Спектральные задачи для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

КОРНИЕНКО Дмитрий Васильевич

УДК 517.95

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕТАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико - математических наук

Москва-2006

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и информатики Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина

Научный руководитель

доктор физико - математических наук профессор В. К. РОМАНКО

Официальные оппоненты -

Ведущая организация

доктор физико - математических наук профессор А. С. МАКИН

кандидат физико - математических наук старший научный сотрудник Н. А. ЖУРА

Белгородский государственный университет

Защита состоится 29 сентября 2006г. в 14.30 на заседании диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119992, г.Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685

С авторефератом можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан 25 августа 2006г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

. М.Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Необходимость исследования линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных возникает при изучении разнообразных физических, химических, биологических, социальных процессов и явлений. Например, системы С. Л. Соболева для случая сжимаемой жидкости-в гидродинамике, системы уравнений смешанного типа возникают в трансзвуковой газодинамике. Важные приложения теории систем уравнений в частных производных и проблемы, связанные с исследованием свойств разрешимости формулируемых краевых задач, стимулировали исследование соответствующих спектральных задач. Исследование структуры спектра и возможности разложения решений по системам собственных элементов является в настоящее время одним из основных направлений при изучении вопросов спектральной теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на значительный интерес к указанной проблематике, до сих пор не разработан метод, позволяющий ответить на возникающие вопросы даже для простейших систем уравнений при числе переменных больше двух; общие вопросы спектральной теории граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных также изучены недостаточно полно. В большей степени это относится к системам, не относящихся к классическим типам: эллиптическим, гиперболическим, параболическим. Учитывая важность свойств граничных задач для неклассических систем линейных уравнений, изучение спектральных характеристик последних весьма актуально.

Цель работы. Исследовать в гильбертовом пространстве Н спектральные свойства задачи Дирихле, нелокальной задачи и задачи Ко-ши для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по выделенной переменной t, а также изучить спектр и свойства системы собственных элементов периодической задачи для одной системы уравнений смешанного типа. Кроме того, описать зависимость спектральных свойств каждой изучаемой граничной задачи от параметров этой задачи.

Основные результаты работы. Для рассматриваемых в Н граничных задач полностью исследована структура спектра; выяснены

условия однозначной разрешимости; изучены условия при которых система собственных вектор - функций является в Н полной, минимальной, базисом, бесселевой, гильбертовой, базисом Рисса.

Научная новизна работы. Выделены классы линейных систем дифференциальных уравнений, для которых условия Коши, Дирихле, нелокальные условия по переменной £ регулярны. Показано, что спектральные свойства задачи Дирихле и нелокальной задачи для однотипных систем различны.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит как теоретический, так и прикладной характер. Её результаты могут служить для дальнейшего развития спектральной теории линейных систем дифференциальных уравнений, в том числе систем уравнений смешанного типа; могут найти применение в теории построения численных алгоритмов для решения краевых задач; могут быть использованы при решении различных задач математической физики. Научные результаты диссертации могут быть использованы в научных исследованиях, проводимых в Московском, Новосибирском, Белгородском, Елецком государственных университетах, институте математического моделирования РАН, ВЦ РАН.

Методы исследования. Теория граничных задач для систем уравнений в частных производных, имея разнообразные применения, базируется на многочисленных методах (асимптотический, вариационный, проекционный, численные методы, методы интегральных уравнений, функциональные и другие) и формах (последовательные приближения, сжимающие отображения, различные формы интегральных преобразований, спектральные и другие) исследования. Проводимые нами исследования базируется на методах, которые принято называть функциональными, а свойства разрешимости описываются в терминах спектральной теории линейных операторов. Функциональные методы развивали и широко использовали в своих исследованиях К. Фридрихе, Л. Хёрмандер, С. Л. Соболев, А. А. Дезин, В. А. Ильин, В. Н. Масленникова, В.К. Романко, Е.И.Моисеев, А. П. Солдатов, А. С. Макин, Н. X. Агаханов, их ученики и последователи.

Личный вклад автора в проведённые исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на научно - исследовательском семинаре факультета ВМиК МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством академика РАН Е.И.Моисеева, проф.И.С.Ломова (Москва, 2005, 2006 гг.);

- на ХЫ Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва: РУДН (Москва, 2005г.);

- на международной научно-практической конференции "Информатизация образования-2005"(Елец, 2005 г.);

- на научно-практических конференциях Елецкого государственного университета им. И. А.Бунина (Елец, 2002, 2003, 2004, 2005 гг.);

- на научно - исследовательском семинаре кафедры ВМиИ ЕГУ им. И. А.Бунина "Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные проблемы компьютерной математики" (Елец, 2004, 2005, 2006 гг.);

Публиации. Основные результаты диссертации опубликованы в журнале "Дифференциальные уравнения". Все результаты являются новыми. Всего опубликовано восемь печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, вынесенных в оглавление. Кроме того, в оглавление вынесены пункты и подпункты. Общий объём работы 95 страниц, библиография содержит 48 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, оговаривается цель и задачи исследования, кратко характеризуются основные работы, относящиеся к теме диссертации и приводится аннотация основных результатов, полученных в ней.

В первой главе "Граничные задачи и операторные уравнения" излагаются общие принципы исследования спектральных характеристик изучаемого класса граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь исследуется вопрос о представлениях в виде тензорных произведений гильбертова пространства, в котором изучаются граничные задачи. Далее разрабатывается подход для исследования структуры спектра и базисных свойств системы собственных вектор - функций граничной задачи.

Подобный подход при изучении ряда принципиальных вопросов теории граничных задач для уравнений в частных производных впервые был применён в работах А. А. Дезина, а в дальнейшем в работах

B. К.Романко [7], А. X. Мамян, Н. X. Агаханова, Л. П. Тепояи и ряда других авторов. Отметим, что рассматриваемый метод является одним из эффективных инструментов исследования свойств граничных задач для неклассических линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В 1.1 вводится пространство Н, в котором ведутся исследования краевых задач, и доказываются новые формы представления этого пространства. Пусть Нх = £2(^1), где ^-замкнутая ограниченная область евклидова пространства Мш; ех,..., ет - канонический орто-нормированный базис евклидова пространства £т вектор - столбцов; [/-унитарное пространство элементов и = и1е\ + ... + итегп\ ик €

C, к — 1, ... ,т; а Н™ - гильбертово пространство векторов и = и1ех +

9 т 2

----\-итет, ик 6 Нх]к = 1,...,т; с нормой |Н|Ят = 2 ||и*11я • По"

х к=1 х

ложим Щ = С2{Уг), VI = [ТЬТ2], -оо < Т1 ^ 0 < Т2 < +оо,Г2-Г1 > 0; Нц = Щ ® Нх иН = Щ® Н™. Далее доказываются равенства

т т

Н? = 0ЯХ = Нх ® и; Н = = Н?®НХ = 0Я(1,

£=1

на основе которых исследуем структуру спектра и базисные свойства систем собственных вектор - функций изучаемых граничных задач.

В 1.2 приводится описание интересующих нас спектральных задач. В гильбертовом пространстве Н рассмотрим граничную задачу

¿(А, В) = аОМг) + ЬВи(Ь) = А и(г) + /(*), (1)

^МТг) + Р2и{Т2) = 0. (2)

со спектральным параметром А. Здесь /(г) Е Н; а,Ь,(1\,Ц2-заданные матрицы (ш х т); ^-операция дифференцирования по пременной t. Дифференциальный оператор В : Нх —> Нх является М—оператором [3, стр. 64], то есть для него существует полная система {узя : в 6 5} собственных функций: В<р* — В(з)<робразующая базис Рисса в Нх. Далее детализируем, что мы понимаем под спектральными характе-

ристиками рассматриваемой граничной задачи. Элемент u(t) € II будем называть решением задачи (1), (2), если найдётся последователь-нось таких гладких и удовлетворяющих условиям (2) вектор - функций un(t) € 2>(-S)-области определения оператора В : Нх —> Нх, что

lim un(t) = u(t), lim L(Dt,B)un(t) = Au(t) + f(t). Определение pera—юо n—>oo

шения задачи (1), (2) порождает замкнутый неограниченный линейный оператор L. Под спектральными свойствами задачи (1), (2) будем понимать соответствующие свойства оператор L. Говоря о спектре ab оператора L будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в [1, стр.620], [3, стр.54]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим соответственно через pL, aL, PaL, CaL и RaL.

В 1.3 приведены примеры интересующих нас Ai — операторов и уточнена терминология относительно названия задач. Далее вводятся дополнительные ограничения на спектр оператора В. Положим B(S) = {B(s) : s 6 5}. Будем считать выполненным следующее условие I на структуру спектра М-оператора В.

Условие I. Точечный спектр оператора В : Нх —> Нх представим в виде: РаВ = B(S).

Известно, что спектр а В оператора В : IIх —» Нх состоит из замыкания на комплексной плоскости точечного спектра РаВ оператора В. Множество С о В = а В \ РсгВ образует непрерывный спектр оператора В. Далее строится расширение оператора В на Н™: говорим, что и = игеi + ... + итет € 2)(I?) - области определения оператора В : Н™ Я™ и Ви = {Ви1)ех + ... + (.Вит)ет, если ик £ £>(£)-области определения оператора В : Нх Нх при к = 1, ... ,т; и доказывается нижеследующая теорема 1.1.

Теорема 1.1. Спектр аВ оператора В : 1ГХ —> II™ совпадает с замыканием РаВ его точечного спектра РаВ. Точечный спектр РаВ оператора В даётся формулой РаВ — B(S). Собственному значению B(s) оператора В соответствуют т собственных векторов (psk = tpsek',k =1, ... , m. Система {<psk : k = 1, ... ,m;s E S} собственных векторов оператора В является базисом Рисса в гильбертовом пространстве И™- ■

В 1.4 приводится понятие обобщенного решения задачи (1), (2) и разрабатываются общие подходы исследования структуры спектра и свойств системы собственных вектор - функций этой задачи. Обозна-

чим через 2) (через 2)() множество гладких вектор - функций из Н (из Щп), удовлетворяющих условиям (2). Для любых и,/ЕН будем говорить, что и £ 2) (Ь) - области определения оператора Ь : Н —* Н и Ьи = /, если найдётся такая последовательнось вектор - функций ип £ 2), что Нш ||ип — «||я = Иш ||— /||я = 0. Оператор

п—►оо п—юо

Ь : Н —> Н называют замыканием [3, стр.25] операции Ь{О^В) = аВ1 + ЬВ(БХ) на вектор-функциях из 2).

Определение 1. Элемент и £ £)(£) будем называть обобщённым решением задачи (1), (2), если Ьи = А и + / в .7/.

Пусть Ь3 : Н™ —> 7/(т - замыкание операции 1«в(1?() = а£>{ + ЬВ(в) на вектор - функциях из будем называть его з - проекцией оператора Ь. Удобно считать, что и в этом случае В является оператором: Ви = В(з)и, В : #4ТО —> .Щ", то есть оператором умножения на константу В (з). Далее доказывается нижеследующая теорема 1.2.

Теорема 1.2. Если для любого в £ 5 система (последовательность) : А; 6 собственных вектор - функций оператора Ь3, где К3 - некоторое (упорядоченное) множество значений индекса к, полна (образует базис) в пространстве Нто система : к £ К3; 5 6 5} собственных вектор - функций оператора Ь полна (образует базис) в пространстве Н. я

Является ли в гильбертовом пространстве Н система собственных вектор - функций изучаемой граничной задачи минимальной, В- системой, базисом, бесселевой, гильбертовой, базисом Рисса [5] решается отдельно для каждой задачи. Ясно, если система {и^ : к £ К3} , —

ь13е 1 +... + полна в Нто система : к £ К^ полна в Щ

для любого 1 = 1,..., тп. Обратное, вообще говоря, не верно. Более того. Пусть, например, е^) = (е^(£)е1 + е|(£)е2)/\/2, где система синусов {е£(<)} и система косинусов образуют ортонормированные ба-

зисы в Щ. Тогда система : к = 0,1,2,...} не является полной

в Н¡2; однако (удвоенная) система {е^(^) : к = 0, ±1, ±2,...} образует ортонормированный базис в Н

Если система собственных вектор - функций оператора Ь образует базис Рисса в Н, то структура спектра оператора Ь : Н Н вполне подаётся описанию. В противном случае нужны дополнительные исследования. Эти исследования базируются на доказанной в работе нижеследующей теореме 1.3. Положим И^ = х

Теорема 1.3. Пусть А £ РаЬ. Тогда

1. А € дЬ, если существуют такие а) число С > 0 и б) скалярные функции д8 = д3(£, т, А), что для всех з £ Б и всех (£, г) £ матрица Грина С5 (£, т, А) оператора 1-1$ — А.Ё1 удовлетворяет неравенству

СД*,т,А)и(т)

и

д3(г,т,Х)и{т)

и

и нормы \\д3\\с2(у/ь) Равномерно по в ограничены, то есть для любого 5 & 5 имеет место неравенство у/т ||<7в||£2(1у() < С-

2. А € СаЬ, если существуют такие вектор - функции /3 £ Н 5 € 5" С Б, что ф 0 и

вир «65'

5 ii яг

НЛИя™

= +оо.

Следует отметить, что данная теорема удобна, например, для исследования гладкости решений изучаемых граничных задач.

Вторая глава "Спектральные задачи для некоторых линейных систем" посвящена сравнительному изучению спектральных свойств задачи Дирихле, нелокальной задачи и задачи Коши для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, а также здесь изучаются спектр и свойства системы собственных элементов периодической задачи для одной системы уравнений смешанного типа.

В 2.1 проводится сравнительное изучение спектральных характеристик операторов, порождённых в # задачей Дирихле для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных вида:

А«1 + Ви2 = Аы1 + А«2 + Ви1 = Аи2 + /2;

(3)

-А«1 - Ви2 - Хи1 + /\ Вги1 + Ви2 = А и2 + /2;

(4)

где В является М-оператором в Нх) £ 6 И '= [Т,0], то есть Т\ = Т < 0, Т2 = 0. Системы (3) и (4) будем называть квазигиперболическими системами первого и второго типов соответственно (кратко: КГ системами первого и второго типов). К системам уравнений (3), (4) присоединены граничные условия Дирихле по £ вида:

и*(Т) =и*(0) = 0.

(5)

Пусть А(К) = {A(k) : k G Z}, A(k) = Обозначим через A(K)

пополнение множества A(K) символом A(oo) == lim A(k) = i ■ oo; а че-

k—юо

рез (B(S)Y-предельные точки множества B(S). Пусть AD = A(K) П B(S), ÂB' = Щ П (B(S))'. Будем считать, что G (B(S))' и,

в частности, A(oo) G (В(S))', если найдутся такие последовательности {kj}f.,kj G s; G S; что lim \A(kj) - B(ej)| = 0 и J j j—>00

lim A(kj) = A(k). Далее доказывается нижеследующая теорема 2.1.

J-+ oo

ТЕОРЕМА 2.1. Зависимость структуры спектра aL оператора L от параметров задачи (3), (5) следующая:

1. Если О G РаВ, то PaL = С.

2. Если множество АВ не пусто, то PaL = С.

3. Если АВ = 0, а множество АВ' не пусто, то CaL - С.

4■ Если АВ = АВ' = 0, то aL — du, следовательно, qL = С. ■

Далее исследуется задача Дирихле для КГ системы второго типа и доказывается нижеследующая теорема 2.2.

ТЕОРЕМА 2.2. Зависимость структуры спектра aL оператора L от параметров задачи (4), (5) следующая:

1. Если О G РаВ, то PaL = С.

2. Если О G СаВ, то aL = PaL U CaL = С.

3. Если 0 £ аВ, то aL = PaL U CaL. Причём CaL = PaL \ PaL.

Если 0 ÇÉ РаВ, то собственные значения Ah,s оператора L даются

формулой _

Ам = sign {к}у/АЦк)-ВЦз),

А(к) = ~гкkeZ\ {0}, s G S.

Собственному значению А к,s оператора L соответствует собственная вектор - функция <psUk,s(t)>

Wfc,s(i) = u\(t)ei + u|jS(i)e2;

-4M = 4«), =

Далее последовательно в гильбертовых пространствах Н^Н^Нц изучаются базисные свойства систем, составленных соответственно из компонент и3к (1)<р3\ 3 = 1,2; собственных вектор-функ-

ций оператора Ь. На основе проведённых исследований дока-

зывается нижеследующая теорема 2.3, в которой М. = {¿¿^ : к 6 2}.

Теорема 2.3. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора Ь : Н Н от параметров задачи (4), (5) следующая:

1. Система собственных вектор - функций оператора Ь минимальна в гильбертовом пространстве Н.

2. Система собственных вектор - функций оператора Ь полна в гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда множество Л4 П РсгВ пусто, то есть 0 РаЬ.

3. Если множество Л4 П РаВ пусто, то существует последовательность из полной системы собственных вектор - функций оператора Ь, не являющаяся базисом в Н. ■

Отметим, что базисность систем, составленных из синусов, изучалась в [6]; в нашем случае это функции Далее проводится сравнительный анализ спектральных характеристик операторов, порождённых задачей Дирихле для квазигиперболических систем уравнений в частных производных первого (3) и второго (4) типов соответственно: в виде таблицы выписаны основные различия в структуре спектра и свойств разрешимости соответствующих операторов.

Свойства задачи Дирихле для КГ систем.

КГ система первого типа КГ система второго типа

1. Либо erb = 0, либо оЬ = С. 1. Всегда аЬ ф 0

2. Имеется счётное множество А(К) особых точек: если аВГ\ А(К) ф 0, то qL = 0. В противном случае дЬ = С. 2. Имеется единственная р. = 0 особая точка: если аВ Э 0, то дЬ = 0. В противном случае дЬ ф С; дЬ ф 0, если спектр стЬ = РаЬ ф С.

КГ система первого типа КГ система второго типа

3. Либо РоЬ - 0, либо РаЬ = С. 3. РаЬ — счётное множество: А к,а = 5-щп{к}^=р1-ВЦз), к е {0}, 5 £ ¿"-счётное множество индексов.

4. Ортогональное дополнение к замыканию линейной оболочки, натянутой на собственные вектор — функции, бесконечномерно. 4. Имеется счётное множество А{К) особых точек: если аВ П Л(К) ф 0, то множество собственных вектор-функций не полно в Я; если а В П А(К) = 0, то-полно в Н.

Оператор В -правильный, то есть 0 € дВ

5. РаЬ = 0. 5. РаЬ - счётное множесто.

Как это следует из таблицы, спектральные свойства задачи Дирихле для КГ систем зависят, в частности, от распределения спектра оператора В. Приведём примеры.

Пример 1. Рассмотрим задачу Дирихле для КГ системы первого типа. Положив В(ПХ) = + е, при условиях периодичности по х, получим для гиперболической системы первого типа пустой спектр при е ф 0 и пустое резольвентное множество при £ = 0.

Пример 2. Задача Дирихле для квазигиперболической системы второго типа регулярна, если, например, оператор В является эллиптическим дифференциальным оператором [1, т. 2]; в этом случае спектр располагается на мнимой оси. Система собственных вектор-функций, будучи полной системой в Н, безусловного базиса в гильбертовом пространстве Н не образует.

В 2.2 проводится сравнительное изучение спектральных характеристик операторов, порождённых в Н нелокальной задачей для линейных систем уравнений в частных производных вида:

Вги1 - Ви2 = Хи1 + Бщ1 + В и2 = X и2 + /2; (6)

-Г^и1 + Ви2 = Аи1 + /\ Аи1 + Ви2 = Хи2 + /2; (7)

в которых В является М-оператором в IIх; ¿61^ = [0,Т], то есть Тх = 0, Гг = Т > 0. Системы (6) и (7) будем называть квазиэллиптическими системами первого и второго типов соответственно (кратко:

КЭ системы первого и второго типов). К системам уравнений (6), (7) присоединим нелокальные условия по t вида:

Ttu = ри{0) - и(Т) = 0, ц € С, м Ф 0. (8)

Сформулируем основные свойства нелокальной задачи для КЭ системы первого типа. Доказана нижеследующая теорема 2.4.

Теорема 2.4. Спектр аЬ оператора L : Н —» Н состоит из замыкания на комплексной плоскости точечного спектра PaL оператора L. Множество CcrL = aL \ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой:

Arn,*,. = иь + *(-1)тВ(«); т = 1,2; k £ Z; а £ S;

In + i arg ß + i2kn

uk =-у-•

Собственному значению Am,k,s соответствует собственная вектор-функция оператора L:

<Р um>k{t) = exp{ukt)--J=-.

Система {<psumtk{t) : m = 1,2; к £ Z; s £ 5} собственных вектор-функций оператора L образуют базис Рисса в пространстве Н. и

Спектральные характеристики задачи (7), (8) хуже. Например, для 771 = 1 или т = 2 система : & £ Z; s £ £"}, составлен-

ная из вторых координат собственных вектор - функций <psumtktS(t), «m,fc,s(i) = *4(i)ei + um,k,s(t)e2'm = € Z; 5 £ S, порождённого

задачей (7), (8) оператора L образует базис в Щх] этот базис не является базисом Рисса в Htx-

Сформулируем основной результат о базисных свойствах системы собственных вектор — функций нелокальной задачи для квазиэллиптической системы второго типа. Доказана нижеследующая теорема 2.5, гдеЯ = {i(_1)mlnH-H«p+«far :m = 1>2;fc£z}\{0}.

Теорема 2.5. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора L : Н Н от параметров задачи (7), (8) следующая:

1. Система собственных вектор - функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве Н.

2. Система собственных вектор - функций оператора Ь полна в гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда множество ЛГ П Ра В пусто, то есть 0 ^ РаЬ.

3. Если множество Л/- П РаВ пусто, то система собственных вектор - функций оператора Ь образует базис в Н; этот базис не является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Н. и

Далее проводится сравнительный анализ спектральных характеристик операторов, порождённых нелокальной задачей для квазиэллиптических систем уравнений в частных производных первого (6) и второго (7) типов соответственно: в виде таблицы выписаны основные различия в расположении спектра и свойств разрешимости соответствующих операторов. Приводятся примеры.

Свойства нелокальной задачи для КЭ систем.

КЭ система первого типа КЭ система второго типа

1. Собственные значения даются формулой:

<W,s = ^ + Например, при ц = 1 и B{s) = s2+l, s Е Z, спектр лежит на мнимой оси. = (-1 )ту/и1 + ВЦз). Например, при (1 = 1 и = й2 + 1,5 € 2, спектр лежит па мнимой и действительной осях.

2. Система собственных вектор — функций (кратко: ССВФ) образует базис Рисса в Н. 2. Имеется счётное множество N особых точек: если ЛГ П РаВ -ф 0, то ССВФ не полна вЯ;в противном случае - полна, но базиса Рисса в Н не образует.

3. Точечный спектр РаЬ = {AOTifc)S} есть счётное трёхпара-метрическое множество; при каждом фиксированном s его точки либо лежат на мнимой оси, либо-на прямых, параллельных мнимой оси. 3. Точечный спектр РаЬ = {Лт>£;3}-счётное трёхпарамет-рическое множество; при фиксированном й его точки лежат, вообще говоря, на кривых.

В 2.3 изучается задача Коши. Следуя [3], будем говорить, что М-оператор В обладает сильным В —свойством, если В Е В+ П В-, где

В+ = {В : inf ReB(s) > -оо > , В- = i В : supReJ3(s) < +оо 1 J 1 ses

Вначале в Н=Щ 0 Н2, £ 6 = [Т, 0], изучается задача Коши для систем (3) и (4). Условия Коши имеют вид

и1\ = и21 = 0. (9)

Ц=Г I ¿=т

Обозначим через Ь : Н Н дифференциальный оператор, сопоставляемый изучаемой задаче (3), (9) (либо задаче (4), (9) в силу определения 1. Доказана нижеследующая теорема 2.6.

Теорема 2.6. Зависимость структуры спектра оператора Ь : Н —> Н от параметров задачи (3), (9) (либо от параметров задачи (4), (9)) следующая

1. Если оператор В обладает сильным В-свойством, то резольвентное множество оператора Ь заполняет комплексную плоскость.

2. Если оператор В не обладает сильным В - свойством, то непрерывный спектр СсгЬ оператора Ь заполняет всю комплексную плоскость, ш

Пример 3. Для систем (3) и (4), в которых оператор В, поро-

п

ждённый операцией В{ВХ) =53 Ьа Е К, является П -

А:=1 |а|=2й-1

оператором [3], задача Коши корректна, точнее-дЬ = С. С другой стороны, для эллиптического дифференциального оператора В [1, т. 2] задача Коши для систем (3) и (4) не корректна: СсгЬ = С; в этом случае корректна задача Дирихле.

Отметим работу [2], в которой выделен класс систем, для которых разрешимы задачи, аналогичные смешанной задачи для гиперболической системы (3).

Далее в Н=Щ <Э € V« = [0,Т1], изучается задача Коши для систем (6) и (7). Начальные условия имеют вид:

и1! = и21 = 0. (10)

14=0 и=0

Обозначим через Ь : Н —> Н дифференциальный оператор, сопоставляемый изучаемой задаче. Доказана нижеследующая теорема 2.7.

Теорема 2.7. Зависимость структуры спектра оператора Ь : Н —» Н от параметров задачи (6), (10) (либо от параметров задачи (7), (10)) следующая

1. Если оператор iB обладает сильным В-свойством, то резольвентное множество оператора L заполняет комплексную плоскость.

2. Если оператор iB не обладает сильным В - свойством, то непрерывный спектр СаЬ оператора L заполняет всю комплексную плоскость.

Пример 4. Для систем (6) и (7), в которых оператор В, поро-

п

ждённый операцией B{DX) = /С ba € К, является П -

k-1 |a|=2fc—1

оператором, задача Коши не корректна, точнее- СаЬ = С. С другой стороны, для эллиптического дифференциального оператора В [1, т. 2] задача Коши для систем (6) и (7) корректна и более того: qL = С.

В 2.4 изучаются спектральные характеристики дифференциального оператора L, порождённого в Н периодической задачей для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа. Эта система имеет следующий вид:

Dtu1 - sign (t)Bu2 = Ли1 + /\ Dtu2 + Ви1 = Ли2 + /2; (11)

где В является М-оператором в Нх\ t Е Vt = [3\,Г2], — оо < Т\ < 0 < Ti < +оо. К системе уравнений (11), являющейся КЭ (КГ) системой первого типа при 0 < t < Т? (2\ < t < 0), присоединены граничные условия вида:

u(Ti)=u(r2). (12)

Для оператора L, порождённого задачей (11), (12), выписаны точечный спектр и аналитическое представление его собственных вектор-функций: <р*ик,т,а(Ь),

«fc,m,e(i) = е (f)--Д-,

Далее последовательно в гильбертовых пространствах Ht, IIf, Htx изучаются базисные свойства систем, составленных соответственно из компонент (f), UktmtS (i), W Vs' 3 = собственных вектор-функций <psUk,m,s(t) оператора L. Обозначим через Oylm s дополнение

точек кривой 7^,4 > задаваемой в комплексной плоскости параметрическим представлением € то есть Су^ = С \ '■ Ь Е На основе проведённых исследований доказана теорема 2.8, где в = {й : амЬ2>5 - 02^1,3 = 0;з € 5}, Г^ = С-у^ П дВ3, числа входят в определение функций р1т а оператор В3 переводит ортонормированный базис {с^} в систему {и* У в,

Теорема 2.8. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора Ь : Н —>■ Н от параметров задачи (11), (12) следующая:

1. Система собственных вектор - функций оператора Ь минимальна в гильбертовом пространстве Н.

2. Система собственных вектор - функций оператора Ь полна в гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда множество & пусто.

3. Система собственных вектор - функций оператора Ь образует

2

базис в гильбертовом пространстве Н, если 0 £ р) ш

« 171,1 = 1

Отметим, что критерии базисности Рисса систем из собственных векторов разрывных операторов, порождённых нелокальной задачей, изучались в [4].

Пример 5. Положив в (11) В = Их + 1 при условиях периодичности по х, получим оператор Ь : Н —» Н, порождённый системой уравнений смешанного типа в замкнутой области V = х Ух, V^ = [—7Г, 7г], Ух = [0,2ж\, при условиях периодичности по £ и по х, система собственных вектор - функций которого полна в Н = И^ТО-

Считаю приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф. —м.н., профессору В. К. Романко за постановку задачи, внимание к работе, всестороннюю поддержку и помощь.

Список литературы

[1] ДанфордН., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория- М.: И.Л., 1962.-895с. Т.2. Спектральная теория- М.: И. Л., 1966.-1063с.

[2] Дезин А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Матем. сборник-1959.—Т. 49(91), выпуск 4.-С. 459-484.

[3] Дезин А. А. Дифференциально - операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач.-М.: Нау-ка-МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000.-175с. (Тр.МИАН; Т.229).

[4] Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22, №12.-С. 2059-2071.

[5] КачмажС. ШтейнгаузГ. Теория ортогональных рядов—М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1958.-508с.

[6] Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения.-1987.-Т.23, №1.-С. 177-179.

[7] РоманкоВ.К. // Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной. // Дисс. ...доктора физ.-мат. наук, М., МИАН, 1980.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[8] Корниенко Д. В. О спектре вырождающихся уравнений // Методология и методика непрерывного образования: межвузовский сборник научных трудов.-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2001.-С. 118-121.

[9] Корниенко Д. В. О спектрах граничных задач для линейных систем дифференциально - операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия "Математика, физика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004.-С. 6371.

[10] Корниенко Д. В. О спектральных задачах для линейных систем дифференциально - операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия "Математика, физика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004.-С. 71-78.

[11] Корниенко Д. В. О спектре одной граничной задачи для системы дифференциальных уравнений смешанного типа // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 8: Серия "Математика. Компьютерная математика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005. -№1.~ С. 39-47.

[12] Корниенко Д. В. Некоторые вопросы применения универсальных математических систем // Информатизация образования -2005: Материалы международной научно-практической конференции.—Елец: Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, 2005.-С. 225-229.

[13] Корниенко Д. В. О КЭ системах первого и второго типов // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 8: Серия "Математика. Компьютерная математика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005.-№1.-С. 48-59.

[14] Корниенко Д. В. О спектре задачи Дирихле для КГ систем первого и в'млого типов, ^вборник тезисов ХЫ Всероссийской кон-ференцияИго проблемЯг математики, информатики, физики и химии".-Москва: РУДН, 2005г.

[15] Корниенко Д. В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения.-2006. - Т. 42, Ж.-С. 91-100.

JBH КПЕНвДшК

-.10.01.32 ыр£диа £таД .ЭМЭО^ ДЫ

R£HToq£<|)£qr ¿твнэП .вэгшТ £q^THHqßT .9í\f'8x09 твмчоФ S,I 0,1 .П.НЭП-.MY

Tt Е£Л£Б .ЕЛЕ 001 лсеянТ

ннфедтшюп ñOHaoT£qono элтэек^ ен етэяям — Rbmnnqo O'lOaOTOi о оивтекэптО ■внынцЯ .А .N .мн £T9TM0q0ennY 0i0HH9aTDqjsjvîD0i отолдгааЯ

■БННН^Я .А .Ы .мн THOqaanH'^ йыннэатояедх001 йылдэаЯ

.82 ,aoqßHXMMoH .г„y ,цэпЯ л ,0TTG6£

Введение

1 Граничные задачи и операторные уравнения

1.1 Пространство Н и его представления

1.2 Описание спектральных задач.

1.3 Дифференциальный оператор В и его расширение.

1.4 Обобщённое решение; общие вопросы исследования спектра

2 Спектральные задачи для некоторых линейных систем

2.1 Задача Дирихле для КГ систем первого и второго типа

2.1.1 КГ система первого типа.

2.1.2 КГ система второго типа.

2.1.3 Сравнительный анализ и примеры.

2.2 Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа

2.2.1 КЭ системы первого типа.

2.2.2 КЭ системы второго типа.

2.2.3 Сравнительный анализ и примеры.

2.3 Задача Коши для КГ и КЭ систем.

2.3.1 КГ системы первого и второго типа.

2.3.2 КЭ системы первого и второго типа.

2.4 Периодическая задача для системы уравнений смешанного типа.

Диссертация посвящена исследованию спектральных характеристик ряда граничных задач для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по выделенной переменной t, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучаемые системы уравнений удобно записать в виде так называемого операторного или дифференциально-операторного уравнения [И]

L(Dt, В)и aDtu + ЬВи = /, (1)

Здесь а, Ь-матрицы (2x2); Д-операция дифференцирования по переменной t. Оператор В действует в некотором сепарабелыюм комплексном гильбертовом пространстве Нх и удовлетворяет определённым требованиям, формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Присоединив к уравнению, изучаемому на конечном отрезке Vt = [Ti, Т2], —00 <Т\^.0^Т2 < +оо, значений переменного t, систему условий

Г,« = 0, (2) описывающую поведение функции и = u(t) в точках Т\,Т2, получим граничную задачу, под решением которой мы понимаем сильное решение. Определив (обобщенное) решение граничной задачи (1), (2), получим замкнутый оператор L, действующий в соответствующим образом подобранном функциональном пространстве Н. Под спектральными характеристиками граничной задачи (1), (2) мы понимаем спектральные свойства оператора L : Я -» Я. В дальнейшем, как условия разрешимости, так и свойства решений изучаемой граничной задачи описываются или в терминах свойств резольвенты R\ = (L — А)-1, или в терминах свойств системы собственных вектор-функций замкнутого оператора L, сопоставляемого задаче.

Необходимость исследования линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных возникает при изучении разнообразных физических, химических, биологических, социальных процессов и явлений. Например, системы С. JI. Соболева для случая сжимаемой жидкости-в гидродинамике, системы уравнений смешанного типа возникают в трансзвуковой газодинамике. К исследованию таких систем уравнений приводят также многие актуальные задачи теории малых изгибаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории изгибов пластинки переменной толщины с острым углом. Важные приложения теории систем уравнений в частных производных и проблемы, связанные с исследованием свойств разрешимости формулируемых краевых задач стимулировали исследование соответствующих спектральных задач. Спектральная теория операторов, порождённых краевыми,задачами как для уравнений, так и для систем уравнений в частных производных, начала развиваться сравнительно недавно в ряде работ российских и зарубежных математиков. Изучались при этом как асимптотическое поведение собственных значений и расположение спектра на комплексной плоскости, так и базисные свойства систем, составленных из собственных элементов. Исследование структуры спектра и возможности разложения решений по системе собственных элементов является в настоящее время одним из основных направлений при изучении вопросов спектральной теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на значительный интерес к указанной проблематике, до сих пор не разработан метод, позволяющий ответить на возникающие вопросы даже для простейших систем уравнений при числе переменных больше двух; общие вопросы спектральной теории граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных также изучены недостаточно полно. В большей степени это относится к системам, не относящихся к классическим типам: эллиптическим, гиперболическим, параболическим. Учитывая важность свойств граничных задач для неклассических систем линейных уравнений, изучение спектральных характеристик последних весьма актуально.

Теория граничных задач для систем уравнений в частных производных, имея разнообразные применения, базируется на многочисленных методах (асимптотический, вариационный, проекционный, численные методы, методы интегральных уравнений, функциональные и другие) и формах (последовательные приближения, сжимающие отображения, различные формы интегральных преобразований, спектральные и другие) исследования. В связи с этим замечанием отметим, что проводимые нами исследования базируется на методах, которые принято называть функциональными, а свойства разрешимости описываются в терминах спектральной теории линейных операторов. Функциональные методы развивали и широко использовали в своих научных исследованиях К.Фридрихе, Л.Хёрмандер, С.Л.Соболев, А.А.Дезин, В.Н.Масленникова, В. А. Ильин, В. К. Романко, Е. И. Моисеев, А. П. Солдатов, А. С. Ма-кин, Н.Х. Агаханов, их ученики и последователи.

Спектральная теория дифференциальных операторов, порождённых граничными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных начала развиваться сравнительно недавно. В работах Т. Ш. Кальменова [17], Е. И. Моисеева [32], А. А. Дезина [10], [И], В. К. Романко [39] и ряда других авторов исследовались вопросы спектра граничных задач для уравнений смешанного типа. Изучались при этом как структура спектра, так и асимптотическое распределение собственных значений на комплексной плоскости. Свойства систем собственных функций в связи с изучением вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных изучали А. В.Бицадзе [2], А.А.Дезин [И], В.А.Ильин [15], [16], В.П.Михайлов [31], Е.И.Моисеев [33], [34], [35], Н.Ю.Капустин [18], Б.Т.Билалов [1]. Соответствующие исследования нашли своё отражение в предлагаемой работе.

В диссертации проводится сравнительное изучение спектральных характеристик ряда краевых задач для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучение ведётся с позиций дифференциально-операторных уравнений первого порядка по выделенной переменной. Простейшими примерами классических систем уравнений в частных производных, попадающих в поле наших рассмотрений, могут служить эллиптические системы вида:

Dtu1 - Dxu2 - ей2 = /\ Dtu2 + ДУ + ей1 = /2; (3)

- Dtul + Dxu2 + ей2 = f\ Dtu2 + Dxul + ей1 = /2. (4)

Отметим, что система (4) подобна системе (3) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (4) на —1 и формальной замены —f1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (3). Эти преобразования могут наводить на мысль о совпадении свойств разрешимости краевых задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим краевую задачу. Если это так, то что можно сказать о совпадении спектральных свойств операторов, порождённых произвольной наперёд заданной краевой задачей для систем (3) и (4)? Исследования автора показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов (порождаемых, например, нелокальной задачей по переменным t,x) принципиально различны. Эти различия проявились как в структуре спектра, так и в свойствах базисности систем собственных вектор-функций. Изучаемые в работе краевые задачи содержат классическую задачу сопряжения для систем уравнений смешанного типа и для систем уравнений классических типов с разрывными коэффициентами.

Сделаем несколько замечаний о структуре и оформлении диссертации. Диссертация состоит из введения, глав и списка литературы, вынесенных в оглавление. В оглавление вынесены также пункты и подпункты.

1. БилаловБ.Т. Базисы из экспонент, косинусов и синусов, являющиеся собственными функциями дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, №5.-С. 619-623.

2. Бицадзе А. В. Об одной системе функций // Успехи математических наук.-1950.-Т. 5, вып. 4(38).-С. 154-155.

3. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория- М.: И.Л., 1962.-895с.

4. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.2. Спектральная теория- М.: И.Л., 1966.-1063с.

5. Дезин А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Матем. сборник-1959.-Т. 49(91), выпуск 4.-С. 459-484.

6. Дезин А. А. Теоремы существования и единственности решения граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи матем. наук-1959.-Т. 14, вып. 3(87)-С. 21-73.

7. Дезин А. А. Операторы с первой производной во ',времеии"и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем.-1967.-Т. 31, Выпуск 1.-С. 61-86.

8. Дезин А. А. Несуществование некоторых разрешимых расширений // Докл. АН СССР.-1968.-Т. 183, ДОЗ.-С. 507-510.

9. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач-М.: Наука, 1980.-207с.

10. Дезин А. А. Вырождающиеся операторные уравнения // Математический сборник.-1981.-Т. 115(157), №3(7).-С. 323-336.И. Дезин А. А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. -1981. Т. 17, МО.-С. 1851-1858.

11. Дезин А. А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач.-М.: Наука-МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000.-175с. (Тр.МИАН; Т.229).

12. ЖураН.А., Ораевский А. Н. Задача Коши для одной гиперболической системы с постоянными коэффициентами // Докл. АН России-2004.-Т. 396, №5-с. 590-594.

13. Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1962.-Т. 142, №1.-С. 21-24.

14. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале системы собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов второго порядка // Докл. АН СССР. -1983. Т. 273, №5-С. 1048-1053.

15. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22, №12.-С. 2059-2071.

16. КальменовТ. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Дисс. .доктора, физ.-мат. наук. М., МГУ, 1982.-241с.

17. Капустин Н.Ю., Моисеев Е. И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения.-1997.-Т. 33, М.-С. 115-119.

18. КачмажС. ШтейнгаузГ. Теория ортогональных рядов-М.: Гос.из-во физ.-мат. литературы, 1958.-508с.

19. Корниенко Д. В. О спектре вырождающихся уравнений // Методология и методика непрерывного образования: межвузовский сборник научных трудов. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2001.-С. 118-121.

20. Корниенко Д. В. //О спектре слабо иррегулярных уравнений. // Дисс. .магистра физ.-мат. наук, Самарканд, СамГУ, 2001.-51с.

21. Корниенко Д. В. О спектре граничных задачах для систем линейных дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия "Математика, физика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004.-С. 63-71.

22. Корниенко Д. В. О спектральных задачах для систем линейных дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия "Математика, физика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004.-С. 71-78.

23. Корниенко Д. В. О спектре задачи Дирихле для КГ систем первого и второго типов. Сборник тезисов XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии", -Москва РУДН 2005г.

24. Корниенко Д. В. Некоторые вопросы применения универсальных математических систем // Информатизация образования-2005: Материалы международной научно-практической конференции.-Елец: Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, 2005.-С. 225-229.

25. Корниенко Д. В. О КЭ системах первого и второго типов // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 8: Серия "Математика. Компьютерная математика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005.-М.-С. 48-59.

26. Корниенко Д. В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения.-2006.-Т. 42, т.-С. 91-100.

27. Макин А. С. О базисности системы собственных функций одной нелинейной спектральной задачи // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, №5.-С. 612-618.

28. Масленникова В. Н. О смешанных задачах для одной системы уравнений математической физики // Докл. АН СССР.-1955.-Т. 102, №5.-С. 885-888.

29. Михайлов В. П. О базисах Рисса в С2{0,1). Докл. АН СССР. -1962. -Т. 144, №5.-С. 981-984.

30. Моисеев Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. .доктора физ.-мат. наук.-Москва, МГУ, 1979.

31. Моисеев Е. И. О базисности системы синусов и косинусов // Докл. АН СССР.-1984.-Т. 275, №4.-С. 794-798.

32. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения.-1987.-Т.23, М.-С. 177-179.

33. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным пара-мером-изд-во МГУ, 1988г.-150с.

34. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы-М.: Наука, 1969.-526с.

35. Номировский Д. А. Обобщённая разрешимомсть параболических систем с неоднородными условиями сопряжения типа неидеального контакта // Дифференц. уравнения.-2004.-Т. 40, №10.-С. 1390 — 1399.

36. РоманкоВ.К. Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной: Дисс. .доктора физ.-мат. наук, М., МИАН, 1980.

37. РоманкоВ.К. О собственных значениях краевых задач для некоторых уравнений, меняющих тип // Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, №10.-С. 1759-1764.

38. Романко В. К. Нелокальные граничные задачи для некоторых систем уравнений // Матем.заметки АН СССР. -1985. Т. 37, выпуск 5. - С. 727-733.

39. РоманкоВ.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Докл. АН СССР.-1986.-Т. 286, №1.-С. 47-50.

40. РоманкоВ.К. О системах операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.-1987.-Т. 23, №9. -С. 1574-1585.

41. Романко В. К. Граничные задачи для вырожденных систем уравнений // Дифференц. уравнения.-1989.-Т. 27, №12. -С. 2138-2147.

42. Садовничий В. А. Теория операторов-М.: Высшая школа, 1999. — 368с.

43. Соболев С. JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике-М.: Наука, 1998,-334с.

44. СолдатовА. П. Задача Римана-Гильберта для системы Лаврентьева- Бицадзе в смешанной области с характеристическим участком границы // Дифференц. уравнения.-2002.-Т. 398 №12. -С. 16531663.

45. СолдатовА.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, №5. -С. 674-686.