Исследование задач, возникающих при изучении функционально-дифференциальных уравнений, методами спектральной теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 929

Медведев Данил Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и03064В26

Москва - 2006

003064826

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научные руководители доктор физико-математических наук,

профессор А Г Костюченко, доктор физико-математических наук, профессор В. В Власов

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор А Д Мышкис, доктор физико-математических наук, профессор И С Ломов

Ведущая организация Российский университет дружбы народов

Защита диссертации состоится 2 марта 2007 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2 февраля 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

е)1ЫЬ

V

Т П Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Основы теории функционально-дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве заложены в работах А Д Мышкиса, Р Беллмана, К Кука, Н В Азбелева, Н Н Красов-ского, Дж Хейла, Л Э Эльсгольца. Ряд глубоких результатов для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных изложен в недавних монографиях Дж Ву и А Л Скубаческого Несмотря на значительное число работ, посвященных изучению функционально-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, получение наиболее точных (неулучшаемых) оценок их решений и изучение асимптотического поведения решений остается актуальной задачей, играющей важную роль в теории динамических систем и теории управления Особый интерес в настоящее время представляет изучение функционально-дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, при этом активно используются методы теории полугрупп и спектральной теории операторных пучков Наиболее близкими в этом направлении являются работы В В Власова, Д В Якубовича, С В Лунела, Г. Ди Блазио, К Куниша, Е. Синестрари, В Шаппахера Результаты, представленные в диссертации, являются естественным развитием и обобщением результатов упомянутых авторов

Большой интерес представляет собой исследование свойств экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений, поскольку указанные решения являются системой собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования с нелокальными граничными условиями Свойства полноты и базисности систем экспонент и систем собственных и присоединенных функций несамосопряженных задач изучались много и интенсивно Наиболее близкими к тематике диссертации являются работы В В Власова, В А Ильина, А Г Костюченко, М Г Крейна, Б. Я Левина, Н Левинсона, В Б Лидского, И. С Ломова, А С Маркуса, В П Михайлова, Е И Моисеева, Н К Никольского, Б С Павлова, А М Седлецкого, А П Хромова, А А Шкаликова.

Вопросы актуальности затрагиваются также в описании каждой из глав

Цель работы. Изучение вопросов асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, первого и произвольного дифференциальных порядков в различных функциональных пространствах, в том числе в пространствах Соболева Рассмотрение в этой связи ряда спектральных вопросов, включающих в себя исследования полноты, минимальности и базисности систем экспоненциальных решений упомянутых уравнений Изучение поведения решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве на основе исследования оператор-функций, являющихся символами этих уравнений

Методы исследования. В работе использованы методы спектральной теории операторов и операторных пучков, а также теории целых функций, теории полугрупп и теории функционально-дифференциальных уравнений

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по спектральной теории операторных пучков (оператор-функций), теории функционально-дифференциальных уравнений, также в дальнейших исследованиях в ряде математических задач теории управления и задачах математической теории распространения тепла в средах с памятью

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Установлены утверждения о полноте, минимальности и базисности Рисса систем экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в пространствах Соболева и других функциональных пространствах На основе этих результатов получены неулучшаемые оценки решений упомянутых функционально-дифференциальных уравнений

Получены неулучшаемые оценки для решений функционально-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве Установлены результаты о разложении решений упомянутых уравнений в сумму линейной комбинации экспоненциальных решений и функции с меньшим показателем экспоненциального роста на основе результатов о поведении и оценках оператор-функций с экспоненциальным вхождением спектрального параметра, являющихся символами рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений

Получены неулучшаемые оценки и результаты об асимптотическом поведении решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа и в конечномерных пространствах

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Общий объем диссертации составляет 81 страницу Список литературы содержит 41 наименование

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора Их список приведен в конце автореферата

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались в 20052007 гг на научных семинарах МГУ под руководством проф А Г. Костючен-ко, проф В В Власова, проф К А Мирзоева (неоднократно), под рук проф А А Шкаликова, под рук проф А М Седлецкого, под рук. проф В. В Жи-кова, проф А С Шамаева, проф Т А Шапошниковой, под рук академика Е И Моисеева, проф С И Ломова, на семинаре в МИАН им В А Стеклова под рук проф А К Гущина, проф В П Михайлова, проф А А Дезина,

на семинаре в РУДН под рук А Л Скубачевского, на семинаре в МИИТ под рук проф А Д Мышкиса, проф А С Братуся, проф А М Филимонова, на международных конференциях «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С М Никольского (Москва, МИАН им В А Стеклова, 2005), «Четвертая международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям» (Москва, МИАН им В А Стеклова, 2005), «Тихонов и современная математика», посвященная столетию А Н. Тихонова (Москва, МГУ, 2006)

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ, излагаются цели, методы и основные результаты исследования

Глава 1 посвящена изучению функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа Особый интерес к таким уравнениям обусловлен тем, что, в отличие от уравнений запаздывающего типа, они изучены в значительно меньшей степени При этом для нейтральных уравнений реализуются так называемые критический и сверхкритический случаи (т е когда имеются цепи корней характеристического квазимногочлена, приближающиеся или лежащие на мнимой оси), которые представляют особый интерес Дело в том, что при изучении таких уравнений традиционными методами (например, используя преобразование Лапласа и его обращение) возникают трудности, связанные с тем, что при обращении преобразования Лапласа прямая, параллельная мнимой оси, по которой производится интегрирование, должна находиться на положительном расстоянии от спектра (множества нулей характеристической функции)

В первом параграфе первой главы рассматривается традиционная начальная задача для функционально-дифференциального уравнения вида

= + 0, (1)

М<*) =900. я € [-М] (2)

Здесь М С([-А, 0], С) -»■ Сг, К 0), Сг) С - ограниченные

линейные операторы, имеющие вид

/О /*0 лО

¿1лм($К<р- I /хк(в)<р(8)с*8 + / Vк(з)<р'(з)с*з, ■Н J-h и-И

где рм - матрица-функция ограниченной вариации, заданная на отрезке [—Л, 0], Ик и г)к - матрицы-функции размера г х г, элементы которых принадлежат пространству £,2(—к,0) Через щ обозначена вектор-функция иДй) = и{Ь -Ьз), 1> 0, заданная на отрезке й 6 [-/1,0], постоянная Н > 0

Обозначим через И^ССа, 6),С), -оо < а < Ь < +оо,р €Е М, весовые пространства Соболева вектор-функции со значениями в Сг, снабженные нормами

1Мк7((0,б),е) = (№{3)тШ)1/2,7 > о

■>а 3=0

В случае 7 = 0 мы полагаем И^0((а, Ъ), С) = И^((а, Ь), С)

Определение. Функцию и, принадлежащую пространству И^1 ((—Л, Т), С) для любого Т > 0, назовем сильным решением задачи (1), (2), если и удовлетворяет почти всюду на полуоси Е+ уравнению (1) и условию (2)

Обозначим через Ь(Х) матрицу-функцию вида

/0 гО р0

^Мй + А / — А / ехЧцм{э),

л ./-л У-л

через ¿(А) = с^ Ь(А) - характеристическую функцию уравнения (1), через А, - нули функции /(А), упорядоченные в порядке возрастания модулей с учетом кратности ия, через Л - множество всех нулей функции 1(А) Заметим, что 1(А) - голоморфная во всей комплексной плоскости (целая) функция, поэтому множество ее нулей Л счетно, а кратности ич нулей конечны

Собственные векторы, входящие в каноническую систему1 собственных и присоединенных (корневых) векторов матрицы-функции Ь{А), отвечающие числу А,, обозначим через (у = 1,2, • • ,гч), их присоединенные порядка к - через (к — 1,2, ,рЧ}) Индекс ] показывает, каким по счету является вектор жМ1о в специально выбранном базисе подпространства решений уравнения Ь(Хд)х = 0

Введем систему экспоненциальных решений однородного (/ = 0) уравнения (1)

У«А*(*) = + ^ _ + • + (3)

Введем полугруппу Т«, £ > 0, ограниченных операторов, действующих в пространстве Л, 0),Сг), согласно правилу Тгд — щ, t > 0, где и - силь-

ное решение однородной задачи (1), (2), отвечающей начальной функции д

Лемма 1. Пусть функция ¡хм атомарна в 0, т. е. 6.еЬ(рм(0) — цм{~0)) ф 0 Тогда семейство операторов {71} образует С0-полугруппу в пространстве И/21((—/г, 0), С) с генератором А, имеющим область определения

£>от(А) = {<р . ц> € Ж|((-/г,0),е), М<р' = Кф}

1 Келдыш М в // УМН, 1971, Т 26, № 4, С 15-41

и действующим по правилу А<р = </з' При этом спектр оператора А совпадает с множеством Л нулей функции 1(Х), а экспоненциальные решения (3) однородного уравнения (1) при Ь € [—Л, 0] являются его корневыми функциями

Лемма 2. Пусть цм атомарна в точках 0 и —к, т е + 0) -

Мм(-й)) Ф 0 Тогда

1) конечны величины = эир^^д ЫеА,, яг_ = т^ел ЫеЛ9,

2) система корневых векторов Уq,J,k оператора А полна и минимальна в пространстве И^0), С)

Обозначим через В{\, р) круг радиуса р с центром в точке А, и положим

С(Л, р) = <С \ (ид,6лВ(Ад, р))

Лемма 3. Если /лм атомарна в точках 0 и —к, то найдутся такие постоянные а и /3, (а < М- < < ¡3), что система замкнутых контуров

Г„ = {11еА = а, 7„ < 1тА < 7„+1} и {а < 11еА < 1тА = 7п+1> и и{ИеА = /?, 7„ < 1тА < 7п+1> и {а < КеА < Р, 1тА = 7„},

целиком принадлежит области С7(Л, р) при некотором достаточно малом р > 0 При этом выполняются условия:

1) последовательность вещественных чисел {7п}, п 6 2, такова, что

0 < 5 < 7„+1 - 7„ < Д < +оо,

где 5 и Д - некоторые положительные постоянные,

2) количество Г„) нулей 1(А) (с учетом кратности), лежащих в областях, границами которых являются контуры Гп, равномерно ограничено по

п, т е существует постоянная N > 0 такая, что тах2\Г(Гп) < N

п ~

Обозначим через УУ„ подпространства пространства Ь,0),Сг), явля-

ющиеся линейной оболочкой всех экспоненциальных решений уч,ьк однородного уравнения (1), отвечающих числам лежащим в областях, границами которых являются контуры Г„.

Теорема 1. Пусть цм атомарна в точках0 и—к Тогда семейство подпространств {И/"„}п6а образует базис Рисса из подпространств пространства

Заметим, что, несмотря на то, что система корневых векторов уд^к оператора А минимальна, она не образует, вообще говоря, равномерно минимальную систему и, тем самым, базис Рисса Таким образом, путем объединения нулей функции /(А) в группы, как это описано в лемме 3, мы добиваемся того, что система уч,3м образует базис Рисса со скобками (базис Рисса из подпространств)

Теорема 2. Пусть цм атомарна в точках 0 и —h, д € И/21((—Л, 0), С) и / € ¿г((0, Т), С) для любого Т > 0 Тогда существует и единственно сильное решение и задачи (1), (2), которое удовлетворяет оценке

ll«tllwj((-M),o-) < dx{t + l)N~1e>(+t\\g\\wt((-h,o),cr)+

+d2Vt(j\t - s + l^-V^^II/Mll^s)1/2, t > 0, (4)

где константы d\ и <¿2 не зависят от функций g и /.

Замечание. Отметим, что оценка (4) является неулучшаемой в том смысле, что величины N и х+ нельзя взять меньшими во всем классе начальных функций g и правых частей f Более того, величину \ft, фигурирующую в оценке (4), нельзя опустить

Заметим, что из результатов (теорема 1) о базисности Рисса экспоненциальных решений однородного уравнения (1) непосредственно вытекает оценка (4) решения однородного (/ = 0) уравнения Результаты теоремы 2 в случае произвольного / получены с помощью процедуры получения оценки решения неоднородного уравнения на основании оценки решения однородного уравнения, которая впервые встречается в работе В В Власова, Дж By2 Рассмотрим оператор А, имеющий область определения

Dom{A) = {(с,ср) € С ® ¿2((-М),Сг), Ч> € И^((-М),Сг),М<р = с}

и действующий по правилу А(с, ф) = (Kip, ip')

По аналогии с оператором А, спектр оператора А совпадает с множеством Л нулей функции ¿(А), а векторы {Myq^k,yq,],k(t)) при t € [-/i,0] являются его корневыми функциями и образуют полную и минимальную систему в пространстве Сг ® L2((—

Обозначим через W„ подпространства пространства Сг®£2((—Л, 0), С), являющиеся линейной оболочкой всех корневых векторов (Му^*, 2/?v,,a(£)) оператора А, отвечающих числам А?, лежащим в областях, границами которых являются контуры Г„

Теорема 3. Пусть цм атомарна в точках 0 и —h Тогда семейство подпространств {Wn}nez образует базис Рисса из подпространств пространства 0),€г)

Отметим, что теоремы 1 и 3 о базисности обобщают соответствующие результаты, установленные С В Jlyнелом и Д В Якубовичем3, поскольку помимо атомарности цм в точках 0 и —h авторы требуют выполнение условия

2VIasov V V , Wu J // Functional Differential Equations, 2005, V 12, № 3-4, P 437-461

3Verduyn Lunel S M , Yakubovich D V // Integr equ oper theory, 1997, V 27, P 347-378

отделимости mf )АЧ — Ар| >0 множества Л Эти теоремы также обобщают соответствующие результаты Р Рабаха, Г Скляра, А Резуненко4, поскольку в указанной работе рассматривается уравнение с одним сосредоточенным запаздыванием _

Изучение свойств операторов А, А и их резольвент тесно связано с исследованием задачи (1), (2) Спектральный анализ оператора дифференцирования (полнота, разложение по собственным функциям, равносходимость), главным образом, в скалярном случае и в пространствах Lp(a,b), С[а,Ь] с несколько иными граничными условиями проводился В Ю Любичем, В А Молоден-ковым, А П Хромовым, A M Седлецким Библиография и комментарии по этой и близкой к ней тематике о биортогональных разложениях в ряды экспонент представлены в обстоятельном обзоре A M Седлецкого5 К рассматриваемому в первой главе диссертации кругу вопросов примыкает и изучение дифференциальных операторов со спектральным параметром в граничных условиях Из наиболее близких и, на наш взгляд, завершенных работ в этом направлении укажем статью А А Шкаликова6 Развитие ее для векторного случая было продолжено в работе Л M Лужиной7 Изучением нелокальных задач на протяжении ряда лет занималось много авторов Из наиболее близких работ укажем здесь обзор А Кролла8 и работы А А Шкаликова9 и А Л Скубачевского и Г M Стеблова10

Теорема 4. Пусть ¡лм атомарна в точках 0 и —h, g €Е И^2г((—h, 0),С) и f 6 £г((0,Т),С) для любого Т > 0 Тогда сильное решение и задачи (1), (2) удовлетворяет оценке

11 {Мщ, ut)||c

'®£г((-л,о),сг) - di{t + 1ex+i Ii {Mg, 5)||с®£2((-л,о)>с) +

+d2 At - s + 1)"-W-> \\f{s)\\Cr ,t> 0, (5)

J о

где константы d\ и di не зависят от g и f

Замечание Отметим, оценка (5) неулучшаема в том смысле, что величины и N нельзя взять меньшими во всем классе начальных функций g и правых частей f

Оценки, аналогичные (4) и (5), для которых величина заменяется на х++е (е > 0), давно и хорошо известны (см например монографии А Д Мыш-

4Rabath R , Sklyar G , Resounenko A // С R Acad Sei Pans, 2003, V 1337, P 19-24

5Седлецкий AM// УМН, 1982, T 37, вып 5, С 51-95

вШкаликов К А // Тр семин им И Г Петровского, 1983, вып 9, С 190-229

'Лужина Л M //Вестник Моек университета. Сер 1 Математика и механика, 1988, № 1, С 31-35

'Krall AM// Rocky Mountain J Math, 1975, V 5, № 4, P 493-542

'Шкаликов А А // Вестник МГУ, Сер матем , 1982, № 6, С 12-21

10Скубачевский А Л , Стеблов Г M , // ДАН СССР, 1991, Т 321, № 6, С 1158-1163

киса11, Р БеллманаиК Кука12, Дж Хейла13, В. Б Колмановского и В Р Носова14 и работу Д Хенри15) В этой связи и в связи с рассмотрением критического и сверхкритического случаев (т е. когда имеются цепи корней характеристического квазимногочлена, приближающиеся или лежащие на мнимой оси) естественно возникла задача о получении более точных оценок решений уравнений нейтрального типа и, в частности, вопрос о том, можно ли положить е = 0 Теоремы 2 и 4 дают положительный ответ на данный вопрос и посвящены исследованию указанной задачи

Теорема 5. (Принцип Фрагмена-Линделефа) Пусть Цм атомарна в точках О и —h, g € h, 0),C), f — 0 и для решения и задачи (1), (2) выполнено

условие

V<5 > 0, ||»(*)||о- < c(S)e~5t, t > О где константа с(5) не зависит от t Тогда и = О

Близкими вопросами занимались такие авторы, как Дж Хейл, Ф Каппель, Д Хенри Из недавних публикаций укажем здесь работу С. В Лунела16 (см также указанную там библиографию)

Во втором параграфе первой главы рассматривается традиционная начальная задача для дифференциально-разностного уравнения т-го дифференциального порядка

п m m -д

Е ЕА*иЬ)(* - ъ)+Е / B3(s)uM(t - s)d5=m, t > о, (6)

fc=0 j=0 J=0

u(t)=g(t),te[-h, 0]. (7)

Здесь Ak} - матрицы размера г х г с постоянным комплексными элементами, элементы матриц-функций B3(s) принадлежат пространству £г(0, h), числа hk таковы, что 0 = ho < hi < • ■ • < Ä„ = h.

По аналогии с первым параграфом рассмотрим матрицу-функцию вида

я m m

= EE+ E* / e-X3B,{s)ds, 4=0 3=0 j=0 J°

"Мышкис A Д Линей ные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом — M Наука, 1972

12Беллман Р, Кук К Дифференциально-разностные уравнения — M Мир, 1967

13Хейл Дж Теория функционально-дифференциальных уравнений — M Мир, 1984

14Kolmanovsfcu V , Nosov V Stability of Functional Differential Equations — Academic Press, San Diego, 1986

15Henry D U J Diff Equat, 1974, V IS, P 106-128

'"Verduyn Lunel S M // J Different Equat, 1990, V 85, № 1, P 17-53

а также сохраним соответствующие обозначения для с^ Ь(Х), нулей функции 1(А) и их кратностей, собственных и присоединенных векторов матрицы-функции ДА) и экспоненциальных решений однородного уравнения (6)

Определение. Функцию и, принадлежащую пространству Т), С)

при любом Т > 0, назовем сильным решением задачи (6), (7), если и удовлетворяет почти всюду на полуоси К+ уравнению (6) и условию (7).

Введем полугруппу Уи £ > 0, ограниченных операторов, действующих в пространстве 0), СТ), согласно правилу — и^+з), t> 0, в€

[— Л,0], где и - сильное решение однородной задачи (7), (6), отвечающее начальной функции д.

Лемма 4. Пусть А$т ф 0 Тогда семейство операторов И образует С°-полугруппу в пространстве 7&,0),СГ) с генератором £>, имеющим об-

ласть определения

и действующим по правилу Dip — <р'.

Изучение оператора D и его резольвенты тесно связано с исследованием задачи (6), (7) Так при выполнении условия det Аот ф 0 спектр оператора D совпадает с множеством Л нулей функции 1{А), а экспоненциальные решения yq,3,k(t) однородного уравнения (6) при t € [—h, 0] являются его корневыми функциями

По аналогии с результатами первого параграфа из условия det Ас™ ф 0, det Апт ф 0 вытекает, что конечны величины >f+ = sup^6A ReAq, >t_ = mfA,eA ReA„ система экспоненциальных решений yq,hk(t) полна и минимальна в пространстве W^^—h, 0),СГ), а множество Л можно заключить внутри системы контуров Г„, описанной в лемме 3, с сохранением всех условий леммы.

Обозначим через Wn подпространства пространства W^^—h, 0), С), являющиеся линейной оболочкой всех экспоненциальных решений yqj,k{t) однородного уравнения (6), отвечающих числам А,, лежащим в областях, границами которых являются контуры Гп.

Теорема 6. Пусть det Ао™ Ф 0 и det Апт ф 0 Тогда семейство подпространств {Wn}n£z образует базис Рисса из подпространств пространства

Dom{D) = {<р € W?+1{(-h, 0), Сг),

n m т -д

Теорема 6 обобщает соответствующие результаты работы С В Лунела и Д В Якубовича3 и работы Р Рабаха, Г Скляра, А Резуненко4, поскольку рассматриваемое уравнение (6) является функционально-дифференциальным уравнением т-го дифференциального порядка, в то время как в упомянутых работах рассматривается случай т — 1

Теорема 7. Пусть det А0т ф 0, det Апт ф 0, д € W2m((-M),Cr) ufe Z,2((0,Т),С) для любого Т > 0 Тогда существует и единственно сильное решение и задачи (6), (7), которое удовлетворяет оценке

IMIw2">((t-ft,t),Cf) ^ + l)W_1e>c+É||5lk2™((-á,o),c-)+

+d2Vt(j\t - s + 1 f^e^-^WmWlrds)1'2, t > 0, (8)

где постоянные di и d% не зависят от функции g и /

Замечание. Отметим, что оценка (8) является неулучшаемой в том смысле, что величины N и нельзя взять меньшими во всем классе начальных функций g и правых частей f Более того, величину Vi, фигурирующую в оценке (8), нельзя опустить

Для решений задачи (6), (7) при выполнении условий теоремы 7 также справедлив принцип Фрагмена-Линделефа (аналог теоремы 5)

Отметим, что в недавней работе В В Власова и С А. Иванова17 получена оценка вида (8) без предположения det Апт ф О

Добавим, что в диссертации также получены оценки, схожие с оценками (4), (5), (8), в которых величина заменяется на для решений соответствующих уравнений, рассматриваемых при отрицательных t. При этом существенно используется условие det Апт ф 0 Помимо оценок сверху для решений нейтральных уравнений также получены оценки снизу Наличие таких оценок для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа вносит существенное отличие их от запаздывающих уравнений

Уравнения вида (1) с условием атомарности цм в точках 0 и —h и уравнения вида (6) с условием невырожденности матриц Аот и Апт нередко называют нейтрально-нейтральными уравнениями. Впервые этот термин ввел Г А Каменский

Глава 2 посвящена изучению уравнений запаздывающего типа Для таких уравнений установлены оценки решений, сходные с соответствующими оценками решений нейтральных уравнений Однако их получение основано на принципиально иных рассуждениях Для уравнений нейтрального типа оценки получены на основании базисности Рисса системы экспоненциальных решений,

"Власов В В , Иванов С А // ДАН, 2006, T 406, Л» 5, С 1-3

в то время как в случае уравнений запаздывающего типа система экспоненциальных решений не образует базис Рисса и соответствующие оценки решений устанавливаются на основании разложения (дихотомии) решения на конечную сумму экспоненциальных решений и функцию с меньшим показателем экспоненциального роста

В первом параграфе второй главы рассматривается традиционная начальная задача для функционально-дифференциального уравнения вида

Здесь М С([-Л, 0],С) -> С - ограниченный линейный оператор, имеющий

где цм - матрица-функция ограниченной вариации, заданная на отрезке [—Л, 0] Через щ обозначена вектор-функция ^(в) = 4- в), 4 > 0, заданная на отрезке в е [—Л, 0], постоянная К > 0

Обозначим через ¿(А) матрицу-функцию вида

где I - единичная матрица в С, и сохраним соответствующие обозначения для det ¿(А), нулей функции /(А) и их кратностей, собственных и присоединенных векторов матрицы-функции £(А) и экспоненциальных решений однородного уравнения (9)

Заметим, что множество нулей 1{А) не лежит в полосе, параллельной мнимой оси, как это было в случае нулей характеристической функции нейтральных уравнений, и его локализация описывается следующим утверждением область {А ЫеА > 0, |А| > Я} и {А • ИеА < 0, ¡1тА| > се_6КеА}, где 6, с и Л - некоторые положительные постоянные, свободна от спектра Ь{А) Отсюда, в частности, вытекает, что конечны величины = вирЛ?еЛ 11еАд,

— тах^ел, ивА,=х+ ^

Сильное решение задачи (9), (10) определяется так же, как и сильное решение задачи (1), (2) Тогда, если д € ШЩ-к, 0), Сг) и / € 12((0, Т),С) для любых Т > 0, то сильное решение задачи (9), (10) существует и единственно (леммы 2 1 3 и 2 1 4) При этом его асимптотическое поведение описывается следующими утверждениями

Теорема 8. Пусть д е УУ^Ц-Ъ,, 0), С), / 6 Ь2,ъ((0, +оо), С) при некотором 7о < ят+ Тогда при любом ¡3 таком, что 7о < /3 < и прямая {А . Г1еА = /3}

~ Мщ + /(г), г > 0;

"(«)=?(«). 5 6 [-М]-

О) (Ю)

вид

М<р — [ 11цм{8)<р{з),

J-h

не содержит нулей функции ¿(Л), для сильного решения и задачи (9), (10) справедливо разложение

u{t) = £ cqi]Myqi3tk{t) + u0(t), t>O,u0e WlP{{0, +oo),C). (11) A,€A,ReA,>/J

Теорема 9. Пусть g £ W£((-h, 0), С) и f € -M(0, T), С) для любых T > 0 Тогда сильное решение и задачи (9), (10) удовлетворяет 1) оценке (4) с постоянной N — v+, 2) оценке

||(u(i),ut)ile®i2((-W) < d3(t + l)"+-1e^t||(3(0))5)||eei2((_M),cn+

+¿4 [\t - s + 1 у*-^*-)||/(s)|Ms, t > 0, (12)

Jo

где константы и не зависят от функций g и f

Отметим, что обе оценки является неулучшаемыми в том смысле, что величины N = v+ нельзя взять меньшими во всем классе начальных функций g и правых частей /

Во втором параграфе второй главы рассматривается традиционная начальная задача для функционально-дифференциального уравнения тп-го дифференциального порядка

п то—1 m—1 -ft

«(ffl)W + ЕЕ -М + Е / -= f{t), t > 0, (13)

u{t) = g{t),te{-h,Q] (14)

Здесь Akj - матрицы размера г x г с постоянным комплексными элементами, элементы матриц-функций B3(s) принадлежат пространству £г(0, h), числа hk таковы, что 0 = ha < hi <••■< hn = h

Обозначим через L{А) матрицу-функцию вида

п т—1 т—1 -ft

£( А) = Ага/ + £ X) А'е"^* + ][>>/ е~Х°Вз (s)ds>

ЫО 3=0 з-О ''О

и сохраним соответствующие обозначения для detL(A), нулей функции /(А) и их кратностей, собственных и присоединенных векторов матрицы-функции L(A) и экспоненциальных решений однородного уравнения (13). Тогда множество нулей ¿(А) также лежит вне области {А . ReA > 0, |Aj > R} U {A • ReA < 0, ¡ImA| > ce~MteA} с некоторыми положительными постоянными b, с и R, а величины яг+ = supA?eA ReA,, v+ = тахл,ел, ЕеА,=х+ vq конечны

Сильное решение задачи (13), (14) определяется так же, как и сильное решение задачи (6), (7) Тогда, если д € W?((-h, 0), С) и / £ 12((0, Г), Сг) для любых Т > 0, то сильное решение задачи (13), (14) существует и единственно (леммы 2 2 3 и 2 2 4) При этом оно удовлетворяет оценке (8) с N = и+ (теорема 2 2 1), а в случае, когда / принадлежит пространству ¿2,7о((0,+оо),Сг) при некотором 70 < для него справедливо разложение (11) с функцией Uß, принадлежащей пространству W|^((0, +00),С) (теорема 2 2 2)

Заметим, что уравнения запаздывающего типа явились предметом изучения многих авторов Укажем здесь монографии Р Беллмана и К Кука12, А Д Мышкиса11, В Б Колмановского и В Р, Носова14, Э Пинни, Дж Хейла13, Л Э Эльсгольца, а также работы А М Зверкина18 и ряда других авторов Однако при этом оценка (12) является неулучшаемой и новой

Глава 3 посвящена изучению функционально-дифференциальных уравнений, коэффициентами которых являются неограниченные операторы и оператор-функции, действующие в гильбертовом пространстве Актуальность их исследования вызвана тем, что к таким уравнениям могут быть сведены некоторые классы уравнений в частных производных с запаздыванием по времени Изучение оператор-функций с экспоненциальным вхождением спектрального параметра является естественным развитием теории операторных пучков, берущих свое начало с фундаментальной работы М В Келдыша и развивавшейся впоследствии в работах В В Власова, М Г Гасымова, И Ц Гохбер-га, А Г Костюченко, М Г Крейна, Г К Лангера, В Б Лидского, В И Ма-цаева, А С Маркуса, М Б Оразова, Г В Радзиевского А А Шкаликова и ряда других К анализу оператор-функций с экспоненциальным вхождением спектрального параметра приводят также нелокальные, в частности, многоточечные спектральные задачи Нелокальным спектральным задачам для уравнений в частных производных посвящена значительная часть монографии А Л Скубачевского19 (см также указанную там библиографию)

В третьей главе рассматривается традиционная начальная задача для функционально-дифференциального уравнения вида

" ph v!{t) + Auit) + BkAu(t -hk)+ / B(s)Au(t - s)ds = f(t), t > 0, (15) t=! Jo

u{t)=g{t),te[-h, 0] (16)

Здесь А - положительный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Я и имеющий компактный обратный Операторы В*

183веркин AM // Тр семин по теор дифф ур с откл арг, 1965, Т 5, С 3-37

19Skubachevsku A L Elliptic functional differential equations and applications — Birkhauser Birkhauser Verlag, 1997

имеют вид Вк = ТкА~вь, где Тк - ограниченные операторы Оператор-функция имеет вид В(э) = Т(з)А~в°, где Т(в) - ограниченная сильно непрерывная оператор-функция Постоянные вк и к к таковы, что 0 < вк < 1, О < Ах < Л2 < - • < /г„ = Ъ

Обозначим через ЦГ^ъЬгА), -оо < а < Ь < +оо, весовое пространство Соболева вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве Н (подробнее см Ж Л Лионса, Э Мадженеса20, гл 1) с нормой

через ¿2,7(0, Ь) - весовое гильбертово пространство вектор-функций со значениями в Н с нормой

В случае 7 = 0 будем писать И^1 (а, Ь, А) и £2 (а, Ъ) соответственно

Определение. Функцию и, принадлежащую для любого Т > 0 пространству (—Л, Т"; А), назовем сильным решением задачи (15), (16), если и удовлетворяет почти всюду на полуоси К+ уравнению (15) и условию (16)

Обозначим через £(А) оператор-функцию вида

где I - тождественный оператор в Я На основании леммы М В Келдыша1 устанавливается, что Ь~1{\) - конечномероморфная оператор-функция с дискретным спектром Поэтому мы сохраним соответствующие обозначения для собственных значений оператор-функции Ь{А) и их кратностей, собственных и присоединенных векторов, входящих в каноническую систему1 собственных и присоединенных (корневых) векторов оператор-функции Ь(А), и экспоненциальных решений однородного уравнения (15)

Отметим, что в случае конечномерного пространства Н = С (Жг) имеется обширная библиография работ, посвященных изучению характеристических квазимногочленов ¡(А) = ёе<;ЦА), распределению их нулей и их оценкам Ограничимся здесь упоминанием монографий Р Белмана и К Кука, Б Я Левина, Э Пинни, Н Левинсона, А Ф Леонтьева, а также результатов А М Зверкина, В Б Лидского, Л С Понтрягина, В А Садовничего, А М Седлецкого, Я Д Тамаркина, Л Э Эльсгольца

20Лионс Ж Л , Мадженес Э Неоднородные граничные задачи и их приложения — М Мир, 1971

Ja

В случае бесконечномерных пространств и, в частности, гильбертова пространства Н, оператор-функции аналогичные L(А) изучались существенно в меньшей степени Наиболее близкими работами, посвященными собственно изучению таких оператор-функций, описанию их резольвентных множеств и их оценкам, являются работы В В Власова21 В указанных работах автор установил, что спектр оператор-функции L(А) так же, как и в случае запаздывающих уравнений в конечномерном пространстве, лежит вне области {A ReA > О, |А| > R} U {A ReA < 0, |ImA) > се~ЩеЛ} с некоторыми положительными постоянными 6, с и R, а величины н+ = sup^€A ReA,, и+ = тахд^д, ReA,=Ä+ Vq конечны В упомянутых работах также установлены существование и единственность сильного решения, понимаемого в смысле данного выше определения, задачи (15), (16) с начальной функцией д € W^—h, О, Л), и правой частью / € Ь2 (О, Т) для любых Т > О

Теорема 10. Пусть д € О, A), f £ ¿2,7o(0,+оо) при некотором

7о < Тогда при любом ß таком, что jo < ß < >е+ и прямая ReA — ß не содержит собственных значений функции L(А), для сильного решения и задачи (15), (16) справедливо разложение

u(t) =-- 22 ся,з,кУч,зА*) + М*)> * > 0, uß € Wlß{0, +оо, Л). (17) A,6A,ReA,>/3

Теорема 11. Пусть g € W¡(-h, 0; А) и f € La(0, Т) для любых Т > 0 Тогда сильное решение и задачи (15), (16) удовлетворяет оценке

!Mki(t-h,M> < + l)i,+_1e"+í¡ifflk2H-ív,o,A)+

+d2Vi(j\t - S + l)2(^-X)e2-+(í-S)|¡/(S)|ßde)V», t > 0, где константы d\ и d2 не зависят от функций g и f

Отметим, что наиболее близкими к предмету изучения третьей главы являются работы Г Ди Блазио, К Куниша, Е Синестрари22, К Куниша, М Ма-стинсека23 и К Куниша В Шаппахера24 Однако авторами не изучалось поведение функции L~1(X) и не были получены результаты теоремы 10 В указанных работах отсутствуют также аналоги теоремы 11, для решений показан лишь подэкспоненциальный рост (без указания оценки роста). Более того, в

"Власов В В // Изв вузов Математика, 1992, вып 8 (363), С 80-83 , Власов В В // Изв вузов Математика, 1993, № 5, С 24-35 , Власов В В // Мат сб , 199S, Т 186, № 8, С 67-92

22Di Blasio G , Kunisch К , Smestran E // 3 Math Anal and Appl, 1984, V 102, P 38-57, Di Blasio G , Kumsch K , Smestran E // Izrael Journal of Mathematics, 1985, V 50, № 3, P 231-263

23Kumsh К , Mastmäek M // Diff and Integral Equations, 1990, V 3, № 4, P 733-756

"Kumsh К , Shappacher W // J Diff Equations, 1983, V 50, P 49-79

упомянутых работах рассматривается случай одного сосредоточенного запаздывания (это соответствует п = 1) и скалярной функции В{$)

Заметим, что частным случаем задачи (15), (16) являются задачи для дифференциально-разностных уравнений в пространстве Я = С Однако из результатов третьей главы не вытекают результаты второй главы Так в первом параграфе второй главы рассматриваются уравнения более общего вида, чем уравнения вида (15) в случае конечномерного пространства Н, поскольку содержат «размазанные» запаздывания в виде интеграла Лебега-Стильтьеса, а во втором параграфе второй главы рассматриваются дифференциально-разностные уравнения произвольного дифференциального порядка

Автор глубоко и искренне благодарен своим научным руководителям д ф -м н , профессору В В Власову и д ф -м.н , профессору А Г. Костюченко за постоянное внимание к работе, за многочисленные обсуждения, за ценные советы, и замечания

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Власов В В , Медведев Д А Оценки решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Доклады Академии наук, 2003, Т 389, № 2, С 156-158

В работе Власову В В принадлежат постановка задачи, формулировки основных определений, утверждения основных теорем, относящиеся к уравнению без запаздываний, выраженных интегральными членами (без сразмазанных» запаздываний, Медведеву Д А принадлежат полные доказательства основных теорем в общем случае

2 Власов В В , Медведев ДА Об оценках решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Известия высших учебных заведений, Математика, 2004, № б, С 21-29

В работе Власову В В принадлежат постановка задачи, формулировки основных определений, утверждения основных теорем, относящиеся к уравнению без запаздываний, выраженных интегральными членами (без «размазанных» запаздываний), Медведеву Д А принадлежат полные доказательства основных теорем в общем случае

3 Медведев Д А Асимптотическое поведение решений уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Успехи математических наук, 2007, Т 62, вып. 1, С. 201-202

4 Vlasov V V and Medvedev D A On asymptotic behavior and estimates of solutions to neutral equations // Functional Differential Equations, 2006, V 13, № 2, P 207-223

В работе Власову В В принадлежат постановка задачи, формулировки основных определений, формулировка и доказательство теоремы, 8, Медведеву Д А принадлежат формулировка и доказательство основной теоремы 1, исследование уравнений, включающие в себя операторы, выраженные через интегралы Стилтъеса

5 Власов В В , Медведев Д А Об асимптотических свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Современная математика Фундаментальные направления, 2006, Т 15, № 3, С. 112-125

В работе Власову В В принадлежат постановка задачи, формулировки основных определений, формулировка и доказательство теоремы 2, Медведеву Д А принадлежат формулировка и доказательство основной теоремы 1, исследование уравнений, включающие в себя операторы, выраженные через интегралы Отилтьеса

6 Медведев Д А Асимптотическое поведение решений уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Современная математика Фундаментальные направления, 2007, Т 21, № 1, С 83-92 Результаты работ 1, 3, h 5 нашли отражение только в первой главе диссертации

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать 3О', б!,ОУ

Формат 60 x 90 1/16 Уел печ л Ю

Тираж 100 экз. Заказ 0У-

Введение

1 Уравнения нейтрального типа

1.1 Уравнения нейтрального типа первого дифференциального порядка

1.2 Уравнения нейтрального типа высокого дифференциального порядка

2 Уравнения запаздывающего типа

2.1 Уравнения запаздывающего тина первого дифференциального порядка

2.2 Уравнения запаздывающего типа высокого дифференциального порядка

3 Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве 72 3.1 Функционально-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами.

Актуальность темы исследования. Основы теории функционально-дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве заложены в работах А. Д. Мышкиса, Р. Беллмана, К. Кука, Н. В. Азбелева, Н. Н. Краковского, Дж. Хейла, Л. Э. Эльсгольца. Ряд глубоких результатов для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных изложен в недавних монографиях Дж. Ву и А. Л. Скубаческого. Несмотря на значительное число работ, посвященных изучению функционально-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, получение наиболее точных (неулучшаемых) оценок их решений и изучение асимптотического поведения решении остается актуальной задачей, играющей важную роль в теории динамических систем и теории управления. Особый интерес в настоящее время представляет изучение функционально-дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах; при этом активно используются методы теории полугрупп и спектральной теории операторных пучков. Наиболее близкими в этом направлении являются работы В. В. Власова, Д. В. Якубовича, С. В. Лунела, Г. Ди Блазио, К. Куниша, Е. Синестрари, В. Шагшахера. Результаты, представленные в диссертации, являются естественным развитием и обобщением результатов упомянутых авторов.

Большой интерес представляет собой исследование экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений. Свойства полноты и базисности систем экспонент и систем собственных и присоединенных функций несамосопряженных задач изучались много и интенсивно. Наиболее близкими к тематике диссертации являются работы В. В. Власова, В. А. Ильина, А. Г. Костючеико, М. Г. Крейна, Б. Я. Левина, Н. Левин-сона, В. Б. Лидского, И. С. Ломова, А. С. Маркуса, В. П. Михайлова, Е. И. Моисеева, Н. К. Никольского, Б. С. Павлова, А. М. Седлецкого, А. П. Хромова, А. А. Шкаликова.

Цель работы. Изучение вопросов асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, первого и произвольного дифференциальных порядков в различных функциональных пространствах, в том числе в пространствах Соболева. Рассмотрение в этой связи ряда спектральных вопросов, включающих в себя исследования полноты, минимальности и базисности систем экспоненциальных решений упомянутых уравнений. Изучение поведения решении функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве на основе исследования оператор-функций, являющихся символами этих уравнений.

Методы исследования. В работе, использованы методы спектральной теории операторов и операторных пучков, а также теории целых функций, теории полугрупп и теории функционально-дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по спектральной теории операторных пучков (оператор-функций), теории функционально-дифференциальных уравнений, а также в дальнейших исследованиях в ряде математических задач теории управления и задачах математической теории распространения тепла в средах с памятью.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Установлены утверждения о полноте, минимальности и базисности Рисса систем экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в пространствах Соболева и других функциональных пространствах. На основе этих результатов получены неулучшаемые оценки решений упомянутых функционально-дифференциальных уравнений.

Получены неулучшаемые оценки решений функционально-дифференциальных уравпений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Установлены результаты о разложении решений упомянутых уравнений в сумму линейной комбинации экспоненциальных решений и функции с меньшим показателем экспоненциального роста на основе результатов о поведении и оценках операто1>-функций с экспоненциальным вхождением спектрального параметра, являющихся символами рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений.

Получены результаты об асимптотическом поведении и неулучшаемые оценки решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа и в конечномерных пространствах.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ, излагаются цели, методы и основные результаты исследования.

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1907.

2. Власов В. В. О поведении решений некоторых классов дифференциаяьно-]тностних уравнений с операторными коэффициентами. // Изв. вузов. Математика, 1992, вып. 8 (303), С. 80-83.

3. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с поледействием в гильбертовом пространстве. // Изв. вузов. Математика, 1993, Л*2 5, С. 24-35.

4. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. // Мат. сб., 1995, Т. 180, Л"« 8, С. 07-92.

5. Власов В. В., Иванов С. А. Оценки решений неоднородных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Изв. вузов, Математика, 2006, Т. 526, вып. 3, С. 24-30.

6. Власов В. В., Иванов С. А. О точных оце)1ках дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // ДАН, 2006, Т. 406, У- 5, С. 1-3.

7. Гохберг II. Ц., Крепи М.Г. Введение в теорию линейных пссамосопряжепных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1905.

8. Зверкин А. М. Разложение в ряд решений линейных дифф>еренциалыю-разностных уравнений. Ч. 1. Квазиполиномы. // Тр. семин. по теории дифференц. уравнении с отклоняют,, аргументом, 1905, Т. 5, С. 3-37.

9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

10. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов. // УМН, 1971, Т. 26, У- 4, С. 15-41.11| Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространсгпве. — М.: Наука, 1967.

11. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в Ь2. // Зап. Харьковск. Матем. о-ва, 1961, Т. 27, .V« 4, С. 39-48.

12. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

13. Лужина Л.М. Регулярный спектральные задачи в пространстве вектор-функций. // Вестник Моск. университета. Сер. 1. Математика и механика, 1988, 1, С. 31-35.

14. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев: Штиница, 198G.

15. Милославский А. II. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений. // Сиб. матем. журнал, 1985, Т. 26, С. 118-132.

16. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

17. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.

18. Пинии Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

19. Радзиевский Г. В. Асимптотика распределения характеристических чисел оператор-функций, аналитических в угле. // Мат. сб., 1980, Т. 112, Х°- 3, С. 396-420.

20. Седлецкий А. М Биортогопальные разложелия функций в ряды экспонент па интервалах вещественной оси. // УМН, 1982, Т. 37, вып. 5, С. 51-95.

21. Хейл Дж. Теория функционалыю-диф/ферепциалытх ypaeiienuii. — М.: Мир, 1984.

22. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М., О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в L2(0,1). // ДАН СССР, 1991, Т. 321, .Vs G, С. 11581163.

23. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Тр. семнн. им. П.Г.Петровского, 1983, вып. 9, С. 190-229.

24. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями. // Вестник МГУ, Сер. .матем., 1982, Х°- 6, С. 12-21.

25. Эльсгольц Э. Л. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1964.

26. Burns J. A., Hcrdman Т. L., and Stcch H.W. Linear functional differential equations as semigroups on product spaces. // SIAM J. Math. Anal., 1983, V. 14, .V« 1, P. 98-116.

27. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delays in the highest order derivatives. // J. Math. Anal, and Appl., 1984, V. 102, P. 38-57.

28. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. Stability for abstract linear functional differential equations /'/ Izrael Journal of Mathematics, 1985, V. 50, .Vs 3, P. 231-263.

29. Engel K-J., Xagel R. One-Parameter Semigroup for Linear Evolution Equations. Springer, 1999.

30. Власов В. В., Медведев Д. А. Оценки решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Доклады Академии наук, 2003, Т. 389, Л"« 2, С. 15G-158.

31. Власов В. В., Медведев Д. А. Об оценках решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Известия высших учебных заведений, Математика, 2004, Д* G, С. 21-29.

32. Медведев Д. А. Асимптотическое поведение решений уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Успехи математических наук, 2007, Т. 62, вып. 1, С. 201-202.

33. Ylasov Y. V. and Medvedev D. A. On asymptotic behavior and estimates of solutions to neutral equations. // Functional Differential Equations, 2006, Y. 13, .Y® 2, P. 207-223.

34. Власов В. В., Медведев Д. А. Об асимптотических свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Современная математика. Фундаментальные направления, 2006, Т. 15, У 3, С. 112-125.

35. Медведев Д. А. Асимптотическое поведение решений уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве j j Современная математика. Фундаментальные направления, 2007, Т. 21, .Vs 1, С. 83-92.32 33 [3435 36 [37 [38 [39 [40 (41