Спектральные свойства эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

- 5 (п[|3 МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517.95

САФАЕВ Сабир Абдуллаевич

ТАШКЕНТ — 1004

Работа выполнена на кафедре математического моделирования механико-математического факультета Ташкентского Государственного Университета.

Научный руководитель: член-корреспондент АН РУз, доктор физико-математических наук, профессор Ш. А. Алимов.

Официальные оппоненты: 1. Доктор физико-математических наук, профессор Лакаев С. Н.

2. Кандидат физико-математических наук Карачик В. В.

Ведущая организация: Институт математики АН РУз.

Защита диссертации состоится « (0 » (^¿(¡¡эО^-Р 1995 го// ' да в « / / » часов на заседании специализированного совета

Д 067.02.21 при Ташкентском Государственном Университете по адресу: 700095, г. Ташкент-95, механико-математический факультет, ауд. Г-303.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского Государственного Университета (Вузгоро-док).

Автореферат разослан « » УН-и'и^.

'/О

» ¿■¡чЬ'йАЛ. 1995 ГОда-

Ученый секретарь специализированного совета доктор

физико-математических наук

- Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория сингулярных дифференциальных операторов, возникнув в начале 20-го века, в настоящее время является одним ио интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений.

В отлитие от регулярных операторов, характеризуемых гладкими коэффициентами на всей области изменения независимых переменных П С Дп, сингулярные дифференциальные операторы имеют коэффициенты,обладающие особенностями внутри области или на ее границе. Сингулярность рассматриваемых при этом краевых задач состоит в том, что область П может быть неограничена или в .том, что коэффициенты дифференциального оператора могут иметь особенности как на границе области (при х -* дП или при |х| —юо в случае неограниченности области П), так и внутри ее.

Быстрое развитие теории сингулярных дифференциальных операторов связано, в первую очередь, с успехами теоретической фи-оики в обосновании начал квантовой механики. Как иовестно, основ-• ный уравнением квантовой мсхдники является уравнение Шредин-' гера, описывающее движение квантовой частицы во внешнем силовом поле с потенциалом V.

Если анергия частицы Е имеет определенное значение, то в таком се состоянии, называемом стационарным, полипная функция ф{х) данной частицы удовлетворяет стационарному ураниению

Шредингера

Нф = Еф,

где II = -Д + У(г.) — оператор Шредингера, изображающий полную энергию частицы, то есть сумму кинетической и потенциальной энергии.

Основные (за дачи квантовой механики сводятся к. решению »того уравнения, то есть к нахождению возможных собственных о наменяй инергии II — энергетических уровней системы. Значения полной (энергии частицы во многом оависят от гладкости коеффици-ентов потенциала У(х)л характеризующего силовое ноле, действующее на частицу. Наличие у потенциалов в реальных физических задачах сингупярностен раяличного типа обусловило неослабевающий интерес к теории сингулярных дифференциальных операторов многих поюлений математиков.

Систематическое изучение сингулярных операторов, стимулируемое успехами квантовой механики, относится к сороковым и пятидесятым годам. В трудах Э.Титчмарща и Б.М.Левитана раавиты

'у - . - ■ ' "

методы, исиояьсующие аппарат теории аналитических функций. Теоретико-операторные методы, опирающиеся на общие теоремы спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах, получили свое раовитие в трудах Г.Куранта, К.Фридркхса, Ф.Рея-лиха, Т.Като и других авторов.

Раолнчныи аспектам теории сингулярных дифференциальных

операторов—вопросам существования самосопряженных расширений, раоложенил произвольных фунжций по собственным функциям тажих операторов^ поучению нх спежтральных харажтеристяж посвящены многие работы современных авторов—Ш.А.Алимова, В.А.Ильина, Р.Кермана, Б.Саймона, Х.Трибеля, Л.Д.Фадеева, Ч.Феффермана. и др.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной; работы является исследование свойств операторов вида II = - Д + V с потоп-ци 1 лами, коэффициенты юторых имеют особенности в тонах или на многообразиях, а именно:

1) дожаоательство существенной самосопряженности операторов с сильно сингулярными потенциалами;

2) дожаоательство жритерия жонечности числа точеж дисжрет-ного спежтра оператора В с потенциалами специального вида и оценжа этого числа;

3) научение условий сходимости спежтральных разложений, от-. вечающих операторам II с коэффициентами, вырождающимися на гладких многообразиях 5 с Д".

Методика исследования. При дожаоательстве существенной самосопряженности оператора. -Д + V с сильно сингулярным потенциалом V использован метод, предложенный Винтхольцем и усовершенствованный Т^рибелем.

При исследовании условий сходимости спектральных рышоже-нйй применяются общие методы спежтральной теории операторов

Б

в гильбертовых пространствах.

При установлении конечности числа точек дискретного спектра оператора -Д + V и выводе оценки данного числа иснольоован метод минимакса и другие аналитические методы.

Научная новиона. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) В главе 1 доказана существенная самосопряженность операторов II с потенциалами, вырождающимися на границе области задания И с Я";

2) В главе 2 докапан критерий конечности числа точек дискретного спектра о&ас оператора II и получены оценки (г,ц1с для потенциалов специального вида;

3) В главе 3 изучены условия сходимости спектральных рагшо-жений, отвечающих самосопряженным расширениям операторов ШредшГгера с коэффициентами, вырождающимися на гладких многообразиях 5 с Л"-в. метрике Я'(йп).

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, ее результаты и методы могут быть использованы в изучении спектральных свойств эллиптических дифференциальных операторов, в исследованиях вопросов сходимости спектральных раолокений, при решении падач математической фирики, при чтении снец-курсов. .

Апробация работы. Реоультаты диссертации неоднократно докладывались па семинаре "Современные методы математической

фиоижи" при кафедре математического моделирования ТашГУ, на 16-ой Конференции молодых ученых МГУ имени М.В.Ломоиосова (г.Мосжва, 4-8 апреля 1994г.), на международной конференции "Вырождающиеся уравнения к садами смешанного типа" (г.Ташкент, 23-25 ноября 1993г.), на ежегодных конференциях молодых ученых ТЪшГУ и Института математики имени В.Л .Романовского АНРУа. =

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Вторая глаза раобита на три параграфа. Список литературы содержит 35 наименований. Общин объем диссертации —60 страниц.

Основное содержание диссертации.

Во введении дан краткий обоор работ, относящихся к тематике

- »

исследований, и приведены основные результаты диссертации. Всюду в диссертации поучаются операторы III редин г ер а

одесь 0(с Я")—произвольная область,

Д = 2 — «-мерный оператор Лапласа.

• ; ' О*] . .

Оператор Я в Л" является оператором энергии частицы с п степе-. нами свободы в силовой поле с потенциальной энергией V,

В свете теории воомущений линейных операторов оператор -Д + V можно рассматривать как воомущение оператора кинетической энергии -А в случае, если сингулярности коэффициентов потенциала V не слишком сильны. Это допущение мотивировано принципом неопределенности (см. Рид М., Саймон П. Методы современной математической фиезики. т.2.М.:Мир. 1978, стр.192), в силу которого оператор —Д оценивает сверху сингулярности V в определенных пределах.

Однако существуют другие классы неубывающих потенциалов , находящихся оа пределами приложимости теории воомущений, особенности поведения которых в особых точках или на многообра-оиях существенно влияют на спектральные характеристики поучаемых операторов.

В главе I изучены свойства сильно вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов, коэффициенты которых неог-раннченно воорастают вблизи границы области Пина бесконечности. Некоторые классы таких дифференциальных операторов научены в работах Б.Саймона, Х.Т^ибо.тя и др. авторов.

Так например, изучению свойств дифференциальных операторов вида Я = -Д + ¿>"(®)> V > 2 как в ограниченных, так и в неограниченных областях посвящены работы Х.Трибеля (см. -Х.ТЬибель. Теория интерполяции, функциональные пространства,, дифференциальные операторы.// М.: Мир.1980г.) Здесь д(х) е С"°(П)—положительная в цроиоволыюй области П С К* функция, удовяетво-.

ряющая следующим двум условиям:

a) ¡Vg(z)¡ < const-р^Сх), ®eíí; .

b) для любого Л > 0 существуют числа ¿(A) > 0 и Я(А) > 0 такие, что при dist(x,öil) или \х\ > R(A) выполняется неравенство

е(х) > А.

Замечание 1 Существование функции д(х) с требуемыми свойствами для любой области Í2 докапано ХЛрибелеи (см. Х.'Грибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.// М.: Mup.l9fi0r.) В частности, для ограниченной области ио С°° можно положить ß"1^) = dist(x,dfl), где d»3í(x,9fí) —расстояние до границы Ü. В случае fl = Я" можно

ВОЯГЬ е(х) = (1 + И2)1*, Т) > 0.

В глале 1 научается оператор Н = -Д + V(r) с потенциалом

К(х) ио класса С0°(П), удовлетворяющим следую1цим условием:

*

1) V(z) > 0 при всех х е ÍÍ;

' 2)

где е{х) определено вьппе. •

, Предположим, что существует непрерывная при О 0 и монотонно стремящаяся к нулю при < -> оо функция а(() (Шп о(<) = 0) тмая, что выполнено неравенство:

• 3) хеп.

У(х) еК*)

Замечание 2 Отметим, что условие 3), накладываемое на потенциал допусхает сильную сингулярность при \х\-> с» иди х 8Г1 и поовешяет рассматривать потенциалы, не входящие в класс Штумыеня ( определение см. Х.Цикон, Р.Фрепе, В.Кирш, Б.Саймон. Операторы Шредингера с приложениями к ¡ваитовои механика и глобальной геометрии.// М.: Мир. 1990г. ).

Основным реоудьтатом главы 1 является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1 При выполнении условий 1)-3) оператор Н = -Д + V с областью определения С$°(Г1) существенно самосопряжен в Ьз(П).

Глава 2 посвящена поучению свойств дискретного спектра операторов Я, заданных на всем пространстве Л" с потенциалами, убывающими при Й оо.

Вооможны различные типы разбиений спектра сг(//) оператора И на подмножества: точечный и остаточный спектры; чисто точечный, абсолютно непрерывный и сингулярный спектры и др.(см. Рид М., Саймон Б. Методы современной математически фппти. т.1.М.:Мяр, 1977). Мы будем использовать раобиение спекгра сг(А) на два непересекающихся подмножества-*-дискретный <тц,с(1Т) и существенный сгви(Я) сноктры:

• •сг(Я) = стЛ,с(Я)ф«ге„(Л).'

10

Обозначим черео Я множество ипмеримых функция К, удовлет-ворующих условию

. Это множество при наделения его нормой ||*||я становится полным вежторпым пространством, наоываемым классом Рольнша..

Иовестно, что если Потенциал V € Я+Г°°, то дискретный спектр оператора Я цел пои лежит на отрицательной полуоси и при определенных условии—ограниченность V сверху и достаточно быстрое стремление потенциала V к нулю при ]х\ -» ос—состоит иэ жо-нечного числа собственных оначеиин конечной жратностн. Именно доказано Семг. Рщ М., Саймон Б. Методы современной математической фиоижн ТА. Теорема Х1И.6.), что если потенциал V е удовлетворяет условию

К(г)>-|г-1, если г > Го,

с некоторым Т0 > 0 и некоторым Ь < 1, то етл,с(~А + V) кояечен. Следовательно, ответ на вопрос,' имеет ли Я = -Д + V конечное число свяоанных состсяпий, оалисиг от поведения К при больших значениях я.

Основным результатом параграфа 1 главы 2 является доказательство следующей теоремы, .у Теорема 2 ИустьттснаиллУ имеет виц

:.'■■. .уф - лри г - )х| > Хп, * е Я3,

;где яа.фучш^

1) w(r) > 0 при Г > То, w(r) -» +00 при Г -» оо

2) ш(Тг) > ы(Т)а(г) + Ь(г), где Т0> О, Т> 0, а(г) и fc(r)-

. лроиовшыше домдыю илтегрируешае функции, причем а(г) >0, 1 < г < 2. В етой случае сгц,с{-А + V) бесюпечен.

Оценка числа N_ отрицательных собственных оначений оператора Я в случае конечности сгц,с{Н) представляет большой интерес ках доя квантовой механики, так и дня спектральной теории дифференциальных операторов. В монографии Х.Цикон, Р.Фреое, В.Кирш, Б. Сайчон. Операторы ДГредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии.// М.: Мир. 1990г. приведена оценка, полученная М.Цвикелем, Е.ЛибоМ и Г.Рооенблюмом:

N_<cn J V_(x)*t2dx , n >3, " я- . / • где V±(x) =maj({0;±V(x)}iy(x) = 7+(x) - V_(x),

Cn > 0—константа, оависящая от п.

Более точные оценки докаоаны в работах М.Бирмана, Дж.Швин-

гера,, Р.Кермана в Е.Сойера (см. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А.

Об оценке числа точек отрицательного спектр а оператора Шре-

цингсра..// Мат.сборпяж. 1987.Т.134(176). No 4 (12).с.556-570.) Там

же для потенциала специального вида

докаоано, что N- оценивается сверху числом v(p) собственных она-чений оператора -Д$, меньших р. Здесь

А Ö2 , п-1 д , 1 л , „ч

и оператор Дд действует на единичной сфере.

В параграфе 3 главы 2 получены оценки N- для пбтенциадав более общего вида, при этом, в частности, дм потенциала (1) имеем более точную оценку числа /V-.

Рассмотрим потенциал, удовлетворяющий оценке

где на функцию а(<) налажены следующие условия:

О < а(е') < {г», где t ей1, (2)

(ОО 00 Ï

ja{ë)d\ -, ja{e~*)dt | <оо. (3)

Основный реоультатом параграфа 3 главы 2 является дожаоа-тельство следующего факта.

Теорема 3 Пусть и(ц) —чвспо собственных значении оператора -Л/, не превышающих р, тоща. N~ 5 i/(A"').

Полученный результат переносится на случай х е R1 (плоскость), причем оценку jV_ в данной случае удается значительно улучшить.. Именно доказана следующая

Теорема 4 Пусть поТенцжал V имеет вид

где функция a{i) удовлетворяет указанным выше свойствам (2) и

(з)- . ' . \ •■ • .

ТЬгда /У_ < 2[Л] -f Î.

u

Глава 3 посвящена спектральным разложениям, отвечающим самосопряженный расширениям оператора Шредингера. Здесь рассматривается оллиптичесжнй формально самосопряженный оператор

Я = -Д+ <?(*), х е Я*(п> 3), (4)

с потенциалом д(х), удовлетворяющим следующему условию

q(z)eC°°(ir\S) и MSpg^.K^V

где t)(x) — функция но класса С°°(ДП):

const

О < Ч(х)<

1+1*1'

Здесь 5 является гладким миогообраонем размерности т < п- 3 вида

(6)

где с е Лт,у е Лп~т, у е С71(Лт - Дп-т)-

Докапано, что оператор Я с областью определения по-

<

луограничен и следовательно, по теореме Фридрихса имеет самосопряженное расширение Я, которое, в свою очередь, обладает разложением единицы Ех и пред ставимо в виде

Я = /ЛЕД,

где Ао~ нижняя грань спектра Я.

Выяснению условий сходимости спектральных разложений Е\] функций юз классов Соболева Я'СЯ11) = ^'(Л"), связанных с операторами Шредингера, Посвящены работы Ш.А.Алжмова с соавторами. ТЪх в статье Алямов Ш.А., Баряовежа М. О спектральных

' 14- г'--'

разложениях, свяаанных с оператором Шредилгерa. Czechoslovak mathematical journal, V, 40 (115); Praha 14.6.1990, N2.рассмотрен оператор -Д + q(x) с потенциалом q(x) е C°°(Rn\S), удовлетворяющим следующему условию :

причем |V(p(^)| < canst равномерно по всем ( е Л™. Докапано, что спежтралыше разложения E\f функций но классов Соболева Я'(ЛП), О < л < 1, сходятся по норме || * ||/;.(я>) при Л со.

Основной реоультат главы 3 сформулирован в виде следующего утверждения.

Теорема 5 ГГусть 0 < s < 1 и пусть параметр /? в (5) удовлетворяет условию: ¡1 < Дь где

II при 0 < а < 1,

1 - i при 1 < « < 2. Тогда для нроипполыюй функции f е 11'(If) выполняется равенство

lim ||£д/ - /||,/'(Л') — А-нсо 4 '

В «заключение автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Ш.'А.Алимову оа постоянное внимание и неоцеиимую помощь при работе над диссертацией.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Алимов Ш.А. Сафаев С.А. О числе отрицательных собственных оначений оператора Шредингера. // Дифференциальные уравнения М. 1993 том 29. N 10.

2. Сафаев С.А. Об оцеше числа отрицательных собственных оначений оператора Шредингера. // Уобекский математический журнал. 1994 N 2. стр.49-52.

3. Сафаев С.А. О бесюнечмости числа собственных оначений оператора Шредингера. Теоисы доклада.// Труди международной конференции "Вырождающиеся уравнения и оадачи смешанного типа", г. Ташкент 23-25 ноября 1993г. стр.157.

Аннотация

Диссертацияда сингушр дифференциал операторлар, яънн аии\-ланяш со^асннииг ичяда е«и унинг чегарасида гооффяциентларя махсусликларга era болтан операторлар ^рганнлган. Сяягутир дифференциал операторлар (СДО) наоариясининг пайдо беляши, квант мсханикаси бнлан богли^ булиб, у acocan Шредингер

Цф{х) = ЕгР{х), Ж6П(СЯ»)

тенгламасини ургакишга ^аратилган. Бу ерда Я = -Л + V(r)— Шредингор оператори еки гамильтониан, Е—оаррача пнергаяси.

СДО наоариясиии тури яУиалшпларн—^о-^оига ^шма кснгаи-ишларининг мавжудлигинн текшириш, ихтиерий функциями ушбу операторларнинг хос функцияларн б^йича ейиш, уларнинг спект-рал характеристикапарини оргалит—Ш.А.Алимов, В.А.Ипьин, Р.Керман, Б.Саймон, X. Триб ель, Л.Д.Фадеев, Ч.Фефферман вабош-ца олимл ар нинг илгмий ишларида акс оттирилган. Диссертацияда олинган асосий натихалар куйидагилардан йборат:

1) fi e R* сохлиилг чегарасида'айниган потенциаллик Я опера-торнинг мух им уо-утзига ¡ц/тамалиги исбатлаотан;

2) Я операторнинг <Тц,с дискрет спектри ну1;талари сонштинг чекли булишлик меоони келтирилган ва махсус куринйшдаги по-тенциаллар учул сгц,с микдори ба^оланган.

3) S с R" текис купхилликларда айниган кооффициеитлик ¡I опе-раторларга мое келувчи спектрал ейилмаларнинг я^инлапщш шарт-лари ургалилган.

The spectral properties of elliptic differential operators with singular coefficients.

(summary)

I

The thesis is devoted to studying of singular differential operators (SDO) with coefficients degenerating on the boundary of their range of definition or at infinity. Such operators are widely used in quantum mechanics, that solutions of equation

HiP(x) = Eip(:c), lefl(çfi')

in arbitrary domain fi are the eigenfunctions of the Schrûdinger operator H = - A +V. Here V is the potential, that in teal physical problems has singularities at points and manifolds.

The various directions of SDO-theory were considered by Alimov Sh.A.,Tl'in V.A., R.Cerman, B.Simon, H.Triebel, Fadeev L.D. and other authors,

The next results are obtained:

1) for Sclirôdinger operator H in a domain fi with potential, tending to the infinity near the boundary 9Qmore quickly than [dtst(i,cK"l)]-2, the essentially self-adjointness of H is proved;

2) the criterion of finiteness of the .discrete spectrum adisc of H is proved and the estimates of for potentials of special type aie obtained-

3) for operators with potentials degenerating at smooth manifolds the conditions of convergence of the spectraL expaasions; j^./iVnorro are studied.