Операторы Шредингера и эллиптические операторы с коэффициентами-распределениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Гл.1. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

1. Определение суммы симметрических операторов

2. Приближения операторных сумм. Резольвентная сходимость и сходимость спектров

3. Мультипликаторы в пространствах Соболева

4. Основная теорема и примеры.

Гл.II. Исследование пространств М[Н® —^ Н~а].

Гл.III. Сильно эллиптические операторы с сингулярными коэффициентами .-.

1. Обобщенная сумма секториальных операторов. Приближения операторных сумм.

2. Определение и свойства пространств М[к, —/].

3. Основная теорема

Гл.IV. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами в ограниченной области.

1. Задача Дирихле для оператора Лапласа и сильно эллиптического оператора, возмущенных сингулярными коэффициентами.

2. Обобщенная задача Неймана и третья краевая задача

Цель диссертации — корректно определить оператор Шре-дингера —А + q(x) в случае, когда q{x) есть обобщенная функция; точнее, выяснить, при каких условиях на q корректное определение возможно. Если оператор уже определен, мы ставим дальнейшую цель изучения его спектральных свойств. Развиваемые нами методы оказываются применимыми для общих эллиптических дифференциальных операторов

L= Ц Dacafi{x)D^ а\Щ<т в предположении, что х G Q С К71, а коэффициенты — сингулярные функции. Точнее, мы будем предполагать, что коэффициенты главного символа (при \а\ = \(3\ = га) — существенно ограниченные функции, а неглавные коэффициенты (при |ск| + \(3| < 2т) являются обобщенными функциями.

Диссертация состоит из четырех глав. В первой подробно разбирается частный случай L = —А + Q, Q = Жп. Операторы такого типа появились в физических работах 30-х годов в связи с задачей рассеяния нейтральных частиц на ядре, когда взаимодействие является сильным на малых расстояниях и пренебрежимо малым на средних и больших (см. [1]). Модельным потенциалом такого взаимодействия является ¿-функция Дирака.

Математическое исследование оператора —А + ¡i5{x) было предпринято Березиным и Фаддеевым [2], Минлосом и Фаддее-вым [3], Березиным [4]. В работах [2, 3] оператор — А + ¡jS(x) понимался как расширение оператора Tq = —Ас областью D(To) = Cq°(IR3 \ {0}). Эта тема вызвала большое число работ. В основном изучались сингулярные потенциалы, сосредоточенные на многообразиях и дискретных наборах точек. Укажем здесь работы [5-9] и книги [10,11], где можно найти более полную библиографию. Однако, знакомясь с этой темой, автор не нашел работ, в которых исследовались бы сингулярные потенциалы с носителями на множествах ненулевой меры, кроме статей [12,13], где рассматривался потенциал 1/ж в ^[М1]. Поэтому возник вопрос: для каких сингулярных функций q{x) можно корректно определить оператор — А + д(х)?

Естественный подход к решению этой задачи — воспользоваться методом квадратичных форм. Необходимое условие, чтобы этот метод работал, состоит в следующем: функция д должна быть мультипликатором из соболевского пространства Н1(Шп) в дуальное пространство Я1(МП), т.е. умножение на д должно быть ограниченным оператором из Н1 в Н~1. Систематических исследований на тему, когда функция является мультипликатором в этих пространствах, автор не обнаружил (здесь отметим, что в известной книге [14] систематически развивается теория мультипликаторов в пространствах Соболева с положительными индексами гладкости). Конечно, задача описания пространства мультипликаторов М[Нт —> Н~т\ интересна не только с точки зрения теории операторов Шредингера, но представляет и самостоятельный интерес.

Одновременно возникает еще одна важная задача: если оператор —А + д с сингулярным потенциалом д уже определен, то можно ли его в некотором смысле приблизить операторами с гладкими потенциалами — по крайней мере, так, чтобы спектры приближающих операторов были близки к спектру исходного?

В первой главе изложено решение вышеперечисленных задач. Во-первых, приводится основанное на методе квадратичных форм общее определение суммы операторов, ядром котоporo является известная KJIMH-теорема (см. [21, гл. X]). Одновременно в нужной нам форме приводятся полезные обобщения этой теоремы. Далее, приводится абстрактное обобщение следующего результата: если последовательность функций qn сходится к q в пространстве мультипликаторов, то последовательность операторов — Д + qn сходится к — Д + q в смысле равномерной резольвентной сходимости, и имеет место сходимость спектров. Затем подробно изучается пространство мультипликаторов М[Нд —>• Н~в] при различных в, а также важные подпространства Мо[0, —в] (мультипликаторов, подчиненных onecí ратору Д с нулевой относительной гранью), и М[0, —6] (замыкание пространства гладких функций по мультипликаторной норме). Приводятся достаточные условия принадлежности функций этим подпространствам. Дается ряд примеров операторов Шредингера с сингулярными потенциалами — как уже рассмотренных в литературе, так и новых.

Дальнейшей целью диссертации является перенесение результатов на случай произвольных эллиптических операторов. Для этого необходимо провести дополнительную вспомогательную работу: исследовать мультипликаторы из Ha(Wl) в при произвольных неотрицательных а и ¡3. Параллельно мы ставим себе и другую задачу: исследовать мультипликаторы из пространств Нр в Н~а, р > 1. Эта задача имеет самостоятельный интерес; ее исследование мы проводим в главе 2. Результаты этой главы были инициированы результатами Дж.-Г. Бака и А. А. Шкаликова [37], В. Г. Мазьи и И. Е. Вербицкого [43].

В третьей главе полученные результаты о мультипликаторах применяются для определения сильно эллиптического оператора произвольного порядка L = ^ Daca^{x)D^ в Мп. Мы a\,\f}\<m предполагаем, что коэффициенты главного символа оператора являются функциями из Ь00(Шп)^ а остальные коэффициенты — распределениями в Жп. Основной результат коротко звучит так: оператор L определен корректно, если неглавные коэффициенты принадлежат пространствам Мц[т — |а|, \(3\ — га]; если гладкие функции сади —в норме соответствующего пространства мультипликаторов М[т—\а\, \(3\— гтг], то имеет место резольвентная сходимость операторов Ln с гладкими коэффициентами садп к оператору L.

В четвертой главе рассматривается оператор Шредингера с потенциалом-распределением в ограниченной области Q с гладкой границей. Мы показываем, что для случая краевых условий Дирихле операторы —Д + q{x) и соответствующие общие эллиптические операторы можно определить теми же средствами, что и в случае Q =

Определение оператора —А + q(x) в ограниченной области с другими краевыми условиями требует более тонких средств. Мы проводим определение соответствующего оператора с так называемым "обобщенным" условием Неймана. Далее, в четвертой главе мы находим условие на функцию-распределение q(x), при котором оператор умножения на нее является 9-подчиненным оператору Лапласа. Это позволяет получить формулу для распределения собственных значений с оценкой остатка и получить теоремы о базисных свойствах собственных функций.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2001 г.

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения 8— и динамические системы", Суздаль, 2000 г.

- Международной научной конференции "Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики", посвященной 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева, Москва, 1999 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

- "Несамосопряженные операторы", руководители — профессор А. Г. Костюченко и профессор А. А. Шкаликов,

- "Спектральная теория операторов", руководитель — академик РАН, профессор В. А. Садовничий,

- " Операторные модели в математической физике", руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор А. А. Шкаликов, доцент И. А. Шейпак.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора [14]-[18].

Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. А. Шкаликова за постановку задач, их полезные обсуждения и постоянный интерес к работе. Автор также благодарит профессора А. Г. Костюченко и всех участников семинара "Несамосопряженные операторы" за плодотворные дискуссии.

Гл.1. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

В этой главе будут найдены достаточные условия на обобщенную функцию д, позволяющие корректно определить в 1/2(Жгг) самосопряженный оператор —А + д.

В первом параграфе мы даем определение суммы операторов в общих терминах, основанное на методе квадратичных форм. Ядром метода является известная КЛМН-теорема (см. [21, гл. X]); здесь в нужной нам форме приводятся ее полезные обобщения. Во втором параграфе мы приводим абстрактное обобщение следующего результата: если последовательность функций цп сходится к д в пространстве мультипликаторов, то последовательность операторов — Д + сходится к — А + д в смысле равномерной резольвентной сходимости, и имеет место сходимость спектров. В третьем параграфе мы вводим пространства мультипликаторов М[Нв —Н~в] и приводим достаточные условия принадлежности функций этим пространствам. В четвертом параграфе мы формулируем итоговый результат и приводим примеры.

1. J1. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т.З Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Москва, Наука, 1989.

2. Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев, Замечания об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом, ДАН СССР, 1961, Т.137, №7, с. 1011-1014.

3. Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, О точечном взаимодействии для системы из трех частиц в квантовой механике, ДАН СССР, 1961, т.141, №6, с. 1335-1338.

4. Ф. А. Березин, О модели Ли, Матем. сб., 1963, т.60, вып. 4, с. 425-446.

5. Gesztezy F., Simon В., Rank-One Perturbations at Infinite Coupling, J.Funct.Anal., 1995, V.128, P. 245-252.

6. Kiselev A., Simon В., Rank One Perturbations with Infinitesimal Coupling, J.Funct.Anal., 1995, V.130, P. 345-356.

7. А. К. Фрагела, О возмущении полигармонического оператора потенциалами с малыми носителями, ДАН СССР, 1979, т. 245, №1, с. 34-36.

8. Koshmanenko V., Karwowski W., Ota S. r Schrodinger operator perturbed by operators related to null-sets // Positivity. 1998. V.2. №1. P. 77-99.

9. S. Albaverio, F. Gestezy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Some exactly solvable models in quantum mechanics, Springer-Verlag, 1988.

10. В. Д. Кошманенко, Сингулярные билинейные формы в теории возмущений самосопряженных операторов, Киев, Нау-кова Думка, 1993.

11. J. Gunson, Perturbation theory for a Sturm-Liouville problem with an interior singularity, Proc. R. Soc. London, A 414, 1987.

12. P. Kurasov, On the Coulomb potentials in one dimension, J. Phys. A 29 (1996), №8, 1767-1771.

13. M. И. Нейман-заде, А. А. Шкаликов, Операторы Шрёдингера с сингулярынми потенциалами из пространств мультипликаторов, Матем. заметки, Т. 66, №4, 1999, с. 599-609.

14. М.И. Нейман-заде, Операторы Шрединг ер а с сингулярными потенциалами, Тезисы докладов международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2001, с. 295.

15. М.И. Нейман-заде, Эллиптические операторы с сингулярными коэффициентами, Матем. заметки, 2002, Т.71. №.5. с. 790-793.

16. М.И. Нейман-заде, A.M. Савчук, Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами, Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2002, Т.236, с. 262-271.

17. Халмош П, Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.

18. В. Г. Мазья, Т. А. Шапошникова, Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых фунцкий, JL, Изд. ЛГУ, 1986.

19. М. Рид , Б. Саймон, Методы современной математической физики, Т. 2, М., Мир, 1978.

20. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Москва, Мир, 1972.

21. X. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, М., Мир, 1980.

22. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1975.

23. А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами, Матем. заметки, т.66, №6, 1999.

24. И. M. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, Т. 1, М., Физматгиз, 1959, Т. 1.

25. JI. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Т.1: Теория распределений и Фурье анализ, М., Мир, 1990.

26. R. S. Strichartz, Multipliers in fractional Sobolev spaces, J. Math. Mech., 1967, V. 16, p. 1031-1060.

27. J. Bergh, J. Lôfstrôm, Interpolation Spaces, Grand, der math. Wiss, Berlin, Springer Verlag, 1976, V. 223.

28. J. C. Polking, A Leibniz formula for some differential operators of fractional order) Indiana Univ. Math. J., 1972, V. 27, p. 1019-1029.

29. E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton, Princeton Univ. Press, 1970.

30. К. Иосида, Функциональный анализ, M., Мир, 1967.

31. JI. Хермандер, К теории общих дифференциальных операторов в частных производных, М., Мир, 1958.

32. JI. Р. Волевич, Б. П. Панеях, Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения, УМН, 20, вып. 1, (1965), 3-74.

33. Г. Фикера, Теоремы существования в теории упругости, М., Мир, 1974.

34. Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес, Неоднородные граничные задачи,, М., Мир, 1971.

35. Дж.-Г. Бак, А.А. Шкаликов. Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрёдингера с потенциалами-распределениями // Матем. заметки, 2002, V.71. No.5. с. 643-651.

36. В. И. Буренков, Функциональные пространства: Пространства Соболева, М., Изд. Ун-та дружбы народов, 1991.

37. В. Г. Мазья, Пространства Соболева, М., Наука, 1985.

38. М. С. Агранович, О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряженной главной частью, Функц. анализ и его прилож., Т.28, №3, 1994, с. 1-21.

39. М. С. Агранович, Спектральные свойства задач дифракции, в книге: Н. Н. Войтович, В. 3. Каценеленбаум, А. Н. Си-вов, "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции", М., Наука, 1977.

40. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М., Наука, 1965.

41. V. G. Maz'ya, I. Е. Verbitsky, Boundedness and compactness criteria for the one-dimenUonal Schrodmger operator, Preprint, Linkoping University, 2001, 14p.

42. А. С. Маркус, Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков, Кишинев, изд. "Штиинца", 1986.

43. А. С. Маркус, В. И. Мацаев, Операторы, порожденные полу тор алинейными формами, и их спектральные асимптотики, в книге: Линейные операторы и интегральные80—уравнения/Математические исследования, вып.61, Кишинев, изд. "Штиинца", 1981, с.86-103.

44. A.A.Shkalikov, Estimates of meromorphic functions and summability theorems, Pacific Journ. Math., V.21 (1982), №4, p. 81-97.

45. Д. Г. Васильев, Двучленная асимптотика спектра краевой задачи при внутреннем отражении общего вида, Функц. анализ и его приложения, 1984, т.18, вып.4, с.1-13.

46. P. Grisvard, Commutativité de deux fondeurs d'interpolation et applications, J. Math. Pures Appl., 45, (1966), p. 143-290.

47. В. Б. Лидский, О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов, Труды Московского математического общества, 1962, т. 11, с.3-35.

48. М. В. Келдыш, О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов, УМН, 1971, т.27, вып.4, с.15-47.