Прямые и обратные задачи спектрального анализа и их приложения к нелинейным эволюционным операторам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

Поплавский Дмитрий Владиславович

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕЛИНЕЙНЫМ ЭВОЛЮЦИОННЫМ ОПЕРАТОРАМ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2006

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель -

Официальные оппоненты -

Ведущая организация -

доктор физико-математических

наук, профессор

Юрко Вячеслав Анатольевич

доктор физико-математических

наук, профессор

Новиков Сергей Яковлевич

кандидат физико-математических наук, додент

Рыхлов Виктор Сергеевич

Башкирский государственный университет

Защита диссертации состоится 7 сентября 2006 г. в 16 ч. 30 мии. на заседании диссертационного совета К 212.243.02 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент '¿/¿{¿(¿¡Н Корнев В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исторические сведения. В работе исследуются прямые и обрат-вые задачи спектрального анализа для специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов на полуоси и их приложение к решению начально-краевых задач для нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Спектральная теория дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложение в естествознании и технике. Интерес к задачам спектральной теории операторов постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений и в настоящее время спектральная теория интенсивно развивается во всем мире.

Большинство исследований в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов относятся к дифференциальным уравнениям произвольного порядка п > 2 вида1

а также к связанным с ними более общим объектам. Первые исследования по спектральной теории операторов вида (0.1) при п = 2 были выполнены Даламбером, Эйлером, Лиувил-лем, Штурмом и Д. Бернулли в связи с решением уравнения, описывающего колебание струны. Интенсивное развитие спектральная теория для различных классов операторов получила в XX веке. Глубокие идеи здесь принадлежат Г. Бирхгофу, Г. ВеВлю, Д. Гильберту, К. Нейману, В.А. Стеклову, М. Стоуну и другим математикам. Как известно, прямые задачи спектрального анализа заключаются в изучении свойств спектра и корневых функций операторов, а также вопросов полноты и спектральных разложений. Обратные задачи состоят в определении операторов по их спектральным характеристикам. Во второй половине XX века существенный вклад в исследование прямых задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов внесли работы А.Г. Костю-ченко, В.Б. Лидского, М.А. Наймарка, В.А. Садовничего, Я.Т. Султанаева, М.К. Фаге, А.П. Хромова, A.A. Шкаликова и других математиков. Основные результата в теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Амбарцумяна, Р. Билса, Г. Борга, М.Г. Гасымова, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лейбензона, В.А. Марченко, Л.А. Сахвовича, Л.Д. Фадеева, И.Г. Хачатряна, В.А. Юрко и других авторов. В то же время целый ряд важных задач спектральной теории дифференциальных операторов в силу их сложности остается неисследованным, особенно в сингулярном случае.

Спектральная теории дифференциальных операторов играет центральную роль при интегрировании некоторых важных нелинейных эволюционных уравнений математической физики. В 1967 году Г Гзднер, Ж. Грин, М. Краскал, Р. Миура открыли замечательный метод решения задала Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)

у<п) + ЕР-МУ'"' =

(0.1)

и, - 6иих + игы = 0, —ОО < I < со, t > 0,

u(z, 0) = Uo(i),

связанной с обратной задачей рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля

(0.3)

од =--£+«(*. о

1 Нумерация формул, теорем, лемм и пр. взята из диссертации.

с параметром £ > 0. Было установлено, что задача Коши (0.3) для уравнения КдФ, имеющего эквивалентное представление вида

¿ = Л£-£Л, Ьу := -у" + «(г, 1)у, Ау := -4у"' + 6ч(х, 4)у' + Зих(х, Ь)у

(здесь точка обозначает дифференцирование по £), может быть решена методом, представленным следующей схемой

Данный метод интегрирования получил название метода обратной задан и. Ключевые моменты метода состояли в следующем. Во-первых, нелинейной эволюции потенциала u(r, t) по i соответствовала линейная эволюция данных рассеяния S(L(t)). Во-вторых, существенно использовалось наличие достаточно развитой спектральной теории для оператора Штурма-Лиувилля на оси.

Впоследствии метод обратной задачи был распространен и на другие нелинейные интегрируемые эволюционные уравнения. Каждому такому нелинейному уравнению соответствует своя специфическая спектральная задача для некоторого дифференциального оператора. Например, нелинейному уравнению Шредингера соответствует обратная задача для системы Дирака, а уравнению Буссинеска — обратная задача для уравнения (0.1) при п — 3. Таким образом, принципиально важным моментом применимости метода обратной задачи для конкретного нелинейного эволюционного уравнения является наличие достаточно развитой спектральной теории для соответствующего дифференциального оператора, особенно наличие теории решения обратной задачи спектрального анализа. В некоторых случаях (например, для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шредингера) обратные задачи спектрального анализа для соответствующих операторов (Штурма-Лиувилля и Дирака соответственно) были решены ранее; в других случаях (например, для уравнения Буссинеска) потребовалось создавать теорию решения обратной задачи для соответствующих дифференциальных операторов. В настоящее время метод обратной задачи спектрального анализа для решения задач Коши для нелинейных эволюционных уравнений на оси достаточно изучен. Существенно более трудным является применение метода обратной задачи к исследованию начально-краевых задач, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на полуоси. Основные трудности здесь порождаются наличием нелинейного отражения. В настоящее время в теории начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. Некоторые аспекты этой теории изучались в работах Р.Ф. Бикбаева, A.B. Фаминского, И.Т. Хабибулина, М.Ю. Игнатьева и других авторов, но в них рассматривались лишь очень частные случаи и в основном для уравнения КдФ и родственных с ним уравнений. Таким образом, важность рассматриваемых в диссертации задач свидетельствует об актуальности темы диссертации.

В диссертации исследуются вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов вида (0.1), связанные с применением метода обратной задачи спектрального анализа для решения начально-краевой задачи для нелинейной эволюционной системы Богоявленского2

u(',t) L(t)

u(-,0) L{0)

{

Ut = —UXIX + 6 UUX + 6t'j

Vi = 2vZII — 6uvx

(0.4)

2 Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся соли тоны в двумерных интегрируемых уравнениях. УМН 45, Л* 4, 1990, 17-77,

в области

D = {(z,t): а: > О, < > 0}. Система (0.4) имеет эквивалентное представление

L = AL — LA,

где

1У := !/Ю + Ы*> t)y')' +Ро(х, t)y, (0.5)

Ay:^-4yW-Zp2(x,t)y'-lp'a{x,t)y,

Рг{х, t) - -2u(ar, i), Po(z, <) = i) + иг{х, t) - и«(г, t).

Таким образом, спектральная задача, соответствующая системе (0.4), относится к дифференциальному оператору четвертого порядка вида (0.5). Кроме этого, в диссертации рассматривается начально-краевая задача для векторного модифицированного уравнения КдФ3, связанная со спектральной теорией для дифференциальных систем с кратными корнями характеристического многочлена на полуоси.

Цель работы. Основными целями диссертации являются следующие.

• Исследовать обратную задачу спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков на полуоси.

• Исследовать прямые задачи спектрального анализа, связанные с применением метода обратной задачи к решению начально-краевой задачи для системы Богоявленского на полуоси.

• Построить методом обратной спектральной задачи конструктивную процедуру решения начально-краевой задачи для системы Богоявленского на полуоси.

• Получить необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского.

• Построить методом обратной спектральной задачи конструктивную процедуру решения начально-краевой задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ на полуоси.

Методика исследования. Используются методы спектральной теории операторов, функционального анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории аналитических функций, асимптотические методы.

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие.

• Получено решение обратной задачи спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков на полуоси.

• Доказана теорема о полноте для сингулярных дифференциальных пучков операторов на полуоси.

• Методом обратной спектральной задачи получено глобальное решение начально-краевой задачи для системы Богоявленского на полуоси.

• Получены необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского.

эНаянов В.И. Многопалевые солитопы. М.: Наука, 2005.

• Методом обратной спектральной задачи получено глобальное решение начально-краевой задачи для векторного модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза на полуоси.

Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в спектральной теории операторов и ее приложениях, при исследовании различных прикладных задач естествознания и техники, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на семинаре по спектральной теории кафедры математической физики и вычислительной математики СГУ (руководитель — профессор В.А. Юрко), на международном коллоквиуме "Обратные задачи и их приложения" (Германия, Дуйсбург, 2003), на научных конференциях "Математика, механика и их приложения" механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2003, 2004, 2005, 2006), на 12-ой (Саратов, 2004) и 13-ой (Саратов, 2006) Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функции и их приложения", на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 2006) "Современные методы теории краевых задач", на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математической физики и вычислительной математики и кафедры математического анализа СГУ (руководитель - профессор А.П. Хромов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (62 наименования). Общий объем диссертации 116 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В параграфе 1.1 первой главы приводится решение обратной спектральвой задачи восстановления коэффициентов дифференциального оператора произвольного порядка. В качестве основной спектральной характеристики используется матрица Вейля, которая является обобщением классической функции Вейля для оператора Штурма-Лиувилля. Исследуются свойства матрицы Вейля и строится конструктивная процедура решения обратной задачи. Даются необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Основным методом исследования является метод спектральных отображений, разработанный в работах В.А. Юрко4.

Рассматривается дифференциальное уравнение и линейные формы следующего вида п-а

i!C=y(") + £p,(i)y("> = Ay, А = р", z > 0, (1.1)

где p„(i) — комплекснозначные суммируемые на полуоси функции. Известно, что р -плоскость можно разбить на сектора S раствора J (argp 6 v = 0,2п - l),

в каждом из которых корни ГЬГ2,..., г„ уравнения г" — 1 = 0 можно занумеровать так, чтобы

Де(рг,) < Re(pr2) <...< Re{prn). (1.2)

4 Yurko V.A. Method of Spectral Mappinga in the Inverse Problem Theory. Inverse and Dl-posed Problems Series. VSP, Utrecht, 2002.

Пусть Фт(х, А), т = 1, п — решения уравнения (1.1) дри условиях

tWM = J£t», £ = I7»ñ, $„,(*, А) = 0(ерг-1), I — ос, т = 17й, p€S

(5{т — символ Кровекера) в каждом секторе со свойством (1.2). Положим

А«А) = <С40(Фт), М(А) = (AWA)],^^.

Определение 1.1. Решения Фт(х,А) называются решениями Вейля, а функции Mmt(X) — функциями Вейля. Матрица М(А) называется -матрицей Вейля для дифференциального оператора (1-1).

Постановка обратной задачи. По заданной матрице Вейля М(А) построить дифференциальный оператор (1-1).

В теореме 1.1 получены аналитические и асимптотические свойства матрицы Вейля. Пусть Г = {А: 1т А = 0}, Г-ц = {А: ±А >0}; П, П±1 — А— плоскость с разрезом Г, Г±1 соответственно.

ТЕОРЕМА 1.1. Функция Вейля Aímjt(A) является аналитической в П(_])—m за исключением не более чем счетного ограниченного множества полюсов А!^.

При {—1)"~тХ >0 за исключением ограниченных множеств Л^ существуют ко. печные пределы

M±t(A)=lim AÍ^Aii*), Лег > 0. . При -* оо, р 6 ~3 имеет место представление

Л/т*(А) = р*->^(1 + 0(/>"1)). (1-9)

где fi%¡. — некоторые фиксированные числа, зависящие только от выбора сектора S. Пусть Л^Л^иЛ^иЛ^, Л= U Л„*.

т,к

Условимся в обозначениях. Если рассматривается некоторый дифференциальный оператор I, то наряду с ним рассматривается дифференциальный оператор I того же вида, но с другими коэффициентами. Если некоторый снмвол <р обозначает объект, относящийся к I, то \р обозначает аналогичный объект, относящийся к 1, и !р <р — !р. Символ обозначает аналогичный объект, относящийся к сопряженному оператору Г.

В следующей теореме доказана однозначная разрешимость обратной задачи по матрице Вейля.

ТЕОРЕМА 1.2. Если М{А) = М(А), то 1 = 1. Другими словами, задание матрицы Вейля М(А) однозначно определяет дифференциальный оператор (i.l).

Перейдем теперь к изложению процедуры решения обратной задачи. Пусть задана матрица Вейля М(А) оператора í е V^. Выберем модельный оператор I 6 Vjv так, чтобы

Mn,m+.(A) = 0(р'п-1), |А[ оо. (1.45)

Здесь Vh — класс операторов 2 с коэффициентами р„(х) 6 VV„+jV, v — 0,п — 2, N > 0 — фиксированное целое число, где W¡, — множество функций f{x), х > 0 таких, что /(i), f'(x),/t—1'^) - абсолютно непрерывны и 6 L(0, оо), к = 0, и.

Центральную роль при решении обратной задачи играет основное уравнение, имеющее следующий вид

ф(х, А) = Ñ(X)<р(х,A) + ¿j|r(r, А,ß) dß, А е 7, (1.38)

•г

где 7 — 7U 7о ü 7i — замкнутый контур в А— плоскости с обходом против часовой стрелки, 7о — ограниченный замкнутый контур, охватывающий множество Л U Л U {0} (Л U Л Ü {0} С int7o), 7±i — двусторонний разрез вдоль луча {А : ±А > 0, А £ int70}. Здесь матричные функции ф(х, A), jV(A), f(х,\,р) строятся по матрице Вейля М(\) оператора (1.1) и объектам модельного оператора I.

Важно отметить, что доказана однозначная разрешимость основного уравнения в соответствующем банаховом пространстве. Опираясь на решение основного уравнения можно получить процедуру решения обратпой задачи.

Следующая лемма устанавливает связь между коэффициентами операторов I и I.

Лемма 1.7. Справедливы соотношения

ív(i) = р„(х) + е„(х), i/ = Ü,n-2, (1.51)

где функции £„(х) определяются по формулам (1.47)-(1.50).

Процедура решения обратной задача.

1) По заданной матрице Вейля М(А) и объектам модельного оператора I строим г(х,А,^), #(А) и

2) Решая основное уравнение (1.38), находим <р(х, А).

3) Используя решение основного уравнения, восстанавливаем коэффициенты ру{х) по формулам (1.51).

На базе основного уравнения также формулируются необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи по матрице Вейля.

Обозначим W — множество матриц А/(А) = [A/m*M]m t=rñ> таких, что

1) Mnt(А) = <U, т > к; Мтк(\) = 0(рк-т), |А| оо, т < к;

2) функции Mmjt(A) аналитичныны в П{_1)«-™ за исключением не более чем счетного ограниченного множества полюсов А'тк и непрерывны в за исключением ограниченных множеств Лтк\

3) функции A/mt(A) - Mm,„,+l(A)Mm+itifc(A) аналитичны при А € Г(_1)«-». \ Л, где Л = U Amjt (множество Л свое для каждой матрицы Л/(А)).

тук

Теорема 1.5. Для того, чтобы матрица М(А) £ W была матрицей Вейля для оператора I G Vtf, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия

1) существует оператор I £ Vn такой, что Mm,m+i(A) = 0(р~"~1), |А| —» оо;

2) при х > 0 уравнение (1.SS) имеет единственное решение в классе П~1(х. А)^(х, А) 6 В, причем sup ]jfi—1(x, A)v?(x, А)|[а < оо;

X

3) е„(х) 6 IK.+.V, V = 0, п — 2, где функции £„(х) определяются по формулам (1-4V~

(1.50).

При выполнении этих условий дифференциальный оператор I строится по формулам

(1.51).

Параграфы 1.2-1.3 первой главы посвящены теореме о полноте (теорема 1.6) вектор-функций Ф*(г, А), определяемых по произведениям А)Ф^;(х, Л), у = 0,1 решений

Вейля дифференциального уравнения

1у := у<4) + Ы*)г/)' +PoMîi = *>0, (1.63)

гДе Po(i), Pi(x) — комплекснозначные, достаточно гладкие и суммируемые на полуоси функции. Теорема о полноте является основным результатом главы 1. Она находит применение во второй главе при исследовании начально-краевой задачи для системы Богоявленского. Отметим, что данная теорема имеет самостоятельное значение.

Предварительно введем необходимые понятия и факты. Свяжем с уравнением (1.63) следующие векторные уравнения типа Камке седьмого порядка

LxY(x) := У<7)(х) -(- £ ~ A(i2K<3>(i) + Л^У^х) + До(*)У(х)) = 0, (1.64)

J-0

s

L\Z{x) := -Z(r>(x) - ZZ^(x)P;(x) + А(Я<3>(:с)П + Z\x)R\{x) + Z{x)J%(x)) = 0, (1.65)

где

Y(x) = (УЦ*), Уг(х))г, Z(x) = (Z^x), Z2(x)),

PVrï- ( 6Й + Збро Юро \

p., л _ ( 4^3) + 24jfa + Юргй 5p'0 + Зйй \

2 W ~ \ 6p?> - 2¥o + f VA 2i43) " 6p'„ + 2pA) * P-(l) = ^ P24) + Ю(Рг)2 + W!> + |йй 3(ri)2+^ + 4poPs y

= 6р"0й), чм = ( t )• -( о°й

P5 = Pt = -PI + 5P*\ P3 = P- - 4fj' + 10PsP), P2 = -PJ + Щ' - PPT14 + iOPs*(3), p, = p,' - +3p;(2) - 4p;(3)+s p0 = +рг" - pî(2)+Рз(3) - p;(4)+p5*(s),

Следующая лемма устанавливает связь между уравнениями (1.63) и (1.65).

Лемма 1.10. Пусть у(х) и z(x) есть решения уравнения (1,63) (для простоты записи зависимость от переклейного А мы не указываем) такие, что при каждом фиксированном я > 0 функция (£ — х)у'(0г'(0 € Ь(х,<х). Обозначим

оо

{U{x),V(x)) = {y{x)z{x),j{t-x)yl(Oz'ii)dt).

X

Тогда вектор-функция (U(x), V(x)) удовлетворяет уравнению (1.65).

Пусть Ф*(х, А), к = 174 — решения Вейля уравнения (1.63). Определим вектор-функции = (Фн(г,А), Фи(^.А)), к = 17? следующим образом

оо

Ф*(г, А) = А>Ф,(1,Л),/« -

X

где к ~ р при у — 1, р— 1,3; к — А при ] = р — 2. В силу определения вектор-функций Ф*(х, А) и Леммы 1.10 имеет место

. Следствие 1.2. Вектор-функции Ф*(а:, А), к = Т74 удовлетворяют уравнению (1.65), то есть

ЦФ*(.т,А) = 0.

Кроме этого, в силу свойств решений Вейля, справедливо следующее

Ф1(г,А)-»0, к = 173, х-»оо, |А| > А*, 1т А 0.

Таким образом, нелинейные комбинации 1'к(х, А) решений дифференциального уравнения (1.63) образуют линейное подпространство убывающих на бесконечности решений линейной сингулярной дифференциальной системы типа Камке. Доказана следующая теорема о полноте системы {Ф*(аг,

Теорема 1.6. Пусть /(т) = (Мх),Мх))Т, где /¡{х),/2[х) е Ц0,оа), и пусть

оо

/ф*(*,А)/(:г)<*г = 0, к = 174, (1.72)

о

|А| > А*, 1т А ф 0.

Тогда- /(г) = 0 п.в. на [0,оо).

Доказательство теоремы о полноте состоит в исследовании соответствующих сингулярных краевых задач для неоднородных векторных уравнений типа Камке (1.64) и (1.65). При этом используется метод возмущения простейшего уравнения при построении функции Грина соответствующей сингулярной краевой задачи для неоднородного уравнения (1.64).

Во второй главе дается приложение прямых и обратных задач, рассмотренных в первой главе, к решению следующей начально-краевой задачи для нелинейной системы Богоявленского

{щ = -иххх + 6гтх + б«х,

(2-1)

и, = 2и1ГХ - 6х > 0, { > 0,

и(х, 0) = ио(1), v(x, 0) = г-'о(г), (2.2)

[ "(о,<) = «г(4), иг(о,1) = щ(1), иХ1(о,г) = щ(1), < (2.3)

I *(о,г) = ЫО. ^(0,0 = ^(0. »«{0,0 = »*(«)-

Здесь ик и к ~ 0,3 — непрерывные комплекснозначные функции своего аргумента.

Полагая D {(x,í) : х > 0, t > 0}, обозначим через J множество вектор-функций (f(x,t),g(x,t)) таких, что функции

J^/frOJ-ü* |(^/(l>t)),t=üjr, |s(x,t)

непрерывны в D и суммируемы на полуоси х 6 [0,оо) при каждом фиксированном t > 0. Будем говорить, что функции {n(x, t),v(x, í)} принадлежат классу Р, если вектор (u(x,í),v(x,t)) 6 J и функции u2(x,t),u^(x,í) € L(0,oo) при каждом фиксированном t > 0. Решение задачи (2.1)-(2.3) ищем в классе Р.

При фиксированном t > 0 рассмотрим следующее дифференциальное уравнение относительно х

ly ~ v<4) + (P2(i, £)у'У + po(i, t)y = Ау, А = р4, 0, (2.5)

где ft(x, t) = -2и(х, t), ро(х, t) = v(x, t) + u2(x, t) — uXI(x, t). Как уже отмечалось ранее, данное уравнение связано с системой Богоявленского (2.1). Обозначим

где Фк(х,<,А) — решения Вейля уравнения (2.5) при условиях

Положим

M(i, А) = [Mti(í, := Ф(0, t, А),

где Mki(t,\) = Ф^_1)(0,г,Л), fc < j — функции Вейля уравнения (2.5).

В диссертации получена эволюция элементов матрицы Вейля M(i, А) по переменной t в силу системы Богоявленского. Следует отметить, что в случае начально-краевой задачи эволюция спектральных характеристик носит нелинейный характер. Тем не менее, удалось получить глобальное решение нелинейных эволюционных уравнений для элементов матрицы Вейля соответствующего дифференциального оператора. Точнее, доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть {u(x,t),t>(x,t)} 6 Р — решение задачи (2.1)-(2.3) и М°(А) = [Л/Д (A:= [Mjt (0, — матрица Вейля для начальных условий {tto(x), 1>о(х)}.

Обозначим

«4(t)=.-Ül(í)+6ui(t)"2W+6^(<). 1 (231)

ui(t) = -Û2(t) + 6ul(t)v3(t) + 6t4(t) + 6v3(t) J

и

F(í, А)«=

' 3uj,

—4А + ivi + 4«i — «з, 4V2 + &ЩЩ — U4,

—2ui(A — vi~u\ — 3u3)+ \ +4v3 + 8u| — «s,

Пусть матрица R(t, A) = A)]jесть решение задачи Коиm

Rt{t, А) = A)F(t, A), R(t, A) |_D= Et. (2.33)

6ии 0, -4

«2, —2uj, 0

-4А + 4v, + 4u?, -«s. —2ui

8vi + 12и,и2 — U4, -4A + 4t>i — из, —3uj

(2.32)

Тогда элементы матрицы Вейля Л/(£,Л) удовлетворяют следующим нелинейным эволюционным уравнениям по переменной {

Мц = №1 + Р12М12 + Р^Ми + Л/н)-

+ РпМп + Г13М13 + РиМи), з = 2~1;

М2, = (^¡2 + ^зЛ'Ь + РцМм) - М2]{р22 + Р23М23 +

+(-Л/ъ- + М12Му){Ёи + АзЛЬ + Г1(М!4), ./ = 3,4; (2.34)

М34 = + РиМ34) - Мз4(Йз + Кз4МЗ4)+

+ Д/2зМз4)(112з + Р2лМи)+

+{-Мы + МпМ21 + МцМц - МпМ23Ми){Рц + РиМи).

Более того, элементы матрицы Вейля М{¿, А) могут быть вычислены по следующим формулам

А) = (-^'«Д,1^, А)(Д<»((, Х))-\ ] = 274; А) = (-1рд'2)((, А)(Д^(г, А))-1, j = 3,4; Мы(и А) = -Д13)(£, А )(Д<3,(£, А))"1,

(2.35)

г<3е

4«,

ду = det[ñp, - MïrliuUu^TÂv' j = 1.4;

Af = det[ñj,8 - M°pR2í + (-Aíj, + M&Aí^jy,^».^., j =

Af = [Я« - M^R3k + (-Л& +

+(-А/°4 + Ma12M¡< + М°3Л& - • Î = 3-4-

(2.36)

Отметим, что нелинейные эволюционные уравнения (2.34) вместе с начальными условиями могут быть записаны в виде цепочки задач Коши для матричных уравнений Рих-кати, каждая из которых может быть сведена к решению задачи Коши для линейной дифференциальной системы.

Используя решение нелинейных эволюционных уравнений (2.34) и решение обратной задачи по матрице Вейля для уравнения (2.5), можно построить алгоритм решения начально-краевой задачи (2.1)-(2.3).

Алгоритм 2.1. Пусть при х > 0, i > 0 заданы непрерывные функции щ(х), и0(т) и tjtjtfí), ut(i), k = ITS такие, что t4"'(x), v — 0,2, «¡¡(х), v0(x) € L(0, со), Uo(0) = «i(0), i¡0(0) = L'i(0) u ú¡(t), új(í) — непрерывные.

1. Вычисляем функции U4(t), U5(í) по формулам (S.31).

2. Находим матрицу R(t, А), решая задачу (2.33).

3. По функциям Uo(x) и v0(x) строим М°(Х) — матрицу Вейля для уравнения

Су ~ у'А) + {рЫ)' + р°0(х)у = Ху, где р§(х) = —2t¿o(x), pg(x) = v0(x) + пЦх) - v'¿{x).

4. Вычисляем при всех t > 0 матрицу Вейля M(t, А) по формулам (S.35), (2.36).

5. Находим функции и(х, t) и t'(x,t), решая обратную задачу по матрице Вейля M(t, А) методом, изложенным в параграфе 1.1.

Трудным вопросом является вопрос о разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского. В третьем параграфе главы 2 автором получспы необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи, сформулированные в терминах разрешимости соответствующей обратной задачи, что определяется наличием нетривиальных связей между начальными и краевыми условиями (2.2)-(2.3). Необходимые условия представлены совокупностью теоремы 2.1 и алгоритма 2.1. Достаточные условия сформулированы в следующей теореме.

Игорема 2.2. Пусть матрица A/(t,A) построена по функциям щ(х), vq(x) и и¡¡(t), Vh(t), k ' 1,3 согласно шагам (1)-(4) алгоритма 2.1. Предпалооким, что при каждом фиксированном t > О

1) существуют функции {и(х, t), v(x, i)} 6 Р такие, что M(t,X) является матрицей Вейля для уравнения (2.5). Другими словами, матрица M(i, А) удовлетворяет условиям теоремы 1.5 для оператора ly := у^ +Pi(x,t)y"+Pi(x,t)y'+Po(x, t)y с коэффициентами P2{x,t) = -2u(x,i), Pi(x,t) = p>2{x,t), po(x,t) = v(x,i) +u2(x, t) - u„(r,i);

2) коэффициенты pi(x, t) и Po(x, t) удовлетворяют условиям теоремы о полноте (теорема 1.6);

3) Qi{x,t), Q%\x,t) € ЦО.оо), V = ОД где Qi(x,t) = -vt + 2vIIX - 6uvx, Q3(x,t) = 2Щ + 2«я, - 12uux - 12vT.

Тогда {u(x, i),t'(x, t)} есть решение задачи (S.l)-(2.3).

Отметим, что при доказательстве теоремы 2.2 важную роль играет применение теоремы о полноте, доказанной в главе 1.

Третья глава посвящена реализации метода обратной задачи спектрального анализа для следующей начально-краевой задачи для нелинейного векторного модифицированного уравнения КдФ

( щ + 2их(3и2 + V2) + + и*** = О,

< (3.1)

( vt + 2vx{3v2 + и2) + 4vuvx + vm = 0, x > 0, t > О,

и(х, 0) = Uo(x), t)(x, 0) = v0(x), (3.2)

f u(0,i) = ui (t), «1(0,i) = u2(i), "**{0,i) = "3(0. < (3.3)

{ v(0,t) — Vi(t), vx{0,t) = v2(t), v„(0,t) = f3(t).

где щ[х), щ{х) и U|t(i), v*(t), k = T73 — непрерывные комплекснозначные функция своего аргумента. Обозначим через Р1 множество вектор-функцнй (f(x,t),g[x,t)) таких, что функции

¿/<м), ;=ПД §/Ы), |S(x,t)

непрерывны в D и суммируемы на полуоси х е [0;оо) при каждом фиксированном t > 0. Решение задачи (3.1)-(3.3) ищем в классе Pl. Теперь, в отличии от случая системы Богоявленского, решение нелипейной задачи сводится к обратной задаче для диффе-

Точнее, с задачей (3.1)-(3.3) связана следующая спектральная задача

У' - Р(х, t)Y = АРоК, х > 0, (3.9)

где

О «(x,t) v{x,t)

P(x,i) = i| -u(i,i) 0 0 |, Ро.= » J 0 ft О |, ßi = -l, A = l. v(x,t) О О

/АО О \

.=¿10 до,

\0 О 0г)

В параграфе 3.1 приведены следующие понятия и факты, принятые в теории обратных задач для дифференциальных систем произвольной размерности с кратными корнями характеристического многочлена на полуоси, применительно к системе (3.9). Рассмотрим следующие сектора

Яо = {Л: Ре(ЛА) < Яе(А0г)} , ^ = {А : Де(А&) < Яе(А&)}. (3.10)

При каждом фиксированном I положим

Ф(х,«,А) = (Ф1(х,4,А),.Ф2(х,«,А),Ф3(2:,4,А)) :=

s,t, А) \ г,г, А) , Е, t, А) /

/Ф„(х,<,А) Ф12(х,«,А) Ф1з(х,4,А) := <M*,U) Ф22(х,{,А) Ф23(х, " \Фм(х,е,А) Фзг(х, t, А) Фзз(х,

где Фь(х, i, А), к = 1,3 — решения системы (3.9) такие, что

а) при А 6 S'a :

Фц(0,<, А) = 1,' ®i(x,f,A) = 0(еХЛх), х —» оо; Ф12(0,<,А)=Ф32(0,г,А) = 0, Фз2(0, t, А) = 1; Ф1з(0, t, А) = Ф2з(0, i, А) = 0, Фзз(0, t, А) = 1;

б) при А € Si :

Фц(0,i,А) = 1, Ф21(0,«,А) = 0, Ф1(х,<,А) = О^е*02*), х-» оо;

Фц(0,^А) =0, Фаг(0,*,А) = 1, Фг(х,«,А ) = 0(еЛЛг), х-юо; $13(0, Î, А) = Ф23(0, i, А) = 0, Фзз(0, i, А) = 1.

Определим матрицу M(t, А) следующим образом

а) при А е So :

f 1 0 0 \ /1 0 0 \ M(i,A)= M21(i,A) 1 0 I := I Ф21(0,«,А) 10; \ M3i(t,A) 0 1/ \Ф31{0,г,Х) 0 1/

б) при А € Si :

1 0 0 4 /1 0 0

A/(i,A) = | 0 1 0 := 0 1 0

M3l{t,X) ЛЫf,A) 1 ) \ Ф31(0, i,A) Фзг(0,t,А) 1

5Yurko V'.A. An inverse spectral problem far differential systems on the half-line with multiplied roots of characteristic polynomial. J. Inv. Ill-Posed Problems 13, № 5, 2005, 503-512.

Определение 3.1. Решения 3>*(x,í,A) называются решениями Вейля, а функции Aím*(i, А) — функциями Вейля. Матрица M{t,X) называется матрицей Вейля для си-стёмы (3.9).

В параграфе 3.2 получено глобальное решение нелинейных эволюционных уравнений для элементов матрицы Вейля системы (3.9), что дает возможность построить алгоритм решения начально-краевой задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ. Имеют место следующие теорема и алгоритм.

Пусть R(t, А) = A)]lií=i3 решение следующей вспомогательной задачи

Д = R Ь„0= £з. (3.17)

где

(—Ariíj ujWi + |t'Auj — ^из viuii + |iAi7j — Jt>3 \

u¡wi - §¿Auj - iu3 A(AJ-lüf) -ÍAultI1 J, (3.18)

«iioi - jíAv» - ji>3 -|Auit)i A(A2 - §uj) j

Теорема 3.1. Пусть {u(x,i),ti(x,i)} £ P1 — решение задачи (3.1)-(3.S) и М°(\) = [Л^(А)];- := [Mjt(0, A)]j t=„x73 — матрица Вейля для начальных условий (ио(х), tfo(x)} . Тогда элементы матрицы Вейля М(i, А) удовлетворяют следующим нелинейным эволюционным уравнениям по переменной t а) при А е So :

АУ21 = -MÍS& + АГИ(** - Ííi) - MnMnF?3 + M3lF* + F?lt = + MM - " МгхМп^ + MnF°2 + f&j

б) при A e Si :

M31 = —Miiftf -I- M31(i% - í?,) - МпМз^ - M12F°x + AÍ33 = -M|2íf3 + JVfeííS - fn) ~ A/3iM32Í?3 - MnfÜ + F&.

(3.43)

(3.44)

Более того, элементы матрицы Вейля М (<, А) могут быть вычислены по следующим формулам а) при А € 50 :

M2l(f'А) ~ Д<°>(f,A)' Msi(í'А) Щй)'

(3.45)

где д<°> =

-M^Rn + Rn -M^Rn + Rn -MS,R12 + R32 —M31Ri3 + Д33

A(o) _ i "i —

M&Ru-Rn -M?1Ri3 + R23 M&Rn-Rs, -M3lRl3 + Л33

Д<°> =

MÍA-fia -M?nRu + R2l M^Rn - R32 -M^Ru + Я31

б) при A e Si:

м U W - Д^Ди+А&Я^-Дз! ., ,, _ M^Rn + M&Rn - Д32 3U ' J ~ - M°2R23 + Л33' 321'A; " -АЗД3 - M?2ñS3 + Язз•

(3.46)

Алгоритм 3.1 Пусть при х > 0, t > 0 заданы непрерывные функции щ(х), и

u*(t). Vk{t), k = 173 такие, что щ(х), v0(x) € Ц0,ос), щ(0) = tii(O), i'o(0) = i.'i(0).

1. Находим матрицу R(t,Xj, решая задачу (3.17);

S. По функциям «о (х) u Wfi(i) строим Л-/°(А) — матрицу Вейля для системы ( 0 щ(х) vo{x) \ (fix 0 0 \

У -1 uo(x) О О \Y = «А 0 fit О У; V г>0(х) О 0 ) \ О 0 /

3. Вычисляем при всех t > 0 матрицу Вейля M(t, А) по формулам (3.45), (3-46);

4. Находим функции {u(x,t),v(x,t)}, решая обратную задачу по матрице Вейля M(t, А).

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.А. Юрко за предложенную тему и поддержку в ходе исследования.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 04-01-00007.

ПЕЧАТНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА.ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Поплавский Д.В. Метод обратной спектральной задачи для системы Богоявленского на полуоси Ц Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, вып. 6, 2004, 115-117.

2. Поплавский Д.В. О разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, вып. 7, 2005, 97-100.

3. Поплавский Д.В. Метод обратной спектральной задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ на полуоси // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, вып. 8, 2006, 95-98.

4. Поплавский Д.В. О полноте специальных функций, определяемых по решениям Вейля дифференциального оператора высшего порядка на полуоси // Современные проблемы теории функций и их приложения. Саратов: Изд-во "Научная книга", 2006, 144-145.

5. Поплавский Д.В. Метод обратной спектральной задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ на полуоси // Современные методы теории краевых задач. Воронеж: Центрально-Черноморское книжное изд-во, 2006, 142-143.

Подписано в печать 26.06.2006 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO. Объем 1,0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 028.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19, тел. 26-18-19,51-16-28

Введение.

ГЛАВА 1. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА НА ПОЛУОСИ.

1.1. Обратная задача спектрального анализа для сингулярных дифференциальных операторов высших порядков.

1.2. Теорема о полноте для сингулярных дифференциальных пучков.

1.3. Доказательство теоремы о полноте.

ГЛАВА 2. МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БОГОЯВЛЕНСКОГО НА ПОЛУОСИ.

2.1. Спектральная задача и ее свойства.

2.2. Решение начально-краевой задача для системы Богоявленского.

2.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского.

ГЛАВА 3. МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КдФ НА ПОЛУОСИ.

3.1. Спектральная задача для дифференциальных систем.

3.2. Решение начально-краевой задача для векторного модифицированного уравнения КдФ.

Целью диссертационной работы является исследование прямых и обратных задач спектрального анализа для специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов на полуоси и их приложение к решению начально-краевых задач для нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Спектральная теория дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений в естествознании и технике. Интерес к задачам спектральной теории операторов постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений и в настоящее время спектральная теория интенсивно развивается во всем мире.

Большинство исследований в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов относятся к скалярным дифференциальиым уравнениям произвольного порядка п > 2 вида у(п) + Е^(%н = лУ. (0-1) и=0 и к системам дифференциальных уравнений вида

Y'{x) + P(x)Y(x) = XP0Y(x), (0.2) где У (я) — вектор-столбец, Р0 — постоянная матрица, Л —спектральный параметр, а также к связанным с ними более общим объектам. Первые исследования по спектральной теории операторов вида (0.1) при п — 2 были выполнены Даламбером, Эйлером, Лиувиллем, Штурмом и Д. Бернулли в связи с решением уравнения, описывающего колебание струны. Интенсивное развитие спектральная теория для раз! личных классов операторов получила в XX веке. Глубокие идеи здесь принадлежат Г. Бирхгофу, Г. Вейлю, Д. Гильберту, К. Нейману, В.А. Стеклову, М. Стоуну и другим математикам. Как известно, прямые задачи спектрального анализа заключаются в изучении свойств спектра и корневых функций операторов, а также вопросов полноты и спектральных разложений. Обратные задачи состоят в определении операторов по их спектральным характеристикам. Во второй половине XX века существенный вклад в исследование прямых задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов внесли работы А.Г. Костюченко, В.Б. Лидского, М.А. Наймарка, В.А. Садовничего, Я.Т. Султанаева, М.К. Фаге, А.П. Хромова, А.А. Шка-ликова и других математиков (см. [17], [24], [34], [39], [41], [54]-[56] и литературу в них). Основные результата в теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Амбарцумяпа,

Р. Билса, Г. Борга, М.Г. Гасымова, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лейбензона, В.А. Марченко, Л.А. Сахновича, Л.Д. Фадеева, И.Г. Хачатряна, В.А. Юрко и других математиков (см. [1], [4], [19]-[23], [37], [51], [58]-[62]). В то же время целый ряд важных задач спектральной теории дифференциальных операторов в силу их сложности остается неисследованным, особенно в сингулярном случае.

Спектральная теории дифференциальных операторов играет центральную роль при интегрировании нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. В 19G7 году Г. Гаднер, Ж. Грин, М. Краскал, Р. Миура ([11]) открыли замечательный метод решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) щ — 6иих + иххх - - 0, —оо < х < оо, t > О,

0.3) и(х,0) = и0(х), связанной с обратной задачей рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля

L(t) = ~+u(xtt) с параметром t > 0. Ключевым моментом метода является то, что нелинейной эволюции потенциала u(x,t) по t соответствует линейная эволюция данных рассеяния S(L(t)). Переход к данным рассеяния можно трактовать как некий нелинейный аналог преобразования Фурье. При этом роль обратного преобразования Фурье играет обратная спектральная задача. Решение задачи Коши (0.3) можно представить следующей схемой т/г\\ прямая задача рассеяния т и(-,0) <-» L(0) S(L{0))

J, линейная эволюция данных рассеяния / г /,\ обратная задача рассеяния п/ т i

U{-,t) L[t) b{L[t))

Данный метод интегрирования получил название метода обратной задачи. П. Лаке ([18]) показал, что уравнение КдФ имеет эквивалентное представление

L = [A,L], [A, L) := AL - LA, где

Ly = -у" + и(х, t)y, Ay = -Ay'" + Gu(x, t)y' + 3ux{x, t)y.

Здесь точка обозначает дифференцирование по t. Это представление называется представлением Лакса, а пара операторов {L, А} — парой Лакса. Существует также возможность еще одного эквивалентного представления уравнения КдФ, носящего название представления нулевой кривизны (см. [40]).

Впоследствии метод обратной задачи был распространен и на другие нелинейные интегрируемые эволюционные уравнения (см. [2], [3], [15], [40] и литературу в них). Каждому нелинейному уравнению из этого класса соответствует своя специфическая спектральная задача для некоторого дифференциального оператора. Например, нелинейному уравнению Шредингера соответствует обратная задача для системы Дирака, а уравнению Буссинеска — обратная задача для уравнения (0.1) при п = 3.

Таким образом, принципиально важным моментом применимости метода обратной задачи для конкретного нелинейного эволюционного уравнения является наличие достаточно развитой спектральной теории для соответствующего дифференциального оператора, особенно наличие теории решения обратной задачи спектрального анализа. В некоторых случаях (например, для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шредингера) обратные задачи для соответствующих операторов (Штурма-Лиувилля и Дирака соответственно) были решены ранее; в других случаях (например, для уравнения Буссинеска) потребовалось создавать теорию решения об ратной задачи для соответствующих дифференциальных операторов заново.

До сих пор речь шла только о задаче Коши для нелинейных эволюционных уравнений, то есть о случае, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на всей оси х £ (—оо,оо). Существенно более трудным является применение метода обратной задачи к исследованию начально-краевых задач, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на полуоси х G [0, оо). Основные трудности здесь порождаются наличием нелинейного отражения. Несмотря на большой интерес к начально-краевым задачам и усилиям многих математиков, в настоящее время в теории начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. Некоторые аспекты этой теории изучались в [5], [9], [10], [14], [16], [32], [33], [35], [36], [38], [42]-[50], но в них рассматривались лишь очень частные случаи и в основном для уравнения КдФ и родственных с ним уравнений. С появлением работ В.А. Юрко [58]-[60], в которых была построена теория решения обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов (0.1) на полуоси, стало возможным исследовать начально-краевые задачи для нелинейных эволюционных уравнений, соответствующих дифференциальным операторам (0.1) произвольных порядков. Так в [57] метод обратной задачи применялся для исследования начально-краевой задачи для уравнения Буссинеска.

В данной работе исследуются вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, связанные с применением метода обратной задачи спектрального анализа для решения начально-краевой задачи в области'

D = {{x,t) : х >0, t >0} для нелинейной системы Богоявленского ([6], [7])

Щ = ~иххх + 6 иих + 6vx, vt = 2vxxx - 6uvx.

0.4)

Система (0.4) имеет эквивалентное представление Лакса

Ly = ALy - LAy, где

Ly = у(А) + (р2(х, t)y')' + р0(х, t)y, Ay = -4yW - 3p2(x, t)y' - |p'2{x, t)y, p2{x, t) = -2u(x, t), p0(x, t) = v{x, t) + u2(x, t) - uxx(x, t).

0.5)

Таким образом, спектральная задача, соответствующая системе (0.4), относится к дифференциальному оператору четвертого порядка вида (0.5). Кроме того, в диссертации также рассматривается начально-краевая задача для векторного модифицированного уравнения КдФ ([25]), связанного со спектральной задачей для систем вида (0.2) с кратными корнями характеристического многочлена на полуоси ([62], [61]).

Диссертация состоит из трех глав. Глава 1 посвящена исследованию прямых и обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов (0.1) на полуоси х € [0, оо). В параграфе 1.1 приводится решение обратной задачи восстановления коэффициентов оператора по его спектральным характеристикам. В качестве спектральных характеристик используется введенная В.А. Юрко (см. [58]-[60]) матрица Вейля. Исследуются свойства спектральных характеристик, приводится конструктивная процедура решения обратной задачи, даются необходимые и достаточные условия ее разрешимости.

Основным результатом главы 1 является теорема о полноте (теорема 1.6, с. 34) специальных вектор-функций, определяемых по произведениям А)Ф^(я, А) v = 0,1), где А) являются решениями дифференциального уравнения (0.1) при п = 4 с заданным поведением па бесконечности, а именно

00 • Ф*(я, А) = (ФДх, А)Фт(х, A), J(Z~ хЩ(Ь A) df), X где к = т при j = 1, т = 1,3, и к = 4 при j = т = 2. Отметим, что вопросы, связанные с исследованием полноты произведений решений дифференциальных уравнений часто встречаются в различных задачах спектральной теории (см, [8], [13], [52], [53]). В параграфе 1.2 вводятся необходимые понятия и приводится формулировка теоремы о полноте, а в параграфе 1.3 дается ее доказательство. В частности, удалось доказать, что нелинейные комбинации А) (к = 1,4) решений дифференциального уравнения (0.1) при п = 4 образуют линейное подпространство убывающих на бесконечности решений линейной сингулярной дифференциальной системы типа Камке 5

Z«\x) + ^ гЩх)Р^х) - A(Z^{x)n + Z'(x)Rl(x) + Z(x)R0{x)) = 0, (0.6) j=о

Z(x) = (Z1(x),Z2(x)).

Далее строится и изучается функция Грина соответствующей сингулярной краевой задачи на полуоси для пучка операторов, определяемого левой частью равенства (0.6). Используя аналитические и асимтотические свойства функции Грина, методы спектральной теории операторов и теории аналитических функций, доказывается искомая теорема о полноте.

Результаты главы 1 используются в главе 2 при исследовании начально-краевой задачи для системы Богоявленского (0.4) в области D методом обратной спектральной задачи. В параграфе 2.1 приводится начально-краевая задача для системы Богоявленского, а также ряд вспомогательных утверждений. В параграфе 2.2 получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля оператора (0.5). Эти эволюционные уравнения являются нелинейными, тем не менее удается их решить глобально и получить явные формулы для эволюции матрицы Вейля в силу системы Богоявленского. Опираясь на эти формулы получен алгоритм решения начально-краевой задачи, одним из этапов которого является решение обратной спектральной задачи по матрице Вейля. Наиболее трудным вопросом при исследовании начально-краевой задачи является вопрос о необходимых и достаточных условиях ее разрешимости, что определяется наличием нетривиальных связей между начальными и краевыми условиями. В параграфе 2.3 даны необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи в терминах соответствующей матрицы Вейля, то есть в терминах спектральных характеристик дифференциального оператора (0.5). При доказательстве достаточных условий существенно используется теорема о полноте, доказанная в главе 1.

В главе 3 аналогичная теория строится для начально-краевой задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ в области D (параграф 3.1). Получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля и дан алгоритм решения начально-краевой задачи методом обратной спектральной задачи (параграф 3.2).

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на международном коллоквиуме "Обратные задачи и их приложения"(Германия, Дуйсбург, февраль 2003 г.), на 12-ой Саратовской зимней школе (Саратов, 27 янв,—3 февр. 2004 г.), на 13-ой Саратовской зимней Школе (Саратов, 27 янв.—3 февр. 2006 г.), на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 3—9 мая 2006 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в [26]-[30].

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.А. Юрко за постановку задачи и руководство ходом исследования.

1. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math. 21, 7, 1968, 159-193.

2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

3. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.:Наука, 1984.

4. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков. ТММО 15, 1966, 70-144.

5. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Л иувилля. Киев: На-укова Думка, 1972.

6. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

7. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

8. Наянов В.И. Многополевые солитоны. М.: Наука, 2005.

9. Поплавский Д.В. Метод обратной спектральной задачи для системы Богоявленского на полуоси. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, вып. 6, 2004, 115-117.

10. Поплавский Д.В. О разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, вып. 7, 2005, 97-100.

11. Поплавский Д.В. Метод обратной спектральной задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ на полуоси. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, вып. 8, 2006, 95-98.

12. Поплавский Д.В. О полноте специальных функций, определяемых по решениям Вейля дифференциального оператора высшего порядка на полуоси. Современные проблемы теории функций и их приложения. Саратов: Научная книга, 2006, 144-145.

13. Поплавский Д.В. Метод обратной спектральной задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ на полуоси. Современные методы теории краевых задач. Воронеж: Центрально-Черноморское книжное изд-во, 2006, 142-143.

14. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука.

15. Sabatier Р.С. Elbow scattering and inverse scattering applications to LKdV and KdV. Л. Math. Phys. 41, № 1, 2000, 414-436.

16. Sabatier P.C. On elbow potential scattering and KdV. Inverse Problems 18, 2002, 611-630.

17. Садовничий В.А. О следах дифференциальных операторов высших порядков. Мат. сборник 72, № 2, 1967, 293-317.

18. Сахнович JI.А. Нелинейные уравнения и обратные задачи на полуоси. АН Укр. ССР. Инст. Мат. Препринт Л'« 30, 1987.3G. Сахнович J1.A. Эволюция спектральных данных и нелинейные уравнения. Укра-ин. Мат. Жур. 40, № 4, 1988, 533-535.

19. Sakhnovich L.A. Spectral Theory of Canonical Differetial Systems. Method of Operator Identities. Operator Theory: Advances and Appl. 107, Birkhauser Verlag, Basel, 1999.i

20. Sjoeberg A. On the Korteweg-de Vries equation: existence and uniqueness. J. Math. Anal. Appl. 29, 1970, 569-579.

21. Султанаев Я.Т. Асимптотическое поведение спектра для обыкновенных дифференциальных операторов в вырожденном случае. Дифф. ур. 18, Л'5 10, 1982, 1694-1702.

22. Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитопов. М.: Наука, 1986.

23. Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одного переменного. ТММО 7, 1958, 227-268.

24. Фаминский А.В. Смешанные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза. Мат. сборник 190, № 6, 127-160.

25. Fokas A.S., Its A.R. The linearization of the initial-boundary value problem of the nonlinear Schrodinger equation. SIAM J. Math. Anal. 27, № 3, 1996, 738-764.

26. Fokas A.S. A unified transform method for solving linear and certain nonlinear PDEs. Proc. Roy. Soc. London Ser. A 453, 1997, 1411-43.

27. Fokas A.S. Lax pairs and a new spectral method for linear and integrable nonlinear PDEs. Selecta Math. (New. Ser.) 4, № 1, 1998, 31-68.

28. Fokas A.S. Integrable nonlinear evolution equations on the half-line. Comm. Math. Phys. 230, № 1, 2002, 1-39.

29. Хабибуллин И.Т. Краевые задачи па полуоси для уравнения Ишимори, связанные с обратной задачей рассеяния. Теор. и Мат. Физ. 91, № 3, 1992, 363-376.

30. Хабибуллин И.Т. Уравнение КдФ на полуоси с нулевыми краевыми условиями. Теор. и Мат. Физ. 119, Л"« 3, 1999, 397-404.

31. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача на полуоси для уравнения МКдФ. Функц. анализ и его приложения 34, № 1, 2000, 65-75.

32. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями. Теор. и Мат. Физ. 130, № 1, 2002, 31-53.