп А) = <

I Вхп(х, А), при п-четном,

(21 (а, А„) + / ^ф) А„) + } ^ф) , I < х, (гЛШ + / ^йф) (,2(*,А„) + / ^ф) , * < <,

(„1/12 + |г2 _ Лгг|1/4)(ге1/12 + ¡¿2 _ Дп|1/4) I '

71

Ап) ^ ( е-01(х,А„)

*, А„) = О I ио!

^п(?г1/12 + (¿2 _ Лп|1/4) j ^п(п!/12 4- |Х2 _ Лп|1/4)^

Теорема 10. При ¡А—А„| < 1/2 их > 0, í > 0 справедливы асимптотические формулы

В+(х, *, А) = г, А„) + тг tg (^(А - Ап)) х

Ьдг&р)

\ Л« / \ ^п

др

+б(х,1,\п) + д2(МДп),

¿р\ +

где

В+{х,Ь А) =

+ + \ч \ В1)(х,Ь,Х), при п-четном,

\ Вх(х, t, А), при п-нечетном, где функции С°(а;,4,Ап), 0(х,1, А„), определены в теореме 9,

<&(*, г, Л„) = О -Г , иа—Г-Т777Т + о

п(л!/12 + _ Лп|1/4) ^ ^п(п!/И + |х2 - А„|а/4)

В следующей теореме этого параграфа получена асимптотика собственных функций </>„(£) и их производных 4>'п{х)

Теорема 11. Собственные функции <рп(х) и их производные <р'п(х) при х > 0 имеют вид

<рп(х) = ^(х, Лп)(1 + ¿«(¡г)), <р'п(х) = V2z[(x,\n)( 1 + ф%Чх)),

причем sup IФп(х)1 — Cn~l, к — 1,2,

х>0

(Je-Qi{x,\„) Ce-Q.(x,An)(|x'-A„|</4l)

Основной результат первой главы отражен в § 1 6 Справедлива Теорема 12. Пусть V(x) удовлетворяет следующим условиям 1° V(x) g L2(R),

2° / (] + \х\)a\V{x)fdx <оо,где(3>2,а>Р-1,

—оо

тогда при п> 1

ду2_Л-1/6

(tn = А„ + £ " / " V+(x) cos2 (q(x, А„) - I) (А„ - х2)-1/2&+

+1 1 / У+Ы IЛ___LlzAI

1 00 7Г

аУЧА;"6

4 / тг\

о X

/y+(i)(A„ - ¿2)_1//2cos2(2(i, \„)dtdx— о

4 /

-- / У-(х)(Ап - я2)"1/2 cos2 (Q(®, А„) - J

X

х / V-(i)(A„-i2r1/2 cos2Q(i, \n)dtdx+ о

\/A7/2

^ / 1 \

х / V+(t){Xn-t2)-1/2cos2Q{t,\n)eiTccos^dt + 0^—j,

гдее = (а + 1-0)/(2/3), У±(х) = (У(х) ± У(-х)) /2, Г(х)- гамма - функция Эйлера, функции <5(х, Ап), С?1(х, \„) определены выше

Во второй главе изучается вопрос о следах, получены классические формулы типа (1) для гармонического осциллятора на всей числовой оси, а также для дифференциальных операторов 2п-го порядка на конечном отрезке

Результаты первой главы, в частности асимптотика ядра А) в

окрестности собственных чисел Ага, позволяют получить формулы регуляри-зованиых следов Основной результат § 2 1 отражен в следующей теореме

Теорема 13 Пусть для У(х) выполняются условия теоремы 12 Тогда ряд

00

Е [Ап + {У?п, 4>п) - Ип] п=О

сходится (не обязательно абсолютно) и его сумма равна нулю

В § 2 2 получена классическая формула регуляризованного первого следа типа Гельфанда-Левитана Справедлива

Теорема 14 Пусть выполняются условия теоремы 12, причем а >2/3 — 1, тогда имеет место формула следа

у/2 1 л , у/2

Е

п=О

Мп — А„--- , ——. [ У(х)йх = —- [ У{х)дх

тг ^лггг + ч^тт^ 77 ] к >

В последнем параграфе § 2 3 получена формула следа дифференциального оператора 2т-го порядка на конечном отрезке В!,2[0,7г] рассмотрим оператор

Ни = Н°и + Уи,

где Н° = Ьт, Ь— оператор порожденный дифференциальным выражением 1и = —сР/дх2 и граничными условиями Дирихле и(0) = и(7г) = О, У — оператор умножения на вещественную функцию У(х) £ Ь2{О, я"] Если {/¿«1^1— спектр возмущенного оператора Н = Н° + V, то справедлива следующая Теорема 15. Пусть У{х) 6 £2[0,7г], тогда ряд

Е

2 *

/Х„ - п2т--/ У (х) вш2 пхйх

сходится (абсолютно при т > 2 и условно при т = 1) и его сумма равна нулю

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Муртази-ну X X за постановку задач и предложенный метод

Публикации автора по теме диссертации

[1] Ахмерова Э Ф Асимптотика спектра оператора Штурма - Лиувилля Тез докл Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике - Уфа, 2000 - 206-207 с

[2] Ахмерова Э Ф Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с параметром в потенциале // Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике - Уфа, 2001 - Т 1 - С 8-13

[3] Ахмерова Э Ф Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов // Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике - Уфа, 2002 - Т 1 - С 5-13

[4] Ахмерова Э Ф Асимптотика спектра для негладких возмущений дифференциальных операторов Тез докл Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике - Уфа,

2003 - С 18-19

[5] Ахмерова Э Ф , Муртазин X X Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов // ДАН РАН -2003 - Т 388 - №6 - С 731-733

[6] Ахмерова Э Ф Асимптотика спектра дифференциальных операторов Тез докл Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ - Уфа,

2004 - С 20

[7] Ахмерова Э Ф Некоторые замечания об асимптотике спектра для негладких возмущений дифференциальных операторов 2п— го порядка // Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике - Уфа, 2004 - Т 1 - С 3-7

[8] Ахмерова Э Ф Асимптотика спектра для негладких возмущений дифференциальных операторов 2п— го порядка // Вестник Башкирского университета - 2005 - С 28-32

[9] Ахмерова Э Ф Асимптотика спектра одномерного гармонического осциллятора, возмущенного негладким потенциалом Тез докл Международная уфимская зимняя школа - конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых - Уфа, 2005 - С 3-4

[10] Ахмерова Э Ф Формула Гельфанда - Левитана для дифференциальных операторов 2п- го порядка с негладким потенциалом Тез докл Труды математического центра имени Н Н Лобачевского - Казань, 2006 - Т 34 - С

Ахмерова Эльвира Фангизовна

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА И СЛЕДЫ НЕГЛАДКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Автореферат диссертации нз гпискяние vчeнoй степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 23 04 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ л 0,92 Уч -изд л 0,96 Тираж 100 экз Заказ 227

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Введение

1. Асимптотика спектра негладких возмущений дифференциальных операторов

1.1. Постановка задачи

1.2. Асимтотика спектра обыкновенных дифференциальных операторов на отрезке.

1.3 Представление ядра резольвенты гармонического осциллятора.

1.4. Асимптотика решений гармонического осциллятора.

1.5. Асимптотика ядер В'ДхДД) , в;п(хдД) , В^х^Л) , в;(хдД) в окрестности собственных значений.

1.6. Асимптотика спектра гармонического осциллятора, возмущенного негладким потенциалом.

2. Формулы следов 90 2.1 .Формула регуляризованного следа типа Крейна для гармонического осциллятора.

2.2.Формула регуляризованного следа типа Гельфанда - Левитана для гармонического осциллятора.

2.3. Формулы регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов.

Важным разделом общей спектральной теории операторов является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются дифференциальные операторы с дискретным спектром, заданные на бесконечном интервале. При этом распределение собственных значений - один из изучаемых вопросов.

Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [1], [2], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Многочисленные задачи на определение энергетических уровней конкретных квантово-механических систем явились толчком, спустя столетие, появлению работ гто указанной теме в сингулярном случае (когда не выполняется одно или оба условия регулярного случая). Начало спектральной теории для сингулярных операторов было положено в работах Г. Вейля [3], [4] и в дальнейшем был развит в монографиях Э.Ч. Титчмарша [5], [6]. Им же в [7] впервые была строго обоснована формула распределения числа собственных значений оператора Штурм а-Лиувилля на всей оси. Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша явились причиной появления огромного количества работ, связанных исследованием распределения собственных значений дифференциальных операторов с дискретным спектром. В последствии свое развитие получили два основных метода получения спектра. Первый из них - вариационный принцип, восходящий к работам Г. Вейля и Р. Куранта [8]. В последствии он был развит М.Ш. Бирманом и его школой (см. обзор [9] ). Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен, как другие методы, к гладкости коэффициентов, границы области и т.д. С другой стороны, он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. Второй метод называется резольвентным и восходит к работе Т. Карлемана [10]. Он связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик. К этому методу примыкают предложенный В.Г. Авакумовичем в [И] и Б.М. Левитаном в [12] метод гиперболического уравнения, а также метод параболического уравнения, предложенный С. Минакшисундарамом и А. Плейелем в [13], соответствующих исследуемым операторам. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [14], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.

К настоящему времени разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных значений в случае негладких потенциалов [15] и даже для потенциалов, содержащих 6— функцию [16]. Что касается дифференциальных операторов с дискретным спектром, заданных на бесконечном интервале, то этот вопрос впервые подробно изучался Муртазиным Х.Х. и Амангильдиным Т.Г. в работе [17] для задачи Штурма-Лиувилля на полуоси. В этой работе получена асимптотика собственных чисел в предположении степенного роста потенциала т.е. д(х) — ха + У(х), где су-положительное число, У{х) — финитная, дважды непрерывно дифференцируемая функция. В работе Е.В. Александровой [18] рассматривается задача Штурма-Лиувилля на полуоси в случае возмущенного гармонического осциллятора: Ну = цу, у(0) = 0, у е Ь2[0, оо), где

Ну(х) = Н°у(х) + У(х)у(х) = -у"(х) + х2у(х) + У(х)у(х), возмущение У(х)— гладкое но не предполагается финитным.

В настоящей работе используется метод, предложенный Муртазиным Х.Х., основанный на асимптотическом представлении части = я, г, А) - (Ап - А) 1Рп(х^) ядра резольвенты Д°(А) невозмущенного оператора Я0, где Ап- собственные значения оператора Н°, Рп- соответствующие проекторы на собственные подпространства. Получена асимптотика спектра одномерного гармонического осциллятора на всей числовой оси, причем на возмущение V(x) накладываются лишь условия типа суммируемости. Указанный метод также продемонстрирован на примере дифференциального оператора 2п-го порядка, возмущенного дифференциальным операторам порядка 2п-2 на конечном отрезке. Следует отметить, что данная методика эффективна и при dim RanPn > 1, т.е. когда имеется случай кратных собственных значений. В данной диссертации получена асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с периодическими и антипериодическими граничными условиями.

В 1957 году JI.A. Дикий предложил (см. [19]) использовать регуляризо-ванные следы для приближенного вычисления собственных чисел операторов. Впервые, в 1953 году, формулы регуляризованпых следов для классической задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q(x) € С1 [0,7г] при условии ж

Jq(x)dx = 0 получили И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан [20] п=1 4 где ¡in— собственные числа оператора d2v

Hy(x) = -^ + q{x)y = \y, у(0) = у{тт)=0.

Вслед за этой работой появилось много работ но теории регуляризованпых следов, т.е. по нахождению соотношений вида ик - Л(п)) = В, (0.1)

11 где Ап— собственные значения оператора Я, а Л(-) и В— явно вычисляемые через параметры краевой задачи выражения. В том же году к аналогичным результатам пришел Л.А.Дикий в работе [21], используя иные методы. Вопросам получению формул регуляризованных следов для сингулярных операторов были посвящены работы М.Г. Гасымова и Б.М. Левитана ( см. [22] и указанную там литературу). Формулы следов в этих работах явились следствием асимптотических равенств (с точностью до бесконечно малых членов) для спектральных функций соответствующих операторов. Это приводило, например, к тому что исследовалась пара сингулярных операторов Штурма-Лиувилля, отличающихся друг от друга только на финитный потенциал.

Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов получены В.Б. Лидским и В.А. Садовничим в работе [23], где было установлено, что доказательство формул типа (0.1) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой. В работе [24] рамки метода В.Б. Лидского, В.А. Садовничего были расширены.

В сингулярном случае возникают трудности при применении метода [231, связанные с отсутствием точных асимптотических равенств, равномерных но х для фундаментальных систем решений дифференциального уравнения. В частности, в сингулярных задачах Штурма-Лиувилля с неограниченно растущим потенциалом q(x) возможно наличие точки поворота, в которой резко меняется поведение решений уравнения (см. [25]). В этом случае естественным является использование методов теории возмущений. В работах М.Г. Крейна, В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского (см. [26]-[29[) получены различные результаты методами теории возмущений дискретных операторов.

Суммирование методом Абеля применялось В.Б. Лидским [30] в вопросах разложения по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов. Кроме того, такое суммирование также использовалось Г.В. Козловым и В.А. Любишкиным в [31] для вычисления следов вида (0.1) оператора { {-l)nyW + {xa + q{x))y = \y, ' \ У{0) = У'(0) = • • ■ = У{п~1Ч0) = 0, х Е [0; +оо), где q(x)— финитная функция, q(x) Е Cq[0,+oo), а а > 0. Распределение собственных значений этой задачи изучалось Х.Х. Муртазииым, Т.Г. Амап-гильдиным в [17] при п = 1 и Х.К. Мишиным в [32] при п > 2. Аналогичный метод использован Е.В. Александровой [18] для задачи Штурма-Лиувилля на полуоси в случае возмущенного гармонического осциллятора, где возмущение гладкое но не предполагается финитным.

Принципиальным прорывом в теории следов является новый метод исследования и доказательства регуляризованного следа для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, предложенный З.Ю. Фазуллиным и Х.Х. Муртазиным. Этими авторами получены формулы регу-ляризованных следов при более слабых условиях на функцию распределения спектра невозмущенного оператора в зависимости от возмущения V, чем во всех известных ранее результатах, предложена методика исследования формул следов для операторов в частных производных (см. работы [33] - [39]). Эта техника использована в данной диссертации для негладких возмущений одномерного гармонического осциллятора на всей числовой оси. При этом возмущение не предполагается финитным. Также получена формула следа дифференциального оператора 2п-го порядка Ну(х) = — у^2п\х) + V(x)y(x) на отрезке [0,7г] с возмущением V(x) Е L2[0,n] при п > 1, п G N.

Для оператора Штурма - Лиувилля значительным продвижением в этом направлении следует отметить результаты работ [16] и [40]. В статье А.М. Савчука, A.A. Шпаликова [40] получена формула формула регулярзованно-го следа для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с сингулярными потенциалами, не являющихся локально интегрируемыми функциями( q(x) = и'(х) (равенство в смысле распределений), и{х) — функция ограниченной вариации на [0,7г].) В работе В.А. Винокурова, В.А. Садовничего [16] получена асимптотика спектра и формула следа на отрезке для потенциала, содержащего S- функцию. Достаточно полный обзор различных методов получения формул регуляризованных следов дан в [41], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.

Перейдем к обзору содержания диссертации. В § 1.1 показано, что для широкого класса возмущений V нахождение асимптотики спектра оператора Я = Я° + V в гильбертовом пространстве Н сводится к исследованию поведения Rn(А) = -К0(А) — (Ап — А)~1Рп— части резольвенты R°(А) самосопряженного невозмущенного оператора Я0 в окрестности А = А„, где {А„}^=0спектр Н° (Ао < Ai <.), Рп— соответствующие проекторы на собственные подпространства. А именно, пусть выполняются условия:

1. inf(Afc+i - Ajb) > 0;

2. существует последовательность гп такая, что 0 < rn < dn,

Jim siip ||-ßJ(A)V|| = 0, где dn = min(An+i - An> An - A„i)/2, а-л„|<гп тогда собственные значения возмущенного оператора Я определяются из уравнения

Л«1 = [А„ + PnVPn - PriVRn(X)VPn]uh (0.2) где щ = Рпи, и— решение уравнения Ни = Аw, |А — An| < rn,

00 nW = £ (-ir[R?,(A)v]"'-R,0,(A). (о.з)

771=0

В частности, если dim RanPn = 1, то формула (0.2) приобретает вид

А = Хп + (VVBJ ц>„) - (VRn{\)Vipn, <рп), (0.4) где (.,.)- скалярное произведение Н, (рп— нормированный собственный вектор, соответствующий собственному значению Ап.

В § 1.2 приведены несколько примеров применения указанной методики на отрезке. Пусть Н— самосопряженный оператор порядка 2т порожденный дифференциальным выражением d2mu с-Ч-Й^« и граничными условиями и(0) = м"(0) = . = it(2m~2)(0) = О, и(тг) = и"(тт) = . = w(2m-2)( тг) = О, где V— дифференциальный оператор порядка 2m — 2 ш—1

Е (PkU{k))ik) + qu, к=1

Рк(х), (/(ж)— вещественные функции, рк{х) 6 И^О,^], /г = 1,2,., m — 1, q(x) £ L2[0,7r]. Справедлива

Теорема 1. Спектр {11п}™=1 оператора Н имеет следующую асимптотику

О т-1 к . * п Л „ . 9 77 ^<Х1Рь(хШппх)(к+1)8тпхс1х +

7Г

Цп = П2т +

Е Е О;1 Рк г\х)(5\ппхУк+г^ 5тпхс1х + - [ д(х) вт2 пхдх-\-71" *=1 ¿=0 6 о

О т-1 т-1 к I . ■ г /1 л ,, л

- Е Е Е Е С1С1 [ Рк (х){ыипх) х

К к=1 1=1 1=0 3=0 о о

4 т-1 к ? ,, / ч 7 Е Е<?1 / рРНИ"®)^ / МОзтп^ЙсЫ

7Г Ь=1 ¿=0 о О

2 Г } ( 1 \

Н— у вт пх у (ж, £, n2m)q{t) вт + О Г) , где

Я°ЛхХп2т)

2т\ 0 1 Я

2т—2

771—1

60£п(ж,£,п2) + £ ЬкО(х,г,п2ек) к=1

Оп(х,1,п2) = М(ж,£,п2) 1 хсоэ пж8ттг£+ соб п£ вт па;

7ггг

Б!!! пж эт п£

2тт2 о . „, 9 . ^Пл/е^тг . — . —

Сг(ж, £, пе^ = М(яг, £, пе^)--)=:— БШ п^екх вш Пу/ек1,

СОБ А/ЛЖ БШ £ < гг; соб \/А£ бш \/Ла;, £ > ж.

-1

Ьк = ( П — ) ) принимает все значения корня т— ой степени из единицы, ек = к = 0,1,., т - 1, Сгк = к\/[И(к - г)!].

В частности, если V— оператор умножения на вещественную функцию У(х) Е Ь2[0,7г], то спектр оператора Н имеет следующую асимптотику при т = 1 :

1 7

Цп

1 п 1 7Г = п2 + — У У{х)(1х--I У{х) СОБ 2пхйх

2 7Г X

7Г 2П

7Г 7Г

J V(x) sin2 nzdz J tV(t) sin 2ntdt + О (n~2); при m > 2 :

1 7Г i 7Г n2m + -1 V(x)dx - -1 V{x) cos 2nxdx + О (n~2) ^o ^ о

В задаче Штурма-Лиувилля в качестве граничных условий могут выступать условия периодичности: а) и(0) = и(2тг), гх'(0) = и'(2тг)] б) w(0) = —и(2тг), и'(0) = —и'(2тт). Как известно, в этом случае каждому собственному значению Ап, п > 0 (в условии а) п > 1) соответствуют две линейно независимые собственные функции. Получена асимптотика спектра оператора Н = —d2/dx2-\- V, возмущенного потенциалом являющимся оператором умножения на вещественную функцию из Ь2[0,2тт].

Теорема 2. Пусть V(x) Е L2[0,2тг], тогда при п 1 собственные, значения оператора + У представляются в виде о

2В 2ж С ^

Жап / v{x)dx+Ж / v[x) cos2^xdx+

2тг

L7T 0

D,

1 V(x) sin 2\f\nxdx 0 1 м

2 / ' где

2тг о

2тт

2тг п = J V(x)cos2\fX^xdx + J V(x) sm2yf\lxdx \o / \o

2 /

Bn = J У (ж) cos J V(t) cos - x) sin y/X^tdtdx— o о

I 27Г 2тг J V(x) I V(t) cos sf\~(t - x) sin \fxn{x + t)dtdx+ о о

J 27Г 27Г I V(x) I V{t)(x - t) s'm2\fXl(x - t)dtdx, 87Г о 0

Y 2л- 27Г

Cn = - J V(x) J V(t) sin + t)dtdx— 2тг 2тг

-— J V(x) J V(t)(x - t) eos \f\n(t + x) sin \/X^l(x - t)dtdx

0 o

2 7Г

2 j V{x) eos \[\~nx I V(t) eos + x) sin \j\ltdtdx, o o 2тг 2tt

Dn = -J V{x) f V(t) sin2 \f\n(x + t)dtdx-o o 2тг 2тг

- J V(x) j V{t)(x - t) sin \f\n{t + x) sin \J~\~n{x — t)dtdx— o o

2тг

2 J V(x) eos \J\nX J V(t) sin + x) sin \¡X^tdtdx. o o

Пусть H° = — d2¡dx2 + x2, тогда, как известно, (см. например, [42|)спектр оператора Н° состоит из чисел An = 2п + 1, п > 0, а соответствующие ор-тонормированные собственные функции суть ipn(x) = Нп{х)е~х2/2/\/2пп1у/к, где Нп(х)— многочлены Чебышева-Эрмита.

Так как V(x) не предполагается гладкой, то на функцию q{x) = ж2 + V(a;) мы не можем непосредственно применить технику эталонных решений, использованную в работе [17]. В данной работе используем аппарат теории возмущений [42], основанный на изучении асимптотического представления ядра резольвенты невозмущенного оператора.

В L2(0, оо) рассмотрим оператор L^u(x) = —и"{х) + х2и(х), и{0) = 0 и L^u(x) = —и"(х) + х2и(х), и'{0) = 0. Тогда, нетрудно заметить, что спектр Lq состоит из чисел \п = 4п + 3, п > 0, а оператор L^ имеет собственные значения Хп = 4n + 1, п > 0.

В § 1.3 показано, что для изучения ядра R°(x,t, А), а также его части R®(x,t,\) резольвент RQ(Л) и i?J(A) при х £ (—оо,оо), t £ (-00,00), соответственно, достаточно изучить ядра Вр(х, t, Л), В^(х, Л) резольвент Ду(А) и -Bj(A) операторов LJ и при х £ (0,00), t £ (0, оо).

Получены представления ядер В£(х, t, А), В^(х, t, А), и их частей Врп(х, í, А), Btfn(x,t, А). Для этого вначале методом эталонных решений (см. [43], [17]) строятся линейно независимые решения у^(х,Х), к = 1,2 уравнения

-у"(х) + х2у(х) = X у{х),

0.5) причем (гс, Л) £ Ь2{0, оо). В качестве эталонных решений следуя работе [17], берем функции г\(х, А) = А)Аг(£(х, Л)), г2(х, Л) = Б(х, А)Вг(£(.т, Л)), где

Вг(£)— вещественные функции Эйри (см., например, [44]), х \2/3 г

V л/А /

Соответствующие интегральные уравнения указанного метода имеют вид

СХ) я, Л) = 21 (ж, Л) +1 Н{х, г, А)?/1(г, А)сЙ,

1. у2(х, А) = А) - J Н(х, t, X)y2(t, \)dt. о

Введем вспомогательные функции, которые постоянно встречаются в дальнейшем

А) =

А) = "ftА - i2)1/2^, при 0 < X < л/Л;

Qi(z, А) = / (*2 - A)1/2di, при а: > л/Л, л/а л

Qi(z,A) =

0, при 0 < х < л/А; Qi(®,A), при х> VX ъ ((Q(x, А)) ее Vjfe(®, А) = |А - А)ехр [(-lp1)^, A)J, к = 1,2, к = 1,2, фк(х,\) = \X-x2\1^yk(x^)exp[(-lf^Q1(xA)

К{х, X) = S"(x, X)S~1(x, Х)\х2 - АГ1/2, S(x, А) = (х, А)|1/2.

Если предположить, что функция и(х, А) = [Вр(Х)Н](х), где А ф 4п + 3, п > 0, Е L2(0, оо), то А) удовлетворяет неоднородному уравнению и"(х) + х2и(х) - Ам(.т) = h{x),

0.6) и условиям и(0,А) = 0,ф,А) <Е L2(0,oo).

Введем ядро

1 (У\{х,Х)У2^,Х), 0 < I < х < оо; \у1[1,\)у2(х,\), 0<*<г<оо, где Ж(А) = у1(х,\)у'2(х,\) ~ у'1(х,\)у2{х,Х). Показано, что функция 00 и)(х, Л) = / Сг(ж,£, \)1г(к)сИ удовлетворяет уравнению (0.6) и условию ги(х,Х) £ £2(0, оо). Поэтому функция /(ж, Л) = и(х,Х) — т(х,Х) удовлетворяет однородному уравнению (0.5) и принадлежит £2(0, оо). Следовательно /(х,Л) = Постоянная Л находится из условия и(0, А) = 0. Отсюда получаем представления для ядер А), А). Аналогичные рассуждения проводятся и для задачи Неймана. Итак, справедлива

Теорема 3. .Яфа В+(х,1, А) и А) резольвент В+(А) и А), соответствепио, имеют вид А) = (?(*,А) - А п 1 ' ' ] " 4 '] Ж(А)42"+1-^(0, А) 2* + 1 - А ' где к, п> 0, лфа ¿, А) ы t, А) определяются следующим образом В+(х,1, А) =

Вр(х, £, А) при Аг = 2/г + 1; А) при к = 2п, п ) 5Яп(М,А) Аг = 2п -Ь 1;

А) = \

Вмп(х^,\) при к = 2п.

В § 1.4 получена асимптотика вспомогательных функций, имеющих существенное значение для дальнейших исследований. Введем обозначения т , , ( гт п ~ , п дф^Х) ,

Цв,А) = Р1(в,А) = —^—, Р2(в,А) = ——' тогда справедлива

Теорема 4. Для любого Б>0иХ » 1 функции "01 (я, А), р^я, А) и А) представляются в виде

1М) = 71(А<2М)) + ^1М), 13 p1(s,X) = Q(s, 1)t1(AQ(s, 1)) + Pi(s,A), p2(s, A) = Q2(s, l)i{(XQ(s, 1)) + p2(s, A), где функции A), pi(s, A) up2(s,X) равномерно ограничены no А и s, sup (A+l)|^i(s, A)| < C, sup (A+l)|pi(s, A)| < C, sup (A+l)|p2(s, A)| < s>0,A>0 s>0,A>0 s>0,A>0

С, а такэюе sup |7i(AQ(s, 1))| < C, sup |Q(s, l)7/1(AQ(s, 1))| < C, s>0,A>l л>0,А>1 sup |g2(s,i)7;'(Ag(s,i))| < c. s>0,A>l

Для доказательства этой теоремы используется асимптотика цилиндрических функций, которые входят в ф\(х,Х) и лемма из работы [17], согласно 00 / 1 \ которой f \К(х,X)\dx = О (А-1).

Обозначим

MO,\) = d1(А), ^(0,Л) = ^(А).

Тогда справедливы следующие теоремы, которые используются для оценки одномерной части ядер B^,(x,t,X), B^(xJt,X)1B^>n(x,t,X), В]ун(а;,£,А).

Теорема 5. При А > 1 функции d\(X), d'^X), d'[{А) имеют следующие оценки

Теорема 6. При А > 1 функции с^(А), ^(Х) имеют следующие оценки

М А) =

4(А) = ^созЦ(А-1))+0(А-'/2),

Как известно, при переходе через точку поворота (см.[25]) резко меняется поведение решений уравнения, в следствии чего возникают дополнительные трудности в их изучении. Использование эталонных решений, строящихся с помощью функций Эйри или цилиндрических функций, асимптотические представления которых известны, позволяют обойти эту трудность. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 7. При достаточно больших А, Л 1 и х > 0 функции ук(х, А), к = 1,2 и ду\{х,Х)/дХ представляются в виде ук(х, Л) = гк(х, А) (1 + г[1)(х: А)), дХ дХ \ причем функции zk(x, Л), dz\{x,X)[dX, где к = 1,2, удовлетворяют оценке dzi(x, Л) |ж2Д|1/4 + Л1/12' дХ

Ce-№M(Q(x,\) + l) ~ Л(Л!/12 + |А - х2\1!'х) sup |42)(ж,Л)| < y, sup \zk\x, А)| < y-х>0,А>1 А х>0,А>1 л

В последней теореме этого параграфа получена асимптотика функции

VK(A) = yi(x, Х)у'2(х, X)-yi(x, X)yi(x, А) и ее производной W'(A) при больших значениях А.

Теорема 8. При X » 1 функции W(A) и 1У'(А) имеют следующую асимптотику

Ж(Л) = 1 + 0(1), И"(А) = 0(±).

Результаты предыдущих параграфов позволяют выписать асимптотику ядер Bi)n(x,t, A), B^n(x,t, А) в окрестности соответствующих собственных значений. В § 1.5 получена асимптотика этих ядер, а также ядер B^(x,t, А), Btf(x, t, А) в окрестности А„ = 4n + 1 и Хп = 4п + 3, соответственно.

Теорема 9. При |А — Ап| < 1/2 и х > 0, t > 0 справедливы асимптотические формулы f-lV+W2 г /тг \

В:(х,t, А) = G°(x, t, Хп) + l4(Aj Л / sin (-(t - 1)j (А - t)dtx

Дп \ А

А - А„)

С дР )к дР

А - А„)

Ад ' Ан др дг1(х,р) др с1р + &(х^,\п) +р1(ж,£,А„), где Вг>„(х, А), при п-иечетиом: [ Внп(х, А), при п-четиом, з°ом, а„) = я, Ап) + / ^ф) А„) + / ^ф) , * < я; Ап) + 1 ^ф) ^(я, А„) + / д1{х,г,Хп) = О п1/12 + |х2 Дп|1/4)(п1/12 + (¿2 Дп|1/4)

-С^А.) 0 п п1/12 + |;е2Лп|1/.1) п(п1/12+|^2Лгг|1/4)

Теорема 10. При |А — Ап| < 1/2 и х > О, £ > 0 справедливы асимптотические формулы х А) = г, Ап) + 7Г tg ^(А - А„)) х

Ап Р / \ А„

С?ОМ> А„) + 32ОМ, А„), где

Л)

В^ОМ» А), при п-четиом;

5дг(ж,£,А), при п-нечетном, где функции С°ОМ>Ап), Ст(а;,£, Ап), определены в теореме 9,

02 ОМ» Ап) = О

М^А,) п(п1/12 + |^2Лп|1/4) / + 0

-<51(х,А„)

В следующей теореме этого параграфа получена асимптотика собственных функций <рп(х) и их производных ip'n(x).

Теорема 11. Собственные функции (рп(х) и их производные <р'п(х) при х > 0 имеют вид срп(х) = V2z1{x,\n)(l + фЦ\х)), причем sup \Фп(х)\ = Сп~1, k = 1,2, х>0

М®А)| < Л1/12 + |а,2Лп|1/4' ЙМ„)|< -^-.

Основной результат первой главы отражен в § 1.6. Справедлива Теорема 12. Пусть V(x) удовлетворяет следующим условиям,:

1° V(x) е l2(R); 00

2° / (1 + \x\)a\V{x)\pdx < оо, где (3 > 2, а > /? - 1, сю тогда при выполнении условия 1° имеет место уравнение для спектра (0.4), а при выполнении условия 2° и п > 1

1/2 ,-1/6 = Л„ + - f V+(x) cos2 ( Qi;).', Л„) - - j (A„ - :r'ri/2<fa+ 1 (x2 - л„) ^

4v*\)!\i rd)^,1/3

Лп лп 00 dx

1 uu

- [ V+{x){x2 - An)-^2e-2Q^Xn)dx

7Г J

7г n тЛл

VK/2

-i / ^(^(An-^r^cos^Q^AJ-jjx x x J V+(t)(Xn — t2)~1!2 cos 2Q(i, \n)dtdx— о a;/2 7-(®)(An - zV/W An) - fj x х I у-й(Ап-г2Г1/2 сов2(Э(г,\п)<и<1х+ о о к/2 г . л / 1

X [ V+{t)(\n-t2)-í/2cos2Q(t,\n)мccos--7==dt + 0 П V А» о гдее = (а+1-/3)/(2Д, У* (ж) = (У(ж) ± /2, I»- гамма - функция

Эйлера, функции С2(х,\п), 1(х,\п) определены выше.

Во второй главе изучается вопрос о следах, получены классические формулы типа (0.1) для гармонического осциллятора на всей числовой оси, а также для дифференциальных операторов 2п-го порядка на конечном отрезке.

Результаты первой главы, в частности асимптотика ядра А) в окрестности собственных чисел Хп позволяют получить формулы регуляри-зованных следов. Следует отметить, что в этой работе использован метод предложенный в работе [35], в частности мы опираемся на следующую лемму.

Лемма. Для любого п имеет место толсдество п I ак = оТ~ к=0 *Ап зрЕпУ2 - £ зр(РкУ)Ч к=0

2ЕХкак+Е Е )зрРкУРгпУ к=0 к—0т=п+1 \ Лт — Лк ) где Еп= £ Рк. к=0

В одномерном случае эта формула приобретает более простой вид п 1 к=0 1лг

Е {У\ь м) - Е (У<Рк, <Рк)2+ ^к=0 к=0

2еа^+Е Е г[Хп к=0 к—0ш=п+1 \ Лт — Лк / где через ак обозначено следующее выражение: тп=§,тпфк Атп — Лк

Основной результат § 2.1 отражен в следующей теореме.

Теорема 13. Пусть для У(х) выполняются условия теоремы 12. Тогда ряд

00 [Ап + (У<рп, ч>п) - Ы п=0 сходится (не обязательно абсолютно) и его сумма равна нулю.

В § 2.2 получена формула регуляризованного первого следа. Теорема 14. Пусть выполняются условия теоремы 12, причем а > 2(5 — 1, тогда имеет место формула следа

00 Е п=0 л/2 1

7Г у/п + 2 + у/п + 1

00 /п 00 / =— /

1 У 7Г У

-00 —00

В последнем параграфе § 2.3 получена формула следа дифференциального оператора 2п-го порядка на конечном отрезке. В Ь2[0,7г] рассмотрим оператор

Ни = Н°и + У и, где = Ьт, Ь— оператор порожденный дифференциальным выражением 1и = —(12/с1х2 и граничными условиями Дирихле и(0) = и (я-) = О, V— оператор умножения на вещественную функцию У{х) 6 Ь2[0,7г]. Если {/¿п}^ — спектр возмущенного оператора Н = Н° + У, то справедлива следующая Теорема 15. Пусть У(х) 6 Ь2[0,7г], тогда ряд

2 *

7г оо Е п=1

2 г

- п2т--J У(х) в!!!2 пхс1х сходится (абсолютно при т > 2 и условно при т = 1) и его сумма равна нулю.

Основные результаты работы опубликованы в [54] - [63].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.- м.н, профессору Муртазину Хайрулле Хабибулловичу за постановку задач и внимание к работе, а также к.ф.- м.н, доценту Ишкину Хабиру Ка-бировичу, д.ф.- м.н, доценту Фазуллину Зигануру Юсуповичу за обсуждение результатов работы и поддержку.

1. Sturm С. Sur les équations différentielles les du seconde ordre// J. Math. Pures Appl. - 1836. - T.l. - P. 106 - 186.

2. Weil H. Uber gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit singulären Stellen und ihre Eigenfunctionen.// Göttinger Nachrichten. 1909.- S. 37-64.

3. Weil H. Uber gewöhnliche Di f f erentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen // Math. Ann. 1910. - S. 220 - 269.

4. Титчмарш Э Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнения второго порядка. В 2 т. М.: ИЛ, 1960. -Т.1. - 276 с.

5. Титчмарш Э Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнения второго порядка. В 2 т. М.: ИЛ, 1961. -Т.2. - 555 с.

6. Titchmarsh Е.С. On the eigenvalues of differential équations// J. London Math. Soc. 1944.- F. 19. - P. 66 - 68.

7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. -М. Л: Гостехиздат, 1951.

8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мат. анализ, 1977. Т. 14. - С.5-58.

9. Carleman Т. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partiellerDifferentialgleichungen. // Ber.Sachs. Acad. Wiss. Leipzig. 1936. - B. 88.-S. 119-132.

10. Avakumovich V.G. Uber die Eigenfunctionen auf geschlossen Riemanschen Mannigfaltigkeiten.// Math.Z.- 1956. B. 65.,- S. 324-344.

11. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка.// Изв. АН. СССР. Серия математическая. 1952.- Т 16. - №1. - С. 325-352.

12. Minakshisumdaram S., Pleijel А. Sorne properties of the Laplace-operator on Riemannian manifolds.// Canad. J. Math. 1949. - V.l. - P. 242256.

13. Розенблюм Г.В., Соломяк M.3., Шубин M.A. Спектральная теория дифференциальных операторов. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. проблемы мат. Фунд. напр. - 1989. - Т. 64. - 248 с.

14. Винокуров В.А., Садовничий В.А Об асимптотике решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме Лиувилля// Дифф.уравнения. 1998. - Т.34. - №8. - С.1137 -1139.

15. Винокуров В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 5- функции// Дифф.уравнения. 2002. - Т.38. - М. - С.735 -751.

16. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля// Мат. сборник. 1979. - Т. 110. - №1. - С. 135 -149.

17. Александрова Е.В. Формула следа гармонического осциллятора с нефинитным возмущением.// Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН 18.01.97, К0- 129-В97, 16 с.

18. Дикий J1.A. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма Лиувилля.// ДАН СССР. - 1957. - Т 116. - М. - С. 12 -14.

19. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тоэ/сдестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // ДАН СССР. 1953.- Т.88. - С. 593-596.

20. Дикий JI.A. Об одной формуле Гелъфанда-Левитана. // УМН. 1953.--Т.54. - т. - С. 119-123.

21. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля.// ДАН СССР. 1963. -Т 151. - №5. - С. 1014-1017.

22. Лидский Б.В., Садовничий В.А. Регуляризоватше суммы корней одного класса целых функций.// Функц. анализ и его приложения. 1967. - Т.1. -т. - С. 52-59.

23. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованныс суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа.// ДАН СССР. -1981.- Т.256. М. - С.764-798.

24. Федорюк М.В. Асимптотичекие методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 544 с.

25. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов.// Функц. анализ и его приложения.- 1986. Т.20. - № 3. - С. 55-65.

26. Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений.// Мат.сб. — 1953.- Т.ЗЗ. № 3. - С. 597-626.

27. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризоваиных следов и о дзета-функции операторов.// Дифф. ур. 1977. - Т.13. - №.7. - С. 1264-1271.

28. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов.// Труды семинара Петровского. 1994. 17. - С. 244-248.

29. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам иесамосо-пряжеппых операторов.I/ Труды ММО. 1962. - Т.Н. - С. 3-35.

30. Любишкин В.А., Козлов Г.В. Регуляризоваиные следы сингулярных дифференциальных операторов.// Вестник МГУ, сер. мат. мех. 1993. - №4. -С. 6-11.

31. Ишкин Х.К. Асимптотика спектра сингулярного дифференциального оператора 2п го порядка.// Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН 21.07.86, № 5296 -В. - 15 с.

32. Фазуллин З.Ю. Формула регуляризованиого следа для возмугцения оператора Лапласа Бельтрами: Тез. докл. Междунар. конф. но компл. анализу и смежным вопросам. - Нижний Новгород, 1997. - С. 80 - 81.

33. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. О формулах следов для неядерных возмущений.// ДАН РАН. 1999. - Т. 368. - № 4. - С. 442 - 444.

34. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора.// Матем.сб. 2001. - Т.192. - № 5. - С. 87 - 124.

35. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Классическая формула регуляризованиого следа многомерного гармонического осциллятора.// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2001. - Вып. 21. - С. 298 - 339.

36. Садовничий В.А Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфереЗ2.// Матем. заметки. 2005. - Т. 778. - № 3. - С. 434 - 448.

37. Фазуллин З.Ю. Относительно компактные возмущения дискретных операторов: Тез. докл. Междунар. конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ"посв. 100 летию ак. С.М. Никольского. - Москва, 2005. - С. 231.

38. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмугцения дискрет,пых операторов и формулы следов.// Мат. сб. 2005. - Т.196. - №12. - С. 123-156.

39. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Формула следа для операторов Штурм-Лиувилля с сингулярными потенциалами.// Матем. заметки. 2001. - Т.69. - ДО 3. С. 427-442.

40. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов.// УМН. 2006. -Т.61. - № 5. С.89-156.

41. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. M.-JI.: Гостехиздат, 1976.

42. Giertz M. On the solutions in L2(-oo, oo) of y" + (A — q{x))y = 0 when q is rapidly increasing // Proc. London Math. Soc. 1964. - V.14. - P.53-73.

43. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. M.: Наука, 1990. -528 с.

44. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.740 с.

45. Лебедев H.H. Специальные функции и их прилолсашя. М.: Физматгиз, 1963. - 358 с.

46. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. - 672 с.

47. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. - 368 с.

48. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. М.: Физматлит, 2001. Т. 1. - 680 с.

49. Амангильдин Т.Г. Регуляризованный след оператора Штурма Лиувил-ля. / / Дифф. уравнения. - 1989. - Т.25. - № 8. - С.1439-1441.

50. Александрова Б.В., Бочкарева О.В., Подольский В.Е. Суммирование регуляризованных следов сингулярного оператора Штурма Лиувилля.// Дифф. уравнения.- 1997. - Т. 33. З.-С. 291 - 295.

51. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. - 500 с.

52. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределенныхинтегралов.- М.: Физматлит, 2003. -200 с.Публикации автора по теме диссертации

53. Ахмерова Э. Ф. Асимптотика спектра оператора Штурма Лиувилля: Тез. докл. Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике. - Уфа, 2000. - 206-207 с.

54. Ахмерова Э. Ф. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с параметром в потенциале.// Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2001. - Т. 1. - С. 8-13.

55. Ахмерова Э. Ф. Асимптотика спектра для негладких возмущений дифференциальных операторов: Тез. докл. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. -Уфа, 2003. С. 18-19.

56. Ахмерова Э. Ф., Муртазин X. X. Спектральная асимптот,ика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов.// ДАН РАН.-2003. Т. 388. - №6. - С. 731-733.

57. Ахмерова Э. Ф. Асимптотика спектра дифференциальных операторов: Тез. докл. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ. -Уфа, 2004. С. 20.

58. Ахмерова Э. Ф. Асимптотика спектра для негладких возмущений дифференциальных операторов 2п— го порядка.// Вестник Башкирского университета. 2005. - С. 28-32.

59. Ахмерова Э. Ф. Формула Гельфанда Левитана для дифференциальных операторов 2п— го порядка с негладким потенциалом: Тез. докл. Труды математического центра имени H.H. Лобачевского. - Казань, 2006.- Т. 34-С. 16-17.