Спектральный анализ самосопряженных операторов модели Фридрихса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

СЛШГ-ШГЕРБУРГСКШ ГОСУДАРСТЕЕКШ УНИВЕРСИТЕТ

I

На правах рукописи УДК 517.948

ЯКОВЛЕВ Сергей Игоревич

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ШОСОПРШЁНШ ОПЕРАТОРОВ МОДЕЛИ «РИДИМА. (СИНГУЛЯРНЫЙ ШКГР)

01.01.03 - иатедагическая физика

А В Г О РЕ 4 Е РА Г

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиаико-ыагеиатичвских наук

Санкг-Пегврбург 1992

Работа выполнена на кафедра математической физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: Официалышэ оппонент»:

доктор физико-магеыатических наук, профессор НАБОКО С.Н.

доктор физико-математических наук, . вед.науч.сотр.ЛОМИ скгагАнов W.U.

кавдндат физико-математических наук, доценг Львовского,гос.университета ШКИГШ Я.В.

Ведусря организация: Харьковский государственный университет

Защ:та диссертации состоится "_"__ 1992 г.

в__ч._мин. на заседании специализированного совета

К.063.57.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном универ^ ситеге по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., Д.7/9.

С диссертацией могло ознакрмиться б научной библиотеке Санкт41етербургского'государственного ушшерситета.

Автореферат разослан "_" __ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н. 1ШЩИ

-•з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: В большинстве работ по теории возмущений непрерывного спектра основное внимание обычно уделяется абсолютно непрерывному спектру. Чго же касается сингулярной компоненты» то либо она вовсе не исследуется либо на возмущение накладывается . столь сильные ограничения, что весь сингулярный спектр, легаций', на непрерывном, сводится к конечному числу собственных значений .конечной кратности. Такой подход, в. частности, диктуется интересами и потребностями теории рассеяния. Однако в последнее время в связи с некоторыми вопросами теории твердого тела (Т) отмечается возрастание интереса и к сингулярной компоненте спектра: сингулярной непрерывной компоненте н точечному спектру, имеющему сложную структуру, в том числе точки накопления. Особенностью сингулярного спектра является (в отличие, например, от абсолютно непрерывного) его неустойчивость уже относительно возмущений ранга I. Б связи с этик интересен вопрос об описании структуры сингулярного непрерывного и точечного спектров (как множества мери • нуль) в зависимости от гладкости возмущения или, как в с луча з оператора Шредингера на оси, от его убивания на бесконечности.

Важным инструментом исследоишия этой задачи являются само-сопрявенныо операторы модели Фридрихса. Оператор умнокения иа не-* зависимую переменную, возмущения которого здесь рассматриваются, возникает при записи оператора Шредингера в импульсном представлен^:!, к получению результатов для которого и можно прилокить эту модель. Данная модель изучалась К.Фридрихсом (2;, Л.Д.Фадеевым (3) Б.С.Павловым и С.В.Петрасом (4), С.Н.Набоко (5) и д|э. В этих работах для гладких ядер возмущения, принадлежащих классу об ,бнли получены точные результаты, описывающие структуру сингулярного спектра в терминах показателя «6 . При этом вопрос о сингулярном спектре сведен к изучению мнокества корней аналитической оператор-функции с положительной мнимой ■частью. Решение проблемы описания структуры сингулярного спектра было связано здесь с изучением различных свойств гладкости аналитических оператор функций, с использованием тонких свойств поведения преобразования Гильберта л других (¡актов анализа.

Во многих задачах физики для операторов Шредингера характерным потенциалом служит кулоновский потенциал. Хорошо известно, что в случае убывания "быстрее" кулоновского связанные состояния, отвечающие непрерывному спектру, отсутствуют. В то же время разными авторами строились операторы Шредингера на оси с кулоновским убыванием' потенциала, имеющие собственные значения (одно или несколько) на непрерывном спектре. В "непрерывном" случае операторов Шредингера на оси С.Н.Набоко были построены примеры (6), показывающие чтб на самом деле кулоновская граница убывания потенциала является точной, т.е. если потенциал может убывать "чуть" медленнее кулоновского, то у соответствующего оператора Шредингера может быть бесконечное число собственных значений, плотно расположенных на непрерывном спектре. В связи с разработкой разнообразных решетчатых моделей в физике твердого тела интересен вопрос о справедливости подобного утверждения для дискретного оператора Шредингера.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена выяснению деталей возможной структуры сингулярного спектра в зависимости от гладкости возмущения или, как, например, для оператора Шредингера, от скорости его убывания на бесконечности, а также на-хождеют более точных условий на возмущение, гарантирующих простую структуру сингулярного спектра (например, не более, чем конечное число собственных значений конечной кратности).

Методика исследования. Применяются общие методы теории операторов, комплексного и математического анализа. Изучение сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса сводится к исследованию поведения аналитической оператор-функции вблизи множества своих корней. Используются свойства гладкости преобразования Гильберта и оценки его роста на бесконечности.

• Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:

1. В терминах асимптотического поведения при -6 -> 0 модуля непрерывности возмущения получено точное условие конечности сингулярного спектра операторов самосопряженной модели Фридрихса.

2. Получено точное интегральное условие на модуль непрерывности, выполнение которого обеспечивает совпадение точечного спектра и множества корней аналитической оператор-функции с положитель-

ной мнимой частью, в которое погружается сингулярен спектр самосопряженных операторов модели Фридрихса.

3. Для одномерного дискретного оператора Шредшгера показано, что такко, как и в непрерывном случае, если потенциал на бесконечности убивает "чуть" медленнее кулоновского, то соогпетсвущие оператору Шредшгера. могут иметь бесконечное число собственных значений, плотно расположенных на непрерывном спектре (приледени примеры таких неотрицательных потенциалов.)

4. Для дискретного оператора Шредингэра на полуоси на потенциал получено точное условие отсутствия собственных значений на непрерывном спектре, обобцаяцее хорошо известное условие

Научная и практическая ценность. Работа лосит теоретический характер. Ее результаты будут интересны специалистам по теоретической и математической физике, занимающимся задачами теории твердого тела и штерссувцимся вопросами спектральной перестройки оператора Шрэдингера. Методы работы могут быть использованы, и различных областях теории операторов и ее приложений, в математическом анализе.

Апробация работа. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на спецсеминаре кафедры математической физики физического факультета ЛГУ, а также на конференции "Сорременнне методы качественной теории дифференциальных уравнений. Глобальный анализ. Многозначные отображения" (г.Воронеж, 1990) в ХУ Всесоюзной Игколе по теории операторов в (функциональных пространствах (г.Ульяновск, 1950) и в ХУ1 Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Нижний Новгород, 1991).

Публикации. По теме диссертации опубликовано &■ научных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения четырех глав, разбитых на параграфа, и списка литературы. Общий объем диссертации 148 страниц машинописного текста. Библиография содержит 52 наименования. ,

- 6 -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации дается обзор предыдущих результатов по теме работы, ставятся задачи исследования и приводятся точные формулировки основных теорем, доказанных автором.

В первых двух главах работы в пространстве С ) рассматривается самосопряженный оператор С , являющийся слабым возмущением оператора умножения на независимую переменную,

. № т.е. и — Х' + V ~ так называемая модель Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Возмущение здесь является интегральным оператором, который предполагается неотрицательным и ядерным:

"У&О, лГе б^ (2)

На его ядро V (х, ¿) накладывается условие гладкости с модулем непрерывности ) .

где модуль непрерывности, функция, должен быть монотонным и удовлетворяющим условия Дини: ^

и (4)

о ~

Отметим, что левая часть неравенства (3) записывается в виде

-

где ядро интегрального оператора ЛГ % последовательно,

неотрицательна.'Условие гладкости в форме (3) оказывается технически наиболее удобным, к тому же в случае

безразлично накладывать это условие на ядро ^ или на ОДР0 ^ • Принадлежность классу ядерных операторов дополнительно к условию гладкости и неотрицательности означает для ядра г^Сг,^) некоторое условие убывания на бесконечности.

Данная модель изучалась К.Фридрихсом, Дж .Шварцем, Л.Д.Фаддее-вым, Б.СЛавловыы, С.В.Петрасом, С.Н.Набоко и др. В этих работах для случая гладкого ядра возмущения, принадлежащего классу¡З^ы.-(т.е. ы{Ь) = ^ еС-ё-Зо, //Г ), получены точные результаты, описввав-щие структуру сингулярного спектра (как множества меры ноль) в

- 7 -

терминах показателя гладкости об.

Операторный.подход к задаче исследования сингулярного спектра оператора (I) основан (4,5) на введении аналитической оператор-функции М(Д) с неотрицательной мнимой частью: М(Д ): Е->Е, Е = = К(^); ^)^бГ(х--Х)^, £*А>е , где <л*-Л )-1 есть оператор умножения в пространстве на функцию (яг-д.) . В •

случае общего модуля непрерывности (4) оператор-функция М(Л ) также непрерывно продолжается в ядерной норме из верхней полуплоскости . на вещественную ось и описание структуры сингулярного спектра оператора Ь сводится к описанию структуры множества корней /I оператор-функции З^бВ^^Р-'У//*^)^?};

&р(Ь) V — , где]точечный спектр,

а сингулярный непрерывный спектр оператора

В главе I доказывается следующая теореул, дэвгдая оценку меры Л. , Г - окрестности на вещественный оси множества Л., в зависимости от .

Теорема 1.3 (0 спектре оператора//)

Пусть ЛГ^ о и ядро возмущения гг (л; ^) удовлетворя-

ет условиям (3) и (4), тогда сингулярный непрерывный и точечный спектр оператора (I) погружается в множествоД(корней оператор-функции М( % )), удовлетворяющее'условию

_ * ¿- (5)

где Л есть Г - окрестность на оси множества _Д .

Подобный результат независимо и несколько ранее(а также и несколько другими средствами) был получен Я.В.Микитюком. Возможность применения техники, развиваемой при доказательстве этой теоремы, представляет, как нам кажется, самостоятельный интерес, поскольку она может быть использована и в других задачах теории возмущений, приводящих к исследованию оператор-функций.

Оценка (5) обобщает известный результат для = 1 и позволяет, в частности, изучить поведение при ¿^"близком" к -¿//я, например, в логарифмической шхале

Интерес к вызван тем, что, как хорошо известно, в

терминах липшицевой шкалы (= ) именно при ы.~//л может

происходить скачкообразное изменение структуры сингулярного спектра: от конечного числа собственных значений при ^ > ^/л к множеству со сложной структурой при .

Следствие. В качестве следствия теорема 1.3. из оценки (5) для получается интегральное условие на модуль непре-

рывности ы ) £

У < о- , (б)

выполнение которого влечет "тривиальность" сингулярного спектра, т.е. сингулярный спектр может состоять не более, чем из конечного числа собственных значений конечной кратности.

Глава 2 посвящена,выяснению вопроса о точности интегрального условия (6). В ней применяется уже совсем другая техника. Точные результаты формируются в терминах асимптотического поведения функции и>0:) при -ь о . Оказывается, что точной границей конечности сингулярного спектра служит оценка: /Р/1^), -6, В параграфе 2.1. доказывается достаточность отого условия.

Теорема 2.1. Пусть лЛг & 11 ядро возмущения удовлетво-

ряет условиям (3) и (4). Тогда при ± , множество

корней А конечно, а значит, и сингулярный спектр оператора

Ь состоит из конечного числа собственных значений конечной кратности.

В параграфе 2.2. строятся контрпримеры, подтверждающие точность данного результата.

Теорема 2.2. (Контрпример). Пусть функция со удовлетворяет условию (4) и дополнительному естественному ограничению и*('¿а),причем — , Тогда строится функция

У 6 Ьл(К^) • удовлетворяющая неравенству/-такая, что у оператора Ь = ^ У есть точки накопления собственных значений.

При доказательстве теоремы 2.1 для каждой точки Дё/Ь строится функция и.^(+) <£ ¿¿¿(/г1)> но не принадлежащая, вообще говоря, пространству и удовлетворяющая в смысле почти везде равенству

Ьцф) — 2'^(Ь) ♦ Для т°го, чтобы точка Д являлась собственным значением оператора Л(I), необходимо и достаточно, чтобы Ц^)<£/^("0. При этом Чд^) будет собственной функцией, отвечающей

собственному значеш® X . Хотя в обгцем случае функции ^СО, )ЛА , лишь из класса ¿,.<^2) ,для них выполнено характерное свойство "ортогональности" собственных функций самосопряженного оператора*-и „х' т* /? . то М ~ ° • Исполь-

зуя условие "ортогональности" этих "собственннх" функций оператора //, н удеэгся доказать теорему 2.1.

В третьем, последнем, параграфе павы 2 ,цля возмущения ранга I дается другой вариант доказательства теоремы 2.1, позволяющий лучше попять не возможность построения контрпримера а случае =• — 1—>0 . Следует отметить, что на возма-кнос^ь распростра-

нения доказательства основного результата теоремы 21со случая

= . на случай для /ч;л/(лГ>£ наше

внимание обратил Е.М.Динькш.

Нетрудно видеть, что теорема 2.1. доставляет наг,» более точный критерий тривиальности сингулярного спектра, чем оценка (б): из (6) при условии МОНОТОННОСТИ функции следует, ЧТО

В частности, для - . » неравенство (6) выполняется

только при С >■ в то время как условие = верно при любом ¿ю . В то не время, как показано , кнтег-

ральная оценка (6) на модуль непрерывности является точным условием совпадения множества корней /I с точечным спектром

В глаЕе 3, состоящей из двух параграфов, рассматривается точечный спектр (лежащий на непрерывном) дискретного оператора Шре-дингера £ с убывающим потенциалом £ , т.е. $ ~ (V +13*) + £ * где V - оператор одностороннего сдвига в/^ V*- его сопряженный, оператор умножения £ действует по формуле^-«и

Хотя главное внимание уделяется случаю самосопряженного оператора $ , комплексный потенциал не исключается.

Уравнение для собственных значений/? оператора Да) означает,

что для последовательности > являющейся ее решением,

должно выполняться соотношение

и^+и^ + ^-ин^Л-ик, (7)

где следует считать о . Непрерывный спектр три условии заполняет отрезок С-2, 27. Хорошо известно, что при о(г/ц) ,л.-»«-, точечный спектр оператора 5* в интервале (-2;2) отсутствует. В то

же время несложно построить примеры операторов 51 с кулоновским убыванием потенциала ' п ), имеющих собственные значения в интервале (-2,2). В "непрерывном" случае операторов Шредингера на оси С.Н.Н&бско построены примеры (6), показывающие, что кулоно'вская граница убывания потенциала на бесконечности является точной. Оказывается, также и в дискретном случае характерной границей убывания потенциала на бесконечности является кулоновское убывание. Доказательству следующей теоремы посвящен §3.1.

Те орет 3.1. Пусть {¿п.} - последовательность чисел из интервала (-2,2) такая, что произвольный набор

рационально независим*', а последовательностьс>сколь угодно медленно и монотонно, тогда существует неотрицательный потенциал, /1 > удовлетворяющий условия

такой, что^ являются собственными значениями оператора^.

Опираясь на георему 3.1., легко построить примеры самосопряженных дискретных операторов Шредингера с потенциалом, удовлетворяющие условию (8) (т.е. при любом убывании на бесконечности медленнее кулоновского), чей точечный спектр Ср плотно заполняет интервал [гЯ£~3 • Для.этого достаточно взять ¡последовательность {^с указанными свойствами рациональной независимости, плотную на отрезке (-2,2).

Что касается индивидуальны* собственных значений оператора-^1, то их "появление",в точке % 6 (-2,2) описывается в §3.2 в зависимости от убывания потенциала и расстояния от Я А° границы непрерывного спектра. Именно, справедливо следующее утверждение уточняющее известное условиегарантирующее отсутствие точечного спектра в интервале (-2,2)- .

Теорема 3.2. ПустьДе (0,2) Тогда если последовательность так,что выполнено условие

- ,(9>

то у дискретного оператора Шредингера с потенциалом р =-{/п{к,х

^ Набор чисел /«с}/., называется рационально независимым, если из условий что Д

II - . ' '

в интервале отсутствуют собственнее значения. '

Очевидно, что в случаес/^бД, условие (9) выполнено

для любого (0,2). Константа (I- Д^ДО в условии (9) теоремы 3.2. является точной и, как показывают контрпримеры, не может быть улучшена. Более того это имеет место при произвольном поведении последовательности/^/^/^ п. , не удовлетворяющей условип(9).

. Два потенциала и- будем назы-

вать эквивалентными, если !£</)/(^ —* л к •

Теорема 3.3. Пусть последовательнЬсть гак» 470 ПРИ

некотором X & (0,2)

^гЧтл й ^ (Ю)

тогда для любой точки ПРИ условии рационально/!

независимости}?'!! оичаЛ^/а. существует вещественный потенциал — =/АЛ~' эквивалентный , такой, что для оператора^

с потенциалом £ точка у является его собственным значением.

В качестве следствия теорем 3.2. и 3.3 вытекает условие, гарантирующее отсутствие собственных значений в открытом интервале (-2,2) Именно, если для любого С?-0

№4 Ц

= ш)

то у оператора $ <£Ж-2,2) В то же время, если условие (II) не выполняется (при каком-нибудь С>0), то существует потенциал^, эквивалентный первоначальному, такой, что у оператора £ с потенциалом ^ пояаляется собственное значение в интервале (-2,2).

В главе 4, являющейся связующей между первыми двумя главами диссертации и главой 3, изучается структура сингулярного спектра самосопряженного оператора^?, действующего в пространстве //Я)

по формуле . _

(£и)(Ь) = ¿"--и/ё) +у Щх)у/х)/х ■ , (12)

т.е. V-('} ¥)Т • Относительно функции дополнитель-

но предполагается, что она из класса Ли» т.е.

~ ^->/7///); (13)

где модуль непрерывности, функция а', считается непрерывной и удовлетворяющей условию Дини (4). Связь между дискретным опэратором Щредингера на "веч!.сственной оси" и моделью Фридрихса устанавливается стандартным образом с помощью рада Фурье. В новом предстевле-

нии оператор + превращается в оператор I' :

(£й)Ю- лее**'

где ядро-е1* ^ Поскольку производная {¿с*¿У- в

точках зУ обращается в ноль, возможная замена переменныхд\= которая прямо приводила бы нас от оператора У к оператору модели Фридрпхса на отрезке , не является гладкой, в связи с чем

при такой переходе опеределщщу тонкие детали структуры сшгуляр-ного,) спектра оператора,? вблизи точек могут быть утрачены.

Поэтому представляется разумным в качестве модели в теории возмущений непрерывного спектра рассмотреть возмущения не оператора умножения на независимую переменную, а оператора умножения на функцию -ь .

Рассмотрим функцию -?>1/г) -/■¿^ ^ , которая определена и регулярна в комплексной плоскости с размером £Ь,+■=<•) и при сформулированных вше условиях гладкости (13) и (4) непрерывно продолжается на интервал (0 на верхнем и ткнем берегах разреза. Обозначим через М множество положительных корней функции -?>>(«) ¡а), и А^и >с>; -7п/и У Со) - & ]■ _

Тогда сингулярный спектр оператора погружается в замыкание

Оказывается точной границей конечности сингулярного спектра оператора ^'(12) такие, кок и для оператора (_, (I), служит выполнение оценки со/{), что подтверждается следующими двумя теоремами.

4 Теорема 4.1. Пусть функция у из пространстьа , задаю-

щая возмущенно, удовлетворяет условиям (13) и (4). Тогда при

, тожество/^т/не имеет точек сгуценкя, а сингулярный спектр оператора •'X (12) состоит из конечного числа собственных значений (кратности I), расположенных на интервале (О,+ <*>).

Теорема 4.2 формулируется аналогично теореме 2.2. (разумеется с заменой/- на ). И для ее доказательства в силу гладкости замены переменных в окрестности любой точки на положительной полуоси достаточно сослаться на теорему 2.2.

В свази с построением примеров, показывающих "нетривлаль-ность" оператора^ при возмущениях с гладкостью "хуке",

чз« О/Те), , производится более детальное исследова-

ние структуры сингулярного спектра Й?в случае возмущения, принадлежащего классу с^-гг;^ ^С^г) —¿Р/'ё*)).

Основной теорема предпогиеи несколько оперделений. На положительной полуоси дня г! определим метрику

Условимся, что для ыэрц ¿/в") заданной на борелевских подмножествах ^ Л^/^тдъяз.та^тер^Л. означает «еру множества <£. .

Теорема 4.5. (О структуре спектра). Пусть функция ^£ ^¿.(Р.)П Рчри, а мэра

Тогда для всех доматочно малых имеет место следующее неравенство

: ш)

Доказательство этой теоремы получается в результате коцбина-ции теорега о гладкости функцкн/я/^и теоремы единствешюсти.

Теорема 4.3.. (О гладкости). Пусть функция у из пространства ^{Щ), задающая возмущение ранга I, удовлетворяет условию (13) с

= а точка и а т(1со+Со) — о')

¿> £"; и о/Ц • ТогДа дал функции в Г - окрест-

ности точки и с выполняется оценка

Теорема 4.4.(Единственности). Пусть функция ^ из пространства^^), задающая возмущение ранга I,удовлетворяет условиям (13) и (4), тогда на положительной полуоси с абсолютно непрерывной мерой

<?■<:£ ^£ Для Функции£с) при всех достаточно малых неотрицательных с( имеет кзсто следующая оценка ' ^^ {х. ^о ^ФгМ / г£ гй У.

Очевидно, что оценка (14) накладывает определенные ограничат ния на возможную структуру шожества/К а значит, и . В

частности, если последовательность собственных значений оператора ф +(•>степенным образом убывает к точке ноль, т.е.

Як - , то выполняется неравенство . В

то же время для любого £>с* существует такая.финитная функция еХср^у что у оператора •+ У^У сущест-

вует последовательность собственных значений > убывающая

ji точке ноль, и 6 с + £ • Таким образом, ъ сзв-

пенной шкало теорема 4.5. дает точный результат в окрестности точки 0. При этом, когда ot-^-pi , что согласовано с точным результатом о границе конечности сингулярного спектра

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Цо»т Н. Переход металл-изолятор. - Ы:.Наука, 1979.

2. ¿РьсАгб^сМ'К.О. On.а^^&гыЯлкаиЛ'

¿te^/Own. <£Wf - fsyg. - Y.t, ~ Г.Зб^-УО*.

3. бадеев Л.Д. О ыодели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра,// Тр. 1МАН.,- 1964. - Т.73 - С.292 - 313.

4. Павлов Б.С., Петрас С.В. О сингуляторном спектре слабовозиущан-яого оператора умножения // Фумнц. анализ и его прил. - 1970. -

Т ,4, шп. 2. - С. 54-61 ♦

б. Набоко С.Н. Теоремы единственности для оператор-функций с положительной мнимой частью и сингулярный спектр в самосопряженной модели Фридрихса// ДАЙ СССР. - 1984. - Т.Й75. - СД310-1313.

Нйбоко С.Н. О плотном точечном спектре операторов Шредингера и Дирака // Теор. и метем. физ. - 1986. - Т.68, й I. - C.I8-28.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю профессору С.Н.Набоко за постановку задач и помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТИЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Яковлев С.И. О возмущениях.сингулярного спектра в самосопрл^ seimoil модели йрпдрихса // Вестник ЛГУ. Сер.1. - 1990. - $ I. - C.II6-II7.

Z: Набоко СЛ., Яковлев С.И. Об условиях конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели 8ридрихса // Тезисы докладов

XV Всессэзнсй околи по теории операторов в функциональных пространствах. - 1990. - т.2. - С.24.

3. Набоко С.Н., Яковлев С.И. Об условиях конечности сингулярно«, го спектра в самосопряженной модели Фридргссса // бункц.ага-лиз я его прил. - 1990. - Г.24, }'« 4. - С.00-89.

4. Яковлев С.И. О структуре сингулярного спектра в самосопряженной модели Ервдрнхса // Допон.в ВИНИТИ. - Р 2050-В от 17.05.91.

5. Дшьккн Е.М., Набоко С.Н., Яковлев С.И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Оридрюссз // Алгебра и анализ. - 1991. - Т.З, № 2, - С.77-90. •

6. Набоко С.Н., Яковлев С.И. О точечном спсктра дискротного оператора Шред!шгера, лежащем на непрерывном // Тезисы докладов

XVI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. - 1991. - с.160.

Подписано к печати iy.0l.9Z-г. вориат 60x84 I/I6 Печать офсетная Усл.печ.л.1 Заказ Тирад ХОО экз.

190000,С.-Петербруг.ул.Герцена,67.

Ротапринт ЛЖИ