Обратная задача спектрального анализа для матричного оператора Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Бондаренко Наталья Павловна

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ МАТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ^ ФЕВ 2011

Саратов — 2011 17

4856113

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юрко Вячеслав Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Султанаев Яудат Талгатович

кандидат физико-математических наук, доцент Рыхлов Виктор Сергеевич

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Защита состоится «17» марта 2011 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан « евраля 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.243.15, кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория обратных задач спектрального анализа является интенсивно развивающейся на протяжении последних десятилетий областью математики. Обратные задачи состоят в восстановлении дифференциальных операторов по их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль в математике и имеют приложения в различных областях естествознания и техники, в частности, в квантовой механике, геофизике, электронике, метеорологии. Метод обратной задачи используется для интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики.

Значительный вклад в развитие теории обратных спектральных задач внесли В.А. Амбарцумян, Р. Биле, Г. Борг, М.Г. Гасымов, М.Г. Крейн, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, Л.А. Сахнович, А.Н. Тихонов, Л.Д. Фаддеев, И.Г. Хачатрян, В.А. Юрко и другие математики. Наиболее полные результаты в этой области получены для уравнения Штурма-Лиувилля 2' 3

-у" + Ф)У = А у. (1)

Впоследствии изучались обратные задачи для уравнений высших порядков, систем дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с особенностями и точками поворота, дифференциальных уравнений на геометрических графах и других классов дифференциальных операторов, возникающих в приложениях. Обратные задачи являются нелинейными, и поэтому — достаточно трудными для исследования. В теории обратных задач до сих пор остается много нерешенных вопросов.

В диссертации исследуется обратная задача для матричного оператора Штурма-Лиувилля, определяемого уравнением

-У" + <Э(х)У = АУ, х 6 (0, тг), (2)

и краевыми условиями

и{У) := У'(0) - ЛУ(0) = О, У(У) := У'(тг) + ЯУ(тг) = 0. (3)

Здесь У (г) = [^(ж)]^^ —вектор-столбец, А — спектральный параметр, <2(х) = [<5— матричный потенциал из класса Ьг((0,7г),Стхт), т. е. т х т матрица, элементы которой являются комплекснозначными функциями из ¿2(0, тт). Краевые условия задаются матрицами к = *=Цп>

1Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукоаа Думка, 1977.

'Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. — М.: Наука, 1984.

3Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Фиэматлит, 2007.

Н = —, где и Яд — комплексные числа. Уравнение (2) пред-

ставляет собой обобщение классического уравнения (1). Однако при исследовании матричных операторов возникает ряд существенных трудностей по сравнению со скалярным случаем {т. — 1).

Наиболее полно изученным вопросом для матричных операторов Штурма-Лиувилля является обратная задача рассеяния на полуоЫ1. Обратные задачи для уравнения (2) на конечном интервале изучены в гораздо меньшей степени, поскольку в случае конечного интервала возникают значительные трудности, вызванные спецификой поведения спектра. Спектр матричного оператора, определяемого уравнением (2) и краевыми условиями (3), может быть кратным и, даже более того, содержать бесконечное количество групп кратных собственных значений. В связи с этими трудностями до настоящего времени без априорных ограничений на спектр были получены только теоремы единственности решения обратных задач5' 6' 7' 8. Попытки дальнейшего изучения обратных задач для оператора (2)-(3) предпринимались лишь с наложением жестких ограничений на поведение спектра. В работе В.А. Юрко9 была получена конструктивная процедура решения обратной задачи для матричного оператора Штурма-Лиувилля для случая простого спектра. Д. Челкак и Е. Коротяев10 получили необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для случая с другим существенным ограничением, заключающимся в асимптотической простоте спектра. Поэтому весьма актуальным остается вопрос об исследовании обратной задачи для матричного оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале в общем случае: при произвольном поведении спектра.

Цель работы.

1. Получить конструктивное решение обратной задачи спектрального анализа для матричного оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале.

2. Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, т.е. характеристические свойства спектральных данных исследуемого матричного оператора.

3. Исследовать устойчивость решения обратной задачи.

4 Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1960.

'Carlson R. An inverse problem for the matrix Schrddinger equation // J. Math. Anal. Appl. — 2002. — Vol. 267. - Pp. 564-575.

"Chabanov V. M. Recovering the M-channel Sturm-Liouvillo operator from M+l spectra //J. Math. Phys. - 2004. - Vol. 45, no. 11. - Pp. 4255-4260.

TMalamud M. Uniqueness of the matrix Sturm-Liouville equation given a part of the monodromy matrix, and Borg type results. Sturm-Liouville Theory. — Basel: BirkhSuser, 2005. — Pp. 237—270.

'Yurko V. A. Inverse problems for matrix Sturm-Liouvilie operators // Rusa. J. Math. Phys. — 2006. — Vol. 13, no. 1. - Pp. 111-118.

'Yurko V. A. Inverse problems for the matrix Stunn-Liouville equation on a finite interval Ц Inverse Problems. - 2006. - Vol. 22. - Pp. 1139—1149.

10Chelkak D., Korotyaev E. Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm- Liouville operators on the unit interval Ц 3. Funct. Anal. — 2009. — Vol. 257. — Pp. 1546—1588.

Методы исследования. Для исследования обратной задачи применяется развитие идей метода спектральных отображений11, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Также в работе используются асимптотические методы, аппарат теории целых и мероморф-ных функций, теории интегральных уравнений, теории операторов в банаховых пространствах и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Получена конструктивная процедура восстановления матричного оператора Штурма-Лиувилля по спектральным данным.

2. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

3. Исследована устойчивость решения обратной задачи в норме пространства ¿2 и в равномерной норме.

Все результаты справедливы при произвольном поведении спектра изучаемого матричного оператора.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов и ее приложениях. На основе разработанной конструктивной процедуры могут быть построены численные методы решения обратных спектральных задач для матричных дифференциальных операторов. Развитие идей метода спектральных отображений, данное в работе с целью изучения матричного оператора Штурма-Лиувилля, может быть использовано при исследовании обратных задач для других классов операторов, в частности, матричных операторов на оси и полуоси, дифференциальных операторов на графах. Также результаты диссертации могут быть применены в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты работы прошли апробацию на 15-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения —XXI» (Воронеж, 2010), на апрельских конференциях механико-математического факультета «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2009, 2010), на студенческой научной конференции СГУ (Саратов, 2010), на объединенном научном семинаре математических

11 Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач.

кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на научных семинарах кафедры математической физики и вычислительной математики (под руководством профессора В.А. Юрко). За работу, содержащую часть результатов диссертации, автору было присуждено первое место в «Конкурсе Мёбиуса» — всероссийском конкурсе студенческих и аспирантских научных работ по математике, проводимом Независимым Московским Университетом.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах. Статья [1} опубликована в журнале, включенном в список ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 90 наименований. Общий объем работы —117 страниц.

Содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы, приведен краткий обзор литературы и перечислены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию спектральных характеристик матричного оператора Штурма-Лиувилля (параграфы 1.1, 1.2) и конструктивному решению обратной задачи (параграфы 1.3, 1.4).

Будем обозначать через L = L(Q(x), h, Н) краевую задачу (2)-(3). В работе исследуется самосопряженный случай, когда Q(x) = Q*(x) при п. в. х € (0,тг), h = h\ Н = Я*.

Введем <р(х,Х) = [<Pjk{x, Л)— матричное решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям <р(0, А) = 1т, ц!(О, А) = h, где 1т — единичная m х т матрица.

Определение 1.1. Функция Д(А) := V{ip) называется характеристической функцией краевой задачи L.

Функция Д(А) является целой по А и имеет счетное множество нулей. Нули характеристической функции совпадают с собственными значениями задачи L с учетом кратностей. Таким образом, краевая задача L имеет счетное множество вещественных собственных значений Aoi ^ Аог 4 • • • ^ Aom ^ Ац ^ ... < A„i < А„2 ^ ... < Апт ^ ... При этом

Рщ ■= q = п + 0(n_1), n —> 00.

Определение 1.3. Решением Вейля задачи L называется решение уравнения (2) Ф(х, А) = [$jk(x, A)]jfc=í^j, удовлетворяющее условиям Г/(Ф) = Im, V($) = 0m (здесь и далее 0т — нулевая матрица). Положим М(А) := Ф(0, А). Матрица М(А) = называется матрицей Вейля задачи

L.

Матрица Вейля представляет собой обобщение функции Вейля для скалярного уравнения Штурма-Лиувилля12. Функции Вейля и их обобщения часто возникают в математике и ее приложениях, они являются естественными спектральными характеристиками в теории обратных задач для различных классов дифференциальных операторов.

Матрицы-функции Ф(х, А) и М(А) мероморфны по А, их полюсы простые и совпадают с нулями характеристической функции. При этом ранги вычетов матрицы М(А) относительно ее полюсов совпадают с кратностями соответствующих собственных значений задачи L.

Введем в рассмотрение весовые матрицы anq := Res М(А).

Определение 1.4. Будем называть спектральными данными задачи L величины А := {А

В диссертации решается следующая

Обратная задача 1.1. По заданным спектральным данным Л построить Q,hnH.

Данная постановка задачи сохраняет преемственность по отношению к одной из классических постановок для скалярного случая13. В случае т = 1 исследуется задача восстановления оператора по собственным значениям

{'ViWo и весовым числам ап ip2(x,\n)dx . Введенные таким об-

разом величины ап характеризуют нормы собственных функций <р(х, А„). С другой стороны, весовые числа могут быть введены эквивалентным образом как вычеты функции Вейля, и именно такой вариант оказывается более удобным для обобщения на матричный случай.

В параграфе 1.2 получены точные асимптотические формулы для собственных значений и весовых матриц.

Пусть ш — и)* — некоторая эрмитова матрица размера т х т. Будем говорить, что задача Ь{(^(х),Ь,,Н) принадлежит классу А{и}), если /г + Н + | ¡о <3(х) = Без ограничения общности можно считать, что Ь 6 А{ш), и 6 V — {ш\ ш = diag{u^l,...,шт},и>1 ^ ... ^ а>т}. Выполнения этого условия можно добиться применением к задаче Ь унитарного преобразования.

Теорема 1.5. Пусть Ь е и е V. Тогда верны асимптотические

формулы:

Пусть {^пкЧк — все различные собственные значения из набора

12Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач.

Pnq = = П + — + —, {Xnq}n20 £/2,9 = 1, ГП. (4)

"Там же.

Обозначим

а'пкд,С := к > ап9 = °т, (п, д) £ {(пь %)}*><>•

Пусть и> = diag{шl,..., и!т} е Р. Обозначим через все различ-

ные значения среди причем

1 = Г1 < ... < гр+1 = т + 1,

шг. = Ыг,+1 = ••• = «г.+1-1, 5 = 1,р

Введем обозначение

Г.+1-1

ап = I] °4д> 5 = йр-д=г.

Теорема 1.6. Пусть Ь е Л(и>), и> еТ>. Тогда справедливо соотношение 9

а(») = £/(.) + е /2, 5 = (5)

ж п

где

г, = к ^ - 1, иначе

гМ-гМ, _ /М-/1-

1 ~ Х^зк 1.?,*=1,т> •'¿Л - ^ д

и |].|| — норма матрицы.

Параграф 1.3 посвящен выводу основного уравнения обратной задачи 1.1, иначе говоря, сведению нелинейной обратной задачи к линейному уравнению в соответствующем банаховом пространстве.

Предположим, что Л = {Л^, ап?} — спектральные данные некоторой краевой задачи Ь 6 А(и>), и> € V. Выберем модельную задачу Ь = Ь(0(х),Н,Н) € А{ш) того же вида, что и Ь, но с другими коэффициентами (например, можно взять ¿¿(х) = И. = 0т, Н = 0т). Условимся, что если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче Ь, то символ 7 будет обозначать аналогичный объект, относящийся к Ь.

Введем величины

т р тв+1—1

& := Ц IЫ - Р*ч\ + 1С \РпЧ ~ Рпт-1 +

<7=1 в=1 ц—т,

Р р

я=1 д=та 5=1

«:= (¿((п + 1)?п)

\п—О

.1/2 2 '

Задача L выбирается в классе Л(ш) для того, чтобы ее собственные значения также удовлетворяли асимптотическим формулам (4) и выполнялось соотношение Q < оо. Обозначим

<р*'(х, ¡л)ф, А) - tp*(x, p)tff{x, Л) D(x, А, ц) --—-.

Лемма 1.11. Справедливо соотношение

оо m

ф(х, А) = <р{х, А) + Хкг)а'ктЬ(х, А, Хкг)~

Jt=0 г=1

- hr)â'krD(x, А, Аь)}, (6)

причем ряд сходится абсолютно и равномерно по х G [0, тг] и А на компактах.

Лемма 1.11 позволяет получить бесконечную систему линейных уравнений

оо m

An,) = <р(х, А„,) + Е £ {v(x> hr)oi'krD(x, Xnq, Afo.)-k=Or=l

"nq i

oo m „ V'/

*=Or=l

Âfcr )^krD(x, \nq, Ль)},

относительно ^(л-, A„,) и ^(лг, Ап,) при каждом фиксированным х £ [0, тг].

Однако систему (7) неудобно использовать в качестве основного уравнения обратной задачи, поскольку ряды в (7) сходятся лишь «со скобками». Дальнейшие действия направлены на преобразование условно сходящихся рядов к абсолютно сходящимся и вывод из (7) уравнения в соответствующем банаховом пространстве.

Существенная трудность здесь заключается в том, что суммы в (7) вообще говоря могут содержать различное количество слагаемых со знаком «+» и со знаком «-» (поскольку часть матриц a'kr и ô'fcr могут быть нулевыми в зависимости от кратности спектров). Это обстоятельство затрудняет группировку слагаемых, н поэтому оказывается удобным разбить собственные значения на группы по асимптотике, как описано ниже.

Разобьем собственные значения двух задач L и L на группы

:= {АП(г, Ânî}i=j^;, п = 0,1,2,...,

а их, в свою очередь, на меньшие группы Gs, s = 0,1,2,.. .:

р

Gnp+t-1 := {An,, Ап,},=Г( Л+1_], t — 1, р, = У Gnp+t.

Здесь р — количество различных чисел в наборе = а^, гг <

Я < гм. Пусть тппр+1-1 := п+1 - г, (размер группы Спр+(_1). Переобозначим элементы групп С3 следующим образом:

с*а = в ^ О, А81{ ^ А82{ • ■ • А,,,,,^, г = 0,1.

Здесь А.,9о — собственные значения Ь, Ав?1 — собственные значения Ь, содержащиеся в группе 6'3. Пусть рач{ = ^f\sqi, — весовые матрицы, соответствующие А.,,,-. Введем аналогично тому, как вводятся о!щ в параграфе 1.2.

Обозначим

•РеЯг(х) = ¥>{х, ^щг), Фзф{х) = ф(х, А.„;), /'г0',.ч71 (ж) = аг[]0(х, А.,„, Агу), Рг1}.и<ц(х) — а'г110(х, Агц), 9= 1,ш3, / = »',.7=0,1.

Рассмотрим векторы-строки с матричными компонентами

^(г) = [^ло(^), <р,21(х), . . . , угт,о(х), УзтЛ^)].

и определяемые аналогично 2тг х 2т., матрицы (х), г, я > 0, =

(—1УАналогично введем и Тогда соотношение (7)

может быть записано в виде

оо г=0

Введем обозначение Хп Сп1 при £„ Ф 0 и Хп — 0 при £„ = 0. При каждом фиксированном х 6 [0,7;] определим фЗЧг{х) по формулам

Фао{х) = - <Ли(ж)), Фвп{я) = ¥>Л1(*)>

ФзЧг{х) = Хп(<Рзф{Х) ~ <Рзн{х)), в ^ о, 9 = 2г = 0,1.

Иначе говоря,

= [^10(2), Фа2о{х), Фт(х), • • • , = <Рз{х)Хв.

Также введем Ят,а(х) = -^^/^(д^Х,, е. г > 0, где

Хп 0 Хп 0 • -Хп 0 " "бь 0 4 0 . • & о"

~Хп 1 0 -Хп • . 0 -Хп 1 1 1 1 . . 1 1

0 0 Хп 0 . . 0 0 0 0 & 0 . . 0 0

0 0 0 Хп • . 0 0 0 0 0 & ■ . 0 0

0 0 0 0 Хп 0 0 0 0 0 . • & 0

0 0 0 0 ■ . 0 Хп 0 0 0 0 . . 0 &

т. е. Xs — числовая та х ms матрица, Gs С G^, Gr С G°k. Умножение элементов Xs на компоненты !-ра и F~s понимается как умножение чисел на матрицы. Аналогично введем гр3(х) и Rr<3(x).

Уравнение (8) может быть переписано в виде

оо г=0

Рассмотрим банахово пространство В ограниченных последовательностей вида а = [as]sS0, где

aa = [aslOi aslbas20> as2l, • • • , asm,rt, asm.ll>

asql — mxm матрицы, с нормой

||а||в = sup||oa|| = sup maxjai9i||.

i^O s>0 9=1,m,

¡=0,1

При каждом фиксированном x 6 [0,7г] вектор ф(х) = является

элементом пространства В, и будем рассматривать R{x) = [Rr^(x)]r:3^o как линейный ограниченный оператор, действующий из В в В.

Теорема 1.7. При каждом фиксированном х € [0, тг] вектор tp(x) б В удовлетворяет уравнению

ф(х)=ф(х)(1 + Й(х)) (9)

в банаховом пространстве В. Здесь I — единичный оператор в В. Уравнение (9) называется основным уравнением обратной задачи. В параграфе 1.4 доказана однозначная разрешимость основного уравнения (9). Далее по решению основного уравнения, модельной задаче L и известным спектральным данным Л восстанавливается искомая задача L. В результате доказана следующая

Теорема 1.10. Обратная задача 1.1 имеет единственное решение, которое может быть найдено по следующему алгоритму:

Пусть даны величины Л = {A„g, ~ спектральные данные

краевой задачи L € A(ui), weP,

(1) Выбираем L € А(и>) и вычисляем ф(х) и R(x).

(2) Находим ф(х) из уравнения (9) и вычисляем fsqi{x).

(3) Строим Q(x), h и Н по формулам

Q(x) = Q(x) + £(х), h = h-e0{ 0), Я = Я + е0(т).

где

OQ ТПг 1

= ЕЕ £(~1) ФО = -24М-

г=0 1=1 j=0

Вторая глава посвящена необходимым и достаточным условиям разрешимости обратной задачи 1.1.

Будем говорить, что величины anq}n20,q=T~¿¡ е Sp, если Ап? —вещественные числа, Aq! ^ А02 ^ • ■ • ^ Аот ^ Ап ^ ... ^ A„i < А„2 ^ ■ • • ^ Anm С ..., ссщ — т х т матрицы и \и1 = Хц всегда соответствуют anq = ац.

Основной результат второй главы представляет собой

Теорема 2.1.

Пусть w € V. Для того, чтобы величины {А„?, Qnq}€ Sp были спектральными данными некоторой краевой задачи L G А{ш) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) Верны асимптотические формулы (4) и (5).

2) anq = (anq)*, anq ^ 0 при всех п ^ 0, q = l,m и ранги матриц anq равны кратностям А,ч (под кратностью здесь понимается количество раз, которое Xnq встречается в наборе {АП(?}).

3) Для любого вектора-строки 7(А), который является целой функцией и удовлетворяет оценке

7(А) = 0(ехр(| /шл/А|тг)), |А| - оо,

из выполнения условия ~i{Xnq)anq s= 0 при всех п ^ 0, q = 1,т следует, что 7(А)=0.

Отметим, что в скалярном случае выполнение условия 3 следует из первых двух условий теоремы 2.1. Однако в матричном случае оно существенно и не может быть опущено. Это показывает пример, приведенный в параграф фе 2.1 диссертации. Также в параграфе 2.1 приведено доказательство необходимости условий теоремы 2.1.

Параграфы 2.2-2.4 посвящены доказательству достаточности в теоремы 2.1, центральную роль в котором играют основное уравнение (9) и алгоритм из теоремы 1.10.

В третьей главе исследуется устойчивость решения обратной задачи 1.1.

Будем говорить, что величины {A„9,aní}n>09=i^; е Sp+, если — вещественные числа, Aoi < А02 < . • • < Aom < А1т < ... ^ Ап1 < А„2 < • •■ ^ Km ^ ..., Q„, —т х т матрицы, anq = а*9 ^ 0, ащ = ak¡, если Anq — Ан и ранги матриц anq совпадают с кратностями соответствующих Ащ. Под кратностью в данном случае понимается количество раз, которое число Anq встречается в наборе. Определим a'nq как в параграфе 1.2.

Пусть дана задача L = L(Q(x),h, Н) и Л —ее спектральные данные. Пусть Л g Sp+ — некоторые величины. Далее мы будем рассматривать разбиение чисел {Ап,} и {Aní} на группы

Gn = ^nq}q=Ts¡¡< «=0,1,2,----

Так как для собственных значений задачи Ь верны асимптотические формулы (4), существует такое п*, что при га > п* значение А„г не может совпадать ни с каким А/ы, к ^ п. Условимся обозначать через п* наименьший из таких индексов и отметим, что п* зависит только от £ и определяется по однозначно.

При изучении устойчивости необходимо учесть, что при малых возмущениях спектра могут изменяться кратности собственных значений. С этой целью рассматриваются разбиения собственных значений на группы сходные с разбиением, введенным в параграфе 1.3. Однако теперь мы будем изучать достаточно произвольные разбиения удовлетворяющие определенным свойствам.

Определение 3.1. Будем называть разбиение чисел {А„?} и {А„,} на группы С?а, .9 = 0,1,2,..., корректным, если оно удовлетворяет условиям:

1. Каждая группа содержит одинаковое количество чисел из и Ащ с учетом кратностей. Введем нумерацию Са = {А5д0, т»~~ размер группы, 0 < т3 ^ т. Здесь А89о — значения из Л, \в<11 — значения из Л, содержащиеся в группе Оя. Обозначим {а59о.а8«1}?==Гт7 — соответствующие весовые матрицы. Введем иа® =

2. Каждая группа кратных значений из {А^} (или из {АГ1?}) целиком содержится в некоторой группе 0'3.

«' п'-1

3. Существует в* такое, что и йц = У (^и для любого « > я* группа

.5=0 п=0

С3 целиком содержится в некоторой группе С^ (в* определяется однозначно по разбиению {С3}). В свою очередь СРп = и при всех

с.сс°

п ^ п*.

Для каждой группы С3 определим диаметр (13 по формуле

та т, 1

:= Ц 1л«о - + ХШIР°и ~ + К _ II-

4=1 <1=1 3=0

и для разбиения {С7а} введем величину $2

а* / оо \ !/2

П := + I + 1)6,)2 , п*.

5=0 \п=п" / в.С С°

Определение 3.2. Будем говорить, что величины Л 6 Эр+ 6-близки со спектральными данными Л краевой задачи Ь, если существует такое корректное разбиение чисел и на группы Са,

5 — 0,1,2,..., что П < <5.

Определение 3.2 позволяет говорить о близости двух наборов спектральных данных, вообще говоря с различным поведением спектров (в смысле кратностей).

Следующая теорема утверждает локальную разрешимость обратной задачи 1.1 и устойчивость ее решения.

Теорема 3.1. Пусть дана задача L = L(Q(x), h, H). Существует 5 > О (зависящее от L) такое, что если величины А = {А^,, е

ô-близки с А, то существует единственная краевая задача L(Q(x), h, H), для которой А являются спектральными данными, причем

||<2(я) - <?(*)||£2((о,1г),С'»><'») = max^\\Qjk\\L2(o,n) < СП,

jje=ljm

||Л - Л|| < СП, IIД - Я|| < си,

где С зависит только от L.

В параграфе 3.2 налагаются более жесткие ограничения на близость спектральных данных двух краевых задач и исследуется устойчивость решения обратной задачи 1.1 в равномерной норме.

Для разбиения {Ga} определим

s' / оо

s=0 \n=n*

Теорема 3.2. Пусть дана задача L = L(Q(x),h,H). Существует S > О (зависящее от L) такое, что если для величин А = {Л„5, an<j}n^o,q=rm Sp+ существует корректное разбиение на группы G„, при котором Î2i < S, то существует единственная краевая задача L(Q(x),h,H), для которой А являются спектральными данными, причем элементы матрицы Q(x) — Q(x) непрерывны на [0, it] и

max ||Q(z) - Q(x)|| sS Cftb ||h - h|| ^ CÜU ||Я - ЯЦ ^ СПи

xe[o:jr]

где С зависит только от L.

Отметим, что все полученные результаты являются обобщением соответствующих результатов для скалярного случая14.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Вячеславу Анатольевичу Юрко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС) и Фонда поддержки молодых ученых «Конкурс Мёбиуса».

14Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач.

Список опубликованных работ автора по теме диссертации

[1] Бондаренко Н. П. Обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения ШтурмагЛиувилля / Н. П. Бондаренко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Т. 10, №4. - С. 3-13.

[2] Бондаренко Н. П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля / Н. П. Бондаренко // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. - Вып. И. - С. 3-5.

[3] Бондаренко Н. П. Локальная разрешимость обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля / Н. П. Бондаренко // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. — Вып. 12. — С. 3-6.

[4] Бондаренко Н. П. Обратная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля / Н. П. Бондаренко // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 15-й Сарат. зимней школы. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. - С. 32—33.

[5] Бондаренко Н. П. Устойчивость решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля / Н. П. Бондаренко // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения—XXI». — Воронеж: ВГУ, 2010. — С. 42—43.

[6] Бондаренко Н. П. Устойчивость решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля в равномерной норме / Н. П. Бондаренко // Научные исследования студентов Сарат. гос. ун-та: Материалы итог. студ. науч. конф. - 2010. - С. 18-20.

[7] Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm-Liouville Operator on a finite interval / N. Bondarenko — Schriftenreihe der Fakultät für Mathematik, SM-DU-715, Universität Duisburg Essen, 2010. - 20pp.

Подписано в печать 07.02.2011. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать RISO. Объем 1 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ №007.

Отпечатано с готового оригииал-макега Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Сериал Ю.Б. Свидетельство Л»3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19, тел. 26-18-19, 51-16-28

Введение

Глава 1. Восстановление матричного оператора Штурма-Лиувилля по спектральным данным

1.1. Спектральные данные. Постановка обратной задачи.

1.2. Свойства спектральных данных.

1.3. Основное уравнение обратной задачи.

1.4. Решение обратной задачи.

Глава 2. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи

2.1. Основная теорема. Необходимость.

2.2. Однозначная разрешимость основного уравнения.

2.3. Вспомогательные утверждения.

2.4. Доказательство достаточности.

Глава 3. Устойчивость решения обратной задачи

3.1. Устойчивость восстановления потенциала в Ь2-норме. Локальная разрешимость обратной задачи.

3.2. Устойчивость восстановления потенциала в равномерной норме . .107 Литература.

В данной работе изучается обратная задача спектрального анализа для матричного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении операторов по Pix спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль в математике и имеют приложения в различных областях естествознания и техники, в частности, в квантовой механике, геофизике, электронике, метеорологии. Обратные спектральные задачи также играют существенную роль при интегрировании эволюционных уравнений математической физики. В 1967 г. Г. Гарднер, Ж. Грин, М. Краскал и Р. Миура [77] обнаружили глубокую связь между нелинейным уравнением Кортевега-де Фриза и спектральной теорией операторов Штурма-Лиувилля. Созданный ими метод обратной задачи породил новое направление в математической физике и вызвал очередной всплеск интереса к обратным задачам спектрального анализа. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается в связи с возникновением новых приложений. Однако стоит отметить, что обратные задачи являются достаточно трудными для изучения, что связано прежде всего с их нелинейностью, и в теории обратных задач до сих пор остается много нерешенных вопросов.

Значительный вклад в развитие теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов внесли В.А. Амбарцумян, Р. Биле, Г. Борг, М.Г. Гасымов, М.Г. Крейн, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, Л.А. Сахнович, А.Н. Тихонов, Л.Д. Фаддеев, И.Г. Хачатрян, В.А. Юрко и другие математики [3, 4, 14, 15, 17-22, 24, 25, 3235, 43, 47, 49, 54, 74, 80, 81, 84].

Первый результат в теории обратных спектральных задач был получен В.А. Амбарцумяном [47] для уравнения Штурма-Лиувилля

-у"+ q{x)y = \y. (0.1)

Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (0.1) с условиями у'(0) = у'(к) = 0 имеет собственные значения Ап = п2, п ^ 0, то д = 0. Однако в общем случае одного спектра недостаточно для восстановления потенциала q. Впоследствии Г. Борг [54] доказал, что потенциал д однозначно восстанавливается по двум спектрам операторов Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями. Позднее результат Борга также был получен Н. Левинсоном [74] при помощи другого метода.

Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, который исследовал задачу восстановления дифференциального оператора по спектральной функции [24, 25]. В случае оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей классической постановке [19, §2.10], [43, §1.2]. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) на интервале (0,7г) с условиями

Пусть ip(x, А) — решение уравнения (0.1), удовлетворяющее начальным условиям </?(0, А) = 1, <р'(0, А) = h. В качестве спектральных данных введем величины {Ап, ап}п^о, где Ап — собственные значения краевой задачи (0.1)-(0.2), а ап — так называемые весовые числа, определяемые соотношением

Обратная задача состоит в восстановлении потенциала д и коэффициентов краевых условий к и Н по спектральных данным {Ап, о

При решении этой обратной задачи важную роль сыграл метод оператора преобразования [24, 25], которым была доказана однозначная разрешимость обратной задачи, а также получена конструктивная процедура решения и необходимые и достаточные условия на спектральные данные [15]. Были также решены обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля на полуоси j/(0) - hy(0) = 0, у'(тг) + Ну(тт) = 0.

0.2)

0.3) и оси [24, 25, 33, 34].

Однако метод оператора преобразования оказался недостаточно эффективным в применении к обратным задачам для операторов высших порядков п-2

У{п)+ 1£,РкШк\ п > 2, к=О систем дифференциальных уравнений и некоторых других важных классов операторов. Постепенно был создан другой, более универсальный метод, основанный на применении аппарата теории аналитических функций и на развитии идей метода контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Впервые метод контурного интегрирования к исследованию обратных задач применил Левинсон [74]. Идеи Левинсона получили дальнейшее развитие в работах З.Л. Лейбензона [21, 22]. Впоследствии с использованием этих идей в работах В.А. Юрко был создан метод спектральных отображений [43, 84], который дал возможность решения обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков [36-40], систем дифференциальных уравнений [41, 42] вида

2о У'{х) + Я{х)У{х) = рУ{х) и других классов дифференциальных операторов. Отдельно стоит отметить динамично развивающуюся в настоящее время спектральную теорию на геометрических графах, в которой метод спектральных отображений также нашел свое применение. Прямым задачам для дифференциальных операторов на графах посвящены работы [16, 29] и др., обратные задачи изучались в [44-46, 51, 56, 67, 85].

В данной работе исследуется обратная спектральная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля

У" + Я{х)У = А У (0.4) на конечном интервале. Здесь У— вектор размерности т, а потенциал С}{х) является т х т матрицей. Уравнение (0.4) представляет собой обобщение классического уравнения (0.1). В диссертации исследуется матричный оператор, задаваемый уравнением (0.4) с краевыми условиями при произвольном значении т. Получена конструктивная процедура восстановления матричного оператора по спектральным данным, а также необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, исследуются ее локальная разрешимость и устойчивость решения.

Обратные задачи для уравнения (0.4) и других дифференциальных уравнений с матричными коэффициентами возникают в приложениях (см. [50, 55, 59, 72] и литературу в них). Однако их исследование представляет значительные трудности по сравнению со скалярным случаем (т = 1).

Отдельные частные результаты в обратных задачах для матричных дифференциальных операторов получены в [50, 55, 60, 61, 79, 88-90]. Наиболее полно изученным вопросом для матричных операторов Штурма-Лиувилля является обратная задача рассеяния на полуоси (см. [2, 5, 27, 71, 72]).

Обратные задачи для уравнения (0.4) на конечном интервале изучены в гораздо меньшей степени. При их исследовании возникают значительные трудности, связанные с кратностью спектра. В отличие от скалярного случая, спектр матричного оператора может иметь бесконечное количество групп кратных собственных значений, что делает нетривиальным исследование свойств спектральных данных и особенно обратных спектральных задач. Для обобщения основных результатов, известных для скалярного случая, требуются новые подходы, позволяющие учесть произвольное поведение спектра.

В связи с этими трудностями в теории обратных задач для уравнения (0.4) на конечном интервале без априорных ограничений на спектр ранее были получены только теоремы единственности [58, 59, 75, 86]. В.А. Юрко [87] был предложен конструктивный алгоритм решения обратной задачи для уравнения (0.4), основанный на методе спектральных отображений. Однако данный алгоритм получен при априорном предположении простоты спектра.

Д. Челкаком и Е. Коротяевым [62, 63] были получены необходимые и достаточные условия для случая с другим существенным ограничением. Ими был рассмотрен случай асимптотически простого спектра, когда в асимптотике собственных значений п + — + —, {*спч}п^ъ е 12, Я = 1,т, 7гтг п все числа ид различны. Кроме того, авторы [62, 63] использовали метод [80], не дающий конструктивного алгоритма решения. Отметим также работу [78], в которой исследовались операторы Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами из пространства Соболева И^-1 на конечном интервале. Другим аспектам прямых и обратных задач для матричных дифференциальных операторов посвящены работы [1, 12, 23, 30, 48, 53, 57, 64-66, 68-70, 73, 76, 82, 83].

В данной работе изучается обратная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля (0.4) на конечном интервале с самосопряженным потенциалом при произвольном поведении спектра. Преодолены трудности, связанные с возможной кратностью собственных значений и их асимптотической близостью. Постановка исследуемой задачи была дана в работах [86, 87]. Она представляет собой аналог задачи восстановления оператора по спектральным данным {Ап, сип}п^о> описанной выше для скалярного случая. В матричном случае в качестве спектральных данных рассматриваются собственные значения Хщ и так называемые весовые матрицы апд, являющиеся обобщением весовых чисел. В отличие от скалярного случая, когда весовые числа вводятся по формуле (0.3), в матричном случае оказывается более удобным определить весовые матрицы как вычеты матрицы ВейляМ(А) относительно ее полюсов. Матрица Вейля представляет собой обобщение функции Вейля для скалярного уравнения Штурма-Лиувилля (см. [19, 43]) и в данном случае оказывается естественной и удобной спектральной характеристикой.

Для исследования задачи проводится развитие идей метода спектральных отображений [43, 84], хорошо зарекомендовавшего себя в работе с различными классами дифференциальных операторов. Основными результатами диссертации являются:

1) конструктивная процедура восстановления оператора по спектральным данным;

2) необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи;

3) устойчивость решения обратной задачи.

Полученные результаты представляют собой обобщения известных результатов для классического уравнения (0.1) (см. [43, §1.4]).

Диссертация состоит из трех глав. Глава 1 посвящена конструктивному построению решения обратной задачи. В параграфах 1.1 и 1.2 вводится краевая задача Ь для уравнения (0.4) и ее спектральные характеристики, исследуются их свойства, дана постановка обратной задачи. В параграфе 1.3 получено основное уравнение обратной задачи ф(х)=ф(х)(1 + Ё(х)), которое при каждом фиксированном х является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве относительно ф(х). Величины ф(х) и Ё(х) строятся по заранее выбранной модельной задаче Ь и заданным спектральным характеристикам задачи Ь. Таким образом, нелинейная обратная задача сведена к решению линейного уравнения. В параграфе 1.4 доказана однозначная разрешимость основного уравнения. Решение данного уравнения используется для восстановления дифференциального оператора по спектральным данным. В итоге получен алгоритм решения обратной задачи, представляющий собой обобщение алгоритма, изложенного в [87], и учитывающий возможность кратных собственных значений.

Глава 2 посвящена наиболее трудному вопросу: необходимым и достаточным условиям разрешимости обратной задачи, т. е. характеристическим свойствам спектральных данных матричного оператора Штурма-Лиувилля. К стандартным асимптотическим свойствам и самосопряженности спектральных характеристик добавляется дополнительное условие, не имеющее аналога в скалярном случае. Отметим, что подобные условия, требуемые для разрешимости основного уравнения, возникали при исследовании различных матричных операторов в работах [2, 63, 78]. Для получения необходимых и достаточных условий используется модификация метода спектральных отображений, а также свойства спектральных данных и алгоритм решения обратной задачи, приведенные в главе 1.

В главе 3 доказана локальная разрешимость исследуемой обратной задачи, опираясь на которую была установлена устойчивость восстановления потенциала и коэффициентов краевых условий по спектральным данным в норме пространства ¿2 и в равномерной норме.

Результаты диссертации опубликованы в работах [6-11, 52].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Вячеславу Анатольевичу Юрко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Авдонин С. Л., Белишев М. И., Иванов С. А. Граничное управление и матричная обратная задача для уравнения щ — ихх + У{х)и = 0 // Мат. сборник. 1991. Т. 182, № 3. С. 307-331.

2. Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во ХГУ, 1960.

3. Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратная задача Штурма-Лиувилля. Теоремы единственности и контрпримеры // ДАН. 2006. Т. 411, № 6. С. 747-750.

4. Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Разрешимость обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // ДАН. 2007. Т. 412, № 1. С. 26-28.

5. Бондаренко Е. И., Рофе-Бекетов Ф. С. Обратная задача рассеяния на полуоси для системы с треугольным матричным потенциалом // Мат. физика, анал., геом. 2003. Т. 10, № 3. С. 411-423.

6. Бондаренко Н. П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. И. С. 3-5.

7. Бондаренко Н. П. Локальная разрешимость обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 3—6.

8. Бондаренко Н. П. Обратная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 15-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. С. 32-33.

9. Бондаренко Н. П. Обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10, № 4. С. 3—13.

10. Бондаренко Н. П. Устойчивость решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понт-рягинские чтения — XXI». Воронеж: ВГУ, 2010. С. 42—43.

11. Бондаренко Н. П. Устойчивость решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля в равномерной норме // Научные исследования студентов Сарат. гос. ун-та: Материалы итог. студ. науч. конф. 2010. С. 18-20.

12. Велиев О. А. О несамосопряженных операторах Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами // Мат. заметки. 2007. Т. 81. С. 496—506.

13. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

14. Гасымов М. Г., Левитан Б. М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, № 2. С. 3—63.

15. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. ма-тем. 1951. Т. 15. С. 309-360.

16. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный и др.. М.: Физматлит, 2004.

17. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. Т. 76, № 1. С. 21-24.

18. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. Т. 94, № 6. С. 987-990.

19. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

20. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

21. Лейбензон 3. Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды моек, матем. о-ва. 1966. Т. 15. С. 70-144.

22. Лейбензон 3. Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды моек, матем. о-ва. 1971. Т. 25. С. 15—58.

23. Маламуд М. М. Теоремы типа Борга для уравнений высоких порядков с матричными коэффициентами // ДАН. 2006. Т. 409, № 3. С. 312-316.

24. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова Думка, 1972.

25. Марченко В. А. Операторы Штурм а-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

26. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

27. Пашаев Р. Т. Теоремы единственности обратной задачи спектральной теории для одного класса систем дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами // ДАН Азерб. ССР. 1979. Т. 35, № 10. С. 3-6.

28. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

29. Провоторов В. В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде // Матем. сб. 2008. Т. 199, № 10. С. 105-126.

30. Руссаковский Е. М. Матричная задача Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях. Алгебраический и операторный аспекты // Труды ММО. 1996. Т. 57. С. 171-198.

31. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

32. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. Т. 69, № 6. С. 797-800.

33. Фаддеев Л. Д. О связи Б-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 1. С. 63-66.

34. Фаддеев Л. Д. Свойства Б-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314—336.

35. Хачатрян И. Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси // Функц. анализ и его прилож. 1983. Т. 17, № 1. С. 40-52.

36. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 9. С. 1540—1550.

37. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. С. 1368-1372.

38. Юрко В. А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 3. С. 431-456.

39. Юрко В. А. Обратная задача для самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Доклады РАН. 1993. Т. 333, № 4. С. 449-451.

40. Юрко В. А. Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Матем. заметки. 1995. Т. 186, № 6. С. 133—160.

41. Юрко В. А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных систем на полуоси по матрице Вейля // Матем. сб. 2004. Т. 76, № 2. С. 316— 320.

42. Юрко В. А. Обратная спектральная задача для сингулярных несамосопряженных дифференциальных систем // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 12. С. 123-155.

43. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физ-матлит, 2007.

44. Юрко В. А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях // Матем. заметки. 2008. Т. 83, Я2 1. С. 139-152.

45. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов на графе-кусте // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 2. С. 59-65.

46. Юрко В. А. Обратная задача для операторов Штурма-Лиувилля на произвольных компактных пространственных сетях // ДАН. 2010. Т. 432. С. 318-321.

47. Ambarzumian V. А. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f.Phys. 1929. Vol. 53. Pp. 690-695.

48. Andersson E. On the M-function and Borg-Marchenko theorems for vector-valued Sturm-Liouville equations //J. Math. Phys. 2003. Vol. 44, no. 12. Pp. 6077-6100.

49. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line. Math. • Surveys and Monographs. Vol. 28. Amer. Math. Soc., Providence: RI, 1988.

50. Beals R., Henkin G. M., Novikova N. N. The inverse boundary problem for the Rayleigh system //J. Math. Phys. 1995. Vol. 36, no. 12. Pp. 6688-6708.

51. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by ВС method // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. Pp. 647-672.

52. Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm-Liouville operator on a finite interval. Schriftenreihe der Fakultät für Mathematik, SM-DU-715, Universität Duisburg Essen, 2010. 20pp.

53. Borg-type theorems for matrix-valued Schrodinger operators / S. Clark and others. // J. Diff. Equations. 2000. Vol. 167, no. 1. Pp. 181-210.

54. Borg G. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Acta math. 1946. Vol. 78. Pp. 1-96.

55. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for anisotropic media // J. Math. Phys. 1995. Vol. 36, no. 7. Pp. 3443-3453.

56. Brown В. M., Weikard R. A Borg-Levinson theorem for trees // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sei. 2005. Vol. 461. Pp. 3231-3243.

57. Carlson R. Large eigenvalues and trace formulas for matrix Sturm-Liouville problems // SIAM J. Math. Anal. 1999. Vol. 30. Pp. 949-962.

58. Carlson R. An inverse problem for the matrix Schrodinger equation //J. Math. Anal. Appl. 2002. Vol. 267. Pp. 564-575.

59. Chabanov V. M. Recovering the M-channel Sturm-Liouville operator from M+l spectra // J. Math. Phys. 2004. Vol. 45, no. 11. Pp. 4255-4260.

60. Chakravarty N. K. A necessary and sufficient condition for the existence of the spectral matrix of a differential system // Indian J. Pure Appl. Math. 1994. Vol. 25, no. 4. Pp. 365-380.

61. Chakravarty N. K., Acharyya S. K. On an inverse problem involving a second-order differential system //J. Indian Inst. Sci. 1991. Vol. 71, no. 3. Pp. 239— 258.

62. Chelkak D., Korotyaev E. Parametrization of the isospectral set for the vector-valued Sturm-Liouville problem //J. Funct. Anal. 2006. Vol. 241, no. 1. Pp. 359-373.

63. Chelkak D., Korotyaev E. Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm-Liouville operators on the unit interval //J. Funct. Anal. 2009. Vol. 257. Pp. 1546-1588.

64. Chern H.-H., Shen C.-L. On the n-dimensional Ambarzumyan's theorem // Inverse Problems. 1997. Vol. 13, no. 1. Pp. 15—18.

65. Clark S., Gesztesy F. Weyl-Titchmarsh M-function asymptotics for matrix-valued Schrodinger operators // Proc. London Math. Soc. 2001. Vol. 82. Pp. 701-724.

66. Darwish A. A. On the direct problem and scattering data for a singular system of differential equations with discontinuous coefficients // Tamkang J. Math. 1996. Vol. 27, no. 4. Pp. 289-299.

67. Freiling G., Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on noncompact trees // Results in Math. 2007. Vol. 50. Pp. 195— 212.

68. Freiling G., Yurko V. An inverse problem for the non-selfadjoint matrix Sturm-Liouville equation on the half-line //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2007. Vol. 15. Pp. 785-798.

69. Gesztesy F., Kiselev F., Makarov K. A. Uniqueness results for matrix-valued Schrodinger, Jacobi, and Dirac-type operators // Mathematische Nachrichten. 2002. Vol. 239/240. Pp. 103-145.

70. Gohberg I., Kaashoek M. A., Sakhnovich A. L. Sturm-Liouville systems with rational Weyl functions: explicit formulas and applications // IEOT. 1998. Vol. 30, no. 3. Pp. 338-377.

71. Harmer M. Inverse scattering for the matrix Schrodinger operator and Schrodinger operator on graphs with general self-adjoint boundary conditions // ANZIAM J. 2002. Vol. 43. Pp. 1-8.

72. Harmer M. Inverse scattering on matrices with boundary conditions // J. Phys. A. 2005. Vol. 38, no. 22. Pp. 4875-4885.

73. Jodeit M. A., Levitan B. M. A characterization of some even vector-valued Sturm-Liouville problems // Mat. Fiz. Anal. Geom. 1998. Vol. 5, no. 3/4. Pp. 166-181.

74. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 1949. Vol. 73. Pp. 25-30.

75. Malamud M. Uniqueness of the matrix Sturm-Liouville equation given a part of the monodromy matrix, and Borg type results. Sturm-Liouville Theory. Basel: Birkhàuser, 2005. Pp. 237-270.

76. Matrix-valued generalizations of the theorems of Borg and Hochstadt / E. Belokolos and others. Evolution Equations, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., Vol. 234. New York: Marcel Dekker, 2003. Pp. 1-34.

77. A method for solving the Korteweg-de Vries equation / G. Gardner and others. // Phys. Rev. Letters. 1967. Vol. 19. Pp. 1095-1098.

78. Mykytyuk Ya. V., Trush N. S. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials // Inverse Problems. 2010. Vol. 26. P. 015009.

79. Paladhi B. R. The inverse problem associated with a pair of second-order differential equations // Proc. London Math. Soc. 1981. Vol. 43, no. 1. Pp. 169-192.

80. Poschel J., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. New York: Academic Press, 1987.

81. Sakhnovich L. A. Spectral theory of canonical differential systems. Method of operator identities. Operator Theory: Advances and Appl. Vol. 107. Basel: Birkhauser Verlag, 1999.

82. Shen C.-L., Shieh C.-T. Two inverse eigenvalue problems for vectorial Sturm-Liouville equation // Inverse Problems. 1998. Vol. 14, no. 5. Pp. 1331—1343.

83. Shieh C.-T. Isospectral sets and inverse problems for vector-valued Sturm-Liouville equations // Inverse Problems. 2007. Vol. 23. Pp. 2457—2468.

84. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

85. Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems. 2005. Vol. 21. Pp. 1075—1086.

86. Yurko V. A. Inverse problems for matrix Sturm-Liouville operators // Russ. J. Math. Phys. 2006. Vol. 13, no. 1. Pp. 111-118.

87. Yurko V. A. Inverse problems for the matrix Sturm-Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems. 2006. Vol. 22. Pp. 1139-1149.

88. Zubkova E. I., Rofe-Beketov F. S. Inverse scattering problem on the axis for the Schrodinger operator with triangular 2*2 matrix potential. I. Main theorem //J. Math. Phys. Anal. Geom. 2007. Vol. 3, no. 1. Pp. 47-60.

89. Zubkova E. I., Rofe-Beketov F. S. Inverse scattering problem on the axis for the Schrodinger operator with triangular 2*2 matrix potential. II. Additionof the discrete Spectrum // J. Math. Phys. Anal. Geom. 2007. Vol. 3, no. 2. Pp. 176-195.

90. Zubkova E. I., Rofe-Beketov F. S. Necessary and sufficient conditions in inverse scattering problem on the axis for the triangular 2*2 matrix potential // J. Math. Phys. Anal. Geom. 2009. Vol. 5, no. 3. Pp. 296— 309.