Задачи устойчивости и подобия для некоторых классов несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Несамосопряженные операторы с абсолютно непрерывным спектром: условия ограниченности спектральных проекторов

1.1. Постановка задачи.

1.2. Функциональная модель для несамосопряженного оператора

1.3. Задача подобия и достаточные условия ограниченности спектральных проекторов.

Исследование устойчивости по Ляпунову уравнения Шредингера

1 du(t) г dt Lu(t) с несамосопряженным оператором L приводит нас к эквивалентной задаче о равномерной по t ограниченности операторной экспоненты exp (iLt) [38] и, таким образом, к задаче о подобии оператора самосопряженному. В том случае, когда оператор L подобен самосопряженному, для него выполняется аналог спектральной теоремы, справедливой для самосопряженных операторов, с ограниченными (вообще говоря, неортогональными) спектральными проекторами. Также в указанном случае мы имеем возможность строить функциональное исчисление для оператора L и решать исходное нестационарное уравнение, используя операторную экспоненту. В наиболее простой форме данное функциональное исчисление может быть построено в случае, когда исследуемый оператор имеет лишь абсолютно непрерывный спектр [24, 25, 26].

Тем самым, актуальным является вопрос о нахождении условий, при которых спектральные проекторы оператора L, соответствующие произвольным борелевским подмножествам его спектра, являются ограниченными, и, в общем случае, вопрос о подобии оператора L самосопряженному (для чего необходима и достаточна совокупная ограниченность всех его спектральных проекторов). Такие условия известны в терминах резольвенты оператора [38, 28, 45], а также в терминах характеристической функции оператора [26, 38, 27]. С точки зрения математической физики, наибольший интерес вызывают критерии подобия и достаточные условия ограниченности спектральных проекторов для конкретных операторов, например, для операторов модели Фридрихса, представляющих собой возмущения операторов умножения на независимую переменную и возникающих при записи оператора Шредингера в импульсном представлении, или дифференциальных операторов, как, например, оператора Лапласа в М3 с потенциалом, представляющим собой конечную линейную комбинацию дельта-функций.

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов устойчивости, формулированию критериев подобия операторов самосопряженным и условий, достаточных для ограниченности соответствующих спектральных проекторов, в терминах, удобных для использования. В частности, для широкого класса несамосопряженных операторов, являющихся аддитивными возмущениями самосопряженных, в случае абсолютной непрерывности их спектра удается получить необходимые и достаточные условия их подобия самосопряженным операторам, а также простые достаточные условия ограниченности спектральных проекторов, соответствующих произвольным борелевским подмножествам их спектра. На базе полученных результатов оказывается возможным получать простые достаточные условия подобия для операторов модели Фридрихса с одномерным возмущением. Аналогичные результаты, полученные для несамосопряженных расширений симметричных операторов с равными (возможно, бесконечными) индексами дефекта дают возможность получать эффективные достаточные условия подобия самосопряженным для, например, операторов Лапласа с потенциалом, сконцентрированным в конечном наборе точек трехмерного пространства.

Наконец, в общем случае функционально ограниченных Со-групп операторов, ехр(Ш)||<М/(|*|), te К, удается получить необходимые и достаточные условия такой ограниченности в терминах интегральных оценок для резольвенты генератора группы вдоль его спектра и показать точность полученных таким образом результатов в случае абсолютной непрерывности спектра упомянутого генератора.

В первой главе работы предметом исследования являются несамосопряженные операторы вида L = А + iV в гильбертовом пространстве Н, являющиеся аддитивными возмущениями самосопряженных, в случае, когда самосопряженный оператор V сильно подчинен оператору А, т. е. D(V) С D(A) = D(L) и для всех и € D{A) и некоторых a, b;a < 1 выполнено условие \\Vu\\ < о||Ам|| + 6||м||, см. [13]. В случае наложения на спектр изучаемых операторов ряда ограничений, оказывается возможным сформулировать необходимые и достаточные условия подобия таких операторов самосопряженным в терминах интегральных оценок для резольвенты оператора «на вещественной оси». Первый параграф главы содержит постановку задачи и описание имеющихся результатов, используемых при исследовании.

Второй параграф посвящен описанию функциональной модели (построенной в [26]) для операторов указанного класса, при использовании которой и оказывается возможным получить упомянутые выше результаты. В качестве модельного пространства выбирается пространство ди-латации [32, 38] диссипативного оператора, «близкого» к исследуемому и построенного по нему следующим образом: если L = А + iJa2/2, где

J = signV, a = |2y|V2, то диссипативный оператор Lft выбирается равным А + га2/2. Модельным пространством в этом случае будет являться подпространство К гильбертова пространства % двухкомпонентных вектор-функций (д, д) со значениями во вспомогательном гильбертовом пространстве Е = R(a). Норма в пространстве % вводится по правилу шаьди ?)C)'C)L* R где S (А) — характеристическая (сжимающая при ImX > 0) аналитическая оператор-функция диссипативного оператора LK определенная тождеством

S(\) = 1 + ia{L~II - Л)1о:, ImX > 0, a S(k) — ее граничные значения на вещественной оси, понимаемые в сильном смысле [38].

Подпространство К С И выделяется условиями

9 + S*geHl(E), + то есть функции д + S*g, Sg + д допускают аналитическое продолжение в нижнюю (соответственно, верхнюю) полуплоскости. Известно [31], что диссипативный оператор L" унитарно эквивалентен генератору сжимающей полугруппы Ztu = PKeltxu(x), и € К.

Мы можем выписать формулы для действия резольвенты оператора L в описанной функциональной модели. Данные формулы включают в себя, в частности, характеристическую функцию оператора L,

6(A) = / + iJa(L* - А)1а, ImX ф 0, а также операторы, задающую ее факторизацию в виде отношения двух ограниченных оператор-функций, обладающую свойством тре-угольности относительно разложения вспомогательного гильбертова пространства Е в ортогональную сумму подпространств Е = (Х+Е) ф

В работе [24] определяется абсолютно непрерывное подпространство Ne оператора L в модельных терминах, являющееся замыканием в К линеала Ne «гладких векторов» оператора. В терминах исходного гильбертова пространства Я линеал Ne может быть описан следующим образом:

Ne = {и € Я : a{L - A)1u е Я|(Я)}, то есть указанные вектор-функции являются аналитическими одновременно в верхней и нижней полуплоскостях и принадлежат векторным классам Харди в них [10].

На указанном линеале описание действия резольвенты оператора L в модельных терминах резко упрощается:

9J k — X \дJ что позволяет, выписав резольвентные оценки

ОО supe [ \\(L-k-ie)-lu\\2dk<C\\u\ £>0 J оо 00 sup s f \\(L*-к- ie^ufdk < C\\u\ e>0 J необходимые и достаточные [28] для подобия оператора L самосопряженному, в модельных терминах, осуществить в них предельный переход под знаком интеграла, переписав вслед за этим полученные результаты в терминах исходного гильбертова пространства Н и действующих в нем операторов.

На множестве гладких векторов в модельном представлении может быть в простой форме выписано и действие спектрального проектора V$ оператора L, соответствующего произвольному борелевскому подмножеству вещественной оси

ЪРк I ) = I ) •

Отмеченная выше специфика несамосопряженного оператора с абсолютно непрерывным спектром позволяет в третьем параграфе доказать следующие результаты.

1. При условии абсолютной непрерывности спектра оператора L критерием его подобия самосопряженному оказывается выполнение следующей пары оценок на всех и € Н: к в{к - iO)JQ*(k - iO) - J)X+a(L~" -к- iO)~\

X+a(L-" -к- iO < C||it||2

J -&*(k + iO) JO (к + iO))ALa(L"H -k — iO)"4

Xa(L~]l -k- ioy^dk < C\\u\\2, либо же выполнение другой пары оценок, в которых уже в явном виде фигурирует резольвента исследуемого оператора L:

J((/ - S*(k)S(k))X+a(L - к- гО)~Ч к

X+a(L -к- iti)-lu)dk < С\\и\\2 j((I - S*(k)S{k))X-a{L* - к - гО)~Ч R

X-a{L* -к- ioy^dk < С\\и\\2.

2. Аналогичные интегральные оценки, отличающиеся от приведенных выше лишь тем, что в них интегрирование ведется уже не по всей вещественной оси, а по произвольному борелевскому подмножеству 5 ее, рассмотренные на плотном в Н линеале «гладких векторов» оператора Ne, служат достаточными условиями ограниченности спектрального проектора Vg, соответствующего участку спектра оператора L, заключенному в 5.

3. Наконец, доказано, что для ограниченности спектрального проектора Vs, соответствующего борелевскому подмножеству спектра оператора достаточно в том числе и выполнения любой из выписанных выше пар оценок, интегрирование в которых по-прежнему ведется лишь по подмножеству вещественной оси §, но, в отличие от предыдущего результата, вторые оценки каждой из приведенных выше пар рассматриваются лишь на линеале VgNe (плотном в VgH при условии ограниченности спектрального проектора Vg).

В четвертом параграфе первой главы полученные результаты применяются к анализу задачи об ограниченности спектральных проекторов (а следовательно, и к анализу задачи подобия) для оператора одномерной несамосопряженной модели Фридрихса в 1/2(

Lu)(x) = хи(х) + (и, <р)ф(х), и,<р,ф G L2

В частности, в случае, когда на функции (р, ф, задающие возмущение, наложены условия ((р, ф) = 0; = = 1, получены достаточные условия ограниченности спектральных проекторов, отвечающих подмножеству спектра S, в форме, удобной для непосредственного применения.

Именно, при условии абсолютной непрерывности спектра оператора L показано, что для ограниченности спектрального проектора Vg достаточно ограниченности сингулярных интегральных операторов в Ь2{ задаваемых ядрами i-if^zM*) t-k-iO w D(k + i 0) t-k-iO* где щХ) = 1 + /2ЙШ*определитель возмущения задачи, £)*(Л) = D{Л).

Более того, показано, что при условии наложения на функции <р, г[>, определяющие возмущение, дополнительного условия их гладкости, сформулированные выше достаточные условия ограниченности спектральных проекторов могут быть значительно упрощены.

Именно, в случае, когда <р,ф Е Са(R), а > 0, для ограниченности спектрального проектора Vs достаточно ограниченности сингулярных интегральных операторов, задаваемых ядрами Х§{к) , Xg(k) j0, как операторов, действующих из 1/2 в пространства щ^щ^)-, о.(*+й))р)» соответственно.

Во второй главе настоящей работы рассматривается круг вопросов, связанных с анализом задачи подобия для несамосопряженных расширений симметричных операторов А0 в гильбертовом пространстве Я, обладающих равными (возможно, бесконечными) индексами дефекта. В первом параграфе описывается постановка задачи и средства, применяемые в дальнейшем для ее решения.

Во втором параграфе описывается построение функциональной модели для рассматриваемого класса операторов [36]. Такая функциональная модель может быть построена средствами, аналогичными применяемым при описании аддитивных несамосопряженных возмущений самосопряженных операторов, при использовании аппарата теории пространств граничных значений симметричных операторов [43, 20, 9, 12].

Тройка (Н, Гх,Г2) называется пространством граничных значений для оператора А0, если для всех элементов /, д е Da*

Л*/, д)н - (/, А*0д)н = (Г1/, Т2д)и - (Г2/, и отображение 7, определенное следующим правилом: / i—> (Г1/; Г2/), / G Da*, обладает следующими свойствами: Щ'у) = для любых

Yi,Y2 G % найдется элемент у G Da* такой, что г\у = П, Г2у = Y2.

Известно [9], что в том случае, когда индексы дефекта симметричного оператора А0 равны друг другу и конечны, у оператора Aq существует пространство граничных значений, а любое нетривиальное расширение А оператора Aq может быть описано следующим образом (класс расширений, для которых возможно такое описание, называется классом почти разрешимых расширений для оператора А0): е Одв тогда и только тогда, когда Tif = ВГ2/, где В — линейный ограниченный оператор в

Рассмотрим полярное разложение ограниченного линейного оператора ImB = (В —В*)/2г, действующего в пространстве Е = clos(R(ImB)), /гаБ = Ja2, где а = l/mi?!1/2, J = sign (ImB IE1). Характеристическая функция оператора Ад, являющегося расширением оператора Ло, соответствующим оператору В, в этом случае определяется следующей формулой:

Л) = 1\Е + 2iJa{B* - М(Х)У1а\Е, Л € р(А*в), где М(Х) — функция Вейля симметричного оператора Ао, т.е. аналитическая оператор-функция как в верхней, так и в нижней полуплоскостях комплексной плоскости, определяемая равенством

М(А)Г2/а = Гх/а, /а € kerK - Щ А е С±.

Характеристическая функция ©(А) оператора А в обладает факторизацией в виде отношения двух ограниченных оператор-функций в каждой из полуплоскостей, обладающей свойством треугольности относительно разложения пространства Е в прямую сумму Е = Х+Е ф Х^Е, X± = (I±J)/2.

В этих терминах функциональная модель для оператора А = Ав, являющегося соответствующим ограниченному оператору В почти разрешимым расширением симметричного оператора Aq с равными индексами дефекта, строится вполне аналогично случаю несамосопряженного аддитивного возмущения самосопряженного оператора. Именно, в качестве стандартного диссипативного оператора выбирается диссипатив-ное расширение А+, соответствующее оператору В+ = ReB + га2, а в качестве модельного пространства К — подпространство гильбертова пространства f) двухкомпонентных вектор-функций (д, д) с метрикой

-оо где S (к) — граничные значения (понимаемые в сильном смысле) аналитической, сжимающей в верхней полуплоскости характеристической функции S(А), соответствующей оператору А+. Подпространство К выделяется следующими условиями:

К = Ш, д) € Я : д +Где Щ{Е), Sg + ge Н+(Е)} и обладает тем свойством, что резольвента диссипативного расширения А+, {А+ — А)-1, унитарно эквивалентна оператору РК(к — А)1|й- для всех А из нижней полуплоскости.

Действие резольвенты недиссипативного расширения А симметричного оператора Aq может быть выписано в описанном модельном представлении; при этом на «гладких векторах» оператора А, то есть на линеале, выделяемом свойством

Ne = {и е Н : аГ2{А - Л)1и € НЦЕ)}, оно описывается в модельном представлении следующим образом:

Л-ЛоГ^^ =Pj \9j

Абсолютно непрерывное подпространство оператора А определяется как замыкание линеала Ne в метрике исходного гильбертова пространства Н] спектральные проекторы V$ на борелевское подмножество абсолютно непрерывного спектра оператора А описываются в функциональной модели той же формулой, что и в случае аддитивных несамосопряженных возмущений самосопряженных операторов:

V5PK fff) = PkXs ('■^ , Рк (9\ € Ne.

9J \9/ \9/

В третьем параграфе второй главы на базе данной функциональной модели для несамосопряженных расширений симметричного оператора Aq с равными индексами дефекта получен ряд результатов о подобии саг мосопряженному и ограниченности спектральных проекторов для несамосопряженного расширения А с лишь абсолютно непрерывным спектром. В частности, оказываются справедливы следующие результаты, аналогичные соответствующим результатам главы 1.

1. При условии абсолютной непрерывности спектра оператора А критерием его подобия самосопряженному оказывается выполнение следующей пары оценок на всех и € Н:

R /

А; - iO)JQ*{k - гО) - J)X+aT2(A*+ -к- гО)~У Х+аГ2(А*+ -к- iO)~1u)dk < C\\uf

J -©*(& + iO)JQ(k + Щ)Х-аТг(А\ -к- i0)~\ Х-аГй(А*+ -к- iO )~lu)dk < C||w||2, либо же выполнение другой пары оценок, в которых уже в явном виде фигурирует резольвента исследуемого оператора А:

J {{I - S* (k)S(k))X+ аГ2 {А -к- iO)"V к

X+aT2{A -к- iO)1u)dfc < C|)w||2

J {{I - S*(k)S(k))X^aF2(A* -k- iO )~4 к

ХаГ2(А* -к- i$)-lu)dk < C\\u\\2.

2. Аналогичные интегральные оценки, отличающиеся от приведенных выше лишь тем, что в них интегрирование ведется уже не по всей вещественной оси, а по произвольному борелевскому подмножеству 8 ее, рассмотренные на плотном в Н линеале «гладких векторов» оператора Ne, служат достаточными условиями ограниченности спектрального проектора Vs, соответствующего участку спектра оператора А, заключенному в S.

3. Наконец, доказано, что для ограниченности спектрального проектора Vg, соответствующего борелевскому подмножеству спектра оператора <5, достаточно в том числе и выполнения любой из выписанных выше пар оценок, интегрирование в которых по-прежнему ведется лишь по подмножеству вещественной оси 8, но, в отличие от предыдущего результата, вторые оценки каждой из приведенных выше пар рассматриваются лишь на линеале VgNe (плотном в VgH при условии ограниченности спектрального проектора Vg).

В четвертом параграфе второй главы полученные результаты применены к изучению задачи подобия для операторов, естественным образом возникающих при рассмотрении уравнений Шредингера с потенциалами нулевого радиуса в квантовой механике. Именно, был рассмотрен конечный набор точек {хв}™=1, п < оо в R3 и симметричный оператор Aq, являющийся замыканием оператора Лапласа —А, определенного на линеале Q*3(К3 \Uxs) [2, 1, 33]. Индексы дефекта данного симметричного оператора равны п, а семейство его расширений естественным образом отождествляется с возмущением оператора Лапласа в К3 в виде конечной линейной комбинации дельта-функций Дирака.

Основным результатом здесь является следующее утверждение: при условии вещественности спектра несамосопряженного расширения А симметричного оператора Aq, оператор А оказывается оператором с чисто абсолютно непрерывным спектром; кроме того, в тех же условиях А является подобным самосопряженному оператору. Доказано, что среди несамосопряженных, недиссипативных расширений Aq имеется целое семейство операторов, удовлетворяющих условию вещественности их спектра и тем самым являющихся подобными самосопряженным.

В главе 3 исследуется вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий того, что несамосопряженный оператор L с вещественным спектром является генератором Co-группы (т. е. группы операторов T(t), t е!в гильбертовом пространстве Н, удовлетворяющей условию lim^o T(t)x = х) с условием функционального роста:

T(t)||<M./(|*|) для широкого класса функций /.

Первый параграф данной главы посвящен обзору имеющихся в литературе результатов, касающихся Co-групп и полугрупп операторов в гильбертовых пространствах. Для классов несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром, исследованных в главе 1 настоящей работы (аналогичное утверждение справедливо и для класса операторов, рассмотренного во второй главе), доказано следующее утверждение (см. также [8]).

Критерием того, что несамосопряженный оператор L с абсолютно непрерывным спектром является генератором равномерно ограниченной полугруппы exp(iLt), t > 0 в гильбертовом пространстве Н, служит выполнение следующей пары интегральных оценок на вещественной оси для всех и € Н:

J ((В (к - iO)JQ*{k - iO) - J)X+a(L~]] -к- гО)~Ч r

X+a(L~n -к- гО)~ги)йк < С\\и\\2 J ((В* (к - iO)JB(k - iO) - J)X+a(l)\ -к + г0)~\ к

X+a(L^ -k + iQ)-lu)dk < C||it||2, где 0(A) — характеристическая функция оператора — диссипативный оператор, стандартным образом построенный по L, и сопряженный к нему. В эквивалентной форме последнее условие записывается следующим образом:

J((I - S*{k)S{k))X+a{L -к к

X+a{L -к- iO )~lu)dk < C||u||2

J((/ - S(k)S*(k))X+a(L* -к + i0)~\ r

X+a(L* -k + iO)~lu)dk < C\\u\\2, для всех и € H, где S(Л) — характеристическая оператор-функция дис-сипативного оператора 1} L

Второй параграф третьей главы посвящен доказательству точности утверждения из работы [23] о взаимосвязи условия полиномиальной ограниченности Co-группы операторов в гильбертовом пространстве Н с набором интегральных резольвентных оценок на генератор указанной группы. Здесь устанавливается эквивалентность следующих двух условий:

J || (L -к± is)-lu\\2dk < Afi R

J || (L*-k± ie^ufdk 1 + ^ |M|2, r и условия полиномиальной ограниченности группы exp (iLt), t б М: ехр(гХ£)|| < С(1 + |£|s).

В работе [23] показано, что для выполнения резольвентных условий на генератор группы L с показателем d необходимо выполнение условия полиномиальной ограниченности с показателем s = d; достаточным же является выполнение условия полиномиальной ограниченности с показателем s = d/2. Точность такого «зазора» между необходимыми и достаточными условиями (в степенной шкале) показана путем построения соответствующего контрпримера.

В третьем параграфе данной главы рассматривается взаимосвязь между условием функциональной ограниченности группы операторов exp {iLt) в гильбертовом пространстве Я и выполнением резольвентных оценок вида r /

L -k±ie)~1u\\2dk < M-g{e)\\uf

L* - k±ie)-\fdk < M^g{£)\\uf, на генератор указанной группы L в случае, когда L принадлежит классу операторов, рассматриваемых в главе 1 настоящей работы и обладает чисто вещественным спектром, а функции / (|| exp(iLt)|| < Cf(\t\)) и д принадлежат достаточно широким классам. Полученные результаты хорошо согласуются с известными [23] для случая полиномиально ограниченных Со-групп.

Наконец, в четвертом параграфе полученные результаты применяются к анализу задачи о функциональной ограниченности Со-группы, генератором которой является оператор одномерной несамосопряженной модели Фридрихса, исследованный в главе 1. Показано, что при условии выполнения следующей пары условий для некоторой неотрицательной

14 функции д € C(R+), удовлетворяющей условию д{е) < М < оо при £> 1, где V(u){А), (Р+«)(А) — соответственно, преобразование Пуассона функции и и проектор Рисса на Н2 в L^ (М), оператор L является генератором Co-группы в пространстве и || ехр(гХ£)|| < Mf(\t\) для всех t е 1 и функции f(t), заданной при t > 0 тождеством f(t) = g(l/t).

По теме диссертации опубликовано 6 научных работ ([14, 15, 16, 17,

1 [Р(\ф\2)(к + 1б))^2 • Р+(. < Сд1/2{е) II—2)(k + is)]^ • Р+(. ф)\\ < Сд1^),

18, 19]).