Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ МНОГОМЕРНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА . ГО

§ I Первая априорная оценка для решений почти всюду задачи (1.1)-(1.3) . II

§2 О некоторых свойствах оператора = и .Да), и^ж),

§ 3 Вторая априорная оценка для решений почти всюду задачи (1.1)41.3)

§ 4 Существование решения почти всюду задачи

1.1)41.3) .у.

§ 5 Единственность решения почти всюду задачи

1.1)41.3) .;.7.

ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДНЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ

ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

§ I Единственность классического решения задачи

2.1)42.3)

§ 2 Существование классического решения задачи

2.1)42.3) в случае Р= 11*

§ 3 Существование классического решения задачи

2.1)42.3) в случае Р = РО:,0!)и,и,Д

§ 4 Существование классического решения задачи

2.1)-(2.3) в случае РОДЦ,^,Ц^ Ц^Д

Данная диссертационная работа посвящена изучению вопросов существования и единственности почти всюду и классического решений следующей многомерной смешанной задачи в конечной области с граничными условиями типа Рикье для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка:

Ч)2и -РС1,1,и,иа!,и„ите)С1£[п>т],Л!е5.), о,.« исп,ло-Фса9 (хео.), идз^сг) (.та), (о.2) иад|г- о, ьи(и)|г-о, где + 1 = (ОС, ,., Ж„,) . 12- П - мерная ограниченная область о достаточно гладкой границей 5. Г=(0,Т)*3 \ в области аисзо-а^сзо, (0.б> < 1=1

6 - любые действительные числа; $ » Ф > Р - заданные функции, а и(1!,ЗС)~ искомая функция; кроме того, для краткости записи, в данной работе пользуемся обозначениями а под почти всюду и классическими решениями задачи (0.1)-(0.3) понимаем следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Решением почти всюду задачи (0.1)—(0.3) назовем функцию UCt,!!)^ Yít 2 (QT) , удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду в QT , принимающую начальные значения (0.2) и удовлетворяющую граничным условиям (0.3) в смысле следов, т.е. почти всюду соответственно в областях J2. и Г ; причем QT = (0,Т) X ÍI.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Под классическим решением задачи (0.1)-(0.3) понимаем функцию C.'^CQj^ » удовлетворяющую всем условиям (0.1)-(0.3) в обычном смысле.

В данной работе получены следующие результаты: а) для любых размерностей Ч доказана теорема существования в целом решения почти всюду задачи (0.1)-(0.3); б) для любых размерностей Н установлены теоремы единственности в целом для почти всюду и классического решений задачи (0.1)-(0.3); в) для случаев F= F(t,X, Ц) , F = F(t,£, U, Ид,) и

F = FCtjXjUjlLcUt, UXz) уравнения (0.1) соответственно для размерностей 1 ^ fl^ 12 » 1 ^ ti ^ 9 и 1 ^ TI ^ 5 доказаны теоремы существования в целом классического решения задачи (ОД)-(О.З).

А теперь отметим некоторые работы, непосредственно связанные с темой данной диссертации. Среди работ, посвященных исследованию линейного случая (т.е. случая F = F(t,3C)) задачи (0.1)-(0.3), следует особо отметить фундаментальную работу [i] В.А.Со-лонникова, в которой изучена общая краевая задача (удовлетворяющая условиям дополнительности) для линейных параболических (по Солонникову) систем, более общих, чем системы, параболические в смысле И.Г.Петровского[2] и Т.Сирота[3]; из результатов рабо-ты[1] (см.стр. 118,теорему 5.4 и стр.107, теорему 4.9), в частности, следуют теоремы об однозначной разрешимости линейной

2+ К 4+2К

Р=РО;,ЯО) задачи (0.1)-(0.3) в классах VI ~ « СЮ где К> 0 - любое целое число) и х СЦт)

Ь > 0 - любое нецелое число), которыми в данной работе мы существенно пользовались. А также отметим докторскую диссертацию [4] академика АН Азерб.ССР М.Л.Расулова, в которой разработаны и применены вычетной метод и метод контурного интеграла к решению общих смешанных задач для широкого класса линейных дифференциальных уравнений.

Среди работ, посвященных исследованию смешанной задачи (0.1)-(0.3) для нелинейного случая уравнения (0.1), отметим работы [5]- [10].

В работе[5] Ю.И.Ковача рассмотрен одномерный простейший частный случай задачи (0.1)-(0.3), когда п-1, ш-а8^, £-со,е), г-ради), и специальным методом последовательных приближений доказана теорема существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи.

А в работе[б] Ю.И.Ковача рассмотрена задача вида (0.1)-(0.3), когда пи, 52=со,в),^^шэдс), где 0 - постоянное и в области [0,Т] * [О £] и принципом сжатых отображений доказано существование в малом классического решения рассматриваемой задачи.

В работах [7] и [8] автора принципом Лере-Шаудера доказано существование в целом решения почти всюду (из класса VI ^ СЦ^ общей задачи (0.1)-(0.3).

В работе [9] К.И.Худавердиева и автора отдельно исследованы следующие два частных случая задачи (ОЛ)-(О.З), когда г=га,т,и) , 1« п *И2 и г = га,1,и,иж), 1«п« 9, и с помощью принципа Лере-Шаудера доказаны теоремы существования

2 4 — в целом классического (из класса С^'дСЛтО ) решения рассматриваемых задач; кроме того, в работе [9] для общего случая уравнения (0.1) для любых размерностей XI установлены теоремы единственности в целом почти всюду и классического решений задачи (ОЛ)-(О.З).

А в работе [10] автора исследована смешанная задача (0.1)-(0.3) в общем случае уравнения (0.1), но для размерностей и принципом Лере-Шаудера доказана глобальная (т.е. справедливая при любом конечном значении Т ) теорема существования и единственности классического решения задачи (0.1)-(0.3).

Следует особо отметить работу [II] С.И.Похокаева, в которой изучена задача, аналогичная задаче (0.1)-(0.3); а именно, в работе [II] исследована задача о нахождении решения уравнения (0.1) в случае & , р= » удовлетворяющего начальным условиям (0.2) и граничным условиям иаш) а* о (о-3 > г 1 где ? - внешняя нормаль к Г , и доказаны теоремы существования и единственности решения (из класса У/ ' (Ц«!) ) задачи (0.1), (0.2), (0.3 ).

Пользуясь случаем отметим, что для написания данной диссертационной работы стимулом и толчком послужила работа [п] С.И. Похожаева. Также отметим, что задача о нахождении класса нелинейных функций Р, при которых соответствующая смешанная задача для уравнений типа (О.Й) имеет решения, была поставлена Ж.-Л.Лионсом [12] .

В связи с работой [II] отметим работу [13] П.К.Зерагии, в которой рассмотрен одномерный (НИ) случай задачи (0.1), (0.2), (0.3').

А теперь перейдем к краткому описанию содержания данной диссертации, которая состоит из введения и двух глав.

1. СОЛОННИКОВ В.А, О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. - Труды МИАН, 1965, т.83, с.3-163.

2. ПЕТРОВСКИЙ И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюлл. МГУ, секц.А., т.1, вып.7 (1938), с.1-72.

3. Shizota Т. Оп Cauchij ptoßtm foe linmz pädia? diffezentiot equatioris wilk wazlaßPe coeffitletie. -Овака Maih. fan., M 9, №1 (195?), />. 43-09.

4. РАСУЛОВ М.Л. ВычетныЙ метод решения смешанных и граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дие .докт. физ-мат.наук Москва, 1959.

5. КОВАЧ Ю.Й. О краевой задаче для оператора 1л- го порядка параболического или гиперболического вида. Украинский математический журнал, 1969, т.21, № 5, с.579-593.

6. КОВАЧ Ю.И. Об оценке решения нелинейной системы с запаздыванием, содержащей оператор Щ го порядка параболического или гиперболического вида. - Сб. "Численный анализ", Труды семинара, вып.2, Киев, 1969, с.20-38.

7. АДЖАЛОВА H.A. О существовании в целом решения почти всюду многомерной смешанной задачи для одного класса полулинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Доклады АН Азерб.ССР, 1981, т.37, № I, с.8-12.

8. П0Х0ЖАЕВ С.И. Об одном квазилинейном параболическом уравнении. ДУ, 1971, т.7, № I, с.73-80.

9. ЛИОНС Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972.

10. ЗЕРАГИЯ П.К. О решении основной граничной задачи для одного нелинейного бикалорического уравнения. Труды Тбилисского Государственного Университета, 1976, 166, с.5-11.

11. ЕЕККЕНЕАХ Э., БЕЛЛМАН Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

12. ЛАДЫЖЕНСКАЯ O.A., С0Л0ННИК0В В.А., УРАЛЬЦЕВА H.H. Линейные иквазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

13. СОБОЛЕВ С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ, 1950.

14. СМИРНОВ В.И. Курс высшей математики, т.У М: Наука, 1959.

15. ПОХОЖАЕВ С.И. О теореме вложения С.Л.Соболева в случае р-^ г ИЬ • М., Доклады научно-технической конференции МЭИ, секция матем., 1965, с.158-170.

16. Функциональный анализ. СМБ (под общ.редакцией С.Г.Крейна и др.) М: Наука, 1972 - 544с.

17. ИЛЬИН В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. УМН, i960, 15,2, с.97-154.

18. КАЛАНТАРОВ В.К. О смешанной задаче для полулинейных составных параболико-гиперболических систем уравнений. Дис . канд. физ-мат.наук Баку, 1974.

19. ХУДАВЕРДИЕВ К.И. К теории многомерных смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений. Дис. . докт.физ-мат. наук. Баку, 1973.

20. ЧАНДИРОВ Г.И. Смешанная задача для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Дис. докт.физ-мат.наук. Тбилиси, 1970.