Обратная задача для пучков дифференциальных операторов высших порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1.Единственность решения обратной задачи

1.1. Постановка обратной задачи, формулировка результатов

1.2. Аналитические свойства матрицы Вейля

1.3. Доказательство теоремы единственности

Глава 2. Конструктивное решение обратной задачи

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Вывод основного уравнения обратной задачи

2.3. Достаточные условия разрешимости обратной задачи

Глава 3. Дифференциальные операторы с простым спектром

3.1. Постановка задачи

3.2. Вспомогательные результаты

3.3. Вывод основного уравнения

Одной из молодых и динамично развивающихся отраслей математики являются обратные задачи спектрального анализа. Они заключаются в определении операторов по их известным спектральным характеристикам. Теория обратных задач играет большую роль в различных разделах математики и имеет множество приложений в естествознании. Например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний и т.д. В то же время, многие важные классы обратных задач, в силу их сложности, изучены недостаточно или совсем не изучены.

Наиболее полные результаты в теории обратных задач получены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля

-у" + д{х)у. (0.1)

Обратные задачи для дифференциальных операторов (0.1) исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, М.Г. Гасымова, И.М.

Гельфанда, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, В.А. Марченко, Ф.С. Рофе-Бекетова, В.А. Садовничего, А.Н. Тихонова, Л .Д. Фаддеева и других (см [1-24] и литературу в них).

Первый результат в этой области был получен В.А. Амбарцумяном [1]. Он доказал, что если собственные значения краевой задачи

-у" + я(х) у = Ху, я(х) € С[0, тг], У (0) = у И = 0 есть А^ = к2 , то ц{х) = 0. Но этот результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и, в общем случае, одного спектра недостаточно для однозначного определения дифференциального оператора (0.1). Впоследствии Г. Борг доказал, что для однозначного определения потенциала ц{х) на конечном интервале достаточно задания двух спектров {Х^}к>о, 3 — 1,2 краевых задач для дифференциального оператора (0.1) с распадающимися краевыми условиями вида

0) + Н3-у(0) = у(Т) = 0, Нф2 - Н2Ы ф 0.

Н. Левинсон [3] предложил иной метод доказательства результатов Г. Борга, основанный на развитии метода контурного интеграла. В работе А.Н. Тихонова [4] получена теорема единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля в случае кусочно-аналитического потенциала.

Большую роль в спектральной теории дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. Использовав оператор преобразования, В. А. Марченко [5], [6] показал, что дифференциальный оператор Штурма -Лиувилля, заданный на полуоси или на конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции. Также им была доказана эквивалентность, с точки зрения обратной задачи, задания спектральной функции и функции Вей ля. В работе И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [7] были получены необходимые и достаточные условия и метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции. При доказательстве этих результатов ими был использован оператор преобразования.

Для изучения несамосопряженных дифференциальных операторов В.А. Марченко в работах [9], [10] применил обобщенную спектральную функцию или, что то же самое, обобщенную функцию Вейля.

Обратная задача на всей оси для операторов (0.1) исследовалась в работах М.Ш. Блоха, П. Дейфта, Ж. Кей, Г. Мозеса, Ф.С. Рофе-Бекетова, Е. Трубовица, Л.Д. Фаддеева [17-24] и др.

Многие приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами

3=0

В сравнении с дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля, обратная задача для операторов (0.2) сложнее для изучения. В различных постановках она исследовалась в [25]-[43] и др. В работах А.Ф.Леонтьева [44], В.И.Мацаева [45], М.К.Фаге [46], А.П.Хромова [47] было показано, что оператор преобразования при п > 2 имеет более сложную структуру, что делает его использование для решения обратной задачи существенно более сложным. Однако, в случае аналитических коэффициентов оператора (0.2) (см. [29], [48]) операторы преобразования имеют такой же вид, как и для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В работах М.Г.Гасымова [49], Л.А.Сахновича [29]-[31], И.Г.Хачатряна [32], [33] исследовалась обратная задача восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратная задача рассеяния с помощью " треугольного" оператора преобразования.

З.Л.Лейбензон [25]-[28] исследовал обратную задачу для дифференциального оператора (0.2) на конечном отрезке при условии "разде-ленности" спектров. Он предложил иной метод решения обратной задачи, основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей Н.Левинсона [3]. Надо отметить, что этот метод оказался очень эффективным, и нашел свое развитие в работах многих авторов. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах R.Beals, P.Deift, C.Tomei, X.Zhou, В.А.Юрко [35]-[43], [50]-[53].

Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю.Е.Аниконова, Ю.М.Бере-занского, А.Л.Бухгейма, И.А.Васина, A.M. Денисова, В.В.Дубровского, С.И.Кабанихина, Л.П.Нижника, Д.Г.Орловского, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, В.А.Садовничего, В.А.Юрко. [54] - [64].

В настоящей работе исследуется обратная задача спектрального анализа для пучков дифференциальных операторов высших порядков

1у = У{п) + Е Pk{x, р)уЫ = 0, х € (0, +оо), (0.3) к=0 на полуоси. Здесь

Рк(х,Р) = Ерп-'РФ). i=k

Прямые задачи спектрального анализа для уравнения (0.3) на конечном интервале достаточно полно изучены в [65]-[70] и других работах. Некоторые аспекты теории обратных спектральных задач для пучков дифференциальных операторов (0.3) для второго порядка, на конечном интервале, исследовались в работах А.В.Баева, Е.А.Барановой, М.Г.Гасымова, Г.Ш.Гусейнова, В.А.Юрко и других [71]-[Т6]. На полуоси обратная задача для уравнения (0.3) в случае п = 2 исследовалась в работе [77].

Надо отметить, что в случае произвольного п в теории обратных задач для уравнения вида (0.3) автору известна работа Юрко В.А. [78] для случая аналитических коэффициентов.

Структура дифференциального пучка (0.3) обуславливает трудности в исследовании обратной задачи. Оператор преобразования не годится для этих целей ввиду сложности своей структуры. Поэтому в данной работе реализован иной подход, связанный с развитием идей метода контурного интеграла.

В данной работе в качестве основной спектральной характеристики вводится так называемая матрица Вейля М(р) = [Мтк{р)]т (определение матрицы Вейля см. в главе 1), которая наиболее полно выражает спектральные свойства дифференциального оператора (0.3). Надо отметить, что эта спектральная характеристика является обобщением классической функции Вейля, определенной для случая п = 2 (см. [13]). Для произвольного п матрица Вейля была впервые введена по аналогии с классическим случаем В.А.Юрко [35]. Отметим, что к обратным задачам по функциям Вейля сводятся, в частности, все вышеперечисленные обратные задачи: по дискретным данным З.Л.Лейбензона, по спектральной функции, по системе спектров, по следам решений уравнений с частными производными.

Основной целью работы является исследование обратной задачи восстановления коэффициентов дифференциального пучка (0.3) по заданной матрице Вейля. При этом по сравнению со случаем обыкновенного дифференциального уравнения появляются качественно другие закономерности, связанные с нелинейным вхождением спектрального параметра и произвольностью корней характеристического уравнения. В работе проведено исследование аналитических и структурных свойств матрицы Вейля, для пучка (0.3), доказана теорема единственности восстановления дифференциального оператора по матрице Вейля. Также получено конструктивное решение обратной задачи и достаточные условия ее разрешимости. Центральным местом здесь является построение и исследование так называемого основного уравнения обратной задачи, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения. Возникающие при этом трудности преодолеваются выявлением и использованием структурных свойств функций Вейля, введением вспомогательного дифференциального уравнения.

Данная диссертация состоит из трех глав. В главе I проводится исследование спектральных свойств пучков дифференциальных операторов, дается постановка обратной задачи, доказывается единственность ее решения. В частности, в §1.1 вводится дифференциальное уравнение, дается постановка задачи.

В §1.2 вводятся фундаментальные системы решений, необходимые при исследовании дифференциального оператора (0.3), исследуются аналитические и асимптотические свойства матрицы Вейля, а также доказываются вспомогательные утверждения, необходимые при доказательстве теоремы единственности.

§1.3 главы I посвящен доказательству теоремы единственности восстановления пучков дифференциальных операторов по функциям Вейля.

В главе II диссертации приводится построение конструктивного решения обратной задачи.

Сложность вывода основного уравнения обратной задачи обусловила большую подготовительную работу, которой посвящен §2.1.

В §2.2 строится основное уравнение обратной задачи которое при каждом фиксированном х является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве. Здесь ф(х,р) - вектор-функция, подлежащая определению, а функции ф{х, р) и г{х, /?, р) строятся по известному модельному дифференциальному оператору и матрице Вейля М{р). Получены также явные формулы для коэффициентов дифференциального пучка (0.3), предложен алгоритм восстанов7 г(х,р,р)ф(х,р)с!р р е 7, (0.4) ления дифференциального оператора по спектральным данным.

§2.3 посвящен наиболее трудному вопросу: получению достаточных условий разрешимости обратной задачи. Эти условия получены опираясь на основное уравнение обратной задачи. При этом используются структурные свойства матрицы Вейля, выявленные в предыдущих параграфах.

Глава 3 посвящена изучению оператора (0.3) в случае простого спектра. В этом случае основное уравнение обратной задачи (0.4) возможно "стянуть" на дискретное множество А', состоящее из простых полюсов матрицы М(р) и совокупность двусторонних разрезов.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [79]-[85].

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.А.Юрко за постановку задачи и руководство ходом исследования.

1. Ambarzumian V.A., Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie, Zs.f. Phys. 53 (1929), 690-695.

2. Borg G., Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Acta Math. 78 (1946), 1-96.

3. Levinson N., The inverse Sturm-Liouville problem, Math. Tidsskr. 13 (1949), 25-30.

4. Тихонов A.H., О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР, 1949, т.69, N 6, 797-800.

5. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 1950, т.72, N3, 457-460.

6. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва, 1952, т. 1, 327-420.

7. Гельфанд И.М., Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. матем, 1951, т.15, 309-360.

8. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН, 1964, т.19, N 2, 3-63.

9. Марченко В.А., Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка // Матем. Сб., 1960, т.52(94), N 2, с. 739-788.

10. Марченко В.А., Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: "Наукова Думка", 1972.

11. Марченко В.А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: "Наукова Думка", 1977.

12. Левитан Б.М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: "Наука", 1984.

13. Левитан Б.М., Саргсян И.С., Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: "Наука", 1988.

14. Крейн М.Г., Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР, 1951, т.76, N 1, 21-24.

15. Крейн М.Г., Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР, 1954, т.94, N 6, 987-990.

16. Poschel J. and Trubowitz E., Inverse spectral theory. Academic Press, New York, 1987.

17. Блох М.Ш., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной матрице-функции // ДАН СССР, сер. матем., 1953, т.92, N 2, с.209-212.

18. Рофе-Бекетов Ф.С., Спектральная матрица и обратная задача Штурма- Лиувилля на оси // Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков, 1967, вып.4, 189-197.

19. Фаддеев Л.Д., О связи S-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР, 1958, т.121, N 1, 63-66.

20. Фаддеев Л.Д., Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова, 1964, т.73, 314- 336.

21. Kay J. and Moses Н., The determination of the scattering potential from the spectral measure function IJ J Nuovo Cimento 2 (1955), 917-961.

22. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function II f f Nuovo Cimento 3 (1956), 56-84.

23. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potentialfrom, the spectral measure function III, Nuovo Cimento 3 (1956), 276-304.

24. Deift P. and Trubowitz E., Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl. Math. 32 (1979), 121-251.

25. Лейбензон З.Л., Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п > 2 и преобразования таких операторов // ДАН СССР, 1962, т. 142, N 3, 534- 537.

26. Лейбензон З.Л., Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды Моск. ма-тем. о-ва, 1966, т.15, 70-144.

27. Лейбензон З.Л., Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды Моск. матем. о-ва, 1971, т.25, 15-58.

28. Лейбензон З.Л., Спектральные характеристики самосопряженных и несамосопряженных систем с простым спектром // Тр. Летней школы по спектр, теории операторов и теории представления групп. Баку, 1975, С.149-160.

29. Сахнович Л.А., Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п > 2 с аналитическими коэффициентами // Ма-темат. сб., 1958, т.46(88), N 1, 61-76.

30. Сахнович Л.А., Метод оператора преобразования для уравнений высших порядков // Матем. сб., 1961, т.55(97), N 3, 347- 360.

31. Сахнович Л.А., Об обратной задаче для уравнений четвертого порядка // Матем. сб. 1962. Т.56(98), N 2. С.137-146.

32. Хачатрян И.Г., О единственности восстановления дифференциального оператора с аналитическими коэффициентами по его спектральной матрице-функции // ДАН Арм. ССР, 1980, т. 71, N 2, 91- 97.

33. Хачатрян И.Г., О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси //Функц. Анализ и его прилож., 1983, т.17, N 1, 40-52.

34. Хачатрян И.Г., Об одной обратной задаче для дифференциальных операторов высших порядков на всей оси // Изв. АН Арм. ССР,Сер. Матем., 1983, т. 18, N 5, 394- 402.

35. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных операторов, Саратов: изд-во СГУ, 1989, 176 с.

36. Юрко В.А., Восстановление дифференциальных операторов высших порядков // Диффернц. уравнения, 1989, Т.25, N 9, 1540-1550.

37. Юрко В.А., Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Математ. сб. 1991, т. 182, N 3, 431-456.

38. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных операторов на полуоси II Изв. ВУЗов. Математика, 1991, N 12, 67-76.

39. Юрко В.А., Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Математ. заметки, 1995, Т.57, вып. 3, 451-462.

40. Yurko V. A., Inverse spectral problems for differential operators and their applications. Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 2000.

41. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов, Изд-во СПИ, 2001.

42. Beals R., The inverse problem for ordinary differential operators on the line Ц Amer. J. Math. 107 (1985), 281-366.

43. Beals R., Deift P. and Tomei C., Direct and inverse scattering on the line, Math. Surveys and Monographs, v.28. Amer. Math. Soc. Providence: RI, 1988.

44. Леонтьев А.Ф., Оценка роста решения одного дифференциального уравнения // СМЖ, 1960, Т.1, N 3, С.456-487.

45. Мацаев В.И., О существовании оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков // ДАН СССР, 1960, Т.130, N 3, С.499-502.

46. Фаге М.К., Интегральные представления операторно-аналитических функций одной независимой переменой // Тр. Моск. матем. о-ва, 1959, Т.8, С.3-48.

47. Хромов А.П., Операторы преобразования для дифференциальных уравнений произвольных порядков ./ Исслед. по дифф. уравнениям и теории ф-ий, Саратов, 1971, Вып. 3, С. 10-24.

48. Хачатрян И.Г., Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков // Изв. АН Арм.ССР. Сер. ма-тем., 1978, Т.13, N 3, С.215-237.

49. Гасымов М.Г., Единственность решения обратной задачи теории рассеяния для одного класса обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка // ДАН СССР, 1982, Т.266, N 5. С. 10331036.

50. Deift P. and Zhou, Xin, Direct and inverse scattering on the line with arbitrary singularities ff Comm. Pure Appl. Math. 44 (1991), N 5, 485-533.

51. Zhou, Xin., Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities // Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989), N 7, 895-938.

52. Zhou Xin. Inverse scattering transform for systems with rational spectral dependence // J. Diff. Eq. 115 (1995), N 2, 277-303.

53. Zhou, Xin., L2~Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering transforms // Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), N 7, 697731.

54. Аниконов Ю.Е., Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, 1978.

55. Березанский Ю.М., Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // ДАН СССР, 1955, Т.105, N 2, С.197-200.

56. Березанский Ю.М., О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. матем. о-ва, 1958, Т.7, С.3-51.

57. Бухгейм А.Л., Введение в теорию обратных задач. Новосибирск, Наука, 1988.

58. Freiling G., Yurko V., Inverse Sturm-Liouvillle problems and their applications New York, Nova Science Publishiers, 2001.

59. Denisov KM.,Elements of the theory of IPs. Inverse and Ill-posed Problems Series. VSP, Utrecht, 1999.

60. Дубровский В.В., Садовничий В.А., Некоторые свойства операторов с дискретным спектром // Дифференц. уравнения, 1979, Т.15, N 7, С.1206-1211.

61. Нижник Л.П., Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. Киев, Наукова Думка, 1991.

62. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving IPs in mathematical physics. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 231. Marcel Dekker, Inc., New York, 2000.

63. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Москва, Наука, 1991.

64. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. Москва, Наука, 1984.

65. Тамаркин Я.Д., О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.

66. Келдыш М.В., О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, N 1, С.11-14.

67. Шкаликов А.А., Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды сем. им. И.Г.Петровского. N 9. М.: Изд-во МГУ, 1983, С. 190-229.

68. Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и элиптические задачи // Функц. анализ и его прилож. 1983, Т.17, N 2, С.38-61.

69. Вагабов А.И., Об асимптотике решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром // Дифференциальные уравнения, 1985, Т.21, N 9, С.1475-1479.

70. Rykhlov V.S. Asymptotical formulas for solutions of linear differential systems of the first order. // Results Math. 36 (1999), no. 3-4, 342-353.

71. Баев А.В. О решении обратных задач диссипативной теории рассеяния // ДАН СССР, 1990, Т.315, N 5, С.1103-1104.

72. Баев A.B. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача // Математические заметки, 1990, Т.47, N 2, С.149-150.

73. Баранова Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях // Дифференц. уравнения, 1972, Т.8, С. 2130-2139.

74. Гасымов М.Г. Гусейнов Г.III. Определение оператора диффузии по спектральным данным // Докл. АН Азерб. ССР. 1981, Т.37, N 2, С.19-23.

75. Юрко В.А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Изв. АН Арм. ССР. Сер. матем. 1984, Т.19, N 5, С. 398-409.

76. Yamamoto M. Inverse eigenvalue problem for a vibration of a string with viscous drag // J.Math. Anal. Appl. 1990, V. 152, N 1, P. 20-34.

77. Юрко В.А. Обратная задача для пучков операторов // Матем. сборник, 2000, Т. 191, N 10, С. 137-160.

78. Юрко В.А. Обратная задача для систем дифференциальных уравнений с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Дифференц. уравнения, 1997, Т. 33, N 3, С. 390-395.

79. Лукомский Д.С. Об одной обратной задаче для пучков дифференциальных оператоов высших порядков //Молодежь и наука на пороге XXI века; Региональная научная конференция; Саратов, 4.045.05. 1998, с. 58-59.

80. Лукомский Д.С. Основное уравнение обратной задачи для пучков дифференциальных операторов в случае простого спектра// Современные проблемы теории функций и их приложения; Тезисы докладов 10-ой Саратовской зимней школы, 27.01-1.02. 2000 с. 85.

81. Лукомский Д. С. О решении обратной спектральной задачи дляпучков дифференциальных операторов // Обратные и некорректно поставленные задачи; тезисы докладов конференции, Москва, 20.0621.06 2000, с. 48.

82. Лукомский Д.С. О матрице Вейля для пучков дифференциальных операторов на полуоси // Математика. Механика, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2000, с. 69-71.

83. Лукомский Д.С. О достаточных условиях разрешимости обратной задачи для пучков дифференциальных операторов // Математика. Механика. Сборник научных трудов, изд-во Саратовского унта, Саратов, 2001, с.78-81.

84. Лукомский Д.С .Теорема единственности решения обратной задачи для пучков дифференциальных операторов // Саратов. Гос. ун-т. Саратов, 2002. - 37с. - Библиогр.: 81 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 25.06.02 1177 - В 2002.

85. Regge Т. Construction of potentials from resonance parameters // Nuovo Cimento, X. Ser. 8 (1958), 491-503

86. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, "Наука", 1971.

87. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва, 1959.

88. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Москва, 1977.

89. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Москва, 1967.РОССИЙСКАЯГОСУДАРСТВЕННА/! ВИБЛИОТтагъ г.- ОСЬ