Спектры дифференциальных операторов с геометрическими, разбегающимися, локализованными и сингулярными возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Борисов Денис Иванович

СПЕКТРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ, РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ И СИНГУЛЯРНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

003444968

Уфа-2008

003444968

Работа выполнена в ГОУ ВПО 'Башкирский государственный педагогический университет им М Акмуллы"

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Доброхотов Сергей Юрьевич

доктор физико-математических наук, доцент Суслина Татьяна Александровна

доктор физико-математических наук, доцент Кордюков Юрий Аркадьевич

ГОУ ВПО "Московский государственный университет им М В Ломоносова"

Защита состоится 10 октября 2008 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002 057 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу 450077, г Уфа, ул Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Автореферат разослан" ^ " гЛЮ^-^ 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета, к ф -м н

С В Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучению спектральных свойств эллиптических операторов в неограниченных областях с различными возмущениями уделялось и ^делие:динаючно много внимания как со стороны математиков, так и со стороны физиков В немалой степени это связано с богатыми приложениями таких задач, например, в квантовой механике и акустике Кроме того, эти задачи обладают разнообразными свойствами, интересными и с математической точки зрения Как правило, упомянутые операторы рассматриваются как неограниченные операторы в гильбертовом пространстве, в качестве которого обычно выбирается пространство на соответствующей области Такой подход позволяет использовать все богатство и разнообразие методов спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах Наличие в операторе возмущения дает возможность привлекать и методы теории возмущений и асимптотического анализа Подобная комбинация во многих случаях оказывается весьма продуктивной и приводит к интересным результатам

В диссертации рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в неограниченных областях с четырьмя различными типами возмущений Первым из них является возмущение окном системы двух квантовых волноводов Волноводы описываются парой параллельных двумерных полос либо трехмерных слоев с общей границей На этой границе вырезается отверстие, которое и называется окном В качестве оператора выбирается Лапласиан с краевым условием Дирихле

Следующий тип возмущения, рассматриваемый в диссертации - разбегающиеся возмущения Классическим примером является оператор Шре-дингера с двойной потенциальной ямой

-ПА + Уг{х - ах) + У2(х - а2),

где а\, <22 - некоторые точки, а потенциалы Ух, У2 финитны либо быстро убывают на бесконечности Если предположить, что расстояние между точками а\ и а.2 растет, то множества, где локализованы потенциалы У\ и У2, находятся на большом расстоянии друг от друга и фактически разбегаются при |а! — 02] —> +оо Подобные возмущения, локализованные на множествах, находящихся на большом расстоянии, будем называть разбегающимися, причем не предполагается, что возмущение обязательно описывается потенциалом В диссертации рассматривается оператор Лапласа в многомерных областях с разбегающимися возмущениями, описываемыми абстрактными операторами Основное требование на возмущающие операторы - локализованность на ограниченных областях, расположенных на большом расстоянии друг от друга, данные области аналогичны носителям потенциалов из приведенного выше примера

Третий тип возмущений, изучаемый в диссертации - малые локализованные возмущения самосопряженного дифференциального оператора второго порядка А именно, изучается возмущение периодического оператора достаточно произвольным линейным оператором вида еСе, где е -

малый положительный параметр Основным свойством оператора Се является его локализованность в определенном смысле на конечной части пространства Возмущающий оператор не предполагается симметричным Четвёртый тип возмущений заимствован из теории усреднения и описывается быстро осциллирующими коэффициентами Более точно, рассматривается самосопряженный многомерный матричный оператор с коэффициентами, зависящими от медленных и быстрых переменных По быстрым переменным коэффициенты периодичны, по медленным - ограничены вместе с некоторыми своими производными

Основная цель исследований - изучить структуру и асимптотическое поведение спектров операторов с возмущением каждого из четырех типов Остановимся на истории вопроса для каждого из рассматриваемых типов возмущений Математическая модель квантовых волноводов, соединенных окнами, была независимо предложена в работе В Буллы, Ф Дже-стези, В Ренджера, Б Саймона (Proc Amer Math Soc , 1997, V 125, Р 1487-1495), и в работе П Экснера, П Шебы, M Татера, Д Ванека (J Math Phys , 1996, V. 37, Р 4867-4887) Основным эффектом в данной системе является возникновение новых собственных значений из края существенного спектра при наличии окна В двумерном и трехмерном случаях данный эффект для окон малого размера на разном уровне строгости изучался П Экснером, С Вугалтером, И Ю Поповым, Р Р Гадылыпиным Было показано, что для окон малого размера система имеет единственное собственное значение и было описано его асимптотическое поведение В упомянутой работе П Экснера, П Шебы, M Татера и Д Ванека в двумерном случае было также показано, что дальнейшее увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из границы существенного спектра. Вопрос о подробном исследовании данного эффекта, а также об установлении аналогичных результатов в трехмерном случае, остался открытым.

Спектр оператора Шредингера с двумя потенциальными ямами в случае, когда ямы разделены большим расстоянием, исследовался разными авторами (Б Дзвис, Е M Харрел, Р Хех-Крон, M Мебкноут, M Клаус, Б Саймон) В ряде случаев было описано асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций таких операторов M Клаус и Е M Харрел рассмотрели также задачу для оператора Дирака с двойной потенциальной ямой Недавно С Кондей и И Веселич исследовали пример для оператора Лапласа в случае, когда возмущение описывалось дельта-потенциалом, сосредоточенным на кривых

Известно, что спектр одномерного периодического оператора содержит только существенную компоненту и состоит из зон, разделенных лакунами. При возмущении такого оператора вещественным быстро убывающим потенциалом непрерывная часть спектра не меняется, а в ее лакунах возникают изолированные собственные значения Вопросы существования и количества таких собственных значений изучались в работах Ф С Рофе-Бекетова, В А Желудева, H Е Фирсовой, Б Саймона и Ф Джестези Было показано, что в лакунах существенного спектра содержится конечное

число собственных значений, а в далеких по номеру лакунах - не более двух собственных значений Б Саймоном и Ф Джестези также был рассмотрен случай, когда возмущающий потенциал умножается на малую константу связи Было установлено, что при достаточно малых значениях константы связи в каждой лакуне (а не только в далеких) содержится не более двух собственных значений, и приведены необходимые и достаточные условия, точно определяющие количество собственных значений в заданной лакуне

Вопросам усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами в ограниченных областях посвящена обширная литература (Н С Бахвалов, Г П Панасенко, В В Жиков, С М Козлов, О А Олейник, ГА Иосифьян, A.C. Шамаев, Э Санчес-Паленсия, А Бен-сусан, Г Папаниколау и многие другие) Немало внимания уделяется исследованию спектральных свойств таких операторов В гораздо меньшей степени вопросы усреднения и спектральные свойства исследованы для операторов в неограниченных областях Вместе с тем, последний случай весьма интересен, так как он возникает во многих приложениях Недавно М Ш Бирман и Т А Суслина предложили новую оригинальную методику для получения первых поправок в асимптотике резольвенты определенного класса дифференциальных операторов в неограниченных областях с быстро осциллирующими коэффициентами Следует подчеркнуть, что упомянутые результаты были получены в равномерной операторной норме, в то время как большинство результатов усреднения для ограниченных областей было сформулировано в смысле сильной и слабой сходимостей Подход М Ш Бирмана и Т А Суслиной основан на методах спектральной теории и предлагает рассматривать усреднение как пороговый эффект Он применим для дифференциальных операторов, допускающих факторизацию, причем коэффициенты должны зависеть только от быстрой переменной, зависимость от медленной переменной не допускается В В Жиков предложил иную технику для получения неулучшаемых по порядку оценок скорости сходимости для резольвенты скалярного дифференциального оператора, а также для системы теории упругости. Здесь также предполагалось, что коэффициенты оператора периодичны и зависят только от быстрой переменной

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию описанных выше задач В диссертации эти задачи нередко обобщаются на возмущения гораздо более общего вида Ряд результатов обобщен на случаи более высокой размерности Кроме того, для каждого из четырех типов возмущений описана структура спектра возмущенного оператора и получены асимптотические разложения для разнообразных спектральных характеристик Предложены новые методики для изучения рассматриваемых задач

Цель работы. Основная цель работы - изучить влияние возмущения каждого из четырех типов на спектр дифференциального оператора и описать структуру спектра Еще одной основной целью является доказательство теорем сходимости для спектра и построение асимптотических разложений для собственных значений и собственных функций

Задачи о паре квантовых волноводов, связанных окном, изучаются в двух- и трёхмерном случае Основное внимание здесь уделяется изучению эффекта возникновения новых собственных значений из края существенного спектра при увеличении размеров окна

Оператор Лапласа с разбегающимися возмущениями рассматривается в многомерном цилиндре и многомерном пространстве Число возмущений конечно, они локализованы в определенном смысле и сосредоточены на большом расстоянии друг от друга Целью является описание асимптотического поведения дискретного спектра и собственных функций возмущенного оператора

Периодический оператор с малым локализованным возмущением рассматривается в одномерном случае, при этом само возмущение описывается абстрактным оператором, который не предполагается симметричным. Возмущённый оператор при этом оказывается, вообще говоря, несамосопряженным Здесь цель - изучение качественных и асимптотических свойств спектра возмущенного оператора

Для операторов с быстро осциллирующими коэффициентами во всем пространстве целью является построение первых членов асимптотических разложений для резольвенты, причем в равномерной операторной норме Кроме того, целью является изучение асимптотического поведения дискретного спектра и собственных функций таких операторов

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми

В задачах о паре квантовых волноводов, связанных окном, детально изучается эффект возникновения новых собственных значений из края существенного спектра при увеличении окна В двумерном случае доказываются необходимые и достаточные условия критичности окна Под критичным понимается такое окно, увеличение которого приводит к возникновению нового собственного значения Для возникающих собственных значений строятся асимптотические разложения, а также описывается асимптотическое поведение соответствующих собственных функций В трехмерном случае показано, что ситуация в целом аналогична А именно, увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из края существенного спектра Как и в двумерном случае, подробно исследуется эффект возникновения данных собственных значений и строятся асимптотики возникающих собственных значений и соответствующих собственных функций Кроме того, для обоих случаев явно описана область определения рассматриваемого Лапласиана Данный результат нетривиален, так как Лапласиан рассматривается в области с негладкой границей, имеющей коническую точку (ребро) на границе окна Для функций из области определения явно выделены возможные особенности в окрестности данной конической точки (ребра)

Задачи о Лапласиане с разбегающимися возмущениями рассматриваются в областях двух типов - многомерный бесконечный цилиндр и многомерное пространство Разбегающиеся возмущения описываются произвольными абстрактными операторами, локализованными на ограниченных

областях, которые расположены на большом расстоянии друг от друга На возмущающие операторы накладываются минимальные ограничения, а именно, симметричность и ограниченность относительно Лапласиана Структура самих операторов может быть произвольна Такой подход поз-волме! а шщем виде рассмолреть в качестве разбегающихся возмущений одновременно большое число различных операторов, например, потенциал, дифференциальный оператор второго порядка, интегральный оператор и т д Здесь основные результаты - теоремы сходимости и асимптотические разложения для изолированных собственных значений и соответствующих собственных функций возмущенных операторов Данные результаты получены в общем случае при самых общих предположениях Отдельно рассмотрены наиболее типичные частные случаи и получены более частные формулы для первых членов асимптотических разложений с учетом специфики случаев

В задаче о малом локализованном возмущении периодического оператора одним из главных отличий от предшественников является тот факт, что не предполагается симметричность для возмущающего оператора Множество возможных возмущений помимо потенциалов включает в себя широкий класс примеров разнообразной природы, таких как дифференциальный оператор, интегральный оператор, линейный функционал, дельта-потенциал с малой комплексной константой связи, быстро осциллирующий потенциал В диссертации показано, что существенный спектр возмущенного оператора не зависит от возмущения, остаточный спектр пуст, а точечный спектр состоит из не более, чем счетного числа собственных значений конечной кратности, которые не имеют конечных точек накоплений Приведен пример возмущения, которое порождает собственное значение, вложенное в существенный спектр Отметим, что подобный эффект не мог возникнуть в задачах, рассмотренных в работах Ф С Рофе-Бекетова, В А Желудева, Н Е Фирсовой, Б Саймона и Ф Джестези Также приводятся достаточные условия, гарантирующие отсутствие вложенных собственных значений Установлено, что собственные значения возмущенного оператора стремятся к бесконечности либо сходятся к краям лакун в существенном спектре Доказано, что в окрестности края заданной лакуны существует не более одного такого собственного значения, приведен критерий существования, и в случае существования построено его асимптотическое разложение Также построено асимптотическое разложение соответствующей собственной функции

Возмущение, описываемое быстро осциллирующими коэффициентами, изучается для матричного самосопряженного дифференциального оператора второго порядка достаточно общего вида во всем пространстве Первым отличием нашего оператора от операторов, рассмотренных в работах М Ш Бирмана, Т А Суслиной, В В Жикова, является наличие младших членов Главная часть оператора записывается в дивергентном виде Младшие члены задаются достаточно произвольно, единственным ограничением является самосопряженность оператора, а также полуограниченность снизу, равномерная по малому параметру Кроме того, предполагается опреде-

ленная гладкость коэффициентов. Ещё одним отличием является то, что в нашем случае коэффициенты системы зависят от медленных и быстрых переменных. Зависимость от быстрых переменных носит периодический характер По медленным переменным коэффициенты предполагаются ограниченными; аналогичное предположение делается и для некоторых производных коэффициентов В диссертации строится усреднённый оператор и получена первая поправка в асимптотическом разложении для резольвенты возмущенного оператора Эта асимптотика построена для всех значений спектрального параметра, лежащих вне спектра усредненного оператора Асимптотика получена для резольвенты как для оператора в а также как для оператора из ¿2 в И^1 Помимо асимптотики резольвенты строятся полные асимптотические разложения собственных значений возмущенного оператора, сходящихся к изолированным собственным значениям усредненного оператора, а также полные асимптотические разложения соответствующих собственных функций Помимо упомянутых собственных значений возмущенный оператор может иметь и собственные значения, сходящиеся к краям существенного спектра Данный эффект демонстрируется на примере одномерного оператора дивергентного типа в предположении, что быстрые осцилляции коэффициентов сосредоточены на конечной части пространства Доказывается критерий существования собственного значения, сходящегося к краю существенного спектра В случае существования для него и для соответствующей собственной функции строятся полные асимптотические разложения

Методика исследования. В задачах о паре квантовых волноводов основные результаты получены на основе анализа поведения резольвенты в окрестности края существенного спектра Данный анализ проводился путем аналитического продолжения по спектральному параметру Также была использована методика, предложенная недавно Гадыльшиным Р Р, которую уместно считать модификацией метода Бирмана-Швингера Кроме того, были использованы принцип минимакса, метод вилки Дирихле-Неймана, и ряд методик теории дифференциальных уравнений в частных производных

Для исследования задач с разбегающимися возмущениями была разработана новая оригинальная схема Основная ценность этой методики в том, что она позволяет свести задачу с несколькими разбегающимися возмущениями к малому регулярному возмущению прямой суммы резольвент операторов с одним возмущением, другими словами, расщепить разбегающиеся возмущения Подобное расщепление было основной трудностью при изучении данного класса задач и данная методика успешно решает этот ключевой момент В диссертации она была использована для изучения асимптотического поведения спектра, при этом она комбинировалась с вышеупомянутом модифицированным методом Бирмана-Швингера Отметим также, что общность подхода позволяет использовать его и при изучении других вопросов, связанных с разбегающимися возмущениями

Для исследования спектра одномерного оператора с малым локализованным возмущением применяются различные методы спектральной тео-

рии неограниченных операторов, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также модифицированный метод Бирмана-Швин-гера, упомянутый выше Также активно использовалось аналитическое продолжение резольвенты по спектральному параметру Методы спектральной теории псогранкченньхл онерам ирив использовались в основном для установления общих качественных свойств спектра Модифицированный метод Бирмана-Швингера и аналитическое продолжение резольвенты применялись для описания асимптотического поведения спектра

Для получения асимптотик резольвенты матричных операторов с быстро меняющимися коэффициентами использовалась техника, предложенная недавно В В Жиковым Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций формально строились на основе метода многих масштабов. Обоснование этих асимптотик проводилось достаточно стандартным образом, на основе анализа полюсов резольвенты возмущенного оператора в окрестности предельного собственного значения Для исследования собственных значений в окрестности края существенного спектра в одномерном случае дополнительно использовалось аналитическое продолжение резольвенты усредненного оператора в комбинации с модифицированным методом Бирмана-Швингера

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики и, в частности, спектров дифференциальных операторов Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других операторов со схожими возмущениями

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М В Ломоносова, семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им В А Стеклова Российской Академии Наук, семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии Наук, на семинаре лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им А Ю Ишлинского Российской Академии Наук, семинаре кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета, семинаре отдела теоретической физики Института ядерной физики Чешской Академии Наук (Прага, Чехия), семинаре кафедры анализа, динамики и моделирования физико-математического факультета Университета г Штутт-гарт (Штуттгарт, Германия), семинаре математического факультета Университета Гериот-Ватта (Эдинбург, Шотландия), семинаре факультета математических наук Университета г. Бата (Бат, Англия), семинаре математического факультета Королевского института технологий (Стокгольм, Швеция), семинаре Лаборатории математики Университета г Сэнт-Этьен (Сэнт-Этьен, Франция), семинаре Центра теоретической физики Национального Центра Научных Исследований (Марсель, Франция), семина-

ре кафедры анализа математического факультета Университета г Кем-ниц (Кемниц, Германия) Отдельные результаты были доложены на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2004), международной конференции "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, 2002), международной конференции "Guided Quantum Particles" (Прага, Чехия, 2002), международной конференции "Spectra, Algorithms, and Data Analysis" (Градец Кралове, Чехия, 2006), международной конференции "Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics" (Лунд, Швеция, 2006), 21-ом симпозиуме им Макса Борна "Mathematical Problems in Nonrelativistic Quantum Dynamics" (Вроцлав, Польша, 2006), международной конференции "Spectral Theory and its Applications" (Кембридж, Англия, 2006), международной конференции ''Operator Theory in Quantum Physics" (Прага, Чехия, 2006), международной конференции "Perturbed periodic PDE, problems with singular boundaries, and their numerical aspects" (Кардифф, "Уэльс, 2007)

Результаты диссертации были удостоены Премии Европейской Академии для молодых ученых России (2003), Государственной республиканской молодежной премии в области науки и техники Республики Башкортостан (2003), Стипендии Пьера Делиня, из средств премии Бальзана, присужденной П Делиню (2007), Медали Российской Академии Наук с премией для молодых ученых в области математики (2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16] Работы [2], [6], [8], [10]—[13] выполнены совместно с Р Р Га-дыльшиным, П Экснером, Д Крейчиржиком, X Коваржиком, Т Экхоль-мом Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых в совокупности на тридцать два параграфа, двух иллюстраций, и списка литературы, содержащего 92 наименования Общий объем диссертации - 268 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обзор литературы, формулируются постановки задачи, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов

Остановимся на некоторых обозначениях, принятых в диссертации Область определения оператора будем обозначать символом Т>{) Через <х() и сгр(-) обозначаем спектр и точечный спектр оператора, через сга() -дискретный спектр самосопряженного оператора Существенным спектром ае(Н) замкнутого оператора Н в некотором гильбертовом пространстве будем называть множество Л € С, для которых существует ограниченная некомпактная последовательность ип € V{7i), такая что (7i — А)ип —> 0, п —> +оо Через ат() — а[) \ (сгр() U сге()) обозначим остаточный спектр оператора Символ е используется для обозначения малого параметра Че-

7Г Г, j 2i 'L Г, п+

71 г

d п-

г,

рез будем обозначать Соболевские пространства функций Подпро-

странства последних, состоящие из функций с нулевым следом на некоторой поверхности S С fi, будем обозначать через W2 (fi, S) Для краткости положим И72 — IV2 (П, 0Q.) Для произвольного подмножества Q с fl "срсз Q) обсзпачт»; множество ф.упл.цин wj и2(^4 i* носителями в Q Для произвольной области Q через — Д^ будем обозначать расширение по Фридрихсу оператора - А со множества Cg°(fi), через I - тождественный оператор

В первом разделе первой главы рассматривается задача о паре двухмерных квантовых волноводах, соединенных окном Постановка задачи такова Пусть х = {xi, Х2) - декартовы координаты в R2, П+ = {х 0 < х^ < тг}, П~ — {х -d < Х2 < 0}, d < тт На оси х2 — 0 вьоделим интервал 7; длины 21 с центром в нуле, который будем называть окном Обозначим П( = П+ U П~ U л Положим Г{ = dUt (см рис 1)

Основным объектом изуче-г, ния является спектр операто-

ра Hi — -А^' Наличие окна (I > 0) приводит к непустой дискретной части спектра оператора Hi, то есть, к наличию изолированных собственных значений AOT(I), m > 1 Расположим

Рис 1 Полосы, соединенные окном данные собственные значения в

порядке неубывания с учетом кратности Через будем обозначать число элементов во множестве А Положим х = 7г/(тг + d) В работе П Экснера, П Шебы, М Татера, Д Ванека (J Math Phys , 1996, V 37, Р 4867-4887) было доказана

Лемма 1. Для любого I > 0 оператор Hi имеет непустой дискретный спектр, состоящий из конечного числа собственных значений Существует бесконечный набор критических значений 0 = h < I2 < < 1п < длин окна 71, такой что #<Td(Wi) = п при 1 е Данные соб-

ственные значения являются невозрастающими функциями аргумента I и удовлетворяют двусторонним оценкам

Am-i(i) ^ Am(i) s$ Ат{1), т > 1, 1>1т, где Ат(1) = к2 + 7r2m2/(4i2) Справедливо неравенство

2?7г~1\А — x2J ^ #<TdUc{Hi) < [2Zjt-Vi - ж2] + 1,

где [ ] - целая часть числа

Положим П" — {х • \х\\ < а} П П(, Г® = Гг П дЩ Через Е обозначим множество всех ограниченных подобластей Q С П( с гладкой границей,

отделенных от концов окна 7¿ на положительное расстояние, случай 8Q П dUi ф 0 не исключается

В окрестности краев окна 7¡ края введем полярные координаты, которые обозначим через (г+,0+) для правого края и через (г_,#_) - для левого Отсчет углов в± выбирается так, чтобы значения в± = 0 соответствовали части границы области П;, лежащей на оси сг2 = 0 Пусть X = хМ ^ С°°(К) - бесконечно дифферешщруемая срезающая функция, равная нулю при t > 1/3 и единице при í < 1/4

Сформулируем основные результаты первого раздела первой главы

Теорема 1. Пусть I > 0. Тогда существует So > 0, такое что любая функция и 6 T>(Hi) представляется в виде

и(х) = 40)(х)х+(г+) + uL0)(*k-(r_) +

и(£\х) - а±л/г± sin у, x±{r±) = x(r±/d0),

где и^ £ (П;) Действие оператора Tíi определяется формулой

Hiu = ~2Vui0) VX+ - 2Vu(°> VX- - 4°)д*+ ~ - Au(1)

Справедлива оценка

Ci\\Hiu\¡L2(n¡) K| + |o-| + |!u(1)||W2(n¡) < C2\\Hiu\\L2{nih

где константы Сг > 0 не зависят от а± и и'1'

Обозначим р .= 1, если d < тг, и р =2, если d = 7Г Теорема 2. Верны утверждения 1 ae{Ui) = [1,+оо)

I? Собственные значения Хт(1) оператора Hi непрерывны по I, простые и удовлетворяют оценкам

Am_i(¿) < Xm(l) < Am(l), m> 1, I > lm (1)

Соответствующие собственные функции являются четными по х-у при нечетных т и нечетными по х\ при чётных т

3 Длина I — 1п является критической, если и только если существует ограниченное решение краевой задачи

—Афп = фп, Х6П1, фп = 0, х € Г/, (2)

принадлежащее Г") для любого а > 0, четное по х2 в случае

d = iv, и удовлетворяющее асимптотике

Фп(х) = y^/ñsmxi + 0(e~V*Xl), хх -> +00, € (0,тг) (3)

Если такое решение существует, то оно единственно и является четным по х\ при нечетных п и нечетным по xi при четных п

4 При е = I — 1п —> +0 асимптотика собственного значения Хп(1), п > 2, имеет следующий вид

МО- 1-/V -0(5), ш, w

П|

Соответствующую собственную функцию можно выбрать удовлетворяющей асимптотике

фп(х) = уД/пе-у/1-^11^ smx2 + O(e-V3-^»(0®»)i Х2 е (о.тг),

при Х\ —> 4"со При этом для любого R > 0 в норме И^1 (П/*) будет выполнено равенство

Мх) = Фп{х) + 0{у/е)

Замечание 1 В пункте 3 теоремы 2 решение краевой задачи (2) мы понимаем в обобщенном смысле

Замечание 2 Функция фп в утверждении 3 теоремы 2 предполагается четной по Х2 при <1 — тг Такое условие необходимо для того, чтобы исключить из рассмотрения функцию \/2/-к бш хг, которая в случае й — тт является ограниченным решением задачи (2) и удовлетворяет асимптотике (3) для всех I > 0 В случае в. < п решение, подобное отсутствует, и

требование четности по х2 здесь излишне

Теорема 3. При I —» +оо собственные значения Хт(1) умеют асимптотику

А ш(О = Лт(О + 0(Г3) (5)

Как следует из утверждения 4 теоремы 2, новые собственные значения возникают из границы существенного спектра и имеют асимптотики (4) Первый член данной асимптотики отличен от нуля; этот факт очевидным образом следует из формулы для ¡лп и краевой задачи для фп Из формул (4) вытекает, что коэффициент не обладает свойством непрерывности при (I —» 7г Ранее аналогичный эффект для собственного значения Л\(1) при малых значениях I на формальном уровне был обнаружен И.Ю Поповым.

Согласно теореме 3, все собственные значения Лт(/) стремятся к числу х2, с точностью до величины порядка 0(1~ъ) совпадая с правыми концами интервалов из оценок (1) Отметим, что - граница существенного спектра Лапласиана с краевым условием Дирихле в полосе шириной (тг + д,) Подчеркнем, что оценка остатка в (5) неравномерна относительно ш, а первая поправка в асимптотике (5) не зависит от ширины полос й, в отличие от асимптотик (4), где ширина полос оказывала решающее влияние на вид первого члена

Второй раздел первой главы посвящен изучению пары трехмерных волноводов, соединенных окном Опишем постановку задачи Пусть х' = (21,3:2), х = (х',хз) - декартовы координаты в М2 и R3, и и> С К2 - ограниченная односвязная область с бесконечно дифференцируемой границей Обозначим Пш = {х хз € {—d, 0) U (0,7г)} U и, d < тг Множество w х {0} будем называть окном (см рис 2) Как и выше, целью является изучение спектра оператора Нш = —

Введем вспомогательные обозначения Предполагая и> ф 0, в малой окрестности ди> введем координаты (т, s), где s - натуральный параметр кривой ди>, а т - расстояние, измеренное в направлении внешней нормали к ди> Через (г, в) обозначим полярные координаты, соответствующие (т, x-¿) Для малых 5 > 0 через обозначим множество функций

Рис 2 Слои, соединенные окном

и(х) =

27tjs

eos-

VJ so

2itjs*

-\—p=sm VJ so

Vr sin-,

а3,а3 е С, ||и|&, =|а0|2 + ^(|а;|2 + ^|2) < оо,

.7=1

определенных на Те = {х г < Здесь 50 - длина кривой ди> Будет показано, что данные функции определены корректно (см теорему 4)

Для произвольного множества 5 С Пм л малого 6 > 0 через 5) обозначим класс функций = и^(х)х[т/5) +и<*1'>(х), где и^ е и^1) € аПшп95)

Теорема 4. Пусть си ф 0. Тогда существует ¿о > 0, такое что Т>(НШ) ~ ЯЗ(5о,Пш), и для любой функции и е Т)(НШ) выполнено

Нши=-2Уи(0) Ух-и(0'Ах-Аи(1), х = Х^/бо) Справедливы оценки Сх\[Н

д

+

ds

¿2 №)

+

+

дт2

дЧЮ

dxl

дтдх3 l2(ts) где константы Сг > 0 не зависят от и^ и и^

12

¿2 (те)

Пусть Лг = At(u>) - изолированные собственные значения оператора?^, упорядоченные по возрастанию

Теорема 5. Справедливо равенство ае(Нш) = [ 1,+оо) Число собственных значений в дискретном спектре оператора Нш конечно и верны оценки

где ¡j.[n\ - собственные значения Лапласиана в lo с краевъши условиями Неймана и Дирихле соответственно

Теорема 6. Пусть ш = oj(t) С К2 - семейство ограниченных односвяз-ных областей с бесконечно дифференцируемой границей, удовлетворяющих условию

(С1) Для любого ¿о 6 (0,+оо) и всех t, близких к to, существует диффеоморфизм M(to,t) € С3, определенный в окрестности w(ío), такой что A"í(ío,í)o>(ío) — -^o(íoiío) = Ij причем компоненты диффеоморфизма M(to,t) и их производные вплоть до третьего порядка являются непрерывными функциями по (х, t)

Тогда собственные значения оператора непрерывны по t Если, дополнительно, выполнено условие

(С2). Существуют функции р, = pz(t), г = 1,2, такие что {х' < pi{t)} С ui{t) С {х' \х'\ < p2{t)}, t 6 [0, +оо), и lim pi{t) = +оо,

fc—»-Ьоо

^Ит^ргМ = 0; w(íi) С w(Í2) для всех t\ < t<¿;

то существует бесконечная последовательность чисел 0 — ti < Í2 ^ ¿з ^ , такая что #o"d(7iw(t)) = п при t G (tn,tn+1], и верны сходимости tn —> +со при п —> +00, и A„(üj(t)) —>1—0 при t —»tn + О

Данная теорема утверждает, что существуют критические формы окна w, такие что расширение окна с такой критичной формы приводит к появлению новых собственных значений из границы существенного спектра Для более подробного описания данного эффекта нам понадобится

Лемма 2. Краевая задача

-ДФ = Ф е Пш, Ф = 0 на дПш, (6)

имеет конечное число нетривиальных ограниченных решений, четных по x¿, если d — 7Г Эти решения можно выбрать так, что среди них будет не более одного решения, удовлетворяющего соотношению

Ф = smx3 + 0(lx'l-1), х'->+оо, я3<Е(0,7г), (7)

не более двух решений, удовлетворяющих соотношению

Ф = (С1Х1 +сга;2)|а;'|~28тхз + 0{\х'\~2), х' —> -1-00, хз € (0,тг),

где |с1|2 4- |сг|2 — 1, и конечное число решений, принадлежащих ¿2(ПШ) Каждое из этих решений бесконечно дифференцируемо вплоть до границы за исключением края дш х {0}, в окрестности которого эти решения ведут себя следующим образом

Ц(х)=к,(з)</Рит?-+0(г), г-* О, ¿*еС°°(Эш)

Л

Фиксируя о>, введем в рассмотрение семейство ограниченных областей и>€ С Е2, чьи границы определяются как ди)е = {х' т = е/3(г)}, где е —> +0, и ¡3 € С°°(ди)) - произвольная функция

Теорема 7. Пусть задача (6) не имеет ограниченных нетривиальных решений, четных по хз, если <1 = тт Тогда оператор не имеет собственных значений, сходящихся к единице при е —* +0

Теорема 8. Пусть существует единственное нетривиальное ограниченное решение Ф задачи (6), четное по хз, если с1 = тт, и пусть это решение удовлетворяет соотношению (7) Тогда ф 0, и существует единственное решение Ф задачи (6), удовлетворяющее условиям

= сЬф'^тагз +0(|х'|-1), |аг'| —> +оо, х3 € (0,7г), где ¿ф £ С°°(ди>) - некоторая функция Если

11 = 01% йв > 0, или 11 = 0, 12 = ~J /ЗЫфсЬ > 0, (8)

дл дш

то существует единственное собственное значение оператора И.Шс, сходящееся к 1 — 0 при е —> +0. Это собственное значение простое, и

А£ = 1-4е"2С+2^е-^(1 + 0(е)), если > 0, 2

Л£ = 1 — е 7^(с + 0(е)), если и = 0, г2 > 0,

где с - некоторая константа, а С - константа Эйлера Соответствующая собственная функция удовлетворяет равенству

= Ф + 0{у/е)

в нормах XV2 (5) и И7! для любой ограниченной области Б С ПШе и

любого 5 > 0, и экспоненциально убывает

= 0(е-|х/| _ +ОС)

Если XI < 0, или 11 = О, 12 < О, то оператор не имеет собственных значений, сходящихся к 1 — О при е —> +0

Теорема 7 дает необходимое условие возникновения собственных значений Как и в двумерном случае, это условие - существование резонансных решений задачи (6) с определенным поведением на бесконечности Теорема 8 показывает, что наличие резонансного решения, ведущего себя на бесконечности как первая поперечная мода, является и достаточным условием возникновения собственного значения при увеличении окна Действительно, в этом случае О, а потому и > 0 и выполнено первое неравенство в (8) Отметим, что как и в двумерном случае, главные члены асимптотик (9) разрывны при й —► 7г

Во второй главе изучается Лапласиан с разбегающимися возмущениями В первом разделе такая задача рассматривается в бесконечном цилиндре Опишем постановку Пусть х = (2:1,2;') и х' = (х2, ,хп) - декартовы координаты в М" и 1КП-1, п ^ 2, ш - ограниченная область в Кп~1 с бесконечно дифференцируемой границей Через П обозначим бесконечный цилиндр йху Положим П± — (-а±,а±) хи, где а± е Е - фиксированные положительные числа, и 7± .= (—а±,а±) х ди> Через С± обозначим пару линейных ограниченных операторов из в ¿2(П, Предпо-

лагается, что операторы С± симметричны, и выполнены оценки

(£±и.иЬа(П±) > -со||?и||£2(п±) - С1|!и|||2(п±), со < 1, (10)

для всех и й ИЛ|(Г2±, 7±) Операторы С± продолжим на пространство 1'У22(П) по следующему правилу Функция и е ^(П) сужается на множество и к сужению применяется оператор С± Такие продолжения вновь обозначим через С±

На пространстве Ь2(П) определим оператор сдвига (5(а)и)(х) .— 14(2:1+ а, х'), и для I > 0 введем оператор = 3{1)С-5(-1) + Дей-

ствие этого оператора зависит только от значений его функции-аргумента, которые последняя принимает на множестве {ж (х! + I,х') е О-} и {х {х\ —1,х') € 12+} При больших I это множество состоит из двух ограниченных компонент, стоящих на расстоянии 21 друг от друга Поэтому оператор £г естественно интерпретировать как разбегающиеся возмущения, образованные операторами и С+

В первом разделе второй главы мы изучаем оператор Нг = — Д^ +

С1 в 1,2 (П) с областью определения И'г2(П) Мы также предполагаем, что операторы С± таковы, что оператор Н1 самосопряжён Целью является описание поведения спектра последнего оператора при I —> +оо

Обозначим Н± — — Дп^ + С± - операторы в 1/2(П) с областью определения (П) Будем предполагать, что они самосопряжены Пусть 1/\ > 0 -наименьшее собственное значение Лапласиана вше краевым условием Дирихле Основные результаты о спектре оператора Н1 выглядят следующим образом

Теорема 9. Существенные спектры операторов Н1, Н+, "Н- совпадают с полуосью [1/1,4-00), а дискретные спектры состоят из конечного числа изолированных собственных значений

Обозначим о-, = а-а(И_)ист<1(К+) Будем говорить, что А* € и» - (р_ + р+)-кратно, если оно -кратное собственное значение оператора Н- и р+~ кратное собственное значение оператора Н+, и положим р± = О, если А# 0 Сб(Н±)

Теорема 10. Каждое изолированное собственное значение оператора Н1 сходится к одному из чисел в о* или к ъ>\ при I —> +оо

Теорема 11. Если А» £ <т» - (р- +р+)-кратно, то совокупная кратность собственных значений оператора Н1, сходящихся к А», равна р~ + р+

Пусть А» е сг* - (р_ +р+)-кратно и г = 1, ,р±, - соответствующие собственные функции операторов "Н±, ортонормированные в Ь2(П) Если р_ ^ 1, то обозначим

фг(,1) = (о, ¿+5(2ОС)€£2(П-)Ф^2(П+), =

где / = (/_,/+) е » = 1, ,р_ Если р+ ^ 1, аналогично

обозначим

Ф3{ ,0 = (£_5(-20</>г+,0) б Ь2(1>_) ® =

где г = 1, ,р+, 3 '— г + Р- В четвертом параграфе первого раздела второй главы доказывается, что оператор

Т2(А,0/ •= (£-5(-2г)(Н+ - - А)-1/-)

в © удовлетворяет соотношению

* !=1

для А, близких к А,, где р — р_ + и норма оператора 7з стремится к нулю при / —> +оо равномерно по А, близким к А» Определим матрицу

А(А,0 •= (ДДА.г))^^, где = ГХМ(1 + Т3(А,О)"1^! ,0

Теорема 12. Пусть А* € сг* - (р_ + р+)-кратно и Аг = Л,(/) -> А,,

>+оо

г — 1, ,р, р — р~ + р+, - собственные значения оператора Н1, взятые с учетом кратности и упорядоченные следующим образом

п <-- Н \ \ ^ ^ I \ \1 /11 \

" 1-4 --»I ^ ^ I"Р \J--LJ

Тогда данные собственные значения являются корнями уравнения

с1еЦ(А-А.)Е-А) =0, (12)

где Е - единичная матрица, А = А(А ,1) Верны асимптотики

А= А* + г,(0 (1 + 0 е~ р л/1/1~л*)) , I —► +оо (13)

Здесъ гг = тг(1) = 0(е_2гч/"1~А*), I —> +оо - нули полинома (тЕр -А(А*,0)> взятые с учетом кратности и упорядоченные следующим образом

0^|г!К|т2К <|тр| (14)

Для собственных функций, соответствующих А,, справедливы асимптотики

р- р+

Фг{х,1) = + 1,х') + ]Г Кг,3+р_ 0+ (ц - 1,х') + ^(е-211^^)

1=1 1=1

при I —» +оо в норме ТУ2 (П) Числа кг- компоненты векторов кг — кг(1) = (кг,\(1) Кг,р{1)) ! последние являются решениями системы

((А — А*)ЕР — А)к = 0 (15)

с А = А(А,(0,0. и удовлетворяют условию

, \ _ /1, _ если г = з,

если гфэ

Согласно данной теореме, главные члены асимптотических разложений собственных значений Аг определяются матрицей А(А», /) С другой стороны, в приложениях может быть достаточно сложно явно вычислить данную матрицу Поэтому в следующих теоремах мы приводим еще один способ вычисления первых членов асимптотик

Будем говорить, что квадратная матрица А(I) удовлетворяет условию (А) при I —► +оо, если она диагонализуема и определитель матрицы, составленной из нормированных собственных векторов матрицы А({), отделен от нуля равномерно для достаточно больших I

Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 12 Предположим, что матрица А(А», I) представима в виде А(А», I) = А0(1) + Аа(0, где матрица Ао удовлетворяет условию (А) при I —» +оо, и ||А1(^)|| —> 0 при I —> +оо В этом случае собственные значения А, оператора И.1 удовлетворяют асимптотикам

А, = А* + т^ (1 + + 0(||А1(£)||), I +оо (16)

Здесь т^ — т- нули полинома det (тЕр — Ао(1)), взятые с учетом кратности и упорядоченные следующим образом

Каждый из этих корней удовлетворяет оценке = С(||Ао(0||), I —>

+00

Как следует из данной теоремы, первые члены асимптотик собственных значений определяются собственными значениями матрицы А(А», I). Отметим, что оценка остатка в асимптотике (16) может быть хуже, чем в (13) В следующих теоремах мы применяем теорему 13 к некоторым важным частным случаям

Пусть > 1/1 собственное значение Лапласиана вше краевым условием Дирихле, и фх — ф\ (х') - собственная функция, соответствующая щ и нормированная в ¿г(^) В пятом параграфе первого раздела второй главы доказывается

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 12ир± ^ 1 Тогда функции ф^ можно выбрать так, что

= 0±е±^"1~Х'Х1ф1 (х') + 0(е±^2-А*Х1), хг Тоо ^(аг) - О^^*7*1), -»тоо, г - 2, ,р±, где р± - некоторые числа, а функции ф^ ортонормированы в ¿г(П)

В дальнейшем предполагаем, что функции ф^ выбраны в соответствии с данной леммой

Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13 ир+ = 0 Тогда при А —> +оо собственные значения Хг удовлетворяют асимптотикам

МгНА. + ^е-2'^^^^), г — 1, ,р-1,

Ар(0 =А» - 12^е-4'^17 (18)

где константа /?_ однозначно определяется равенством

и+{х) = ф\(х') + 0(е^_А*В1), хх -» -оо,

Пусть, дополнительно, Ф О Тогда асимптотика собственной функ-

ции фр, соответствующей Хр, в норме (П) имеет вид

фр(х, I) = ф^ +1. хО + С^е-2'^17, I +00

Данная теорема рассматривает первый возможный случай, когда число Л» € а является собственным значением только одного из операторов %±, без ограничения общности считаем, что это оператор Л- Формулы (18) дают асимптотическое разложение для собственного значения Ар и асимптотические оценки для остальных собственных значений Вместе с тем, для произвольного оператора наиболее типичной является ситуация, когда заданное собственное значение А» оператора Н- простое В этом случае р — 1, по теореме 11 существует единственное собственное значение оператора Ни сходящееся к А*, и теорема 14 дает асимптотику данного собственного значения

Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 12 и р± > 1 Тогда I —» +оо собственные значения Хг удовлетворяют асимптотикам

Хг(1) = А, + О^е-4'^17), г — 1, ,р - 2,

Ар_!(0 = А* - 2|/3_/?+|^Г^Ке-21^^ + ОЦе-41^^), (19) Хр(1) = А* + 2|/?_/?+|у/ч -Х.е-21^^ + 0(1е-41^~х-)

Данная теорема рассматривает второй возможный случай, когда число А» € о - собственное значение обоих операторов Н± Как и в теореме 14, формулы (19) дают асимптотики собственных значений Ар_1 и Хр и асимптотические оценки для остальных собственных значений Типичной здесь является ситуация, когда А» - простое собственное значение операторов Н+ и Н~ В этом случае существуют ровно два собственных значения оператора Нг, сходящихся к А*, и их асимптотики даются теоремой 15

Предположим, что в условиях теоремы 15 выполнено неравенство /3-/3+ Ф О В этом случае первые поправки в асимптотиках для Ар_1 и Ар равны по модулю, но разные по знаку Более того, данные собственные значения простые Такая ситуация аналогична задаче об операторе Шредингера с двойной симметричной потенциальной ямой Отметим, что в нашем случае мы не налагаем никаких условий симметричности на операторы С±, кроме А* € а^Н-) П а<\{Л+) Таким образом, последнее условие является достаточным для возникновения описанного феномена независимо от симметричности разбегающихся возмущений

Во втором разделе второй главы рассматривается задача о Лапласиане с разбегающимися возмущениями во всем пространстве Опишем постановку задачи Как и выше, через х — (х\, ,хп) будем обозначать декартовы координаты в К™, п ^ 1 Пусть 0.г С Кп, г — 1, , т, -

произвольные непустые ограниченные области с гладкой границей Через Сг (П,) —> Ь^О^1,^), г — 1, ,т, обозначим линейные ограниченные симметричные операторы, удовлетворяющие неравенству

(Сги,и) > -с0|^и|||2(П1) - схЦиЦ^^), с0 < 1,

для всех и, 111,112 € ТУ^ (^0, где со, сх - некоторые константы По аналогии с операторами С± продолжим операторы Сг на пространство И7!(К") Введем оператор сдвига Б (а) и .= и( + а), где а € Кп Пусть X,, г = 1, ,т, - точки в К", и X = (Х1, ,Хт), Х1%0 ■= Хг - Х3, = \Xijl ПредПО-

ттг

лагаем, что 1г,3 —> +оо, г ф 2 Положим Сх — £ ¿>(-Хг)£г<5(Хг)

1=1

Объектом исследования является оператор %х — +£х в ¿2 (Кп)

с областью определения И72 (Кп) Целью является описание поведения спектра оператора Их при 1г,} —> +оо

Пусть ~Нг •= — Д^ + Сг - операторы в К") с областью определения 1У2 (Кп) Предполагаем, что они самосопряжены Сформулируем основные результаты

Теорема 16. Существенный спектр операторов Иг, %х совпадает с полуосью [0, +оо) Их дискретные спектры состоят из конечного числа изолированных собственных значений

т

Обозначим сг, = и а а {Иг) Будем говорить, что А »ест*- (рх + +

г=1

рт)-кратно, если оно кратное собственное значение оператора Ни г — 1, , 7п Как и выше, равенство рг = 0 означает, что А» 0 о(Т1г) Обозначим 1х — тт

Теорема 17. Каждое изолированное собственное значение оператораНх сходится к нулю или к А» 6 сг» при 1х —» +оо Если А, 6 сг» - {рх + рт)-кратно, то совокупная кратность собственных значений оператора Их, сходящихся к А*, равна рх + рт

Теорема 18. Пусть А» € сг» - {р\ + + рт)-кратно, и пусть Хг = Аг(Х) -> А», г = 1, . ,р, р = рх + + Рт, ~ собственные значения оператора "Нх, взятые с учетом кратности и упорядоченные согласно (11) Тогда эти собственные значения являются корнями уравнения (12), где А = А(А,Х), и имеют асимптотики

Хг(Х) = А» + тг(Х) (г + О^х^е'^^У), 1х~*+оо

Здесь А - некоторая матрица, явно выражаемая через собственные функции операторов Нг, соответствующих А», операторы £, и точки Хг Величины _

тг ~ гг(Х) = О ^е-'*^^ , 1х -* +оо,

являются нулями полинома с^ (тЕр—А(А,, X)), взятыми с учетом кратности и упорядоченными согласно (Ц) Собственные функции, соответствующие А,, удовлетворяют асимптотическим представлениям

т РЗ _ _

3 = 1 9=1

в норме И7!(Кп), где = 0, а3 =рх+ +Рз-1 Здесь фг<3, ] — 1, - собственные функции оператора Нг, соответствующие А» и ортонор-мированные в ¿2(КП) Числа кь] являются компонентами векторов кг = кг(Х) — (кгд(Х), , кг1р(Х)) , которые, в свою очередь, являются решениями системы (15) с А = А(Аг(Х),Х) и удовлетворяют условиям

В диссертации матрица А(А, X) выписывается явно Она выражается через вспомогательные функции и операторы Мы не приводим здесь явного выражения для данной матрицы, чтобы не перегружать текст громоздкими формулами

Следующие теоремы являются аналогами теорем 13-15

Теорема 19. Пусть выполнены условия теоремы 18 и матрица А пред-ставима в виде А(А«,Х) = Ао(Х) + А^Х), где матрица Ао удовлетворяет условию (А) при 1х —> +оо и ||А1рГ)|| —> 0 при 1х —> +оо Тогда собственные значения Хг удовлетворяют асимптотикам

Аг = а» + гг(0) (г + о (г^е-'*^7)) + ©(НА^ОН)

при 1х —> +оо Здесь т^ = т^(Х) - нули полинома с1еЬ (тЕр - Ао(Х)), взятые с учетом кратности и упорядоченные согласно (17) Каждый из этих корней удовлетворяет оценке т^°\х) = С(||Ао(Х)||) при 1х —* +оо

Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 18 Тогда собственные значения \г удовлетворяют асимптотикам

Хг (X) = А» + тг(0) (Х) + 0 (У+2е-2'-^^^ > 1Х _ +ос

Здесь т- корни полинома сМ (тЕр—Ао), взятые с учетом кратности и упорядоченные согласно (17), а матрица Ко эрмитова и имеет следующий вид А[^(Х) = (Ск5(Хк,г)Фг,з,'Фк,д)Ь2(Пку если кфг, А[°](Х) = 0, если к = г, где к = 1, ,т,д = 1, ,рк, г = ак + я, г = 1, ,тп, в = 1, ,рТ, г = аг + 5 Верны оценки т/0' — О ^-^^е-'* ч/~А*1х —> +оо

Теорема 21. Пусть А» € с* является (1 + 0 + + 0)-кратным, и тр\

- соответствующая собственная функция оператора Н\, нормированная в ¿2(К") Тогда асимптотика собственного значения Х(Х) -> А,

¡X—>+оо

оператора Нх имеет вид

т

Х(Х) = А. - £ (£х5(Хг,,)(Н, - А^С^Х^фг^)^^

3=1

+ 1Х -> +оо

Соответствующая собственная функция имеет следующую асимптотику в норме И^ (Кп)

Цх,Х) = ф1(х-Х1) + 1Х +<х>

Теорема 22. Пусть А* е сг, является (1 + 1 + 0 + + 0)-кратным, и ■ф1, г = 1,2 - соответствующие собственные функции операторов Нг, нормированные в 1,2 (Кп) Тогда асимптотики собственных значений А,, г = 1,2, оператора Их, сходящихся к А», имеют вид

Ах = А* — ^(ад^)^! + 0 ,

А2 = А, + |(£15(Х1>2)^1Мйа(П1)| + ° (Гхп+2^21х^) ,

при ¿X -^

Как и в теореме 15, в последней теореме первые члены асимптотик собственных значений оператора Нх, сходящихсяк (1+1+0+ +0)-кратному числу из <т*, равны по модулю и имеют разные знаки Как и в теореме 15, мы не предполагаем здесь какой-либо симметрии для операторов £г, то есть, и в данном случае этот эффект не является проявлением каких-либо симметрийных свойств разбегающихся возмущений

Третья глава диссертации посвящена операторам с малыми локализованными возмущениями Опишем постановку задачи Пусть

Л Л Но + Ч

ах ах

- оператор в 1,2 (К) с областью определения (®) Здесь р — р(х) - 1-пе-риодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, q = д(х) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функции, причем р(х) ^ ро > 0, х 6 М Без ограничения общности предполагаем, что р(0) = 1 Оператор Но самосопряжен.

Пусть С,е У^2{хо,х{) —> ¿2(х0,^1), Хо < х\ - линейный оператор, ограниченный равномерно по е Продолжим данный оператор на пространство

1йс(В.) аналогично тому, как выше были продолжены операторы £± Обозначим Н£ = (Но — еС€) - оператор в /^(R) с областью определения Ж) В диссертации доказано, что оператор Не замкнут Основной целью является изучение структуры и поведения спектра опера/юра. 71-- при t —f и Для формулировки основных результате^ нам попз. добятся дополнительные обозначения и некоторые известные факты Известно, что спектр оператора Но имеет зонную структуру

оо

а(Н0) = ае(Но) = \J [/4,/Си],

п=0

где величины ¡1q < ^ ц^ < ^ nt < Мз ^ Мз < являются простыми собственными значениями краевых задач

(20)

<£(о) + (-i)n+V±(i) = 0, ^(о) + = о

Для а € С, 5 > 0 обозначим Ss(a) = {Л € С | arg(A - а)| < ¿} Сформулируем основные результаты

Теорема 23. Существуют положительные 5г = 5г(е) -* 0, г = 1,2,

£—>0

такие что для достаточно малых е верно вложение сг(Не) С 5г2(£)(^д —

Теорема 24. При достаточно малых е выполнены равенства ае(Нс) — Ve(Ho), Ог{Н£) = 0.

Теорема 25. Точечный спектр оператора Н£ состоит из не более, чем счетного числа собственных значений конечной кратности, и не имеет конечных точек накопления

Теорема 26. Пусть К - произвольный компакт в комплексной плоскости такой, что К Л ае(Но) ф 0 Тогда при достаточно малых е множество сте(Не) П К не содержит вложенных собственных значений

Подчеркнем, что последняя теорема не исключает случай наличия вложенных собственных значений, стремящихся к бесконечности при е —► 0 В параграфе 3 12 диссертации приведен пример оператора Не, у которого существует вложенное собственное значение В следующей теореме приводятся достаточные условия отсутствия таких собственных значений

Теорема 27. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий

(1) Для любого подынтервала Q С [xo,a;i] справедлива оценка

\\£M\L2(Q) < chWwuQ),

где константа С не зависит от е и выбора подынтервала Q

(2) Оператор СЕ представим в виде Се = Зхв£ Úx 26>s ~ кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция с носителем в [xo,£i]> удовлетворяющая соотношению

етах|а'(я)|-> О,

Q

а ¿e o,£i) —* ¿2(^0,^1) - линейный оператор, ограниченный

равномерно по е

Тогда при достаточно малых е существенный спектр оператора Не не содержит вложенных собственных значений

Теорема 28. Пусть К - произвольный компакт в комплексной плоскости такой, что К П cre(7io) ф ® Тогда при достаточно малых е каждое из собственных значений оператора Ле, лежащих в К для всех достаточно малых е, при е —» 0 сходится к одному из краев лакун в части спектра оператора ТСо, лежащей в множестве К

Пусть вг(х,Х) - решения уравнения

.±p± + q-x)v = О, xeR, (21)

удовлетворяющие начальным условиям

*i(0,A) = l, f~(°-A) = 0' *<0,AH0, ^(0,А) = 1,

где А - комплексный параметр Для краткости обозначим вг(Х) = вг(1. А), б;(А) =^(1,А), t = l,2 Положим D{A) =0i(A) + ^2(A)

Пусть ¡л* - один из краев некоторой лакуны в спектре оператора Но Собственные функции задачи (20) выберем вещественными и для четных п продолжим 1-периодически на всю вещественную ось, для нечетных п продолжим 1-антипериодически Продолженные таким образом функции будут дважды кусочно-непрерывно дифференцируемы Нормируем их следующим образом

1^(0)|2 +

В диссертации показано, что правая часть данного равенства не равна нулю, а потому нормировка имеет смысл

Пусть Оп\о ~ интегральный оператор, определенный на ¿2(К, (2:0,2:1))

(б^0Л(х) = I «)/(*)<*«,

к

G± ( t) = - t>x,

n'o{Xl] 2\e1(x,^)d2(t,^)-e1{t,^)92(x,^), t < X

Так как оператор ограничен равномерно по е в 1-2 (яо>xi), то при

достаточно малых е в ¿2(2:0, xi) корректно определен ограниченный оператор An (е, 0) = (I — eCeGnfl) 1 Далее точкой сверху будем обозначать дифференцирование по Л

Теорема 29. Пусть - один из краев некоторой лакуны в спектре оператора Tío Тогда оператор Не имеет не более одного собственного значения, сходящегося к при е —> 0 Это собственное значение существует, если

±R е(А5(е,0)С€ф5,ф±)^хоз:1)>0, и отсутствует, если выполнено одно из следующих соотношений ±Ке(А^(е,0)Сеф^,Ф^Ы:СО!Х1) < 0, (А±(е,0)£еф±, Ф^) Ых0,х1) = 0

Если данное собственное значение существует, то оно является простым и имеет следующее асимптотическое разложение

А±„ - Т -+ 0(е2)), (22)

ь£п = ^ т ^«'е + <?)2 + + е% (23)

, ±д___Ых 0,Si) , ±,2 _ (£евп,о£еФ5. Фп ) jq2(X0iXi)

*п'е ^ /- i ^П'Е — ^ /-

Асимптотическое разложение соответствующей собственной функции имеет вид

^п = ф±+ед±0£еф± + 0(е2) в норме W|(q1,0:2) для любых а\,а2 € Е

Замечание 3 В диссертации даны формулы для D{¡j,^), из которых, в частности, следует, что О(ц^) ф 0, если - край лакуны. Из теорем 28, 29 вытекает

Следствие 1. Пусть К - произвольный компакт в комплексной плоскости Тогда при достаточно малых е каждое из собственных значений оператора Н£, лежащих в К для всех достаточно малых е, является простым

Теорема 30. Пусть ¡л1Ц - один из краев некоторой лакуны в спектре оператора Но Если

Re + ек±?) > С{е)е\ С(е) — +оо,

то существует собственное значение Af¡n, и верны равенства (22), (23) Если же

Ее (k±;¡ + efc±;e2) < -С{е)е\ С(е) —^ +оо,

то оператор Не не имеет собственных значений, сходящихся к при е-+0

В диссертации также описано поведение собственной функции на бесконечности Мы не приводим здесь этих формул, так как они достаточно громоздки и требуют введения ряда вспомогательных обозначений

В четвертой главе исследуются операторы в многомерном пространстве с быстро осциллирующими коэффициентами Постановка задачи выглядит следующим образом Пусть х — (х\, , x¿) - декартовы координаты в Rd,

d

1, В = В(С) - матричнозначная функция вида В(() — J2 В}£г, где £ =

t=i

(Ci> , (d)i Вг - постоянные матрицы размера тхпс комплекснозначными коэффициентами, и т > п Предполагаем, что rank В (£) = п, £ Ф О

Пусть Y - некоторое банахово пространство Символами Y) и

W2fc(Kd; Y) обозначим Соболевские пространства функций на Md со значениями в У, обладающих конечными нормами

u||iyk md у) = max ess sup 00 ' x6Rd

0l°lu

dxa

J

ами 2 ,

ax

dxa

Для k — 0 мы будем использовать обозначения L00(ECÍ, У) = W^0(Rd,Y), L2{M.d,Y) W${Rd-,Y)

В пространстве Rd выберем некоторую решетку, элементарную ячейку которой обозначим через □ Через С£ег(□) обозначим пространство □-периодических функций с конечными нормами Гельдера || Норма в

этом пространстве совпадает с нормой пространства C7(D)

Вектор-функции f = f(x,£)> D-периодические по рассматриваются как отображения точек х G в функции, зависящие от £ Данные отображения определяются по правилу х > í{x, ) Это позволяет нам говорить о принадлежности вектор-функций f(x,£) пространству С^ег(0))

Пусть А = А(х, £) - матричная функция размера т х ш Будем считать, что матрица А эрмитова и □-периодична по и справедлива равномерная по (ж, £) £ M2d оценка ciEm ^ А(х, £) ^ сгЕт Также предположим, что А е H^(Rd,C¿e+/(0)) П Wl{Rd,C^r{□)) для некоторого /3 € (0,1)

Через V = V(x, £), аг = а,(х,£) обозначим D-периодичные по £ матричные функции размера пхп Предполагается, что аг £ W(^0(Rci; □)) П W^(Rd, С^ДП)), V € И^К*, C@er(□)) Матрицу Y будем считать эрмитовой, матрицы а, и В, - комплекснозначными Пусть bt — bt(x) £ Т-У^(Е^) - комплекснознлчиыс матричные функции размера v. v п.

Для любой функции /(х,£) через Д(х) обозначим функцию f (х, f), например, Ае(х) = А (х, |) Для СП-периодичных по £ функций Дх, £)

положим {/) - (Дх, )} = |a|-1//(x,4)di

□

Целью является изучение резольвенты и спектра оператора =B(3)*AEB(c>) + ae(x,d) + Ve в L2(Rd,Cn) с областью определения W|(Rd,Cn) Здесь

d d

1=1 г=1

d

ае(х,Э) = a(x,-,öV а(х,£,<) = (а^х, £)СгЪ,(х) - b*(x)Cta*(x,0),

где д = (<9i, <Эг - производная по хг, а верхний индекс * означает

эрмитово сопряжение В диссертации доказано, что оператор Ие самосопряжен и равномерно по е полуограничен снизу

Пусть Ло = Ao(x,£),Ai = Äi(x,£) - матрицы размера п х п и п х тп, соответственно, являющиеся П-периодическими по £ решениями уравнений

JL яа* »=1

»2(i

02о£

B(ai)*A(x,0(B(ö5)A1(x,0 + Em) -0, (x,4) e:

удовлетворяющими условиям

(Лг(х, )) = 0, х £ Rd, г = 0,1 (25)

Здесь , j В диссертации доказано, что решения задач (24),

(25) существуют, единственны, и Лг 6 W^(Rd, Cp^(G))

Пусть ~ оператор в Сга), определенный равенством

П0 = B(ö)*A2B(ö) + А3 (х, д) + Ао, А2(х) = (А(х, )(B(ds)Ai(x, ) + Em)), А!(х,9) = В(3)*(А(х, )В(9?)Л0(х, ))

+ <(В(«%)Л0(х, ))*А(х, ))В(д) + (а(х, ,д)), А0(х) = -((В(^)Ло(х, ))*А(х, )В(9С)Л0(®, )) + (V(i, )),

27

с областью определения ЭД^(К^С") В диссертации показано, что данный оператор самосопряжен и полуограничен снизу, а его коэффициенты достаточно гладкие Через 1)о обозначимнижнюю грань оператора Но

Пусть С = С(х, О е ^¿(Е^, С^ег(П)) - эрмитова положительная матрица размера пхп Также предполагаем, что существуют не зависящие от х и £ константы дг > 0, г = 1,2, такие что дх'Е^ < ^{х, £) ^ д2Е„ Положим Со(х) .= (С(х, )) Введем в рассмотрение оператор

В диссертации показано, что для каждого значения е оператор С€ ограничен как оператор из (Kd, С") в Сп), а также как оператор из Wf(Kd,Cn) в W^R^C") Сформулируем основные результаты четвертой главы

Теорема 31. Пусть X £С\{цо, +оо), /л0 = min {fjo/Зъ Ьо/02} Тогда при достаточно малых е справедливы оценки

где константы С не зависят от е, а нормы понимаются как нормы операторов из L2(Rd,Cn) в L2(Kd,Cn) и И^Е^С"), соответственно

Следствие 2. Спектр оператора НЕ сходится к спектру оператора Но А именно, если X <£ а (Но), то А ^ сг(Н£) при достаточно малых е, и если X £ а (Но), то существует ХЕ £ а(Н€), такое что Хе —> Ло при е —> +0 Если cxi,ot2 £ К \ а (Но), то для спектральных проекторов операторов Не и Но верна сходимость ~Р^а1>а2)(Не) —* "P(Ql,a2)(^o), е —* +0

В работах М Ш Бирмана, Т А Суслиной, В В Жикова рассматривался частный случай оператора Не, соответствующий равенствам аг = 0, Ьг = 0, V = 0, а также в предположении А = А(£) Для такого случая были получены оценки, аналогичные (26) в случае А = -1 Следует подчеркнуть, что в цитированных работах матрицы А и G не предполагались гладкими, а лишь ограниченными Более того, константы С в упомянутых оценках зависели лишь от Loo-норм матриц A, A-1, G, G-1 и от параметров решетки В нашем случае эти константы зависят от А, параметров решетки, а также от норм коэффициентов в тех пространствах, которым они принадлежат

Пусть Ао - изолированное собственное значение оператора Но конечной кратности N. Из следствия 2 вытекает, что существует ровно N собственных значений г = 1, , N, оператора Не (с учетом кратности), сходящихся к Ао при е —+ +0 Через ^ г = 1, ,N обозначим ортонор-мированные в I^R^C") собственные вектор-функции, соответствующие Ао Введём в рассмотрение матрицу Т с элементами

Се

(ах (®,|)В(9) + Ло

||(Ие - AG,)-1 - (Но - AGo)_1|jz,2—L2 Се,

||(Н£ - AG,)"1 - (I + еС£)(Но - AGo)-1!!^^ < Се

(26)

Тц := ¿r(£-i(AXB(92) + Ao)T/.W,(AIB(9X) + AQ)^)

PI

L2(RdxD,C")

К-1 = В(д^)*АВ(дх) + В(дх)*АВ{д() + а(х,£, /Со = В(д1)*АВ(д1) + а(х1£,5х) + У,

где дх = 'Зх^)' 5x7 ~~ частные производные по хг Аргументами

всех функций в приведенных формулах, кроме \ являются (х, £)

Матрица Т, очевидно, эрмитова, поэтому существует унитарная матрица Бо, такая что матрица ЗоТБ^ диагональна

Обозначим Ф<*>

где - элементы матрицы во Вектор-функции ортонормированы в пространстве ./^(Н^, С") Через г,, г — 1, , ТУ, обозначим собственные

оо

значения матрицы Т Положим >У(К<г, У) = П №¿(1^, У)

г=1

Обозначим Т^ = (АДО) + А0)ф[0) Через Т^ обозначим □

-периодические по £ решения уравнений

Вф)* АВ^Т« = -К-гТ? - /С0Ф<г) + (х, О Е К2<г,

удовлетворяющие условию (Т^(х, )) = 0, х е Функцию ф[ ^ определим как решение уравнения

(Но - А0)Йг) = А^Ф« - </С_!Т« + £0Т(Д

ортогональное в Ь^М?, С") всем собственным функциям Ф^ Через Ф^ обозначим решение уравнения

В(%)*АВ(%)Ф^ = - /С_!Т<1) - /С0Т[1) + АоТ^ - /С-^ЛДО*) +Л0)$° - /СоЙ° + АоФ[г + т,ф£\ (х,£) € К2*,

удовлетворяющее условию )) = 0, х € В диссертации показано,

что функции т!>г', Ф^г) и ф[определены корректно Обозначим

В£> = (/С_!Ф^г) + КоГ? + К.о(А\В(дх) + Л„)#°>

Предполагая тг ^ т3, г ф положим

с(1) _ (б2).фо))^а(К''.с-) , „(1) _ п

~ —— . гТЗ, ьгг -и

Тг Т3

Теорема 32. Пусть верны принадлежности А = А(х, О € >У(Мсг, Ср£Р(П)), V = У(я,0 € УУ(Е<*;С£Г(П)), аг - а,(®,0 6 М^С^^Щ, Ъг = Ъ,(х) € И^Е**), и пусть собственные значения матрицы Т различны Тогда собственные значения А^ имеют асимптотики

оо

где остальные коэффициенты - некоторые, вполне определенные числа Собственные вектор-функции, соответствующие \[г\ можно выбрать так, что в норме И^К^С") они будут иметь следующие асимптотические разложения

3=1 к=1

где остальные коэффициенты - некоторые, вполне определенные функции

В диссертации получены явные рекуррентные формулы для всех коэффициентов асимптотик из последней теоремы Мы не приводим здесь этих формул ввиду их громоздкости

Подчеркнем, что условие тг ф т3, г Ф з, не является существенным для построения асимптотик собственных значений и собственных вектор-функций оператора Н£ Мы использовали его лишь для упрощения некоторых технических деталей Если данное условие не выполнено, то наша техника позволяет построить асимптотики и в этом случае Также отметим, что упомянутое условие является случаем общего положения, если Ао

- кратное собственное значение, и заведомо выполнено, если Ао - простое собственное значение

Согласно следствию 2, помимо собственных значений, сходящихся к изолированным собственным значениям усредненного оператора, оператор НЕ может иметь также собственные значения, сходящиеся к краю существенного спектра. В диссертации данный эффект демонстрируется на примере одномерного оператора, этому посвящен второй раздел четвертой главы Опишем подробнее постановку задачи Пусть

- оператор в ХгОЮ с областью определения И7!(ЗК) Здесь А(х, £), У(х, О 6 С°°(М2) - вещественнозначные функции, 1-периодичные по £ Предполагается, что функции (А(х, О - 1), О финитны по х для каждого значения и функция А удовлетворяет равномерному по х и £ неравенству -4(1,0 > с > О

Обозначим Л0(х) = (A 1(x,Ç)) \ V0(x) *= {V(x, )), где (g(x, )} =

J g{x,Ç) d£ Ясно, что (Aq — 1) G Cq°(R), Aq > с > 0 Здесь и всюду далее о

ттрппптгягяртгя что по крайней мере одна из функций А(х, £) и V(x, £) нетривиально зависит от £ Из теоремы 31 следует, что усредненный оператор здесь выглядит следующим образом

d . d Но = -—A0— + V0 ах ах

- оператор в L2(R) с областью определения (R) Ясно, что каждое из собственных значений операторов Но и НЕ простое Обозначим V\ (х, £) = V(x,O-V0(x)

Спектральную точку нуль будем называть виртуальным уровнем оператора Но, если существует нетривиальное ограниченное решение уравнения

-j-Ao^- + У0 %0) = 0, х е R (27)

йх и dx

Если такое решение существует, то оно единственно с точностью до умножения на константу Пусть С - множество всех конечных интервалов вещественной оси

Теорема 33. Если нуль не является виртуальным уровнем оператора Но, то оператор Не не имеет собственных значений, сходящихся к нулю при е —> +0 Если нуль является виртуальным уровнем оператора Но, то оператор НЕ имеет не более одного собственного значения, сходящегося к нулю при е +0 Если данное собственное значение существует, то соответствующая собственная функция сходится к нетривиальному решению уравнения (27) слабо в И/21(<5) и сильно в ¿г(<3) для всех (¿ЕС

В случае существования, собственное значение оператора Не, сходящееся к нулю при е —> +0, обозначим через А^

Теорема 34. Пусть нуль является виртуальным уровнем оператора Но, соответствующее нетривиальное решение уравнения (27) нормировано условием

hm 40) (х)

х—* — со

2

lim 1ро0)(х)

х—>+оо

2

= 1, (28)

кт - первый отличный от нуля член последовательности {кг}^.1, члены которой определяются равенством

dx

и формулами (4 2 54) диссертации Тогда в случае кт > 0 оператор Не

имеет собственное ет следующий вид

имеет собственное значение А^ и его асимптотическое разложение име-

(оо \ 2 оо /2т-1 \

ху*.) =-Е£г Е

г=т / 1=2 т \ ]=т /

Если же кт < то оператор Не не имеет собственного значения Ае В частности, если А не зависит от то = 0,

1 / е 1 \ 2

к2 = I у {Ф{ъ\х))2 IVI (х, г) <и +1 ¿£йх > 0,

ко \о о /

и собственное значение А^ существует Если V не зависит от то

к\ = 0, = УЬ^ХФ2^, ))

к ^ '

где Ф определяется формулой

\о о /

Так как функции (Ао -1) и Уо финитны, то при больших значениях х общим решением уравнения (27) является линейная функция Требование

ограниченности фактически означает, что функция является постоянной при достаточно больших х и, в силу нетривиальности, не обращается в нуль Поэтому нормирующее условие (28) имеет смысл

В диссертации также строится асимптотика собственной функции, соответствующей собственному значению А^

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Борисов Д И Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Мат сб - 2006 - Т 197 № 4 - С 3-32

[2] Борисов Д И , Гадыльшин Р Р О спектре оператора Шредингера с быстро осциллирующим финитным потенциалом // Теор мат физ -2006. - Т. 147 № 1 - С 58-63

[3] Борисов Д И О спектре оператора Шредингера, возмущенного быстро осциллирующим потенциалом // Проб мат анализа - 2006 - Т 33 -С 13-76

[4J Борисов дИ асимптотики cueKipd uuepaicpa Шрсдкпгсра,

щенного быстро осциллирующим периодическим потенциалом // Доклады АН - 2006 -Т 406 №2 - С 151-155

[5] Борисов Д И О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор мат физ - 2007 - Т 151 - № 2 - С 207-218

[6] Борисов Д И , Гадылыпин Р Р Спектр периодического оператора с малым локализованным возмущением // Доклады АН - 2007 - Т 413 № 4 - С 439-443

[7] Борисов Д И Асимптотики собственных значений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Труды ИММ УрО РАН - 2007 - Т 13 № 2 - С 33-42

[8] Борисов Д И , Гадылыпин Р Р О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Мат сб -

2007 - Т 198 №8 - С 3-34

[9] Борисов Д И Асимптотики для решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Алгебра и анализ -

2008 - Т 20 № 2 - С 19-42

[10] Borisov D , Exner Р, and Gadyl'shin R Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip // J Math Phys - 2002 - V 43 № 12 - P 6265-6278

[11] Borisov D , Ekholm T , and Kovarik H Spectrum of the magnetic Schrodmger operator in a waveguide with combined boundary conditions // Ann H Poincare - 2005 - V 6 № 2 - P 327-342

[12] Borisov D and Exner P Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // J Phys A 2004 - V 37 № 10 -P 3411-3428

[13] Borisov D and Exner P Distant perturbation asymptotics in windowcoupled waveguides I The non-threshold case // J Math Phys - 2006 -V 47 №11 -P 113502-1 - 113502-24

[14] Borisov D Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Ann H Poincare - 2007 - V. 8 № 7 - P 1371-1399

[15] Borisov D On the spectrum of two quantum layers coupled by a window // J. Phys A - 2007 - V 40 № 19 - P 5045-5066

[16] Borisov D Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Math Phys Anal Geom - 2007 - V 10 №2 -P 155-196

Борисов Девис Иванович

СПЕКТРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ, РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ И СИНГУЛЯРНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01 99 г

Подписано в печать 11.06.2008 г. Формат 60x84/16. Уел печ л. 1,95 Уч-изд. л. 2,35 Тираж 140 экз Заказ 435.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Введение

1 Волноводы, соединённые окном

1.1 Двумерные волноводы.

1.1.1 Область определения.

1.1.2 Оценки, непрерывность и сходимость собственных значений.

1.1.3 Поведение резольвенты в окрестности края существенного спектра

1.1.4 Асимптотики возникающих собственных значений

1.1.5 Асимптотики собственных: значений при I —» +оо

1.2 Трёхмерные волноводы.

1.2.1 Область определения.

1.2.2 Оценки и непрерывность собственных значений

1.2.3 Редукция резольвенты к компактному оператору

1.2.4 Особенность резольвенты.

1.2.5 Асимптотики возникающих собственных значений

2 Операторы с разбегающимися возмущениями

2.1 Операторы в бесконечном цилиндре.

2.1.1 Структура спектров операторов Ни, Н±.

2.1.2 Свойства операторов Н±

2.1.3 Редукция уравнения на собственные значения

2.1.4 Сходимость собственных значений.

2.1.5 Асимптотики собственных значений и собственных функций.

2.1.6 Примеры разбегающихся возмущений.

2.2 Разбегающиеся возмущения в многомерном пространстве

2.2.1 Редукция к операторному уравнению.

2.2.2 Редукция уравнения на собственные значения

2.2.3 Сходимость и асимптотики собственных значений в общем случае.

2.2.4 Асимптотики собственных значений в частных случаях

3 Периодические операторы с локализованными возмущениями

3.1 Одномерный оператор с локализованным возмущением

3.1.1 Структура и сходимость спектра.

3.1.2 Вложенные собственные значения.

3.1.3 Вспомогательные утверждения.

3.1.4 Возникающие собственные значения.

3.1.5 Примеры

4 Операторы с быстро осциллирующими коэффициентами

4.1 Асимптотика резольвенты: и собственных значений в многомерном случае.

4.1.1 Вспомогательные утверждения.

4.1.2 Асимптотика резольвенты.

4.1.3 Асимптотики собственных значений.

4.1.4 Примеры

4.2 Собственное значение возле края существенного спектра

4.2.1 Критерий существования собственного значения

4.2.2 Вспомогательные утверждения.

Изучению спектральных свойств эллиптических операторов в неограниченных областях с различными возмущениями уделялось и уделяется достаточно много внимания как со стороны математиков, так и со стороны физиков. В немалой степени это связано с богатыми приложениями таких задач, например, в квантовой механике и акустике. Кроме того, эти задачи обладают разнообразными свойствами, интересными и с математической точки зрения. Как правило, упомянутые операторы рассматриваются как неограниченные операторы в гильбертовом пространстве, в качестве которого обычно выбирается пространство Ьч на соответствующей области. Такой подход позволяет использовать всё богатство и разнообразие методов спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах. Наличие в операторе возмущения даёт возможность привлекать и методы теории возмущений и асимптотического анализа. Подобная комбинация во многих случаях оказывается весьма продуктивной и приводит к интересным результатам.

В диссертации рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в неограниченных областях с четырьмя различными типами возмущений. Первым из них является возмущение окном системы двух квантовых волноводов. Волноводы описываются парой параллельных двумерных полос либо трёхмерных слоёв с общей границей. На этой границе вырезается отверстие, которое и называется окном. В качестве оператора выбирается Лапласиан с краевым условием Дирихле, который рассматривается как неограниченный самосопряжённый оператор в пространстве 1/2- В двумерном случае такая модель была предложена независимо в работах [63] и [70]. Физические аспекты данной модели обсуждались в [70], а также в [77]. В [70] были получены двусторонние оценки для собственных значений описанной системы и доказано, что наличие окна приводит к непустому дискретному спектру, число изолированных собственных значений растёт с увеличением длины окна, собственные значения возникают, когда длина окна проходит некоторые критические значения, а также был получен ряд численных результатов. Наличие по крайней мере одного изолированного собственного значения для случая полос одинаковой ширины было независимо доказано в [63]. Для достаточно малого окна система имеет ровно одно изолированное собственное значение; в [71] для него были получены двусторонние асимптотические оценки в случае симметричных полос. В [72] аналогичный результат был установлен для нескольких окон малой длины и несимметричных полос, а также для двух параллельных трёхмерных слоев, соединённых малым окном. Случай окна малой длины рассматривался и в |88|, где формально была построена асимптотика выше упомянутого собственного значения по длине окна. Аналогичный результат в трёхмерном случае был получен в [89]. Строгое доказательство асимптотических разложений для малого окна недавно было дано в [73]. Рассеяние для системы из двух волноводов рассматривалось в [70], [85]. Случай, когда на границе области ставится краевое условие Неймана вместо краевого условия Дирихле, изучался в ¡68]; было доказано существование по крайней мере одного изолированного собственного значения.

Как было сказано выше, в двумерном случае наличие окна приводит к непустому дискретному спектру, причём данные собственные значения возникают из края существенного спектра. В диссертации детально изучается данный эффект. Доказываются необходимые и достаточные условия критичности окна. Под критичным понимается такое окно, увеличение которого приводит к возникновению нового собственного значения. Для возникающих собственных значений строятся асимптотические разложения, а также описывается асимптотическое поведение соответствующих собственных функций. В трёхмерном случае показано, что ситуация в целом аналогична. А именно, увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из края существенного спектра. Как и в двумерном случае, подробно исследуется эффект возникновения данных собственных значений и строятся асимптотики возникающих собственных значений и соответствующих собственных функций. Кроме того, для обоих случаев явно описана область определения рассматриваемого Лапласиана. Данный результат нетривиален, так как Лапласиан рассматривается в области с негладкой границей, имеющей коническую точку (ребро) на границе окна, Для функций из области определения явно выделены возможные особенности в окрестности данной конической точки (ребра).

Следующий тип возмущения, рассматриваемый в диссертации - разбегающиеся возмущения. Классическим примером является оператор Шрё-дингера с двойной потенциальной ямой hA 4- Vi (х - ал) + V2(х - а2), (0.0.1) где ai, ci2 .некоторые точки, а потенциалы Vi, V2 финитны либо быстро убывают на бесконечности. Если предположить, что расстояние между точками ai и а2 растёт, то множества, где локализованы потенциалы Vi и V2, находятся на большом: расстоянии друг1 от друга, и разбегаются при jai — <221 —» +00. Подобные возмущения, локализованные на множествах, находящихся на большом расстоянии, будем называть разбегающимися, причём не предполагается, что возмущение обязательно описывается потенциалом. Операторы Шрёдингера с разбегающимися потенциала,ми рассматривались разными авторами, см., например, [75], [78], [80], а также [67, §8.6]. В [75] рассматривался многомерный оператор Шрёдингера с двойной симметричной потенциальной ямой. Были доказаны теоремы сходимости для собственных значений, сходящихся к простым предельным собственным значениям. Также были получены первые члены асимптотических разложений данных собственных значений и описано асимптотическое поведение соответствующих собственных функций. В [80] рассматривался многомерный оператор Шрёдингера с двойной потенциальной ямой, не обязательно симметричной, и изучалось поведение нижнего собственного значения такого оператора при увеличении расстояния между ямами. Было показано, что в зависимости от свойств каждого из потенциалов, такое поведение может быть различным; для данного собственного значения были получены асимптотические оценки, а в некоторых случаях.и первые члены асимптотических разложений. Статья [78] в определённом смысле обобщает результаты [80]. Здесь рассматривался многомерный оператор Шрёдингера с конечным числом одинаковых финитных потенциалов, находящихся на большом расстоянии друг от друга. Исследовался случай, когда оператор Шрёдингера с одним потенциалом имеет резонанс на краю существенного спектра и было показано, что в таком случае нижнее собственное значение сходится к краю существенного спектра. Основным результатом были первые два члена асимптотического разложения для данного собственного значения. В [67, §8.6] рассматривался одномерный оператор Шрёдингера с двойной потенциальной ямой и были доказаны теоремы сходимости для собственных значений в общем случае. В статье [76] изучался оператор Дирака с двойной потенциальной ямой. Были доказаны теоремы сходимости и >установлен ряд асимптотических оценок. Недавно была рассмотрена более сложная задача, когда обычные потенциалы заменяются на ¿-потенциал на кривой. Такая задача исследовалась в |83|. В случае, когда данная кривая состоит из нескольких непересекающихся ограниченных компонент, лежащих на большом расстоянии друг от друга, из результатов [83] следуют асимптотические оценки, описывающие расщепление кратных предельных собственных значений. Отметим также, что характер асимптотических разложений и оценок, полученных в цитированных статьях, достаточно близки к результатам, полученным при изучении оператора из (0.0.1) в полуклассическом режиме, то есть, при фиксированных а\, а,2 и 71 —» 0 (см., например, [1], [23], [62], [65], [66],

90] и библиографию этих работ).

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи о многомерном Лапласиане с разбегающимися возмущениями. В качестве области выбирается бесконечный цилиндр либо всё пространство. Разбегающиеся возмущения описываются произвольными абстрактными операторами, локализованными на ограниченных областях, которые расположены на большом расстоянии друг от друга. На возмущающие операторы накладываются минимальные ограничения, а именно, симметричность и ограниченность относительно Лапласиана. Структура самих операторов может быть произвольна. Та,кой подход позволяет в общем виде рассмотреть в качестве разбегающихся возмущений одновременно большое число различных операторов, например, потенциал, дифференциальный оператор второго порядка, интегральный оператор и т.д. Более подробно список возможных примеров даётся в параграфе 2.1.6. Здесь основные результаты теоремы сходимости и асимптотические разложения для изолированных собственных значений и соответствующих собственных функций возмущённых операторов. Данные результаты получены в общем случае при самых общих предположениях. Вместе с тем, отдельно рассмотрены наиболее типичные частные случаи и получены более частные формулы для первых членов асимптотических разложений с учётом специфики случаев.

Для исследования задач с разбегающимися возмущениями была разработана новая оригинальная схема. Основная ценность этой методики в том, что она позволяет свести задачу с несколькими разбегающимися возмущениями к малому регулярному возмущению прямой суммы резольвент операторов с одним возмущением, другими словами, расщепить разбегающиеся возмущения. Подобное расщепление было основной трудностью при изучении данного класса задач и данная методика успешно решает этот ключевой момент. В диссертации она была использована для изучения асимптотического поведения спектра. Вместе с тем, общность подхода не оставляет сомнений в возможности его использования и при изучении других вопросов, связанных с разбегающимися возмущениями.

В третьей главе изучаются малые локализованные возмущения самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка. Хорошо известно, что спектр последнего оператора содержит только существенную компоненту и состоит из зон, разделённых лакунами (см., например, ([22, Гл. V, §56], [69, Гл. 5]). При возмущении такого оператора вещественным быстро убывающим потенциалом непрерывная часть спектра не меняется, а в её лакунах возникают изолированные собственные значения. Вопросы существования и количества таких собственных значений изучались, например, в [24], [25], [40], [44], [74]. В этих работах рассматривался оператор

I2 ах где р <Е 1/1д0С(М).периодическая функция, а д удовлетворяет условию

J(1 4- |.т|)^(.х)| 3.x < оо. к

Было показано, что в лакунах существенного спектра содержится конечно число собственных значений, в далёких по номеру лакунах - не более двух собственных значений, причём если

I д(х) с1х ф 0, Е то в далёких лакунах содержится ровно одно собственное значение. В [74] также был рассмотрен случай, когда возмущающий потенциал умножается на малую константу связи. Было установлено, что при достаточно малых значениях константы связи в каждой лакуне (а не только в далёких.) содержится не более двух собственных значений, и приведены необходимые и достаточные условия, точно определяющие количество собственных значений в заданной лакуне.

В диссертации изучается возмущение периодического оператора достаточно произвольным линейным оператором вида еС£, где £.малый положительный параметр. Основным свойством оператора С£ является его локализованность, которая состоит в следующем. Носитель функции Сеи лежит в некотором фиксированном конечном: отрезке, причём: эта функция полностью определяется теми значениями, которые аргумент и принимает на упомянутом отрезке. Одним из главных отличий рассматриваемого нами возмущения от случаев цитированных выше работ является тот факт, что не предполагается симметричность для оператора £е. Не предполагается это свойство и для возмущённого оператора. Кроме того, множество возможных возмущений, описываемых этим оператором помимо потенциалов включает в себя широкий класс примеров разнообразной природы, таких как дифференциальный оператор, интегральный оператор, линейный функционал, дельта-потенциал с малой комплексной константой связи, быстро осциллирующий потенциал (см. параграф 3.1.5).

В диссертации показано, что существенный спектр возмущённого оператора не зависит от возмущения, что остаточный спектр пуст, а точечный спектр состоит из не более, чем счётного числа собственных значений конечной кратности, которые не имеют конечных точек накоплений. Приведён пример возмущения, которое порождает собственное значение, вложенное в существенный спектр. Отметим, что подобный эффект не мог возникнуть в задачах, рассмотренных в [24], [25], [40], [44], [74]. Также приводятся достаточные условия, гарантирующие отсутствие вложенных собственных значений. Установлено, что при е —» О собственные значения возмущённого оператора стремятся к бесконечности либо сходятся к краям лакун в существенном спектре. Доказало, что в окрестности края заданной лакуны существует не более одного такого собственного значения, приведён критерий существования, и в случае существования построено его асимптотическое разложение. Также построено асимптотическое разложение соответствующей собственной функции.

В последней, четвёртой главе рассматриваются дифференциальные операторы с быстро осциллирующими коэффициентами. Усреднению таких операторов в ограниченных областях посвящена обширная литература (см., например, [3], [26], [37], [38], [41], [49]). Немало внимания уделяется исследованию спектральных, свойств таких операторов, рассматриваемых в ограниченных областях (см., например, [3, Гл. 4, §10], [26, Гл. XI], [38, Гл. Ш]). В гораздо меньшей степени вопросы усреднения и спектральные свойства исследованы для операторов в неограниченных областях. Вместе с тем, случай неограниченной области весьма интересен, так как он возникает во многих приложениях. В качестве примеров отметим математические модели фотонных кристаллов материалов с высококонтрастной структурой (см. [79]), а также полуклассическую модель динамики электронов в металлах (см. [2]). Строгое математическое исследование этих моделей проводилось во многих работах. Не ставя целью перечислить все эти статьи, мы отметим только обзор [84], а также статью [27] по фотонным кристаллам и обзор [19] и статью [86] по полуклассической модели динамики электронов (см. также |65|, [66], [90|). Кроме того, спектры дифференциальных операторов в неограниченных областях имеют гораздо более богатую структуру по сравнению со спектрами операторов в ограниченных областях. Это в частности означает, что асимптотическое поведение спектров дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами в неограниченных областях может приводить к гораздо большему числу разнообразных эффектов, чем в случае ограниченной области.

Недавно М.Ш. Бирман и Т.А. Суслина в серии работ [4] [9], [42], [43| предложили новую оригинальную методику, которая позволила доказать теоремы сходимости, получить неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости и построить первую поправку асимптотического разложения для резольвенты достаточно широкого класса дифференциальных операторов в неограниченных областях с быстро осциллирующими коэффициентами. Следует подчеркнуть, что упомянутые результаты были получены в равномерной операторной норме, в то время как большинство результатов усреднения для ограниченных областей было сформулировано в смысле сильной и слабой сходимостей. Подход М.Ш. Бирмана и Т.А. Суслиной основан на методах спектральной теории и предлагает рассматривать усреднение как пороговый эффект. Он применим для дифференциальных операторов, допускающих факторизацию, причём коэффициенты должны зависеть только от быстрой переменной х/е\ зависимость от медленной переменной х не допускается. Отметим также работы В.В. Жикова |28|, |29] и С.Е. Пастухова [36], где с применением иной техники были получены иеулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости для резольвенты скалярного дифференциального оператора, а также для системы теории упругости. Здесь также предполагалось, что коэффициенты оператора периодичны и зависят только от быстрой переменной.

В диссертации мы рассматриваем самосопряжённый матричный дифференциальный оператор второго порядка достаточно общего вида во всем пространстве. Первым отличием нашего оператора от операторов, рассмотренных в [4] [9], [28], [29], [36], [42], [43] является наличие младших членов. При этом, как и в цитированных работах, главная часть оператора записывается в дивергентном виде. Младшие члены задаются достаточно произвольно; единственным: ограничением является самосопряжённость оператора, а также полуограниченность снизу, равномерная по малому параметру. Кроме того, предполагается определённая гладкость коэффициентов. Ещё одним отличием от работ [4] [9], [28], |29|, [36], [42], [43], является то, что в нашем случае коэффициенты системы зависят от медленных и быстрых переменных. Зависимость от быстрых переменных носит периодический характер. По медленным переменным коэффициенты предполагаются ограниченными; аналогичное предположение делается и для некоторых производных коэффициентов.

В диссертации мы строим усреднённый оператор и получаем первую поправку в асимптотическом разложении для резольвенты возмущённого оператора для всех значений спектрального параметра, лежащих вне спектра усреднённого оператора. Данные асимптотики получены для резольвенты как для оператора в ¿2, а также как для оператора из Ь-2 в И^1. Методика получения этих асимптотик заимствована из [28]. Кроме того, мы: предполагаем коэффициенты: оператора более гладкими, чем в [4]-[9], [42], [43], что позволяет упростить ряд деталей в рассуждениях. В частности, это позволяет обойтись без сглаживания, которое использовалось в цитированных работах. Помимо асимптотики резольвенты строятся полные асимптотические разложения собственных значений возмущённого оператора, сходящихся к изолированным собственным значениям усреднённого оператора, а также полные асимптотические разложения соответствующих собственных функций. Помимо упомянутых собственных значений возмущённый оператор может иметь и собственные значения, сходящиеся к краям существенного спектра, Данный эффект демонстрируется и изучается на примере одномерного оператора дивергентного типа в предположении, что быстрые осцилляции коэффициентов сосредоточены на конечной части пространства. Доказывается критерий существования собственного значения, сходящегося к краю существенного спектра. В случае существования для него и соответствующей собственной функции строятся полные асимптотические разложения.

Остановимся на обозначениях, принятых в диссертации. В каждой из глав в основном используются свои обозначения, действительные только в пределах главы. Поэтому возможно использование в разных главах одного и того же символа для обозначения разных объектов. Обозначения вводятся либо здесь, во Введении, при описании постановок задач и основных результатов, либо непосредственно в главах. Ряд стандартных обозначений носят глобальный характер и используются во всех главах. Перечислим: эти обозначения.

Все основные операторы, изучаемые в диссертации, рассматриваются как неограниченные операторы в некоторых гильбертовых пространствах. Операторы либо самосопряжёны, либо по меньшей мере замкнуты. Область определения оператора будем обозначать символом !>(•). Через <т(-) будем обозначать спектр оператора, а через <тр(-) точечный спектр, то есть, множество собственных значений. Символ <та(-) будет использоваться для обозначения дискретного спектра самосопряжённого оператора, то есть, множества изолированных собственных значений конечной кратности. Следуя [22], существенным спектром а&(ТС) замкнутого оператора Н в некотором гильбертовом пространстве будем называть множество Л <Е С, для которых существует ограниченная некомпактная последовательность ип € Т>(Н), такая что (Н — А)ип —> 0, п —> +оо. Такая последовательность называется характеристической. Все рассматриваемые нами операторы будут плотно определены, а потому для них будет определён сопряжённый оператор. Для таких операторов можно считать, что последовательность ип сходится слабо к нулю. Действительно, с точностью до выделения подпоследовательности ип сходится слабо к некоторой функции Так как для любой функции v е V{W) выполнено равенство

0= lim ((H—\)un,v) = lim ((un,H*v)—\(nn,v)) = (u*,H*v)—\(u*,v), n—>+со n—>+оо

0.0.2) то Hu* — А и*. Поэтому в качестве новой характеристической последовательности можно взять ип — и*. С учётом критерия Вейля, данное выше определение существенного спектра совпадает с обычным определением существенного спектра для: самосопряжённых операторов. Через <тг(-) := cr(-) \ (сгр(-) U <Je(')) обозначим остаточный спектр оператора. Символ е как правило используется для обозначения малого параметра.

Через W^O) будем обозначать Соболевские пространства функций. Подпространства последних, состоящие из функций с нулевым следом на некоторой поверхности S С О, будем обозначать через И^'(О, S). Для краткости положим W|(0) := dil). Для произвольного подмножества Q С О через 1/2(0, <5) обозначим множество функций из 1/2(0) с носителями в Q. Для произвольной области О через — Д^ будем обозначать Лапласиан в О с краевым условием Дирихле на дй в 1/2(0), а именно, расширение по Фридрихсу оператора — Д со множества Со°(0).

Гг

7Г Г , Гг п+ 71 Г- а Пг*

Рис. 1: Полосы, соединённые окном

Через I будем обозначать тождественный оператор.

Опишем задачи, рассматриваемые в диссертации, и основные результаты. В первом разделе первой главы рассматривается задача о паре двухмерных квантовых волноводов, соединённых окном. Постановка задачи такова.

Пусть х = {х\,хъ).декартовы координаты в К2, П+ := {.т : 0 < х-2 <

7г}, П~ := {ж : —(I < хч < 0}. Всюду далее считаем, что (I ^ тт. На оси Х2 = 0 выделим интервал 7/ длины 21 с центром в нуле, который далее будем называть окном. Обозначим II/ := П+иП~и7г, то есть, множество Пг - это полосы П+ и П~, соединённые окном 7;. Положим Г/ <9П| (см. рис. 1).

Основным объектом изучения является спектр оператора Н{ := — А^. Наличие окна (I > 0) приводит к непустой дискретной части спектра оператора Ни то есть, к наличию изолированных собственных значений Лт(/), т ^ 1. Расположим данные собственные значения в порядке неубывания с учётом кратности. Через фА будем обозначать число элементов во множестве А. Положим: х := 7г/(тг + сГ). В [70] было доказано следующее утверждение.

Лемма 0.1. Для любого I > 0 оператор Нг имеет непустой дискретный спектр, состоящий из конечного числа собственных значений. Существует бесконечный набор критических значений 0 = 1\ < 1,2 < ■ ■ ■ < ln < . длин окна 7 такой что #oc\(Hi) — п при I £ (1п, /п+х]- Данные собственные значения являются невозрастающими функциями аргумента I и удовлетворяют двусторонним оценкам

Kn-i(l) < Ат(1) < Ат(1), т > 1, / > 1т, (0.0.3) где Ат(1) := я2 + тг2т2/(4/2). Справедливо неравенство

21тт~1\/Т^Щ <: 4-h(7(i:J;Hi) ^ Ытт^л/х^Щ +1, где [•] целая, часть числа.

Положим := {х : \х\ j < а} П П^, Г" :== Г/ П <ЭП°. Через S обозначим множество всех ограниченных подобластей Q С II/ с гладкой границей, отделённых от концов окна 71 на положительное расстояние; случай dQf) dlli ф 0 не исключается.

В окрестности краёв окна 7/ края введём полярные координаты, которые обозначим через (г+,в+) для правого края и через (r,6L) - для левого. Отсчёт углов 6± выбирается так, чтобы значения в± — 0 соответствовали части границы области П/, лежащей на оси Х2 = 0. Пусть X = x(t) £ С°°(Ж) - бесконечно дифференцируемая срезающая функция. равная нулю при t > 1/3 и единице при t < '1/4.

Сформулируем основные результаты первого раздела первой главы.

Теорема 0.1. Пусть I > 0. Тогда существует 6q > 0. такое что любая функция и ¡Е T>(Tii) представляется в виде и(х) = u(+\x)x+(r+) 4- и(Ц\х)х.(г.) + и'1)(х): (0.0.4) и±\х) :== sin у' *±(r±) X{r±/öa), где и^ 6 W| №)• Действие оператора Tii определяется, формулой Нщ, = -2V?4}) • Vx+ - 2Vwi0) • Vx - Ax+ - «i0)Ax- ~ (0.0.5) Спра в e дли в а оцеп ка

CÜHiuWJ^ < |а+| + |а| + Цг/ЯЦ^) < (0-0.6) где константы, С{ > 0 не зависят от а± и иР К

Обозначим р := 1, если й < 7Г, и р 2, если д, ~ тт.

Теорема 0.2. Верны утверждения:

1. ае(Щ = [1,+оо).

Собственные значения Хт(1) оператора И}, непрерывны по I, простые и удовлетворяют оценкам,

Ат1 (/) < Хт{1) < Лт(/), т ^ 1, I > 1т. (0.0.7)

Соответствующие собственные функции являются чётными по Х\ при нечётных т и нечётным,и по х\ при чётных т.

3. Длина I = 1п является критической, если и только если существует ограниченное решение краевой задачи

Афп = фп, х € П/, фп = 0, хеТи (0.0.8) чётное по Х2 в случае й = тт , и удовлетворять^ асимптотике фп(х) - у^зтхз + 0{еГ^), х2 е (0,тг), (0.0.9) при х\ —» +оо. Если такое решение существует, то оно единственно и является чётным по при нечётных п и нечётным по X] при чётных п.

4. При е := I — 1п —> +0 асимптотика собственного значения Хп{1), п ^ 2, имеет, следующий вид: 2 ск. (0.0.10) р1п ]

Пг д& гп дх1

Соответствующую собственную функцию можно выбрать удовлетворяющей асимптотике фп(х) = х/-е-^-ЬпМЫ япжг + б>(е-л/3-лп«*>), Х2 € (0,тг),

0.0.11) при Х\ —> +оо. При этом, для любого К > 0 в норме 1¥21 (П^) будет выполнено равенство фп(х) = фп(х) + 0(у/ё). (0.0.12)

Замечание 0.1. В пункте 3 теоремы 0.2 решение краевой задачи (0.0.8) мы понимаем в обобщённом смысле. А именно, решение есть функция из пространства И^ЧЩ'ДТ) Лля любого а > 0, удовлетворяющая интегральному тождеству: хФп-Ух С)х2(Пг) = (0п,С)вд) для всех функций из С, € Со°(Пг). Согласно теоремам о повышении гладкости решений эллиптических задач [35, Гл. 4, §2], функция фп принадлежит С°°{0) для всех <5 € 5, а потому асимптотику (0.0.9) следует понимать в обычном смысле. Всюду далее аналогичные краевые задачи и поведение их решений на бесконечности понимаются в том же смысле.

Замечание 0.2. Функция фп в утверждении 3 теоремы 0.2 предполагается чётной по Х2 при й = 7г. Такое условие необходимо для того, чтобы исключить из рассмотрения функцию которая в случае й = 7Г является ограниченным решением задачи (0.0.8) и удовлетворяет асимптотике (0.0.9) для всех i ^ 0. В случае д < тт решение, подобное у/2/тгзтх2, отсутствует, и требование чётности по здесь излишне.

Теорема 0.3. При I —> +оо собственные -знамения Ат(1) имеют асимптотику

А т(1)=Ат(1) + 0(Г3). (0.0.13)

Остановимся на описанных результатах. Теорема 0.2 в основном посвящена эффекту возникновения новых собственных значений у оператора Н1 при расширении окна ц. Первое утверждение описывает существенный спектр оператора, второе улучшает оценку (0.0.3), третье даёт критерий критичности длины окна 71, переход через которую приводит к возникновению новых собственных значений. Как следует из четвёртого утверждения теоремы 0.2, данные собственные значения возникают из границы существенного спектра и имеют асимптотики (0.0.10). Первый член данной асимптотики отличен от нуля; этот факт очевидным образом следует из формулы для /лп и краевой задачи для фп. Из формул (0.0.10) вытекает, что коэффициент цп не обладает свойством непрерывности при с? —> тт. Ранее аналогичный эффект для собственного значения А^) при малых значениях I на формальном уровне был обнаружен в [88].

Теорема 0.3 описывает поведение спектра оператора %\ при возрастании длины окна. Как следует из её утверждения, все собственные значения Ат(1) стремятся к числу х2, с точностью до величины порядка 0{1~ъ) совпадая с правыми концами интервалов из оценок (0.0.7). Отметим, что х2 - граница существенного спектра Лапласиана с краевым условием Дирихле в полосе шириной (тг + (Г). Подчеркнём, что оценка остатка в (0.0.13) неравномерна относительно т. Отметим также, что первый член теории возмущений в асимптотике (0.0.13) не зависит от ширины полос <1 в отличие от асимптотик (0.0.10), где ширина полос оказывала решающее влияние на вид первого члена.

Второй раздел первой главы посвящён изучению пары трёхмерных волноводов, соединённых окном. Опишем постановку задачи. Пусть х' = (£1,2:2), х = (х',хз) - декартовы координаты в К2 и К3, и ш С I2 -ограниченная односвязная область с бесконечно дифференцируемой границей. Обозначим П^ := {х : £ (—с/, 0) и (0,7г)} и о;, <1 < 7Г. Множество и х {0} будем называть окном (см. рис. 2). Как и выше, целью является изучение спектра оператора Нш :— — А!?-'.

Введём вспомогательные обозначения. Пусть ш Ф 0; в малой окрестности ди введём координаты (г, э), где з - натуральный параметр кривой дш, а г - расстояние, измеренное в направлении внешней нормали к ди>. Через (г, в) обозначим полярные координаты, соответствующие (г.х3).

Для малых: 8 > 0 через QJj обозначим: множество функций . ( тот / a- 2irjs а.; . 2тгjs\ \ г- в и(х) =~- а{\ 4- > е -?о —~ cos—:--1--z sin—:— yr sin-,

Vv7 5о v7 so J J 2

ОС a,, a, G C, := |a0|2 + £(W2 + faf) < 00> j'=i определённых на Т^ := {я : г < <$}. Здесь sq - длина кривой дш. Будет показано, что данные функции определены корректно (см. теорему 0.4).

Для произвольного множества S С и малого (5 > 0 через 33 (<5, S) обозначим класс функций и(х) = ui0)(x)x{r/S) + ?i(1) (.?;), где € 2J*, vV G aiL П &S).

Теорема 0.4. Пусть и> Ф 0. Тогда существует> ¿о > 0. такое что T^i^S) = любой функции и G Т>(НШ) выполнено

Нши = -2W0) • Vx - п(0)Дх - Д«(1), х = х(г/^о)

Справедливы оцепки

С1\\Нши\\Ы11ш) < \\и«>%6 + ||«(:1)|к|(п.) < СШМыи.)-д2ит

1^11 Ж,1 (Г«) + д дз

Ь2(Т6)

ЫТв) д2и(°) д2и^ г- дтдх з + Ыт6) дх\

0.0.14) ^ ^ : /41)) < 1 ~ х2} < # < # {/4*° : /4"° где константы С^ > 0 не зависят от и^ и

Пусть Лг- = Хг(ш) изолированные собственные значения оператора 'Н,^, упорядоченные по возрастанию.

Теорема 0.5. Справедливо равенство — [1,-Ьоо). Число собственных значений в дискретном спектре оператора Нш конечно и верны оценки: х2 + /4Л° < А* И ^ X2 + (0.0.15) 1 -(0.0.16) где ~ собственные значения Лапласиана в и с краевыми условиями Неймана и Дирихле соответственно.

Теорема 0.6. Пусть и = С М2 . семейство ограниченных односвязных областей с бесконечно дифференцируемой границей, удовлетворяющих условию:

С1). Для любого ¿о £ (0,+оо) и всех I, близких к Ц, существует диффеоморфизм А4 (¿о, ¿) б С3, определённый в окрестности и (¿о), такой что М(Ьо,1)и(Ьо) = и(Ь), Л4о(Ьо. Ьо) = I, причём компоненты диффеоморфизма Л) и их производные вплоть до третьего порядка являются непрерывными функциями по {хЛ).

Тогда собственные знамения оператора Н^) непрерывны по Если, дополнительно, выполнено условие

G2). Существуют, функции pi — Pi(t), г = 1,2, такие что {х' : < Pi{t)} С w(t) С {х/ : li'l < p2(i)}; t Е [0, +оо), и lim pi(t) = +оо, lim p2{t) = 0: (0.0.17) i) С ^(¿2) для всех ¿1 < ¿2/ то существует бесконечная последовательность чисел 0 = t\ < t2 ^ ¿з < ., такая что # 0d(?4>(t)) = п при t Е (¿n; WiL и верны сходимости: tn —> +00 при п —> +оо, w An(w(i)) —1 — 0 /¿р?/ /; —> ¿п + 0.

Данная теорема утверждает, что существуют критические формы окна и, такие что расширение окна с такой критичной формы приводит к появлению новых собственных значений из границы существенного спектра. Для более подробного описания данного эффекта нам понадобится

Лемма 0.2. Краевая, задача

ДФ = Ф в ГЬ, Ф = 0 на 01 Г. (0.0.18) имеет конечное число нетривиальных ограниченных решений, чётных по X'i, если d ~ тт. Эти решения ,можно вы,брат,ъ так, что среди них будет, не более одного решения, удовлетворяющего соотношению

Ф = нш.гз + 0{И1)> х> :Г3 € (0,тг); (0.0.19) не более двух решений, удовлетворяющих соотношению

XJ/ = <Щ±^ыПХз + о(}х'\.2), ж'->+00, Х3е( 0,тг). (0.0.20) x'Y где |ci|2 + |с2|2 = 1; и конечное числю решений, принадлежащих I/2(IIW). Каждое из этих решений бесконечно дифференцируемо вплоть до границы за исключением края дш х {0}, в окрестности которого эти решения ведут себя следующим образом:

Ф(я) = h(s)y/r sin^ + ö{r), г 0, h G С00(du). (0.0.21)

Zu

Фиксируя ал введём в рассмотрение семейство ограниченных областей us С R2, чьи границы определяются как ди£ := {х! : т — eß(s)}, где е +0, и ß G С°°(дсо) - произвольная функция.

Теорема 0.7. Пусть задача, (0.0.18) не ■имеет ограниченных нетривиальных решений, чётных по если d = тт. Тогда оператор НШг не имеет собственных значений, сходящихся к единице при е —+0.

Теорема 0.8. Пусть существует единственное нетривиальное ограниченное решение Ф задачи (0.0.18), чётное по х^, если d = тс, и пусть это решение удовлетворяет, соотношению (0.0.19). Тогда ф 0, и существует, единственное решение Ф задали (0.0.18), удовлетворяющее условиям, т, -, h(s)0(s) .9 $ ф(х) = ^ >-\-L sm - + h,(s)\/r siri - + 0(r), r 0.

J ; 2y/ï 2 ;v 2 ' (0.0.22)

Ф(а:) = ein \xJ\ sin .T3 + ö{\x!\~l), \x'\ -> +oo, x3 e (0, 7r), 20*6 /ф € C°°(cta;) - некоторая функция. Если i, : = -i / ds > 0: u/ш = 0, i2 := 77- / ds > 0; (0.0.23) 2p./ 2p j dui то существует единственное собственное значение оператора НШе, сходящееся к 1—0 при е —> +0. Это собственное значение простое, и

2C+9Î2 2

Ае = 1-4е "4?е-яг(1 + 0(£)), если ц>0, (Q Q

Ае = 1 — (с + 0(£)), ес/ш i3. = 0, i2 > 0, где с некоторая константа, а С константа Эйлера. Соответствующая собственная функция удовлетворяет равенству ф£ = ф + С>(л/ё) (0.0.25) е нормах И/21(6') w И/'22(5\Т))) для любой ограниченной области S С П^, и любого S > 0. и экспоненциально убывает: фе — 0{£~^1~Хе]Х'\\х!\~'1), \х'\ —> +ос. Если il < 0; или ii = 0, i2 < 0; (0.0.26) то оператор Н^ не имеет собственных значений, сходящихся к 1 — О при £ +0.

Теорема 0.7 даёт необходимое условие возникновения собственных значений. Как и в двумерном случае, это условие существование резонансных решений задачи (0.0.18) с определённым: поведением на бесконечности. Теорема 0.8 показывает, что наличие резонансного решения, ведущего себя на бесконечности как первая поперечная мода, является и достаточным условием возникновения собственного значения при увеличении окна. Действительно, в этом случае в (б) ^ 0, а потому VI > 0 и выполнено первое неравенство в (0.0.23). Отметим, что как и в двумерном случае, главные члены асимптотик (0.0.24) разрывны при д —тт.

Результаты первой главы были опубликованы в [10], [53], [55], [59].

Во второй главе изучается Лапласиан с разбегающимися возмущениями. В первом: разделе такая: задача рассматривается в бесконечном цилиндре. Постановка задачи выглядит следующим образом.

Пусть х = (ж] , х') и х' = (.Х'2,. •., хп) .декартовы координаты в Еп и Е""1, п ^ 2, и> ограниченная область в Еп-1 с бесконечно дифференцируемой границей. Через П обозначим бесконечный цилиндр К. х ш. Положим 0± := (—а±,а±) х ш, где а± £ М фиксированные положительные числа, и 7± := (—а±,а±) х ди>. Через С± обозначим пару линейных о ограниченных операторов из ^(^±,7^) в 1/2(П,£2±). Предполагается, что операторы С± симметричны, и выполнены оценки

С±щи)Ь2{п±) > -с0||У'и|||2(п±)-С1||и|||2(П±), и Е И/22(^±;7±)-< (0.0.27) причём константа со удовлетворят неравенству с0 < 1. (0.0.28)

Операторы С± продолжим на пространство И/"! (П) по следующему правилу. Функция и £ (П) сужается на множество и к сужению применяется оператор С±. Такие продолжения вновь обозначим через С±.

На пространстве (П) определим оператор сдвига: (8(а)и) (х) :— и(х\А-а, х'), и для I > 0 введём оператор := 8(1)£-8(—1)+8(—1)£+8(1). Действие этого оператора зависит только от значений его функции-аргумента,, которые последняя принимает на множестве {гс : (х\ + 1,х') £ и {х : (х\ — Цх') Е 11}-}. При больших I это множество состоит из двух ограниченных компонент, стоящих на расстоянии '21 друг от друга. Поэтому оператор С], естественно интерпретировать как разбегающиеся возмущения, образованные операторами С- и £+.

В первом разделе второй главы мы изучаем оператор Н.1 := — + в 1/2(П) с областью определения И'! (П). Мы также предполагаем, что операторы £± таковы, что оператор И] самосопряжён. Целью является описание поведения спектра последнего оператора при I —► +оо.

Обозначим Н± := — Дд)) + С± - операторы в Ьо(Г!) с областью определения П). Будем предполагать, что они самосопряжены. Отметим также, что из симметричности операторов £± и оценок (0.0.27), (0.0.28) не вытекает самосопряжённость операторов Н/ и Н±, так как мы не можем воспользоваться ни КЛМН-теоремой, ни теоремой Като-Реллиха. Пусть 1/1 > 0 - наименьшее собственное значение Лапласиана в а> с краевым условием Дирихле.

Основные результаты о спектре оператора Н.1 выглядят следующим образом.

Теорема 0.9. Существенные спектры операторов Ни Н+, ТС- совпадают с полуосью [1/1, +оо), а дискретные спектры состоят из конечного числа изолированных собственных значений.

Обозначим сг* := аг&(Н-) и Будем: говорить, что А* € сг* р + р+)-кратно, если оно р-кратное собственное значение оператора Н- и р+-кратное собственное значение оператора Н+, и положим р± = 0, если А* ^ &с\{Н±).

Теорема 0.10. Каждое изолированное собственное значение оператора Ъи сходится к одному из чисел в а* или к щ при I +оо.

Теорема 0.11. Если Л* € сг* (р- + р+)-кратпо, то совокупная кратность собственных значений оператора Hi, сходящихся к А*; равна Р+)

Пусть Л* € <7*.(р+р+)-кратно и = 1,., соответствующие собственные функции операторов Tt±, ортонормированные в L2 (П). Если р . ^ 1. то обозначим

0 := (0; C.S(2r)i\) е Ь2(П-) 0 Ь2(0+), где / := (/; /+) € ¿-¿(О-) Ф L-2(Q+), г = 1Если р+ > 1, аналогично обозначим (£-<S(-20#;0) е L2(n.) ®L2(ii+), где i = 1,. В четвёртом параграфе первого раздела второй главы мы покажем, что оператор

Т2(Л, 0/ := (C-S(-2l)(H+ - А)1/+; £+5(2/) (W- - Л)"1/-) (0-0.29) в Ф 1/2(0+) удовлетворяет соотношению г2(л, о = Е l)ri] + Ш 0, (о.о.зо) I для Л, близких к Л*, где р := и норма оператора стремится к нулю при /! —» 4-00 равномерно по Л, близким к Л*. Определим матрицу fAn(XJ) . AVp(X,l)\ А(Л, Z) := j ; ;

Api(X,l) . APP(XJ,)J где ^-(Л, I) := I + 7з(А, I).

Теорема 0.12. Пусть А* Е сг*.(р-+р+)-кратно и пусть Ai = А¿(7)->

Z—оо

А*; г = 1,. р := +]?+ собственные значения опера,тора Hi, взятые с учётом, кратности и упорядоченные следующим образом,:

О < |Ai - А,| < |А2 - А*| < . ^ |АР - А*|. (0.0.31)

Тогда данные собственные значения являются корнями уравнения det ((А - А*)Е — А) = 0, (0.0.32) где Е - единичная матрица, А = А(А. I). Верны асимптотики

Ai(l) = А, + тг(1) (l + О (^е^^17)) , I +оо. (0.0.33)

Здесь

П = п{1) = 0(с i +00; (0.0.34)

- нули полинома det (тЕр — А(А*Л)). взятые с учётом кратности и упорядоченные следующим образом

0< М < |г2| < . < \Тр\. (0.0.35)

Для собственных функций, соответствующих справедливы, асимптотики: р- р+

0 = £+ + XI ~ *> х') +

1=1 г=1

0.0.36) при / —» +оо в норме И^ (П). Числа кц - компоненты векторов кг — к,г{1) = («¿д(0 • •. последние являются решениями системы

А - А*)ЕР - А) к = 0 (0.0.37) с А — А(А¿(/), 1); и 'удовлетворяют условию 1, если г = 7, ь«7)о>=< ' 9;/—' (0-0.38) если г ^ 3.

Согласно данной теореме, главные члены асимптотических разложений собственных значений А.; определяются матрицей А(А*, I). С другой стороны, в приложениях может быть достаточно сложно явно вычислить данную матрицу. Поэтому в следующих теоремах мы приводим ещё один способ вычисления первых членов асимптотик.

Будем говорить, что квадратная матрица А(7) удовлетворяет условию (А) при I —> +оо, если она диагоиализуема и определитель матрицы, составленной из нормированных собственных векторов матрицы А (7), отделён от нуля равномерно для достаточно больших I.

Теорема 0.13. Пусть выполнены условия теоремы, 0.12. Предположим, что матрица А (А*, I) представима в виде

А(А*,0 = А0(0 + А1(0, (0.0.39) где матрица Ао удовлетворяет условию (А) при I —» +оо, и ||А.1(/)|| —> 0 при I +оо. В этом случае собственные значения А?; оператора Н1 удовлетворяют асимптотикам

А* = А* + г/0)(1 + + О(||А1(0||), I +оо. (0.0.40)

Здесь т^ = нули полином,а с1е1 (тЕр — Ао(/)), взятые с учётом кратности и упорядоченные следующим образом:

0.0.41)

Каждый из этих корней удовлетворяет, оценке тР(1) = С>(||Ао(0!!), + оо. (0.0.42)

Как следует из данной теоремы, первые члены асимптотик собственных значений определяются собственными значениями матрицы: А (А*, I). Отметим, что оценка остатка в асимптотике (0.0.40) может быть хуже, чем в (0.0.33).

В следующих теоремах мы применяем теорему 0.13 к некоторым важным частным случаям. Пусть щ > Щ собственное значение Лапласиана в и с краевым условием Дирихле, и ф\ = ф\{х') собственная функция, соответствующая Р\ и нормированная в ¿2(0;). В пятом параграфе первого раздела второй главы будет доказана

Лемма 0.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.12 и р± ^ 1. Тогда функции ijjf можно выбрать так, что

Фг(х) = в^'^^^фих1) +

0.0.43) ф±(х) = С>(е vl/2~ *Ж1), i = 2,. при х\ —»• ТОО, где ¡3+ - некоторые числа, а функции ф^ ортонормиро-ваны в Z/2(n).

В дальнейшем предполагаем, что функции ф? выбраны в соответствии с данной леммой.

Теорема 0.14. Пусть выполнены, условия теоремы 0.13 ир+ = 0. Тогда при I —> +оо собственные значения \ удовлетворяют асимптотикам

Ai(i) = А* + О (с. = ^ р

Лр(/) = А* - 2л/^ - А*|/?|2Д.е (0.0,44) где константа однозначно определяется; равенством

U+(x) = в + С9(е^"лТг1). :ri

С7+ := (W+ - A^^M6"*^*1^'))

-сю.

0.0.45

Пусть, дополнительно, (3-/3- Ф 0. Тогда асимптотика собственной функции фр, соответствующей Хр, в норме И7| (П) имеет вид:

H-00.

Данная теорема рассматривает первый возможный случай, когда число А* 6 сг является собственным значением: только одного из операторов

Н±\ без ограничения общности считаем, что это оператор Н— Формулы (0.0.44) дают асимптотическое разложение для собственного значения Хр и асимптотические оценки для остальных собственных, значений. Вместе с тем, для произвольного оператора наиболее типичной является ситуация, когда заданное собственное значение Л* оператора Н.простое. В этом случае р = 1, по теореме 0.11 существует единственное собственное значение оператора Ни сходящееся к Л*, и теорема 0.14 даёт асимптотику данного собственного значения и соответствующей собственной функции.

Теорема 0.15. Пусть выполнены условия теоремы 0.12 ир± ^ 1. Тогда, при I —> +оо собственные значения \ удовлетворяют асимптотикам

Xг(1) = А* + ОУе-41^*^), г = 1,.р — 2,

Лр1 (0 = - ЩР-Р+\л/^Хе-21^^ + (0.0.46)

Хр(1) = А* + - А^е"2'^^ + О^1^^).

Данная теорема рассматривает второй возможный случай, когда число А* € о собственное значение обоих операторов Н±. Как в теореме 0.14, формулы (0.0.46) дают асимптотики собственных значений Арх и Ар, и асимптотические оценки для остальных собственных значений. Типичной здесь является ситуация, когда А* - простое собственное значение операторов Н+ и Н.В этом случае существуют ровно два собственных значения оператора Ни сходящихся к А*, и их асимптотики определяются теоремой 0.15.

Предположим, что в условиях теоремы 0.15 выполнено неравенство /3-Р+ ф 0. В этом случае первые поправки в асимптотиках для Ар1 и Хр равны по модулю, но разные по знаку. Более того, данные собственные значения простые. Такая ситуация аналогична задаче об операторе Шрёдингера с двойной симметричной потенциальной ямой. Отметим, что в нашем случае мы не налагаем никаких условий симметричности на операторы £±, кроме А* € ^¿(Н.) Па^(Н+). Таким образом, последнее условие является достаточным для возникновения описанного феномена независимо от симметричности разбегающихся возмущений.

Во втором разделе второй главы рассматривается Лапласиан с разбегающимися возмущениями во всем пространстве. Опишем постановку задали. Как и выше, через х = (х\,. .,хп) будем: обозначать декартовы: координаты в Еп, п > 1. Пусть И{ С Еп, г = 1 , .,то - произвольные непустые ограниченные области с гладкой границей. Через С, : И72 ~> £/2(ип,Мг), ъ — 1,. ,т, обозначим линейные ограниченные симметричные операторы, удовлетворяющие неравенству

Сг'щи) ^ -соЦУ^Щ^.) - С1||и|||,2(П() для всех и, щ, щ € И^ (Д0> где со, с\ - некоторые константы и константа со удовлетворяет оценке (0.0.28). По аналогии с операторами С± продолжим операторы Сг на пространство (Ета).

Введём оператор сдвига в пространстве 1/2 (Кп) по следующему правилу: $(а)и := и(- + а), где а € Еп. Пусть X.¿, г = 1,. ,т точки в Еп, и X := (Хъ . Хт), Хц := Х{ ~ Х^ := 1Х '= В дальнейглем предполагаем, что расстояния между точками Х^ неограниченно т, возрастают, то есть 1х —* +оо. Положим Сх '•= ]С г=1

Объектом исследования является оператор Их —к^+Сх в 1/2(Еп) с областью определения (Е"). Целью является описание поведения спектра оператора Их при 1Х +оо.

Пусть Н% := — А^ + Сг . операторы в ¿2(МИ) с областью определения ^|(ЕП). Предполагаем, что они самосопряжены. Сформулируем основные результаты.

Теорема 0.16. Существенный спектр операторов Л^, Их совпадает с полуосью [0, 4-оо). Их дискретные спектры состоят из конечного числа из олир о в а,иных с о бет в енных з начений. те

Обозначим сг* := и Будем говорить, что Л* € сг* (]?! + .+ рт)-кратно, если оно рг-кратное собственное значение оператора г — 1,., т. Как и выше, равенство Рг = 0 означает, что Л* 0 (т{Нг).

Теорема 0.17. Каждое изолированное собственное значение оператора Нх сходится к нулю или к А* £ <т* при ¡х —> Ч-оо. Если Л* £ о* -(рх 4 . .рт) -кратно, то совокупная кратность собственных значений оператора Нх, сходящихся к А*, равна (рх 4- . 4- рт).

Теорема 0.18. Пусть А* <Е <т* - (рх 4- . 4 рт)-кратно, и пусть А,; = АДА7") -> А*. % = 1,. ,р, р := р\ 4 . 4 рт, собственные значения

1х—* + 0о оператора Нх, взятые с учётом, кратности и упорядоченные согласно (0.0.31). Тогда эти собственные значения являются, корнями уравнения (0.0.32), где А = А(А. X), и имеют асимптотики

Х) = А* 4- гг(Х) +О ^ , 1Х +оо. (0.0.47)

Здесь матрица А определена соотношениями (2.2.33), (2.2.31), (2.2.28) в терминах вспомогательных операторов и функций из (2.2.3), (2.2.5), (2.2.13), (2.2.21), (2.2.23), (2.2.25). Величины гг = п(Х) = О (//-'"'о 'Х) , 1Х 4-оо. являются, нулями полинома сМ (тЕр — А(А*, X)), взятыми с учётом кратности и упорядоченными согласно (0.0.35). Собственные функции, соответствующие \, удовлетворяют, асимптотическим представлениям т Рз

1 и I 0, а,- := рг 4-. - 4- р^-х, в норме ЦГ2(Шп). Здесь фц, ] — 1, собственные функции оператора Ни соответствующие А* и ортонормированные в Ь2(Ш.п). Числа «г./ являются компонентами векторов К{ — «¿(Х) = (к?;д(Х),. к^ДХ))* которые, в свою очередь, являются решениями системы (0.0.37) с А =

А{Х{(Х),Х) и удовлетворяют, условиям,

1, г = ],

К;: кАо> = { ' ( п=1 , ' (0.0.48)

Следующие теоремы являются аналогами теорем 0.13.0.15.

Теорема 0.19. Пусть выполнены, условия теоремы, 0.18 и матрица А представим,а в виде

А (Л. X) = А0(Х) + А, (Л"). (0.0.49) где матрица Ао удовлетворяет условию (А) при 1\- —-+~со и ||А] (А")|| —> 0 при 1х —> +оо. Тогда собственны,е значения \г удовлетворяют асимптотикам

А.,; = А* + (1 + О (/Л>'о + ©(ЦАхСОЦ) при 1х —> +оо. Здесь т^ = т^°\х) .нули, полином,а с!е1. (тЕр — Аор£)), взятые с учётом кратности и упорядоченные согласно (0.0.41)- Каждый из этих корней удовлетворяет оценке

Т?\Х) = <Э(\\Ао(Х)Ц), 1х-*+оо.

Теорема 0.20. Пусть выполнены условия теоремы 0.18. Тогда собственные значения, А.; удовлетворяют, асимптотикам

Х) = А* + тР(Х) + о , 1Х +00.

Здесь т^ пули полинома det (тЕр — Ац), взятые с учётом кратности и упорядоченные согласно (0.0.41), а матрица Ао эрмитова и имеет следующий вид:

Л^(х) " если к ф г,

А^(Х) := 0, если к = г, где к — 1,., т, q = 1,. ,pk, г г = ar + .s. Верны оценки п-1 Я; г = 1,., т, s = 1,. ,рг. г

0)

Oil X е I х +OG.

Теорема 0.21. Пусть Л* £ а* является (1 + 0 + . + 0)-кратным, и щ соответствующая собственная функция оператора На , нормированная в ¿2(К.П). Тогда асимптотика собственного значения Х(Х) -> Л*

1х—> + 00 оператора Лх имеет вид: т

Х(Х) = x,-J2 (£iS(Xij)(Hj ~ Х)-1^^)®!,^)^,

Ягj — n . о(1] 2 lX ^ !' + 00.

Соответствующая собственная функция имеет асимптотику

•. X) = фх{х - Хг) + 0(lx^e./vv ':H lx +оо б норме Hj(R").

Теорема 0.22. Пусть Л* € <т* является (1 +1 + 0 + . + 0)-кратным, и ii)i, i — 1,2 - соответствующие собственные функции операторов Лг, нормированные в L-2(Mn). Тогда асимптотики собственных значений А,;, г = 1,2, оператора Лх, сходящихся к. А*, имеют вид:

Ai = А* — А2 = А, + пр и 1х +оо.

2)^2^1)^)1 + О (in+2e.,

Как и в теореме 0.15, в последней теореме первые члены: асимптотик собственных значений оператора Нх, сходящихся к (1 + 1 + 0 + . + 0)-кратному числу из <т*, равны по модулю и имеют разные знаки. Как и в теореме 0.15, мы не предполагаем здесь какой-либо симметрии для операторов Таким образом, мы можем утверждать, что данный эффект не является проявлением каких-либо симметрийных свойств разбегающихся возмущений, а является гораздо более общим явлением.

Результаты второй главы опубликованы в [56]-[58], [60].

Третья: глава посвящена операторам с малыми локализованных!и возмущениями. Опишем постановку задачи. Пусть d d -—р— + q ах ах оператор в 1/2(®0 с областью определения W|(M). Здесь р = р(х) .

1-периодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, q — q(x) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функции, причём: р(х) ^ Ро > 0, xGl. (0.0.50)

Без ограничения общности предполагаем, что р(0) = 1. Оператор Но самосопряжён.

Пусть xq < х-} . некоторые точки на прямой, Се : И7|(.то, Х\) —*

L2(xq, xi).линейный оператор, ограниченный равномерно rio е. Продолжим данный оператор на пространство W|ioc(K) аналогично тому, как выше были продолжены операторы С±. Обозначим: Н£ :— (Но — еСе) оператор в 1/2(М) с областью определения И7!'(М). Оператор Не замкнут (см:, лемму 3.2).

Основной целью является изучение структуры и поведения спектра оператора Н£ при £ —> 0. Прежде чем сформулировать основные результаты, введём дополнительные обозначения и напомним некоторые известные факты.

Известно [69, Гл. 2, §§2.2,2.3, Гл. 5, §5.3], что спектр оператора Но имеет зонную структуру: ос а (Но) = ае(Н0) = (J

71=0 где величины < ^ /¿J" < /.¿2 < /ij < /.¿3 ^ /ij < . являются простыми собственными значениями краевых задач

JZPjZ + (П Фп = £Фп> х е (0. !).

V ах ах / (0.0.51) й(0) + (-1)"+1<Й(1) = 0, §(0) + = 0.

Для й G С J > О обозначим ¿¿(а) := {Л G С : | arg(A — а)| < <5}. Сформулируем основные результаты.

Теорема 0.23. Существуют положительные Si = Si(e) ——> 0, г = 1,2,

Е—>0 такие что для достаточно малых £ верно вложение а(Не) С (f1 о —

Ш)

Теорема 0.24. При достаточно малых е выполнены равенства: ае(Н£) = аг(Ч£) = 0.

Теорема 0.25. Точечный спектр оператора Не состоит из не более., чем, счётного числа, собственных значений конечной кратности, и не имеет, конечных точек накопления.

Теорема 0.26. Пусть К.произвольный компакт в комплексной плоскости такой, что К П се(Но) ф 0. Тогда при достаточно малых е множество (те(Не) П К не содержит вложенных собственных значений.

Подчеркнём, что последняя теорема не исключает случай наличия вложенных собственных значений, стремящихся к бесконечности при е —> 0. В параграфе 3.1.2 будет приведён пример оператора Н£, у которого существует вложенное собственное значение. В следующей теореме приводятся достаточные условия отсутствия таких собственных значений.

Теорема 0.27. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1). Для любого подынтервала Q С [жо, ^l] справедлива оценка: еи\\ш) ^ C\\u\\wi(Q-y (0.0.52) где констант,о, С не зависит от е и выбора подынтервала Q.

Л J ~

2). Оператор Се представим, в виде С£ = + С£, где а£ кусочнонепрерывно дифференцируемая вещественная функция с носителем в удовлетворяющая соотношению: е max \a'.(:v)\ -> 0, (0.0.53) зд] й е^о ' а Се : W2l(жо, х\) —> L2(xo,£i) линейный оператор, ограниченный равномерно по е.

Тогда, при достаточно малых £ существенный спектр оператора TLe не содержит вложенных собственных значений.

Теорема 0.28. Пусть К произвольный компакт в комплексной плоскости такой, что К П (t0(Hq) ф 0. Тогда. при достаточно малых е каждое из собственных значений оператора Н£, лежащих в К для всех достаточно малых е, при £ —» 0 сходится к одному из краёв лакун в части спектра оператора Но, лежащей в множестве К.

Пусть 9i(x, А) - решения уравнения

-тРт + 9-^ = 0. xeR. (0.0.54) ах ах J удовлетворяющие начальным условиям:

01 (0, Л) = 1, ^1(0, Л)-0, 02(о, А) = О, ^(0,А) = 1, (0.0.55) где А.комплексный параметр. Для краткости обозначим: 0„;(А) :== $,¿(1, А),

9;(А) := ^(1, А), г = 1,2. Положим: D(А) := 6>i(A) + в'2{\).

Пусть ßn - один из краёв некоторой лакуны в спектре оператора Hq. Собственные функции задачи (0.0.51) выберем: вещественными и для чётных п продолжим 1-периодически на всю вещественную ось, для нечётных п продолжим 1-антипериодически. Продолженные таким образом

0n(O)|2 +

L± 2

0)

0.0.56) функции будут дважды кусочно-непрерывно дифференцируемы. Нормируем их следующим образом: дф~ dx

Ниже мы покажем, что правая часть данного равенства не равна нулю (см. пункт 1 леммы 3.7 главы 3), а потому данная нормировка имеет смысл.

Пусть о^о интегральный оператор, определённый на ¿2(М, (xq, х\)):

Onfif)(x) := J G*0(x,t)f(t)dt, (0.0.57) 1

G± , t) .= i f Otitai^ixai) - 0i(x,^)e2(tif4), t > x,

2 t<x.

Так как оператор CeG^0 ограничен равномерно по е в L2(xq,xi), то при достаточно малых е в L2(xq,xj) корректно определён ограниченный оператор 0) := (I — e££Gno) Далее точкой сверху будем обозначать дифференцирование по А.

Теорема 0.29. Пусть /и* - один из краёв некоторой лакуны в спектре оператора Hq. Тогда оператор 7ie имеет не более одного собственного значения, сходящегося к ¡л^ при е —> 0. Это собственное значение существует, если

Re(^(£,0)£^,^)L2(xoSi) > 0, (0.0.58) и отсутствует, если выполнено одно из следующих соотношений:

Re (^(е, 0)4-<Й, Ф±)Ь2{Х0Л1) < 0, Ше,0)с£ф^ф^ь2{хох1) = 0.

0.0.59)

Если данное собственное значение существует, то оно является простым и имеет следующее асимптотическое разложение: /4 "Г" ,, т\( 4.x | {^Л6-®)£еФп) Фп)\2(хй.х,){^ + (0.0.60)

4| L)\[ln)\

Ajn = т e2^ + e^f + + £5), (0.0.61)

-- ! n,£ ■ /

0.0.62)

A симптотическое разложение соответствующей собственной функции имеет вид: п = Фп + + 0(е2) (0.0.63) в норме Wf (ai, «2) для любых ai, 012 G

Замечание 0.3. В лемме 3.7 будут приведены формулы для 0{ц;~,). из которых, в частности, следует, что D{ф 0, если /ж* - край лакуны. Также отметим, что величина ||\ носит название эффективной массы, связанной с краем лакуны

Из теорем 0.28, 0.29 вытекает

Следствие 0.1. Пусть К.произвольный компакт в комплексной плоскости. Тогда при достаточно малых £ каждое из собственных значений оператора Н£, лежащих в К для всех достаточно малых е, является: простым,.

Теорема 0.30. Пусть один из краёв некоторой лакуны в спектре оператора TÎq. Если

Re (k±ï + с/г,' г) > С(е)е2, СЦе)-> +сю, (0.0.64) v 7 £—>0 то существует собственное значение Xfn, и верны равенства (0.0.60), (0.0.61). Если же

Re (А;;;;1 + е.к^2) < -С(е)е2, С{е) +оо, (0.0.65) то оператор TLe не имеет, собственных значений, сходящихся, к /л* при

Замечание 0.4. В диссертации также получена явная формула для собственной функции i}jfn и описано её поведение на бесконечности (см. (3.1.51)-(3.1.53)).

Результаты третьей главы опубликованы в [111, [14], |15|. В четвёртой главе исследуются операторы в многомерном пространстве с быстро осциллирующими коэффициентами. Постановка задачи выглядит следующим: образом. Пусть х = (а^,. .,%d) ~ декартовы координаты в Kd, d ^ 1, В = В(() - матричнозначная функция вида d

В (С) = где £ = (Ci,---,Cd), В,,; постоянные матрицы размера г=1 т х п с комплекснозначными коэффициентами, и га ^ п. Предполагаем, что rank В (С) = п, С ф 0.

Пусть У некоторое банахово пространство. Символами (Rd; У) и W2 У) обозначим Соболевские пространства функций на со значениями в У, обладающих конечными нормами ^ / J u||vy4(Kd;y) :== max ess sup дх aKk д^и 2 ах. дх/ Y

Для к = 0 мы будем использовать обозначения Ь!Х)(Шс{'] У) := У),

У) ■=

В пространстве М^ выберем некоторую решетку, элементарную ячейку которой обозначим через □. Через С?]ег(□) обозначим пространство □-периодических функций с конечными нормами Гёльдера || • ||Норма в этом пространстве совпадает с нормой пространства С7(□).

Вектор-функции f = f(x,£), □-периодические по мы часто будем рассматривать как отображения точек х Е Ж^ в функции, зависящие от Данные отображения определяются по правилу х н-> £ (ж, •). Это позволит нам говорить о принадлежности вектор-функций f(x,£>) пространству С^ег(Щ.

Пусть А = А(.т,£) матричная функция размера т х га. Будем считать, что матрица А эрмитова и □-периодична по и справедлива равномерная но (х, £) € R2d оценка ciEm < Л (.г. £) < с2Ет. (0.0.66)

Также предположим, что А € П С^ег(Щ для некоторого ß G (0,1). Через V = ai = a,;(:r,£) обозначим периодичные по £ матричные функции размера п х п. Предполагается, что а,: е Wi(Rd;C7^(0)) П С^ДО)), V G С^.г(0)).

Матрицу V будем считать эрмитовой, матрицы а* и Вг; . комплекснозначными. Пусть bj = b?;(.-r) 6 W£(Rd) комплекснозначные матричные функции размера п х п.

Для любой функции /(ж, £) через /£(ж) обозначим функцию / (х, f), например, А£(х) := A Для □-периодичных по £ функций f(x,£) положим

Целью исследования является изучение оператора

К := B(ö)*A£B(<9) + ае(ж, <9) + V, (0.0.67) в 1,2Сп) с областью определения W^R^; Сга). Здесь d d г—I i 1 d := a (a:, ^ ö) , а(ж, С) := ]Г Мж> О CM*) ~ £)), i i где д = (<9i,., Od), <9,; - производная по :r>, а верхний индекс * означает эрмитово сопряжение. В работе будет показано, что оператор Несамосопряжён и равномерно по £ полуограничен снизу (см. лемму 4.2).

Пусть Ао = Ao(#,£),Ai = А](.т,£).матрицы размера п х п и п х т, соответственно, являющиеся □-периодическими по £ решениями уравне

НИИ дч*

71 ^

В(д,уА(х^)(В(д^)А1(х10 + Етд) = 0, €

0.0.68) удовлетворяющими условиям

Аг(х, •)) = 0, х € К°\ г = 0,1. (0.0.69)

Здесь = ., -щ-^ • Ниже будет показано, что решения задач (0.0.68),

0.0.69) существуют, единственны, и Л7; € ^"¿(М^; С$£Р(0)) (см. доказательство леммы 4.4).

Пусть Но - оператор в Сп), определённый равенством

Но = В(д)*А2В(д) + А.1(ж, д) + А0, (0.0.70)

А2(х) := (А(х, ■)(В(д^)А1(х, •) + Ет)), ((В(адЛо(.т, -)Ук(х, -))В(д) + <а(:г,5)), Ао(х) := -{(В(^)Л0(.х, .))*А(х, -)В(а€)Ло(х, •)> + М-х, •)>, с областью определения И/22(К.сг; Сп). Ниже мы покажем, что данный оператор самосопряжён и полуограничен снизу, а его коэффициенты достаточно гладкие (см. лемму 4.4). Через 1)о обозначим нижнюю грань оператора Но

Пусть С = С(.х, 0 € И7^®^; С^ег{□)) эрмитова положительная матрица размера п х п. Также предполагаем, что существуют не зависящие от х и £ константы > 0, г = 1, 2. такие что

0.0.72)

Положим: Со (ж) := (С (.т. ■)). Введём: в рассмотрение оператор

Се := (Л:1 (.х, В(д) + л0 (х, . (0.0.73)

В работе будет показано, что для каждого значения £ оператор £е ограничен как оператор из W} (Rd; Сп) в L2 (Rd; Сп) и из W22 (Rd; Сп) в W\ (Rd; С" ) (см. лемму 4.6). Сформулируем основные результаты.

Теорема 0.31. Пусть А Е С \ [/jо, +оо), /10 := min {fjo/ßi, Wüte}- Тогда при достаточно малых £ справедливы оценки:

II (П£ - AG£).1 - (По - АСо).1 |U2.,b2 < Се, q

II(Пе - AG,)-1 - (I + еС£)(По - AGo)-1!!^.v^ < Се, где константы С не зависят от г, а нормы понимаются как нормы операторов из Ь2{Kd; Сп) в Z/2(Rd; Сп) и W\(Rd; Сп), соответственно.

Следствие 0.2. Спектр оператора Н£ сходится к спектру оператора Hq. А илитио, если А $ <t(Hq), то А £ сг(Н£) при достаточно .малых е, и если A Е <j{Hq), то существует Хе Е сг(Не), такое что Хе —> А(3 при е —*• +0. Если а 1, а2 Е R \ ct(Hq), то для спектральных проекторов операторов Н£ и Hq верна сходимость 'Р(аьа2)('Не) —► V^^^Hq) , £ —>• +0.

Отметим, что в работах |8|, [9], [28] рассматривался частный случай оператора Не, соответствующий равенствам а,; = 0, bj = 0, V — 0, а также в предположении А = А(£). Для такого случая были получены оценки, аналогичные (0.0.74) в случае А = — 1. Следует подчеркнуть, что в цитированных работах матрицы А и G не предполагались гладкими, а лишь ограниченными. Более того, константы С в упомянутых оценках зависели лишь от Loo-норм матриц A, A-1, G, G-1 и от параметров решётки. В нашем случае эти константы зависят от А, параметров решетки, а также от норм коэффициентов в тех пространствах, которым они принадлежат.

Пусть Ад изолированное собственное значение оператора Но конечной кратности N. Из следствия 0.2 вытекает, что существует ровно Лг собственных значений % = 1,., N, оператора Н£ (с учётом кратности), сходящихся к Ао при е —> +0. Через i = 1,., N, обозначим ортонормированные в /^(Е^С71) собственные вектор-функции, соответствующие До- Введём в рассмотрение матрицу Т с элементами 1

Т-- гз •" г(к:1(Л1В(ад + До (лдо,) + л0)^: и) гхП;С")

Со := В(4)*АВ(аж) + ф, ^ дх) + V, где дх

7' " '' Ш частные производные по Х{. Аргументами всех функций в приведённых формулах, кроме являются

Матрица Т, очевидно, эрмитова, поэтому существует унитарная матрица Эц, такая что матрица БоТБо диагональна. Обозначим N где элементы матрицы Яо- Вектор-функции Ф^ ортонормированы в пространстве 1/2 (Е^; С71). Через т*, г = 1,., Лг, обозначим собственные оо значения матрицы Т. Положим: И^Е«*; У) := П ^"¿(Е^; У). г=1

Теорема 0.32. Пусть А = А(х,0 € V = 6

М^С^ДП)), а* = е ^ = Ьг(ж) € и пусть собственные значения матрицы Т различны. Тогда собственные знамения, XI имеют асимптотики оо т,

Ъ)

0.0.75) з=1 где остальные коэффициенты асимптотик определяются лемм,ой 4- Т2.

Н)

Собственные вектор-функции, соответствующие Хе , можно выбрать так, что в норме И^К®.^; С") они будут иметь следующие асимптотические разложения N

0.0.76) j=i ф£0(ж,О = (Ai(a;,OB(^) + Ao (х,£)Щ(х) + (0.0.77) ствами (4-1-43). Остальные коэффициенты ряда (0.0.76) даются в лемме 4

Подчеркнём, что условие т'¿. ф Tj, г ф j, не является существенным для построения асимптотик собственных: значений и собственных вектор-функций оператора Н£. Мы использовали его лишь для упрощения некоторых технических деталей. Если данное условие не выполнено, то наша техника позволяет построить асимптотики и в этом случае. Также отметим, что упомянутое условие является случаем общего положения, если Л0 кратное собственное значение, и заведомо выполнено, если Ао простое собственное значение.

Согласно следствию 0.2, помимо собственных значений, сходящихся к изолированным собственным значениям усреднённого оператора, оператор Не может иметь также собственные значения, сходящиеся к: краю существенного спектра. В диссертации данный эффект демонстрируется на примере одномерного оператора; этому посвящён второй раздел четвёртой главы. Опишем подробнее постановку задачи. оператор в £2(К) с областью определения (Е). Здесь €

С°°(М2) - вещественнозначные функции, .1-периодичные по Предполагается, что функции £) — 1), финитны: по х для каждого значения и функция А удовлетворяет равномерному по х и £ неравенгде ф^ определяется.■ формулой (4-1.40), уравнением (4-1.38) и равен

Пусть ству с > 0.

Обозначим А0{х) := (А™1^, £)Г\ И,(а:) := {У{х, ■)), где {д(х,-)) := д{х10 Ясно, что (Ао — 1) € С'ц0(М), Ад ^ с > 0. Здесь и всюду далее о предполагается, что по крайней мере одна из функций А(х,£) и У(х,£) нетривиально зависит от Из теоремы 0.31 следует, что усреднённый оператор здесь выглядит следующим образом: оператор в 1/2(К) с областью определения (К.)- Ясно, что каждое из собственных значений операторов Но и Н£ простое. Обозначим У\{х, () :=

Спектральную точку нуль будем называть виртуальным уровнем оператора Но, если существует нетривиальное ограниченное решение уравнения

Если такое решение существует, то оно единственно с точностью до умножения на константу. Пусть £ - множество всех конечных интервалов вещественной оси.

Теорема 0.33. Если нуль не является виртуальным уровнем, оператора Но, то оператор Н£ не имеет собственных значений, сходящихся к нулю при е —> +0. Если пуль является виртуальным уровнем оператора Но, то оператор Н£ имеет не более одного собственного значения, сходящегося, к нулю при е —> +0. Если данное собственное значение существует, то соответствующая, собственная функция сходится к нетривиальному решению уравнения (0.0.78) слабо в И'^{О) и сильно в Ь2{Я) для всех

В случае существования, собственное значение оператора Н£, сходящееся к пулю при £ —> +0, обозначим через Л?^.

П0 :=

0.0.78)

Теорема 0.34. Пусть нуль является виртуальным уровнем, оператора Но, соответствующее, нетривиальное решение уравнения (0.0.78) нормировано условием

X.>.оо lim ^f (х)

X.»-1-е»

1,

0.0.79 кт - первый отличный от нуля член последовательности члены которой определяются равенством ь = -[{№(.*)?d dx

1R 1 ^ \о о и формулами (4.2.54). Тогда в случае кт > 0 оператор Не имеет соб-ствеииое значение Л¿ и его асимптотическое разложение имеет следующий вид:

2 т—г

0.0.81) - ЕЕ ЪЬ-, i—2т \j=m

Если же кт < 0, то оператор Не не имеет собственного значения А^. В частности, если А не зависит от то к\ = 0, к2 = J j (^]{x)fijvl{x1t)dt + j tV^x.^dt J d(dx > 0, 1. о \о о /

0.0.82) и собственное значение Ае существует. Если V не зависит от то

Ь = 0. h>

V0(x)(*2(xr)) dv dx dx,

0.0.83) где Ф определяется: формулой d t tdt

A{x,t) J M.r.l) о 0 С

2'

0.0.84

49

Замечание 0.5. Так как функции (Лд — 1) и финитны, то при больших значениях х общим решением уравнения (0.0.78) является линейная функция. Требование ограниченности фактически означает, что функция (о) « < щ является постоянной при достаточно больших х и, в силу нетривиальности, не обращается в нуль. Поэтому нормирующее условие (0.0.79) имеет смысл.

Замечание 0.6. В диссертации также строится асимптотика собственной функции, соответствующей собственному значению А^ (см. теорему 4.1).

Результаты четвёртой главы были опубликованы в |12], |13|, [16] [18].

Работы [11], [15], [17], [53], |55|-|57] выполнены совместно с Р. Р. Га-дыльшиным, П. Экснером, Д. Крейчиржиком, X. Коваржиком, Т. Эк-хольмом. В работах [11], [15], [17] Гадылыпину Р. Р. принадлежат постановки задач. В работе [53] автору принадлежат доказательство формулы: (3.12) в параграфе Ш.А и результаты параграфа Ж.В, в работе [55] - результаты параграфов 4.3 и 5, в работе [56] - результаты параграфов 4-7. В работе [57] П. Экснеру принадлежит постановка задачи. Из результатов совместных работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

ГлШВЭь 1

Волноводы, соединённые окном

1. Альбеверио С., Доброхотов С.Ю., Семенов Е.С. О формулах для расщепления верхних и нижних энергетических уровней одномерного оператора Шрёдингера // Теор. мат. физ. - 2004. - Т. 138. № 1. - С. 116-126.

2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. т. 1. М.: Мир, 1979.- 399 с.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. АI.: Наука, 1984. 352 с.

4. Бирман М.Ш. О процедуре усреднения для периодических операторов в окрестности края внутренней лакуны // Алгебра и анализ. -2003.Т. 15. № 4. С. 61-71.

5. Бирман М.Ш., Суслина Т. А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15. № 5. С. 1-108.

6. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряжённого семейства с учётом корректора // Алгебра и анализ. 2005. -Т. 17. № 5. - С. 69-90.

7. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Усреднение периодических дифференциальных эллиптических операторов с учётом корректора // Алгебра и анализ. 2005. - Т. 17. № 6. - С. 1-104.

8. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева Я1^) // Алгебра и анализ. 2006. - Т. 18. № 6. -С. 1-130.

9. Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Мат. сб. 2006. - Т. 197. № 4. - С. 3-32.

10. Борисов Д.И., Гадылынин P.P. О спектре оператора Шрёдингера с быстро осциллирующим финитным потенциалом // Теор. мат. физ.2006.Т. 147. № 1. С. 58-63.

11. Борисов Д.И. О спектре оператора Шредингера, возмущенного быстро осциллирующим потенциалом // Проб. мат. анализа. 2006. Т. 33 С. 13-76.

12. Борисов Д.И. Асимптотики спектра оператора Шредингера, возмущенного быстро осциллирующим периодическим потенциалом // Доклады АН. 2006.Т. 406. № 2.С, 151-155.

13. Борисов Д.И. О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор. мат. физ. 2007. Т. 151. № 2. С. 207-218.

14. Борисов Д.И., Гадылыиин P.P. Спектр периодического оператора с малым локализованным возмущением // Доклады АН. 2007. - Т. 413. № 4. - С. 439-443.

15. Борисов Д.И. Асимптотики собственных значений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициента,ми // Труды ИММ УрО РАН. 2007. - Т. 13. № 2. - С. 33-42.

16. Борисов Д.И., Гадыльшин P.P. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Мат. сб. 2007. - Т. 198. № 8. - С. 3-34.

17. Борисов Д.И. Асимптотики для решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Алгебра и анализ. -2008. Т. 20. № 2. - С. 19-42.

18. Буслаев B.C. Квазиклассическое приближение для уравнении с периодическими коэффициентами // Усп. мат. наук. 1987. - Т. 42. № 6(258). - С. 77-98.

19. Гадыльшин P.P. О локальных возмущениях оператора Шредингера на оси // Теор. мат. физ. 2002. Т. 132. № 1. С. 97-104.

20. Гадыльшин P.P. О локальных возмущениях оператора Шредингера на плоскости // Теор. мат. физ. 2004. Т. 138. № 1.С. 33-44.

21. Глазман И.М. Прямые методы спектрального качественного анализасингулярных дифференциальных операторов. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. 339 с.

22. Доброхотов С. К)., Колокольцов В.Н. Об амплитуде расщепления нижних энергетических уровней оператора Шрёдингера с двумя симметричными ямами // Теор. мат. физ. 1993. Т. 94. № 3. С. 426-434.

23. Желудев В.А. О собственных значениях возмущённого оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Проб. мат. физики. 1967. - Вып. 2. - С. 108-123.

24. Желудев В.А. О возмущении спектра одномерного самосопряжённого оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Проб, мат. физики. 1968. - Вып. 3. - С. 31-48.

25. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука. 1993. 462 с.

26. Жиков В.В. О лакуна.х в спектре некоторых дивергентных эллиптических операторов с периодическими коэффициентами // Алгебра и анализ. 2004. - Т. 16. № 5. - С. 34-58.

27. Жиков В.В. Об операторных оценках: в теории усреднения // Доклады АН. 2005. - Т. 403. № 3. - С. 305-308.

28. Жиков В.В. О некоторых: оценках, из теории усреднения // Доклады АН. 2006. - Т. 406. № 5. - С. 597-601.

29. Ильин: A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -740 с.

31. Колмогоров А.Н., Фомин: C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 572 с.

32. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. мат. общ. 1967. - Т. '16. - С, 209-292.

33. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейныеуравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973 576 с.

34. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.

35. Пастухова С.Е. О некоторых оценках из усреднения задач теории упругости. // Доклады АН. 2006. Т. 406. № 5. С. 604-608.

36. Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и некоторые приложения. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская", 2007. 246 с.

37. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М,: Мир, 1977. 354 с.

39. Рофе-Бекетов Ф.С. Признак конечности числа дискретных уровней, вносимых в лакуны: непрерывного спектра возмущениями периодического потенциала // ДАН СССР. 1964. - Т. 156. № 3. - С. 515-518.

40. Санчес-Паленсия Е. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

41. Суелина Т.А. Усреднение стационарной системы Максвелла // Алгебра и анализ. 2004. - Т. 16. № 5. - С. 162-244.

42. Суелина Т.А. Об усреднении периодического эллиптического оператора в полосе Ц Алгебра и анализ. 2004. - Т. 16. № 1. - С. 269-292.

43. Фирсова Н.Е. О формуле Левинсона для возмущенного оператора Хилла /У Теор. мат. физ. 1985. - Т. 62. № 2. - С. 196-209.

44. Adarns R.A. Sobolev Spaces. N.Y.: Academic Press. 1975. 268 p.

45. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimâtes near the boundary for solutions of elliptic partial differential équations satisfying général boundary conditions. II. // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. № 1. P. 35-92.

46. Agmon S. Lectures on exponential decay of solutions of second-order elliptic equations: bounds 011 eigenfunctions of AT-body Schrodinger operator. Mathematical Notes. Princeton University Press, 1982. 118 P

47. Albeverio S., Gesztesy S., H0egh-Krohn, H. Holden R. Solvable models in quantum, mechanics. 2nd ed. AMS Chelsea Publishing. Providence, Rhode Island, 2005. 488 p.

48. Bensoussan A., Lions J.-L., and Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. N.Y.: North-Holland Publishing Company, 1978. 700 p.

49. Blankenbecler R. Goldberger M.L., Simon B. The bound states of weakly coupled long-range one-dimensional quantum Harniltonians // Ann. Phys. 1977. V. 108. № 1. P. 69-78.

50. Blank J., Exner P. and Havlicek M. Hilbert Space Operators in Quantum Physics. N.Y.: AIP Press, 1994. 594 p.

51. Borisov D., Exner P., GadyPshin R., and Krejcirik D. Bound states in weakly deformed strips and layers // Ann. H. Poincare. 2001. V. 2. № 3.P. 553-572.

52. Borisov D., Exner P., and Gadyl'shin R. Geometric coupling thresholdsin a two-dimensional strip // J. Math. Phys. 2002.V. 43. № 12. P.6265-6278.

53. Borisov D. On a model boundary value problem for Laplacian with frequently alternating type of boundary condition. // Asymptotic Analysis. 2003. - V. 35. № 1. - P. 1-26.

54. Borisov D. and Exner P. Distant perturbation asymptotics in windowcoupled waveguides. I. The non-threshold case // J. Math. Phys. 2006.- V. 47. № 11. P. 113502-1 - 113502-24.

55. Borisov D. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Ann. H. Poincare. 2007. - V. 8. № 7. - P. 1371-1399.

56. Borisov D. On the spectrum of two quantum layers coupled by a windowJ. Phvs. A. 2007. - V. 40. № 19. - P. 5045-5066./

57. Borisov D. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Math. Phys. Anal. Geom. 2007. - V. 10. № 2.- P. 155-196.

58. Brasche J.F., Exner P., Kurepin Yu.A., Seba P. Schrodinger operator with singular interactions // J. Math. Anal. Appl. 1994. - V. 184. № 1.P. 112-139.

59. Briet Ph., Combes J.M., Duclos P. Spectral stability under tunneling // Comm. Math. Phys. 1989. V. 126. № 1. P. 133-156.

60. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proe. Amer. Math. Soc. 1997. V. 125. № 5.P. 1487-1495.

61. Chenand B., Duclos P., Freitas P., and Krejcifik D. Geometricallyinduced spectrum in curved tubes // Diff. Geom. Appl. . 2005. V.23. № 2.P. 95-105.

62. Combes J. M., Duclos P., and Seiler R. Convergent Expansions for Tunneling. // Comm. Math. Phys. 1983. V. 92. № 2. P. 229-245.

63. Combes J.M., Duelos P., Seiler R. Krein's formula and one-dimensional multiple well // J. Func. Anal. 1983. V. 52. .V" 2. P. 257-301.

64. Davies E.B. Spectral Theory and Differential Operators. Cambridge. Cambrdge University Press, 1995. 182 p.

65. Dittrich J. and Kriz J. Bound states in straight quantum waveguide withcombined boundary condition ¡j J. Math. Phvs. 2002. V. 43. № 8.P. 3892-3915.

66. Eastham M.S.P. The spectral theory of periodic differential equations. Edinburg. Scottish Academic Press, .1973. 130 p.

67. Exner P., Seba P., Tater M., Vanek D. Bound states and scattering in quantum, waveguides coupled laterally through a boundary window // J. Math. Phvs. 1.996. - V. 37. № 10. - P. 4867-4887.

68. Exner P. and Vugalter S. Asymptotics estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window // Ann. Inst. II. Poincare. 1996. - V. 65. № 1. - P. 109-123.

69. Exner P. and Vugalter S. Bound-state asymptotic estimate for windowcoupled Dirichlet strips and layers // J. Phys. A. 1997. - V. 30. № 22.P. 7863-7878.

70. GadyPshin R. On regular and singular perturbation of acoustic and quantum waveguides // C.R. Meehanique. 2004. V. 332. № 8. P. 647-652.

71. Gesztesy F., Simon B. A short proof of Zheludev's theorem // Trans. Am. Math. Soc. 1993.V. 353. № 1. P. 329-340.

72. Harrel E.M. Double Wells. // Comm. Math. Phys. 1980. V. 75. № 3.P. 239-261.

73. Hoegh-Krolm R., Mebkhout M. The j Expansion for the Critical Multiple Well Problem // Comm. Math. Phys. 1983. - V. 91. № 1.- P. 65-73.

74. Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N. Photonic Crystals. Molding the Flow of Light. New Jersey: Princeton University Press, 1995. 137 P

75. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Ann. Inst. H. Poincare, sect. A. 1979. - V. 30. X« 2. P. 83-87.

76. Klaus M., and Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistie quantum mechanis. I. Short-range two-body case // Ann. Phys. 1980.V. 130. № 2. P. 251-281.

77. Klaus M. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Ann. Phys. 1977. V. 108. № 2. P. 288-300.

78. Kondej S., Veselic. I. Lower Bounds on The Lowest Spectral Gap of Singular Potential Hamiltonians // Ann. H. Poincare. 2007. V. 8. № 1.P. 109-134.

79. Kuchment P. The Mathematics of Photonic Crystals // In book "Mathematical Modeling in Optical Science", Frontiers Appl. Math. V. 22. SIAM Philadelphia, PA, 2001. P. 207-272.

80. Kunze Ch. Leaky and mutually coupled wires // Phys. Rev. B. 1993.- V. 48. № 19. P. 14338-14346.268

81. Marx M. On the eigenvalues for slowly varying perturbations of a. periodic Schrödinger operator // Asymptotic Analysis. 2006. V. 48. № 4. P. 295-357.

82. Persson A. Bounds for the Discrete Part of the Spectrum of a Semi-Bounded Schrödinger operator // Math. Scand. 1960. - V. 8. - P. 143-153.

83. Popov I. Yu. Asymptotics of bound states for laterally coupled waveguides // Rep. Math. Phys. 1999. - V. 43. № 3. - P. 427-437.

84. Popov I. Yu. Asymptotics of bound states and bands for laterally coupled waveguides and layers // J. Math. Phys. 2002. - V. 43. № 1.P. 215234.

85. Simon B. Semiclassical analysis of low-lying eigenvalues. I. Non-generate minima: asymptotic expansions // Ann. Inst. H. Poincare, sect. A. 1983.V. 38. № 3. P. 295-308.

86. Simon B. The bound state of weakly coupled Schrödinger operators in one and two dimensions // Ann. Phys. 1976. V. 97. № 2. P. 279-288.

87. Weidmann J. Mathematische Grundlagen der Quantummechanik I. Frankfurt: Fachbereich Mathematik der Universität Frankfurt, 1995. 132 s.