О некоторых спектральных свойствах двучленных операторно-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НОРМАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ НА ПОЛУОСИ И НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

§ I Постановка задачи и основные обозначения

§ 2 Интегральное уравнение для операторной функции Грина.

§ 3 Первая производная функции Грина.

§ 4 Вторая производная функции Грина.

§ 5 Дальнейшие свойства функции Грина

§ 6 0 резольвенте операторного уравнения Штурма

Лиувилля на конечном отрезке

ГЛАВА П. АСИМПТОТИКА ЧИСЛА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУЧЛЕННОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

§ I Постановка задачи и метод ее решения

§ 2 Оценки для оператор-функции

§ 3 Оценки повторных ядер. 4 Асимптотика функции Грина.

§ 5 0 дискретности спектра и асимптотике числа собственных значений

ГЛАВА Ш. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СУММ СТЕПЕНЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ПОЛУОСИ

§ I Постановка задачи и некоторые неравенства, связанные с собственными значениями оператора Штурма-Лиувилля.

§ 2. Асимптотические формулы,•связанные с отрицательными собственными значениями . ИЗ

Начало изучения спектральных свойств операторно-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами заложено в работе А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана fiej. В этой работе рассмотрен дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей оси, потенциал которого является обратным к вполне непрерывному самосопряженному оператору. В ней установлена дискретность спектра и получена асимптотическая формула для числа собственных значений рассматриваемого оператора. Далее, этой теме посвящены многочисленные исследования как отечественных, так и зарубежных авторов. Ниже мы укажем некоторые из этих работ.

Настоящая диссертационная работа также посвящена изучению некоторых спектральных свойств дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Она состоит из трех глав.

Первая глава посвящена изучению функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля на полуоси, потенциал которого является неограниченным нормальным оператором и граничным условием в нуле, содержащим неограниченный самосопряженный оператор.

В этой главе так же исследовано свойство функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля, на конечном отрезке с самосопряженным операторным коэффициентом.

Функция Грина уравнения Штурма-Лиувилля, заданного на всей оси с самосопряженным неограниченным операторным потенциалом, впервые исследована в работе Б.М.Левитана [25]. В дальнейшем исследованию функции Грина и асимптотике спектра различных oneраторно-дифференциальных выражений посвящены работы Б.М.Левитана и Г.А.Суворченковой [2б], В.П.Маслова/29], М.Байрамоглы/Vj, Э.А.Абдукадырова|1], Г.И.Асланова/бJ, М.0телбаева/32] , К.Х. Бойматова[ю], В.А.Михайлеца[зо], \Х/ JAfcER /Ц/. Г.Н.Лаптева [24], Е. А.Беговатова j&J, В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука [l3tI4] , Г.А.Мишнаевского^Гз1 J, М.Ш.Бирмана и М.З.Саломяка/э^ , А.Н.Кочубея /22], Е.Г.Клейманаjivj, Ф.Г.Максудова и В.Г.Гусейнова [2в], И.В.Алиева J, Б.И.Алиева и М.Байрамоглы £4J, А.А.Абудова [2] и др. Подробная библиография работ, посвященных этой теме, имеется в книге А.Г.Костюченко и M.C.CaprcHHajfclJ .

В работеjl7j исследована функция Грина операторного уравнения Штурма-Лиувилля на всей оси с нормальным операторным потенциалом. В работе^28J , предполагая, что потенциал является самосопряженным оператором, изучена функция Грина уравнения второго порядка на полуоси с граничным условием в нуле, содержащим самосопряженный оператор. Мы изучаем оператор, рассмотренный в [2в], потенциал которого является нормальным оператором. Заметим, что, рассматривая более общий операторный потенциал, чем bjiej , мы одновременно и снимаем условие "на рост" на бесконечности, которое сопровождало работыя [he] .

Пусть j—j - абстрактное сепарабельное пространство Гильберта со скалярным произведением (•■)•) и нормой // ♦ // . Обозначим через ЬцС01? И) (- оо эс^- w) множество сильно измеримых функций -f(x) со значениями из /-/ таких, что £ ос

Скалярное произведение элементов -f Сое) и £j.(x) , входящих в Ь (a>,i; И ) » определяется равенством

С f, fl=S (fw, fwjd*

CL*

Пусть

Qcx) <*>)- семейство операторов в f-J с общей областью определения . В пространстве L^COjO^j /-/) рассмотрим оператор /j , порожденный дифференциальным выражением на функциях (х) со значениями в 0 , и имеющих вторую сильную производную и удовлетворяющих граничному условию if'l0)-ky(0)=0, здесь к-к в f-J и tyc 7)(hs).

Перечислим основные условия на операторы Q(X) и /ь , при которых изучаем функцию Грина оператора

1) Для почти всех Х&О операторы Q(x) являются нормальными операторами в /-/ , причем для почти всех X ^О , общее всюду плотное множество в /-/ , на котором операторы определены и QCoc) непрерывны при любом .

2) Оператор Q(x) для почти всех О является обратным к вполне непрерывному оператору, причем его собственные значения лежат в комплексной плоскости вне сектора

Aq - : \ttlCj, Л-Ж\/ ^ О^&Я- постоянное число

3) Для \Х-}\±1 iiawEacti-Qwlll^A/x-ii,

1 JL Н ± -1 где и С) 0 - постоянные числа.

Обозначим через jJL (x)l £ Ц^х)/£ • • • ^ абсолютные величины собственных значений оператора Q(x) относительно которых будем предполагать, что они измеримые функции. (Не нарушая общности, можно считать, что

UjCool^l ).

Оо

Ч-* 1

4) Ряд /, ---сходится для почти всех Х?о и его сумма Fix) - функция класса ^(o^J, т.е.

ОО

J F(X)ciod ^ о

5) Для всех Х^о выполняются неравенства3^ : а) ЩМ+кУ'Н^С, б) II (x+ky1!* в) с,

Буквой С мы обозначаем на протяжении всей работы постоянную величину, не обязательно одну и ту же. -HOC -1 9€Хц . п

D Не (mkixe м

Здесь tJH-E) и jU^O , £ - единичный оператор в f-j .

В §§ 1-5 этой главы доказана основная

ТЕОРЕМА I.I.I. Если выполнены условия 1)-5), то для достаточно больших ^О существует обратный оператор являющийся интегральным оператором с ядром (rl^i^j/1-) » которое будем называть (операторной) функцией Грина оператора h (j-(X} Ij /1 ) есть операторная функция в А/ , которая зависит от двух переменных Jt и ^ ( О £ 5С , ^ с» ) t параметра ja и удовлетворяет условиям: а) (r(CC)?J//l) сильно непрерывна по переменным 2); ж б) существует сильная производная -—- , причем

0;/4) ^ JG:СX,, Х-О; LL) JZ Т>1 dj> смысл этого равенства проясняется в § 3);

В) -Cr^+C-{Q(i)t/lB} = 0,

В § 6 этой же главы рассмотрен оператор Ь0 в пространстве L (0у 9Z't /-/) » порожденный дифференциальным выражением и граничными условиями

Здесь предполагается, что Q(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) При всяком фиксированном X & [OjJl]. Q(x) есть самосопряженный оператор, ограниченный снизу единичным оператором, и Q (ос) вполне непрерывные в /-/ .

2) Пусть ^(х) £ а&^Сх) £ о1л - собственные значения оператора Q(x) в /■/> и при всяком фиксирован

Г •7 - J Л ном See [о, 37J сходится ряд ^Г . (х) и его сумма непрерывна на [о}л] •

3) Операторная функция Q (х) слабо измерима, т.е. для любых , ^ £ Н функция (Q. £J) измерима в смысле Лебега.

В этом параграфе доказана следующая

ТЕОРЕМА I.6.I. Резольвента оператора L0 является интегральным оператором типа Гильберта-Шмидта.

Пусть Е^ - трехмерное евклидово пространство. Обозначим через L^iE^j /^множество всех функций f(X) (х= со значениями из /-/ таких, что f // j^dx!^ . является сепарабельным гильбертовым пространством относительно скалярного произведения ш, $1*))^ = ! (s-Wpjt*))^* л

Вторая глава посвящена изучению асимптотического поведения числа собственных значений оператора , порожденного дифференциальным выражением

-0*Ап+ &(*) в пространстве L^ (Заметим, что случай /2=/ рассмотрен в работе В.Г.Гусейнова/l5J . Мы решаем эту задачу при и применяя модифицированный вариант метода Э.Э.Леви, снимаем условие "на рост" на бесконечности для потенциала Q(X) » которое имело место в работе и др. Условие "на рост" в скалярном случае для уравнения Штурма-Лиувилля снято впервые М.Отелба-евым в работе /32J, а для общих самосопряженных эллиптических уравнений в работе К.Х.Бойматова и А.Г.Костюченко^11^7.

В этой главе предполагается, что Q(sc) при каждом Jz3 является самосопряженным оператором в /-/ и удовлетворяет следующим условиям:

1) Области определения операторов Q(x) имеют общее всюду плотное пересечение Я)С // , Q(X)z£ и СГ*(Х) является вполне непрерывным оператором в /-/ при каждом Е^

•

2) При |X-/Uf [aw - Q (!)] аасх) и A a l у-л, , conji .

3) При некотором I УО ( i может быть достаточно большим)

-I -е осе £3 $ HQ +

4) При/x-f

III

-а ^ ч для во№c>0yi?0 (f(c)^oj.

5) При любом М >0

-MiQ(x), -taw

JW cloc=z 00) \sp е dx.

6) Пусть otj M (%•) ^ • • • ^ ol^CxM-- собственные значения оператора Q(x) • Предполагаем также измеримость функций о11(х)^о1г(0с)} , оЬ^ (xj}

Обозначим через Р(Я) следующую функцию

С / 1 / р(л)= J tt-c£i<*)J dx. J 1 UL

Будем предполагать, что при больших значениях Я 7 О где CL0 - некоторое положительное число. Основным результатом второй главы является следующая ТЕОРЕМА 2.5.2. Если оператор-функция Q(x) удовлетворяет условиям 1)-6), то для числа собственных значений оператора /jP меньших Я (Я ? О ) » т-е* Д^ л/(я) справедлива асимптотическая формула при Я -» оо l ip L где Ь -з Г J де=(лю J г ty

Третья глава посвящена изучению асимптотических формул, связанных суммами степеней отрицательных собственных значений оператора , порожденного дифференциальным выражением и граничным условием Ц(о)~0 . о

Здесь Q(x) - Q (х) и является вполне непрерывным оператором в /-/ при каждом ОС £ [о<>=>)» Условия на Q(x) , обеспечивающие конечность и дискретность отрицательного спектра впервые найдены в работе М.Г.Гасымова, В.В.Жикова и Б.М.Левитана jl2~j . Дальнейшие обобщения и уточнения результатов из [l2J проделаны Д.Р.Яфаевым [зъ] и А.Н.Кочубейем /22^ .

В работе А.А.Адыгезалова [з J найдена асимптотическая формула для числа отрицательных собственных значений оператора /,. Как увидим ниже, из результатов этой главы, в частности, следуют результаты работы [з].

Обозначим через Л (ОС) ^ olz(oc.) ъ >/ oln (0с)7, собственные значения оператора Q(x). Чтобы сформулировать результаты этой главы введем следующие обозначения: tn0X-OZ? i-nx , '•■)<lnjX~ ttbdstj^x); ol. (x) ft: (h *J=Щ J J = /Д•■■ , г cLjM^UO.

Основными результатами этой главы являются. ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть оператор-функция Q(x)монотонно убывает и ( ^ - некоторое положительное число). Если функции (Xj-Eti^Xi где fCyO , j , при больших значениях X неотрицательны, монотонно не возрастают и iUtb об О » то при О имеет место асимптотическая

Х^ оо формула р {

У/ J Uj(x)*£

ТЕОРЕМА 3.2.2. Пусть оператор-функция (2^/монотонно убывает и функция olf^tx) удовлетворяет условию П

Шп oLMX = £шг (ol/xj при любом £ » где Ко - некоторое число, удовлетворяющее неравенству

J^js+j^Mfllll- (s*o).

0 lSi1

Если Ci(o)e^jr * где ^ - некоторое число, удовлетворяющее неравенству U-tColOl-Jfo-WcS)

Z/CoClf-tCo-l/Cot) то при £.->0 имеет место асимптотическая формула

2 Я ■ = 21J Jjtyj a,*) doe,

Д Я J dj(*>*E

С» где Q - некоторое положительное число.

Из этих формул при S= 0 следуют результаты работы jjiJ.

В настоящей диссертации получены следующие новые результаты:

- изучены свойства резольвенты оператора второго порядка на полуоси с нормальным операторным потенциалом и граничным условием в нуле, содержащим самосопряженный оператор;

- установлен класс принадлежности ядра резольвенты операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке;

- вычислена асимптотика числа собственных значений двучленного операторного уравнения с частными производными высокого порядка;

- найдены асимптотические формулы, связанные с суммами степеней отрицательных собственных значений операторного уравнения второго порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

40-44J и доложены на семинарах отдела спектральной теории дифференциальных операторов ИММ АН Азерб.ССР, на общеинститутском семинаре ИММ АН Азерб.ССР, руководимым акад.АН Азерб.ССР Ф.Г. Максудовым, на семинаре кафедры "Прикладного анализа" (зав.каф. проф.Отелбаев М.) Каз.ГУ им.С.М.Кирова, а также на семинарах кафедры высшей математики АзИНЕФТЕХИМа им.М.Азизбекова.

В заключение выражаю глубокую благодарность акад.АН Азерб. ССР Ф.Г.Максудову и старшему научному сотруднику М.Байрамоглы, под руководством которых выполнена настоящая работа.

1. АБДУЛКАДЫРОВ Э., О функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами. ДАН СССР, 1970, т.195, № 3, 519-522.

2. АБУДОВ А.А., О функции Грина операторно-дифференциального уравнения высокого порядка на полуоси. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1981, $ 2, 10-15.

3. АДЫГЕЗАЛОВ А.А.,- Об асимптотике отрицательной части спектра операторной задачи Штурма-Лиувилля. Изв.АН Азерб.ССР, сер. физ-техн. и матем.наук, 1980, № 6, 8-12.

4. АЛИЕВ Б.И., ЕАЙРАМОГЛЫ М., Функция Грина обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка с операторными коэффициентами на полуоси. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1981, Д? 4, 33-37.

5. АЛИЕВ И.В., Дифференциально-операторные уравнения второго порядка на всей оси. Деп.ВИНИТИ, № 668-79.

6. АСЛАНОВ Г.И., Асимптотика числа собственных значений обыкновенных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами на полуоси. ДАН Азерб.ССР, 1976, т.32, № 3, 3-7.

7. ЕАЙРАМОГЛЫ М. Асимптотика числа собственных значений обыкновенных дифференциальных операторов с операторными коэффициентами. В сб.: Функц.анализ и его применения, Баку, "Элм", 1971, 144-166.

8. БЕГОВАТОВ Е.А. Уравнения Шредингера в гильбертовом пространстве. ДАН СССР, 1970, 191, № 6, 1203-1205.

9. БИРМАН М.Ш., СОЛОМЯК М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. Математический анализ, т.14, "Итоги науки и техники", М., 1977, 5-58.

10. БОЙМАТОВ К.Х., Асимптотика спектра операторного дифференциального уравнения. УМН, 1973, т.28, вып.4, 207-208.

11. БОЙМАТОВ К.Х., КОСТЮЧЕНКО А.Г. Распределение собственных значений эллиптических операторов во всем пространстве. Труды семинара им.И.Г.Петровского, вып.2, 1976, II3-I43.

12. ГАСЫМОВ М.Г., ЖИКОВ В.В., ЛЕВИТАН Б.М., Условия дискретности и конечности отрицательного спектра операторного уравнения Шредингера. Матем.заметки, 1967, 2, № 5, 531-538.

13. ГОРБАЧУК В.И., ГОРБАЧУК М.Л., 0 некоторых классах задач для уравнения Штурма-Лиувилля с операторным потенциалом. УМЖ, 1972, 24, № 3, 291-305.

14. ГОРБАЧУК В.И., ГОРБАЧУК М.Л., Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных уравнений эллиптического типа в пространстве вектор-функций на конечном интервале. УМЖ, 1976, т.28, № I, 3.

15. ГУСЕЙНОВ В.Г., Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Шредингера. Деп.ВИНИТИ, № 152-76.

16. КИРИЛЛОВ А.А., Элементы теории представлений. М., 1971.

17. КЛЕЙМАН Е.Г., 0 функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с нормальным операторным коэффициентом. Вестник МГУ, 1974, № 5.

18. КОСТЮЧЕНКО А.Г., ЛЕВИТАН Б.М., Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля. Функц.анализ и его приложения, I, 1967, вып.1, 86-96.

19. К0СТЮЧЕНК0 А.Г., Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов. 1У Летняя Математическая школа, Киев, 1968.

20. Костюченко А.Г., Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов. ДАН СССР, 1966, т.168, № I, 21-24.

21. КОСТЮЧЕНКО А.Г., САРГСЯН И.С., Распределение собственных значений. М., Наука, 1979.

22. КОЧУБЕЙ А.Н., Об отрицательной части спектра абстрактных дифференциальных операторов. Методы функц.анализа в задачах матем.физики. Изд. Ин-та матем. АН УССР, 1975.

23. КУРАНТ Р., ГИЛЬБЕРТ Д., Методы математической физики, М-Л, Гостехиздат, 1951.

24. ЛАПТЕВ Г.Н/, Сильно эллиптические уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Литовск.матем.сб., 1968, 8,I.

25. ЛЕВИТАН Б.М., Исследование функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с операторным коэффициентом. Матем.сб., 1968,т.76, 118, $ 2, 239-270.

26. ЛЕВИТАН Б.М., СУВОРЧЕНКОВА Г.А., Достаточные условия дискретности спектра уравнения Штурма-Лиувилля с операторным коэффициентом. Функц.анализ и его приложения, 1968, 2, вып.2, 56-62.

27. ЛЕВИТАН Б.М., САРГСЯН И.С., Введение в спектральную теорию. М., Наука, 1970.

28. МАКСУДОВ Ф.Г., ГУСЕЙНОВ В.Г., Асимптотика числа собственных значений уравнения Штурма-Лиувилля с операторным коэффициентом на полуоси. ДАН Азерб.ССР, 1978, № 5.

29. МАСЛОВ В.П., О критерии дискретности спектра уравнения Штурма-Лиувилля с операторным коэффициентом. Функц.анализ и его приложения, 1968, 2, вып.2, 63-64.

30. МИХАЁЛЕЦ В.А., Асимптотика собственных значений третьей краевой задачи для операторного уравнения Штурма-Лиувилля. Функц.анализ и его приложения, 1976, т.10, вып.1, 83-84.

31. МИШНАЕВСКИЙ Г.Е., Функция Грина и асимптотическое поведение собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля. ДАН СССР, 1972, 203, № 4, 762-765.

32. ОТЕЛБАЕВ М., К методу Титчмарша оценки резольвенты. ДАН СССР, 1973, т.211, № 4.

33. РАЙМБЕКОВ Д.Ж., Известия АН Казахской ССР, сер. физ-матем.,3, 1974.

34. СКАЧЕК Б.Я. Асимптотика отрицательной части спектра одномерных дифференциальных операторов. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Киев, 1963, 96-109.

35. СМИРНОВ В.И. Курс высшей математики. М., Физматгиз, 1959, т.5, 655с.

36. ТИТЧМАНИ Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. т.П, ИЛ, М., 1961.

37. ЭЙДЕЛЬМАН С.Д. Параболические системы. М., Наука, 1964.

38. ЯФАЕВ Д.Р., Об отрицательном спектре операторного уравнения Шредингера. Матем.заметки, 1970, 7, № 6.

39. УаС-BR IP ZUV Tkeotie ^ sclu^t^u^^s-$fcLcJuuy мЛЬ WooUa4leK tCoe^Lzex-U/iШ> AoczittgeJleietb. MotiA. ^Uso&z. mfrw). si- es

40. ДУШДУРОВ М.Г., Асимптотика числа собственных значений бигар-монического уравнения, возмущенного операторным потенциалом. Тезисы докл. Всесогозн.конф. по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений. Алма-Ата, 1979.

41. ДУШДУРОВ М.Г. Асимптотика числа собственных значений одного операторного уравнения с частными производными. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1981, № 4, 50-53.

42. ДУШДУРОВ М.Г., 0 функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с нормальным операторным коэффициентом на полуоси. Деп.ВИНИТИ, № 3249-82.