Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ггз О Л

1 На правах рукописи

СЛП1ТОВЛ ЛЙГУЛЬ РАШИТОВНА

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-1995 г.

Работа выполнена ■ на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета . Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, ' арйфессор Я.Т. Султанаев'.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических ийук, профессор A.A. Шкаликов.

Ведущая организация;

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского.

К 003. 59.01. при Институте Математики Уфимского Научного Центра РАН по адресу: 450000, Уфа, ул. Чернышевского, 112..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики У НЦ РАН.

Автореферат разослан ____1995 года.

доктор физико-математических наук, профессор Р.Р. Гадыльшин.

. Защита диссертации состоится года в час,<£?£?мин. На заседании диссертационного совета

Ученый секретарь диссертационного совета К 003.59.01, к. ф.-м. н.

С.В. Попенов

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность гсмы. Спектральная теория операторов находит многочисленные применения в различных областях математики и ее приложений. Дифференциальные уравнения и многие разделы теории функций стимулировали развитие спектральной теории. Большое влияние на спектральную теорию всегда оказывали .такие науки, как квантовая механика и механика сплошных сред.

В свою очередь спектральная теория внесла также много нового в развитие этих наук.

Важным разделом спектральной теории дифференциальных опера!оров является исследование их спектральных свойств в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. При этом под спектральными свойствами дифференциального оператора обычно понимают его индексы дефекта, качественный характер спектра, спектральные асимптотики.

Для квантовой механики особенно интересно изучение спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов. Наибольший вклад в решение этой задачи для сингулярного оператора Штурма-Лнувияля внесли Г. Вейль, Ф. Рисс, Дмс. Фон-Нейман, Э.Ч. • Титчмарш, Б.М. Левитан. Сингулярные операторы произвольного порядка изучались в работах М.А. Наймарка, И.М. Рапопорта, М.В. Федорюка, А.Г. Костюченко, Я.Т. Султанаева.

М.А. Наймарк , И. М. Рапопорт и М.В. Федорюк внесли большой вклад в развитие аналитических методов исследования индексов дефекта обыкновенных дифферен-

циальных операторов. Основу их методов составляет нахождение асимптотических формул для решений соответствующего дифференциального уравнения. Изучением индексов дефекту много занимаются в английской школе Титчмарща Э.Ч, Работы этой щколы опираются либо на методы развитые M'A. Наймарком, И. М. Рапопортом и М.В. Федорюком, либо на изучение поведения обинтегрированных членов в формуле Лагранжа.

Цель работы, Изучение спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов в зависимости от коэффициентов соответствующего дифференциального выражения в Неопределенном случае.

Диссертация состоит из двух частей, В главе I, составляющей первую часть, исследуется асимптотическое

поведение при X г» «э фундаментальной системы решений уравнения ¡у=Ку и индексы дефекта минимального дифференциального оператора, Порождаемого дифференциальным выражением

1У = (-оуад + S (-1), о < * < со,,

а также характер спектрй любого его расширения. Во второй ijflCTfj анйльгиуные исследования проводятся для оператора четвертого Порядка, порожденного дифференциальным выражением

¡{у = -ссЦх^У)' + a0xp%

где СХо5 О], (3 - вещественные постоянные, Р > 0 .

Обтая методика исследования. Используемый метод

состоит в исследовании асимптотического поведения при X —> со фундаментальной системы решений уравнения (у Этот метод берет свое начало и работах* Левинсона . Затем

метод был существенно усовершенствован в работах М.Л. Наймарка , И.М. Рапопорта и М.В. Федорюка . В работах Левинсона изучались только регулярные дифференциальные операторы. Основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения 1у .

Научная новизна. В глазе 1 получены новые

асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения 1у = 'ку при X —> оо . На основании этих формул найдены широкие классы сингулярных

диффернциальных операторов с любыми возможными индексами дефекта, доказана дискретность спектра любых самосопряженных расширений соответствующего минимального дифференциального оператора.

Во второй глав'е вычислены индексы дефекта минимального дифференциального оператора, порожденного в £/2[1,со) дифференциальным выражением 1\у . Прй этом применяется иной метод, основанный на анализе расположения корней

характеристического уравнения.

Приложения. Результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и в связанных с ней . вопросах функционального анализа, комплексного анализа и математической физики. Результаты диссертации могут найти .применение в исследованиях, проводимых в Московском, Башкирском, • Казахский, Саратовском и других университетах. "

Апробация' работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на реминарах проф. Султанаева ЯЛ. (Башкирский госуниверслтет, каф. диф. уравнений), на семинаре проф. Шкаликова A.A. (Мгу, каф. теории функций и функционального анализа ), на семинара лроф. Калякина Л.А. (Институт Математики УНЦ РАН, г. Уфа), на конференции в Алма-Ате ( "Краевые задачи и их спектраль- ные вопросы для дифференциальных уравнений", 1991 г. ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах 1-5.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация формул сплошная трехиндексная, утверждений и теорем -двухиндексная, содержащая указание ■ на параграф и порядковый номер. Диссертация изложена на 88 страницах. Библиография содержит 27 наименований.

2. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во' введений сформулированы цели и основные результаты работы, приведены некоторые определения.

Первая глава состоит из трех параграфов. В ней рассматривается минимальный дифференциальный оператор Ьо, порожденный в ¿2[0,со) дифференциальным выражением

1у = (-\Уу2\+ и {-1)к(Р„-к(х)у(»)(к) , 0<х<оо, (1) *=2

Ввиду того, что Рп(х) = Рп-\(х) = 0 , этот случай'является вырожденным.

В параграфе 1 главы 1 исследуется асимптотическое поведение при X со фундаментальной системы решений уравнения

1у = Ху. (2)

Сопоставим уравнению (1) матрицу

О 1 0 ...... О О

0 0 1.....0 0

. -1 0' . О -1 . 0 0

А(х,Х) =

1

Р,(х) 0 -1

о 0 />„-2(х) 0 0 0 -X о о

в которой Р|(.х) стоит на пересечении (/I + 1) -- го столбца. П о до лч 1! М

строки И П

д\х

-1/2

где

аД*, l) =

fix, г, и)» n2nt2 (-D^W^ - (-i)"\, ну-

ы

корни уравнения Р(х, Я, й) ~ 0 -

Известно [I] , что матрица Т(лгД) с элементами'

г = 1,2.....и, ;'= 1,2,'...,2«

приводит матрицу А(х, X.) к диагональному виду, т.е.

7i~lЛ(x,k)T=d¿ag(ll{t^l2,,¡>,Ц2я} =Л0.

Отметим, что не все корни Щ уравнения Р(х, "К, ц) = 0 в одну силу , четыре Корня Л(л'Д, Д) при X —> со стремятся к нулю (обозначим их Ц|(хД),Ц2(*А)| |Л.»(*Д) ), а

остальные корн)( Д5(лД), )1б(хД), I,., {12лС*Д) неограниченно растут по абсолютной величине.

Обозначим Через С)) элементы матрицы Т~1 Т' а че\эез V), Уз, 14 собственные значения матрицы

[1] Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных ДйфференЦийЛьиы* операторов. II Тр. Моск. матем. Ь-йа, 1966, т. ¡5, с. Й6 - 345.

(1| -С 12 -С 13 -С 14

-С21 Ц2 -Сгъ -С24

-С31 -Сп- ЦЗ -С 34 1

—С4| -Г42 -С43

Пусть £(хД) - матрица, приводящая матрицу А\ к диагональному виду. Обозначим ее элементы $1]. Тогда справедлива

ТЕОРЕМА 1.2 Пусть выполнены следующие условия: суи/ествуют положительные постоянные а,Ь,с,КI и М! такие, что:

1) при достаточно большом Хо > 0 и при X > Хц для любой пары /,_/, где и 1,]= 5,6,..., 2п, имеет место оценка

ц/ ОД)

а £

2) I/'и-зСх)| > сх4+Е, е > и при х>х0;

3) при X > Л*о функция Р'п-^Х) сохраняет знак и при X —> СО

Р'п-2(рс) = о(|Л-2(;с)|)в\0 < а„ < I + 1/2(п - 2);

4) при X > Хо для 1= 1,- 3

Р/ = //(я-2)-1;

5) при X >Хо для 1= \ ,...,П-2

(О

6) Re(\li(x,X)~llj(xtX)) не меняют знак при достаточна больших X и i,j = 5,6, ..., 2п, i & j.

Тогда уравнение (2) имеет 2п линейно, независимых решений yi(x, X),.У2л(х, X) таких, что при л" -> со ■справедливы следующие асимптотические формулы:

j= 1.....4,

yf](x, X) ~ ^ctj nf + f] Sijdi nf j exp J vjit, X)cit, k~Wji\ у?*](х,Х)~(и,цГ* t (-1)»'/Wx)^"4 I sw^x

J v in-0 i=2

xfc-l)mPk-m(x)tf"v exp J Vj{t,X)dt, £ =

«1=0 ^ jiJ

X

yf](x, X) ~ exp J ц/(л . A" = 07«; j^^-ivf* t (-l)mPk-m(x)nf")exp

4 »1=0 . y xo

k = 0,« - 1.

Асимптотические формулы теоремы 1.2 позволяют в ряде случаев находить индексы дефекта минимального дифференциального оператора Хо, порожденного дифференциальным выражением (I).

Во втором параграфе главы 1 исследуются индексы дефекта минимального дифференциального оператора Lo , порожденного дифференциальным выражением (I). Рассмотрим уравнение

g(s) = J2("-2) + "f (-l)*c*j2<"-*-J> = о, cn-2 = 1. (3)

Ar=l

Пусть для 1,2, ...,/i~3 существуют пределы

Jini Pk{x)\Pn-2{x)\'kKn'2) =Ck. . (4)

ТЕОРЕМА 2 .1 Пусть выполнены ' условия 2)~5) теоремы 1.2, условие (4) и уравнение (3) не имеет кратных корней. Тогда, если 2г корней уравнения чисто мнимые, то индексы дефекта оператора Li на положительной полуоси равны (« + г,п + г), г = 0, 1,...,я-1.

Теорема 2.1 доставляет примеры операторов, имеющих любые.возможные индексы дефекта.

Заметим, что теорема 1.2 предоставляет асимптотические формулы не только для решений уравнения (2), но и для их квазипроизводных (опр. см. [2]),

Ввиду того, что из асимптотик решений можно склеить асимптотику функции Грина любого самосопряженного расширения оператора Lo, это позволяет сделать заключение о характере спектра любых его самосопряженных расширений. В третьем параграфе главы 1-доказана

ЭДНаймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. // М.: Наука, 1969.

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть выполнены условия ] )-б) теоремы 1.2. Тогда спектр всякого самосопряженного, расширения Ьи оператора Ъо дискретен ц резрль^енща

Ль. = (Ь — ХЕ) ^ во всех точках регулярности X является интегральным оператором с ядром Гильверта-Щмидта. г

Вторая глава диссертации посвящена исследованию индексов дефекта и характера спектра минимального дифференциального оператора £,] , порожденного в ¿2[1,оо) дифференциальным выражением

. 1\у = {х*+Ь")" -а,(х2+Ру/ ,

где аьао, Р - вещественные постоянные, Р > 0 . Если сопоставить уравнению'

Ьу = Ху (5)

его характеристическое уравнение

х4+*У -ахх2+Р\12 ■+ао*р -Л = 0 , (6)

то легко убедиться, что корни этого уравнения X,) при

Xоо ведут себя как С/Х~' , где Су - некоторая константа. Это означает, что рассматриваемый случай является вырожденным. Ввиду "того, что уравнение (6) не имеет растущих корней, метод главы 1 исследования асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения (5) неприменим. Основным результатом параграфа 4 главы 2 является теорема 4.1.

г, 13

ТЕОРЕМА 4.1 Для сц>-3 Щ-914-индексы дефекта оператора L\ равны (2,2) . Для оц < -3 р/2-9/4можно подобрать такое ОСо , что индексы дефекта оператора Lf будут равнщ (3,3). Для ai <-2(3-5/2 cyufecmeyem такое ао, что индексы дефекта оператора Lf будут (4,4).

До нас индексы дефекта операторов типа оператора L\ исследовались п рабртах Л.Н.Аникеевой [3] ^ R.B.Paris и A.D.Wood [4]. В этих работах можно найти и библиографию по этому вопросу.

В [3] коэффициент при старшей производной равнялся 1 и все корни характеристического ' уравнения были растущими. В работе [4] исследовался случай положительных коэффициентов. И в этом случае ими было показано, что индексы дефекта соответствующего минимального оператора равны (2,2) . В-нашем случае индексы дефекта могут быть произвольными.

В пятом параграфе главы .-2 установлена Следующая теорема.

[3] Аникеева Л. И. Асимптотическое поведение решений

уравнения - а{хау')' - Ьх^)> = Ху . II Вести. Моск.

ун-та. Сер. матеМ., мех. 1976, № б. с. 44-52.

[4 ] Paris R.B., Wood A.D. On the L nature of n th order

symmetric differential equations and McLeod's conjecture. // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 90A. 209-236. 1981.

ТЕОРЕМА 5.1 Спектр любого самосопряженного расширения оператора Ь§ с индексом дефекта (4,4) дискретен, а его резольвента Нх -есть ■интегральный оператор, ядро которого является ядром Гильберта-Шмидта.

В заключен«« выражаю глу.бокую благодарность своем) научному руководителю профессору Я.Т. Султвиаеву зе постановку задач и внимание к работе.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ..

1..Сагитова А.Р. Об индексах .дефекта сингулярной дифференциального оператора. II Деп, в ВИНИТИ 03.08.92 . № 2526 - В92,

'2. Сагитова А.Р., Султанаев Я.Т. Об индексах дефект сингулярного дифференциального оператора в вырожденно! случае. // Краевые задачи и их спектральные вопросы дл дифференциальных уравнений.:- т. докл. научной конф. Алма-Ата. 1991. с,8б.

3. Сагитова А.Р. Об индексах дефекта дифференциаш ного оператора четвертого порядка. II Матем. заметки. Т.5' Вып. 2. 1995. с.3.13-314.

4. Султанаев ЯЛ., Сагитова А.Р. Сингулярны дифференциальные уравнения. II Фундам. пробл. мат. и мех Мат. 4.1 / МГУ. - М., 1994. с.189-191.

15

1 ;

5. Сагитова А.Р. Об индексах дефекта дифференциального оператора четвертого порядка. // . Материалы региональной научно-практ. конф.: т.докл. - Нижневартовск. 1994. с.219-220. .

Садяова Айгуль Раштовна

СПЕКТРАЛЫШЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНЫХ даМЕРЕНЩАЛШЫХ ОПЕРАТОРОВ • ; '

Автореферат ' . ;

диссертации на соискание ученой степени кандидата' физико-математичеоких наук

ЗКЗ ЛР Л 020259 от 30.10.?1

Подписано в печать 17.11.95 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская № 2. Усл.лея.л.0,93. Уч.-изд.л.0,4В. Тираж 100 экз. Заказ № 375.

Ротапринт Башкирокого университета 450074. г.Уфа, ул.Фрунзо, 32