Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Разложение по собственным функциям самосопряженных карлемановских операторов

§ 1.1. Известные факты и общие результаты

§ 1.2. Разложение по собственным функциям карлемановских операторов

§ 1.3. Карлемановость возмущений карлемановских операторов

Глава П. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом

§ 2.1. Самосопряженность эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом

§ 2.2. Самосопряженность эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом . бб

§ 2.3. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов второго порядка

§ 2.4. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов высокого порядка

В настоящее время интенсивно разрабатывается спектральная теория эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Так, например, достаточно полно изучена проблема существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Одна из основных задач спектральной теории эллиптических операторов является разложение по собственным функциям. Как известно, спектральный анализ оператора Шрединге-ра — Д + имеет основное значение для квантовой механики.

При этом рассматриваемое возмущение ¿^(ЭС) , как правило, имеет сингулярность (т.е. не является непрерывной). Поэтому естественно представляет интерес изучение разложения по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

Общая теория разложения по обобщенным собственным функциям самосопряженных операторов построена в работах Ф.И.Маутнера £¡64^, А.Я.Повзнера [35] , И.М.Гельфанда и А.Г.Костюченко [п] , Ю.М. Березанского [з,б] , Л.Гординга £бб] , Ф.Е.Браудера [52] , К.Морена [бз] , Г.И.Каца [22-24] и др. Эта теория и ее применения к эллиптическим дифференциальным операторам с гладкими коэффициентами изложены в монографии Ю.М.Березанского [I] (см.также И.М.Гельфанд и Н.Я.Виленкин [13] , К.Морен [б2] ).

Наиболее удобным способом для построения разложений по собственным функциям эллиптического оператора является доказательство карлемановости рассматриваемого оператора. Это доказательство, в свою очередь, использует теоремы о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри области и вплоть до ее границы, а для их справедливости необходима достаточная регулярность коэффициентов.

При изучении разложений по обобщенным собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, ввиду отсутствия соответствующих теорем о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами, возникают трудности. Следует отметить, что существующие теоремы о повышении гладкости решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами (см.например, О.А.Ладыженская и Н.Н.Уральцева [26"] ) не дают возможность применять общую схему разложений по обобщенным собственным функциям в случае сингулярного потенциала.

Предлагаемая нами конструкция разложений для случая сингулярного потенциала по существу использует простую идею, связанную с понятием монотонной функции эрмитовой матрицы, т.е. функции ^(Л) > обладающей тем свойством, что из А ^ В следует известные результаты К.Левнера, см.например [50,6]^ , ( £17] , гл.8, § 9). Грубо говоря, доказательство кар-лемановости сводится к получению оценки Са.(С (^Ю)^00 , где и С - некоторые функция и оператор. Поэтому, если

1в указанном смысле монотонная, то из карлемановости |3 и того что А^В > следует карлемановость А . Этот подход дает возможность охватить некоторые широкие классы эллиптических дифференциальных операторов с сингулярным потенциалом.

В последнее время появилось большое число статей, посвященных получению условий самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом: Б.Саймон [бв] , Т.Като [б7,58^ , Ю.М.Березанский [4^ , Ю.Б.Орочко [29,32] , П.Р.Чернов [71] , Ю.М.Березанский и В.Г.Са-мойленко [в] , М.А.Перельмутер и Ю.А.Семенов [34] и др. В этих работах получены условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. А в работах

Б.М.Левитана и М.Отелбаева [27,28] , Р.Г.Келлера [б9,6о] , Н.Х.Данга [б4,5б] получены условия самосопряженности эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом.

Вместе с тем, известно лишь небольшое количество работ, в которых строится и изучается разложение по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом: Г.Н.Гестрин [14-16] , Е.Б.Дэвис [53] , Ю.А.Семенов [67] , А.Г.Белый, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов [49] , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов £25] , Ю.Б.Орочко [30,31,33] , Т.Ненси [бб] . В этих работах исследовано разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом (за исключением работы Ю.Б.Орочко [зз] , где рассмотрено эллиптическое дифференциальное выражение второго порядка с переменными коэффициентами). При рассмотрении эллиптических операторов высокого порядка возникают дополнительные трудности. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом ранее не изучалось.

Целью диссертационной работы является построение разложений по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом. Кроме того, в диссертации получены условия существенной самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

При доказательстве теорем о разложении применяется метод сравнения основанный на теории монотонных оператор-функций. В некоторых случаях используется модификация этого метода. Для доказательства основных результатов используются теория оснащенных гильбертовых пространств, методы теории возмущений линейных операторов и теория эллиптических уравнений.

- б

Введем следующие обозначения. Как обычно, /К - N - мерное пространство; ) (1 £ р < <*>) - пространство измеримых функций на , р -е степени которых суммируемы по мере

Лебега; ¿^^^ ^рСоо ~ пространство измеримых функции, локально принадлежащих в Ьр(Ю ; ) - пространство измеримых существенно ограниченных функций. Через С0 (К ) будем обозначать пространство бесконечно дифференцируемых на Д?^ функций с компактными носителями.

В тексте диссертации теоремы, леммы и формулы нумерируются по параграфам каждой главы с указанием номера главы. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер теоремы (леммы, формулы).

Теперь сделаем обзор по выше перечисленным работам. Г.Н.Гест-рин £14] перенес известные результаты А.Я.Повзнера £35] на операторы вида с сингулярным потенциалом

• В работах £15,16^ Г.Н.Гестрин с помощью специальной конструкции интеграла Фейнмана обосновал разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Предполагается, что = + ^, где - измерима и локально ограничена, £ (К ) или

ЦХ^Ю+ЩХ) , где <у<С)£ /^(¿К3) , а ^ (X) непрерывна всюду, за исключением изолированных точек, в окрестностях которых неограничена и не суммируема с квадратом.

В работе Е.Б.Дэвиса [5з] изучены свойства собственных функций и функции Грина оператора Шредингера где о«(ЦХ) £ ^ьсСк") (Р>£ , ръа) .

В статьях Ю.А.Семенова £67] , А.Г.Белого, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова [49] , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова [2б] подробно изучены разложения по собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярным потенциалом. Предполагается, что N где ^ -произвольное замкнутое множество меры нуль. При этом оператор 4 понимается в смысле форм-суммы.

В работе Ю.Б.Орочко £зо] с помощью метода гиперболического уравнения доказаны локальная ограниченность и оценки роста на бесконечности обобщенных собственных функций произвольного самосопряженного расширения А оператора ^ = в случае локально ограниченного снизу потенциала из ^(¡К ) Карлемановские оценки для оператора Шредингера с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом доказаны в статье Ю.Б.Орочко £31] . Эти оценки используются при изучении разложений по обобщенным собственным функциям оператора А , а также в ряде других вопросов.

В статье Ю.Б.Орочко £зз] рассматривается сильно сингулярное эллиптическое выражение второго порядка дивергентного вида Ь--скга(Х)дъас1 + у(Х) , где - положительно определенная матрица с элементами ¿^(х) £ ^оо&сО^*)' а потенциал (ЭС) сильно сингулярен (т.е. не принадлежит ^ )» причем О £ £ Ш ) ? хкЦ^а^) »]»»')■

Вводится псевдоминимальный оператор А , порожденный выражением I» . Показано, что А - карлемановский^оператор и его обобщенные собственные функции принадлежат ) П (К )

В работе Т.Ненси [бб] исследовано разложение по собственным функциям оператора Н ~ Н0^ в пространстве ¿^(К ) Здесь Н А ; оператор Н понимается в смысле форм-суммы. Предполагается, что для некоторого ^УО оператор

Х|\/| Нограничен с относительной границей меньшей I. о

В обзорной статье Б.Саймона излагаются некоторые результаты о разложении по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Рассматривается оператор Щредингера , где =

Классы и К^о^ определяются следующим образом

Теперь изложим основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии из 76 наименований.

1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова думка, 1965,- 800с.

2. Березанский Ю.М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наукова думка, 1978.- 360с.

3. Березанский Ю.М. Разложение по обобщенным собственным векторам и интегральное представление положительно определенных ядер в форме континуального интеграла.- Сибирск.матем.журн., 1968, т.9, № 5, с.998-1013.

4. Березанский Ю.М. Самосопряженность эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.- Укр.матем.журн., 1974, т.26, № 5,с.579-590.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям уравнений в частных разностях второго порядка.- Труды Моск.матем. об-ва, 1956, т.5, с.203-268.

6. Березанский Ю.М. 0 разложении по собственным функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов.- Докл.АН СССР, 1956, т.108, № 3, с.379-382.

7. Березанский Ю.М. 0 гладкости вплоть до границы области спектральной функции самосопряженного дифференциального эллиптического оператора.- Докл.АН СССР, 1963, т.152, № 3, с.511-514.

8. Березанский Ю.М., Самойленко В.Г. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным и бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения.- Успехи матем.наук, 1981, т.36, вып.5, с. 3-56.

9. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. 0 самосопряженности эллиптических операторов высших порядков.- Функц.анализ и его прилож., 1973, т.7, вып.4, с.78-79.

10. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. Условия самосопряженности сильно эллиптических систем произвольного порядка.- Матем. сборник, 1974, т.95, вып.1, с.108-129.

11. Гельфанд И.М., Костюченко А.Г. 0 разложении по собственным функциям дифференциальных и других операторов.- Докл. АН СССР, 1955, т.103, № 3, с.349-352.

12. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып.З: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.- М.: Физматгиз, 1958.- 274с.

13. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Вып.4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.- М.: Физматгиз, 1961.- 472с.

14. Гестрин Г.Н. 0 разложении по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.- Матем.заметки, 1974, т.15, № 3, с.455-465.

15. Гестрин Г.Н. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям оператора Шредингера.- Функц.анализ и его прилож., 1976, т.10, № I, с.75-76.

16. Гестрин Г.Н. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям уравнения Шредингера.- Укр.матем.журн., 1976, т.28, № 2, с.170-182.

17. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.-М.: Наука, 1969.- 476с.

18. Гординг Л. Разложения по собственным функциям, связанные с эллиптическими дифференциальными операторами.- Математика: сборник перевод., 1957, № 1:3, с.107-116.

19. Гординг Л. Об асимптотических свойствах спектральной функции самосопряженного полуограниченного расширения эллиптического дифференциального оператора.- Математика: сборник перевод., 1957,1:3, с.117-131.

20. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967.- 624с.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972.- 740с.

22. Кац Г.И. О разложении по собственным функциям самосопряженных операторов.- Докл.АН СССР, 1958, т.119, № I, с.19-22.

23. Кац Г.И. Обобщенные элементы гильбертова пространства.-Укр.матем.журн., i960, т.12, № I, с.13-24.

24. Кац Г.И. Спектральные разложения самосопряженных операторов по обобщенным элементам гильбертова пространства.- Укр.матем. журн., 1961, т.13, № 4, с.13-33.

25. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярными потенциалами.- Успехи матем.наук, 1978, т.33, вып.4, с.107-140.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.- 576с.

27. Левитан Б.М., Отелбаев М. Об условиях самосопряженности операторов Шредингера и Дирака.- Докл.АН СССР, 1977, т.235, № 4, с.768-771.

28. Левитан Б.М., Отелбаев М., Об условиях самосопряженности операторов Шредингера и Дирака.- Труды Моск.матем.об-ва, 1981, т.42, с.142-159.

29. Орочко Ю.Б. Замечание о существенной самосопряженности оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.- Матем.заметки, 1976, т.20, № 4, с.571-580.

30. Орочко Ю.Б. Карлемановские оценки для оператора Шрединге-ра с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом.-Матем.сборник, 1977, т.104, № I, с.162-174.

31. Орочко Ю.Б. Конечная скорость распространения и существенная самосопряженность некоторых дифференциальных операторов.-Функц.анализ и его прилож., 1979, т. 13, № 3, с.95-96.

32. Орочко Ю.Б. К теории самосопряженных операторов, порожденных сильно сингулярными выражениями второго порядка дивергентного вида.- Функц.анализ и его прилож., 1982, т.16, № 3, с.80-81.

33. Перельмутер М.А., Семенов Ю.А. Самосопряженность эллиптических операторов с конечным и бесконечным числом переменных.-Функц.анализ и его прилож., 1980, т.14, № I, с.81-82.

34. Повзнер А.Я. 0 разложении по собственным функциям оператора -ÜU+CLL . Матем.сборник, 1953, т.32, вып.1, с.109-156.

35. Порпер Ф.О., Эйделман С.Д. Слабые фундаментальные решения параболических уравнений второго порядка с измеримыми коэффициентами.- Докл.АН УССР, 198I, сер.А, № I, с.22-26.

36. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.1. функциональный анализ.- М.: Мир, 1977- 360с.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир, 1978.-396с.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.З. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1982.- 444с.

39. Ройтберг Я.А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений.- Докл. АН СССР, 1964, т.157, № 4, с.798

40. Ройтберг Я.А. Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в L^ эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкостиобобщенных решений.- Укр.матем.журн., 1965, т.17, № 5, с.122-129.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5.- М. : Физматгиз, 1959.- 656с.

42. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М.: Мир, 1973.- 342с.

43. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968.- 428с.

44. Яфаев Д.Р. Замечание о теории рассеяния для возмущенного полигармонического оператора.- Матем.заметки, 1974, т.15, № 3, с.445-454.

45. А^тсм- S. Le.c£usves cm, ZBÙfytLc ВоапМалу Усилие, Ры4вепь$. TUur Ноък ; 0. Уоиуь У1а$4лшгсС, 196S. -&9SL р.

46. Attefuito W• yiomx^uMdùoTv Пьеолу of eZáptic.cy¿a¿Uyrvs of огс/ж, &n,.-PfaùfCc, ШссЦъ.39W, V64?A/: 1 , f>.<-16.

47. Be&tf A.G-, Kovzdfcyiko lLF-, S^mene/ir /\. On,Ihe, а>п£ьпилл±и of ^гш/шЛСгссЬ of íke, i<hrùUirife^ арелаЛо^ Tnadk. PhysW% V

48. Ke££&c к. G. Tke essebäcct£ seßf-cu^lniness of oUfop&tcctobS.-P'Wc. Rof. Ç>oc. ícUnicoz^^Ly f9?9,A%3.,

49. Ke£e&z, /?.£. The essentiat setf-a(fy<>ùbbrie.ss ofdtff&mriloLÍ opetcctobs ин£1ъ posctiite. . Ръсус .Roy. Soc. £oLLn£ct/L^fb, ie*9,A$Si> А/П-Ч,р-зч^-зео.

50. VibOUASuin, К. Сске -¿ил, ccEi^cJrteln^b.ti^enfcLnhUoTbS ен&лъск&сп^еп, f¿¿/c ъълЖси^ъ^к&але.0p&uz£o/ce4b$%ste.me. geCle-Ccge*. TtbcíckHgJcecb. Acad.po¿. s-c¿. Gét. s-c¿. угьаМъ., a^Muyn,. et phi^s-, ideo, р-ЗЪ1~ЗЪЧ.

51. S^hbzyunr А. Оуь ike, -theory of ei^en^oobctlonb^tot^an/yCon, of -the ^hùklCnj^e^, орггщ&ус. Lett. Yïicubk. Ptys., V3, №1, р.ИЪ-ЗЗ.

52. Simon, ß. £ssen±üx£ веЦ- Acfyolyctness of0f&xjodo>bs talih. PobcUve- Poten±icL&=,. УКа£к. Ann. ,VSL01, p. £11-3.2,0.

53. Glyrum В. ЪепгСдл&ссръ. . Ayywl.УКаМь. Soc., 19Í2L, p. 44Ï-5SLG.

54. CkoAMjoff p. R. note, cm. ptodccct $оп,угш£сиs fobореъосЬуъ

55. Оъ&иъо^^ Р. /?. ^и^пхииуи^е^с ашС Ъииои.ихМъ Ыпди&хл. ро*£кЬих,е>ъ сии£ куржво&с еуид&яп*.раЩ. УПаШ., У???, р.д€1-ъъг.72. ^ускескЬе^- Ж. Ь^а&ъсь о{ Рал£са£ 0¿^fen.ah±¿cL¿0релл±оъв. Аууь^е^Лост.: ТЬо^-ЦоШшхЬ^т

56. Гейдаров А.Г. Самосопряженность эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом и разложение по их собственным функциям.- В сб.: Спектральная теория операторов. ВыпЛУ, Баку. Элм, 1982, с.97-106.