Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и дифференциальных операторов, определенных интегральными краевыми условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи Дербушев Алексей Валерьевич

Метод подобных операторов в спектральном анализе

операторов Дирака и дифференциальных операторов, определенных интегральными краевыми

условиями

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

1 9 МАЙ 2011

ВОРОНЕЖ - 2011

4846757

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Пискарев Сергей Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович.

Ведущая организация: Липецкий государственный технический университет

Защита состоится "07" июня 2011 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета - Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.335

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "28" апреля 2011 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.Г"

доктор физ.-мат. наук, профессор

Смагин В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основой многих направлений исследований в совремешшом анализе служат спектральные теории, связанные с тем или иным понятием спектра, а также функциональным исчислением для дифференциальных замкнутых операторов. Здесь нужно подчеркнуть особо важную роль, которую играет понятие спектра и проблеме гармонического анализа векторов из гильбертовых пространства, в котором действует некоторая группа операторов.

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов и оператора Дирака. К таким относятся дифференциальные операторы, определяемые нелокальными краевыми условиями, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (А.Л.Скубачевский1 , В.В. Власов2, Л.С.Пулькина3, Ю.Т.Сильчеико4). При данном существенно используется теория представлений одпопараметрических групп операторов.

Изучение оператора Дирака осуществлялось рядом авторов, особенно отметим статью П.Джакова, Б.С.Митигина5.

1Скубачевский A.JI. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в L2(0; 1) / А .Л. Скубачевский, Г.М. Стеблов // Докл. АН СССР. - 1991. - Т.321, №6. -С. 1158-1163.

2Власов В.В. О некоторых спекральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных операторов / В.В. Власов // Успехи ыатем. наук. - 1998. - Т. 53, ДМ. - С. 217-218.

3Пулькина JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Матем. заметки. - 2001. - Т.70, ЛМ. - С. 88-95.

4Сильченко Ю.Т. Резольвента оператора дифференцирования второго порядка с параметром в нелокальных условиях. / Ю.Т. Сильченко // Труды математического факультета ВГУ. - 2005. -Т.9. - С.51-56.

5Джаков П., Митягин B.C. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов

При попытке исследования оператора Дирака Ldir общими методами теории возмущений возникает несколько затруднений, связанных с наличием таких свойств как:

(a) расстояние между собственными значениями невозмущеиного оператора Ladir не уходит в бесконечность;

(b) возмущение (оператор умножения на потенциал v) не является ограниченным оператором.

Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши. Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения данного метода. В качестве метода исследования в диссертации выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов, абстрактным вариантом замены Крылова - Боголюбова. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А — Bq\ где Во имеет несложную по отношению к А структуру. Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О.® для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером7 для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному

Шрёдингера и Дирака./П. Джаков , B.C. Митягин // УМН. - 2006. - Т.61. - Л">4. - С.77-182.

6Фридрихс К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К.О. Фридрихе.// М. : Мир, 19С9. - 232 с.

'Turner R.E. Perturbations of compact spectral operators / R.E. Turner // Communications on pure and appeied mathematics. // 1965. - V. 18. - P. 519-541.

оператору в базисе невозмущепного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Цель работы.

1. Получение оценок собственных значений и спектральных проекторов для дифференциальных оператора с нелокальными краевыми условиями ;

2. Построение оператора преобразования оператора Дирака к оператору с блочно-диагональной матрицей ;

3. Доказательство спектральности по Данфорду оператора Дирака;

4. Получение оценок собственных значений и проекторов Рисса для оператора Дирака;

5. Получение формулы регуляризованных следов для оператора Дирака.

Методика исследований. Основным методом исследования рассматриваемых классов диффиренциальпых операторов и оператора Дирака являются метод подобных операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получены оценки собственных значений и спектральных проекторов для одного класса дифференциальных оператора с нелокальными краевыми условиями ;

2. Установлено подобие оператора Дирака оператору, матрица которого имеет блочно-диагональный вид;

3. Доказана спектральность по Дапфорду оператора Дирака;

4. Получены оценки собственных значений и проекторов Рисса для оператора Дирака;

5. Получена формула регуляризованных следов для оператора Дирака.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейшем развитии спектральной теории оператов и метода подобных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2008 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2010 г.) "Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения"(г. Воронеж, 2010 г.) на "21 Крымской осенней математической школе-симпозиуме"(г. Севастополь, 2010 г.), и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики.

Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10]. Работы [1],[7],[10] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. Из совместной публикации [10] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 69 источника. Общий объем диссертации - 98 страниц.

Содержание работы

Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, обсуждается тема работы, ее цели

и задачи. Дано общее описание основных направлений и методов исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

Пусть X - комплексное банахово пространство, EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Определение 1.1. Два линейных оператора Ai : D(Ai) С X —> X, г = 1,2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U е EndX такой, что UD(A2) — D(Ai) и AiUx — UA2x, х G D(A2). Оператор U называется оператором преобразования оператора Ai в А2.

Сформулированное определение симметрично относительно порядка рассматриваемых операторов, т.е. U'1 является оператором преобразования А2 в А\. Подобные операторы обладают рядом одинаковых спектральных свойств. Наиболее важные отображены в следующей лемме .

Лемма 1.1. Пусть Л, : D(Ai) С X —■> X, i = 1,2, - два подобных оператора, и U £ End X — оператор преобразования оператора Ai в оператор А2. Тогда справедливы следующие свойства

1) а{А{) = ст(Л2), ad{Ai) = ad{A2), сгс(^4х) = <rc(A2), a^At) = аг(А2),

где ст(Л;), od(Ai), сгс(Л*), ar(Ai), г = 1,2, — спектр, дискретный,

непрерывный и остаточный спектры операторов Л*, г = 1,2, соответственно;

2) если оператор А2 допускает разложение А2 — А2\ 0 А22, где A2k = А | Хк, к = 1,2, — сужение А2 на Xt относительно прямой суммы X = Х\ 0 Х2 инвариантных относительно А2 подпространств Х\,Х2, то подпространства X^ = U{Xk), к — 1,2, инвариантны относительно оператора Ai и Ai = Аи Ф Л12, где Лц = Л | Xк = 1,2, относительно разложения X = Х\ 0 Х2. Кроме того, если Р — проектор,

осуществляющий разложение X = Ai 0 Д^ (т.е. Х\ = Im Р — образ проектора Р, = Im (I — Р)), то проектор Р, осуществляющий разложение X = Х\ ф Х2, определяется формулой

Р = UPU~\

3) если во - собственный вектор для оператора А2, отвечающий собственному значению Ао, то вектор ¡Jeо является собственным вектором оператора Ai, отвечающим тому же собственному значению Ло оператора Ai.

Символом £А(Х) обозначим банахово пространство операторов, действующих в X и подчиненных оператору А, т.е. линейный оператор В : D(B) С X —► X принадлежит £д(Л?), если D(B) D D(A) и конечна величина ||В|Ц = inf{C > 0 : ||Бх|| < С(||ж|| + ||Аг||), х G D{A)}, принимаемая за норму в ¿л(Л') то есть ||В|| = ||В||л = infC.

Далее будет рассматриваться трансформатор (т.е. линейный оператор в пространстве линейных операторов; терминология М.Г. Крейпа) айл '■ D(adA) С EndX -> EndX

adAX = АХ- XA, X G D(adA)

с областью определения D(adA), состоящей из операторов X G EndX, обладающих свойствами:

1) XD{A) с D{A);

2) оператор АХ — XA : D(A) —> X допускает ограниченное расширение по непрерывности У па X (и полагается adAX = Y).

Важнейшим понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки .

Определение 1.3. Пусть И —линейное подпространство из £А(Х) и

J:il->il, T:ü-*EndX

являются трансформаторами. Тройку (И, J, Г) назовем допустимой тройкой для (псвозмущеппого) оператора А, а И — допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1) И — банахово пространство (со своей нормой || • ||*). непрерывно вложенное в £а(Х) (т.е. существует постоянная С > 0 такая, что ЦХЩ < СЦЛ'Ц», для любого А' G Я);

2) J и Г — непрерывные трансформаторы, причем J -- проектор;

3) {TX)D(A) С D(A). Более того, ТХ G D{adA), причем

adATX = АГХ - (ГХ)А = X - JX УХ G И. Кроме того. ГХ G End X — единственное решение уравнения adAY = AY - YA = Х- JX,

удовлетворяющее условию JY = 0:

4) XTY, (rX)F G И, УХ, Y € 11, и существует постоянная 7 > 0 такая, что

||Г|| < 7, max{\\XTY\\t, ||(ГХ)У||.} < 7||*||.Г1|.;

5) для любого X £ ÍI и любого е > 0 существует число Аг G р{А), такое, что ||Х(А - Лг/)_1|| < е.

Теорема 1.1. Пусть (И, J, Г) — допустимая для оператора А : D(A) С X X тройка, и В - некоторый оператор из пространства допустимых для А возмущений Д. Тогда если выполнено неравенство

1И1И1.||г||<

то оператор А — В подобен оператору А — JX, где оператор X G 11 является решением (нелинейного) уравнения

X = ВГХ - (ГX)(JB) - (TX)J{BTX) + В = Ф(Х),

которое можно найти методом простых итераций, полагая с Хц = О, Xi = В, и т.д. (оператор Ф : Н —> 11 является сжимающим в шаре {X € 11 : \\Х — В\\ < 3||£?||}). Преобразование подобия оператора А — В в оператор А — JX осуществляет оператор I + ГХ € End, X.

Пусть А - линейный дифференциальный оператор действующего в L2 = ¿2(0,1), задаваемый областью определения

Ах = ix,D(A) = {х€ №¿(0,1) : х(0) = z(l) + [ a(s)x(s)ds},

Jo

A: D{A) с i2(0,1) -» ¿2(0,1),

где функция а принадлежит гильбертову пространству ¿2 = ¿2(0,1) , измеримых и суммируемых с квадратом модуля комплексных функций, определенных на отрезке [0,1].

Лемма 1.2. Оператор А замкнут и его область определения D(A) плотна в ¿г(0,1).

Теорема 1.4. Спектр оператора А представим в виде двусторонний последовательности чисел {Аи,п 6 Z}, для которой выполнено свойство

У^ |А„ - 2тт\2 < оо.

neZ

Через Рп, Рп, п G Z, обозначены проекторы Рисса, отвечающие, соответственно, собственному значению 2пп невозмущеппого оператора А и собственному значению А„ оператора А = А — В.

Теорема 1.5. Для систсм проекторов {Рш Рц-i и £ имеет место свойство

£||Р„-Р„||2<00.

neZ

Таким образом, система проекторов {Р,(} является квадратично близкой к системе проекторов

Вторая глава диссертации посвящена исследованию спектральных свойств оператора Дирака.

Пусть ¿2 ([0, я-], С2) = ¿2[0,7г] х Ь2\0,7г] - гильбертово пространство измеримых на [0,7г] со значениями в С2 функций х = (xi,x2) : [0,тт\ —> С2, для которых конечна величина

(П\хм2+\х2(ф<1Ф = и-

J о

Скалярное произведение в L2 ([0, я-],С2) определяется формулой

1 Г* - 1 _

(х,у) = - xi (т)уг{т)с1т + - х2(т)у2{т)Лт,

к Jо я" Л

где х = (хих2),У = (2/1,2/2) е Ь2 ([0,тг],С2).

Через W\ ([0,7г],С2) обозначим пространство Соболева {у £ ¿2 ([0,тг], С2): г/ абсолютно непрерывна и 2/' £ ¿2 ([0,7г], С2)} со

скалярным произведением < х,у >= (х,у) + (х',у'), х,у £

И^ао.тгьс2).

Рассматривается оператор Дирака

Ldir : D(Ldlr) С Ь2 ([0,тг],С2) - Ь2 ([0,тг],С2) (\ o\dy , г .

где v(t) = ( ^ ], t £ [0,тг], Р, Q G ¿2[0,7г]. Область определения

\Q{t) О J

D(Ldtr) определяется краевым условием Дирихле.

D(Ldir) = {уе W} ([0, тг], С2 : У1(0) = у2(0), 2/1(7г) = у2(тг))} ,

соответствующий оператор будут обозначаться через Ldir- Если v = О (нулевой потенциал), то используется запись L°dir. Оператор Ldir будет называться свободным, оператором Дирака. Он, как правило, при изучении оператора Ldir будет играть роль певозмущепного оператора, а

оператор умножения на потенциал V - возмущения. Особо отметим, что не делаются ограничения на v, гарантирующие самосопряженность возмущения, и какие-либо дополнительные ограничения (тина гладкости), кроме условия » е ¿2 ([0,7г],С2).

Оператор является самосопряженным с дискретным спектром : а(Ь^г) = Ъ . каждое собственное значение простое и соответствующая нормированная собственная функция имеет вид = -^(е,1, + е2), где

Спектральные просторы Р^, к £ Ъ имеют вид Рп — (х, еп)еп. Всюду в дальнейшем Н = Ь-2{{0,7г]. Трансформаторы 7, Г : —»

—> имеют вид

2л-

где Т : К —> End Л - группы изометрий. заданная формулой T(t)x — £IieZ emtPnx, х £ ft, t £ R ¡1 / : R —► С — периодическая периода 2п функция вида f{t) = i(t-w),t £ [0,2тг).

Рассмотрим последовательности трансформаторов (Jm), (Гт), m £ N[J{0} = Z+, определяемые равенствами:

JmX = РЫХР(Щ) + Y, p^xpk = J(X - P{m)XP[m)) + P{m)XP{m),

(JX)x = — / T{t)XT(-t)xdt, X £ £a{H),x£ D{A),

0

(ГЯ> = J f(t)T(t)XT{-t)xdt,X £ ZA{H),x £ D(A)

0

|fc|>m+l

ГША- = Г(Х - Р(,„)АТ(ш)),А' 6 £а(П),

где P(m) = X) Я-

|fc|<m

В условиях следующей теоремы рассматриваются операторы -]кВ. Г кВ, ВГкВ, (ТкВ)^кВ), В, допускающие ограниченное расширение до операторов Гильберта Шмидта из вг^.л-)- Отметим, что Итк^\\ГкВ\\2 = 0.

Теорема 2.4. Если число к € Z+ таково, что ЦГ^ВЦг < 1, (т.е. оператор I + Г ¡¿В обратим), то оператор = А — В, где А = В - оператор умножения на v, подобен оператору

Ь<Иг = ь%г - В,

где

В = ЗкВ + (/ + ТкВ)~\ВТкВ - (Гквукв),

причем имеет место равенство

(А - В)(1 + ТкВ) = (I + ГкВ)(А - В). Оператор В представим в виде

в = зв + вгв - (гB)JB + с е 62(12.^),

где оператор С принадлежит идеалу 6\(Ь2Л) ядерных операторов, определенных па ¿2,тг-

Приводимые далее результаты основаны на Теореме 2.5, в которой оператор А — В = — В преобразуется в оператор блочно-

диагонального вида.

Теорема 2.6. Существует число ш 6 такое, что спектр оператора Ь,1гг представим в виде

"■(¿Шг) = ®{т) I <Т" ) '

\[п|>т+1 /

где <7(т) - конечное множество (с числом точек не превосходящим 2т+ 1), а множества ап, |п| > т + 1, одноточечны, <т„ = {А,,}, \п\ > т + 1, причем

в'2

K = n-e2n-Y-^ + ßn, \п\>т+1, 1

je Z J

m

где (ßn), |?i| > m + 1, — абсолютно сходящаяся последовательность. Пусть pm,qm - коэффициенты Фурье функций Р и Q, т.е.

р{х) = = Е ®'«ейпи-

meZ ineZ

Матричные элементы оператора В (возмущения V) представим б виде: 6,у = Qn+j,n,j £ Z, где

i(p_§ + п е 2Z,

J(P_«±i+ g«±i), nel + 2Z, то есть матрица оператора В является гапкелевой.

Теорема 2.7. Существует число m S Z+ такое, что оператор Lai,-спектралеп по Дапфорду относительно разложения из теоремы 2.6.

Пусть Рп, |n| > m, +1, — спектральные проекторы Рисса, построенные по множествам ап, |n| > m + 1 для оператора Ьл?, участвующем в разложении из теоремы 2.G.

Теорема 2.8. Существует такое число m £ Z+, что Y1 Il-Pfc ~~

|fc|>m+l

РкII2 < 00.

Теорема 2.10. Для несамосопряжеиного оператора Дирака с краевыми условиями Дирихле, справедлива следующая формула регулязированных следов

В*»Е %> =

nez kez,kfi о

Публикации автора по теме диссертации

1. Дербушев A.B. Спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевым условием

// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж: ВГУ.-2007 .- №1,- С.143-147.

2. Дербушев A.B. Спектральные свойства классов дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с потенциалом с нелокальным краевым условием // Труды математического факультета. .- Воронеж: ВГУ,- 2007 .- №11.- С.77-87.

3. Дербушев A.B. Спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нелокальным краевым условием // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов,- Воронеж: ВГУ,- 2008.- С.48-49.

4. Дербушев A.B. Приложения к исследованию дифференциальных операторов с потенциалом с нелокальным краевым условием // Труды Воронежской зимней математической школы. С.Г. Крейна 2008. - Воронеж: ВГУ.- 2008,- С.110-113.

5. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Воронежская зимняя матемагиче-ская школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2010,- С.51-52.

6. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Воронежская весенняя математическая школа."Понтрягинские чтения XXI",- Воронеж: ВГУ,- 2010.-С.79-80.

7. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженпого оператора Дирака с краевым условием Дирихле// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж: ВГУ,- 2010,- №2,- С.61-72.

8. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамоеопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Сборник тезисов. - КРОМШ-2010: Таврический национальный университет- 2010 г.- С.15-16.

9. Дербушев A.B. Исследование оператора Дирака с краевыми условиями Дирихле. Формулы регуляризованных следов. // Вестник факультета ПММ. - Воронеж: ВГУ,- 2010.- С.176-203.

10. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / Баскаков А.Г. Дербушев A.B. Щербаков А.О. // Известия Российской Академии Наук .Серия математическая - 2011 - Т.75. - №3.- С.З-.28.

Работы [1],[7] и [10] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 15.04.11. Формат 60*84 '/1&_ Усл. неч. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 508.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-нолнграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Список обозначений.

Введение.

1 Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условием

§1.1 О методе подобных операторов

§1.2 Исследование оператора дифференцирования с нелокальным краевым условием.

§1.3 Исследование дифференциального оператора с Ьг потенциалом, определенным нелокальным краевым условием

§1.4 Исследование оператора дифференцирования Т> с нелокальным краевым условием а:г(0) = (Зх( 1)+/ а(з)х(з)с1з

§1.5 Исследование дифференциального оператора с ¿2 потенциалом и определямым нелокальным краевым условием ш;(0) = (Зх( 1) + / а(з)х(з)с1з.

2 Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженных операторов Дирака

§2.1 Несамосопряженный оператор Дирака.

2.2 Построение допустимой тройки для абстрактных операторов, близких к оператору Дирака.

2.3 Асимптотика собственных значений оператора Дирака и сходимость спектральных разложений.

2.4 Формулы регуляризованного следа для несамосопряженного оператора Дирака.

Список обозначений.

N - множество натуральных чисел; Z - множество целых чисел; R - множество вещественных чисел; Е+ = [0, со];

С - множество комплексных чисел;

End X - банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в Х\ @i(^2,tt) - идеал ядерных операторов

2(7"0 - идеал операторов Гильберта-Шмидта из алгебры EndX] сг(а) - спектр оператора а; я(-,а) : q{A) EndX, R(X,A) = (XI - A)~l, Л G g(A), - резольвента линейного оператора А : D(A) adAX - трансформатор, линейный оператор в пространстве линейных операторов: adA : D(adA) С EndX —> EndX, arf^X = AX — XA, X £ EndX ;

ImA - образ оператора A; KerA - ядро оператора Л;

Я - банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В с нормой || • ||*;

X - комплексное банахово пространство ; 'Н - комплексное гильбертово пространство; а{Х) - банахово пространство операторов, подчиненных а с нормой

II ■ IU;

B{7i) - алгебра, совпадающая с одной из алгебр End X; а* - сопряженный к а линейный оператор;

1/2 [a, b]- гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ь]

2 ([0,7г], С2) = Х/2[0,7г] х 1/2[0,7г] - гильбертово пространство измеримых на [0,7г] со значениями в С2 функций х = (х1:х2) : [0,7г] —► С2, для которых конечна величина (/07Г(|ж1(£)|2 + = \\х\\;

Ь(ЦГ - оператор Дирака, определяемый формулами

Ьмг : 0(ЬА1Г) С и ([0,тг],с2) и ([0,тг],С2)

Л °\(1у

Ь</гг2/ = « -77 -уу, !/

-1/ & где = ( ^ |, Ь € [0,7г], Р, €= ^[0, 7г]. Область определения

0{Ь(Цг) определяется краевым условий Дирихле:

Я(А«г) = {2/ € И^1 ([0,7Г],С2 : ш(0) = 7/2(0), зл(тг) = за(тг))} ;

- Оператор Дирака с нулевым потенциалом (г> = 0).

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов и оператора Дирака. Дифференциальные операторы, определяемые нелокальными краевыми условиями возникают , например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [57]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (А.Л.Скубачевский [52], В.В. Власов [16], Л.С.Пулькина [45], Ю.Т.Сильченко [51]).

Изучение оператора Дирака осуществлялось рядом авторов, особенно отметим статью Джакова П, Митягина Б.С. [32]. В ней, в' частности, был приведен ряд общих спектральных свойств оператора Дирака и приведена подробная библиография. Исследования проводились (см. более ранние работы [43],[67]) с привлечением обычных методов теории возмущений [35] (резольвентный метод), а также с использованием матричного представления операторов. В частности, в [32] получены локализационные теоремы (теорема 17 для спектра и теорема 18, предложение 19, для проекторов Рисса). В предложении 20 получено утверждение о сходимости спектральных разложений для функции из L2 ([057г]) С2) п0 системе спектральных проекторов.

При попытке исследования оператора Дирака общими методами теории возмущений [1],[20],[35],[42][58] возникает несколько затруднений, связанных с наличием таких свойств как: a) расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора L°dir не уходит в бесконечность; b) возмущение (оператор умножения на потенциал v) не является ограниченным оператором. I

В данной работе для исследования спектральных рвойств оператора Дирака используется метод подобных операторов [5]- [/], т.е. построение преобразования подобия исследуемого (возмущенного) оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам невозмущенного оператора (в данном случае свободного оператора Тем самым существенно упрощается изучение исследуемого оператора Ь<ьг

Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [21]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения данного метода. В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [19] , абстрактным вариантом замены Крылова - Боголюбова [5], [13]. Основная идея, метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А — Во; где Во имеет несложную по отношению к А структуру. Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [55] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [69] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе иевозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [5] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного

7 I гармонического анализа линейных операторов.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получены оценки собственных значений и спектральных проекторов для одного класса дифференциальных оператора с нелокальными краевыми условиями ;

2. Установлено подобие оператора Дирака оператору, матрица которого имеет блочно-диагональный вид;

3. Доказана спектральность по Данфорду оператора Дирака;

4. Получены оценки собственных значений и проекторов Рисса для оператора Дирака;

5. Получена формула регуляризованных следов для оператора Дирака.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации докладывались на конференции "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2008 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2010 г.) "Воронежская весенняя математическая школа Понтрягипские чтения"(г. Воронеж, 2010 г.) на "21 Крымской осенней математической школе-симпозиуме"(г. Севастополь, 2010 г.), и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]-[31].

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется двойная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений и формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данной главе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия, определения и теоремы из метода подобных операторов, приспособленные к исследуемым во второй главе оператору Дирака.

Далее используется следующее важные определения и теоремы

Пусть X - комплексное банахово пространство, Епс1Х - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Определение 1.1. Два линейных оператора : С X —> X, = 1,2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор и е ЕпЛХ такой, что иО(А2) = 0(А\) и А\11х = V А2х, х е В{А2). Оператор II называется оператором преобразования оператора Ах в А2.

Сформулированное определение симметрично относительно порядка рассматриваемых операторов, т.е. является оператором преобразования А2 в А\. Подобные операторы обладают рядом одинаковых спектральных свойств. Наиболее важные отображены в следующей лемме .

Лемма 1.1. Пусть А{ : -С>(Д-) С X X, г = 1,2,—два подобных оператора, и II € Епс1 X — оператор преобразования оператора А\ в оператор А2. Тогда справедливы следующие свойства

1) а{Аг) = <г{А2), сгл{А1) = сга(А2), ас(Аг) = <7с(А2),

7г(Ах) = сгг(А2), где а(Аг), (тс(А{), ог(А), г = 1,2, —спектр, дискретный, непрерывный и остаточный спектры операторов А{, I — 1,2, соответственно;

2) если оператор допускает разложение A<¿ — Ац Ф А22, где A<ik — A ¡ Xk, к = 1, 2,— сужение А2 на Х^ относительно прямой суммы X — Х\ ф Х2 инвариантных относительно А2 подпространств X\,Xi¡ то подпространства Xf¡ — U(Xk), к = 1,2, инвариантны относительно оператора А\ и А\ — Ац Ф Аи, где Aik — А | Л*, к = 1,2, относительно разложения X = Х\ ф А^. Кроме того, если Р — проектор, осуществляющий разложение X — Х\ ф Х2 (т.е. Х\ = Im Р — образ проектора Р, Л^ = Im (I — Р)), то проектор Р, осуществляющий разложение X = Х\ ф Хо, определяется формулой

P=UPU~\

3) если eg - собственный вектор для оператора А2, отвечающий собственному значению Ло, то вектор Ve о является собственным вектором оператора Ai, отвечающим тому же собственному значению Ло оператора А\.

Символом £а(Х) обозначим банахово пространство операторов, действующих в X и подчиненных оператору А, т.е. линейный оператор В : D(B) С X —» X принадлежит £а(Х), если D(B) Э D(A) и конечна величина \\В\\А = inf{C > 0 : \\Вх\\ < С(\\х\\ + \\Ах\\), х в D(A)}, принимаемая за норму в £а(Х) то есть

В|| = Ij^iU = inf С.

Далее будет рассматриваться трансформатор (т.е. линейный оператор в пространстве линейных операторов; терминология М.Г. Крейна) ad а D(adA) С EndX -> EndX adAX = АХ - XA, X е D{adA) с областью определения D(adA), состоящей из операторов X € EndX, обладающих свойствами:

1) XD(A) С D{A)\

2) оператор АХ — XA : D(A) —> X допускает ограниченное расширение Y на X (и'полагается adAX = К).

Важнейшим понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки [5]-[7].

Определение 1.3. Пусть Я —линейное подпространство из £А{Х) и

J: Я->11, Г :íl-^EndX являются трансформаторами. Тройку (Я, J, Г) назовем допустимой тройкой для (невозмущенного) оператора А, а Я — допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1) IX — банахово пространство (со своей нормой || • ||*), непрерывно вложенное в £А(Х) (т.е. существует постоянная С > 0 такая, что Ц-^Цл < С||Х||*, для любого X е Я);

2) J и Г — непрерывные трансформаторы, причем J — проектор;

3) (ГХ)1}(А) с D(А). Более того, ГХ € D(adA), причем adAГХ = АГХ - (ГХ)А — X — JX \/Х £ Я. Кроме того, ТХ Е End X — единственное решение уравнения adAY — AY — YA = X — JX, удовлетворяющее условию JY — 0;

4) XTY, (ГХ)У G Я, УХ, Y eil, и существует постоянная 7 > 0 такая, что

Г|| < т, max{\\XFY\U, ||(ГХ)У||*} < тИММк

5) для любого X € Я и любого е > 0 существует число Ае G р{А), такое, что - Л£/)1|| < е.

Теорема 1.1. Пусть (Я, <7, Г) — допустимая для оператора А : D(A) с X —» X тройка, и В — некоторый оператор из пространства допустимых для А возмущений П. Тогда если выполнено неравенство

1И11|я||.||гц < то оператор А — В подобен оператору А — JX, где оператор X g IX является решением (нелинейного) уравнения

X = ВГХ - (rX)(JB) - (TX)J(BTX) +В = Ф(Х), которое можно найти методом простых итераций, полагая с Хо = О, Xi = В, и т.д. (оператор Ф : il —► il является сжимающим в шаре {X 6 it : ||Х — ВII < 3||Б||}). Преобразование подобия оператора А — В в оператор А — JX осуществляет оператор I 4- ГХ G End X.

Пусть Л - линейный дифференциальный оператор действующего в L¡2 — ¿2(0,1), задаваемый областью определения

Ах = ix, D(A) = {х е W}(0,1) : ж(0) = ж(1) + í a(s)x(s)ds},

J о

А : D(A) С L2(0,1) ¿2(0,1), где функция а принадлежит гильбертову пространству L2 = 0,1) , измеримых и суммируемых с квадратом модуля комплексных функций , определенных на отрезке [0,1].

Лемма 1.2. Оператор А замкнут и его область определения D{A) плотна в £2(0,1).

Теорема 1.4. Спектр оператора А представим в виде двусторонний последовательности чисел {An, п g Z}, для которой выполнено свойство

У^ |А„ — 27гп|2 < оо. nez

Через Рп,Рп,п g Z обозначены проекторы Рисса, отвечающие, соответственно, собственному значению 2ттп невозмущенного оператора А и собственному значению Ап оператора А = А — В.

Теорема 1.5. Для систем проекторов {Рп,Рп,п G Z} имеет место свойство

Ys\\Pn-Pn\\2 <00. nez

Таким образом, система проекторов {Рп} является квадратично близкой к системе проекторов {Рп}

Вторая глава диссертации посвящена исследованию спектральных свойств оператора Дирака.

Пусть L2 ([0,7г],С2) = L2[0,7г] х 1/2[0,7г] - гильбертово пространство измеримых на [0, тг] со значениями в С2 функций х = (х\, х2) •' [0,тг] —► С2, для которых конечна величина

Г(Ыт2 + \Х2Ш2)^ = \\х\\.

J0

Скалярное произведение в Ь2 ([0,7г],С2) определяется формулой

1 Г - 1 Г х,у) = - xi{T)yiir)dr + - / x2{r)y2(r)dr, тг Jo к J0 где ж = Оь х2),у = (yi, ¡/2) € Ь2 ([0, тг], С2) .

Через VT^1 ([0,7г], С2) обозначим пространство Соболева {у G Ь2 ([0, 7г], С2): у абсолютно непрерывна и у' € Ь2 ([0,тг], С2)} со скалярным произведением < х,у >= (х,у) 4- (x',yr), х^у G W}(10,тг],С2).

Рассматривается оператор Дирака

Айг : С L2 ([0, тг], С2) - La ([0, тг], С2)

Л 0 \ Ф ч

LdirV = г I 1)~dt~Vy' у € D(Ldir)> где г* , тг], Р, Q G I/2[0,7г]. Область определения

D(L(hr) определяется краевым условий Дирихле:

В{ЬЛгг) = {уе \¥2г ([0,тг],С2 : 2/1(0) = у2(= ЗйМ)} , соответствующий оператор будут обозначаться через Ь(ЦГ■ Если V = О (нулевой потенциал), то используется запись Ь°й1г. Оператор Ь®1г будет называться свободным оператором Дирака. Он, как правило, при изучении оператора будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор умножения на потенциал v - возмущения. Особо отметим, что не делаются ограничения на V, гарантирующие самосопряженность возмущения (см. [43]), и какие-либо дополнительные ограничения (типа гладкости), кроме условия V £ Ь2 ([0,тг], С2).

Оператор является самосопряженным с дискретным спектром : сг(1/^г) = Ъ , каждое собственное значение простое и соответствующая нормированная собственная функция имеет вид 5П = + еп)-> гДе г € [о,7г],лп =

Спектральные проеторы Рк,к € 2 имеют вид Рп = (х, еп)еп. Всюду в дальнейшем 7{ = ^([0, тг]. Трансформаторы 3, Г : имеют вид

2тг

ЗХ)х = [ Т{Ь)ХТ{-Ь)х <11, X е х е П(А),

27г У

2тг

ГХ)х = 77- / f{t)T(t)XT{-t)xdt,X € D(A),

27Г J о где Т : Ш —► EndTí - группы изометрий, заданная формулой T(t)x = Xmez eintPn%: х í периодическая периода 27г функция вида /(í) = i (t — 7г), t 6 [0,27г).

Так как возмущение В может не принадлежать Я, то делается предварительное преобразование подобия оператора А — В в оператор вида А — В где В € 11. Такое преобразование возможно в условиях следующего предположения.

Предположение 1.1. Операторы ТВ, J В, В удовлетворяют следующим условиям: a) ТВ £ End X и \\ТВ\\ <1; b) (TB)D(A) С D(A); c) ВТ В, (ТВ) J В е И; d) А(ТВ)х - (ТВ)Ах = Вх - (JB)x, re <= D(A)e) для любого е > 0 существует число Аг Е р(А), такое, что \\В(А — vr'iK*.

Теорема 1.2. При выполнении предположения 1.1 оператор А — В подобен оператору А — JB — В0: где В0 = (I + ТВ)-1 (ВТ В - (ТВ) J В), причем имеет место равенство

А -В)(1-Ь ТВ) = (I + ТВ)(А -JB- B0)t где / — тождественный оператор.

Рассмотрим последовательности трансформаторов (Jm), (Гт), га Е N(J{0} = определяемые равенствами:

JmX = P(m)XP(m) + PkXPk = J(X - P(m)XP(m)) + P(m)XP(m), fc|>m+l

ГтХ = T(X — F(m)JÍP(m)),X e £a(H), где P(m) = рк> k\<m

В условиях следующей теоремы рассматриваются операторы «Д-В, -ВГ/bS, (TkB)(JkB), В, допускающие ограниченное расширение до операторов Гильберта-Шмидта из ©2(-^2,тг)- Отметим, что /гт&>оо||Г&#||2 = 0.

Теорема 2.4. Если число к € таково, что ЦГ^БЦг < 1, (т.е. оператор I + Г^Б обратим), то оператор Ldir = А — В, где А = L°dir, В - оператор умножения на v, подобен оператору

Ldir = Ldir — Б, где

B = JkB + (I + ГкВ)-\ВГкВ - (TkB)JkB), причем имеет место равенство

Л - B)(I + ТкВ) = (I + гкВ)(А - В).

Оператор Б представим в виде

В = JB + ВТ В - (TB)JB + С <= 62(L2j7r), где оператор С принадлежит идеалу ©i(I/2)7r) ядерных операторов, определенных на 1/2?7Г.

Приводимые далее результаты основаны на Теореме 2.5, в которой оператор А — В = L°dir — В преобразуется в оператор блочно-диагонального вида.

Теорема 2.6. Существует число т Е такое, что спектр оператора Ldir представим в виде

Ldir) = ^(m) U I U Сп I , п|>ш+1 / где сг(т) - конечное множество (с числом точек не превосходящим 2т+ 1), а множества ап, \п\ > т + 1, одноточечны, сгп = {An}, \п\ > m + 1, причем

6>2

An = ?г — 02п — У^ J+ßlL ß |n|> 771+1, z—' 7 je ъ J m где (ßn), |п| >ш + 1, — абсолютно сходящаяся последовательность. Пусть Pm,qm - коэффициенты Фурье функций Р и Q, т.е.

Р(х) = Y,Prn^2mxMx) = Y,qmei2mx. m€Z те Z

Матричные элементы оператора В (возмущения у) представим в виде: Ьщ = п,3 ^ где то есть матрица оператора В является ганкелевой.

Определение 2.2 Пусть А : В(А) С Л, —> И - линейный оператор, спектр которого представим в виде объединения взаимно непересекающихся компактных множеств сгк, к Е ЛГ. Пусть Р;. -проектор Рисса, построенный по множеству а к- Оператор А называется спектральным относительно разложения (2.22) (или обобщенным спектральным) если ряд ^ РкХ безусловно сходится для любого вектора

Если сгк = {А/;}, к £ Л, одноточечные множества, и проекторы Рк £ I обладают свойством АРк = АкРк для всех к Е 1, исключая конечное число, то спектральный относительно разложения (2.22) оператор А является спектральным (по Данфорду; см. [20]) оператором, причем А - спектральный оператор скалярного типа, если АРк = ХкРк, к Е Л.

Теорема 2.7. Существует число т £ Z+ такое, что оператор Ь(цг спектрален по Данфорду относительно разложения из теоремы 2.6.

Пусть Рп, |п| > т + 1, — спектральные проекторы Рисса, построенные по множествам сгп, |п| > т + 1 для оператора участвующем в разложении из теоремы 2.6. п Е 2Z, \{рм + Qn±i), n£l + 2Z, а

А) = Ijcrfc, Je{N,Z} (2.22) хеН.

Теорема 2.8. Существует такое число т € что ||Рк — к\>т+1

Рк\? < оо.

Теорема 2.10. Для несамосопряженного оператора Дирака с краевыми условиями Дирихле, справедлива следующая формула регулязированных следов к&г,кф 0

Следствие 2.2 Если ряд абсолютно сходится, то для регуляризованного следа несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле справедлива формула :

1. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции./ В кн.: Войтович Ы.Ы., Кацелембаум Б.З. Сивов А.Ы./М.С. Агранович // Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. -М.: Наука, 1977. - С.289-416.

2. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Об отображении окружности на себя / В.И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. - Т.25, вып. I. - С.21-86.

3. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу /Г.И. Архипов,В.А. Садовничий ,В.Н. Чубарников // Москва <Высшая школа> 1999. 345 с.

4. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. // М. :Наука, 1966. -543 с.

5. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов./ А.Г. Баскаков // Воронеж: изд-во Воронежского государственного университета, 1987. 165с.

6. Баскаков А.Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые, смежные вопросы аналитической теории возмущений./А. Г. Баскаков // Известия АН СССР. сер. матем. 1986. - Т.50.т.

7. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитических и спектральных операторов./А.Г. Баскаков // Известия РАЫ.сер.матем. 1994. - Т.58. - №4. - С.3-32.

8. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений./А.Г. Баскаков / / Дифференциальные уравнения,2003,т39,№3- С.413-415.

9. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы и ре-гуляризованных следов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. ма.тем.- 1984. №3. - С.3-12.

10. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа оператора в теории возмущений линейных операторов/ А.Г. Баскаков// Сибирский математический журнал 1983 - Т.24, №1- С.21-39.

11. Баскаков А.Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов/ А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. №1. - С.3-11.

12. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А.Г. Баскаков // Дифф. уравнения. 1991. - Т.27, №1. - С.2162- 2164.

13. Баскаков А.Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков. // Препринт80 -19. Киев, 1981.

14. Бирман М.Ш. Яфаев Д.Р. Функция спектрального сдвига. Работы М.Г. Крейна и их дальнейшее развитие / М.Ш. Бирман Д.Р. Яфаев // Алгебра и анализ, 4:5 (1922) С. 1-44.

15. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.// Ростов-на Дону : Феникс. 1998. -512 с.

16. Власов В.В. О некоторых спекральных вопросах, возникаю- щих "в теории дифференциально-разностных операторов / В.В. Власов // Успехи матем. наук. 1998. - Т. 53, №4. - С. 217-218.

17. Гохберг И.Ц. Введение в теорию несамосопряженных линейных операторов./ И.Ц. Гохберг , М.Г. Крейн // М.: Наука, 1965. 448 с.

18. Туровская М.С. Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов / М.С. Туровская // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2003, №1. - С.59- 62.

19. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве./Ю.Л. Далецкий , М.Г. Крейн // М.:1970. 346 с.

20. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы. Т III./H. Данфорд Дж.Т. Шварц // М.: Мир, 1974. 661с.

21. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962 - 657с.

22. Дербушев A.B. Спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевым условием // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж: ВГУ-2007 т.- С.143-147.

23. Дербушев A.B. Спектральные свойства классов дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с потенциаломс нелокальным краевым условием // Труды математического факультета. Воронеж: ВГУ.- 2007 .- №11.- С.77-87.

24. Дербушев A.B. Спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нелокальным краевым условием // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2008,- С.48-49.

25. Дербушев A.B. Приложения к исследованию дифференциальных операторов с потенциалом с нелокальным краевым условием // Труды Воронежской зимней математической школы. С.Г. Крейна 2008. Воронеж: ВГУ.- 2008.- С.110-113.

26. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе иесамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Воронежская зимняя математиче-ская школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов Воронеж: ВГУ.- 2010.- С.51-52.

27. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле / / Воронежская весенняя математическая школа."Понтрягинские чтения XXI".- Воронеж: ВГУ.- 2010.-С.79-80.

28. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж: ВГУ.- 2010.- №2.- С.61-72.

29. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Сборник тезисов. КРОМШ-2010: Таврический национальный университет.- 2010 г.- С. 15-16.

30. Дербушев A.B. Исследование оператора Дирака с краевыми условиями Дирихле. Формулы регуляризованных следов. // Вестник факультета ПММ. Воронеж: ВГУ.- 2010,- С.176-203.

31. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / Баскаков А.Г. Дербушев A.B. Щербаков А.О. // Известия Российской Академии Наук .сер.матем.- 2011 Т.75. - №3 - С.3-28.

32. Джаков П. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака./П. Джаков , B.C. Митягин // УМЫ. 2006. - Т.61. - №4. - С.77-182.

33. Зигмунд А. Тригонометрические ряды /А. Зигмунд // Издательство "Мир Москва 1965. Т.1 616 с.

34. Иосида К. Функциональный анализ. / К. Иоеида.// М. : Мир, 1967. -624 с.

35. Теория возмущений линейных оператров. /Т. Като // М.:Мир, 1972.- 740с.

36. Кахан Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье/ Ж.П. Кахан. М.: Мир, 1976. - 204 с.

37. Колмогоров А.Ы. Элементы теории функций и функционального анализа./А.Н. Колмогоров C.B. Фомин // -Москва 1976. 544 с.

38. Крейн М.Г. О формулах следов в теории возмущений/М.Г. Крейн// Матем.сб., 33(75):3 1953. С 597-626.

39. Либ Э. Анализ / Э. Либ, М. Лосс. // Новосибирск. :Научная книга.- 1998. 258 с.

40. Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.О. Саргсян.// М.: Наука, 1988. - 475с.

41. Лифшиц И.М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой/И.М. Лифшиц // УМН б 7:1 (1952)- С.171-180.

42. Маркус A.C. , Мацаев В.И. О сходимости разложений по собственным вектором оператора, близкого к самосопряжённому./А.С. Маркус , В.И. Мацаев // В сб. Мат. исслед. Линейные операторы и интегральные уравнения. Кишинёв, 1981. - С.104-129.

43. Митягин B.C. Сходимость разложенный по собственным функциям оператора Дирака./Б.С. Митягин // Докл. РАН. Т.393. - № 4. -С.456-459.

44. Ыаймарк М.А. Линейные дифференциалные операторы / М.А. Ыаймарк. М.: Наука. 1969. -528 с.

45. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными уело- виями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Матем. заметки. 2001. - Т.70, №1. - С. 88-95.

46. Пыркова М.С. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов/М.С. Пыркова // диссертация канд. физ. мат. наук /М.С. Пыркова 110 с.

47. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин // М: Мир. 1975.-245с.

48. Садовничий В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий // Москва.: Высшая школа,1999 -367с.

49. Садовничий В.А. Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов/ В.А. Садовничий, В.А. Любишкин // Дифференц.уравнения. 1982, Т. 18, N1. С 109-116.

50. Садовничий В.А. Подольский В.Е. Следы операторов /В.А. Садовничий , В.Е. Подольский // Москва.: Успехи математических наук,2006,Т.61.вып.5(371)-С.89-156.

51. Сильченко Ю.Т. Резольвента оператора дифференцирования второго порядка с параметром в нелокальных условиях. / Ю.Т. Сильченко // Труды математического факультета ВГУ. 2005. -Т.9. - С.51-56.

52. Скубачевский А.Л. О спектре дифференциальных операто- ров с областью определения, не плотной в 1/2(0; 1) / А.Л. Скубачевский, Г.М. Стеблов // Докл. АН СССР. 1991. - Т.321, №6. - С. 1158-1163.

53. Томин Н.Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой/Н.Г. Томин// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам/Тезисы докладов.Владимир.2000- С. 189-190.

54. Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в проблеме собственных значений и собственных векторов линейных операторов: дисс. канд. физ.- мат. наук / Н.Б. Ускова.// Воронеж, 1994. -131 с.

55. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К.О. Фридрихе.// М. : Мир, 1969. 232 с.

56. Яфаев Д.Р. Математическая теория рассеяния/ Д.Р. Яфаев //изд. Санкт-Петербургского университета,СПб., 1944- 345с.

57. Cardanobile S. Semigroup methods for population equation with delayed birth process / S.Cardanobile, G.Fragnelli, E.Galdino, K.Leicht, L.Scardia // final Workshop of the 6th TULKA Internet Seminar. -2003. 46.p.

58. Markus A.S. Intruduction to Spectral Theory of Polynomial Opera-tor.//Pensil, Transl. Math. Monographs. Vol.71. - Amer.Math.Soc. Providence R.I. - 1988. - 312 p.

59. Cross R. Moltivalued Linear Operators / R. Cross // New York: M. Dekker, 1998. 421p.

60. Cardanobile S. Semigroup methods for population equation with delayed birth process / S.Cardanobile, G.Fragnelli, E.Galdino, K.Leicht, L.Scardia // final Workshop of the 6th TULKA Internet Seminar. -2003. 46.p.

61. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favi-ni, A. Yaggi // New York: M. Dekker. 1998. 251.p.

62. Herz C. S. The spectral theory of bounded functionen / C. S. Herz // Trans. Am. Math. Soc.- 1960. 94. - P.181-232.

63. Huang S.-Z. Spectral theory for non-quasianalytic representation of locally compact Abelian groups / S.-Z. Huang.- Ph.D. Thesis, 1995.

64. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Marinus A.Kaashoek. Classes of Linear Operators Vol.1. Birkhauser Verlag Basel Boston /Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Marinus A.Kaashoek // Berlin. 1990 468.p.

65. Loornis L. H. Spectral characterezation of almost periodic functions / L. H. Loomis // Ann. Math. 1960. - 72. - 2.-P.362-368.