О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004604051

На правах рукописи

Тулькубаев Ринат Закирович

О ФОРМУЛАХ СЛЕДОВ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 ИЮН 2010

Уфа 2010

004604051

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Муртазин Хайрулла Хабибуллович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Подольский Владимир Евгеньевич

Ведущая организация - ГОУ ВПО "Башкирский государственный

педагогический университет им.М.Акмуллы"

Защита состоится 18 июня 2010 года в 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте Математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики

доктор физико-математических наук, профессор Ахтямов Азамат Мухтарович

с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан п ^Я "мая 2010 года.

Ученый секретарь совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля, в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены в работах Г.Вейля в начале XX века. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.

К настоящему времени разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке в работах В.А.Винокурова и В. А.Садовничего получена асимптотика собственных значений и нормированных собственных функций, предполагая лишь суммируемость потенциала на сегменте1, а также потенциала, содержащего ¿-функции2. Х.Х.Муртазином и Э.Ф.Ахмеровой3 получена асимптотика спектра гармонического осцилятора на всей числовой оси, при этом на потенциал накладываются лишь условия суммируемости.

Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица, М.Г. Крейна и И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана.

И. М. Гельфанд и Б.М. Левитан4 для оператора Штурма- Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q{x) получили формулу, названную впоследствии

1 Винокуров В.А., Садовничий В.А. Об асимптотике решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме Лиувилля // Дифференциальные уравнения, 34:8 (1998), 1137-1X39.

2Винокуров В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего & - функции // Дифференциальные уравнения, 38:6 (2002), 735 -751.

3Ахмерова Э.Ф., Муртазин Х.Х. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов Ц Доклада АН, 388:6 (2003), 731 - 733.

4Гелъфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Доклады АН СССР, 88 (1953), 593-596.

формулой Гельфанда-Левитана:

оо

д(0) + д(тг)) 1 -4- 2

-к2 -Со) =

7Г

где со = ^ / 9(а;)с1х. И почти сразу Л. А. Дикий5 показал, что формула о

Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству

Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А. Г. Костюченко в его докторской диссертации (1966).

В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины 60-х годов основным направлением исследований многих математиков стало распространение теории следов иа обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка.

С конца 70-х годов на первый план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений {V fk, fa) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений).

Савчук A.M.6 и независимо Винокуров В.А. и Садовничий В.А.7 получили формулы регуляризованных следов для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащим ¿-функцию. Также в работе Савчука A.M. и Шкаликова A.A.8 получена формула регуляризованного следа для опера-

5 Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля.// Успехи математических наук, 13:3 (1958), 111-143.

вСавчук A.M. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с ¿-потенциалом // Успехи математических наук, 55:6 (2000), 155-156.

7Винокурон В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 6-функции// Доклады РАН, 376:4 (2001), 445-448.

8Савчук A.M., Шкаликов A.A. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами 11 Математические заметки, 69:3 (2001), 427-442.

торов Штурма-Лиувилля на отрезке с сигулярными потеициаломи, не являющимися локально интегрируемыми функциями.

Достаточно полный обзор истории теории следов дан в работе В.А. Садов-ничего и В.Е. Подольского9.

Х.Х. Муртазин и З.Ю. Фазуллии10 предложили метод исследования и доказательства формулы регуляризованных следов для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Эта техника использована в данной диссертации для дифференциальных операторов с коэффициентами имеющих несуммируемые особенности на концах отрезка [0, кг].

Цель работы.

1. Получить асимптотику спектра дифференциальных операторов с коэффициентами имеющих несуммируемые особенности на концах отрезка [0,7г].

2. Получить формулы следов для операторов с такими коэффициентами.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана оригинальная техника изучения асимптотики спектра дифференциальных операторов с коэффициентами имеющих несуммируемые особенности на концах отрезка [0,7г].

2. С помощью этого метода получена асимптотика спектра операторов второго порядка, а также операторов четвертого порядка.

3. На основе изученных асимптотик, получены формулы следов, которые зависят от степени сингулярности коэффициента.

Методика исследования. Методы теории возмущений линейных операторов, комплексного анализа и теории специальных функций математической физики.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы

0Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы, операторов // Успехи математических наук, 61:5 (2006), 89-156.

'"Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Математический сборник, 196:12 (2005), 123-156.

в теории операторов, теории дифференциальных уравнений, квантовой механике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: на Международной научной конференции "Лобачевские чтения - 2006"(Ка-зань); международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2007); региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2007); международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов "(Москва, 2007); международная конференция, посвященная памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); Уфимской международной математической конференции поев, памяти А.Ф.Леонтьева (Уфа, 2007); а также в Башкирском госуниверситете - на научных семинарах под руководством проф. Х.Х. Муртазина; научном семинаре по теории функций Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. В совместных работах [б], |8], Х.Х. Муртазину, В.А. Садовничему принадлежит постановка задачи, основные утверждения доказаны автором диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (каждая глава разбита на параграфы) и списка цитированной литературы, содержащего 47 наименований. Нумерация утверждений и формул - двузначная: первое число означает номер главы, второе - номер утверждения (теоремы, леммы или следствия) или формулы. Общий объем работы -95 страниц.

Краткое содержание работы.

В первой главе изучается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г]

-у"(г)+У(г)у(г) = \у(г), у(0) — у(тг) = 0, (0.1)

где У(г) - измеримая(комплекснозначная) функция, которая не обязательно

суммируема, но удовлетворяет условию: при некотором е 6 [0,1)

rf{TT-rY\V(r)\dr < оо. (0.2)

I"

Jo

I о

Примером потенциала является функция

Vir) = V_^_+_^_+_^_

¿i ^^ - r)Ä г2(\1пгГ + 1) (тг - г)2(|1п(тг - rjp + 1)'

где 0 < ак < 2, 0 < ßk < 2, 1 < шк (в (0.2) при \А0\ + |В0| = 0 е < 1, а при |Л| + |В0| Ф 0 с = 1). В § 1 изучается асимптотика спектра задачи (0.1).

Спектральная задача (0.1) при Л ф п2, тг 6 N эквивалентна интегральному уравнению в банаховом пространстве С[0,7г]

у(г)+ Г Ro(r,t,\)V(t)y(t)dt = О, Jo

где i?o(r, t, А) ядро интегрального оператора i?o(A) = (Щ — А)-1, Но - невозмущенный оператор задачи Дирихле порожденный дифференциальным выражением —d?y(x)/dr2 и нулевыми граничными условиями. Спектр <х(#о) = оператора Но состоит из чисел Хк = к2, соответствующие нормированные собственные функции суть /д.(г) = л/2/я sin кг.

Ядро Яо(г, А) оператора iío(A) имеет вид Ro(r, t, А) = G(r, t, X)+g{r, t, A), где

cos y/\r sin \/Af, t < r

G(r, í, A) — .

vA I sinvAr eosvAí, t>r

g(r, t, A) = — sin yf\r sjn ^fxi

VA

(причем Im\/A > 0 при A £ (0, oo)).

Все дальнейшие построения основаны на проекционном методе, где показано, что в асимптотических формулах для собственных чисел и собственных функций, важную роль играет часть резольвенты невозмущенного оператора

оо

Доп(А) = - Х)-1Рк,

кфп

где Pkh = (h, fk)fk, (v) - скалярное произведение в L2[0,7г]. Имеет место

Лемма 1.2-1.3 Пусть \\ - А„| < Тогда для всех (r,t) € [0,7г] х [0,7г] |Hb»(r,t,A)| < lñon(r,í,A)| < |ÜW(r,í,A)| <

п TI 711 е

Лемма 1.4 Если V{r) принадлежит классу (0.2), то для нормы l№n(A)V|| оператора Ron(X)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение

lim sup ||Яоп(А)Я1 = 0.

Пусть спектр краевой возмущенной задачи (0.1), пронумерованный

в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая

Теорема 1.1 Пусть V(r) комплекснозначная функция и

I г(ж - г) |V(r)| dr < оо. Jo

При n> 1 собственное число fin лежит в круге \z — А„| < При этом цп есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция

Ф„(А) = А„ + (Vfn,fn) - {VRn(X)Vfn, /„), а интегральный оператор Rn(\) определяется из уравнения Rn( А) + Яоп(А)УЯ„(А) = Доп(А).

Теорема 1.3 Пусть выполнено условие (0.2), тогда для всехп 1 справедливо асимптотическое разложение

оо

Мп = А„ + 534п), (0.3)

*=1

где

(П) ~ Чы~ / {z ~ Лл) tr Ло(z)dz'

=

tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.3) —

Ylb=m+i представляется в виде

= f (Z- \п) tr [ВДУТ R(z)VRo(z)dz

ы допускает оценку |/Зш'| < где С- постоянная.

В §2 получена формула следа задачи (0.1).

Ядро Ro(r, t, А) интегрального оператора /?о(А) можно представить в другом виде

До (г, t, А) = Gi(r, t, А) + gi(r, t. А),

где

1 I ехр

sin VXt, t<r &i(r, t, A) = —= < ,

VA [ sinvAr exp(ívAt), t > r

gi(r, t, A) = — (¿n/Атг) i/Xr sin \ÍXt V A sin v Aw

(причем Im\fk > 0 при А ф (0, oo)). Лемма 1.5 При n » 1, t € [0,1], Á„ = (An + An+i)/2, s e R

i . | te( 7г — tY

|ño(r, t, X„ + t«)| < С K J_f)/2,

Á„ + ¿s

где С > 0, С - абсолютная постоянная.

Лемма 1.6 Если V[r) принадлежит классу (0.2), то для нормы ||jfío(z)VJ| оператора Rq(z)V в пространстве С[0, тг] имеем оценку:

||Ло(Ап + г5)у|| <7„|Á„ + is| 2 ,Шп7„ = 0. 9

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 1.4 Пусть в (0.2) 0 < е < 1, а т - минимальное натуральное число, такое, ■что т > (1 4- е)(1 — е)-1. Тогда справедлива формула следов

£

П=1

I1" ~ Хп ~ Ц &к

т

к=1

= 0, (0.4)

где ряд сходится абсолютно, а числа ä^jf* равны

-W

vv ' ■

2тгг

У ztv [Ro{z)V\kR0{z)dz.

Замечание 1.1 Если в (0.2) t = 0, то есть V(r) е L[0, тг], то гп = 2 и формула (0.4) представляется в виде

оо

- Л" - /«) + (VR0n(K)Vfn, /„)] = 0.

n=l

Если же V(r) принадлежит пространству Соболева Wf[Q, 7г] (иначе говоря, V'(r) 6 L2[0,7r]j, то в (0.4) т = 1 и последовательность цп - \п - (V/„,/„) абсолютно суммируема и

00

X>»-Än-(^/»i/»)l = 0,

п-1

откуда вытекает известная формула следов Гельфанда-Левитана. В главе II рассматривается спектральная задача Дирихле на отрезке [0, тг]

и2-1- 1

-у" + —¡^у + Vy(r) = Лу(г), у(0) = 0, у(тг) = 0, (0.5)

7* ¿л

где V- оператор умножения на (вообще говоря, комплекснозначную) функцию из L2[0,7г], удовлетворяющая условию (0.2).

Отметим, что задача (0.5) получается при разделение переменных оператора Лапласа —А + V заданного в круге или на плоскости в шаре радиуса

7г.

Спектр {Л,,}-! невозмущенной задачи (0.5) хорошо известен и определяется из уравнения = 0, а нормированная последовательность соответствующих собственных функций

/п(г) = —^Л(х/Д)г,

тг)

где 3„(г) - функция Бесселя и-го порядка.

Резольвента /?о(А) = (Ьо — А)-1 есть интегральный оператор с ядром До (г, А) - 0(г, А) + <?(г, А), где

п( * n(Y*№r)MVXt), t

2 } Jv(^Xr)Yv(V\t), t

<r t> r

i J„[V A 7r)

где УЦг) - функция Неймана индекса и.

Пользуясь асимптотическими разложеними функций J„(z) и Y„(z), мы получим следующие оценки:

|Доп(г,<,А„)| < |Яоп(г^,А„)| <

п п1 '

где ai = const > 0.

При |А — А„| < и Для вссх (ri t) 6 [0,7г] х [0,7г] справедливы следующие неравенства:

id * \м < 2ai(Tr-i)f

№„(г,<,А)|<-^, |ßo„(r,i,A)|

л1-' ' --- п1-*

Если V(r) принадлежить классу (0.2) , то для нормы ||ßo„(A)F|| оператора Ло„(А)V в пространстве С[0.7г] имеет место соотношение

lim sup ||ßon(A)F|| =0.

"-""lA-A.ISäÄr

Пусть спектр задачи (0.5), пронумерованный в порядке роста моду-

лей и с учетом алгебраических кратностей. Для данной задачи справедливы следующие теоремы

Теорема 2.1 Пусть У(г) комплекснозначная функция и г(я" — г)У{г) € Ц0,7г]. При п 1 собственное число цп лежит в круге \г — А„| < При этом цп есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция

Ф»(А) = + /„) - (УЯв(А)У/„>/п),

а интегральный оператор 11п(А) определяется из уравнения Я„(А) + Д0п(А)КДгг(А) = Лоп(А).

Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (0.2) , тогда для всехп 1 справедлива асимптотическое разложение

(0.6)

*=1

где

(-1)

Ы-1

*к 2т

(г - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.6) (3$ = представляется в виде

4П) =

(-1Г+1 2т

£ (г- А„) Ъг [Яо(х)У)т Л(г)У^(г)сгг

»1

и допускает оценку | < Спт{}_,у., где С > 0 - постоянная.

Основным результатом параграфа § 4 является следующая теорема о следе для задачи (0.5).

Теорема 2.3 Пусть в (0.2) 0 < е < 1, а т - минимальное натуральное число, такое, что т > (1 + е)(1 — е)-1. Тогда справедлива формула следов

£

П—1

Дп- Ап-^С5'

где ряд сходится абсолютно, а числа ак равны

к=1

= 0,

а,

к+1

2тгг

В третьей главе изучается спектральная задача Дирихле четвертого порядка на отрезке [0, тг]

y{IV)(r) + V(r)y{r) = Ay (г), (0.7)

2/(0) = у( тг) = у'(0) = у'( тг) = 0, (0.8)

где

V{r)y{r) = P2{r)y"{r) + pi(r)y'(r) + po{r)y{r), (0.9)

комплексиозначные функции р,(г)(г = 0,1,2) удовлетворяют условиям: при некотором е € [0,1)

/ гс(тг — г)е |рг(г)| dr < оо, (0.10)

J о

Гг,+1(7Г - r),+l |pi(r)|ár < 00, (0.11) Jo

Г г1+2(тг - r)t+2 |p0(r)| dr < 00,. (0.12) Ja

Спектр задачи = v^y(r) с краевыми условиями (0.8) определяется

из уравнения eos í/тг ch i/7r = 1, и

Uk = k+- + — exp(—(A; + 1/2)тг) + O (ехр(-2кл)), к > 1. 2 7г

Пусть Но - невозмущенный оператор задачи Дирихле порожденный дифференциальным выражением ^ffl и граничными условиями (0.8). Через {//t}£Li обозначим ортонормированные собственные функции оператора Нц, и

¡к(г) = Л* (cos vkr - sin vkr - exp(-t/fcr) -I- Bk (sh vkr - sin vkr)},

где

Л 1 Л 4-K-l)fc9exp(-^7r) [ ехр(-2^7г)Л k у/тг V 4тг vk Vk J '

13

Вк = 2(-1)к ехрС-^тг) + 0(ехр(-2цыг)).

Пусть Ло(г, г, Л) ядро оператора 7?о(Л) = (Я0 - А)-1, А = /Л Лемма 3.1 Ядро йо(г, А) резольвенты До(А) имеет вид

где

С(г,1, А) =

Ло(г,»1А) = С(г,«,А)+в(г,«,А),

1 Г ехр(гьт) эт1/£ — ехр(—1/г)зЬ|4, £■ < '

2"3 | вт иг ехр(г^) -эЬьт ехр(-1/4), 4 > г

, . БЬ/УГ . . вни/г .. .

+ г/)(соз1/г — сЬ иг) + «^(¿.^(втг/г — вЬг/г),

г<9е

<¿1 (4,1/) = -[(8'п ь^ — я-) — 8Ь 1/(4 - 7г))(эт 1/7г + вЬ 1/7г) -

—(сое у(Ь — 7г) — сЬ 1/(1 — 7г))(соз иж - сЬ г/7г)],

= — з . [(вт — 7г) — бЬ 1/(4 — 1г))(соэ ь-тг — сЬ ь>тг)4-

4(/3Ф(ь/)

+(соэ — 7г) — сЬ;/(£ — 7г))(8т — эЬ итт)],

Ф(!/) = 1 — СОБЬЁТ сЬ1/7Г.

Лемма 3.2 Для любого е 6 [0,1) справедливы следующие оценки(а,2 сопвЬ>0):

а2г2(тг - г)Не(тг - ЬУ

|йоп(г,4,Ап)|<

<

02Г(7Т — Г)Ь'(тг —

сР

-¡-^ До„(г, Ап)

< а2?{тг - ЬУ п1^

Имеют место следующие утверждения

Лемма 3.3-3.4 Пусть |А - Ап| < Тогда для всех (г, £) € [0,7г] х [0, тг] справедливы следующие неравенства:

1Лоп(Ш,А)1 < Ц, |До„М,А)| < а27"2(7Г~г)2, пЛ п

Введем пространство В[0,7г], состоящий из дважды непрерывных дифференцируемых на отрезке [0, тг] функций, таких, что /(г) и /'(г) обращаются в нуль в точках 0 и 7Г. Норму в этом пространстве определим равенством:

0<г<тг \Г^(7Г - ГУ Г(ТГ - Г) }

Лемма 3.5 Если У(г) принадлежишь классу (0.9), то для нормы

п3 2яа2

||Доп(А)У|| оператора 7?оп(А)У в пространстве В[0,7г] при |А —Ап| <

имеет место неравенство

ЦЯоп(Л)УЦ < ¿7-

Пусть {мп}^ спектр задачи (0.7)-(0.8), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (0.10)-(0.12), тогда для всехп 1 справедливо асимптотическое разложение

оо

^ = А„ + £4п), (0.13)

где

4в) = £ {г- А„) «а: [Щг)У\к

¡г-К'" °3

2-ПЛ2

1;г - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.13) «к0 представляется в виде

м _ (-1Г*1

0{п)

!Г1

2т

£ {г- Л„) 1г [йо(2)У]т П{г)У110{г)йг

и допускает оценку < п(п>+1^1-.)-з» г<^е С" постоянная.

Ядро НоЛ) интегрального оператора До (А) можно представить в другом виде

До(г,«,А) = С?(Г,<1Л) + 5(Г1«,А), этиг ехр(иЛ) — япиг схр(-гЛ), I > г

д(г, {, А) = иг — бЬ иг) + ^(соэ иг — сЬ иг) —

вЬи/Г,

где

(—<3(я-, 4, А) + 1г-о + 8Ь

+(_2!--(. т-сЬг/7г)(созг/7г-сЪиж)

'2Ф0

ш2{и и) =

2Ф {и)

(-С(тгДА) +

¿С(г,С,А) |г=0

^ ¿г" V ' "> 1Г=;'Г л_ ¿г

эЬ ^7г)(соз итт — сЬ итт) —

Лемма 3.6 Пусть А„ = (А„ + А„+х)/2, в 6 К. Тогда при п » 1 и е € [0,1)

С

До^.^Ап + гв) <

А„ + ¿5

¡3/4'

|ilo(r,i,Ä„ + is)|

<

Сг2(тг - г)Че{7Г - ty

An + is

i (1-0/4

—Ло(г, t, An + is)

ar

Cr{ix - r)ie(7r - i)£

Än + zs

1(1-0/4 '

dr2

7?o(r, t, A„ + is)

<

Cif(7T - ty

A„ + ¿5

(1-0/4'

где С > 0, С - абсолютная постоянная.

Лемма 3.7 Если У(г) принадлежит классу (0.9), то для нормы ||До(г)У|| оператора имеем оценку:

7п

||Яо(А„ + г5)у||

<

А„ + is

1(1-0/4'

где {7„} - положительная последовательность, такая, что lim 7„ = 0.

п—юо

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 3.2 Пусть в (0.10)-(0.12) 0 < е < 1, а т - минимальное натуральное число, такое, чтот > (4 + е)(1 — Тогда справедлива формула следов

£

ßn ~ Ап — У '

аг.

*=1

йс?е рл<9 сходится абсолютно, а числа равны

= 0,

«М = blL

<t+i

Благодарности.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Муртазина Хайруллу Хабибулловича за постановку задачи, постоянное внимание к работе и поддержку, а также сотрудников кафедры математического анализа.

Список литературы

[1| Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектра и формула следа для одного оператора./ / Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Том 34. Казань, с. 206-207.

[2] Тулькубаев Р.З. Асимптотика собственных чисел уравнения Бесселя на конечном отрезке// Материалы XLV международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск. 2007. с. 4849.

[3] Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектра и формула следа оператора второго порядка с несуммируемым коэффициентом// Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» [Электронный ресурс] — М.: Издательский центр Факультета журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. www.lomonosov — msu.ru/archive/Lomonosov_2007/13.htm.

[4] Тулькубаев Р.З. Асимптотика собственных значений и формула следа для оператора Штурма-Лиувилля// Международная конференция, посвященная памяти И.Г.Петровского: тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ. 2007. с. 321.

[5] Тулькубаев Р.З. Асимптотика собственных чисел и собственных функций уравнения Бесселя на конечном отрезке// Уфимская международная математическая конференция поев, памяти А.Ф.Леонтьева. Сборник материалов. Т.З. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2007. с.9-10.

[6] Муртазин Х.Х., Садовничий В.А., Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами// Доклады АН, 416:6(2007), 740-744.

[7] Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектра и формула следа оператора второго порядка с несуммируемым коэффициентом// VII Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. 2007, Уфа. с. 31.

[8] Муртазин Х.Х., Садовничий В.А., Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами// Дифференциальные уравнения, 44:12(2008), 1628-1637.

Тулькубаев Ринат Закирович

О ФОРМУЛАХ СЛЕДОВ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР N9 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 17.05.2010 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,09. Уч.-изд. л. 1,20. Тираж 100 экз. Заказ 354.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

0 Введение

1 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами

1.1 Асимптотика спектра и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка.

1.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами.

2 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя

2.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения Бесселя.

2.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя.

3 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка

3.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения четвертого порядка.

3.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка.

В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи.

Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.

Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта.

Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Наймарка [23].

Теоретико-операторныо методы rio-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13].

Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.

К настоящему времени • разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных значений в случае негладких потенциалов [3], [4] и даже для потенциалов, содержащих ^-функцию [5].

Теория следов линейных операторов берет свое начало с инвариантности матричного следа линейного оператора В и совпадение его со спектральным следом в конечномерном пространстве n n n k=l к=1 к=1 где {Afc} - собственные числа оператора В, а {Фк}^=и {фк}^i ~ Два произвольных базиса пространства.

Этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом - иначе называемых ядерными, а именно, доказано утверждение (см. [11]), если В - ядерный оператор, то для любой пары {'/'fcjfcLi ортонормированных базисов справедливо оо оо

Wfc, фк) = Ы- (0-2) к=1 к=1

Доказано равенство, известное как теорема В.Б. Лидского ( [12], [16]), оо оо к=1 к=1 где fik ~ собственные числа оператора В.

Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.

Дальнейшее развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой [19], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.

Так как для неядерных операторов В ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно возникает следующая постановка задача: указать класс операторов и соответствующую пару базисов {(j>k}kLi, {v^fclbU таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение оо

Г [{Вфк, фк) - (В<рк, <рк)} = 0. (0.4) fc=i

Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется из спектральной подстановки (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {<pk}^=i оператора В. Для подбора второго базиса оператор В представляется в виде суммы В = V, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору В$\ и второй базис строится из собственных векторов {фк}%Li оператора В0. Тогда формула (0.4) приобретает следующий вид оо оо [ Ф*) - = J2 к(Яо + у)фк, фк) - ((Btpk, <рк)] = к=1 к=1

00

0, (0.5) к=1 где Л к ~ собственные числа оператора Bq, ~ собственные числа оператора В.

Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица [19], М.Г. Крейна [11] и И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [8].

И. М. Гельфанд и Б.М. Левитан [8] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q(x) получили формулу, названную впоследствии формулой Гелъфанда-Левитана: где со = - f g(x)dx. И почти сразу Л.А. Дикий в работе [9] показал, п о что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству т.е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана член (Уфк,фк) в формуле (0.5), который есть для оператора Штурма-Лиувилля самим методом - разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях - был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.

Такой подход, при котором член (Уфк,фк) разбивается на расходящуюся часть, которая выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Во, а сходящая часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути открывается связь теории следов с теорией дзета - функций операторов.

7Г

7Г о

И.М. Гельфанд [7] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил формулы регуляризованных следов высших порядков: оо

J2(A~Ak(n))=B(k), п=1 где Ak(n) - расходящаяся часть разложения по степеням собственных чисел Ап, В (к) - сумма сходящейся части разложения которая в конечном виде выражается через q(x) и ее производные.

В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [40], [41], [42]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора В0 с ядерной резольвентой ряды оо оо к=1 к=1 сходятся, доказали равенство

00 оо к~1 к=1 Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А.Г. Костюченко в его докторской диссертации [10].

В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины

60-х годов основным направлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В.А. Садовничим [28], [29], [30], [31]; особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функций в исследовании дзета-функции оператора в работах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [17], [18]. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и Ю. Беллабасси [35], [36].

С конца 70-х годов на первый план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений /&) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [33], [34].

Принципиальным прорывом в теории следов является метод исследования и доказательства регуляризованного следа для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, предложенный Х.Х. Муртазином и З.Ю. Фазуллином в статье [22]. Этими авторами доказаны формулы регуляризованных следов с вычитаниями одной поправки теории возмущений при более слабых, "близких" к необходимых, условиях на функцию распределения спектра невозмущенного оператора в зависимости от возмущения, чем во всех известных ранее результатах. В работе [39] предложена методика исследования формул следов для операторов в частных производных. Данный метод используется в диссертации.

Для оператора Штурма-Лиувилля значительным продвижением в этом направлении следует отметить результаты работ [26], [6] и [27]. Савчук A.M. [26] и независимо Винокуров В.А. и Садовничий В.А. [6] получили формулы регуляризованных следов для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащим J-функ-цию. Также в работе Савчука A.M. и Шкаликова А.А. [27] получена формула регуляризованного следа для операторов Штурма-Лиувилля на отрезке с сигулярными потенциаломи, не являющимися локально интегрируемыми функциями. Достаточно полный обзор истории теории следов дан в [37], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В первой главе изучается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г]

-у" {г) + V{r)y(r) = А у(г), 2/(0) = у(тт) = 0, (0.6) где V(r) - измеримая(комплекснозначная) функция, которая не обязательно суммируема, но удовлетворяет условию: при некотором е € [0,1] r£(ir-rY\V{r)\dr < оо. (0.7)

J о

Примером потенциала является функция

N Лк , Л0 Вс ^ гак(.п - гУк + г2(\\пг\Ш1 + 1) + (тг-г)2(|1п(тг-г)Г2 + 1)' где 0 < ак < 2, 0 < (Зк < 2, 1 < ик (в (0.7) при \А0\ + \В0\ = 0 £ < 1, а при |Л0| + \В0\ ф 0 £ = 1).

Исследованию задачи (0.6), в случае регулярных коэффициентов, посвящено много работ [15] и в цитированных выше работах. Отметим, что в работах [3]-[4] с помощью довольно тонкого анализа системы первого порядка, к которой сводится уравнение Штурма-Лиувилля, исследована асимптотика спектра и соответствующих собственных функций краевых задач с суммируемым потенциалом.

В § 1 изучается асимптотика спектра задачи (0.6).

Спектральная задача (0.6) при Л ф n2, п G N эквивалентна интегральному уравнению в банаховом пространстве С[0,7г] y(r)+ [ RQ(r,t,X)V(t)y{t)dt = 0, J о где RQ(r,t,\) ядро интегрального оператора Rq(X) = (Hq — Л)-1, Н0 - невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением —d?y(x)/dr2 и нулевыми граничными условиями. Спектр ) = оператора

Щ состоит из чисел Хк = /г2, соответствующие нормированные собственные функции суть fk(r) = \/2/и sin кг.

Ядро Ro(r: t, Л) оператора Rq(X) имеет вид Rq(t, t, Л) = G(r, t, Л) -f g(r,t,\), где

1 cos л/\г sin y/Xt, t < r C?(r,f,A) = -= 1 " ,

V a I sin V Ar cos V At, t > r g(r, t, А) = — !lJL!L sin y/\r sjn y/~\t v A причем Im\/A > 0 при Л ф (О, оо)).

Все дальнейшие построения основаны на проекционном методе, где показано, что в асимптотических формулах для собственных чисел и собственных функций, важную роль играет часть резольвенты невозмущенного оператора Ron(Л) = Ylk^n^k — A)1Pfc, где Рф = (h, fk)fk> (•> •) - скалярное произведение в Ь2[0,7г]. Имеет место

Лемма 1.2-1.3 Пусть |А — Ап| < Тогда для всех (r,t) €

О, тг] х [0, тг]

Доп(М,А)| < ^ \Ron(r,t, А)| < |i«r,t, А)| <

7Ъ 7Ъ ТЪ

Лемма 1.4 Если V(r) принадлежит классу (0.7), то для нормы ||-йоп(А)У|| оператора Ron(X)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение lim sup ||#on(A)V|| = 0.

Пусть {finl^Li - спектр краевой возмущенной задачи (0.6), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая

Теорема 1.1 Пусть V(r) комплекснозначная функция и г(-7Г — г) |V(r)| dr < оо.

J о

При п 1 собственное число /in лежит в круге \z — Ап| < При этом цп есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция

Фп(А) = An + (Vfn, fn) - (VRn(X)Vfn, fn), а интегральный оператор Rn(X) определяется из уравнения Rn(А) + Л0п(Л)^Яп(А) = Л0в(А).

Теорема 1.3 Пусть выполнено условие (0.7), тогда для всех п 1 справедливо асимптотическое разложение + (0.8) k=1 где

4П) - / (* - An) tr [Ro(z)Vlk Ro(z)dz, tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.8) (3{ш] =

Lm+1 представляется в виде = У (z- А„) tr [Mz)V]m R(z)VRo(z)dz к-АпНг^ и допускает оценку fiffl < m{fit)e, где С- постоянная, не зависящая от п.

Следствие 1.1 Если в (0.7) е < 1, и число т удовлетворяет условию т > (1 + £)(1 — £)-1. Тогда справедливо представление т, где £ ffl < оо. п) о к=1 п

В частности, если в (0.7) £ = 0, то есть V(r) 6 L[0,7r], то имеем

Vn = K + (Vfn, fn) - (W*on(An)V7n, fn) + 0(n~2).

В § 2 получена формула следа задачи (0.6).

Ядро До(г, t, А) интегрального оператора Ro(X) можно представить в другом виде о {г, t, А) = Gx{r, t, Л) + pi (г, t, Л), где

Gi(r,i,A) =

1 I ехр (гл/Аг) sin VA I sin лДг л. ехр (гл/А-я-) . /г . /г,

7i (г, t, А) = —у=--=г- sin V А г sin V A t

V A sin V А7Г причем Imy/X > 0 при А ^ (0, оо)).

Лемма 1.5 При n > 1, £ £ [0,1], An = (An + An+i)/2; s Е R t£(-K -1)£

Яо(г,£, An + «s) C

An + is l-£)/2' где С > 0, С - абсолютная постоянная.

Лемма 1.6 Если V(r) принадлежит классу (0.7), то для нормы ||i?o(<z)V|| оператора Rq(z)V в пространстве С[0,7г] имеем оценку:

Ro(\n + is)V 7п п + is

1-е 2 lim 7n = 0. n—»00

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 1.4 Пусть б (0.7) 0 < s < 1, am- минимальное натуральное число, такое, чтот > (1+£)(1—е)-1. Тогда справедлива формула следов оо £

П=1

Рп- ЛП - £ Щ. т к=1 0, (0.9) где ряд сходится абсолютно, а числа а^ равны

4П) = f ztr [Bo{z)V\k Mz)dz. z-An|=

27raQ

Замечание 1.1 Если в (0.7) £ = 0, то есть V(r) G L[0,7г]; то т — 2 и формула (0.9) представляется в виде оо

Y, - An - (V/„, /„) + {VBvn{\n)Vfni /„)] = 0. n=l

Если же V(r) принадлежит пространству Соболева И^2[0,7г] (иначе говоря, V'{r) е -Z>2[0,то в (0.9) т = 1 и последовательность

Ап — (У/п, /п) абсолютно суммируема и 00

J2&n-\n-(VfnJn)}= О, п=1 откуда вытекает известная формула следов Гельфанда-Левитана.

В главе II рассматривается спектральная задача Дирихле на отрезке [0, -к] z/2 1

-У" + —р^у + Vy(r) = Ау(г), I/ > -, у(0) = 0, у(тг) = 0, (0.10) где V- оператор умножения на (вообще говоря, комплекснозначную) функцию из Ь2[0,7г], удовлетворяющая условию (0.7).

Отметим, что задача (0.10) получается при разделение переменных оператора Лапласа — A+V заданного в шаре или на плоскости в круге радиуса 7г.

Спектр {Ап}^=1 невозмущенной задачи (0.10) хорошо известен и определяется из уравнения <Л,(\/А^7г) = 0, а нормированная последовательность соответствующих собственных функций имеет вид г) = /L y/fJv(VА) г, xJlWK 71") где Jv{z) - функция Бесселя и-го порядка.

Резольвента Ro(X) = (Lq — А)-1 есть интегральный оператор с ядром До (г, t, А) = G(r, t, А) + g(r, t, А), где тс Y„(V\ г) J„(y/Xt), t<r

G(r,t,X) = ~Vrt<

2 [ Jv(V\r)Yv(VXt), t >r g(r,t,\) = l^^^Vx^ViMVxti

4 Ju[y Л7Г) где Yv(z) - функция Неймана индекса v.

Пользуясь асимптотическими разложениями функций Jv{z) и Y^z), мы получим следующие оценки:

ЯопМ, An)| < \R0n(r,t,Xn)\ < п nl £ где ao = const > 0, (далее, все a^ = const > 0, i — 1,2,3 .).

При |A — An| < и для всех (r, t) G [0,7г] x [0,7г] справедливы следующие неравенства:

2a0t£ |D ^ + 2a0(ir-t)£

П1 С. с.п1е

Если V(r) принадлежит классу (0.7) , то для нормы ||Доп(А)У|| оператора Ron(\)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение

Пусть спектр задачи (0.10), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Для данной задачи справедливы следующие теоремы

Теорема 2.1 Пусть V(r) комплекс-позначная функция и г{-к — r)V(r) £ L[0,7г]. При n » 1 собственное число ^in лежит в круге \z — Ап| < При этом есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция

Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (0.7) , тогда для всех п 1 справедлива асимптотическое разложение lim sup ||Яоп(А)У|| = 0. —оо |ААп,< «

Ф»(А) = An + (Vfn, fn) - (VRn(\)Vfn, fn) а интегральный оператор Rn{А) определяется из уравнения

Rn( А) + RonWVRniX) = Доп(А).

00

0.11)

Jfe=l где tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.11) 0, п) т

Ylh=m+1представляется в виде (-l)m+1

2т j> {z- Хп) tr [Ro{z)V]m R{z)VRo{z)(k

2ffOo Д n) m

С > 0 - постоянная, не и допускает оценку зависящая от п.

Основным результатом параграфа § 4 является следующая теорема о следе для задачи (0.10).

Теорема 2.3 Пусть в (0.7) 0 < е < \, am- минимальное натуральное число, такое, чтот > (1+£)(1—£)-1. Тогда справедлива формула следов

00 п=1 т

Ц>п~ Ап — ^ al"> 0, где ряд сходится абсолютно, а числа а^ равны (-1) fc+i к =

27гг ztr г-А„|=

27toq

В третьей главе изучается спектральная задача Дирихле четвертого порядка на отрезке [0,7г] у(Л0(г) + у у (г) = Ay (г),

0.12) у(0) = у(тг) = у'(0) = у'{ тг) = 0,

0.13) где у(г) = p2(r)y"(r) + Pi{r)y'{r) + p0(r)y{r), (0.14) комплекснозначные функции Pi{r)(i — 0,1,2) удовлетворяют условиям: при некотором е Е [0,1) re(ir-r)e\p2(r)\dr < оо, (0.15)

J о ге+1(7Г - r)E+1 |pi(r)| dr < ОО, (0.16)

Jo I ге+2(тг - r)£+2 \p0(r)\dr < оо,. (0.17) 0

Спектр задачи y^IV\r) — vAy{r) с краевыми условиями (0.13) определяется из уравнения cos и-к ch vk = 1, и ик = к + \ + ак, ак = ехр(—(АГ+ 1/2)тг) + О (ехр(-2Ьг)), к > 1.

Пусть Но - невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением d ffl и граничными условиями (0.13). Через {fk}kLi обозначим ортонормированные собственные функции оператора Hq, и fk(r) = Ак {cos щг - sin vkr - ехр(~ukr) + Вк (sh vkr - sin vkr)} , где

Ak = — (l~ 4+(-1)*9ехр(-^тг) + Q ехр(-2^тг)Л лМ 4?r vk Vk /'

Bk = 2(-l)A:exp(-i/fc7r) + 0(ex р(-2^7г)).

Пусть Ro(r,t, Л) ядро оператора .Ro(A) = (#о — А)-1, А = И. Лемма 3.1 Ядро Ro(r:t:X) резольвенты Ro(X) имеет вид

Ro(r,t,X) = G(r, t, A) + g(r, t, A), где

G(r,t, А)

1 I exp(iur) smut — exp(—ur) shut, t<r

2i/3 sin ur exp(iut) — sh*/r exp(—ut), t > r a , . sh ur . . sini/r . g(r,t, A) = "2^3- exp(—1/£) - —exp(ti/i)+ uj\{t, i/)(cos 1/1— ch i/r) + u^i, ^)(sin ur — sh ur), где

4г/3Ф(1/) sin u{t — 7г) — sh i/(i — 7r))(sin + sh uir)— —(cos u(t — 7г) — chi/(£ — it))(cos uir — chuir)], a;2(t, u)

4и3Ф(и) sini/(i — ir) — shz/(£ — 7r)) (cos uir — ch.uir)+ +(cos u(t — ir) — chu(t — 7r))(sinuir — shuir)],

Ф(^) = 1 — cos итт ch U7T.

Лемма 3.2 Для любого е € [0,1) справедливы следующие оценки: а0г2(тг - r)2te(ir - t)£

Ron(r,t, А„)| < п

1-е d dr

Rqn(r, t, \n) aor(n — r)te(ir — t)£ n

1-е dr2

Ron{r,t, An) a0t£(ir -1)( n

1-е

Имеют место следующие утверждения

Лемма 3.3-3.4 Пусть |А — А„| < Тогда для всех (r,t) G

0,7г] х [0,7г] справедливы следующие неравенства:

Ron{r,t, А)| < Ц, |Доп(г,*,А)| < ^

Лоп(г,«,А)| < аог2(7Г — r)2t а0г2( 7г — г)2(7г — £) е

Введем пространство 5[0,7г], состоящий из дважды непрерывных дифференцируемых на отрезке [0,7г] функций /(г), таких, что /(г) и /'(г) обращаются в нуль в точках 0 и 7г. Норму в этом пространстве определим равенством:

Демма 3.5 Если V(r) принадлежишь классу (О.Ц), то для нормы ||JRon(A)V|| оператора Ron(\)V в пространстве В[0,7г] при |А — Ап| < п3 имеет место неравенство

Пусть {fin}n=i ~ спектр задачи (0.12)-(0.13), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (0.15)-(0.17), тогда для всех 1 справедливо асимптотическое разложение

И/МИ = |/»|)

Ron(X)V\\ < ~ т) 1 с.

ОО

0.18) где (-1) fc+1 ak =

2m f (z — An) tr [Rt{z)V]k Ro{z)dz, tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.18) = YlT=m+1 представляется в виде

-l)m+1 2т

У (z- Хп) tr [Ro(z)V]m R(z)VRo(z)dz z-\„

2na0 A n(m+i)(i-£)-3, где С- постоянная, не и допускает оценку ^т зависящая от п.

Ядро Ro(r, t, Л) интегрального оператора Rq(X) можно представить в другом виде

Ro(r,t,X) = G(r,t,X) + g(r,t,X),

I ехр(гг/г) sin i/t — exp(—vr) shut, t<r где G(r, t, A) = 2^3 <

I sin it exp(ivt) — shi/r exp(—i>t), t > r a g(r,t. A) = uJi(t, г/)(sin г/г — sh vr) +u>2(t, v)(cosvr — ch vr) — iG(r, t, A) |r=o v sh i/г, где i/) =

2Ф(и) г/ sh vir) (sin z/7r -f- sh г/7г)+ fg(r,t,A)|r=7r + jG(r,t,X) ^ v v ch vir) (cos г/7Г — ch vtt)

W2(t, v) =

2Ф(и) г/ sh 1/7г) (cos 1/7г — ch viг) — и и ch v 7г) (sin г/7г — sh i/7r)

Лемма 3.6 Пусть Xn — (An -I- An+i)/2, s e R. Тогда при n 1 и e [o, l) С

Яо(г, t, Xn + is)

An -f- zs

3/4' s

Яо(г, An + is)

Cr2(7T-r)2^(7r-t)£

An + is l-e)/4 ' dr

Ro(r,t, Xn + is)

Cr{iг - r)if(7r - ty

Xn + is l-e)/4

До(г, t, Xn + is)

Cte{ir - ty

Xn + is

1-0/4' где С > О, С - абсолютная постоянная.

Лемма 3.7 Если V(r) принадлежит классу (О.Ц), то для нормы Ц-йо^УЦ оператора Rq(z)V имеем оценку:

Ro(Xn + is)V

In

Хп + is

1-е)/4> где {7n} - положительная последовательность, такая, что lim 7„ = 0. п—>00

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 3.2 Пусть в (0.15)-(0.17) 0 < £ < 1, am - минимальное натуральное число, такое, чтот > (3+£:)(1—е)-1. Тогда справедлива формула следов п=1

Vn а к=1 0, где ряд сходится абсолютно, а числа ocjf* равны а (-1) it+i

2ттг

1. Ахмерова Э.Ф., Муртазин Х.Х. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов // Доклады АН, 388:6 (2003), 731 - 733.

2. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М. : ИЛ. 1949.

3. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Об асимптотике решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме Лиувилля // Дифференциальные уравнения, 34:8 (1998), 1137-1139.

4. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения, 34:10 (1998), 1423-1426.

5. Винокуров В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 6 функции // Дифференциальные уравнения, 38:6 (2002), 735 -751.

6. Винокуров В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 5-функции // Доклады РАН, 376:4 (2001), 445-448.

7. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // Успехи математических наук, 11:1 (1956), 191-198.

8. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 88 (1953), 593-596.

9. Дикий Л.А. Об одной формуле Гелъфанда-Левитана. // Успехи математических наук, 8:2 (1953), 119-123.

10. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов: Дисс. .д-ра физ.-мат. наук // М. 1966.

11. Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений. // Математический сборник, 33:3 (1953), 597-626.

12. Гохберг И.Ц. Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

13. Курант и Гильберт (R. Courant, D. Hilbert) Методы математической физики, т. I и II, Гостехиздат, 1951.

14. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. Гостехиздат, 1950.

15. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

16. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след. // ДАН СССР, 125:3 (1959), 485-488.

17. Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения, 1:2 (1967), 52-59.

18. Лидский В.В., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций. // Математический сборник, 1968. Т. 75(117). №4. С. 558-566.

19. Лифшиц И.М.Об одной задачи теории возмущений, связанной с квантовой статистикой. // Успехи математических наук, 7 (1952), 173-180.

20. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А., Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами // Доклады АН, 416:6 (2007), 740-744.

21. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А., Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 44:12 (2008), 1628-1637.

22. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Математический сборник, 196:12 (2005), 123-156.

23. Наймарк М. А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка на полуоси // Труды Московского математического об-ва, 3 (1954), 181—270.

24. Рапопорт И. М. О сингулярной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР, 79 (1951), 21-24.

25. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фунд. напр., 64 (1989), 248 с.

26. Савчук A.M. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с S-потенциалом // Успехи математических наук, 55:6 (2000), 155-156.

27. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / / Математические заметки, 69:3 (2001), 427-442.

28. Садовничий В.А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. // Дифференциальные уравнения, 2:12 (1966), 1611-1624.

29. Садовничий В.А. О следах дифференциальных операторов высших порядков. II Математический сборник, 72:2 (1967), 293317.

30. Садовничий В.А. Формулы следов для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. / / Математические заметки, 1:2 (1967), 179-188.

31. Садовничий В.А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка. // Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика, 3 (1967), 37-47.

32. Садовничий В.А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Соотношения для нулей функции Бесселя. // Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика, 3 (1971), 77-86.

33. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов. // Дифференциальные уравнения, 13:7 (1977), 1264-1271.

34. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных. // Дифференциальные уравнения, 13:11 (1977), 2033-2042.

35. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа. // Доклады АН СССР, 256:4 (1981), 794-798.

36. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белаббаси Ю. О нулях целых функций одного класса. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 8(1982), 211-217.

37. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи математических наук, 61:5 (2006), 89-156.

38. Титчмарш Е.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. ИЛ, т. I, 1960; т. II, 1961.

39. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора. // Математический сборник, 192:5 (2001), 87-124.

40. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for a perturbed operator. // Duke Math. J. 1963. V. 30. №2. P. 275-286.

41. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for powers of Sturm-Liuoville operator. // Canad. J. Math. 1964. V. 16. №4. P. 412-422.

42. Halberg C.J.A., Kramer V.A. A generalization of the trace concept. /1 Duke Math. J. 1960. V. 27. №4. P. 607-628.

43. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. d Physik, Folge IV 79(1926), P. 361-376.

44. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. d. Physik, Folge IV 79(1926), P. 489-527.

45. Sturm C. Memoire sur les equations differentielles lineaires du second ordre J. Math. Pures Appl. 1836. - T.l. - P. 106 - 186.

46. Weil H. Uber gewdhnliche Differentialgleichungen mit Singuldritaten und die zugekorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen. // Math. Ann. 68 (1910), 220 269.I7.Ь