Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полно изучены обратные задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля у" + ч(х)у (0.1)

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А.Амбарцумяну [72], который исследовал исключительный случай восстановления потенциала д(х) по спектру. Дальнейшее развитие теория обратных задач получила в работе Г.Борга [76]. Он доказал единственность восстановления функции д(ж) на конечном интервале по двум спектрам дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием. Аналогичный факт был установлен Н.Левинсоном [83], но для других спектральных характеристик. В работе А.Н.Тихонова [52] получена теорема единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля.

Важную роль в спектральной теории дифференциального оператора Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратной задачи оператор преобразования первым применил В.А.Марченко [30], [31]. Он доказал, что дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на полуоси или конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции.

Более сложной задачей является построение конструктивной процедуры восстановления дифференциального оператора и описание необходимых и достаточных условий на спектральные данные. Эти вопросы исследовались в работах М.Г.Гасымова, И.М.Гельфанда, М.Г.Крейна, Б.М.Левитана, Ф.С.Рофе-Бекетова, Л.Д.Фаддеева и других [4], [11], [13], [21] - [24], [30] - [34], [45], [54], [55], [75], [78], [80] - [82], [85].

Многие приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами п—2 у(п) + 1>(*)Уу) (°-2) з=о

В сравнении с дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля, обратная задача для операторов (0.2) сложнее для изучения. В различных постановках она исследовалась в [25] - [28], [47] - [49], [57] - [59], [62] - [66], [68], [70], [73], [74] и др. В работах А.Ф.Леонтьева [29], В.И.Мацаева [35], М.К.Фаге [53], А.П.Хромова [60] выяснено, что оператор преобразования при п > 2 имеет более сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. Однако в случае аналитических коэффициентов [47], [56] операторы преобразования имеют такой же треугольный вид, как и для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В частности, М.Г.Гасымов [10], Л.А.Сахович [47] - [49], И.Г.Хачатрян [57], [58] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования.

В работах З.Л.Лейбензона [25]-[28] исследовалась обратная задача для дифференциального оператора (0.2) на конечном отрезке при условии "разделенно-сти" спектров. З.Л.Лейбензон предложил эффективный метод решения обратной задачи, основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей Н.Левинсона [83]. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах В.А.Юрко, К.ВеаЬ, Р.Бе1й, С.Тоте!, Х^Ьои [62]-[66], [68], [70], [73], [74], [79], [90] - [92].

Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю.Е.Аниконова, Ю.М.Березанского, А.Л.Бухгейма, И.А.Васина, В.В.Дубровского, А.Б.Костина, Л.П.Нижника, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, В.А.Садовничего [1] - [3], [5], [15] - [17], [38], [41] - [44], [86].

Данная работа посвящена исследованию обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью п-2 у = у{п) + £ + Ф)) Уи) (о.з)

3=0 на конечном отрезке. Дифференциальные операторы (0.3) возникают в различных разделах математики и их приложениях (см. [6], [7], [14], [84] и литературу в них). К уравнениям с особенностью £у = А у также сводятся многие дифференциальные уравнения с точкой поворота, например, уравнение = Лг(*)г(*), < > 0, г(<) ~ аР, * +0, 7 > 0, и другие более общие уравнения. Точки поворота появляются в теории упругости, оптике, геофизике и других областях естественных наук. Обратная задача для уравнений с точками поворота и особенностями используются, в частности, при исследовании разрывных решений уравнений математической физики (см., например, [77]).

В случае п = 2 прямые и обратные задачи для операторов с особенностью (0.3) исследовались в работах многих авторов [7]-[9], [18], [39], [50], [89]. При произвольном п прямые задачи исследовались в [6], [67], [71]. В работе В.А.Юрко [67] построены специальные фундаментальные системы решений для дифференциального уравнения с особенностью 1у = Ху , получена асимптотика множителей Стокса для построенных фундаментальных систем решений. В работе [71] получена асимптотика спектра краевых задач для дифференциального оператора (0.3), доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций в соответствующих пространствах, получена теорема о разложении в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям. В отличие от обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью на полуоси, исследовавшейся в работах В.А.Юрко [67], [69], [88], обратная задача на конечном отрезке до сих пор не была изучена.

Наличие особенности у дифференциального оператора (0.3) вносит существенные трудности в исследование обратной задачи. Оператор преобразования не годится для этих целей ввиду сложности своей структуры. Поэтому в данной работе реализован иной подход, связанный с развитием идей метода контурного интеграла. Важную роль в этом методе играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью 1у = Ху , построенные в [67].

Дополнительную трудность в исследование обратной задачи вносит кратность спектра. В этом случае даже для оператора без особенностей вида (0.2), коэффициенты которого являются суммируемыми функциями, открытым является вопрос о постановке и решении обратной задачи. В данной работе вводятся дискретные спектральные данные - совокупность спектров (п — 1) -ой краевой задачи для дифференциального оператора (0.3) и матриц порядка п . Введенные спектральные характеристики можно рассматривать как обобщение спектральных характеристик, известных для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В данной работе доказана теорема единственности восстановления коэффициентов дифференциального оператора по спектральным данным. Также получено конструктивное решение обратной задачи и необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Центральным местом здесь является построение и исследование так называемого основного уравнения обратной задачи, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения. Доказана однозначная разрешимость этого уравнения. Возникающие при этом трудности, связанные с наличием особенности и кратностью спектра, преодолеваются введением дополнительного параметра в основное уравнение обратной задачи, а также выявлением и использованием структурных свойств спектральных характеристик.

Данная диссертация состоит из двух глав. В главе I производится исследование спектральных свойств операторов с особенностью, дается постановка обратной задачи, доказывается единственность ее решения. В §1 вводится дифференциальное уравнение с особенностью, строятся специальные фундаментальные системы решений, вводятся краевые задачи к = 1,п — 1 приводится асимптотика их спектров.

§2 посвящен равносходимости разложений в ряд Фурье по системе собственных и присоединенных функций краевой задачи для дифференциального оператора (0.3) и по тригонометрической системе внутри конечного интервала. Для этого используется метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В случае, когда и^ = 0, ] = 0, п — 2 , равносходимость имеет место для всякой суммируемой функции, что совпадает с результатом, полученным М.Стоуном [87]. Отметим, что вопросам равносходимости посвящены также работы [19], [20], [36], [46], [51], [61] и многие другие.

В §3 вводятся спектральные данные - совокупность спектров (п —1)-ой краевой задачи вк и матриц 0г1/ь1)Р(Ло) ; выявлены структурные свойства спектральных характеристик.

В §4 главы I доказана единственность восстановления дифференциального оператора с регулярной особенностью по спектральным данным.

1. Аниконов Ю.Е., Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1978.

2. Березанский Ю.М., Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // ДАН СССР. 1955. Т.105, N 2, С.197-200.

3. Березанский Ю.М., О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. матем. о-ва, 1958, Т.7. С.3-51.

4. Блох М.Ш., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной матрице-функции // ДАН СССР, сер. матем., 1953, т.92, N 2, с.209-212.

5. Бухгейм А.Л., Введение в теорию обратных задач. Новосибирск, 1988.

6. Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

7. Ватсон Г., Теория бесселевых функций. Т.1. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

8. Гасымов М.Г., Определение уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью по двум спектрам // ДАН СССР. 1965. Т.161. N2, С.247-276.

9. Гасымов М.Г., Разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка с особенностью в нуле // Труды летней школы по спектральной теории операторов и теории представления групп. Баку: Изд-во ЭЛМ. 1975.

10. Гасымов М.Г., Единственность решения обратной задачи теории рассеяния для одного класса обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка // ДАН СССР. 1982. Т.266, N5. С.1033-1036.

11. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН, 1964, т. 19, N 2, 3-63.

12. Гахов Ф.Д., Краевые задачи. М., 1977.

13. Гельфанд И.М., Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. матем, 1951, т.15, 309-360.

14. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е., Свободные колебания тонких упругих оболочек, Наука, Москва, 1979.

15. Дубровский В.В., О многомерных обратных задачах спектрального анализа // УМН, 1993, Т.48, N 4, С.229-230.

16. Дубровский В.В., Теоремы единственности для обратных задач спектрального анализа // Дифференц. уравнения, 1997, Т.33, N 3, С.421-422.

17. Дубровский В.В., Садовничий В.А., Некоторые свойства операторов с дискретным спектром // Дифференц. уравнения, 1979, Т.15, N 7, С.1206-1211.

18. Жорницкая J1.А., Серов B.C., Об одной теореме единственности для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, имеющим неинтегрируе-мую особенность // Дифференд. уравнения, 1993, Т.29, N 12, С.2125-2134.

19. Ильин В.А., Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений // Дифференц. уравнения, 1980, Т.16, N5, С.771-794.

20. Ильин В.А., Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. // Дифференц. уравнения. 1980, Т.16, N6. С.980-1009.

21. Крейн М.Г., Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР, 1951, т.76, N 1, 21-24.

22. Крейн М.Г., Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР, 1954, т.94, N 6, 987-990.

23. Левитан Б.М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: "Наука", 1984.

24. Левитан Б.М., Саргсян И.С., Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: "Наука", 1988.

25. Лейбензон З.Л., Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п > 2 и преобразования таких операторов // ДАН СССР, 1962, т. 142, N 3, 534- 537.

26. Лейбензон З.Л., Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды Моск. матем. о-ва, 1966, т.15, 70-144.

27. Лейбензон З.Л., Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды Моск. матем. о-ва, 1971, т.25, 15-58.

28. Лейбензон З.Л., Спектральные характеристики самосопряженных и несамосопряженных {Ь,С%} систем с простым спектром // Тр. Летней школы по спектр, теории операторов и теории представления групп. Баку, 1975. С. 149-160.

29. Леонтьев А.Ф., Оценка роста решения одного дифференциального уравнения // СМЖ. 1960. Т.1, N3, С.456-487.

30. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 1950, т.72, N3, 457-460.

31. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва, 1952, т.1, 327-420.

32. Марченко В.А., Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка // Матем. Сб., 1960, т.52(94), N 2, с. 739-788.

33. Марченко В.А., Спектральная теория операторов Штурма- Лиувилля. Киев: "Наукова Думка", 1972.

34. Марченко В.А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев:Наукова Думка", 1977.

35. Мацаев В.И., О существовании оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков // ДАН СССР. 1960. Т.130, N3, С.499-502.

36. Минкин A.M., Разложение по собственным функциям одного класса негладких дифференциальных операторов Ред. журн. "Дифференц. уравнения". -Минск, 1989. 54с. Деп. в ВИНИТИ, N5407-B87.

37. Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы. М. "Наука", 1980.

38. Нижник Л.П., Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев, 1973.

39. Панахов Э.С., Об определении дифференциального оператора с особенностью в нуле по двум спектрам. Баку, 1980. Деп. в ВИНИТИ, N4407-80 Деп.

40. Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного. М. "Наука", 1967.

41. Прилепко А.И., Васин И.А., Обратная краевая задача для нелинейной системы Новье-Стокса с конечным переопределением // Дифференц. уравнения,1989, Т.25, N.12, С.2164-2177.

42. Прилепко А.И., Костин А.Б., О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Матем. сб., 1992, Т.183, N.4, С.49-68.

43. Прилепко А.И., Костин А.Б., О некоторых задачах восстановления краевого условия для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1996, Т.32, N1. С.107-116.

44. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. М., 1984.

45. Рофе-Бекетов Ф.С., Спектральная матрица и обратная задача Штурма-Лиувилля на оси // Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков, 1967, вып.4, 189-197.

46. Рыхлов B.C., О равносходимости дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1) ой производной // Дифференц. уравнения,1990, Т.26, N.6, С.975-989.

47. Сахнович Л.А., Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п > 2 с аналитическими коэффициентами // Математ. сб., 1958, т.46(88), N 1, 61-76.

48. Сахнович Л.А., Метод оператора преобразования для уравнений высших порядков // Матем. сб., 1961, т.55(97), N 3, 347- 360.

49. Сахнович Л.А., Об обратной задаче для уравнений четвертого порядка // Матем. сб. 1962. Т.56(98), N2. С.137-146.

50. Сташевская В.В., Об обратных задачах спектрального анализа для одного класса дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т.93. N3. С.409-412.

51. Тамаркин Я.Д., О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.

52. Тихонов А.Н., О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР, 1949, т.69, N 6, 797-800.

53. Фаге М.К., Интегральные представления операторно-аналитических функций одной независимой переменой // Тр. Моск. матем. о-ва, 1959, Т.8, С.3-48.

54. Фаддеев Л.Д., О связи Б -матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР, 1958, т.121, N 1, 63-66.

55. Фаддеев Л.Д., Свойства 5 -матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова, 1964, т.73, 314- 336.

56. Хачатрян И.Г., Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков // Изв. АН Арм.ССР. Сер. матем. 1978. Т.13, N3, С.215-237.

57. Хачатрян И.Г., О единственности восстановления дифференциального оператора с аналитическими коэффициентами по его спектральной матрице-функции // ДАН Арм. ССР, 1980, т. 71, N 2, 91- 97.

58. Хачатрян И.Г., О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси //Функц. Анализ и его прилож., 1983, т.17, N 1, 40-52.

59. Хачатрян И.Г., Об одной обратной задаче для дифференциальных операторов высших порядков на всей оси // Изв. АН Арм. ССР, Сер. Матем., 1983, т. 18, N 5, 394- 402.

60. Хромов А.П., Операторы преобразования для дифференциальных уравнений произвольных порядков // Исслед. по дифф. уравнениям и теории ф-ий, Саратов, 1971. Вып. 3. С.10-24.

61. Хромов А.П., Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981, Т.114. N3, С.378-405.

62. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных операторов, Саратов: изд-во СГУ, 1989, 176 с.

63. Юрко В.А., Восстановление дифференциальных операторов высших порядков 11 Диффернц. уравнения, 1989, Т.25, N9, 1540-1550.

64. Юрко В.А., Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР, 1990, Т.313, N6, 1368-1372.

65. Юрко В.А., Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Математ. сб. 1991, т. 182, N 3, 431-456.

66. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных операторов на полуоси 11 Изв. ВУЗов. Математика, 1991, N12, 67-76.

67. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных уравнений с особенностью /I Дифференц. уравнения, 1992, Т.28, N8, 1355-1362.

68. Юрко В.А., Обратная задача для самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Доклады РАН, 1993, Т.333, N4, 449-451.

69. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с особенностью // Изв. ВУЗов. Математика, 1993, N7(373), С.59-67.

70. Юрко В.А., Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Математ. заметки, 1995, Т.57, вып. 3, 451-462.

71. Юрко В.А., О дифференциальных операторах высших порядков с регулярной особенностью // Математ. сборник, 1995, т.186, N6, С.133-160.

72. Ambarzumian V.A., Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie, Zs.f.Phys. 53 (1929), 690-695.

73. Beals R., The inverse problem for ordinary differential operators on the line, Amer. J. Math. 107 (1985), 281-366.

74. Beals R., Deift P. and Tomei C., Direct and inverse scattering on the line, Math. Surveys and Monographs, v.28. Amer. Math. Soc. Providence: RI, 1988.

75. Belishev M.I. An inverse spectral indefinite problem for the equation y"+zp(x)y=0 on an interval, Funkt.Anal. i Prilozh. 21 (1987), no.2, 68-69 (Russian); English transl. in Funct. Anal. Appl. 21 (1987), no.2, 146-148.

76. Borg G., Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Acta Math. 78 (1946), 1-96.

77. Constantin, Adrian., On the inverse spectral problem for the Camassa-Holm equation, J.Funct.Anal. 155 (1998), no. 2, 352-363.

78. Deift P. and Trubowitz E., Inverse scattering on the line, Comm. Pure Appl. Math. 32 (1979), 121-251.

79. Deift P. and Zhou, Xin, Direct and inverse scattering on the line with arbitrary singularities. Comm. Pure Appl. Math. 44 (1991), no.5, 485-533.

80. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function I, Nuovo Cimento 2 (1955), 917-961.

81. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function II, Nuovo Cimento 3 (1956), 56-84.

82. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function III, Nuovo Cimento 3 (1956), 276-304.

83. Levinson N., The inverse Sturm-Liouville problem, Math. Tidsskr. 13 (1949), 25-30.

84. McHugh J., An historical survey of ordinary linear differential equations with a large parameter and turning points, Arch. Hist. Exact. Sci., 7 (1970), 277-324.

85. Poschel J. and Trubowitz E., Inverse spectral theory. Academic Press, New York, 1987.

86. Prilepko, Aleksej I.; Vasin, Igor A. On a nonlinear non-stationary inverse problem of hydrodynamics, Inverse Probl. 7, No.2, L13-L16 (1991).

87. Stone M.H., A comparison of the series Fourier and Birkhoff, Trans. Amer. Math. Soc. 1926, V.28, N4. P.695-761.

88. Yurko V.A., On higher-order differential operators with a singular point, Inverse Problems, 9(1993), P.495-502.

89. Zhornitskaya L.A. and Serov V.S., Inverse eigenvalue problems for a singular Sturm-Liouville operator on (0,1), Inverse Problems 10 (1994), no.4, 975-987.

90. Zhou, Xin., Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities, Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989), no.7, 895-938.

91. Zhou Xin. Inverse scattering transform for systems with rational spectral dependence, J. Diff. Eq. 115 (1995), no. 2, 277-303.

92. Zhou, Xin., L2 -Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering transforms, Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), no.7, 697-731.

93. Кудишин П.М., О дифференциальных операторах высших порядков с особенностью. // Деп. в ВИНИТИ, 07.07.95, N2057-B95, 18с.

94. Кудишин П.М., Теорема равносходимости для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Современные проблемы теории функций и их приложения, Изд.Саратов.университета, 1996, С.68.

95. Кудишин П.М., Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Деп. в ВИНИТИ, 14.11.97, N3347-B97, 27с.

96. Кудишин П.М., Восстановление дифференциальных операторов высших порядков по спектральным данным в случае кратного спектра // Современные проблемы теории функций и их приложения. Изд-во Сарат. ун-та, 1997, С.92.

97. Кудишин П.М., Теорема равносходимости для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Изв. ВУЗов. Математика. 1998, N1(428), С.41-50.

98. Кудишин П.М., Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью // Теория приближений и гармонический анализ: Труды международной конференции.-Тула:ТулГУ, 1998, С.138-139.

99. Кудишин П.М., Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Математика, механика и их приложения: Материалы науч.- практ. конф., Саратов, октябрь 1997г. Изд.-во Сарат.ун-та, 1998, С.23-24.

100. Кудишин П.М., О единственности решения обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Региональная научная конференция "Молодежь и наука на пороге XXI века". Саратов, СГУ, 1998, С.60-61.

101. Кудишин П.М., Критерий разрешимости обратной задачи // Воронежская зимняя математическая школа. "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов ( 27 января 4 февраля ), 1999, С.110.