Задачи устойчивости и подобия для некоторыхклассов несамосопряженных onepaтopoвс абсолютно непрерывным спектром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный университет

Задачи устойчивости и подобия для некоторых классов несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром

Специальность 01.01.03 — математическая физика Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н!

копией

з п №1 ш

Киселев Александр Вячеславович

Санкт-Петербург

2000

Работа выполнена на кафедре математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Набоко С.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор механико-математического факультета МГУ Шкаликов A.A.

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ПОМИ РАН Капустин В.В.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (Технический Университет)

Защита диссертации состоится « А?*» _¿¿¿Я^/

_ часов в ауд. на заседании диссертационного Совета

2000 г. и

К 063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Пегербург, Университетская наб., Д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться л библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Манлда С.Н

Я/«,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование устойчивости по Ляпунову уравнения

Шредингера - — Luit) с несамосоиряженным оператором L приводит г dt

к эквивалентной задаче о равномерной по t ограниченности операторной экспоненты охр(iLt) и, таким образом, к задаче о подобии оператора самосопряженному. В том случае, когда оператор L подобен самосопряженному, для него выполняется аналог спектральной теоремы, справедливой для самосопряженных операторов, с ограниченными (вообще говоря, неортогональными) спектральными проекторами. Также в указанном случае имеется возможность построения функционального исчисления для оператора L и решения исходного нестационарного уравнения с использованием операторной экспоненты. В наиболее простой форме данное функциональное исчисление может быть построено в случае, когда исследуемый оператор имеет лишь абсолютно непрерывный спектр.

Подобные проблем?,т естественным образом появляются в гидродинамике, задачах сингулярных возмущений в квантовой механике, теории колебаний и др. Тем самым, актуальным является вопрос о нахождении условий подобия оператора L самосопряженному (для чего необходима и достаточна совокупная ограниченность всех его спектральных проекторов). Цель работы. Работа посвящена исследованию вопросов устойчивости, формулированию критериев подобия операторов самосопряженным и условий, достаточных для ограниченности соответствующих спектральных проекторов, в терминах, удобных для использования. Научная новизна. Диссертация содержит следующие новые результаты:

1. Полу мены необходимые и достаточные условия подобия самосопряженным для двух важных классов несамосопряженных операторов: адди-типных несамосопряженных возмущений самосопряженных операторов и

иесамосопряженных расширений симметричных операторов с равными ин-

з

дексами дефекта в случае, когда спектр изучаемых операторов абсолютно непрерывен.

2. Получены достаточные условия ограниченности спектральных проекторов, соответствующих произвольным борелевским интервалам спектра, для операторов из указанных выше классов.

3. Приведены новые достаточные условия подобия самосопряженным и (отдельно) ограниченности спектральных проекторов, соответствующих произвольным борелевским интервалам спектра, для оператора одномерной несамосопряженной модели Фридрихса и оператора Лапласа с возмущением, носитель которого состоит из конечного числа точек.

4. Получены условия функциональной ограниченности сильно непрерывных групп операторов в терминах резольвент их генераторов в случае абсолютной непрерывности спектра последних. Доказана точность полученных результатов для случая полиномиально ограниченных групп. Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты применимы для анализа широкого класса задач устойчивости и подобия операторов. Результаты могут представлять интерес для специалистов в области теоретической и математической физики, теории операторов, математического анализа, квантовой механики, гидродинамики, теории колебаний.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре математического факультета Стокгольмского университета в феврале 1999 года; на семинаре кафедры математической физики Санкт-Петербургского государственного университета (26 мая 2000 года); на конференции, посвященной памяти С. Ковалевской (18-22 июня 2000 года, Стокгольм); на рабочей встрече «Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов второго порядка» (Варшава, 1-12 августа 2000 года). Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ ([1-6]). Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех

4

глав и списка литературы. Общий объем работы — 102 страницы, включая 2 рисунка. Библиография — 45 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации дается обзор предыдущих результатов по теме работы, содержится постановка задач исследования и приводятся точные формулировки основных результатов работы.

В первой главе работы предметом исследования являются несамосоп-ряжениые операторы вида L = А + iV в гильбертовом пространстве II, являющиеся аддитивными возмущениями самосопряженных, в случае, когда самосопряженный оператор V сильно подчинен оператору А, т.е. D(V) С D(A) = D(L) и для всех и € D(A) и некоторых a,b; а < 1 выполнено условие Щ7«!! < o||.4u|| + b||u||. В случае наложения па спектр изучаемых операторов ряда ограничений, оказывается возможным сформулировать необходимые и достаточные условия подобия таких операторов самосопряженным в терминах интегральных оценок для резольвенты оператора «на вещественной оси». Первый параграф главы содержит постановку задачи и описание имеющихся результатов, используемых при исследовании.

Второй параграф посвящен описанию функциональной модели для операторов указанного класса [L5, L3], при использовании которой и оказывается возможным получить упомянутые выше результаты. В качестве модельного пространства выбирается пространство дилатации диссипатив-ног'о оператора, «близкого» к исследуемому и построенного по нему следующим образом: если L = А + iJa2/2, где J = signV, а = то диссипативный оператор 1У1 выбирается равным А + га2/2. Модельным пространством в этом случае будет являться подпространство К гильбертова пространства И двухкомпонентных вектор-функций (д,д) со значениями во вспомогательном гильбертовом пространстве Е = R(a). Норма в

5

пространстве 11 вводится по правилу

(ш:))-/(и тю-о)..*- «

к

где ¿>(А) — характеристическая (сжимающая при ЬпХ > 0) аналитическая оператор-функция диссипативного оператора определенная тождеством Б(Х) = I + га(Ь~\' — Л)"1«, 1т\ > 0, а Б(к) — ее граничные значения па вещественной оси, понимаемые в сильном смысле [Ь7].

Подпространство К С 71 выделяется условиями

д + 3*д € Н^_(Е), Бд + д 6 Н%(Е)|, (2)

то есть функции д + Б*д, Бд + д допускают аналитическое продолжение в нижнюю (соответственно, верхнюю) полуплоскости. Известно (Гл. Ь5], что диссипативный оператор ¿И унитарно эквивалентен генератору сжимающей полугруппы = РКе'1хи(х): и £ К.

Могут быть выписаны формулы [ЬЗ] для действия резольвенты оператора Ь в описанной функциональной модели. Данные формулы включают в себя, в частности, характеристическую функцию оператора Ь,

0(Л) = 1 + иа{Ь* ~Х)-1а, 1тХф0, (3)

а также операторы, задающую ее факторизацию в виде отношения двух ограниченных оператор-функций, обладающую свойством треуголыгости относительно разложения вспомогательного гильбертова пространства Е в.ортогональную сумму подпространств Е = (Л'+Е) © Е), ен

Абсолютно непрерывное подпространство [ЬЗ] исследуемого оператора совпадает с замыканием в Я линеала Ые = {и Е Н : а(Ь-Х)~1и 6 #±(£7)}, то есть указанные вектор-функции являются аналитическими одновременно в верхней и нижней полуплоскостях и принадлежат векторным классам Харди в них.

На указанном линеале описание действия резольвенты оператора Ь в

б

модельных терминах упрощается: (£ — А) 1Рк (д) = (9) ' чт0 гю~

зволяет, выписав резольвентные оценки

оо

вире [ ¡¡(¿^ -к- 1г)~1и\\2с1к < С||м||2, (4)

Е>0 ,/

— сю

необходимые и достаточные [114] для подобия оператора Ь самосопряженному, в модельных терминах, осуществить в них предельный переход под знаком интеграла, переписав вслед за этим полученные результаты в терминах исходного гильбертова пространства Н и действующих в нем операторов. На множестве гладких векторов г, модельном представлении может быть в простой форме выписано и действие спектрального проектора Тц оператора Ь [Ь3|, соответствующего произвольному борелевскому подмножеству вещественной оси <5: Т/>Рк{9д) — РкЛа(®). Отмеченная выше специфика несамосопряженного оператора с абсолютно непрерывным спектром позволяет в третьем параграфе доказать следующие теоремы, обобщающие известные результаты Сахновича, Деииса-Фояша, Веселова. Теорема 1.1 При условии абсолютной непрерывности спектра оператора Ь критерием ег о подобия самосопряженному является выполнение следующей пары оценок на всех и 6 Н:

I{{Щк - Ю),Ю*(к - гО) - - к - Ю)_1и,

Л+а(£г11 - к- Ю)-1и)<& < С||ы|[2

!{{.] - в*{к + 10)№(к + ¿0))*_а(1Г11 - к - ¿ОГЧ

-к- гО)_1«)егЛ < С\\и\\2,

либо же выполнение следующей пары оценок, в которых в явном виде фигурирует резольиента исследуемого оператора Ь:

У ((/ - 8*{к)Б{к))Х+а{Ь -к- ¿0 )~хи,Х+а(Ь -к - г'О )~1и)<1к < С||и||2 - Б*(к)3{к))Х^а(Ь* - к - гОГЧ ДГ_а(Ь* — к — Ю)-*и)йк < СЦы||2

Теорема 1.2 Интегральные оценки, отличающиеся от приведенных выше лишь тем, что в них интегрирование ведется уже не но всей вещественной оси, а по произвольному борелевскому подмножеству $ ее, рассмотренные на плотном в Н линеале «гладких векторов» оператора Лге, являются достаточными условиями ограниченности спектрального проектора , соответствующего участку спектра оператора Ь, заключенному в 5. Теорема 1.3 Для ограниченности спектрального проектора Те, соответствующего борелевскому подмножеству <5 спектра оператора, достаточно выполнения любой из выписанных выше пар оценок, интегрирование в которых проводится лишь по подмножеству вещественной оси 6 и вторые оценки каждой из приведенных выше нар рассматриваются лишь на линеале V,)(плотном в ТаН при условии ограниченности спектрального проектора Т&).

В четвертом параграфе первой главы полученные результаты применяются к анализу задачи об ограниченности спектральных проекторов (а следовательно, и к анализу задачи подобия) для оператора одномерной несамосопряженной модели Фридрихса в £г(М) (Ьи)(х) = хи(х)+ +{и,1р)ф(х), и,<р,ф € 1/2(К).

В частности, в случае, когда на функции <р, ф, задающие возмущение, наложены условия (<£,ф) = 0, получены достаточные условия ограниченности спектральных проекторов, отвечающих подмножеству спектра 5, в форме, удобной для непосредственного применения:

Теорема 1.4 При наложении на функции <р,ф условия гладкости в форме <р,ф £ Са(Е), а > 0, и при условии абсолютной непрерывности спектра оператора Ь, для ограниченности спектрального проектора Тц достаточно ограниченности пары сингулярных интегральных операторов, задаваемых своими ядрами ш (&) ¿гтВ^о) в 1ШРе пространств ¿2(Ж),

№ ТЩ/Е+юур

)) , соответственно. Здесь Г>(Л) = 1+

+ / <р{Ь)ф{1)/(1 — А)Л — определитель возмущения задачи, = _0(Л).

8

Получены также достаточные условия (отдельно, необходимые) абсолютной непрерывности спектра изучаемого оператора. Эти условия могут быть приведены в следующей форме.

Лемма. 1.5 Для того, чтобы спектр оператора Ь был абсолютно непрерывным, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: -¿¡щ € 6 я|'/ое; ощ е Н1 (условие ^ 6 #±''ос влечет за собой

внешность функции О (А) как в верхней, так и в нижней полуплоскостях). Лемма 1.6 Для абсолютной непрерывности спектра оператора Ь достаточно, чтобы функция -щц удовлетворяла условиям щ £ Н^д'1сс, 5 > > 0; а функция удовлетворяла у ел опию -ф £ ¿^(М).

Во второй главе настоящей работы рассматривается круг вопросов, связанных с анализом задачи подобия для несамосопряженных расширений симметричных операторов Ао в гильбертовом пространстве Н, обладающих равными (возможно, бесконечными) индексами дефекта. В первом параграфе описывается постановка задачи и средства, применяемые в дальнейшем для ее решения.

Во втором параграфе описывается построение функциональной модели для рассматриваемого класса операторов. Такая функциональная модель [Ь6] может быть построена средствами, аналогичными применяемым при описании адаптивных несамосопряженных возмущений самосопряженных операторов, при использовании аппарата теории пространств граничных значений симметричных операторов.

Тройка Г1,Гг) называется пространством граничных значений для оператора А0, если для всех элементов /,<? € Ид- (А^,д)ц — {},Ацд)ц = = (Гх/, Г2/;)и — (Гг/,Г 1д)и> и отображение у, определенное следующим правилом: / 1—» (Г1/; Г2/), / 6 , обладает следующими свойствами: = % Ф И\ для любых У1,У-2 € И найдется элемент у е Дл; такой, что Г) у = Уь Г -¡У = Уч- Известно, что в том случае, когда индексы дефекта симметричного оператора Ао равны друг другу и конечны,

9

у оператора Ад существует пространство граничных значений, а любое нетривиальное расширение А оператора Ад может быть описано следующим образом (класс расширений, для которых возможно такое описание, называется классом почти разрешимых расширений для оператора Ао): / 6 В ;\ц тогда и только тогда, когда Г] / = ВГ2/, где В — линейный ограниченный оператор в Н.

Рассмотрим полярное разложение ограниченного линейного оператора 1тпВ = (В — Б*)/2г, действующего в пространстве Е = с1о8(Н(1тпВ)), 1тпВ = ,7а2, где а = \1тпВ\1/2, J = 31дп(1тВ\Е). Характеристическая функция оператора Ав, являющегося расширением оператора Ао, соответствующим оператору В, в этом случае определяется следующей формулой: 0(Л) н 1\Е + 2г.1а{В* - ¿/(А))-1«^, Л € р(А*в), где М(А) - функция Вейля симметричного оператора Ао (введенная В.А. Деркачом и М.М. Маламудом), т.е. аналитическая оператор-функция как в верхней, так и в нижней полуплоскостях комплексной плоскости, определяемая равенством М(А)Гг/л = Гх/д, /а € кег(А^ - XI), X € С±. Характеристическая функция 0(А) оператора Ав обладает факторизацией в виде отношения двух ограниченных оператор-фуикций в каждой из полу плоскостей, обладающей свойством треугольности относительно разложения пространства Е в прямую сумму Е = Х+ Е (у Е, Х± = ([ ±./)/2. В этих терминах функциональная модель для оператора А = А#, являющегося соответствующим ограниченному оператору В почти разрешимым расширением симметричного оператора А0 с равными индексами дефекта, строится вполне аналогично случаю несамосопряженного аддитивного возмущения самосопряженного оператора [Ь6]. Именно, в качестве стандартного диссипативно-го оператора выбирается диссипативное расширение А+, соответствующее оператору В+ = Ие.В+га2, а в качестве модельного пространства К —- подпространство (2) гильбертова пространства й двухкомпонентных вектор-функций {д,д) с метрикой (1). Подпространство К обладает тем свойст-

10

вом, что резольвента {А+ — Л)'1 диссипативного расширения унитарно эквивалентна оператору Рк(к — Х)~1\к для всех А из нижней полуплоскости. Действие резольвенты недиссипативного расширения А симметричного оператора Ло может быть выписано п описанном модельном представлении; при этом на «гладких векторах» оператора А, то есть на линеале, выделяемом свойством Ме = {и £ Н : аГ$(А — А)-1и £ Н±(Е)}, оно описывается в модельном представлении следующим образом: (Л-ЛоГ'Р*® =

Абсолютно непрерывное подпространство оператора А определяется как замыкание линеала Аге в метрике исходного гильбертова пространства Н; спектральные проекторы Тя на борелевское подмножество абсолютно непрерывного спектра оператора А описываются в функциональной модели той же формулой, что и в случае аддитивных несамосопряженных возмущений самосопряженных операторов: 'Р$Рг<(^д) = Р^Лд^), Р« (р £ Ме.

В третьем параграфе второй главы на бале данной функциональной модели для несамосопряжсгшых расширений симметричного оператора Ао с равными индексами дефекта, получен ряд результатов о подобии самосопряженному и ограниченности спектральных проекторов для иесамо-сопряженного ¡расширения А с лишь абсолютно непрерывным спектром. В частности, оказываются справедливы следующие теоремы, аналогичные соответствующим результатам главы 1.

Теорема 2.1 При условии абсолютной непрерывности спектра оператора А критерием его подобия самосопряженному является выполнение следующей пары оценок на всех и 6 Н:

У ((0(Л - ¿0)ЛЭ*{к - ¿0) - 1)Х+аГ2(А*+ - к- ¿О)-1«,

Д+аГ2(Л; - к- ¿0 )-1и)«йЬ < С||и||2

I((,/ - е*(к + ¿0) 1в(к + ¿0))ДГ_аГ2{А'+ - к - ¿О)-1«,

Х-аГ2(Л* — к — »0)~ли)йк < С\\и\\2, 11

либо же выполнение, следующей пары оценок, в которых в явном виде фигурирует резольвента исследуемого оператора А:

- Б*{к)3(к))Х+аГ2{А - к - ЮГЧЯ+аГ2(Л - к - Ю)"1«)^ < С||и||2

J ((/ - 3*{к)Б{к))Х-аТ2(А* -к- Х-аТ2(А* -к- ¿О)"1«)^ < <7||и||2

Теорема 2.2 Интегральные оценки, отличающиеся от приведенных выше тем, что в них интегрирование ведется уже не по всей вещественной оси, а по произвольному борелевскому подмножеству 6 ее, рассмотренные на плотном в Н линеале «гладких векторов» оператора Ые, являются достаточными условиями ограниченности спектрального проектора Ра, соответствующего участку спектра оператора А, заключенному в 6. Теорема 2.3 Для ограниченности спектрального проектора "Ра, соответствующего борелевскому подмножеству <5 спектра оператора, достаточно выполнения любой из выписанных выше пар оценок, интегрирование в которых проводится лишь по подмножеству вещественной оси <5, причем вторые оценки каждой из приведенных выше пар рассматриваются лини, на линеале РцМе. (плотном в Н при условии ограниченности спектрального проектора Рз).

В четвертом параграфе второй главы полученные результаты применены к изучению задачи подобия для операторов, каноническим образом возникающих при рассмотрении уравнений Шредингера с потенциалами нулевого радиуса н квантовой механике [ТЛ]. Именно, бьтл рассмотрен конечный набор точек » < оо в I3 и симметричный оператор Ао, являющийся замыканием оператора Лапласа —Д, определенного на линеале \ их.,) . Индексы дефекта данного симметричного оператора равны п, а семейство его расширений естественным образом отождествляется с возмущением оператора Лапласа в М3 в виде конечной линейной комбинации дельта-функций Дирака.

Основным результатом здесь является следующая теорема.

12

Теорема 2.4 При условии вещественности спектра несамосопряженного расширения А симметричного оператора Лц, оператор А оказывается оператором с чисто абсолютно непрерывным спектром; кроме того, в тех же условиях А является подобным самосопряженному оператору.

Показано также, что среди несамосопряженных, недиссипативных максимальных расширений А о имеется целое семейство операторов, удовлетворяющих условию вещественности их спектра и тем самым являющихся подобными самосопряженным.

В главе 3 исследуется вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий того, что несамосопряженный оператор L с вещественным спектром является генератором Со- группы (т.е. группы оператором TU), t £ ® в гильбертовом пространстве Н, удовлетворяющей условию Нгщ-^о T(t)x = = аг) с условием функционального роста: |(T(i)jj < М ■ /(|i|) для широкого класса функций /.

Первый параграф данной главы посвящен обзору имеющихся в литературе результатов, касающихся Co-групп и полугрупп операторов в гильбертовых пространствах {L7, L2].

Второй параграф третьей главы посвящен доказательству точности утверждения о взаимосвязи условия полиномиальной ограниченности Co-группы операторов в гильбертовом пространстве Н с набором интегральных резольвентных оценок на генератор указанной группы. Здесь устанавливается эквивалентность следующих двух условий:

J ||(¿<*> - к ± ie)~1u\\'2dk < М1- + ||U||2, (5)

и условия полиномиальной ограниченности группы exp(iLt), t € R:

||ехр(Ш)||<С(1 + |гГ). (6)

Известно [L2], что для выполнения резольвентных условий на генератор группы L (5) с показателем d необходимо выполнение условия полиномиальной ограниченности (6) с показателем s = d: достаточным же явля-

13

/

ется выполнение условия полиномиальной ограниченности с показателем в = (1/2. Точность такого «зазора» между необходимыми и достаточными условиями (в степенной шкале) показана в настоящей работе путем построения соответствующего контрпримера.

Именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1 Для всякого 7 > 0 и 6 > 0 существует такой оператор в гильбертовом пространстве Н и вектор и 6 Н, что: || ехр(?Х,^)(| < 1 + |/|7 и || ехр(гЬ,$^)|| = на некоторой подпоследовательности и вещественных чисел, удовлетворяющей условию Пт^по = оо; для е > 0, г С 1 выполнено условие \\(L¿ — к + 1е)~хи\\2йк > С{8) ■

В третьем параграфе данной главы рассматривается взаимосвязь между условием функциональной ограниченности группы операторов ещ>(гЫ) в гильбертовом пространстве Н и выполнением резольвентных оценок вида

\\0г) -к± £)~М|2& < М-д{е)\\и\\2 (7)

£

на генератор указанной группы Ь в случае, когда Ь принадлежит классу операторов, рассматриваемых в главе 1 настоящей работы и обладает чисто вещественным спектром, а функции / (||ехр(гХ£)|| < С/(|£|)) и д принадлежат достаточно широким классам. Именно:

Теорема 3.2 Пусть спектр оператора Ь абсолютно непрерывен. Тогда дли любой неотрицательной функции д € ), удовлетворяющей условию

д(е) < М < ос при е 1, из выполнения пары оценок

||(£<*> - к — 1еУ1и\\гйк < М^д{е)\\и\\2 (8)

следует, что оператор Ь является генератором Со -группы в гильбертовом пространстве Н и выполнена оценка || ехр(г£Т)Ц < М f(\t\) для всех £ £ К и функции /(4), заданной при Ь > 0 тождеством /(¿) = д( 1/4). Теорема 3.3 Пусть несамосопряженный оператор Ь, обладает лишь абео-лютно непрерывным спектром. Пусть неотрицательная функция f принадлежит классу С(1Й+) и преобразование Лапласа ее квадрата д'(г) =

14

/

= /J*"' e~2:t{f{t))'1 dt существует и конечно при всех е € (0,оо), допуская оценку д'(е) < С/е при е > 1. Для того, чтобы оператор L был генератором функционально ограниченной Co-группы в гильбертовом пространстве Я, |]exp(?Xi)H < Mf{\t\) при всех t Е К, необходимо выполнение оценок (8) с функцией д(е) = ед'(е).

Наконец, в четвертом параграфе полученные результаты применяются к анализу задачи о функциональной ограниченности Со-группы, генератором которой является оператор одномерной несамосопряженной модели Фридрихса, исследованный в главе 1.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1| Киселев А. В., Фаддеев М. М. О задаче подобия для одного класса несамосопря-жсиных операторов. Вести. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. 1996. Вып. 3.(.V»15). С. 115 110.

[2| Киселев А. В. О задаче подобия для операторов модели Фридрихса. Вести. С.Петербург. ун-та, 1998. Вып. 4 (22), С. 24-31.

[3] Киселев А. В., Фаддеев М. М. О задаче подобия для несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Функ. анал. и его приложения, 2000. Т. 34, вып. 2, С. 78-81.

[4] Kiselev' А. V. On the similarity problem for the nonselfadjoint extensions of symmetric operators. Research Reports in Math., Stockholm Univ., No. 2, 1999.

[5] Kiselev A. V. The similarity problem for the nonselfadjoint operators with absolutely continuous spectrum: restrictions to the spectral subspaces. Research Reports in Math., Stockholm Univ., No. 3, 2000.

|6| Kiselev A. V. On the resolvent properties of the generators of some Co-groups. Research Reports in Math., Stockholm Univ., No. 11, 2U00.

Цитируемая литература

[ГЛ] Верезин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. Докл. АН СССР, 1961. Т. 137, №5.

[1.2] Malejki М. Co-groups with polynomial growth (работа находится в печати).

[1.3] Набоко С. Н. Функциональная модель теории возмущений и ее приложения к теории рассеяния. Тр. МИ АН им. В. А. С'теклова, 1980. Т. 147, С. 8G-114.

[L4] Набоко С. 11. Об условиях подобия унитарным и самосопряженным операторам.

Функц. анализ и его прг1Лож.ения, 1984. Т. 18, выи. 1. С. 16-27. [L5] Павлов Б. С. Об условиях отделимости спектральных компонент диссипативного

оператора. Изв. АН СССР, сер. мат., 1975. Т. 39, 1, С. 123-148. ¡1.6) 1'ыжов В. А. Функциональная модель педиссипативного оператора ii задачи рассеяния. Канд. дис., Санкт-Петербургский Государственный университет, 1996. [L7] Секефальви-Надь В., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовых пространствах. М., Мир, 1970.

о

¿и

у

ЛР №040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 02.10.2000 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 80 экз. Заказ 1544. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика.

198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.