Распространение вычетного метода на смешанные задачи, содержащие в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, СОДЕРЖАЩАЯ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ БОЛЕЕ ВЫСОКИЕ СТЕПЕНИ СПЕКТРАЛЬНОГО

ПАРАМЕТРА, ЧЕМ В УРАВНЕНИИ.

§ I. Асимптотическое представление характеристического определителя и его нулей.

§ 2. Асимптотическое представление функции Грина.

§ 3. Основные формулы разложения.

ГЛАВА П. ВЫЧЕТНОЕ ПРОСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩЕЙ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ, ЧЕМ В УРАВНЕНИИ.

§ 4. Постановка смешанной задачи и соответствующая ей спектральная "задача.

§ 5. Приведение к смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени и соответствующая спектральная задача.

§ 6. Получение вычетного представления решения рассматриваемой смешанной задачи.

§ 7. Пример смешанной задачи, содержащей в граничных условиях производные более высоких порядков, чем в уравнении.

Хорошо известны такие классические методы решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как метод Фурье, применяемые к задачам, решения которых допускают разложения в ряды Фурье по полным ортогональным системам собственных функций соответствующих спектральных задач, более общий метод ^урье-Биркгофа, когда соответствующая спектральная задача и задача ей сопряженная имеют полные системы биортогональ-ных функций, метод теории потенциала, применяемые к граничным задачам для эллиптических уравнений, метод теории теплового потенциала, применяемые к смешанным задачам для уравнений параболического типа. Преимущество этих методов над другими прежде всего заключается в том, что помимо того, что они применяются к доказательству существования решения рассматриваемой задачи, они позволяют получить аналитические представления решений изучаемых ими задач. Как известно, эти аналитические представления позволяют изучать корректность задач, строить приближенные решения, провести численный расчет и т.д.

В связи с многочисленными задачами, встречающимися в приложении и неохватываемыми классическими методами в работах [ 1-6 ] был разработан вычетный метод решения широких классов смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, который в общих словах заключается в следующем:

Сначала рассматриваемой смешанной задаче сопоставляются более простые задачи, первая из которых есть спектральная задача (граничная задача с комплексным параметром), вторая задача Коти с комплексным параметром для обыкновенного дифференциального уравнения по временному переменному. Далее для соответствующей спектральной задачи доказывается теорема разложения функции действительного аргумента в ряд по вычетам решения спектральной задачи. Наконец, с помощью данной формулы разложения доказывается, что если рассматриваемая смешанная задача имеет решение, то оно представляется в виде полного вычета вполне определенной мероморфной функции, связанной с решениями спектральной задачи и задачи Коши с комплексным параметром для обыкновенного дифференциального уравнения по временному переменному.

Такая схема вычетного метода сначала в работах [ 1-4 ] была обоснована для решения смешанных задач, не содержащих в граничных условиях производных по времени старших порядков '.

Далее в связи с многочисленными задачами, встречающимися в приложении (см.например, С 8-9 /) оказалось необходимым обоснование вышеописанной схемы-вычетного метода для смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени старших порядков, что сделано в работах [ 5-6 ].

Оставалось открытым обоснование вышеописанной схемы вычетного метода для смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении, чему и посвящена настоящая диссертация. Исследование этих задач требовало особого подхода к их изучению. Прежде всего пришлось накладывать на решение изучаемой смешанной задачи (4.1)—(4.3) более жесткие требования гладкости в связи с тем, что рассматриваемую смешанную задачу необходимо было привести к эквивалентной, в некотором смысле, смешанной задаче,, содержащей в граничных условиях производные по времени только младших порядков. Для этой цели в граничных условиях все произ

Известно, что если граничные условия рассматриваемой смешанной задачи содержат производные по времени, то соответствующая спектральная задача, как правило, оказывается несамосопряженной . водные по времени высоких порядков заменялись другими использованием самого уравнения. После такого преобразования рассматриваемая смешанная задача приводится к смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени. Но спектральная задача, соответствующая этой задаче содержит в граничных условиях производные более высоких порядков, чем уравнения спектральной задачи. Более того получения вычетного представления решения последней смешанной задачи (5.6)—(5.8), не содержащей в граничных условиях производных по времени требует доказательства, необходимой формулы кратных разложений, чему и посвящена первая глава диссертации. В § I этой главы получены асимптотические представления характеристического определителя Д(Л) функции Грина G(*>J,Л) спектральной задачи, соответствующей исходной смешанной задаче и собственных значений (т.е. нулей характеристического определителя). В этом параграфе сформулированы основные условия,при выполнении которых доказана теорема I об асимптотическом представлении характеристического определителя Л (Я) и его нулей, которые являются полюсами решения спектральной задачи (см.теорему I).

Второй параграф первой главы посвящен изучению асимптотического представления функции Грина вне некоторой S -окрестности нулей характеристического определителя. В этом параграфе доказана теорема 2 об асимптотическом поведении функции Грина вне некоторой S -окрестности полюсов (нулей л (Я) ) и дано определение регулярных спектральных задач. Для дальнейших целей в ней получены более точные асимптотические представления (2.15), (2.16) функции Грина спектральной задачи (см.теорему 3).

Третий параграф первой главы посвящен доказательству основной теоремы 10, о справедливости формулы кратных разложений

3.27). Для этой цели предварительно доказаны вспомогательные теоремы 4-9, имеющие также самостоятельные значения: доказана теорема 4 об асимптотическом представлении решения спектральной задачи для непрерывно-дифференцируемой правой части /!(х) уравнения спектральной задачи (см.формулу (3.7)). Доказана теорема 5 о справедливости формул разложения произвольной непре-рывно-дафференвдуемой функции на /~0,1/ и трижды непрерывно-дифференцируемой функции ф0(х) . Доказана теорема 6 об асимптотическом представлении решения однородного уравнения при неоднородных граничных условиях спектральной задачи, соответствующей исходной смешанной задаче. Доказана теорема 8 о полном вычете этого решения. Наконец доказана теорема 9 о полном вычете решения спектральной задачи, соответствующей исходной смешанной задаче. При этом заметим, что теоремы 2,4,5, 6,7,8,9,10 доказываются для случая, когда корни характеристического уравнения в смысле Биркгофа сохраняют разные знаки на интервале Сл> & J - Теоремы 11,12,13,14,15 и 16 аналогичные соответственно теоремам 4,5,7,8,9,10 доказываются при предположении, когда корни характеристического уравнения Lff, сохраняют одинаковый знак на интервале Го, ё] .

Вторая глава посвящена установлению вычетного представления решения смешанной задачи (4.1)-(4.3). Эта глава состоит из 4-х параграфов §§ 4-7. В параграфе 4 дается постановка изучаемой смешанной задачи и приводится соответствующая ей спектральная задача, которая может быть получена применением интегрального оператора Лапласа

J е VfrV*. О к обеим частям уравнения (4.1), граничного условия (4.2) с учетом начальных условий (4.3).

Пятый параграф посвящен приведению поставленной смешенной задачи (4.1)—(4.3) к эквивалентной, в некотором смысле смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени. В этом же параграфе строится решение соответствующей ей спектральной задачи.

Шестой параграф посвящен получению вычетного представления решения изучаемой смешанной задачи. В нем прежде всего дано определение достаточно гладкого решения изучаемой смешанной задачи. Затем установлены условия, при которых решения изучаемой смешанной задачи представимо в виде полного вычета определенной мероморфной функции (см.формулу (6.21)). В этом параграфе при определенных вполне естественных условиях доказана теорема 17 о представимости решения приведенной смешанной задачи в виде полного вычета определенной мероморфной функции по комплексному параметру.

Наконец, при естественных условиях доказана теорема 18 о представимости решения изучаемой смешанной задачи в виде полного вычета определенной мероморфной функции, конструируемой с помощью решения соответствующей спектральной задачи (см.формулу (6.21)).

Параграф седьмой П главы посвящен разбору одного примера

О (Л смешанной задачи, для уравнения струны, содержащей в граничных условиях производные по времени 3-го порядка, охватываемого изложенной здесь теорией. Характерной особенностью решаемого здесь примера является не только то, что граничные условия задачи может содержать производные более высокого порядка (порядка 3), чем в уравнении изучаемой смешанной задачи, но помимо того, в частности, если граничные условия не содержат производных по времени, то получаемая задача также не охватывается классическими методами (методом Фурье и методом Фурье-Виркгофа), в силу того, что все полюсы решения спектральной задачи оказываются кратными. В этом случае произведен полный расчет решения, который получен в виде ряда (7.59).

Наконец заметим, что результаты работы опубликованы в работах [ 14-17 ] автора.

1. М.Л.Расулов. Исследование вычетного метода решения некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений. - Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Баку:, Азгосуниверситет им.С.М.Кирова, 1948, 95 стр.

2. М.Л.Расулов. Исследование вычетного метода решения смешанных задач для дифференциальных уравнений. Матем.сборн., 1952, вып.30, й 3, стр.509-528.

3. М.Л.Расулов. Вычетный метод решения смешанных задач для дифференциальных уравнений и формулы разложения произвольной вектор-функции. -Матем.сборн., 1959, т.48, $ 3, с.277-310.

4. М.Л.Расулов. Метод контурного интеграла. М:, "Наука", 1964, 462 стр.

5. М.Л.Расулов. Об одном применении вычетного метода. -Дифференциальные уравнения, 1982, т.ХУШ, В 5, стр.877-885.

6. М.Л.Расулов. Формула разложения в случае спектральной задачи, содержащей в граничных условиях производные более высоких порядков, чем в уравнении. Диф.уравнения, 1982, № 12, стр.2149-2166.

7. Тамаркин Я.Д. 0 некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложение произвольных функций в ряды. Петроград:, 1917, 308 стр.

8. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. Гостехиздат:, 1948, 195 стр.

9. Власов В.П. и Маркин С.А. Решение нестационарной задачи теплопроводности для стержня, на концах которого закреплены две массы. Журн.технич.физики, АН СССР, 30, 9, I960, стр.1128--1133.

10. Петровский И.Г. 0 проблеме Коши для систем линейных- 91 уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюлл.МГУ, секция А., 1938, вып.7, I, стр.2-72.

11. Намазов В.М. Применение метода контурного интеграла к исследованию одномерных смешанных задач для систем Ковалевской с разрывными коэффициентами. Кандидатская диссертация. Баку, Азгосуниверситет игл.С.М.Кирова, 1967, 109 стр.

12. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М., Гостехиздат: 1954, 351 стр.

13. Намазов В.М. О разрешимости одномерной смешанной задачи для системы Ковалевской с разрывными коэффициентами и формула разложения, связанная с ней. Уч.зап. Азгосуниверситета, серия физико-математическая, № 6, 1966, стр.18-27.

14. Вагабзаде Г.Б. Изучение одной спектральной задачи. -Материалы 1У республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, Баку, изд. "Злм", 1983, стр.92-96.

15. Вагабзаде Г.Б. Об одной формуле кратных разложений. -В сб.: Дифференциальные уравнения и их применения. Изд-во А1У, 1983, стр.22-26.

16. Вагабзаде Г.Б. Изучение одной спектральной задачи, содержащей в граничных условиях более высокие степени спектрального параметра, чем в уравнении. Депон.в АзНИИНШ JII2 (146),с.149, 1983 г.

17. Вагабзаде Г.Б. Решение смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении. Депон. АзНШНТИ В 3 (149), 1984 г., с.153.