Некоторые вопросы спектрального анализа сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Некоторые спектральные свойства самосопряженных дискретных операторов

1.1 Основные обозначения и сведения.

1.2 Вспомогательные утверждения.

1.3 Оценка нормы разности спектральных функций

1.4 Асимптотика собственных чисел.

2 Спектральные параметры сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов

2.1 Оператор типа Якоби.

2.2 Оператор типа'Гегенбауэра.

2.3 Оператор типа Лежандра.

2.4 Оператор типа Якоби при а = я [3 =

2.5 Оператор типа Якоби при а = и /3 = ^

2.6 Оператор типа Чебышева (первого рода).

2.7 Оператор типа Чебышева (второго рода).

3 О плотности финитных на интервале функций в весовом соболевском пространстве

Данная диссертационная работа посвящена трем задачам спектральной теории:

1. оценке нормы разности спектральных функций,

2. первому регулярноованному следу,

3. асимптотике собственных чисел.

Эти вопросы рассматривались для сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов порожденных некоторыми классическими сингулярными обыкновенными дифференциальными выражениями второго порядка.

Различные теории возмущений (теория возмущений линейных операторов, теория возмущений, применяемая в небесной механике, теория возмущений нелинейной теории колебаний) основаны на изучении систем, слабо отклоняющихся от некоторой более простой системы, которая исследована полностью [по интересующим вопросам] .

В диссертационной работе используются методы теории возмущений линейных операторов.

Эта теория была создана Рэлеем и Шредингером. Рэлей в 1927 г. дал формулу для вычисления собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся от более простой системы, которая допускает полное описание частот и мод колебаний. С математической точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению задачи на собственные значения для линейного оператора, мало отличающегося от более простого оператора, для которого эта задача полностью решена. Шредингер развил аналогичный метод для задач на собственные значения, возникающих в квантовой механике. Строгое математическое обоснование методам Рэлея и Шредингера было дано в серии работ Реллиха 1937 - 1940 гг. Фундаментальные работы Реллиха положили начало спектральной теории возмущений и стимулировали дальнейшие исследования по аналогичным или родственным проблемам теории линейных операторов.

Асимптотика собственных чисел.

Хорошо известно, что собственными числами оператора определяемого краевой задачей: у"(х) + р(х)у(х) - Ху(х)

0.1)

3/(0) = з/(тг) = 0, х е [0,7г] при р = 0 будут Лп = п2, а собственные функции ъшпх (п = 1,оо). Асимптотика собственных чисел для оператора при р ф 0 имеет вид: где р — дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Цель многих работ по нахождению асимптотики собственных чисел возмущенного оператора — ослабить требования к возмущению р и/или уменьшить ошибку. Естественно, что при этом рассматриваются различные операторы.

Так, например, одним из последних результатов в этой области является работа Винокурова В.А. и Садовничего В.А. [4]. В ней была рассмотрена задача на собственные значения для линейного дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме Лиувилля тс

0.2) о (А +р(дг))2/(а;) = 0 на отрезке [0,/] с вещественным суммируемым потенциалом р и краевыми условиями типа Штурма

B0Y( 0) = 0, BiY(l)=0, где Bq = (cos <¿>o, sin <¿?0), B¿ = (eos <£>/,sin<¿?/) — матрицы-строки из линейного пространства матриц М( 1 х 2,R), (ро е R, ^ е R, Y(x) = I \ матрица-столбец из М(2 х 1,R). Авторы построили у(х У'(х) у и v ; у явные асимптотические формулы для собственных значений Л„ и нормированных собственных функций уп с ошибкой 0( ^-н) ПРИ п -> оо для любого т = 0,оо, предполагая только суммируемость потенциала р на отрезке [0,/].

Регуляризованный след.

Проблема вычисления регуляризованных следов восходит к работе Гельфанда И.М. и Левитана Б.М. [7], опубликованной в 1953 г. Они рассмотрели оператор порожденный краевой задачей (0.1). Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел этого оператора выражается формулой (0.2). В силу этого ряд (первыи регулярноованныи след оператора о сходится.

Гельфандом Й.М. и Левитаном Б.М. [7] была установлена следующая формула: где со = — j р — дважды непрерывно дифференцируемая фуно кция.

В работе [38] Фаддеев Л.Д. перенес результат на обыкновенные дифференциальные операторы с непрерывным спектром.

Дикий Л.А. в работе [9] вычислил регуляризованные следы регулярного оператора Штурма-Лиувилля высших порядков и исследовал дзета-функцию оператора.

Затем Дикий Л.А. в работе [10] показал, что формула (0.3) эквивалентна равенству

0.3) 1

7Г

СЮ (К - п* - (рт»,«■>)) = 0>

0.4)

71— 1 где уп — собственные функции оператора порожденного краевой задачей:

-у" О) = Л 2/(0) = у(тг)=0, .х е [0,тг].

В классической работе Лидского В.Б. [22] установлено, что матричный след совпадает со спектральным следом у ядерных операторов. Его доказательство основано на 5-числах операторов и методах теории функций комплексного переменного.

Гасымов М.А. в работе [5] получил формулу для суммы разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма - Лиувилля, отличающихся друг от друга граничными условиями и финитным потенциалом.

В 60-е годы теория регулярноованных следов регулярных обыкновенных операторов была практически завершена работами Лидского В.Б. и Садовничего В.А. [24], [23], [30]. Им удалось вычислить регулярноованные следы всех порядков произвольных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений любых порядков со сложным вхождением параметра. Приведем условия при которых достигается результат полученный в этих работах.

Пусть / — целая функция, которая при каждом целом 1г > О допускает представление вида где ак — комплексные постоянные, а

Ркк{г) ~ £ р1к)г~и+о{гпк~11) о при г -> 0. Здесь щ — некоторое целое число, а (3^ ^ 0. Предполагается, что комплексную плоскость можно покрыть конечным числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каждом из которых функции Рк1г являются аналитическими при \г\> Я.

Функции с описанными выше свойствами называются функциями класса К. Числа и — параметрами асимптотики функции /.

Функции класса К возникают при решении дифференциальных уравнений, содержащих параметр г. Например, в краевой задаче для дифференциального уравнения с1пу(х) , / Лс1п~1'11(х) , , ч , ч г• + ^-^Г- + • • • + а»(х>2МХ) = °> 0 < аг < 1, 9 коэффициенты которого имеют вид а, х,г) = г4 £ г Зад]{х)} д = 1,п, с граничными условиями, которые также полиномиально зависят от

V-О где и у — линейные формы относительно решения у. 1 к= 1 6 Пусть коэффициенты уравнения и функции бесконечно дифференцируемы по х. Если, кроме того, предположить, что ач0(ж) = адОг(ж) (? = МО? гДе г(х) > 0 и многочлен 7г(Л) = Лп+а10Ап1 + . .+ап0 не имеет кратных корней, то уравнение для определения собственных чисел задачи имеет вид

М = О, где / е К. Существенно, что при этом параметры асимптотики / явно выражаются через коэффициенты уравнения и коэффициенты граничных условий.

В работах [24], [23] Лидский В.Б. и Садовничий В.А. привели метод позволяющий находить суммы вида (га-ый регуляризованный след)

- -МО] = где Zi — корни функции f (т.е. собственные числа краевой задачи), Ат(1) — некоторые вполне определенные числа, обеспечивающие сходимость рядов, т — любое натуральное число.

Печенцов A.C. дополнил результат работ [24], [23] в случае кратных корней многочлена п.

Дальнейшее развитие эта проблематика получила в работах Са-довничего В.А. и его учеников [33], [34].

Различные результаты при перенесении соответствующих результатов на многомерные операторы с дискретным спектром были получены в работах Костюченко А.Г. [19], Гасымова М.Г. [5], Гийе-мина [40], Садовничего В.А. и Дубровского В.В. [32], [11], [12].

Однако по прежнему нет общей теории регуляризованного следа для операторов в частных производных и сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов.

Оценка нормы разности спектральных функций.

Пусть формально симметричное дифференциальное выражение

Ку) = (-1 )ту{2т) + Р2тМх)у2т~2 + • • .+Р0 {х)У; (0.5) определенно на всей оси или полуоси.

Пусть {ип}^=1 — система собственных функций оператора, порожденного дифференциальным выражением /. Для любого фиксированного Л можно рассмотреть спектральную функцию в(х,у,Х) = ]Г ип{х)ип{у). а„<а

Представляет большой интерес изучение асимптотического поведения спектральной функции в при больших Л.

Для оператора Штурма-Лиувилля этот вопрос был полностью решен в известных работах Левитана Б,М. [21] и Марченко В.А. [25]. Ими было доказано, что при А —> оо равномерно в каждой конечной области изменения имеет место равенство

0(Ж,£,А)=0о(Я,£,А) + О(1), (0.6) где во — спектральная функция оператора порожденного дифференциальным выражением 1у = -у".

Метод, которым пользовались Левитан Б.М. и Марченко В.А., связан с рассмотрением соответствующего волнового уравнения и дальнейшим использованием тауберовой теоремы (для дреобразо-вания Фурье), которая и была найдена названными авторами специально для получения асимптотики 9 посредством решения волнового уравнения. Их метод не переносится на операторы выше второго порядка, так как с таким оператором нет возможности связать гиперболическое уравнение (гиперболичность позволяет сравнительно просто исследовать задачу Коши при коэффициентах произвольного роста).

Костюченко А.Г. в работе [18] нашел асимптотику спектральной функции оператора Ь порожденного дифференциальным выражением (0.5) связав его с параболическим уравнением ^ = -Ьи. Ему пг\ а ( с \\ 1 5т\Х1/2т(х - П] удалось получить асимптотику (0.6), где сЦх, А) =--1-^—^

7Г X — с; спектральная функция оператора порожденного дифференциальным выражением {-1)ту('2т\ при условии, что оператор Ь0, определенный на всей оси, полуограничен и его коэффициенты таковы, что Р2т-2 кусочно-гладкая функция, а остальные коэффициенты локально суммируемы.

Основной результат диссертационной работы относится к операторам порожденным дифференциальным выражением в кото^юм коэффициент при старшей (второй) производной в некоторых топках обращается в нуль.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Первая ГЛЭ.ВЭ. состоит из четырех параграфов. В первом параграфе вводятся используемые в диссертационной работе обозначения, а также вводятся самосопряженные дискретные операторы которым и посвящена первая глава.

Во втором параграфе доказаны вспомогательные утверждения об оценке числовых рядов и оценки интегралов часто используемых во второй главе.

В третьем параграфе доказан ряд теорем, об оценке нормы разности спектральных функций двух самосопряженных дискретных операторов.

Пусть дана последовательность п2 + сп1 с > 0, (п = 1,оо). Пусть существует дискретный самосопряженный оператор Т такой, что его собственными числами будут Ап — п2 + сп. Пусть его собственным числам Ап соответствуют ортонормированные в Ь2 собственные функции уп (п — 1,оо). Таким образом, оператор Т действует в пространстве

Пусть Р — самосопряженный ограниченный оператор действующий в 1/2

Оператор Т + Р является дискретным самосопряженным оператором. Обозначим собственные значения оператора Т + Р через //п, занумерованные в порядке возрастания с учетом алгебраической кратности, а через ип соответствующие им ортонормированные в Ь>2 собственные функции.

Основными результатами первой главы являются являются следующие три утверждения.

Теорема об оценке разности спектральных функций дискретных самосопряженных операторов.

Теорема 1.7 Если Т — сам о с о пряженный дискр е тный оператор, Р самосопряженный ограниченный оператор и

3.9 Vg Vy (||^||¿í =0(1)), s>l l<g<.s jeN

Vj VA: \{Pvvvk)\ = je/v ¿ew то n n U3(X)U3(JJ) - X] j=1 i=l

Из нее вытекает важный результат — регуляризованный след опеО

Лп п Wrí> У ратора Т 4- Р.

Следствие 1.8 ЕслиТ —самосопряженный полуограниченный сниз) дискретный оператор, Р — оператор умножения на функцию р (р е

Loo) и

35 щ Vj (№,=0(1)), s>l i<q<s jGN vj VA; {k^j^\{Pvvvk)\ = ^-Y jeN keN то

11

ЕЬч -xj-{Pvnvj)}

3=1

Отметим, что при n —> оо отсюда следует известный результат Дикого Л.А. (см. стр. 7).

В четвертом параграфе доказана теорема об асимптотике собственных чисел возмущенного оператора. о(

1п П y/ñ

Теорема 1.9 ЕспиТ —самосопряженный дискретный оператор, Р — ограниченный оператор и то асимптотика собственных чисел оператора Т + Р имеет вид для некоторых сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов были решены следующие задачи:

1. вычислена оценка разности спектральных функций,

2. найден регуляризованный след,

3. найдена асимптотика собственных чисел.

В первом параграфе рассмотрен оператор типа Якоби: п = А„ + (Руп, уп) + 0(п 2).

Во ВТОрОИ ГЛаве изложен главный результат раб о ты

Ту{х) = -(1 - х'2)у"(х) - [/3 - а - {а + [5 + 2)х\у'{х).

Оператор действует в пространстве Ь2 = 1/2 [-1,1] ш(х) = (1 -х)а{1 +х)Р, а,/3 > -1.

Для него были доказаны следующие утверждения. Теорема 2.1 Если р — абсолютно непрерывная финитная на (-1,1 функция, то

Лпгь

Е uj(x)uj(y) - Е vj(x)vj(y)\\ = 1 < i <2i=1 i=1 IL v я

Следствие 2.2 Если р — абсолютно непрерывная финитная на -1,1) функция, то

Inns

Е ll-Ч ~ ^з ~ (P'uj 1 vj i=i 0 л/n

Теорема 2.3 Еслир — абсолютно непрерывная финитная на (-1,1 функция, то где С0, С1 — константы. Эти константы вычислены и приводятся в работе.

В параграфах (2.2)-(2.7) рассмотрены следующие частные слу чаи оператора типа Якоби:

1. при a = ß = X - }г — оператор типа Гегенбауэра,

2. при а — ß = 0 — оператор типа Лежандра,

5. при а = /3 = — оператор типа Чебышева (первого рода), I

6. при а = ¡3 = ^ — оператор типа Чебышева (второго рода).

За счет дополнительных ограничений на оператор Т удалось осла бить ограничения на оператор Р.

Так для операторов типа Гегенбауэра и типа Лежандра услови« финитности функции р заменено на более слабое р(-1) = р( 1) = ( при этом результат утверждений такой же как и для оператора тип; Якоби.

1 1

Для четырех операторов при б* = ¡3 — от функции ] требуется только абсолютная непрерывность. Более того, для эти: операторов удалось вычислить ругуляризованный след.

1 1

Так для случая а = Р = имеет место Теорема 2.12 Если р е О, то

Для случая а — - ¡3 = ^ имеет место Теорема 2.15 Если р е О, то

3 = 1

N - Хз

7Г j р(соа 6)d9

Для случая а = р = оператор типа Чебышева (первого рода) имеет место

Теорема 2.18 Если р е D, то j=i ft - Ai ~ í / p(c0s ^ О

Для случая а = Р = ^ — оператор типа Чебышева (второго рода) имеет место

Теорема 2.21 Если р е D, то з=О

N - А,- - i Jp(cos в)с1в = ¿ ]p{cos9)d9 - Ш + ázl).

Для четырех последних операторов асимптотика собственных чисел выражается очень простой формулой, такой же как и для оператора порожденного краевой задачей (0.1).

Теорема 2.11 (2.14, 2.17, 2.20) ЕслиреВ1} то о В

ТрвТЬвИ главе вводятся энергетическая норма

Ш2=/ {\f'(x)Mx) + \f(x)\2p(x)]dx о и соболевские пространства:

Н как пополнение множества Сс = {/ е С°°(0,1) : ||/|| < оо} по энергетической норме;

Н0 как пополнение множества Сд°(0,1) — финитных бесконечно дифференцируемых на (0,1) функций — по энергетической норме. Главным результатом третьей главы является Теорема 3.1 Если вблизи нуля ш(х) = хар(х) и с > р(х) > О, а>1, то пространства Hq и Н совпадают.

При условии, что в окрестности х = 1 веса и и р обеспечивают совпадение Hq и Н.

Из этой теоремы следует, что если рассматривать введенные в параграфах 2.1-2.7 операторы действующими в пространстве Я, то операторы будут самосопряженными, иметь дискретный спектр и для определения их собственных функций не требуются краевые условия.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Оценка нормы разности спектральных функций оператора типа Якоби и возмущенного оператора типа Якоби с абсолютно непрерывным финитным потенциалом. Вычислен показатель сходимости оценки.

2. Оценка регуляризованного следа возмущенного оператора типа Якоби с абсолютно непрерывным финитным потенциалом.

3. Асимптотика собственных функций возмущенного оператора типа Якоби с абсолютно непрерывным финитным потенциалом.

4. Оценка нормы разности спектральных функций, оценка регуляризованного следа, асимптотика собственных функций, формула регуляризованного следа частных случаев оператора типа Яко би.

Основные результаты работы опубликованы в [15], [16], [36], [37].

Результаты работы докладывались на математической конференции по математическому моделированию и краевым задачам в СГТУ (г. Самара, 1998 г.), на 9-й Саратовской зимней школе (1997г.), на математической конференции по современным проблемам математики в ЧГПУ (г. Челябинск, 1997 г.), на семинаре в институте математики (г. Уфа, 1998 г.), на семинарах под руководством доктора физико-математических наук, профессора Жикова В.В. в ВГПУ (г. Владимир, 1999-2000), на региональных научно-практических конференциях вузов уральской зоны (г. Магнитогорск, 1996 г., г. Уфа, 1997 г., г. Челябинск, 1998 г.), а также на научно-исследовательских семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора Дубровского В.В. в МГПИ (г. Магнитогорск, 1996-2000).

Заключение

Вообще говоря, в диссертационной работе основные условия —

1. самосопряженность и дискретность невозмущенного оператора

Г,

2. вид собственных чисел Л„ оператора Г,

3. явное выражение собственных функций или хотя бы асимптотики собственных функций уп оператора Т.

При этом неважно каким дифференциальным выражением и какими дополнительными (краевыми) условиями порожден оператор (см., например, замечание 2.1).

Это обстоятельство накладывает определенную трудность на получение результатов. Например, из-за отсутствуя краевых условий, невозможно эффективно построить целую функцию класса К корнями которой являются собственные числа, т.е. невозможно применить метод Лидского В.Б. и Садовничего В.А. По этой же причине нельзя построить функцию Грина и применять связанные с ней (использующие ее в явном виде) результаты. С другой стороны это же обстоятельство .является очевидным преимуществом работы, поскольку одним и тем же А„ и уп удовлетворяет не один оператор (см., например, замечание 2.1).

Главным результатом диссертационной работы является получение результатов относящихся к слабо разработанной части спектральной теории. Как уже отмечалось, нет общей теории для сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов по получению формул регуляризованного следа. Наличие сингулярности (равенство нулю коэффициента при старшей производной) не позволяет применять достаточно хорошо разработанную теорию псевдодиф-ф ер енциа льных опер ат о р о в.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции Т. 1.1. М.: Наука, 1973. — 296 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.1. М.: Наука, 1974.

3. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.2. — М.: Издательство Академии Наук СССР, 1954.

4. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом //ДАН России. — 1998. — Т. 358. — N3. — С. 298 - 301.

5. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов //ДАН СССР. — 1963. — Т.150.1. N6. — С. 1202-1205.

6. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма Лиувилля //ДАН СССР. — 1963. — Т.151. — N5. — С. 1014-1017.

7. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка //ДАН СССР. — 1953. — Т. 88. — N4. — С. 593-596.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир, 1966. — 1063 с.

9. Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке //Изв. АН СССР, сер. матем. — 1955. Т.19. — N4. — С. 187-200.

10. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма Лиувилля //УМН. — 1958. — Т.13. — N3. — С. 111143.

11. Дубровский В.В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных //Труды семинара И.Г. Петровского. — 1983. — Вып. 9. — С. 40 44.

12. Дубровский В.В. О формулах регуляризованных следов самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов втоporo порядка //Дифференциальные уравнения. — 1984. — Т.20. — N11. — С. 1995 1998.

13. Дубровский В.В. Аливердиев В.Х. Асимптотика собственных значений одного сингулярного дифференциального оператора //Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30. — N1. ----С. 35 40.

14. Дубровский В.В., Печенцов A.C. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. — 1993. — Т.29. — N5. — С. 852858.

15. Дубровский В.В., Седов А.И. Асимптотика собственных значений сингулярного дифференциального оператора типа Якоби //ДАН России. — 1997. — Т. 353. — N3. — С. 295 299.

16. Дубровский В.В., Седов А.И. Оценка разности спектральных функций операторов типа Гегенбауэра по норме Lq //Извест. вузов — 1999. — N8(447). — С. 20 25.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. — 576 с.

18. Костюченко А.Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального оператора порядка 2т //ДАН СССР. — 1966. — Т. 168. — N2. — С. 276 279.

19. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов //Матем. заметки. — 1967. — Т.1. — N3. — С. 365 378.

20. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов /4-я летняя мат. школа //Киев: Наукова Думка. — 1968. — С. 42-112.

21. Левитан Б.М. //Изв. АН СССР. — Сер. матем. — 1955. — Т.19. — N33.

22. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след //ДАН СССР. — 1959. — Т. 125. — N3. — С. 485 487.

23. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регулярнаованные суммы корней одного класса целых функций //Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1. N2. —- С. 52 59.

24. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций //ДАН СССР. — 1967. — Т. 176. — N2. — С. 259-262.

25. Марченко В.А. //Изв. АН СССР. — Сер. матем. — 1955. — Т. 19. — N38.

26. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — 2-е изд. — М.: Наука. 1969. 528 с.

27. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. — М.: Ленинград, гос. изд. технико-теоретической литературы, 1949.

28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. — Т. 4. — М.: Мир, 1982. — 428 с.

29. Рыжик И.М., Град штейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Ленинград: гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951.

30. Садовничий В.А. 'Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10. — N4. — С. 1276-1285.

31. Садовничий В.А. Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1986. 368 с.

32. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере S'2 //ДАН СССР. — 1991. — Т. 319. — N1. — С. 61 62.

33. Садовничий В.А. Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа //Дан СССР. — 1981. — Т. 256. — N4. — С. 794 798.

34. Садовничий В.А. Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18. — N1. — С. 109 116.

35. Cere Г. Ортогональные многочлены. М.: гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. — 500 с.

36. Седов А.И. Асимптотика собственных значений сингулярного дифференциального оператора типа Якоби при а = ~ и ft = //Фундаментальная и прикладная математика. — 1996. — Т.2.1. Вып. 1. — С. 309 312.

37. Седов А.И. Оценка нормы разности спектральных функций самосопряженных операторов //Деп. ВИНИТИ N1603-B98.

38. Фаддеев Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Л иу вил ля //ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — N5. — С. 878-881.

39. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полна Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948. — 456 с.

40. Guillemin V. Some spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere //Adv. math. — 1978. — V.27. — N3.1. P. 273 286.