Простые условия регулярности и применение вычетного метода к решению некоторых задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ Б РЯД ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫЧЕТОВ РЕШЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ,СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§1 Л. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче для уравнения колебаний струны

§1.2. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче для уравнения стержня

§1.3. Изучение спектральной задачи для уравнения

4-го порядка с переменными коэффициентами.

ГЛАВА П. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

§2.1. Решение смешанных задач для уравнения колебаний струны

§2.2. Решение смешанных задач для уравнения колебания стержня

§2.3. Решение смешанных задач колебаний прямоугольной мембраны.

§2.4. Решение одной задачи колебаний прямоугольной пластинки

В связи с многочисленными линейными задачами уравнений в частных производных , не поддающихся по той или другой причине решению известным классическим методом Фурье, в работах М.Л.Расулова [i - б] был разработан вычетный метод решения широких классов задач: I) одномерных смешанных задач для системы уравнений с разделяющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими точки разрыва первого рода, при граничных условиях, не содержащих производных по времени;

2) одномерных смешанных задач для системы уравнений с неразделя-ющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими разрывы первого рода, при граничных условиях, не содержащих только производной по времени старшего порядка;

3) многомерные смешанные задачи для уравнений с разделяющимися переменными.

В цитированных выше работах получены вычетные представления решений классов задач D-3) в виде полных интегральных вычетов мероморфных функций, конструируемых с помощью решений соответствующих спектральных задач и задач Коши с комплексным параметром. Следует подчеркнуть, что наподобие методу Фурье, все эти представления получены с помощью формул разложения функций пространственных переменных в ряды полных интегральных вычетов решений спектральных задач, на чем базируется вычетный метод.

При решении задач класса I) вспомогательным средством является формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина [7 - 10] для случая спектральной задачи для системы уравнений с разрывными коэффициентами.

При решении задач класса 2) формулы разложения типа Биркгофа--Тамаркина оказались недостаточными. В связи с этим в работах i - 5*1 М.Л.Расулова впервые установлены так называемые формулы кратных разложений.

Что касается задач класса 3) , то для получения вычетного представления их решений необходима была формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина для случая многомерных спектральных задач, что сделано в работе [б] .

Таким образом, основой вычетного метода в каждом отдельном случае задач D-3) является спектральная теория для соответствующей спектральной задачи, для которых установлены легко проверяемые условия (регулярности), при выполнении которых доказана справедливость необходимой форлделы разложения. Однако в силу достаточной общности рассматриваемых задач проверка выполнения упомянутых условий сопровождается соответствующими трудностями,обусловленными в первую очередь общностью рассматриваемых задач.

В связи с этим применение вычетного метода к задачам математической физики, эффективное решение которых возможно только вычет-ным методом, потребовало прежде всего упрощения условий (регулярности) за счет сужения класса рассматриваемых задач, при выполнении которых справедлива соответствующая формула разложения.

В настоящей работе для смешанных задач колебаний струны,стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки найдены легко проверяемые условия, при выполнении которых доказана справедливость соответствующих формул разложения, на базе которых в главе П получены вычетные представления решений соответствующих смешанных задач при линейных граничных условиях общего вида.

Таким образом, выделены все разрешимые линейные смешанные задачи для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки.

Работа состоит из двух глав.

1. Расулов М.Л. Исследование вычетного метода решения некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений. - Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Баку, Азгосуниверситет им.С.М.Кирова, 1948, 95 стр.

2. Расулов М.Л. Исследование вычетного метода решения смешанных задач для дифференциальных уравнений. Матем.сборн.,1952, выч.ЗО, № 3, стр.509-528.

3. Расулов М.Л. Вычетный метод решения смешанных задач для дифференциальных уравнений и формулы разложения произвольной вектор-функции. Матем.сборн., 1959, т.48, № 3, с.277-310.

4. Расулов М.Л. Вычетный метод решения смешанных и граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Докторская диссертация, М.,Матем. ин-т им.В.А. Стеклова АН СССР, I960, 95 стр.

5. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.,"Наука", 1964, 462 стр.

6. Расулов М.Л. Применения метода контурного интеграла.-М:, "Наука", 1975, 255 стр.

7. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Гостехиздат: 1954, 351 стр.

8. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложение произвольных функций в ряды. Петроград:, 1917, 308 стр.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.Ш, М., Гостехиздат, 1949, 656 стр.

10. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М., Гостехиздат, 1948, 479 стр.

11. Маркушевич А.И.Теории аналитических функций. М., Гостехиздат, 1950, 703 стр.

12. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. М., Гостехиздат, 1933, 472 стр.

13. Эль-Кади А. Решение одной смешанной задачи для прямоугольной мембраны. Депонировано а АзНИИНТИ, № 134, Аз-Д83, 17 стр.

14. Эль-Кади А. Решение одной задачи математической физики. Тематический сборник научных трудов "Исследования по дифференциальным уравнениям", изд. АГУ, Баку, 1984, с.114-118.

15. Эль-Кади А. ' Решение одной смешанной задачи для уравнения колебаний стержня. ДАН Азерб.ССР, томХЬ, № 12, 1984, с. 17-20.

16. Эль-Кади А. Решение одной смешанной задачи. ДАН Азерб. ССР, том , № I, 1985, с. 3-6.