Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрёдингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ СПЕКТРА ДВУМЕРНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Штеренберг Роман Григорьевич

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

д. ф.-м. н., профессор Бирман Михаил Шлемович ОФФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

д. ф.-м. н., профессор Дергузов Виктор Иванович к ф.-м. н. Фирсова Наталья Евгеньевна ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургское отделение Математического Института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук (ПОМИ РАН)

Защита состоится 2003 года в Л . часов в ауд. ЙЭДна

заседании диссертационного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Отзывы на автореферат присылать по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Ульяновская ул. 1, НИИФ СПбГУ, диссертационный совет Д 212.232.24, Е. С. Семеновой.

Автореферат разослан ".г?.." года.

Ученый секретарь диссертационного совета ¿¿/Л^у /А. К Щекин/

А

15520

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В основе этого анализа лежат разложения Флоке-Блоха, являющиеся аналогом (хотя и не полным) разложений Фурье. В сравнительно широких предположениях метод Флоке-Блоха показывает, что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. При этом из общих соображений не следует, что не могут существовать "вырожденные" зоны, сводящиеся к точке. Эта точка должна была бы представлять собой собственное значение бесконечной кратности. Наличие или отсутствие таких точек существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Общепринятая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регулярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Однако, обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой сравнительно сложную математическую задачу и требует использования довольно продвинутой математической техники. Более того, само представление о "регулярных" случаях достаточно размыто и ограничивается наличием контрпримеров. Эти контрпримеры связаны либо с недостаточной гладкостью коэффициентов, либо с другими особенностями в постановке вопроса. Например, известен гладкий периодический эллиптический оператор четвертого порядка, имеющий вырожденную зону.

Операторы математической физики обычно имеют второй (или первый) порядок, что несколько смягчает ситуацию. Однако, и здесь известны контрпримеры, связанные с негладкостью коэффициентов (см., например, [1]). В то же время наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения применений. Поэтому важно уметь исключать наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты. Поскольку доказательство отсутствия сингулярного непрерывного спектра представляет собой сравнительно простую задачу, отсутствие вырожденных зон фактически устанавливает абсолютную непрерывность спектра соответствующего оператора.

Настоящая работа посвящена исследованию абсолютной непрерыв-

ности спектра двумерного периодического оператора Шредингера при наличии метрики и электрического и магнитного потенциалов. При этом электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда (распределения), сосредоточенного на периодической системе кривых. Потенциалы такого рода возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]). Надо отметить, что эксперимент в ряде случаев не дает здесь возможности отличить очень узкие зоны от вырожденных. В настоящей работе показано математическими средствами, что вырожденных зон в задачах такого типа быть не может.

Цель работы. Целью диссертации является:

1) доказательство абсолютной непрерывности спектра двумерного периодического оператора Шредингера при максимально свободных условиях на коэффициенты оператора;

2) исследование случая сингулярного электрического потенциала, сосредоточенного на периодической системе кривых;

3) исследование случая сильного положительного возмущения, для которого нарушается условие подчиненности в смысле форм.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1) Доказана абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с переменной метрикой, электрическим и магнитным потенциалами и весовой функцией. Условия на коэффициенты ставятся в • абстрактных терминах компактности некоторых вложений, что позволяет не только покрыть все известные к настоящему моменту результаты, но и существенно их улучшить. Предложенные условия на электрический и магнитный потенциалы, а также на весовую функцию в определенном смысле неулучшаемы.

2) Впервые удалось рассмотреть случай сингулярного электрического потенциала (заданного как распределение), в качестве которого можно, в частности, взять дельта-потенциал, сосредоточенный на периодической системе кривых.

3) Исследован случай сильного положительного возмущения. Показано, что при минимальных условиях, гарантирующих корректное определение оператора через форму, спектр оператора Шредингера не

содержит вырожденных зон.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для исследования других двумерных периодических операторов математической физики (операторов Паули и Дирака, оператора теории упругости), а также при изучении многомерных задач. Результаты диссертации применимы и при исследовании ряда физических вопросов Так, в частности, сингулярные потенциалы, сосредоточенные на периодической системе кривых, возникают в теории фотонных кристаллов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (2000-2003 гг.); Петербургском семинаре по математической физике им. В. И. Смирнова (2000-2003 гг.); семинаре кафедры высшей математики Королевской технической высшей школы, Стокгольм, Швеция (2001 г.); семинаре кафедры высшей математики Института ядерной физики, Реж, Чехия (2001 г.); семинаре Института Миттаг-Леффлера, Стокгольм, Швеция (2002 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [БСШ], [Ш1]-(Ш4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи параграфов, разбитых на пункты, и списка литературы. Объем диссертации — 82 страницы. Список литературы содержит 42 наименования.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю М. Ш Бирману за постановку задачи и большое внимание к работе. Автор благодарит также Т. А. Суслину за многочисленные полезные обсуждения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается постановка задачи, рассматриваемой в диссертации. Описываются методы исследования. Обсуждаются полученные результаты и производится их сравнение с результатами предшествующих работ.

Пусть а], а2 € К2 образуют базис решетки Г в К2 и пусть П := {х 6 82 : х=*1а1+«2а2, 0<^<1, ¿ = 1,2}

— элементарная ячейка решетки Г. Фиксируем ортонормированный базис «1,62 в R2 так, чтобы было ei = ai/|ai|. Используем обозначения V = {д/дх1,д/дх2} = 0b>, D = {DbD2} = -¿V. Для вещественной функции / будем писать 2/±(х) := |/(х)| ± /(х). Классы Соболева порядка 1 с показателем суммируемости 2 обозначаются через Я1(К2), Я1 (íi). Через Hl(Q) обозначается подпространство тех функций из Я1(П), для которых Г-периодическое продолжение принадлежит классу ЯьДК2). Через (^"(П) обозначается класс функций, являющихся сужением Г-периодических функций класса C°°(R2) на О.

Далее, (•,•), | • | — стандартные скалярное произведение и норма \

в С2; 1 — единичная (2 х 2)-матрица. Интегралы без указания области интегрирования считаются распространенными по R2. Через С, с обозначаются различные оценочные постоянные. Если Н — измеримое множество в R2, то meas S означает двумерную меру Лебега множества 5. Для операторной нормы линейного ограниченного отображения Т в используем обозначение ||Т||.

Рассматривается оператор вида

(rKx))-1 ((D - A(x))*g(x)(D - А(х)) + V(x)) („(х))"1, х 6 R2. (1)

Здесь А(х) — векторный (магнитный) потенциал, </(х) = {^'(х)}, 1 < j,l < 2, — положительная матрица (метрика), V(x) — обобщенный электрический потенциал, задаваемый как распределение, r¡(x) — положительная весовая функция. Все коэффициенты предполагаются вещественными и Г-периодическими.

В § 1 дается точное определение оператора (1) через замкнутую полуограниченную снизу форму и формулируются основные результаты диссертации.

В пункте 1 вводятся необходимые обозначения.

В пункте 2 ставятся условия на коэффициенты оператора.

Магнитный потенциал задается измеримой вектор-функцией А(х) = Л)(х)е1 + Лг(х)е2 с вещественными коэффициентами, причем

А(х + a¿-) = А(х), з = 1,2, хбК2. (2)

Будем также предполагать, что выполнена оценка J |A|2|u|2dx <ej |Vu|'2dx+C(e;íí, A) J |tt|2<fx, Ve e (0,1), u e Hl{ü). (3)

Метрика задается измеримой (2 х 2)-матрицей-функцией д(х) = {^'(х)} с вещественными элементами, причем

$(х + a,) = 5(х), i = 1,2, xeR2, (4)

col <tf(x) < cjl, O<C0<C1<00. (5)

Представим метрику g в виде

д(х) := ш2(х)д0(х), detЛ(х) = 1, ы :« (detд^))1'*. (6)

Предполагается, что для скалярной функции ш выполнено:

w € Я1^), (7)

f |Vuf|u|2dx <eí |Vw|2dx 4- C(e\ fi, w) f \u\2dx, J J J /¡л

£1 fl П W

Ve e (0,1), ueñ\{i).

Пусть dv — вещественный борелевский заряд в R2 с локально конечной вариацией: для любого борелевского ограниченного в R2 множества S

|И(3) := j \du\ < 00. (9)

Будем считать, что заряд dv периодичен относительно Г, то есть

j dv{x) = j di/(x), n = {nbn2} €Z2. (10)

2+niai+njaa E

Представим заряд dv в виде dv — dv+~dv~, 2dv± := \dv\±dv. Наложим на заряд dv следующие условия, (i) Форма

т+[м,м] := J\Vu\2dx + J \u\2dv+, и € <T(K2),

допускает замыкание в 1п(Щ2). Область определения замыкания формы тп+ обозначим через d Множество d (с JT1 (К2)), вообще говоря, не совпадает с Я1 (R2).

(и) При некотором а < 1 справедливо неравенство

I \u\4v- (дЪи, Vu)dx + ^ |и|аЖ/+) + С(а-,д, Ли) J \ufdx, ^^

о < 1, и е С£°(К2).

Отметим, что оценка (11) распространяется на все функции из А. (ш) Выполнена оценка

>' J 1«|2|Ж/| < е И |У и|2«1х + шах |«|2 I + С {е.- П, А/) ^ \ufdx, ^ П \£1 / П ^^

Уе € (о, 1), « е

Далее, весовая функция т\ — вещественная измеримая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

ф + а^) = Т7(х), ^ = 1,2, х € К2, (13)

7}{х) > О, п. в. х € К2, (14)

У"|»Н2йх<£ j |Уи|2Лс+С7(е;П,г;) j |«|2<*х, Уеб(0,1), ибЯ^П). (15) п п л

Отметим, что условия (3), (8), (15) равносильны соответственно компактности вложения Я1 (Л) в весовые пространства |А|2),

В пункте 3 приводятся удобные широкие достаточные условия, обеспечивающие оценки (3), (8), (15). Согласно лемме 2.1 из [3] оценки (3), (8), (15) будут заведомо выполнены, если

J |А|21п (1 + |А|)Ас < с», J |Уц>|21п(1 +1Фи|)<Ьс < оо,

п

У |,,|21п (! + №)<&•

а п

: < оо.

п

В пункте 4 дается точное определение оператора (1). В гильбертовом пространстве /<>(К2) рассмотрим квадратичную форму

т[и, и]~т{д, А, А/, г})[и, ы] :=

!{д{Т> - А)»?"1«, (Р - А)т]^и)ёх + ^ I»,-1«!2 А/, и е цЛ.

Предложение 1. Пусть д — вещественная измеримая (2 х 2)-матрица-функция, удовлетворяющая условию (5). Пусть вещественная функция ч удовлетворяет условиям (13)—(15), а вектор-функция А подчинена условиям (2), (3). Пусть вещественный борелевекий заряд Ли удовлетворяет условиям (9), (10), а также условиям (1), (И). Тогда форма т, определенная соотношением (16), полуограничена снизу и замкнута в Ьг(К2).

Замкнутая форма т порождает самосопряженный в Ь2(К2) оператор М = М(д, А, ¿1/, г]), который по определению есть оператор Шредингера (1) с метрикой д, магнитным потенциалом А, весовой функцией т) и обобщенным электрическим потенциалом V, порожденным зарядом ¿V (формально V = <£р/<&).

В пункте 5 формулируется основной результат диссертации. Теорема 2. Пусть магнитный потенциал А и метрика д удовлетворяют соответственно условиям (2), (3) и (4)-(8), а весовая функция г) — условиям (13)—(15). Пусть заряд ¿и удовлетворяет условиям (10), (¡)-(Ш). Пусть квадратичная форма т определена соотношением (16), а самосопряженный оператор М в Ь2(Е2) порожден этой формой. Тогда спектр оператора М абсолютно непрерывен.

Пункт 6 посвящен различным примерам. Пусть

Л/(х) := У(х)сЬс + <т(х)Л»Е(х), (17)

где V — Г-периодическая функция, определяющая "регулярную" часть электрического потенциала; Е — Г-периодическая система липшицевых кривых; а — Г-периодическая функция на Е; и Лв^ — элемент длины дуги на Е. Предположим, что для Е выполнено следующее условие Условие 3. Множество Е определено выражением

Е = У (Еп+П1а1 + П2а2),

пей»

где множество Е« с Я представляется в виде объединения конечного числа непересекающихся кривых (замкнутых, открытых или к

полуоткрытых) Еп » у у, причем каждая кривая з — 1,2,...,К, является липшицевой.

Пусть, кроме того,

У(х + «,) = У(х), ] = 1,2, х 6 К2,

(18)

<г(х + а;) = <г(х), ^ = 1,2, х €

(19)

(20)

Нетрудно проверить, что тогда условия (1) и (ш) вьшолнены, а условие (Л) принимает вид

Прямым следствием теоремы 2 является

Теорема 4. Пусть магнитный потенциал А и метрика д удовлетворяют соответственно условиям (2), (3) и (4)-(8), а весовая функция г) — условиям (13)—(15). Пусть заряд Л/ имеет вид (17). Пусть для Е выполнено условие 3, а V и а удовлетворяют условиям (18)-(21). Пусть квадратичная форма тп определена соотношением (16), о самосопряженный оператор М в Ь2(Ш2) порожден этой формой. Тогда спектр оператора М абсолютно непрерывен.

Отметим, что условие (21) является излишним, если предположить, что V > 0, <х > О.

В §2 оператор М раскладывается в прямой интеграл операторов М(к) (к — квазиимпульс). С использованием общей схемы Томаса задача об абсолютной непрерывности спектра оператора М сводится к получению оценок на убывание нормы оператора (А/(к))-1 при больших мнимых значениях квазиимпульса.

В пунктах 1-3 осуществляется разложение оператора М в прямой интеграл.

Из условия (1) вытекает следующее условие.

а

а<1, иеСДК2).

(21)

(i') Форма

т%[и, и] := j|Vu|2dx + J\u\2du+, и € С°°{П), n

допускает замыкание в 1*2 (ii). Через du обозначим область определения замыкания формы т^. Кроме того, из оценки (11) вытекает оценка

J |u| 4v- <alj {gVu,Vu)dx + J \u\2dv+ ) + C(a-,g,dv) J \ufdx, n \n a J n * '

а < 1, и e

Отметим, что по замыканию оценка (22) распространяется на все функции из da.

В для каждого k € R2 (к — квазиимпульс) рассмотрим ква-

дратичную форму

т(к)[м,«] = т(к;д, А, dt/, r?)[u, и] :=

J(g(D-A-fk)»f4(D-A + k)Tf1u)dx + J \rflu\2du, uerfo. (23) n n

Форма m(k) замкнута и полуограниченна снизу (ср. предложение 1). Отметим, что область определения формы (23) не зависит от к Замкнутая форма т(к) порождает самосопряженный в оператор М(к):= М(к; д, А, du, rj).

Через bj, Ь2 обозначим базис двойственной к Г решетки в R2:

{bhai) = 2ir6ß, j,l = 1,2.

Элементарную ячейку двойственной решетки обозначим через

n:=s{k = r1bi+T2b2-. О < т,- < 1, j = 1,2}.

Ячейка Q двойственна к SI.

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 5. Оператор М унитарно эквивалентен прямому интегралу

J ®Af (к; д, А, dv,ii) dk. ñ

В пунктах 4, 5 приводится общая схема Томаса, предложенная в [4] и развитая в [5] и [б]. Наше изложение в основном следует работе [6], где при помощи абстрактной теории возмущений схема распространена на случай операторов, заданных через формы.

Метод Томаса связан с продолжением форм m(k) и операторов М(к) на комплексные значения к € С2 квазиимпульса. При таком аналитическом продолжении возникают секториалъные формы и тп-секториалъные операторы, систематически исследованные в книге Т. Като [7]. Формула (23) позволяет аналитически продолжить форму m(k) на любые к € С2. При этом на области определения r¡dn форма те (к) замкнута и секториалъна для к € С2. Такая форма порождает (см. [7, теоремы VI.2.1, 2.5, 2.7]) тп-секториальный оператор, который мы по-прежнему будем обозначать через М(k) = M(k,g,A,dv,T)), к € С2. Отметим, что резольвента оператора М(к), к € С2, компактна.

В дальнейшем значение к? е R фиксируем, но считаем Ai 6 С Тогда операторы M(ki,h¡) образуют относительно параметра fcj е С самосопряженное аналитическое семейство типа (В) с компактной резольвентой. Напомним, что семейство типа (В) соответствует определению операторов через секториалъные формы с постоянной областью определения (см. [7, §Vn.4]). Самосопряженность семейства означает, что (M(ku hi))* = M(k¡, b), h € С, fez € R.

В пункте б формулируется опорная теорема об оценках. Именно, пусть в (б) 5о(х) = 1, то есть выполнено

¡f(x) =</(*) 1. (24)

Метрика вида (24) называется скалярной. Из (4)-(6) следует, что

ш(х + а.,) = w(x), j = 1,2, xeR2, (25)

причем

О < щ < ш(х) < ш\ < сю, х € R2. (26)

Положим

ki := р + iy, ц тг|а! I-1 + (meas П)-1 J Aidx, ye R, h¿ € R. (27)

n

Условимся в этом случая писать М(у) вместо М(к). Основной технический результат работы — следующая теорема, в которой метрика предполагается скалярной.

Теорема в. Пусть заряд dv удовлетворяет условиям (i'), (12), (22); и для магнитного потенциала А выполнено условие (3). Пусть метрика g удовлетворяет условиям (7), (8), (24)-(26); а весовая функция r¡ — условиям (14), (15). Пусть М(у) = M(k;g, A,dv,tj), где к определено в (27). Тогда существует постоянная yo = jfo(íí, а, ш, A, dv, к%) такая, что оператор М(у) обратим при \у\ >уо,и

НМз,))-1«^»), М>уо,

Ф) = c(y;Sl,a,u,A,r¡,k2) -* 0 при |у| -+ оо.

Если к2 пробегает ограниченное подмножество в R, то уо и с(у) можно выбрать не зависящими от

Наконец, в пункте 7 с использованием схемы Томаса показано как из теоремы 6 выводится теорема 2 в случае скалярной метрики.

Оставшаяся часть диссертации посвящена доказательству теоремы 6 и выводу из нее теоремы 2.

В § 3 доказываются вспомогательные оценки для свободного оператора.

В §4 вводится в рассмотрение магнитный потенциал. При этом большую роль играет факторизация для двумерного периодического оператора Паули (использовавшаяся также в [8], [9]), позволяющая учесть магнитный потенциал как мультипликативное возмущение.

В §5 доказывается теорема 6 для случая g ~ 1, »7 = 1, а в §6 доказательство переносится на случай скалярной метрики вида (24). Отметим, что в случае, когда r¡ = 1 оценка (28) допускает уточнение. Именно, константа с{у) из (28) тогда имеет вид с(у) := c(Q, а,ш, А)|у|-1.

Заключительный § 7 посвящен завершению доказательства теоремы 6, а также доказательству теоремы 2 для случая метрики общего вида.

В пункте 1 завершается доказательство теоремы б, а вместе с ней и доказательство теоремы 2 для случая скалярной метрики.

Для доказательства теоремы 2 во всей полноте осуществляется квазиконформное преобразование координат, позволяющее свести унитарный» преобразованием оператор М с метрикой общего вида к аналогичному оператору со скалярной метрикой, но для другой решетки периодов и при измененных А, йи и г]. Хорошо известно (см., например, теорему 5 из [10]), что существуют локальные преобразования координат, приводящие подынтегральное выражение в (16) к случаю скалярной метрики вида (24). Функции, определяющие новые координаты, являются решениями уравнений Бельтрами. В периодическом случае локальные преобразования координат могут быть "склеены" в глобальное преобразование, сохраняющее периодичность, но меняющее решетку Г. Соображения, позволяющие провести такую "склейку", имеют топологический характер. Они изложены в [11]. Другой (чисто аналитический) путь доказательства существования глобального преобразования координат указан в работе [12], где в основу положена теорема 6 из [10].

В пункте 2 показано, что после замены переменных новые коэффициенты также удовлетворяют условиям теоремы 2 (относительно новой решетки периодов). Поскольку для случая скалярной метрики утверждение теоремы 2 уже установлено, это позволяет завершить доказательство теоремы 2 во всей полноте.

Публикации по теме диссертации

[БСШ] М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Р. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых, Алгебра и Анализ 12 (2000), вып. 6, 140-177.

[1П1] Р. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с электрическим потенциалом типа производной от меры, Зап. научн. семин. ПОМИ 271 (2000), 276-312.

[Ш2] Р. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с положительным алек-

трическим потенциалом, Алгебра и Анализ 13 (2001), вып. 4, 196-228.

[ШЗ] Р. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность спектра двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом, Труды СПб мат. об-ва, Т. 9 (2001), 199-233.

[Ш4] R. G. Shterenberg, Absolute continuity of spectra of two-dimensional periodic Schrddinger operators with strongly subordinate magnetic potentials, Preprint Mittag-Leffler Ins. (Stockholm), fall 2002, №21.

Список литературы

[1] H. Д. Филонов, Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем, Проблемы матем. анализа, СПб, вып. 22 (2001), 246-257.

[2] P. Kuchment, The mathematics of photonic crystals, Ch. 7 in "Mathematical modeling in optical science", G. Bao, L. Cowsar, and W. Masters (Editors), Frontiers in AppL Math., Vol 22, SIAM, Philadelphia, PA, 2001, 207-272.

[3] M. Z. Solomyak, Spectral problems related to the critical exponent in the Sobolev embedding theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 71 (1995), 53-75.

[4] L Thomas, Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Comm. Math. Phys. 33 (1973), 335-343.

[5] M Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов, Мир, М., 1982.

[6] М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности, Алгебра и Анализ 11 (1999), вып. 2, 1-40.

[7] Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М., Мир, 1972.

[8] М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен, Алгебра и Анализ 9 (1997), вып. 1, 32-4&

[9] М HL Бирман, Т. А. Суслина, Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным

векторным потенциалом, Алгебра и Анализ 10 (1998), вып. 4, 1-36.

[10] L. Ahlfors and L. Bers, Riemann's mapping theorem for variable metrics, Annals of Math. 72 (I960), №2, 385-404.

{11] P. Kuchment and S. Levendorskii, On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), 537-569.

(12] E. Shargorodsky and A V. Sobolev, Quasi-conformal mappings and periodic spectral problems, University of Sussex at Brighton, Preprint №2001-07 (2001).

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 15.05.2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п.л. Тираж 120 экз. Заказ 2938. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

2 ооз? - Д

»15 5 2 0

Введение

1. Определение оператора. Основной результат

2. Разложение в прямой интеграл. Схема Томаса

3. Оценки для свободного оператора

4. Оценки для магнитного потенциала

5. Доказательство теоремы 2.7 при д — 1, ?/ =

6. Случай переменной скалярной метрики

7. Доказательство теоремы 1.

Публикации по теме диссертации

1. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В основе этого анализа лежат разложения Флоке-Блоха, являющиеся аналогом (хотя и не полным) разложений Фурье. В сравнительно широких предположениях метод Флоке-Блоха показывает, что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. При этом из общих соображений не следует, что не могут существовать "вырожденные" зоны, сводящиеся к точке. Эта точка должна была бы представлять собой собственное значение бесконечной кратности. Ясно, что наличие или отсутствие таких точек существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Господствующая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регулярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Однако, строгое обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой довольно сложную математическую задачу и требует использования довольно продвинутой математической техники. Более того, само представление о "регулярных" случаях достаточно размыто и ограничивается наличием контрпримеров. Эти контрпримеры связаны либо с недостаточной гладкостью коэффициентов, либо с другими особенностями в постановке вопроса. Например, известен гладкий эллиптический оператор четвертого порядка, имеющий вырожденную зону.

2. Операторы математической физики обычно имеют второй (или первый) порядок, что несколько смягчает остроту ситуации. Однако, и здесь известны контрпримеры, связанные с негладкостью коэффициентов (см., например, [1]). В то же время наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения применений. Поэтому важно уметь исключать наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты. Поскольку доказательство отсутствия сингулярного непрерывного спектра представляет собой сравнительно простую задачу, отсутствие вырожденных зон фактически устанавливает абсолютную непрерывность спектра соответствующего оператора.

3. Настоящая работа посвящена исследованию абсолютной непрерывности спектра периодического двумерного оператора Шредингера при наличии метрики и электрического и магнитного потенциалов. При этом электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда (распределения), сосредоточенного на периодической системе кривых. Потенциалы такого рода возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]). Надо отметить, что эксперимент в ряде случаев не дает здесь возможности отличить очень узкие зоны от вырожденных. В настоящей работе показано (см. теорему 1.8 ниже) математическими средствами, что вырожденных зон в задачах такого типа быть не может.

4. Перейдем к обзору предшествующих результатов относительно абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера, причем не будем ограничиваться двумерным случаем. Рассмотрим оператор

Б-А(х))^(х)(Б-А(х))+ У(х), хеК^ й > 2. (В.1)

Здесь И = —«V; ^(х) — скалярный электрический потенциал, А(х) — векторный магнитный потенциал, <?(х) = {у-?'(х)}, 1 < з,1 < й, — положительная матрица (метрика). Предполагается, что V, А и д вещественны и периодичны относительно некоторой решетки Г в МЛ Через П обозначим элементарную ячейку решетки Г.

Первый результат получен в известной работе Л. Томаса [3] в 1973 г. для оператора Шредингера

-Д + К(х) 3

В.2) в 1,2 (К3) с периодическим потенциалом V Е Томас предложил метод доказательства абсолютной непрерьшности спектра, который использовался в большинстве дальнейших исследований. Этот метод опирается на разложение Флоке-Блоха и существенно использует аналитическое продолжение этого разложения на комплексные значения квазиимпульса. Подробно схема Томаса изложена в §2. Результат Томаса был обобщен в книге [4] на случай произвольной размерности (1> 2. Предполагалось, что V € ¿г(^) при Л — 2,3, V £ Ьа(И), в > <1— 1, при (I > 4. В дальнейшем условия на V были значительно ослаблены в заметно сложнее. В [11] был рассмотрен оператор (В.З) (в случае V = 0) при условии "малости" магнитного потенциала. Там же было отмечено, что если отказаться от условия малости, то магнитный оператор уже не удается исследовать как аддитивное возмущение "свободного" оператора -Д. Эта трудность была преодолена М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной [12] в двумерном случае. Рассмотрения [12] основаны на изучении двумерного оператора Паули (Б - А(х))2 + д\А2{х) - с^Л^х), допускающего удобную факторизацию (см. (4.16) ниже). Это позволило учесть "магнитное" возмущение как мультипликативное. В [12] установлена абсолютная непрерывность спектра оператора (В.З) при (1 = 2, Ае С(К2), V € В дальнейшем, в [5] условия на потенциалы были ослаблены:

5], [6] и в [7]—[10].

Случай магнитного гамильтониана

Б-А(х))2 + К(Х)

В.З)

А £ ЬГ(П), г > 2; У£Ьв{П),д> 1.

В.4)

Отметим, что при условиях (В.4) оператор (В.З) задается в терминах соответствующей квадратичной формы.

Позднее, в работе [13] условие (В.4) на магнитный потенциал было заменено на более широкое условие

J |А|21п° (1 + |А|)гЬс < оо, а > 1. и

Допускались также другие, более широкие классы магнитных потенциалов, связанные с повторными логарифмами. Отдельно отметим работу [10], в которой была доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (В.2) в £2(К2) для потенциалов V из класса Като Кч (см. [14]). Это условие на V шире, чем (В.4), поскольку имеет место включение У Ьв(£1) с Кг- Однако, для работы [10] существенным является ограничение А = 0.

При в, > 3 задача для оператора (В.З) оказалась значительно сложнее, чем при (I — 2. Она была решена А. Соболевым [15]. В [15] установлена абсолютная непрерывность спектра оператора (В.З) при (I > 3, А € См+3(0) и V б з > <1-1. Впоследствии, условие на магнитный потенциал было ослаблено. В [16] предполагалось, что А е Ял(0), 2а > Ы-2, и в [17], [18] — А 6 2у >(1-2, <1> 3.

В [5] была развита абстрактная схема теории возмущений для операторов, заданных через формы. На основе этой схемы результат из [15], [16] был обобщен в [6] на более широкий класс потенциалов V:

V е с/= 3,4; <* > 5. (В.5)

При этом ограничения на А остались прежними.

При А = 0 (т. е. для оператора (В.2)) условие (В.5) было заменено в [7] условием V € для любых (1 > 3.

Значительные трудности связаны с включением переменной метрики д{х). Исключение представляет случай скалярной метрики, обсуждавшийся в [б]. Именно, пусть д{х) = и>2(х)а, (В.6) где а — постоянная положительная матрица, cu — положительная Г-периодическая функция. При некоторых, не слишком обременительных, условиях гладкости на tu, в [6] отмечено, что задача об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.1) с метрикой вида (В.6) в d> 2, сводится к аналогичному вопросу для оператора (В.З).

В работе А. Морама [19] при d — 2 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (В.1) с метрикой более общего вида, а именно, в случае g £ С°°, detg = 1, А е У G Ld = 2. (В.7)

Доказательство в [19] технически сложно и основано на оценках несколько иного типа, чем оценки Томаса. Впрочем, в двумерном случае существуют (см. [16], [20]) глобальные изотермические координаты, сохраняющие периодичность. Используя эти координаты, можно при d — 2 преобразовать оператор (В.1) с метрикой общего вида к оператору с конформной (скалярной) метрикой. При этом решетка периодов и потенциалы изменятся. Этот прием позволяет получить результаты из [19] прямым сведением к случаю скалярной метрики. Условия на <7, А, V тогда оказываются заметно шире, чем (В.7).

При d > 3 вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.1) с метрикой общего вида остается открытым. В связи с этим укажем на недавнюю интересную работу [21], где была установлена абсолютная непрерывность спектра (гладкого) оператора (В.1) для Г = Zd, d > 2, при условии инвариантности оператора относительно симметрии xv — Условие гладкости в данной работе является несущественным и может быть легко ослаблено; условие же инвариантности, напротив, является ключевым.

Отметим также недавний отрицательный результат Н. Д. Филонова [1]: при d > 3 построен пример периодического оператора (В.1) с метрикой g £ f~) Са и А = 0, V — 0, имеющего собственное значение а<1 бесконечной кратности.

Кроме оператора Шредингера исследовался периодический оператор Дирака, оператор Максвелла, оператор теории упругости (см., например, [13], [17], [18], [22]—[24]). Изучались также задачи в периодических областях (волноводах). Отметим в этой связи работы [20], [25]—[29]. Более подробный обзор результатов по абсолютной непрерывности спектра периодических операторов математической физики приведен в [6], [27], [30].

5. Во всех предыдущих работах условия на коэффициенты ставились в терминах их принадлежности различным функциональным классам, что каждый раз требовало варьирования техники. В настоящей работе для изучения двумерного оператора Шредингера мы применяем несколько другой подход, позволяющий существенно ослабить условия на коэффициенты. С этой целью мы рассматриваем в (К2) оператор несколько более общего вида х))-1 ((Б - А(х)Г*(х)(0 - А(х)) + У(х)) Мх))"\ х € К2. (В.8)

Здесь У(х) — обобщенный электрический потенциал, задаваемый как распределение, г](х) — положительная Г-периодическая весовая функция. Точное определение оператора (В.8) дается через квадратичную форму £ 9з1т - А1)г)~1и)([Щ - А^г}~1и)(1х + / \^1и\Чи. (В.9) К2 3,1 К2

Здесь (1и — Г-периодический вещественный борелевский заряд локально конечной вариации. Обобщенный электрический потенциал V порождается зарядом ¿.и. Формально V = йи/<1х.

Точные условия на заряд описаны в §1 (см. условия Ш-(ш)). Существенно, что накладываются различные условия на положительную

1и+ и отрицательную ¿и части заряда. При этом, область определения формы (В.9) определяется по замыканию с множества г/С^°(М2). Сейчас отметим лишь, что для выполнения условий О)-(Ш) достаточно справедливости оценки

У \и\2\6и |<е У |Уи| 2с*х + С(е; !\и\2Лх., Уее(ОД), иеЯ1^). и и п

В .10)

В этом случае область определения формы (В.9) совпадает с г/Я"1 (К2).

Определение обобщенного электрического потенциала через заряд оказывается очень удобным. В частности, это позволяет включить в рассмотрение сингулярные потенциалы, сосредоточенные на периодической системе кривых. Именно, пусть £ — Г-периодическая система кусочно-гладких кривых, (¿95 (х) — элемент длины дуги на сг(х) — Г-периодическая вещественная функция на Е. Тогда можно рассмотреть заряд вида ¿и = УНх + ^¿.^(х), который порождает сингулярный электрический потенциал У+аб^ (здесь ¿х — дельта-функция, сосредоточенная на Е). Подробнее, см. п. 1.6. Сингулярные потенциалы такого вида естественным образом возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]).

До сих пор при изучении абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера рассматривался лишь случай "регулярного" электрического потенциала V, отвечающего абсолютно непрерывному заряду ¿V — Уйх. И в этом частном случае условия 0)-(Ш) (и даже условие (В.10)) оказываются заметно шире, нежели условия, накладывавшиеся на электрический потенциал в предыдущих работах. Отметим также, что условие (В.10) равносильно компактности вложения класса Н1 (£2) в пространство 1*2(П;

В аналогичных абстрактных терминах ниже задается условие на магнитный потенциал. Предполагается, что выполнена оценка (ср.

В .10))

А\1\и\Ч-х<е У |Уи|2ггх + С(е;0,А) j \и\2сЬс, € (ОД), и € Н1{П), п и п или, что то же, компактно вложение в Ь2(£1\ |А|2).

Обсудим теперь условия на метрику. Представим матрицу д в виде д(х) = ¿и2(х)(Д)(х), где = 1, си(х) := (ёе^х))1/4. Относительно до предполагается лишь, что

4)1 < 9о(х) < са, 0 < со < с! < оо, х € К2.

Условия на скалярный множитель ы несколько жестче. Именно, мы считаем выполненными следующие соотношения:

0 < и>0 < ^(х) < и>1 < оо, X е К2, си е я,1ос(М2),

J \Чш\2\и\2<Ь.<е J \^и\Чх + С{е;П,ш) ^ \и\2(Ы, Уе€(0,1), и€Н1{П). » п $г

Предложенные нами условия на метрику и магнитный потенциал также существенно шире, нежели в предшествующих работах.

Неотрицательная весовая функция г](х) предполагается почти везде положительной и такой, что вложение Н1 (17) в г/2) компактно. Отметим, что ход доказательства приводит к оператору с нетривиальной весовой функцией, даже если в исходном операторе было т) = 1 (весовая функция неизбежно возникает при использовании глобальных изотермических координат, см. [16] и п. 7.2 настоящей работы). Поэтому удобно включить весовую функцию ?7 в оператор (В.8) с самого начала.

6. Основной результат работы — теорема 1.5 об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.8). Отдельно, в теореме 1.8 формулируется результат в важном для приложений случае, когда ¿и = Vr.bc + аНву^х); условия на заряд тогда могут быть упрощены (см. п. 1.6; там же приведены некоторые примеры зарядов иного типа). Отметим, что наши условия на коэффициенты выражены в терминах компактности некоторых вложений. Именно отказ от рассмотрения конкретных функциональных классов позволяет существенно ослабить условия на коэффициенты и включить в рассмотрение широкий класс сингулярных возмущений. Предложенные "абстрактные" условия на ¿и, А, да и г/ фактически неулучшаемы.

Аналогичный результат при схожих условиях на коэффициенты был получен в задаче об абсолютной непрерывности спектра двумерного оператора Шредингера (В.8) в односвязном периодическом волноводе (см. [31], [32]).

Т. В основе наших рассмотрений лежит подход Томаса. Этот метод использует разложение периодического оператора в прямой интеграл. Затем операторы, действующие в слоях прямого интеграла, продолжаются на комплексные значения параметра слоя (квазиимпульса). Дальнейшее сводится к оценкам резольвенты этих операторов при больших мнимых значениях квазиимпульса. Именно получение таких оценок представляет конкретную трудность в каждой новой задаче. В нашем случае соответствующие оценки составляют содержание теоремы 2.7, из которой впоследствии выводится теорема 1.5. Часть нужных нам фактов заимствована из работ [5], [12] в готовом виде.

Исходно теорема 2.7 об оценках доказывается для случая, когда матрица д — единичная. Затем оценки переносятся на случай скалярной метрики (В.6). Наконец, использование глобальных изотермических координат позволяет доказать теорему 1.5 в полном объеме.

8. В § 1 приведены исходные определения и формулируются основные результаты диссертации. В §2 собран необходимый материал относительно схемы Томаса, и сформулирована опорная теорема 2.7 об оценках. В §§ 3,4 устанавливаются оценки, нужные для доказательства теоремы 2.7 при д — 1, г) = 1. Доказательству теоремы 2.7 при д = 1, г) = 1 посвящен § 5. В § б мы включаем в рассмотрение скалярную метрику. В § 7 мы завершаем доказательство теоремы 2.7 и выводим из нее теорему 1.5 в случае скалярной метрики; затем доказываем теорему 1.5 в полном объеме.

9. В заключение кратко сформулируем основные положения, которые выносятся на защиту.

В диссертации исследуется задача об абсолютной непрерывности спектра двумерного периодического оператора Шредингера с метрикой, магнитным (векторным) потенциалом, электрическим потенциалом и весовой функцией при минимальных ограничениях на данные задачи. Условия на коэффициенты ставятся в терминах компактности некоторых вложений. Это позволяет, в частности, рассмотреть важные для применений случаи разрывных коэффициентов. В качестве электрического потенциала впервые допускаются обобщенные функции (заряды). Оператор задается через замкнутую полуограниченную форму. Осуществляется разложение периодического оператора в прямой интеграл, в слоях которого действуют операторы с дискретным спектром, зависящие от параметра слоя (квазиимпульса). Эти операторы аналитически продолжаются на комплексные значения квазиимпульса. В случае скалярной метрики получены оценки на убывание нормы резольвенты этих операторов при больших мнимых значениях квазиимпульса. При помощи этих оценок с использованием глобальных изотермических координат, на основании абстрактной теории прямых интегралов устанавлена абсолютная непрерывность спектра оператора.

Все полученные результаты являются новыми.

Результаты работы опубликованы в статьях [БСШ], [Ш1]-[Ш4].

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю М. Ш. Бирману за постановку задачи и большое внимание к работе. Автор благодарит также Т. А. Суслину за многочисленные полезные обсуждения.

1. H. Д. Филонов, Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем, Проблемы матем. анализа, СПб, вып. 22 (2001), 246-257.

2. P. Kuchment, The mathematics of photonic crystals, Ch. 7 in "Mathematical modeling in optical science", G. Bao, L. Cowsar, and W. Masters (Editors), Frontiers in Appl. Math., Vol. 22, SIAM, Philadelphia, PA, 2001, 207-272.

3. L. Thomas, Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Comm. Math. Phys. 33 (1973), 335-343.

4. M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов, Мир, М., 1982.

5. М. Щ. Бирман, Т. А. Суслина, Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом, Алгебра и Анализ 10 (1998), вып. 4, 1-36.

6. М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности, Алгебра и Анализ 11 (1999), вып. 2, 1—40.

7. Z. Shen, On absolute continuity of the periodic Schrodinger operators, International Math. Res. Notices 2001(1) (2001), 1-32.

8. Z. Shen, The periodic Schrodinger operator with potentials in the C. Fcfferman-Phong class, Preprint mparc №99-455 (1999), http: / / www.ma.utexas.edu/mp arc

9. Z. Shen, The periodic Schrodinger operator with potentials in the Morrey-Campanato class, Preprint mparc (1999).

10. Z. Shen, Absolute continuity of periodic Schrodinger operators with potentials in the Kato class, Preprint mp arc №00~294 (2000).

11. R. Hempel, I. Herbst, Bands and gaps for periodic magnetic hamiltonians, in Operator Theory: Advances and Applications 78 (1995), 175-184.

12. M. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен, Алгебра и Анализ 9 (1997), вып. 1, 32-48.

13. И. С. Лапин, Абсолютная непрерывность спектра двумерных периодических магнитных операторов Шредингера и Дирака с потенциалами из классов Зигмунда, Проблемы матем. анализа, СПб, вып. 22 (2001), 74-105.

14. X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон, Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии, М., Мир, 1990.

15. А. V. Sobolev, Absolute continuity of the periodic magnetic Sclirodinger operator, Invent. Math. 137(1) (1999), 85-112.

16. P. Kuchment and S. Levendorskii, On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), 537-569.

17. JI. И. Данилов, Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. I. Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.06.2000, №1683-800.

18. Л. И. Данилов, Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. II. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.04.2001, №916-В2001.

19. A. Morame, Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electromagnetic potential, J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998), 7593-7601.

20. E. Shargorodsky and A. V. Sobolev, Quasi-conformal mappings and periodic spectral problems, University of Sussex at Brighton, Preprint №2001-07 (2001).

21. L. Friedlander, On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators, Comm. Math. Phys. 229 (2002), 49~55.

22. M. Sh. Birman and T. A. Suslina, The periodic Dirac operator is absolutely continuous, Integr. equ. oper. theory 34 (1999), 377—395. Birkhiiuser Verlag, Basel, 1999.

23. A. Morame, The absolute continuity of the spectrum of Maxwelloperator in a periodic media, J. Math. Phys. 41, №10 (2000), 70997108.

24. В. И. Дергузов, Математическое исследование периодических цилиндрических волноводов, I, Вестник ЛГУ, №13 (1972), 32-40; II, Вестник ЛГУ, №19 (1972), 14-20.

25. В. И. Дергузов, О дискретности спектра периодической краевой задачи, связанной с изучением периодических волноводов, Сибирский матем. ж. 21 (1980), №5, 27-38.

26. P. Kuchment, Floquet theory for partial differential equations, Birkhàuser Verlag, Basel, 1993.

27. A. V. Sobolev and J. Walthoe, Absolute continuity in periodic ■waveguides, University of Sussex at Brighton, Preprint №2000-19 (2000).

28. Т. А. Суслина, Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в слое, Зап. научн. семин. ПОМИ 288 (2002), 232-255.

29. Т. A. Suslina, Absolute continuity of the spectrum of periodic operators of mathematical physics, Journées equations aux dérivées partielles, Nantes, 5-9 juin 2000.

30. T. A. Суслина, P. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность спектра магнитного оператора Шредингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе, Алгебра и Анализ 14 (2002), вып. 2, 159-206.

31. Р. Г. Штеренберг, Оператор Шредипгера в периодическом волноводе на плоскости и квази-конформные отображения, Зап. научн. семин. ПОМИ 293 (2003).

32. М. Z. Solomyak, Spectral problems related to the critical exponent in the Sobolev embedding theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 71 (1995), 53-75.

33. В. А. Солонников, H. H. Уральцева, Пространства Соболева, В кн. "Избранные главы анализа и высшей алгебры", Изд-во Ленингр. университета, 1981, 129-197.

34. Т. А. Суслина, Р. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность спектра оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей, Алгебра и Анализ 13 (2001), вып. 5, 203-247.

35. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М., Мир, 1972.

36. Y. Aharonov and A. Casher, Ground state of a spin -1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field, Phys. Rev. A. (3) 19 (1979), 2461-2462.

37. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, Основные состояния двумерного электрона в периодическом MCLZHUTtiHOM поле, JK. эксперим. и теор. физ. 79 (1980), №3, 1006-1016.

38. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

39. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский, Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., Наука, 1966.

40. И. Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, Гос. изд-во физико-матем. литературы, Москва, 1959.

41. L. Ahlfors and L. Bers, Riemann's mapping theorem for variable metrics, Annals of Math. 72 (1960), №2, 385-404.