Соотношения в линейных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

У / ' .У

ю- ^

«У ¡'

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Институт математики им. С.Л.Соболева

На правах рукописи УДК 512.54

КОРОБОВ Алексей Александрович СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ

(01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель, действительный член Петровской академии наук и искусств, доктор физико-математических наук,

профессор Ю.И.Мерзляков

Новосибирск • 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................................................3

Глава 1. Характеризация растяжений, представимых в произведение независимых простых преобразований

§ 1. Определения и предварительные результаты.................................14

§ 2. Характеризация растяжений, обладающих симплектическим разложением ... 16 Глава 2. Базы тождеств некоторых треугольных линейных групп §1.0 треугольных группах, определяемых бинарными

отношениями......................................................................23

§ 2. Об унитреугольных группах с линейно зависимой первой диагональю........25

Глава 3. Соотношения, зависящие от выбора категории групп

§ 1. Тождества алгебр Ли и нильпотентных групп без кручения..................39

§ 2. Описание многообразий лиева типа...........................................42

§ 3. Критерии существования периодических, разрешимых и нильпотентных дополнений нормальных подгрупп в алгебраических линейных группах................46

Литература........................................................................51

ВВЕДЕНИЕ

В современной теории групп весьма заметное место занимают группы преобразований, в том числе линейные группы, а также группы автоморфизмов различных алгебраических систем. Кроме того, многие интересные примеры групп возникают именно как группы преобразований (см. [16]).

Диссертация посвящена исследованию разного рода соотношений между определенными элементами групп автоморфизмов векторных пространств над телами. А именно, исследуются задачи, связанные с вычислением ширины таких групп относительно различных множеств порождающих, исследуется возможность переноса заданных соотношений с фактор-группы в саму группу, исследуются задачи описания всех тождественных соотношений таких групп.

В первой главе диссертации фиксируется множество автоморфизмов 5" векторного пространства над телом и рассматривается следующая проблема: для группы С с порождающим множеством 5 найти наименьшее т £'N11 {+°°} такое, что всякий элемент из С представим в виде произведения < т элементов из в . Следуя Ю. И. Мерз л якову [15] будем называть такое т шириной группы С относительно множества 5 и обозначать \vicl (С?, 51). В классическом случае, когда С — группа всех невырожденных преобразований над полем, — множество всех простых преобразований, 5) —размерность подлежащего векторного пространства.

В случае, когда С — группа всех автоморфизмов свободного модуля М над локальным (коммутативным) ассоциативным кольцом Я с единицей, Еллерс и Лауш оценили ширину группы (7 относительно множества 5 всех простых автоморфизмов через размерность модуля [31]. Если же К — кольцо целых чисел, то, как показал В.Г.Бардаков [3], <2(<1шМ) + 6.

Много работ посвящено вычислению ширины матричных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [27] доказали, что ширина группы БЕ«(II), п > 3 , где И, — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвек-ций конечна. К.Х.Закирьянов [8] установил конечность ширины симплектической группы 8р2п(11), п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом Б1 получил О.Н.Тавгень [21]. С другой стороны, Ван дер К ал лен [38] доказал, что если Р — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа

SLn(F[x]) при n > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

В случае, когда основное кольцо R — это некоммутативное тело, рассматривалась задача вычисления ширины классических групп относительно естественных порождающих множеств (см. [30], [34]). Эта задача возникла в связи с нуждами проективной геометрии. Отказ от коммутативности тела R связан с тем, что координатное кольцо проективного дезаргового пространства является телом, вообще говоря, некоммутативным. Ширина группы GL(V) относительно простых преобразований остается равной dim У для любого тела R (см. [6], гл. III, § 2, предложение 1). В ряде задач проективной геометрии, например, при характеризации автоморфизмов полной группы преобразований проективного пространства, важную роль играют абстрактные теоретико-групповые свойства преобразования, которые позволяют сделать заключение о его геометрических свойствах. В случае, когда тело R — поле, длинна отдельно взятого преобразования является примером характеристики, которая выражается на языке абстрактной теории групп. Это наглядно показывает теорема Дьедонне, которая утверждает следующее: каждое нетривиальное преобразование с вычетом т из SL(V), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения т трансвекций, а меньшего числа трансвекций не достаточно; большая дилатация из SL(V) представима в виде произведения т + 1 трансвекций, причем это число нельзя уменьшить (см. [18], теорема 2.1.8).

В группе всех автоморфизмов векторного пространства над произвольным телом под специальной линейной группой подразумевают подгруппу, состоящую из всех преобразований с определителем Дьедонне равным единице. Тем не менее, Фадке установил, что в случае некоммутативного тела теорема Дьедонне не верна: в специальной линейной группе появляются такие преобразования с вычетом 1, которые нельзя представить в виде произведения двух трансвекций [35]. Год спустя Фадке указал простое преобразование, которое представимо в виде произведения трех отражений, но не представимо в виде произведения двух отражений [36]. Назовем все такие растяжения исключительными. Все растяжения, разложимые в произведение трех трансвекций, а также все растяжения, разложимые в произведение трех отражений были охарактеризованы Дьяковичем [29]. Отметим, что каждое разложение исключительного растяжения обладает следующим свойством: вычетные прямые сомножителей образуют симплекс в подпространстве, порожденном ими. Поэтому вполне естественно, что в первой главе диссертации вводится в рассмотрение понятие симплектического разложения и дается полное описание простых преобразований, имеющих симплектическое разложение. Для того, чтобы сформулировать основной результат первой главы более точно, введем необходимые определения.

Напомним, что нетождественное преобразование s векторного пространства V

над телом К называется простым, если s(x) = х + uf(x) для некоторых и £ V , / £ V*. Назовем параметром простого преобразования s класс сопряженных элементов Con (1 + f(u)) в К* с элементом 1 + f(u) и обозначим через Par (5). Если Par (s) = 1 , то s называется трансвекцией, если Par (s) ф ±1, то s называется растяжением, а если Par (5) = — 1 , то s называется отражением. Образ оператора. s — е называется вычетным пространством преобразования s , а его размерность — вычетом преобразования 5 . В частности, вычетное пространство простого преобразования — это вычетная прямая. Разложение s = аг ... ап в произведение простых преобразований а\ ,.. . ап назовем симплектическим разложением для s длины п , если вычетные прямые viK,..., vnK преобразований аь ..., ап образуют симплекс в подпространстве v\К + ... + vnI\ .

Теперь мы можем дать точную формулировку результата.

Теорема 1.1. Для растяжения s £ GL(V) тогда и только тогда существует симплектическое разложение длины п < dim V + 1 в произведение простых преобразований с одним и тем же параметром А, когда

Par (5) = Con ([жь;г/1]... [xn-2,yn-2]^i ■■■К)

при некоторых xi,yi 6 К* , Л,- £ А .

Отметим, что симплектические разложения длины > dim У + 1 не существуют. Поскольку всякое исключительное разложение длины < 3 является симплектическим, то из этой теоремы следуют теоремы А и В Дьяковича [29]. Кроме того, теорема 1.1 позволяет естественным образом оценить wid (G, S), где S, например, множество всех отражений из GL(V'), в случае когда коммутаторная ширина группы К* меньше dim У. Причем, в случае, когда К —тело кватернионов, эту оценку нельзя улучшить [32].

Результат первой главы опубликован в [41], [42], [46], [49].

Во второй главе диссертации изучаются базы тождеств в линейных группах над полями. В силу теорем Титса. и Мальцева (см. [15], теоремы 55.1.1 и 45.1.1.) особый интерес в этом отношении представляют группы треугольных матриц. Как показал А.Н.Красильников [10], всякая триангулируемая линейная группа имеет конечную базу тождеств, однако его доказательство не дает метода для нахождения баз тождеств конкретных треугольных линейных групп. При изучении баз тождеств конкретных треугольных линейных групп полезную роль играет следующее наблюдение: тождества линейной группы не изменяются при ее замыкании в полиномиальной топологии. Так что описание баз тождеств треугольных алгебраических групп дает исчерпывающий ответ на вопрос о тождествах произвольной треугольной линейной группы.

В свою очередь, каждая алгебраическая линейная группа однозначно определяется ее аннулятором. В § 1 рассматриваются треугольные алгебраические труп-

пы, аннуляторы которых порождаются одночленами первой степени. Фактически, если п — степень матриц, то произвольная такая группа однозначно определяется бинарным отношением на множестве {1,... ,п} . В 1970 году Ю.И.Мерзляков по произвольной треугольной полициклической группе С матриц степени п определил эквивалентность на множестве {1,..., п) и показал, что группа С сопряжена с некоторой подгруппой треугольной группы, определенной этой эквивалентностью (см. [15], теорема 48.2.1.). Важно отметить, что не всякую треугольную группу, аннуля-тор которой порождается одночленами первой степени, можно определить с помощью эквивалентности. Основной результат § 1 состоит в том, что с каждой такой группой можно однозначно связать частичный порядок и описать базу тождеств в терминах этого частичного порядка.

Прежде чем сформулировать результат более точно дадим необходимые определения. Пусть к — кольцо с единицей, Т„(к) — группа всех обратимых верхних треугольных матриц степени п над к, И — бинарное отношение на множестве {1,... ,п} . Следуя Ю.И.Мерзлякову ([15], § 48) множество

Тп(Я,к) = {х € Тп(к)\х^ = 0 при [},]) Щ

будем называть треугольным множеством, определенным бинарным отношением К. Назовем бинарное отношение Я согласованным с естественным порядком, если из соотношения (г, _;') £ Я следует г < ] .

Теорема 2.1. Для любого бесконечного поля к среди всех треугольных множеств, определенных бинарными отношениями Н , согласованными с естественным порядком, группами являются только те, для которых И — частичный порядок, и если с — длина максимальной цепи частично упорядоченного множества ({1,..., тг}, К), то группа Тп(Н, к) имеет точно такие же тождества, как группа Тс(к), а ее унипотентная часть имеет точно такие же тождества, как группа

итс(к).

Необходимо указать, что теорема 2.1 дает, в действительности, описание баз тождеств групп, рассмотренных в § 1, так как известно описание баз тождеств группы всех треугольных, а также группы всех унитреугольных матриц над бесконечным полем. Описание баз тождеств таких групп впервые было получено Н.С.Романовским [20].

В § 2 второй главы исследуются тождества максимальных собственных алгебраических подгрупп в группе всех унитреугольных матриц над универсальной областью нулевой характеристики, то есть над алгебраически замкнутым полем бесконечной степени трансцендентности над . Для матриц степени семь и выше найдены достаточные условия на аннулятор максимальной собственной алгебраической подгруппы, обеспечивающие следующее свойство: в максимальной собственной алгебраической

подгруппе не появляется новых тождеств по сравнению со всей группой. Легко видеть, что максимальная собственная алгебраическая подгруппа выделяется в группе всех унитреугольных матриц единственной (с точностью до пропорциональности) линейной формой. Для матриц степени пять и шесть найдены необходимые и достаточные условия на носитель линейной формы максимальной собственной алгебраической подгруппы, обеспечивающие следующее свойство: максимальная собственная алгебраическая подгруппа имеет те же тождества, что и группа всех унитреугольных матриц. Кроме этого, найдены базы тождеств максимальных собственных алгебраических подгрупп с исключительными носителями. Наконец, для матриц степени четыре найдены тождества произвольной унитреуголыюй подгруппы.

Метод, которым получены все перечисленные результаты представляет собой слегка усовершенствованный метод статьи [20]. Дадим его краткое описание. Сначала устанавливается взаимосвязь между тождествами группы и ее алгебры Ли. Затем, находятся новые тождества максимальной степени ассоциативной обертывающей этой алгебры Ли. Затем, стандартным образом строится относительно свободная нильпотентная ассоциативная алгебра, которая кроме тождества нильпотентности и его следствий удовлетворяет только найденным тождествам и их следствиям. Показывается, что исследуемая группа вкладывается в группу -алгебры Ли, порожденной свободными образующими построенной ассоциативной алгебры. Этим вопрос сводится к изучению тождеств указанной -алгебры Ли. Наличие среди ассоциативных тождеств элемента Ли приводит к системе линейных уравнений, решение которой сведено к вопросу: совпадает ли подходящий правый идеал со всем групповым кольцом симметрической группы.

Приведем теперь точную формулировку основного результата § 2. Пусть к — поле, ¡{х) = Та^х а1х1 С к. Обозначим через <т(/) = {г € ГЧ|г < тг, ее,- ф 0} — носитель формы / и для матрицы д (Е СЬ„(к) положим /(д) = «¿№,¿+1 •

Пусть а С {!,..., п — 1}. Назовем подгруппу С в 11Тп(к) группой типа а, если найдется такая линейная форма / от п — 1 переменной с коэффициентами из к с условием сг(/) = а, что С = {д <Е иТп(к)|/(д) = 0}. Множество а назовем симметричным, если оно инвариантно относительно поворота отрезка [1,п-1] вокруг его центра. Мы будем использовать следующие стандартные в теории многообразий групп обозначения. Многообразие, порожденное группой С будем обозначать через уаг С, многообразие всех абелевых групп через А , многообразие всех нильпотент-ных групп ступени < с через 1ЧС, а многообразие всех метабелевых нильпотентных групп ступени < с через Мс. Пусть V — многообразие групп, определяемое тождеством

[^1, х2, х3, [ж4, ж5]][ж4, х5, х3, [х1, .т2]][х5, х 1, х3, [х4, х2\] х х[аг4, х2, х3, [х5, Х1]][ж5, х2,х3, [х4, а^]]"1 [.т4, хих3, [ж5, хз]]"1 = 1.

Если Wi и W2 многообразия групп, то через Wi Л W2 обозначаем многообразие, полученное их пересечением.

Теорема 2.2. Пусть к — поле нулевой характеристики, G < UT„(k), Vg = {(912,...,9ri-i,n) £ k"-1|<7 eG}. a) Пусть n >7, множество Vg выделяется в к™-1 линейной формой, среди коэффициентов которой три первых или три последних отличны от нуля. Тогда var G = varUTn(k) . б) Пусть п = 6, Vg выделяется в к5 линейной формой f и а = a(f) . Многообразие var G совпадает с varUTe(k) тогда и только тогда, когда либо |<т| > 2, либо о не симметрично и |сг| = 2 . Если G — группа симметричного двухэлементного типа, то var G = N5 AV. в) Пусть п = 5, Vg выделяется в к4 линейной формой f и а = <т(/) . Если \о\ >2, {1,2} ф и ф {3,4}, то var G = varUT5(k). Если о = {1,2} или а = {3,4} и G — группа типа а, то var G = М4 . г) Пусть п = 4. Если Vg выделяется в к3 нетривиальной линейной формой с неодноэлементным носителем, то var G = N3 . Для нетривиальной группы G, которая этим свойством не обладает, справедливо одно из двух: либо var G = N2 , либо var G = А .

Отметим, что приводить описание тождеств группы типа а в случае |<т) < 2 нет необходимости, так как это уже сделано в § 1.

В диссертации показано, что при п = 7 в группе матриц степени п и симметричного типа {1,6} появляются новые тождества, а при п = 8, группы симметричных типов {1,7} и {2,6} порождают различные многообразия. Так что ситуация, возникшая при п — 5,6 является исключительной. Кроме того, приведены примеры, показывающие, что утверждение теоремы перестает быть справедливым для групп типа о над бесконечным полем четной характеристики.

Заканчивается § 2 получением такого следствия из сформулированной теоремы. Если к — поле нулевой характеристики и группа унитреугольных матриц пятой степени над к такова, что каждая ее двупорожденная подгруппа трехступенно ниль-потентная, то и вся группа трехступенно нильпотентная. Последний результат перестает быть справедлив, если поле к заменить на тело нулевой характеристики (см. [33]). Результаты главы 2 опубликованы в [45], [44], [48].

В третьей главе показан еще один способ, позволяющий выяснить, при каких условиях на аннуляторы двух алгебраических унитреугольных подгрупп они порождают различные многообразия и однозначно охарактеризовать эти многообразия. Базируется этот сп