Некоторые вопросы спектральной теории операторов Шредингера и Дирака с почти-периодическими потенциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЧИСЛО ВРАЩЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С

ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§1. Число вращений для действительных А

§2. Матрица-функция,-Грина и решения

Вейля- Титчмарша.

§ 3. Число вращений душ комплексных Л

§ 4. Некоторые приложения к нелинейным уравнениям.

ГЛАВА II. ОПЕРАТОРЫ ДИРАКА С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ

ПОТЕНЦИАЛАМИ И НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫМ СПЕКТРОМ

§1. Определение и свойства конечнозонного потенциала оператора Дирака

§2. Конечнозонные потенциалы как почти-периодические функции

§3. Аппроксимация M+f -зонного потенциала Ы -зонным.

§4. Операторы Дирака с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным спектром.

ГЛАВА III. ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С ПОЧТИ-ПЕРШДМЧЕС-КИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ И НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫМ СПЕКТРОМ.

§1. Конечнозонные потенциалы оператора

Шредингера.

§2. Конечнозонный потенциал оператора Шредингера как частный случай конечнозонного потенциала оператора Дирака.

§ 3. Операторы Шредингера с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным спектром

Настоящая работа посвящена изучению некоторых вопросов спектральной теории одномерного оператора Шредингера - - ^ -h ^ сх> С-оо<ое<*оо) с/ зс с почти-периодическим по Г.Бору действительным потенциалом ^ ех), и спектральной теории одномерного оператора Дирака о - (0 м ^ - Гсх) хса) -1 о/'* V г. «ас) -рсх).

- со < JC < +оо) с почти-периодическими по Г.Бору действительными коэффициентами ptx) ^ Х.СХ.) . Комплексную функцию £<( гасз = Zuc) - tpcx) принято называть потенциалом оператора Дирака ®

В последнее время резко возрос интерес к оператору Шредингера с почти-периодическим потенциалом. Это было вызвано открытием связи между спектральной теорией этого оператора и теорией уравнения Кортевега - де Фриза /КдФ/ fy ^ - 6 ^ ^ л + ^ = а также открытием для оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом многочисленных физических приложений. Изучение оператора Дирака с почти-периодическим потенциалом представляет интерес не только чисто математический,но и в силу его приложений к нелинейному уравнению Шредингера /НШ+/ L U ^ ~ - 1/. ^ + Ц I ТА I Ы и модифицированному уравнению Кортевега - де Фриза /вд>/ lti - 6 IU lz U + - О .

Впервые оператор Шредингера с почти-периодическим потенциалом был рассмотрен в работе Г.Шарфа [I] /1965г./. В ней доказана почти-периодичноеть на диагонали функции Грина уравнения Шредингера ~ * fyсх:) У = 2 </ с почти-периодическим потенциалом у ос) и изучен вцд решений этого уравнения. Математическая часть работы применена Г.Шарфом к изучению движения электрона в одномерном кристале под действием вибрации. Долгое время эта работа оставалась единственной. Следующие работы были вызваны развитием аппарата конечнозонного интегрирования уравнения КдФ. Замечательным достижением в этой области явилось, см. £2], открытие С.П.Новиковым квазипериодичности по ас и по t конечнозонных решений уравнения КдФ. В работе [з! Г.П.Мак-Кин и Е.Трубовиц доказали почти-периодичноеть по времени решений уравнения КдФ с произвольными периодическими начальными значениями, а в работе 14] Б.М.Левитан доказал почти-периодичноеть бесконеч-нозонных потенциалов и почти-периодичность по времени решений уравнения КдФ с бесконечнозонными начальными значениями. Всё это вызвало интерес к изучению, с целью возможного применения к уравнению КдФ, одномерного оператора Шредингера с квазипериодическим и общим почти-периодическим потенциалом. Изучению оператора Шредингера с квазипериодическим потенциалом была посвящена работа Е.И.Динабурга и Я.Г.Синая [5] /1975г./. В ней было доказано, что для квазипериодического потенциала с нерезонансными частотами и экспоненциально быстро убывающими коэффициентами Фурье существует неограниченное канторовское множество, содержащееся в абсолютно непрерывной части спектра оператора Шредингера. Результаты этой работы были расширены и развиты Г. Османом в [6]. В работе [7] А.Я.Гордон построил пример оператора Шредингера с квазипериодическим потенциалом, имеющего собственное значение. /Напомним, что оператор Шредингера с периодическим потенциалом иглеет чисто абсолютно непрерывный спектр, состоящий из конечного или бесконечного множества интервалов действительной оси /зон устойчивости/, сгущающихся к + /.

С 1981г. работы посвященные этой тематике стали публиковаться непрерывным потоком. Независимо друг от друга В.А.Чулаевский в [8], К)р.Мозер в 19], Д.Аврон и Б.Саймон в [10] рассмотрели оператор Шредингера с предельно периодическим потенциалом. В этих работах была обнаружена тенденция спектра почти-периодического оператора Шредингера быть канторовским множеством, т.е. нигде не плотным совершенным множеством. А именно, было доказано , что в любой окрестности периодического потенциала /по топологии равномерной на IF = >4 00) сходимости/ существует предельно периодический потенциал, оператор Шредингера с которым имеет чисто абсолютно непрерывный спектр, являющийся неограниченным канторовским множеством бесконечной меры. Этот потенциал строился как предел такой равномерно сходящейся на R последовательности периодических потенциалов I ^ и. кратно увеличивающимися при росте Аг периодами, что каждый I оператор Шредингера L - ~ —, > имел бы открытыми п> йХг г Г1 все лакуны спектра. При увеличении периода, т.е. при росте /г , лакуны спектра оператора Lбудут лежать всё более плотнее, поэтому спектр предельного оператора L / L» L в равномерном резольвентном смысле/ будет нигде не плотным совершенным множеством - неограниченным канторовским множеством. В совметной с Б.М.Левитаном работе [II] мы показали, что предыдущий результат может быть значительно усилен если исходить из конечнозонных потенциалов. Использование конечнозонных потенциалов позволяет строить примеры операторов Шредингера с нигде не плотными спектрами и с не только предельно периодическими, но и с почти-периодическими потенциалами с любым наперед заданным частотным модулем. Замечательное приложение спектральной теории оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом нашли Дж.Ав-рон и Б.Саймон. При помощи неё они в работе [12] дали объеснение структуры колец Сатурна.

В работе [13] Р.Джонсон и Юр.Мозер изучили свойства числа вращений oU /плотности состояний/ для уравнения Шредингера -у" + ~ ^ ty с почти-периодическим потенциалом CJ/a:).

Заметим, что значительно раньше плотность состояний была изучена М.А.Шубиным для многомерного оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом - см. [14]. Понятие числа вращений оказалось очень полезным при изучении спектра одномерного оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом - см. [13]и работы Дж.Ав-рона, Б.Саймона и П.Дейфта [15] , [16]. В работе [17] С.А.Гредескул и Л.А.Пастур рассмотрели плотность состояний для системы Дирака со случайным потенциалом. В заключение этого краткого обзора отметим работу Б.М.Левитана [18], в которой устанавливается почти-периодичное ть потенциалов оператора Шредингера в случае, когда спектр состоит из счётного множества интервалов,сгущающихся не только к + оо , но и к конечным точкам. Оператор Дирака с почти-периодическим потенциалом до настоящего времени в литературе не рассматривался. В этом обзоре мы отметили только работы, примыкающие по теме к задачам, рассматриваемым в данной работе. Подробный обзор литературы посвященной оператору Шредингера с почти-периодическим потенциалом дан в работе Б.Саймона [19].

В некотором смысле оператор Шредингера можно рассматривать как частный случай оператора Дирака, поэтому большее внимание в работе мы уделяем оператору Дирака. Отправляясь от конечно-зонных потенциалов, мы доказываем существование операторов Шре-дингера и Дирака.имеющих нигде не плотный спектр, при этом не только с предельно периодическими потенциалами, но и с почти-периодическими потенциалами с любым частотным модулем. Мы также изучим свойства числа вращений для системы Дирака с почти-периодическими коэффициентами. Основные результаты данной работы являются новыми, они опубликованы в совместной с Б.М.Левитаном работе [II] и в работах автора [20 - 22].

Прежде чем перейти к подробному изложению результатов, сформулируем нужные нам определения и факты теории почти-периодических функций /подробное изложение теории почти-периодических функций дано в книгах Б.М.Левитана [23], Б.М.Левитана и В.В.Жико-ва [24]/.

Каждой почти-периодической по Г.Бору комплексной функции взаимно однозначно сопоставляется её ряд Фурье

00 С 7[к ос fcx) ^ £ Ск €

К = i где частоты ^ к - те значения л , при которых среднее Бора Т

М I !<*) е I = г J f,*>е Ых * f -<** 0 функции ?toe) в отлично от нуля, коэффициенты Фурье

- \JX I f(X> в . Частотным модулем почти-периодичес о кой функции f (jc ) называется множество действительных чисел, образованное всеми конечными целочисленными комбинациями частот Я* , £ = 2. >. .в дальнейшем частотный модуль функции fcx> будем обозначать через М If } . Частным случаем почти-периодической функции является периодическая функция, её частотный модуль изоморфен модулю целых чисел JT . В зависимости от структуры базиса частотного модуля производят классификацию почти-периодических функций:

1. Если частотный модуль функции имеет конечный целый базис, состоящий из № независимых частот , W2,-} # , т.е. если

M[f}= { ft, («м *«2 п-„ы„\липг,~.,\* то функцию называют квазипериодической с // частотами. Другим эквивалентным определением является существование такой непрерывной функции I/ переменных F xz >•••» периодической с периодом I по каждой переменной, что f<х) =

-F ( Т^*,-- J —При М- У функция будет периодической.

ЗЖ & V

2. Если частотный модуль имеет конечный рациональный базис, состоящий из У независимых частот to^ i uj^ , т.е. если

Л {f 1 = { % «л* % ь>1+.+ %"„ I %, %,., Vе то функцию называют предельно периодической с // частотами. Эти функции характеризуются тем, что их можно равномерно на 1Я аппроксимировать функциями квазипериодическими с /V частотами. При JV - 4 функция называется предельно периодической. Такие функции характеризутся тем, что их можно равномерно на IR аппроксимировать периодическими функциями.

3. В общем случае частотный модуль имеет либо бесконечный целый базис, либо бесконечный рациональный базис. В первом случае функцию естественно называть квазипериодической с бесконечным числом частот, а во втором - предельно периодической с бесконечным числом частот.

Перейдём теперь к подробному изложению результатов работы. В первой главе работы изучаются свойства числа вращений для системы Дирака

Jai p<ac>3i = ъул г*,' + -г^Чг = а{1) с действительными почти-периодическими по Г.Бору коэффициентами р сэо , ъсх.)

-ъ 7

Пусть Я действительно, ^ сое, Л) =, 9 произвольное не нулевое действительное решение системы (I). Тогда для любого действительного X. вектор столбец у сх} А) Ф 0 f поэтому корректно определена "фаза" решения 6? саг, а) =

Числом вращений системы (I) называ

A. ется предел о( Ш = «м —т— . Мы докажем что этот jC^oe * предел существует, не зависит от выбора решения ^ c*jA) и определяет функцию действительной переменной А , обладающую такими же свойствами что и число вращений для уравнения Шредингера с почти-периодическим потенциалом /см. [13]/. Точнее:

1. с( СЬ) является непрерывной, неубывающей функцией.

2. Для любых oUAi)-<^A<()= 1 6'и* IS* № Аг)

14 /.-><» L 7 где /V^ ()ii9 ~ число собственных значений, находящихся в отрезке , краевой задачи на С 0} L 7 для системы Дирака (I) с граничным условием ^^ с°) ~ ( L) - О.

- II

3. Функция 2. d(.h) постоянна на каждой лакуне спектра оператора Дирака с потенциалом U сх) =. zcx) принимает на ней значение из частотного модуля потенциала.

4. При каждом фиксированном значении % оКА) = * ПЧ ) является непрерывным функционалом на банаховом пространстве почти-периодических потенциалов.

Такое определение числа вращений для системы Дирака является естественным обобщением понятия числа вращений для уравнения Шредингера. Мы доказываем, что если oUa) с Л - число вращений для системы (I) с р сое) в о , то oUA) будет так же числом вращений для уравнения Шредингера

Число вращений можно определить другим способом. Пусть f(x,\) = ( <рсх,\))'1' » где уже Jm % , - комплексное решение системы (I) , удовлетворяющее условию:

X, ?СО}*)] < О ? (2) где [ф, 9 J - ^ "" ^ " определитель Вронского решений <рс#Л) и /черта сверху обозначает взятие комплексно сопряженного числа/. Тогда: для любого положительного дс ^ сое,А) + 0 ; при J™ 2 £ о предел А (А) =• - ип>1 —--существует и не зависит от выбора комплеког-> оо & сного решения , удовлетворяющего условию (2) ; при

6R Ь> =*<*>. т.е. it"? "г 00 wt. •

Функцию к О) можно рассматривать как число вращений для системы (I) при комплексном значении параметра Я . Функция является мнимой частью аналитической в верхней полуплоскости tJM*>o} функции \ 2 * * где ( G . (ocj У ■> ^^ ) J - матрица-функция Грина системы

Дирака (i). /Элементы G- С,0с> х> * ^ матрицы-функции Грина на диагонали почти-периодичны по X с тем же частотным модулем, что и потенциал/. Функция

Re

Wt А) < О , при Я > О , является показателем Ляпунова для системы (IJ. Производная w'r z) = M

JC ъ 1

При фиксированных Д1, ^ б / Jm Я > о } величины wj - to/fAj ' Ю WYAj ; pj х ) cjs''» 2 ) являются, находящимися в инволюции, гладкими функционалами на банаховом пространстве двумерных действительных почти-периодических вектор-функций, т.е. их скобка Пуассона t •> п S b^i swz s u/f £ (А/г 7 n

Если потенциал U cx) € С C0c)(IR), то для функции WtX) , при % + £ ос 9 имеет место асимптотическое разложение f Ос Г) 1 С 21 ^К ' где w* - ^зс i О a J полином от Я, г, Я ) * r">r 3 "С. . Полиномы ф

J являются плотностями хорошо известной бесконечной послек довательности полиномиальных интегралов уравнений НШ+ и ЩдФ, причём интеграл Ч является гамильтонианом уравнения НШ+, а интеграл 8 iv^ - уравнения МКдФ.

Вторая глава работы посвящена построению операторов Дирака с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным спектром. Потенциалы таких операторов мы строим как пределы конечнозонных потенциалов, поэтому большое внимание в этой главе уделяется ко-нечнозонным потенциалам оператора Дирака.

Кадций конечнозонный / № -зонный/ потенциал оператора Дирака U = задаётся набором 3// параметров: границами

Л/ ' /у зон спектра < Pi < 4 Pz <'"- * ^ и // спектральными параметрами ic кк , где $ е с ] ,

С? = ± 'f . Мы доказываем, что конечнозонный потенциал можно к задавать другим, эквивалентным первому, набором параметров: ГДе ^

-ов ^ ^

• -числа J Kjc^^fci^*^}. однозначно определяются из уело

J 1 <

ВИИ 1*к j Я = о , К - 1, г,-- , М i I lf(»)cl* , г Л 7 У ^ * ~ числа J fz-'i берутся из промежутка Jl ) так, чтобы к = , dK~Sfjncos4>M .

Конечнозонный потенциал является квазипериодической функцией, числа Kj , ) • • • 7 ~ СУТЬ его базисные частоты. Рассмотрим область у/ о/ = j[Jmu>o] \ и CRev-V*, 0& ]}

Пусть со - wN (1) - конформное однолистное отображение верхней полуплоскости I J ил Н > о } на область -О^"// » нормированное условием Ьнл (со ( Сь) - 2i У) - О, a Z = 2./^)-обратное отображение области -JTl^ на полуплоскость iJmZ >Oj, Тогда, если М -зонный потенциал U # задаётся набором параметров (3 ) , то: числа Н^ (V^ -о)< < . . 2 (V -0) < £ (V+o)-суть границы зон спектра оператора Л/ N N N

Дирака с этим потенциалом; функция действительной переменной

4 л

J Re Соы (Ъ) = dC% j liN )=оUA) число вращений; при Зи/»А>0 .коэффициенты М/ = Мх I ^ )} асимптотического разложения функции W t Л ) /при ^ -> f £ оо / алгебраически выражаются через следы п=1 4 * ' f Точнее: л/ i=1 и т.д. /Для периодического потенциала ^ лх) числа < < - суть нули производной дискриминанта Хилла/.

Центральным местом второй главы является оценка возмущения

- 15

А/ -зонного потенциала при добавлении новой лакуны спектра. Пусть У -зонный потенциал U (х) задаётся набором параметров (3) , а У+1 -зонный потенциал - набором

V,, ^ • . ; V^AvhM, где \/Mf 4 - любое число отличное от Тогда

Sup I и <*) - и СХ) I = OcA/v+j), xeie

Эта оценка доказывается при помощи аппроксимации системы уравнений "обобщенной" проблемы обращения Якоби на римановой поверхности рода Л'/задача обращения интегралов третьего рода/ соответствующей системой уравнений на римановой поверхности рода А/ . Аналогичный метод впервые использовал Б.М.Левитан в работе [25] для аппроксимации бесконечнозонного потенциала оператора Шредингера конечнозонными /система уравнений проблемы обращения Якоби на римановой поверхности бесконечного рода аппроксимировалась соответствующей системой уравнений на римановой поверхности конечного рода/.

Основные результаты этой главы заключены в следующих теоремах:

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть t/U - произвольный счётный модуль действительных чисел, не изоморфный модулю целых чисел. Тогда существует такой почти-периодический потенциал, имеющий: модуль М. своим частотным модулем, что оператор Дирака с ним имеет.чисто абсолютно непрерывный спектр, являющийся нигде не плотным совершенным множеством / неограниченным канторовским множеством бесконечной меры/.

ТЕОРЕМА 2.2. В любой окрестности /по топологии равномерной на всей числовой оси сходимости/ Н -зонного потенциала существуют потенциалы квазипериодические с Р/ частотами и потенциалы предельно периодические с // частотами такие, что операторы Дирака с ними имеют чисто абсолютно непрерывные спектры, являющиеся нигде не плотными совершенными множествами.

СЛЕДСТВИЕ. В любой окрестности периодического гладкого потенциала оператора Дирака существуют предельно периодические потенциалы и квазипериодические потенциалы такие, что операторы Дирака с ними имеют чисто абсолютно непрерывные спектры, являющиеся нигде не плотными совершенными множествами.

В третьей главе отроются примеры операторов Шредингера с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным спектром. Такие почти-периодические, потенциалы мы строим как пределы равномерно сходящихся на всей числовой оси последовательностей конеч-нозонных потенциалов. Этот метод позволяет строить такие потенциалы с любым частотным модулем, а не только предельно периодические как в работах £8],[9],[10].

Мы показываем, что каждый И -зонный потенциал оператора Шредингера может быть получен из соответствующего 2. М -зонного потенциала оператора Дирака, задаваемого границами зон спектра и спектральными параметрами, расположенными на действительной оси симметрично относительно нуля, и наоборот, что из любого такого 2. У -зонного потенциала оператора Дирака можно получить У -зонный потенциал оператора Шредингера. Точнее, если It/ -зонный потенциал оператора Дирака ~ " J*) задаётся границами зон спектра - < < < -вЦ <*1< С. * *л> < и спектральными параметрами [(К, )} где - = L е , = /с = ,

2 ' то Р £ зс}= 0 и Q, сх) ~ 1 ^/преобразование Миуры/

2 А/ А/ является Ы -зонным потенциалом оператора Шредингера, задава

2 2, 2 2 емым границами зон спектра О < Ы.^ < < . < * P/v

2 7 /V и спектральными параметрами , .В этом смысле к=1 конечнозонный потенциал оператора Шредингера можно рассматривать как частный случай конечнозонного потенциала оператора Дирака. Поэтому большинство утверждений для оператора Шредингера мы получим как следствие из утверждений для оператора Дирака, полученных нами во второй главе.

Основные результаты этой главы сосредоточены в теоремах 3.1 , 3.2 и их следствиях, утверждающих для оператора Шредингера тоже, что и теоремы 2.1 , 2.2 и их следствия для оператора Дирака. Мы доказываем существование в любой окрестности периодического потенциала оператора Шредингера не только предельно периодических потенциалов, приводящих к нигде не плотному спектру, что впервые было доказано В.АЛулаевским, Юр.Мозером, Д.Авроном и Б.Саймоном /см. [8j,[9],flO]/, но и квазипериодических потенциалов, приводящих к нигде не плотному спектру.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Б.М.Левитану за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Scharf G. Fasterperiodische Potentiale. - Helv. Phys. Acta, -1965, v. 38, p. 573-605.

2. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега де Фриза I. -Функц. анализ и приложения, 1974, т.8, №3, с.54-66.

3. McKean N.P., Trubowitz Е. Hill's operator and Hyperelliptic Function Theory in Presence of infinitely Many Branch Points. -Coram. Pure Appl. Math., 1976, v. 29, p. 143-226.

4. Левитан Б.М. Почти-периодичноеть бесконечнозонных потенциалов. -Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45, №2, с.291-320.

5. Динабург Е.И., Синай Я.Г. О спектре одномерного уравнения Шредингера с квазипериодическим потенциалом. Функц. анализ и приложения, 1975, т.9, М, с.8-21.

6. Rtissmann Н. On the one-dimensial SchrSdinger equation with quasiperiodic potential. Ann. NY Acad. Sci., 1980, v.357, p.90-101

7. Гордон А.Я. О точечном спектре одномерного оператора Шредингера. УМН, 1976, т.31, в.4, с.257-258.

8. Чулаевский В.А. О возмущении оператора Шредингера с периодическим потенциалом. УМН,. 1981, т. 36, в.5, с.203-204.

9. Moser J. An example of a Schrodinger operator with almost periodic potential and nowhere dense spectrum. Comm. Math. Helv., 1981, v. 56, P. 198-224.

10. Avron J., Simon Б. Almost periodic SchrSdinger Operators: I. Limit Periodic Potential. Comm. Math. Phys., 1981, v. 82, p. 101-120.

11. Левитан Б.М., Савин А.В. Примеры одномерных операторов Шредингера с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным, абсолютно непрерывным спектром. ДАН, 1984, т.276, №3, с.539-542.- 124

12. Avron J., Simon B. Almost periodic Hill's Equation and the Rings of Saturn. Phys. Rev. Lett.,1981,v.46,№17, p.1166-1168.

13. Johnson K., Moser J. The rotation number for almost periodic potentials. Comm. Math. Phys., 1982, v.84, p.403-438.

14. Шубин M.A. Плотность состояний самосопряженных эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами. Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1978г., в.З, с.243-275.

15. Avron J., Simon В. Almost periodic Schrodinger Operators: II. The density of states. Duke Math. J., 1983, v.50, p.369-391.

16. Deift P., Simon B. Almost periodic Schrodinger Operators: III. The Absolutely Continuous Spectrum in One Dimention. Comm. Math. Phys., 1983, v.90, N?3, p.389-411.

17. Гредескул С.А., Пастур Л.А. Плотность состояний в одномерной неупорядоченной системе в двухзонном приближении. ЖЭТФ, 1978г., т.75, в.4, с.1444-1457.

18. Левитан Б.М. О замыкании множества конечнозонных потенциалов.- Матем. сб., 1984г., т.123, Ж, с.69-91.

19. Simon В. Almost periodic Schrodinger operators: a review. -Adv. Appl. Math., 1982, v.3, N24, p.463-490.

20. Савин А.В. Примеры операторов Шредингера с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным, абсолютно непрерывным спектром.- УМН, 1984г., т.39, в.4, с.105.

21. Савин А.В. О почти-периодических операторах Дирака с нигде не плотным спектром.-Деп. М937-84 10 июля 1984г. ВИНИТИ АНСССР, 57с.

22. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.:"Гостехиздат", 1953г.

23. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд. МГУ, 1978г.

24. Левитан Б.М. Аппроксимация бесконечнозонных потенциалов ко-нечнозонными. Изв. АН СССР, сер. матем. 1982,т.46,Ж, с.56-87.

25. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: "ИЛ", 1962г.

26. Данфорд Н., Шварц Дне. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: "Мир", 1966г.

27. Кодцингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:"ИЛ" 1958г.

28. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. -М.: "Наука", 1970г.

29. Johnson R., Moser J. Erratum: The Rotation Number for Almost Periodic Potentials. Comm. Math. Phys., 1983, v. 90, N 2, p.317-318.

30. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: "Наукова думка", 1977г.

31. Итс А.Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений. Вестник ЛГУ, сер. матем., 1976, №2, с.39-46.

32. Левитан Б.М. Обратная задача Штурма-Лиувилля для конечнозонных и бесконечнозонных потенциалов. Тр. Моск. мат. об-ва, 1982, т.45, с.3-36.

33. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега -де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. Функц. анализ и приложения, 1975, т.9, №3, с.41-51.

34. Trubowitz E. The inverse Problem in Periodic Potential. -Comm. Pure Appl. Math., 1977, v. 30, p. 321-337.

35. Веселов А.П. Конечнозонные потенциалы и интегрируемые системы на сфере с квадратичным потенциалом. Функц. анализ и приложения, 1980, т.14, М, с.48-50.

36. Савин А.В. Тождество для квадратов собственных функций беско-нечнозонного оператора Штурма-Лиувилля. Вестник МГУ, cep.I, 1984, №6, с. 83-85.

37. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла. Мат. сб., 1975, т.97, №4, с.540-606.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.1. Функциональный анализ. М.: "Мир", 1977 г.

39. Мисюра Т.В. Конечнозонные операторы Дирака. Теория функций, функциональный анализ и их приложения /Харьков/, 1980, в.33, с. I07-III.

40. Мисюра Т.В. Аппроксимация периодического потенциала оператора Дирака конечнозонными. Теория функций, функциональный анализ и их приложения /Харьков/, 1981, в.36, с.55-65.

41. Марченко В.А., Островский И.В. Аппроксимация периодических потенциалов конечнозонными. Вестник Харьковского ун-та, 1980, в.45, №205, с.4-40.