Спектральные асимптотики и регуляризованные следы некоторых дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1.

Глава 2.

Глава 3.

Многие задачи гидродинамики, квантовой механики и квантовой химии требуют детального изучения спектра, базисных свойств собственных функций и других спектральных характеристик дифференциальных операторов. Важной спектральной характеристикой являются формулы регуляризованных следов, приобретающие в последнее время все большее значение в связи с их применением в приближенном вычислении первых собственных значений оператора.

Основы спектрального анализа дифференциальных операторов были заложены Штурмом и Лиувиллем при изучении уравнения

-у" + ц{х)у = \у.

Функцию д(х) обычно называют потенциалом, а А Е С — спектральным параметром. Идеи и методы, используемые при исследовании уравнения Штурма-Лиувилля, находят применение в общей спектральной теории дифференциальных операторов.

Хорошо известны асимптотические разложения решений уравнения Штурма-Лиувилля по спектральному параметру Л при Л — оо. С помощью этих разложений получена асимптотика больших собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Асимптотические ряды для решений, как правило, расходятся. Так. из результатов А. 0. Кравицкого и В. Б. Лидского [1] следует, что ее- « ли (¡(х) - — хп\ т £ N. то асимптотические ряды для решений уравнения Штурма-Лиувилля расходятся при всех А, отличных от нуля. Описание класса потенциалов, для которых асимптотические ряды сходятся, до сих пор не получено, имеются лишь отдельные примеры потенциалов, при которых такая сходимость имеет место. Однако и расходящиеся асимптотические ряды можно использовать для приближения решений при заданном значении А.

Первая глава диссертации посвящена обоснованию метода приближения решений уравнения Штурма-Лиувилля асимптотическими рядами. Основные результаты первой главы заключаются 13 следующем. Пусть на отрезке —а < х < а, а > 0, задано диффс-ренциальное уравнение

-у" - я(х)'У = А > О, с потенциалом д(х), аналитическим в 0(р, [—а, а]) — ^-окрестности отрезка [—а, а], состоящей из всех точек, расстояние от которых до отрезка меньше, чем р. Решения этого уравнения у0(х,\) и У\(х, А). удовлетворяющие начальным условиям

2/о(0, А) = 1, Уо(0, А) = 0. 2/1(0, Л) = 0, у^О, А) = Аг, разлагаются в асимптотические ряды при А -» +оо:

1с—0 к—0 коэффициенты которых вычисляются по рекуррентным формулам

Во. 0{х) = 5ол(.т) = 1;

Bn + Lj(x) = B'nJ(x) + ( — \)n+J B'nj(0) + fq(t)BnJ(t)dt. 0 а 0

Введем следующие обозначения: Mq = max| J \q(t) \ dt,J \q{t)\ dt о -a ipnj(q. x. А) — погрешность при приближении решения yj п-й частичной суммой асимптотического ряда. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.2 Пусть функция q(z) аналитична в 0(р, [—а, а и следующая норма конечна

00 1/7 1лп+1

-= М[ < +оо. t-fc I —u,u 1 П + 1

L J n=0 q{n)(a) где (]nn = --—. Для Л > 0 положим N = N(X) = [2рА] — 4. п\

Тогда при N > 1 имеем sup max max \ipNj{q, x, 77) | <

2e —у/2^аМ{2Хр)7/2 ехр(М0/Л + Мре - 2рХ). о где М = Мг + М0.

При доказательстве теоремы 1.2 используется Теорема 1.1 Коэффициенты асимптотического ряда и их производные удовлетворяют неравенствам: шахтах \ Вп^,х)\ < \м(п + 2)\р1~п ехр(Мре),

7=0,1 Ы <а б max max | В'п ¡{q,x)\ < ;Mn(n + 2)!p nexp(Mpe),

7=0,1 |x|<a 6

Теорема 1.1 содержит оценки коэффициентов асимптотических рядов для решений уравнения Штурма-Лиувилля. Впервые задача об оценках коэффициентов асимптотических рядов по спектральному параметру для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений рассматривалась в 1971 году А. 0. Кравицким и В. Б. Лидским в [1]. Они исследовали дифференциальные уравнения г?-го порядка с полиномиальным вхождением спектрального параметра в коэффициенты уравнения: уМ + Р\ (х, Х)г/п^ + • • • + рк(х, Х)у(п~к] + • • • + Рп(х. X)у = 0. к

1=0 причем коэффициенты Ры(х) являются многочленами. Лля случая п = 2 это соответствует тому, что потенциал д(х) является многочленом. В 1981 году А. С. Печенцов в [2] распространил результаты [1] с многочленов на произвольные целые функции конечного экспоненцального типа. X. М. Мкоян в 1974 году [3] для уравнения второго порядка получил оценки коэффициентов в случае потенциалов из классов Жеврея, которые состоят из функций д £ С°°[—а, а], имеющих следующие мажоранты максимумов к-х производных: тах х|<а х)| <с0Ск(к\)а, а>1.

В 1999 году В.А.Садовничий и А.Ю.Попов в работах [4], [5] рассмотрели класс потенциалов, аналитических в круге \х\ < Я. Ими были получены оценки для коэффициентов Вп тах тах I Вп , I < х|<а 7=0.1 те р2 и Я а п+1 и

47Г ' 1 где и = у/М(Я — а). Было доказано, что эти оценки очень близки к оптимальным, поскольку для потенциала = — 1п(1 была получена оценка снизу

2 -п

П — 3)1

Вп^,а) > р

Таким образом, зазор между оценками тах\Вп^(д,х)\ сверху и т|<а снизу на рассматриваемом классе потенциалов при п —> оо составляет величину порядка п°, которая очень мала в сравнении с главным членом оценки, растущим как (п + 2)\р~п, р = Я — а.

В [5] был также рассмотрен класс потенциалов, аналитических в некоторой окрестности отрезка [—а, а], однако на этом классе были получены оценки, худшие, чем (1). В теореме 1.1 приводятся оценки коэффициентов асимптотических рядов для потенциалов, аналитических в р-окрестности отрезка, состоящей из точек, расстояние от которых до отрезка меньше, чем р. Они являются практически такими же по порядку, как и (1) и, следовательно. па рассматриваемом более широком классе потенциалов их можно считать в известной степени окончательными.

Результатом теоремы 1.2 является оценка погрешности приближения решений уравнения Штурма-Лиувилля с помощью частичных сумм асимптотических рядов, причем эта оценка экспоненциально убывает с ростом спектрального параметра А. Кроме того, явно вычислен номер N = АГ(А) частичной суммы асимптотического ряда, дающей приближение с погрешностью, близкой к наименьшей.

Далее в главе 1 разобран численный пример: для решений уравнения Матье вычисляется номер частичной суммы, дающей наилучшее приближение, и погрешность этого приближения. Этот пример показывает, что в случае асимптотических рядов, в отличие от рядов сходящихся, наилучшее приближение может давать частичная сумма со сравнительно небольшим номером. Правда, получить сколь угодно точное приближение в случае асимптотических. но не сходящихся рядов, невозможно, однако из приведенных таблиц видно, что уже при небольших значениях спектрального параметра погрешность приближения может достигать порядка 1СГ°, что на практике является весьма высокой точностью.

Во второй главе диссертации детально исследуется сингулярный дифференциальный оператор в гильбертовом пространстве Ь2[0. ос) порождаемый выражением и общими краевыми условиями в точке х = 0, фиксирующими самосопряженное расширение:

3)

7=0 ат0 = 1, кп < А;п1 < • • • < к{ < 2п.

Следствием асимптотических разложений фундаментальной системы решений уравнения

Чу) = Ау (4) по спектральному параметру Л при Л —> +оо явились точные асимптотические равенства для собственных значений А/ (теорема 2.1).

Основным результатом второй главы являются формулы регу-ляризованных следов всех порядков, то есть суммы вида

00 г-вт(/)) = 5т, теми{0}, о 1 где Вт(1) — вполне определенные числа, определяемые по асимптотике собственных значений А/.

Впервые регуляризованный след был вычислен И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [6] в 1953 году для задачи Штурма-Лиувилля:

-у" + д(х)у = Ху,

2/(0) = 2/(тг) = О, где д(х) — вещественная непрерывно дифференцируемая на от

7Г резке [0.7г] функция. Если выполняется условие /д(х)с1х = 0. то о справедлива формула

•х

Е (л' - <-') = 1 д{0) + д{к 4 С

Формула (6) послужила источником многочисленных работ и далеко идущих обобщений. Л. А. Дикий в 1953 [7] и 1958 [8] годах и И. М. Гельфанд в 1956 году [9] вычислили регуляризованные следы всех порядков для оператора Штурма-Лиувилля. Л. Д. Фаддеевым и В. С. Буслаевым (1957 год [10], 1960 год [11] и 1962 год [12]). были получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.

Начало спектральной теории для сингулярных дифференциальных операторов было положено еще Г. Вейлем в начале двадцатого столетия. Под влиянием задач квантовой механики эта теория получила дальнейшее развитие в трудах Э. Ч. Тичмарша [13], В. А. Марченко [14], Б. М. Левитана [15], В. А. Ильина [16] и др.

Вычисление регуляризованных следов сингулярных дифференциальных операторов является трудной задачей. Для вычисления суммы ряда (5) необходимо получить асимптотические разложения собственных значений А/, а именно, необходимо получить явные выражения Вт{7), обеспечивающие сходимость ряда (5). Однако, собственные значения некоторых дифференциальных операторов (см., например, [17]) не имеют асимптотических разложений по степеням I. Это обстоятельство приводит к необходимости получения формул регуляризованных следов с помощью теории возмущений.

С. Хальберг, В. Крамер. Р. Гильберт (1960 год [18], 1963 год [19]. 1964 год [20]) получили следующий результат. Пусть А — самосопряженный ограниченный снизу оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н; < < . — его собственные значения с учетом кратности, а сро,. — соответствующая этим собственным значениям последовательность ортонормированных собственных векторов. Пусть С — также самосопряженный ограниченный снизу оператор, Ах < А2 < . — собственные значения . оператора С с учетом кратности, причем операторы А и С имеют одинаковую область определения. Тогда

00 ОС

Г(А/ - щ) = (/?/).

1 /=1 ОС' при условии, что ряд (/?/) сходится, где В = С — А.

1=1

В 1963 году М. Г. Гасымов и Б. М. Левитан [21], [22] вычислили сумму разностей собственных значений для сингулярных операторов Штурма-Лиувилля. Их результат выглядит следующим образом. Пусть полуограниченный самосопряженный оператор А в Ьо[О.+оо). заданный на полуоси выражением

-у" + Ч(х)у, q(x)eC(ЪLr) и закрепленным граничным условием у( 0) = 0, имеет дискретный спектр щ, I = 1,2,. Через В обозначим оператор умножения на вещественнозначную непрерывную и финитную на М+ функцию д(х), причем д(х)с1х = 0.

Тогда спектр возмущенного оператора А + В также дискретен и будучи расположен в возрастающую последовательность {А/}/^1 связан со спектром А тождеством

7(0

А/ - щ) = 4

А. Г. Костюченко в 1966 году [23] вычислил регуляризованные следы (8) для полуограниченных дифференциальных операторов высших порядков; при этом предполагалось, что возмущение д{х) имеет конечный носитель и удовлетворяет условию (7).

В 1967 году В. Б. Лидский и В. А. Садовничий [24] предложили метод вычисления регуляризованных сумм корней г/, I = 1, 2. 3,. . целой функции /(г), принадлежащей классу К\

N ос г) ~ г 00' к= 1 0 где щ Е Ъ, актРк £ С — параметры асимптотики функции /(г). а (3^ Ф 0. Регуляризованные суммы корней функции ¡(г): ос /=1 явно вычисляются через параметры асимптотики /(г): Ат(1) — отрезок асимптотического ряда для г™ по степеням I при I —> оо, обеспечивающий сходимость ряда. К изучению корней целых функций класса К приводят наиболее общие краевые задачи на отрезке, например, задачи, порождаемые дифференциальным уравнением

2+Р1(1' +^ л)£3+• • •+?«(*• ^=° о» и краевыми условиями п-1

Щуч Л) = ^МА^^О) + Ьг](Х)уи\1)} = 0, г = (10)

3 =о собственные значения которых являются корнями целых функций класса К.

Оказывается, что метод Лидского-Садовничего можно распространить и на некоторые другие классы операторов. Так. в 1971 году В. А. Садовничий [25] впервые вычислил регуляризованные следы всех порядков (5) для сингулярного оператора в Ь-2[0. тг]: I

У +

V"

X" N

-У +р{х)У, у (ж) = 0, р(х) — финитная в окрестности нуля и достаточно гладкая функция, и > 1. Для вычисления следов в этом случае использовался метод дзета-функции оператора, основанный на асимптотике фундаментальной системы решений при А —> оо.

Особенности коэффициентов дифференциального уравнения (в приведенном выше случае потенциал имеет неинтегрируемую особенность в нуле) или некомпактность области определения дифференциального оператора приводят к сложной асимптотической структуре фундаментальной системы решений при стремлении параметра Л к бесконечности (см. например. [26], [27]).

Во второй главе настоящей диссертации установлено полное асимптотическое разложение собственных значений и вычислены регу-ляризованные следы всех порядков сингулярного оператора (2) — (3) в случае нечетного п. В случае четного п это сделано А. С. Пе-ченцовым в 1990 году [28]. Принципиальная разница между случаями четного и нечетного п заключается в том. что структура асимптотических разложений п линейно независимых решений, принадлежащих Ьо[0, ос), существенно зависит от четности п. Везде далее будет предполагаться, что п нечетно. Основным результатом второй главы является Теорема 2.2 Пусть п — нечетное натуральное число. Тогда для любого натурального числа г и любого иелого тп. (2п + 1)т

0 < га <

2 п 1. справедливы равенства п-1 Е к=\

2 п + 1 ~2т7~

2п т 577+1

-71 к

277 + 1 )Т Е

5 = 272+1

2 п т. — з

ОС Е

К'

2 п +1 ^

-пк

2п

271 + 1 )г Е

5=2П+1

2пт-я

1[+2п+2пт — £() (~ШХ

2пт

2 п + 1

2п+1)г

Е Ы-гпК

5 — 2 пт

277, + 1 й=2П+1 где /V — собственные значения оператора (2) -- (3' ^(—777).% — коэффициенты соответствующих асимптогпическах разложений, которые можно вычислить по рекуррентным формулаль. Здесь и далее ((г) — дзета-функция Римана.

Доказательство теоремы 2.2 опирается на асимптотические разложения для собственных значений оператора (2) — (3). Справедливость этих асимптотик устанавливается в следующей теореме.

Теорема 2.1 При любом а Е С для собственных значений оператора (2) — (3). п — нечетное натуральное число, справедливо полное асимптотическое разложение коэффициенты г]3(а), 5 = 2п + 1, 2п + 2, 2п + 3,. которого по следовательно выражаются через параметры краевых условий причем

Основным результатом второй главы являются общие формулы для следов всех порядков рассматриваемого оператора. Теоретически. пользуясь результатами теоремы 2.2, можно получить формулу следа любого порядка. Однако на практике оказывается, что применение результатов теоремы в каждом конкретном случае является непростой задачей. Даже вычисление следа первого порядка оператора (2) — (3) в случае произвольного п довольно непросто осуществить. Трудность заключается в том, что коэффициенты ?/.,. стоящие в правой части, представлены в виде определителей п-го порядка, в которых фигурируют краевые условия и коэффициенты асимптотик фундаментальной системы решений уравнения (4). Несмотря на то. что алгоритм вычисления величин ?/,, известен, в случае произвольного п. по-видимому, получить общие формулы для выражения -г]3, в = 1. 2, 3. практически невозможно — они оказались бы слишком громоздкими. Поэтому на практике дли вычисления следов необходимо в каждом частном случае находить требуемое количество коэффициентов по известному алгоритму, но \г?ке исходя из конкретного вида оператора. Оказывается, однако. что. если наложить дополнительные ограничения на краевые условия (3), то формулы следов несколько упрощаются, и оказывается возможным получить в общем виде формулы следов первого и второго порядка рассматриваемого оператора. Глава 3 настоящей диссертации посвящена разбору некоторых частных случаев вычисления регуляризованных следов. В отличие от утверждений второй главы, приводимые здесь формулы содержат в правых частях не некоторые, требующие вычисления, коэффициенты, а конкретные выражения. Отдельно рассматривается частный, но весьма интересный случай п = 1. Из-за некоторых технических особенностей этот случай не укладывается в общую схему, хотя все результаты теорем полностью сохраняются и при п — 1. Поэтому доказательство справедливости общих формул в случае п — 1 проводится отдельно. Ниже кратко приводятся основные результаты третьей главы.

Рассмотрим оператор (2) с краевыми условиями

Для него справедливы следующие утверждения, являющееся аналогами соответствующих теорем для оператора (2) — (3)

Теорема 3.1 Пусть п — нечетное натуральное число. Тогда для собственных значений оператора (2). (11) справедливо асимптотическое разложение ит(у) = у{кт\0) = 0, т= 1,п,

П) кп < кп[ < ■ ■ ■ < к[ < 2п. причем X

Для краткости, символом ^ (А¡г. — В(к)) здесь обозначена сумма к= I к= 1 к={п +1)/2

Далее в главе 3 рассматривается случай п = 1. В этом случае уравнение на собственные значения оператора (2) имеет вид

-у" + ху = А у, или, после замены х — X = г: у = гу.

Последнее уравнение в точности представляет собой уравнение Эй-ри. Справедливы следующие утверждения, представляющие собой соотношения на собственные значения оператора (2) при п = 1. то есть на нули функций Эйри и их производных, взятые с обратным знаком:

1) Формула первого следа для оператора, порожденного выражением —у" + ху и краевым условием у{0) = 0, имеет вид X

Е А* 3 к к=1 к* — -к ^ 6 3

Второй след этого оператора выглядит следующим образом: ос Е к=1 1

Хг - ( ^тг/ь 2 3 1 5

2) В случае краевого условия у'(0) = 0 формула следа первого порядка рассматриваемого оператора выглядит так: 3

И - -к 3 к= I

Фомула следа второго порядка в этом случае имеет вид,

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам, 1999г., 2000г., 2001г.,

Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач", 2001г.,

Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Пет ровского, Москва, 2001г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

Спектрал ьная теория операторов . руководитель академик РАН В. А. Садовничий,

Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики", руководители — академик РАН В. А. Ильин, чл.-корр. РАН Е. И. Моисеев и профессор А. А. Дезин,

Негармонический спектральный анализ", руководители — профессор А. М. Седлецкий и профессор В. В. Власов,

Научно-исследовательский семинар под руководством чл.-корр. РАН Е. И. Моисеева и доцента И. С. Ломова,

Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения", руководитель — профессор А. Л. С'кубачевский.

Автор благодарит руководителей и участников семинаров за плодотворные обсу?кдения в процессе выступлений.