Анализ спектра диссипативного оператора Больцмана, спектральные особенности и функциональная модель тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

РОМАНОВ Роман Владимирович

Анализ спектра диссипативного оператора Больцмана, спектральные особенности и функциональная модель

специальность 01.01.03 - математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Ю.А.Куперин

Санкт-Петербург, 1999

Содержание

Введение...................................2

1 Функциональная модель 14

2 Линейный оператор переноса 27

§1. Предварительные сведения ...................................27

§2. Спектральный анализ оператора переноса................29

§3. Абсолютно непрерывный спектр оператора переноса . . 37

§4. Оператор переноса в трехмерном пространстве ..... 50

§5. Заключительные замечания..................60

3 Спектральные особенности и поведение оператора эволюции при больших временах 64

Приложение. Собственные функции оператора переноса в Ь1 ............................................................75

Введение

Исследование несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром было начато, по существу, в работах М. А. Наймарка и В. А. Марченко [1, 2], посвященных оператору Шредин-гера с комплексным потенциалом в неограниченном пространстве. В этих работах, в частности, было получено спектральное разложение по собственным функциям непрерывного спектра оператора и, как следствие, установлено подобие части оператора, отвечающей существенному спектру, самосопряженному оператору, при условии отсутствия на положительной полуоси точек, в окрестности которых резольвента Д(^) не удовлетворяет условию ¡[Л(^)|| < -^щ. В работе Дж. Шварца [3] такие точки были названы спектральными особенностями. Структура множества спектральных особенностей оператора Шредингера изучалась в работах Б. С. Павлова [4, 5].

С другой стороны, в работах Б. С. - Надя и Ч. Фояша [6] по дилатациям абстрактных диссипативных операторов, был выделен класс С\\ операторов, квазиподобных некоторому самосопряженному оператору с абсолютно непрерывным спектром - остаточной части своей минимальной самосопряженной дилатации. Если Ь - диссипа-тивный оператор, & Zt = t > 0, - соответствующая полугруппа, то Ь £ Сц тогда и только тогда, когда любое из равенств Пт^оо Z^f = О, Пт^оо Z¡f = 0 влечет за собой / = 0. Аналогичное построение, пригодное для более узкого класса операторов, было дано Л. А. Сах-новичем в работе [7] в рамках треугольной модели диссипативного оператора. Как известно, в рамках функциональной модели Надя -Фояша диссипативный оператор определяется своей характеристиче-

у у и <_» /-ч

скои функцией с точностью до унитарной эквивалентности. Оказа-

лось [6], что для широкого класса операторов принадлежность классу Сц означает, что его характеристическая функция является внешней. Последнее обстоятельство и было взято за основу определения оператора с абсолютно непрерывным спектром, предложенного в [7].

В соответствии с критерием Надя - Фояша, диссипативный оператор с абсолютно непрерывным спектром подобен самосопряженному в том и только том случае, если его характеристическая функция ограниченно обратима на вещественной оси. Таким образом, препятствием к существованию подобия служат вещественные нули характеристической функции. В силу известных соотношений между характеристической функцией и резольвентой, такие нули являются спектральными особенностями в смысле первоначального определения Дж. Шварца. Дальнейшее исследование диссипативных операторов методами функциональной модели показало [8], что и в общем случае, когда оператор имеет не только абсолютно непрерывный спектр, естественно выделять вещественные нули характеристической функции абсолютно непрерывной части оператора и называть их спектральными особенностями.

Проведенные исследования делают естественным вопрос о вкладе спектральных особенностей в свойства оператора. В работе В. Э. Лянце [9] была предпринята попытка дать ответ на него для конкретного оператора (оператора Шредингера на полуоси) в терминах разложений по собственным функциям непрерывного спектра. Оказалось, что сходимость разложений имеет место либо для плотного множества данных, спектральные представители которых обращаются в нуль на спектральных особенностях, либо в более слабой метрике. При этом спектральные особенности предполагались изолирован-

ными полюсами. В работе Б. С. Павлова [10] в рамках функциональной модели аналогичный результат был установлен для абстрактного оператора с абсолютно непрерывным спектром без каких бы то ни было предположений о структуре множества спектральных особенностей. Плотное множество элементов / для которых норма Т;.], где Ре - спектральный проектор, отвечающий е - окрестности множества спектральных особенностей стремится к 0 при е —» 0, которые естественно называть гладкими векторами, при этом описывается явным образом в модельных терминах. Немодельное описание множества гладких векторов было дано в работах [11, 12]. Для операторов с ограниченной мнимой частью это описание выглядит следующим образом: и является гладким вектором диссипативного оператора X, если, и только если

л/У {Ь -г) и е Я|(Е), где V = Е = Кап! \ Н\{Е) - класс Харди Е - значных функций, аналитических в верхней полуплоскости.

Основным недостатком упомянутого результата является отсутствие немодельного описания топологии, обеспечивающей сходимость спектральных разложений для всех элементов гильбертова пространства. Это наводит на мысль попытаться дать ответ на поставленный вопрос в терминах, отличных от терминов спектральных разложений. Такая попытка предпринята в предлагаемом исследовании. В настоящей работе ответ получен для некоторого класса изолированных спектральных особенностей в терминах оператора эволюции — егЬ\ порожденной исходным диссипативным оператором Ь. Он состоит в том, что если Ь имеет единственную спектральную особенность конечного вещественного порядка р, то при t > to > 0 справедлива оценка гт1 < ар, и эта оценка точна в степенной шкале. Отметим,

что при этом мы не накладываем никаких требований гладкости на поведение характеристической функции в окрестности особенности. Доказательство результата производится для функциональной модели оператора.

Другой целью предлагаемой работы было дать содержательный пример спектрального анализа оператора с абсолютно непрерывным спектром, естественно возникающего в физике. Как известно [13], несамосопряженные операторы с богатым существенным спектром появляются в линейной теории переноса частиц в качестве генераторов эволюции, описываемой нестационарным уравнением Больцмана. В качестве краевого условия при этом обычно выбирается отсутствие потока частиц на границе поглотителя, направленного внутрь размножающей среды, которая предполагается занимающей выпуклый объем. Как правило, спектр таких операторов заполняет множество положительной меры в С. Иная постановка задачи была предложена К. Фридрихсом [14]. В ней оператор переноса рассматривается во всем пространстве без граничных условий, что соответствует случаю размножающего материала, погруженного в однородный поглотитель, заполняющий собой все пространство. Такая постановка задачи представляется более пригодной, в частности, для изучения рассеяния на размножающем материале. Соответствующий оператор изучался в работе [14] для случая пластины из размножающего материала с изотропным распределением вторичных частиц. Физическим параметром в этой задаче является функция с : Ш — имеющая смысл локального коэффициента размножения. В [14] было установлено, что спектр оператора переноса в случае, когда с пропорциональна индикатору интервала, состоит из конечного множе-

ства собственных значений, лежащих на мнимой оси, и непрерывного спектра, заполняющего вещественную ось.

Опишем результаты проведенного нами исследования этого оператора. Изложенная геометрическая картина спектра, которая, как показано, справедлива при произвольном финитном с Е до-

полнена аналогом оценки Бирмана - Швингера для размерности подпространства, отвечающего дискретному спектру. Далее установлено, что компонента Тс оператора переноса, отвечающая непрерывному спектру, имеет чисто абсолютно непрерывный спектр. Эта компонента подобна самосопряженному оператору в случае, если функция с не принадлежит некоторому сингулярному множеству 8 С Ь°°( 1Л), которое вычислено до некоторой степени явным образом. Если в качестве генератора невозмущенной динамики выбрать оператор переноса, отвечающий среде без размножения, отсюда следуют существование и полнота соответствующих волновых операторов. Далее показано, что при с £ 8 оператор переноса имеет единственную спектральную особенность в точке 0. В этом случае оператор Тс подобен ортогональной сумме самосопряженного и оператора со спектром конечной кратности , которая вычислена в терминах с. Для спектральной компоненты оператора, отвечающей окрестности спектральной особенности мы также даем оценку угла между соответствующими инвариантными подпространствами. Некоторые другие сведения об операторе переноса, полученные в работе, указаны в обзоре содержания по главам.

Вывод этих результатов основан на исследовании характеристической функции оператора. Доказательство абсолютной непрерывности спектра сводится к проверке отсутствия сингулярного внутрен-

него сомножителя у скалярного кратного характеристической функции. Существование и полнота волновых операторов при с £ В являются фактами общей теории. Расщепление абсолютно непрерывной компоненты в случае наличия спектральной особенности основано на некоторой абстрактной конструкции инвариантных подпространств модельного оператора, определенных при помощи спектрального разложения оператора А = 1 — 5*5', где 5 - характеристическая функция, таким образом, что оценка угла между ними сводится к оценкам функции на вещественной оси.

Далее, в работе изучен оператор переноса в трехмерном пространстве, отвечающий случаю, когда размножающий материал заполняет конечную область в пространстве. При этом получены результаты, полностью аналогичные случаю пластины. Доказательство абсолютной непрерывности компоненты, отвечающей существенному спектру, в этой ситуации становится тривиальным, поскольку характеристическая функция Б аналитична на вещественной оси. Более того, удается показать, что особенность б1-1 при с Е В является простым полюсом. В силу изложенных результатов, отсюда немедленно вытекает оценка первого порядка для соответствующего оператора эволюции.

Следует подчеркнуть, что функциональная модель используется только в доказательствах и не участвует в формулировке результатов, относящихся к оператору переноса. Отметим также, что появление спектральной особенности в нашей задаче имеет совершенно непатологический характер. Именно, оказывается, что для любого финитного положительного с Е функция кс Е В при некоторых значениях константы к. Сказанное отличает оператор переноса от

оператора Шредингера с комплексным потенциалом, где спектральные особенности появляются ad hoc, для специально выстроенных потенциалов (см. например [3]).

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

• Конструкция инвариантных подпространств абсолютно непрерывного спектра диссипативного оператора с оценкой угла между построенными подпространствами.

• Спектральный анализ оператора переноса для пластины и финитного трехмерного тела: доказательство абсолютной непрерывности существенного спектра, исследование геометрии инвариантных подпространств и характера спектральных особенностей.

• Оценки оператора эволюции для случая спектральной особенности конечного степенного или логарифмического порядка, точные в степенной шкале. Приложение полученных оценок к оператору переноса.

Изложение полученных результатов дано в работах [15, 16, 17].

Работа состоит из введения, трех глав и приложения.

Список литературы содержит 29 наименований.

В главе 1 излагаются необходимые в работе сведения о функциональной модели диссипативного оператора. В изложении стандартного материала мы наиболее близки работам [8, 11]. Из результатов, могущих представлять методический интерес, отметим здесь формулу для кратности спектра сужений оператора на инвариантные подпространства абсолютно непрерывного спектра, полученные проекцией инвариантных подпространств остаточной части минимальной самосопряженной дилатации, данную в лемме 1.1. Найденная формула служит обобщением формулы, предложенной JI. А. Сахнови-

чем [7] (см. также [18]). Далее мы излагаем конструкцию инвариантных подпространств, соответствующих абсолютно непрерывному спектру. Оценка угла между построенными подпространствами содержится в лемме 1.2. В ходе последующего обсуждения выясняется связь между построенными подпространствами и факторизация-ми характеристической функции. Наконец, в лемме 1.3 показано, как выбрать параметры расщепления оптимальным образом, т. е. так, чтобы компонента оператора, не подобная самосопряженному, имела минимальную кратность, в том случае, если функция 5 непрерывна вплоть до вещественной оси, а оператор 5(^) — I компактен. В каче-

о

стве примера рассмотрен оператор Шредингера в Ш с комплексным потенциалом.

Глава 2 посвящена спектральному анализу оператора переноса. В §§1 - 3 изучается оператор переноса для случая пластины, в §4 -для финитного трехмерного тела. Геометрическая картина спектра операторов дается теоремами 2.1 и 2.3 соответственно. Там же приведены оценки размерности подпространств дискретного спектра. Наш вывод спектра в существенном следует работе [14], отличаясь некоторыми упрощениями и использованием современной терминологии. В предложениях 2.1 и 2.5 указаны оценки углов между подпространствами дискретного и существенного спектров, справедливые при малых с. Абсолютная непрерывность существенного спектра операторов устанавливается предложениями 2.3 и 2.6. Оставшиеся части §3 и 4 посвящены исследованию абсолютно непрерывного спектра в случае, когда имеется спектральная особенность. Полученные результаты о расщеплении абсолютно непрерывной компоненты сформулированы в теореме 2.2 и замечании 2.2 для случая пластины и в теореме 2.4

для трехмерного случая.

В главе 3 излагаются результаты о связи спектральных особенностей с поведением оператора эволюции при больших временах. Для спектральной особенности конечного порядка оценка сверху обратного оператора эволюции дается в теореме 3.1, а ее точность устанавливается теоремой 3.2. Аналогичные результаты для спектральной особенности логарифмического порядка устанавливаются теоремами 3.3 и 3.4.

В приложении показано, что оценки дискретного спектра, полученные в главе 2, сохраняют свою силу для оператора переноса в Ь1. Рассмотрение такого оператора диктуется физической постановкой задачи.

Введем некоторые обозначения, постоянно используемые в тексте.

Хм{-) ~ индикатор множества М С И,

С + - открытая верхняя полуплоскость, П( - { : : 0 < < б},

[^ь г2) = {г = + (1 - t € (0,1]} для г1)2 € €, и6(г) = {г! е € : - г'\ < <5},

||-|| - норма оператора в классе

(■,•) - угол между подпространствами гильбертового пространства. В качестве определения угла принимается формула [19]

Ш1(А.У) = ш£ \\и - г>||; (0.1)

В(-Е7) - множество ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Е.

Для оператора А в гильбертовом пространстве Н

а+(Л) = а(Л)ПС+,

Pa - ортопроектор на RanA.

Для оператор - функции F(x), заданной на множестве А, ф{х Е А : ker F(

С - любая положительная константа, точное значение которой несущественно.

Все гильбертовы пространства, вводимые в работе, предполагаются сепарабельными. Понятие измеримости, термин "почти всюду" (п. в.) и обозначения ess sup, ess inf относятся к мере Лебега на IR.

В работе вводится ряд пространств L2 с операторным весом, определяемых следующим образом. Пусть Е - гильбертово пространство, S : IR —у В(£") - ограниченная функция, заданная п. в. и такая, что S > 0. Через L2(Ж; S)

или, иногда, L (2), обозначается гильбертово пространство, получаемое замыканием линеала L2(IR, Е)/ ker S в метрике, заданной весом При этом мы не различаем в обозначениях элемент / Е L2(JR,E) и его класс эквивалентности в Ь2(Ш; S).

Приведем некоторые стандартные сведения, необходимые в дальнейшем. Пусть А - диссипативный оператор с ограниченной мнимой частью, А = А0 + iV, V = ЗА, R(z) = (А — г)-1, R0(z) = (А0 - г)'1. При г Е С + \ст+(А) выполнено резольвентное тождество R(z) — Rq(z) = —iRo(z) VR(z). Умножая это тождество на

W и разрешая полученное уравнение относительно s/VR(z), получим такие тождества:

R(z) = Ro(z) - iR0(z)VV (l + iVVR0(z)Vvyl VVR0(z). (0.2)

(7 + iVVR0(z)y/V^ (/ - iVVR(z)W^j = I.

Отсюда видно, что сг+(А) = {z Е €+ : —1 Е <i(Q(z))}, где Q(z) — iVVR0

(z)W - аналитическая функция в (D + . Дадим удобную для на-

ших целей версию теоремы Вейля об относительно компактных во�