Надгруппы классических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Петров Виктор Александрович

\

Надгруппы классических групп

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Вавилов Николай Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Суслин Андрей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Степанов Алексей Владимирович

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится «2 3 * ■ ■••^•"^.^М............ 200в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., д. 28^ Л^Ъ 1S"3C

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу. 191011, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

«Защита состоится по адресу: 191023, Санкт-Петербург; наб. р. Фонтанки, д 27, комн. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Автореферат разослан » ....^.ЗД.1^.;?..

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор В. М Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение классических групп восходит ко второй половине XIX в. Над полем комплексных чисел и конечными полями классические группы систематически изучались Г. Фробениусом, К. Жорданом и JI. Диксоном. В связи с применением к теории квадратичных форм Э. Витт исследовал ортогональные группы над произвольными полями. В различных аспектах классические группы над произвольными полями изучались О. Шрайером и Б.Л. ван дер Вар-деном. Г. Вейль развил теорию представлений и теорию инвариантов классических групп; ему же принадлежит сам термин "классическая группа". Ж. Дьедопне перенес большую часть конструкций и результатов на случай тел.

Первые результаты о строении решетки подгрупп классических групп были получены в контексте теории алгебраических групп с использованием методов алгебраической геометрии. Ж. Титсом были описаны параболические подгруппы (т.е. надгруппы борелевских групп), а А. Борелем и Ж. Титсом — надгруппы тора над алгебраически замкнутым полем. Позже эти результаты были перенесены на случай конечных полей Г. Зейцем, а в случае бесконечных полей получены З.И. Боревичем, H.A. Вавиловым, Е.В. Дыбковой, В.А. Койбаевым, О. Кингом и ДР-

Интенсивное изучение решетки подгрупп было инициировано работой М. Аш-бахсром, который предложил подход к задаче описания максимальных подгрупп классических групп над конечным полем. Именно, он выделил восемь классов подгрупп С\-С% таких, что каждая максимальная подгруппа попадает либо в один из этих классов, либо в класс S, состоящий из почти простых групп в неприводимых представлениях. Вопрос о том, какие подгруппы из классов C\-C% действительно являются максимальными (над конечным полем), был полностью решен П. Клейдманом и М. Либеком.

Класс Ашбахера Cg состоит из нормализаторов одной классической группы в другой. В связи с этим возникает естественный вопрос о максимальности та-^ ких нормализаторов над произвольным полем (при этом группа предполагается изотропной). Ответ на него был получен Р. Даем и О. Кингом. Более широкая проблема описания решетки всех надгрупп классической группы над полем или телом была решена Ли Шанчжи. Позже Е.Л. Башкировым были получены более сильные результаты о надгруппах классической группы над полем в полной линейной группе над алгебраическим расширен

^тЛШВДМйьнА* |

БИБЛИОТЕКА j С.Петеа4т*г 0/ л !

оэ

MnuitM >

Начиная с 1960-х годов в связи с рядом задач теории чисел и топологии началось интенсивное изучение классических групп над кольцами. Возникшие при этом методы в сочетании с идеями, пришедшими из теории векторных расслоений, привели к созданию алгебраической K-теории. На этом пути были получены важные структурные результаты, например, описание нормального строения полной линейной группы на стабильном уровне (X. Басс). Нестабильные аналоги этих результатов для произвольных коммутативных колец были получены A.A. Сус-линым, Дж. Уилсоном и И.З. Голубчиком и перенесены на случай других классических групп Э. Баком, В.И. Копейко, Г. Таддеи, Л.Н. Васерштейном, Э. Абе и другими.

Многие работы посвящены изучению решетки подгрупп классических групп над кольцами. Например, З.И. Боревич и H.A. Вавилов получили описание подгрупп в полной линейной группе, содержащих группу блочно-диагональных матриц, над произвольным коммутативным кольцом Позже H.A. Вавилов перенес эти результаты на случай других классических групп.

Наконец, совсем недавно появились работы Ли Шанчжи, Ю Хонга, Жен-га Баодонга и Вея Зонгли, в которых исследуются надгруппы симплектической группы над локальными и евклидовыми кольцами.

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, находятся в контексте интенсивно развивающейся структурной теории классических групп, что и определяет актуальность ее темы.

Цель работы. Целью работы является описание надгрупп классических групп в естественном представлении над классом колец, включающем почти коммутативные кольца. При этом случаи различных классических групп рассматриваются единообразно с использованием понятия обобщенной унитарной группы Бака.

Методы исследований. Используются методы теории линейных групп над кольцами и алгебраической if-теории. Для сведения задачи к случаю полулокальных колец применяется метод локализации. При разборе локального случая существенно используется понятие стабильного ранга форменного кольца, введенное Баком и Тангом.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• Получено веерное описание надгрупп классических групп в естественном

представлении над широким классом колец, включающем почти коммутативные и полулокальные кольца. При этом для базисных подгрупп заданы явные образующие, а элементы нормализаторов базисных подгрупп задаются явными сравнениями.

• Выведена точная последовательность, связывающая факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам с линейными и унитарными нестабильными if-функторами. В случае не вполне мнимых дедекиндовых колец арифметического типа этот результат дает явное описание всех надгрупп симплектической группы.

• Доказана теорема о независимости элементарной унитарной группы индекса Витта хотя бы три от выбора гиперболической пары над широким классом колец. Ранее подобные результаты были известны лишь в гиперболическом случае или для некоторых специальных типов унитарных групп.

• Получены аналог классической теоремы Витта о продолжении изометрии для форменных колец конечного стабильного ранга и вариант теоремы Витта о сокращении.

• Получены (частично совместно с Э. Баком и Г. Тангом) результаты о стабилизации младших унитарных /{"-функторов с лучшими оценками на момент стабилизации, чем имеющиеся в литературе.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в структурной теории линейных групп над кольцами. Материалы диссертации могут быть использованы при проведении спецкурсов и спецсеминаров по темам "Классические группы над кольцами" и "/¡"-теория классических групп".

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И. Боре-вича (Санкт-Петербург, 2002), на международной конференции 3rd Poznan Workshop in Transformation Groups (Познань, Польша, 2003), на международной конференции Topologie et K-Theorie Algébrique (Монпелье, Франция, 2005), на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре имени Д.К. Фаддеева, на семинарах Билефельдского университета (Билефельд, Германия, 2002, 2004) и университета Париж-13 (Париж, Франция, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [1]-[5]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (первая и третья содержат по четыре раздела, вторая — три раздела), заключения и списка литературы, содержащего -58 наименований. Общий объем работы — 129 страниц.

Содержание диссертации

Во введении излагается история вопроса, формулируется цель работы, излагаются методы исследований и описывается структура диссертации.

Первая глава посвящена изложению основ теории обобщенных унитарных групп в смысле Э. Бака, которая позволяет единообразно формулировать и доказывать результаты для большинства классических групп.

В первом разделе даются основные определения. Пусть Я — ассоциативное кольцо с единицей. Псевдоинволюцией на кольце Я называется аддитивное отображение а: Я Я, о\ т н->- х, удовлетворяющее условиям х — х и ху = у1~1х. Например, инволюция в обычном смысле является псевдоинволюцией Более общо, пусть Я снабжено аддитивным отображением т: Я —> Я, т: х х*, и обратимым элементом е такими, что (ху)* = у*х*, 1* = 1 и х** = ехе*. Тогда ст, определенное по формуле х — —х*е, является псевдоинволюцией. Обратно каждая псевдоинволюция а задает отображение г по формуле х* = и элемент р = — Т обладающие указанными свойствами.

Определим минимальный и максимальный форменные параметры следующим образом:

тш'(Л) = {х + х | х € Я}, т&х'Т(Я) = {ж € Я \ х = х}.

Форменным параметром называется аддитивная подгруппа Л кольца Я, удовлетворяющая следующим условиям:

пш1"(Я) С Л С тах<г(Л), х1~1Кх С Л для всех х € Я.

Пара (Я, Л) называется форменным кольцом. Если в Сеп1:(/?) есть элемент я такой, что в + обратим (например, если элемент 2 обратим), то т'т<Т(Я) = тах^Д), и существует только один форменный параметр.

Пусть V — правый 7?-модуль. Биаддитивная форма В: V х V —»■ Я называется полуторалинейной, если В{их,уу) — х\~1В{и,у)у для любых и,у Е V, х, у Е В. Полуторалинейная форма Н называется антиэрмитовой, если для любых и, г; € У выполнено равенство Н(и,и) = —Н(у,и).

Пусть Л форменный параметр. Л-квадратичной формой будем называть пару q = (Н,£2), состояющую из антиэрмитовой формы Я и отображения V -Л Я/Л таких, что:

() = х1

С}{и + у) = д(ы) + С}{у) + Н{и, v) + л,

Н(у, у) = а — а для любого а Е В такого, что (¿(у) = а + Л.

Форма Н обозначается через (•, -)д, а через | • Пара (V, д) называется квадратичным пространством над (Д,Л).

Векторы и, V из V называются ортогональными, если (и, у)ч = 0. Вектор и называется изотропным, если |м|? = 0.

Каждый вектор V £ V определяет линейную форму <р„ на V по правилу <ри(у) = (и,у)я. Тем самым определено полулинейное отображение из У в двойственный модуль V* = Нош/г (У, Я)- Квадратичное пространство называется невырожденным, если это отображение инъективно, и неособым, если оно биективно.

Кольцом возможных мультипликаторов называется подкольцо

ДА = {ц е Сеп^Д) | Д = /Л, цА С Л}.

Я-модульный гомоморфизм /: V V' между двумя квадратичными пространствами (V, ц) и (У,^) называется подобием, если существует такой элемент ц Е В.\ (мультипликатор /), что (/и, /у)? = ц{и,у)9 и \fv\q* = ц\у\ч для всех и,1) Е V. Изометрией называется подобие с мультипликатором 1. Если V содержит векторы и, у такие, что (и, у)ч не является делителем нуля, то мультипликатор отображения определен однозначно.

Унитарной группой (соответственно, полной унитарной группой) называется группа 1Т(У) биективных изометрий (соответственно, группа Си(У) биективных подобий) квадратичного пространства V на себя.

Пара векторов (в1, квадратичного пространства V называется гиперболической, если |р1|д = = 0 (т.е. е\ и е_1 изотропны) и (е1,е_1)д = 1.

Индекс Витта тс1(У) пространства V определяется как максимальное число содержащихся в нем попарно ортогональных гиперболических пар Прост-

ранство V называется гиперболическим ранга I, если в нем есть базис, состоящий из I попарно ортогональных гиперболических пар (таким образом, оно является свободным /^-модулем ранга 21 и его индекс Витта равен I). Гиперболическое пространство ранга 1 обозначается через ~Н.

Для любого квадратичного пространства V, содержащего векторы ?/, V такие, что (и,у)ч не является делителем нуля, определено вложение групп ви(У) —> Си(У ф Н), переводящее д в отображение д', действующее на V как д, а на % ' по формулам де1 = е1; де_] = е_!/х((/), где ц{д) — мультипликатор д. (еье_1) -гиперболический базис 'Н. Его ограничение на ЩУ) определяет также вложение ^

ЩУ) ->ЩУ®Н).

Унитарная группа (соответственно, полная унитарная группа) гиперболического пространства ранга I над форменным кольцом (Д. Л) тоже называется гиперболической и обозначается через 112/(Л,Л) (соответственно, СЦз^Д, Л)). Конструкция из предыдущего абзаца дает вложения СТ^Д, Л) —} Ои2/+2(Л, Л) и

ия(Д,Л) ии+2(Я,Л).

Во втором разделе определяются трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона, элементарная унитарная подгруппа и младшие унитарные К-функторы. Пусть и ии — векторы V, а а — элемент II такие, что = 0, (и, г>)9 = 0, = а + А. Трансвекцией Эйхлера-Зигеля-Диксона называется преобразование Тт,(а) пространства V, определенное по формуле Таь(ш) = ги + м1-1((г), и>)ч + а(и, и)я) + у(и,ю)я: такие преобразования являются элементами унитарной группы и (К).

Пусть (б1,е_1) — гиперболическая пара в пространстве V. Элементарной унитарной группой Еи(еье_1)(У) называется подгруппа унитарной группы Ч(У), порожденная всеми трансвекциями вида Те±1„(а), V ортогонален еу и ]г>|? = а+Л. Если пара е_х) фиксирована или ее выбор неважен, пишем просто Е1Т(У) вместо Еи(е11е_1)(У). В случае гиперболического пространства ранга I используется обозначение Е112/(Д,Л).

Множество с отмеченной точкой смежных классов и(У')/Еи(У) называется значением унитарного К]-функтора и обозначается через КЧх(V) (вообще говоря, оно зависит от выбора гиперболической пары). Аналогично определяется Кви^У) = Си(Т7)/ Еи(17). В случае гиперболического пространства используются обозначения Ки^ДД, Л) и КСП^г¡(К, Л).

Положим для удобства обозначений е, равным 1 при г = 1,...,/ и —Г-1

иначе. Определим следующие элементы Е112г(#, Л):

Тц{а) = Те_]Аае_,{0) = 0), » ф ±,\ а € Д;

7}-¡(а) = Ге1о(1ае,), а €

Они порождают группу Еи2;(Д, Л) и удовлетворяют некоторым коммутационным соотношениям (типа коммутационных формул Шевалле). Группа, заданная образующими Хц(а), подчиненными только этим соотношениям, называется унитарной группой Стейнберга ранга I и обозначается через ЭШггШ, Л). Определен естественный сюръективный гомоморфизм <р: ЗШ^/?,Л) —у ЕЦя (Я,Л), отправляющий в Т{3(а). Его ядро называется значением нестабильного унитарного Кч-функтора ранга I и обозначается через КИг^^-, Л).

В третьем разделе показывается, что классические группы могут рассматриваться как частные случаи обобщенной унитарной группы.

Ортогональная группа получается в случае, когда Я. коммутативно, псевдоинволюция а определена по формуле а(х) = —х. а в качестве форменного параметра берется Л = ггйп<г(й) = 0. В этом случае (Д, А)-квадратичная форма д — (Н, Сполностью определяется своей второй компонентной, (¡}, которая является квадратичной формой в обычном смысле (Н при этом будет ассоциированной с ней билинейной формой), и группа 1Т(У) совпадает с группой изометрий этой формы, т.е. с ортогональной группой

Симплсктичегкая группа возникает в случае коммутативного кольца Д, тождественной псевдоинволюции а = и форменного параметра Л = таха(й) = Я. В этом случае д полностью определяется своей первой компонентной Н, которая является знакопеременной формой, и группа II (V) совпадает с группой изометрий этой формы, т.е. с симплектической группой Бр(У,Н).

Пусть Я снабжено инволюцией г: х н* х* (в обычном смысле) и ¿-эрмитовой полуторалинейной (относительно т) формой Н (т.е. Я биаддитивна, Н(иа, уЬ) = а*Н(и,ь)Ь и Н(и,у) — —Н(у,и)*£ для всех £ V, а,Ь € Я)- Тогда на Я можно определить псевдоинволюцию а; х ь* х по формуле х = —х*е; Я будет полуторалинейной антиэрмитовой формой относительно а. Для любого и 6 У элемент Н(у,у) лежит в тхх."(Я)\ предположим, что выполнено более сильное условие, а именно, что любой такой элемент лежит в тт"(Я). В этом случае Н называется четпоб формой Предположим также, что V проективен. Тогда для любого форменного параметра А существует отображение Я/А такое, что пара

q = {Н,0) является А-квадратичной формой. Если выбрать А = тах"(#), то

группа и(У) будет совпадать с группой изометрий формы Н, т.е. с классической унитарной группой \](У,Н).

Четвертый раздел посвящен случаю полной линейной группы. Пусть В — произвольное ассоциативное кольцо, и рассмотрим кольцо В х В°р с покомпонентными операциями. На нем определена псевдоинволюция о: (х,у) I—> (—у, — х). При этом гшп"(В х В°р) = тах"(В х В°р) = {(о, -в) | а Е В}.

Пусть У — правый В-модулъ, V* = Ношд(У, Д) — двойственный к нему левый /?-модуль (т.е. правый Д°р-модуль). Таким образом, на У Ф У* естественным образом определена структура правого В х В°р-модуля. Далее, определим квадратичную форму д = (Н, С^) на Уф V* по формулам

Н((и,<р),(ь,г1,)) = (<р(ь),ф(и)),

Унитарная группа и(У фУ*) может быть отождествлена с полной линейной группой ОЬ(У): элементу д из СЬ( V) соответствует изометрия (г/, (дг)~1) пространства Уф У*. Естественное представление унитарной группы отвечает при этом отождествлении сумме естественного и контрагредиентного представлений полной линейной группы.

Далее в разделе рассматриваются элементарная группа Е(У), относительная элементарная группа Е(У, А), линейная группа Стейнберга Э^Я), и доказываются полезные леммы о порождении относительной элементарной подгруппы и относительной группы Стейнберга.

Во второй главе изучается "геометрия" унитарных групп (т.е. свойства действия группы на модуле естественного представления) и младшая унитарная К-теория.

Целью первого раздела является доказательство аналога классической теоремы Витта о продолжении изометрии. Для его формулировки потребуется понятие стабильного ранга форменного кольца.

Столбец (их,...,и,¡У из Вп называется унимодулярным, если левый идеал, порожденный его элементами, совпадает с В, т.е. Ящ + ... + В.ип = В. Кольцо В удовлетворяет условию 5„, если для любого унимодулярного столбца и = (щ,..., ип+1)1 высоты п + 1 существуют элементы а'1,..., хп из В такие, что столбец (и\ + х\ип+\,. ..,«„ + хпип+\)1 также унимодулярен. Условие 5„ влечет 5т при т > п, что позволяет определить стабильный ранг вг(В) как наименьшее

целое число п такое, что выполнено условие Бп (или бесконечность, если ни одно из этих условий не выполнено).

Удобный аналог этого понятия для форменного кольца бы п введен Баком и Тангом. Пусть (Л, Л) форменное кольцо. Будем говорить, что выполнено условие Лб'п, если выполнено условие 5П (т.о. яг(Я) < п), и для любого унимодулярного столбца и = («1,..., и„+ь«-п-ъ - • ■ >)' длины 2(п + 1) существует набор Ьу, 1 < г,_/ < п + 1 элементов i? таких, что Ьч = 16,-г € Л для всех г.

и столбец («'],...,и'п+1)1 унимодулярен, где и[ = иг + Условие Авп

влечет Л,5т при тп > п, так что можно определить зг(Д, Л) как наименьшее целое п такое, что выполнено условие Л5„. Бак и Танг показали, что зг(Л, Л) не превосходит абсолютного стабильного ранга аяг(Л) и унитарного стабильного ранга ивг(Д), которые ранее использовались Стейном, Кольстером, ван дер Калленом, Магурном и Васерштейном при доказательстве результатов о стабилизации.

Подпространство (т.е. й-подмодуль) V квадратичного пространства У назовем относительно неособым, если для любой Я-линейной формы <+> на II существует вектор г> Е У такой, что (у, и)ч — <р(и) для всех и £11.

Теорема 1. Пусть Ь\ и 11% — два изометричных свободных относительно неособых подпространства V, причем пкЦУ) > (Пт({/1) +8г(Л,Л). Тогда существует элементарная изометрия пространства V на себя (т.е. элемент Е1)(У)), переводящая 11\ в 11-2 и продолжающая данную изометрию между ними.

Во втором разделе доказаны следующие результаты о стабилизации младших унитарных К-функторов и аналог теоремы Витта о сокращении:

Теорема 2. Пусть У и У — квадратичные пространства, и — неособое квадратичное пространство, являющееся конечнопорожденным проективным модулем, такие, что У 0 и ~ У 0 {7, причем тс!(У) > вг(Д, Л). Тогда У

Теорема 3. Пусть тс1(У) > вг(Д,Л). Тогда имеют мест,о разложения

ви(У © п) = етду ® н) си(У), и(у е и) = Еи(у ® н) и(У).

Следствие. При тс1(У) > вг(Д, Л) естественные отображения

КОиг(У) квщу ф Н), ких(У) -»■ ки^у ® Н)

сюръективны. В частности, при 1 > вг(Д, Л) отображения

ксии/(д,Л) ->■ кси1,я+2(Д,Л), ки!,2((я,Л) ки11Я+2(Д,Л)

сюръективны.

Теорема 4. Пусть тс1( V) > 8г(Л, Л) +1. Тогда

Е17(У ФИ)П Си(У) = Е11(У). Следствие 1. При тс1(У) > 8г(Д,Л) + 1 естественные отображения

юэду) кви^у е п), ких(У) кьтх(у ф н)

являются изоморфизмами. В частности, при I > вг(Д, Л) + 1 отображения

КОЦ^^А) -> кси1>2;+2(д,л), ки1>2/(д,л) ->• Ки^+^Д. Л)

являются изоморфизмами.

Следствие 2. При тс!(У) > вг(Д, Л) + 1 естественное отображение

является изоморфизмом для любого неособого пространства II, являющегося конечнопорожденным проективным ¡{-модулем.

Следствие 3. Пусть V — неособое квадратичное пространство, являющееся конечнопорожденным проективным И-модулем, ш(1(У) > бг(Д, Л) + 1. Тогда КЦх(У) ~ KT.Ii(Л,Л), где правая часть означает индуктивный предел групп Ких^Я, А) по всем I. В частности, К11х(У) абелева.

Теорема 5. Пусть п > яг(Д, Л) + 1. Тогда естественное отображение

ки2(2п(д,л) ки2>2п+2(д,л)

сюръективно.

Целью третьего раздела является доказательство результата о независимости элементарной унитарной группы от выбора гиперболической пары. Доказательство проводится локализацией, а на локальном уровне существенно используется Теорема 3. Поэтому условие естественно формулировать в терминах индексов пространств, полученных локализацией Более точно, будем писать 1-тс1(У) >

тах(1чг(й, Л) + к, п). если существуют подкольцо Щ С Дгшп»(я) и набор мультипликативных систем 5т С В \ ш, параметризованных максимальными идеалами ш кольца Во, такие, что для всех ш выполнено неравенство тс!(5~'У) > тах(8г(5~1Л, 5~ХЛ) -(- к, п). Будем писать 1-тс1-Г(У) > тах(1зг(7?, Л) + к, п), если к тому же кольца эндоморфизмов модулей З^У являются слабо 1 -конечными (т.е. односторонне обратимые элементы в них обратимы).

Теорема 6. Пусть 1-т<1(У) > тах(1зг(Д,Л) + 1,3). Тогда Еи^^ДУ) не зависит от выбора гиперболической пары (Р1,е_1). В частности, она нормальна

в СТДУ).

Следствие. Пусть В — почти коммутативное кольцо, тс1(У) > 3. Тогда выполнено заключение Теоремы 6.

При доказательстве результата существенно используется унитарная Кивере и я Леммы Квиллена-Суслина. Ее линейная версия была использована Сусли-ным при изучении Кх-функтора от кольца многочленов, а Ко-версия послужила ключевым шагом в доказательстве Квилленом проблемы Серра.

Третья глава посвящена описанию надгрупп элементарной унитарной группы в естественном представлении. Оказывается, что это описание является веерным в смысле школы Боревича, т.е. для каждой надгруппы Н существует некоторая (однозначно определенная) базовая подгруппа такая, что Н содержит ее и содержится в ее нормализаторе.

В первом разделе определены базовые подгруппы и вычислены их нормализаторы. Для параметризации базовых подгрупп используется (введенное автором) понятие идеального форменного параметра А именно, идеальным форменным параметром называется пара (А,Г), состоящая из двустороннего идеала А, устойчивого относительно псевдоинволюции, и аддитивной подгруппы Г кольца В, содержащей А + тта(/?) и такой, что Г/А является форменным параметром кольца В/А.

Элементарной линейно-унитарной группой уровня (А, Г) называется подгруппа ЕЕи(У. А, Г) группы вЦУ), порожденная ЕЩУ) и всеми элементами вида te±l:Va, v ортогонален {е\,е-\). а € А, и вида 1е±ие±1С. с £ Г. Здесь через tnv обозначается линейная трансвекция, т.е. преобразование, переводящее го в и> + и(ь, и>)ч. Элементарные линейно-унитарные группы будут служить базовыми подгруппами в веерном описании.

Линейно-унитарной конгруэнц-подгруппой ССи(У, А, Г) уровня {А, Г) называется прообраз полной унитарной группы Си(У/VА) относительно гомомор-

физмаредукдии р: СЬ(У) —> СЦУ/ХМ). Здесь У/УА рассматривается как квадратичное пространство над форменным кольцом (Я/А,Т/А).

Основным результатом раздела является следующая теорема:

Теорема 7. Предположим, что

Игк1(У) > тах(кг(Д, Л) + 1,3), \-тА{\'/УА) > тах(1яг(Л/Ч Т/А) + 1,3).

Тогда ССи(У,Л,Г) является нормализатором ЕЕ11( V, А, Г) в вЦУ).

Второй раздел содержит ядро доказательства основного результата: именно, там показывается, что надгруппа ЕТ1(У), не содержащаяся в Си(У), содержит линейную траисвекцию. Доказательство проводится локализацией; на локальном уровне существенно используется Теорема 1.

В третьем разделе с использованием техники "редукции по уровню" доказан основной результат диссертации:

Теорема 8. Пусть V - неособое квадратичное пространство, конечнопо-рожденное как П-модулъ, такое, что дм любого идеала А кольца Я, устойчивого относительно псевдоинволюции, выполнено неравенство

1-ш<1 -{(У/УА) > шах(18г(й/А, Л 4- А/А) + 2,4).

Тогда для каждой надгруппы Н группы Е11(У) в вЬ(У) существует единственный идеальный форменный параметр (А,Г), содержащий (О,Л); такой, что

ЕЕи(У, А, Г) < Я < ССи(У,А,Г).

Следствие. Пусть К — почти коммутативное кольцо либо кольцо абсолютного стабильного ранга 1 (например, полулокальное), V — неособое квадратичное пространство, являющееся конечнопорожденным проективным Н-мо- | дулем, шс1(У) > 4. Тогда выполнено заключение Теоремы 8.

Применение этого результата к частным случаям ортогональной и симплек-тической группы немедленно дает Теорему 9 и Теорему 10. Мы не приводим здесь их формулировки из-за ограниченности объема настоящего автореферата. Отметим лишь, что в описании надгрупп симлектической группы задействованы только идеалы (поскольку в этом случае пара (А, Г) полностью определяется А); для ортогональной группы это верно лишь в предположении обратимости 2.

Интересно отмстить, что в случае полной линейной группы (которая, как было показано, может рассматриваться как частный случай обобщенной унитарной группы) основной результат совпадаег с известной теоремой Уилсона-Голубчика

0 нормальном строении полной линейной группы (Теорема 11).

Четвертый раздел посвяшен изучению факторов нормализаторов базисных подгрупп ССи(У. А,Г) по самим базисным подгруппам ЕЕЩУ, А,Г). Эти факторы обозначаются через ККви^У, А, Г) (поскольку их поведение действительно схоже с поведением нестабильных К-функторов). "Забывающий" гомоморфизм Г и отображение редукции р по модулю идеала А индуцируют сюръектив-ное отображение

тг: ККСЪМ^Г^МУ) хК1(^л) КСи^У/УА).

Оказывается, чго в некоторых случаях 7г является изоморфизмом'

Теорема 12. Пусть выполнены условия Теоремы 7, и естественное отображение К^У, А) —> Ьч(У) имеет тривиальное ядро (другими словами, СЬ(У, Л)П Е(У) = Е(У, А)). Тогда п шомо^изм.

В формулировке теоремы в тексте диссертации используются несколько более слабые, но более громоздкие условия.

В гиперболическом случае доказан также более точный результат:

Теорема 13. Пусть 1 > 3. Тогда имеет место коммутативная диаграмма с точными строками:

ККи2 2,(Я,Л,Г) —(Я/Л,Т/А) —К, |2,(Я, Л) —'—^ККОи,^,(Я,А,Г)—^-*Каи, 2,(Я/Х,Г/Д)

I' 1' II I' 1'

Ка,м(Н)---- К2,я(Я/А)---*К,,2,(Н,А)--->-К1л(Л)---К,,2,(Я/А).

В диссертации отмечается (без доказательства), что строки этой диаграммы могут быть рассмотрены как части длинных точных последовательностей групп гомотопий расслоений некоторых симплициальных пространств (пространств Володина), и поэтому могут быть продолжены до бесконечности влево.

В конце раздела приводится применение полученных результатов к числовым кольцам. Пусть К — глобальное поле, — некоторое непустое конечное множество (классов эквивалентности) абсолютных значений на К, содержащее все архимедовы абсолютные значения. Тогда множество Л = {г € К | |г|„ <

1 для всех | • ¡!, ^ 5«} является подкольцом в К и называется дедекиндовым кольцом арифметического типа.

Предположим, что R — дедекиндово кольцо арифметического типа, не являющееся вполне мнимым (т.е. кольцом целых во вполне мнимом числовом поле). \ Пусть А — идеал R: определим абелеву группу МА следующим образом:

МА = {(d, m) I d € R*, m € (R/A)*, ml = d + A}.

Для любой подгруппы M < Ma определим группу

Ни = {д 6 GUj(R) | р(д) е GSp2/(i?M), (det(5),M/K</))) 6 М}

(где р означает гомоморфизм редукции по модулю А). Тогда Нм является над-группой симплектической группы Sp2;(i?) в полной линейной группе GL2i(ii). С использованием полученных результатов и результата Басса, Милнора и Серра о тривиальности приведенного относительного K-функтора в диссертации доказывается, что любая надгруппа Sp2;(i?) в GL2i(R) имеет вид Нм для некоторых однозначно определенных идеала А и подгруппы М в

В заключении перечисляются основные результаты, полученные в диссертации.

Работы автора по теме диссертации

[1] Вавилов H.A., Петров В.А. О надгруппах EO(2l,R) // Зап. Научн. Сем. ПОМИ. - 2000. - т. 272. - с. 68 -85.

[2] Вавилов H.A., Петров В.А. О надгруппах Ep(2l, R) // Алгебра и Анализ. — 2003. - т. 15. - по. 4. - с. 72-114.

[3] Петров В.А. Нечетные унитарные группы // Зап. Научн. Сем. ПОМИ. — 2003. - т. 305. - с. 195-225.

[4] Petrov V. Overgroups of unitary groups // K-Theory. — 2003. — vol. 29. - > no. 3. pp. 147-174.

[5] Bak A., Petrov V., Tang G. Stability for quadratic Kx // K-Theory. - 2003. -vol. 29. - no. 1. - pp. 1-11.

/

Отпечатано в ООО «Копи-Р». С-Пб. ул. Пестеля, 11 Тел.: 272-30-36,275-78-92. • Объём п.л. 1 Формат 84х 16 Заказ № 19 Подписано в печать 02 11 05 Тираж 100 экз.

»24 О 64

РНБ Русский фонд

2006z4 26181

Содержание.

Введение.

Глава 1. Обобщенные унитарные группы.

1.1. Определение унитарных групп.

1.1.1 Псевдоинволюции и форменные параметры.

1.1.2 Квадратичные формы.

1.1.3 Изометрии и унитарная группа.

1.1.4 Гиперболические пространства и группы.

1.2. Элементарная подгруппа.

1.2.1 Трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона.

1.2.2 Элементарная подгруппа и KUi

1.2.3 Гиперболический случай. Группа Стейнберга и KU

1.3. Классические группы как унитарные.

1.3.Г Ортогональная группа.

1.3.2 Симплектическая группа.

1.3.3 Классическая унитарная группа.

1.4. Случай полной линейной группы.

1.4.1 Полная линейная группа как унитарная.

1.4.2 Лемма Титса.

1.4.3 Группа Стейнберга и Кг.

Глава 2. Геометрия и К-теория унитарных групп.

2.1. Теорема Витта.

2.1.1 Стабильные ранги.

2.1.2 Теорема Витта.

2.2. Стабилизация младших К-функторов.

2.2.1 Теорема о сокращении.

2.2.2 Сюръективная стабилизация KUi

2.2.3 Инъективная стабилизация KUi.

2.2.4 Сюръективная стабилизация KU

2.3. Инвариантность элементарной подгруппы.

2.3.1 Локализация.

2.3.2 Лемма Квиллена-Суслина.

2.3.3 Доказательство инвариантности.

2.3.4 Инвариантность относительной элементарной подгруппы

Глава 3. Описание надгрупп.

3.1. Линейно-унитарные группы.

3.1.1 Определение линейно-унитарных групп.

3.1.2 Линейно-унитарная группа Стейнберга и KKU

3.1.3 Линейно-унитарная и относительная элементарная группы

3.1.4 Вычисление нормализаторов.

3.1.5 Порождение линейно-унитарной группы трансвекцией

3.2. Извлечение трансвекций.

3.2.1 Извлечение на локальном уровне.

3.2.2 Подъем трансвекций.

3.3. Веерное описание надгрупп

3.3.1 Формулировка основного результата.

3.3.2 Случай ортогональной группы.

3.3.3 Случай симплектической группы.

3.3.4 Теорема Уилсона-Голубчика.

3.4. Вычисление факторов.

3.4.1 Точная последовательность К-функторов.

3.4.2 Применение к числовым кольцам.

Изучение классических групп восходит ко второй половине XIX в. Над полем комплексных чисел и конечными полями классические группы систематически изучались Фробениусом, Жорданом и Диксоном. В связи с применением к теории квадратичных форм Витт исследовал ортогональные группы над произвольными полями. В различных аспектах классические группы над произвольными полями изучались Шрайером и ван дер Вар-деном. Вей ль развил теорию представлений и теорию инвариантов классических групп; ему же принадлежит сам термин "классическая группа". Дьедонне перенес большую часть конструкций и результатов на случай тел.

Структурная теория классических групп над полями (или телами) изложена в книгах [1] и [17]. Основными ее результатами являются теоремы о порождении классических групп элементами простого вида (отражениями и трансвекциями), теоремы о продолжении изометрий и сокращении, теоремы о простоте присоединенных классических групп.

Первые результаты о строении решетки подгрупп классических групп были получены в контексте теории алгебраических групп с использованием методов алгебраической геометрии. Титсом были описаны параболические подгруппы (т.е. надгруппы борелевских групп), а Борелем и Титсом — над-группы тора над алгебраически замкнутым полем. Позже эти результаты были перенесены на случай конечных полей Зейцем, а в случае бесконечных полей получены Боревичем, Вавиловым, Дыбковой, Койбаевым, Кингом и др.

Интенсивное изучение решетки подгрупп было инициировано работой Ашбахера [26], в которой дается подход к задаче описания максимальных подгрупп классических групп над конечным полем. Именно, он выделил восемь классов подгрупп C\-Cg (например, стабилизаторы подпространств естественного представления, его разложений в прямую сумму и тензорное произведение и т.п.) таких, что каждая максимальная подгруппа попадает либо в один из этих классов, либо в класс S, состоящий из почти простых групп в неприводимых представлениях. Вопрос о том, какие подгруппы из классов С\-С$ действительно являются максимальными (над конечным полем), был полностью решен Клейдманом и Либеком в [41] (с использованием Классификации конечных простых групп).

Нас будет особенно интересовать класс состоящий из нормализаторов одной классической группы в другой (например, любой классической группы в полной линейной группе или ортогональной группы в симплекти-ческой в случае характеристики два). Возникает естественный вопрос: для каких полей такой нормализатор максимален? Ответ был частично получен в работах Дая [35, 36].

Более общий вопрос о решетке всех надгрупп классической группы в естественном представлении над полем изучался Кингом в [39,40] и был полностью решен (для изотропных групп) в работе Ли Шанчжи [43]. А именно, в случае поля характеристики не два каждая надгруппа либо содержится в нормализаторе классической группы, либо содержит специальную линейную группу. Для ортогональной группы в характеристике два ответ выглядит сложнее: в формулировке возникают векторные ^-подпространства в основном поле К.

Башкировым были получены более сильные результаты о надгруппах классической группы над полем в полной линейной группе над алгебраическим расширением этого поля ([4, 5, б, 7, 8]).

До сих пор речь шла о классических группах над полем (или телом). Однако примерно с 1960-х годов стало ясно, что при решении многих вопросов необходимо рассматривать классические группы над кольцами, в том числе некоммутативными. В теории арифметических групп фундаментальную роль играют классические группы над кольцом целых и над кольцом аделей глобального поля. Уайтхедом был введен инвариант, измеряющий "сложность" гомотопической экивалентности CW-комплексов, со значением в полной линейной группе кольца Z[7r] (где ж — фундаментальная группа) по модулю элементарной подгруппы, т.е., на современном языке, в Ki(Z[7r]) (точнее, в факторгруппе последней группы по образу ±7г). Группа "неочевидных" соотношений между образующими элементарной подгруппы над тем же кольцом Щк] (т.е. К.2(Щтг])) имеет большое значение в теории псев-доизотопий многообразий. Унитарные аналоги этих групп возникают при изучении перестроек многообразий (между прочим, это побудило Уолла обобщить определение унитарной группы в работе [56]).

Все эти конструкции в сочетании с идеями, пришедшими из теории векторных расслоений и ее алгебраического аналога, привели к рождению алгебраической К-теории. Начальный этап ее развития подытожен в монографии Басса [3] и более популярной книге Милнора [20]. Значительными результатами теории являются теоремы о стабилизации К-функторов, показывающие, что поведение полной линейной группы над кольцом становится "стандартным" как только ее ранг достигает некоторого числа, называемого стабильным рангом кольца (определенного в элементарных теоретико-кольцевых терминах). Наиболее важным структурным результатом, полученным Бассом, является теорема о нормальном строении полной линейной группы на стабильном уровне (т.е. когда ранг группы превышает стабильный ранг кольца).

Теория Басса была перенесена на случай других классических групп Баком ([28, 27]); им же было предложено удобное определение обобщенной унитарной (или квадратичной) группы, которое позволяет единообразно доказывать результаты для почти всех классических групп. Это определение (с небольшими модификациями) и используется в настоящей работе.

Вместо стабильного ранга Баком использовалось намного более сильное условие на размерность Басса-Серра кольца; это побудило многих авторов к поиску более адекватного аналога стабильного ранга для классических групп. В работах Стейна, Магурна, ван дер Каллена и Васерштейна использовался абсолютный стабильный ранг, Кольстера — унитарный стабильный ранг. В настоящей работе используется более удобное понятие стабильного ранга форменного кольца, введенное Баком и Тангом в [30] (под названием A-stable range condition), позволяющее давать более точные оценки на момент стабилизации.

Новый этап в развитии структурной теории линейных групп над кольцами начался с результатов Суслина о нормальности элементарной подгруппы над произвольным коммутативным кольцом (см. [24]) и Уилсона и Голубчика о нормальной структуре полной линейной группы над коммутативным кольцом ([13, 57]). Оказалось, что над коммутативными кольцами многие структурные результаты верны не только на стабильном уровне, но и начиная с некоторого фиксированного ранга (три для полной линейной группы).

В работе [54] Васерштейн получил совместное обобщение результатов Басса и Уилсона-Голубчика. Оказалось, что для доказательства структурных теорем достаточно требовать выполнения условия на стабильный ранг для локализаций базового кольца. Успех в случае коммутативных колец объясняется тем, что локальные кольца имеют стабильный ранг один. Эта техника была затем значительно развита Голубчиком, Михалевым, Хлебути-ным (см., например, [14, 15, 25]) благодаря использованию некоммутативных локализаций.

На другие классические группы эти результаты были перенесены Ко-пейко, Таддеи, а в контексте групп Шевалле — Абе и Васерштейном. Для гиперболических унитарных групп в смысле определения Бака они были доказаны Васерштейном и Ю Хонгом [55], Баком и Вавиловым [31]. Новое доказательство структурных теорем, основанное на технике разложения трансвекций, а также хороший обзор по этой теме содержится в работе

Степанова и Вавилова [52].

Среди других результатов о строении классических групп над кольцами следует упомянуть описание надгрупп группы блочно-диагональных матриц над коммутативным кольцом, полученное Боревичем и Вавиловым и перенесенное Вавиловым на случай других классических групп.

Наконец, совсем недавно появились работы [58] и [44], в которых получено описание надгрупп симплектических групп над локальными и евклидовыми кольцами.

Цель настоящей работы — дать описание надгрупп классических групп в естественном представлении над классом колец, включающем почти коммутативные кольца. При этом случаи различных классических групп рассматриваются единообразно с использованием понятия обобщенной унитарной группы Бака.

Полученное автором описание является веерным в смысле школы Боре-вича. Это означает, что для каждой надгруппы Н существует единственная базовая подгруппа (а именно, элементарная линейно-унитарная подгруппа уровня (А, Г), где (А, Г) — некоторый идеальный форменный параметр, см. параграф 3.1.1) такая, что Н лежит между этой базовой подгруппой и ее нормализатором в полной линейной группе (который совпадает с линейно-унитарной конгруэнц-подгруппой того же уровня).

Опишем вкратце используемую технику. Стандартным приемом "редукции по уровню" задача сводится к задаче отыскания линейных транс-векций в подгруппе, содержащей классическую группу и не содержащейся в ее нормализаторе (параграфы 3.3.1 и 3.2.2). Метод локализации в сочетании с несложным фактом о ядре гомоморфизма локализации позволяет глобализовать решение, полученное в локальном случае (параграф 3.2.2). Локальный случай разбирается с использованием геометрических соображений (параграф 3.2.1), в частности, аналога теоремы Витта о продолжении изометрии, доказанного в разделе 2.1.

При вычислении нормализатора базисной подгруппы (параграф 3.1.4) существенно используется, помимо прочего, результат о нормальности элементарной унитарной группы. Поскольку ранее он был получен только в гиперболическом случае (или для некоторых специальных видов классических групп), мы приводим доказательство этого результата в нужной нам общности в разделе 2.3. Более того, мы показываем, что элементарная подгруппа не зависит от выбора гиперболической пары. Доказательство использует стандартную технику локализации (см., например, [55]); при этом на локальном уровне используется результат о сюръективной стабилизации KUi-функтора (параграф 2.2.2), а при глобализации существенно используется KUi-аналог Леммы Квиллена-Суслина (параграф 2.3.2).

Веерное описание само по себе дает большую информацию о решетке надгрупп; однако для получения окончательного результата необходимо вычислить факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам. В параграфе 3.4.1 выведена точная последовательность, связывающая эти факторы с линейными и унитарными К-функторами. Эвристически она была получена с использованием теории гомотопий симплици-альных множеств (являющихся вариантами пространств Володина), однако, чтобы не перегружать работу изложением этой техники, автор предпочел дать элементарное доказательство. Полученный результат в сочетании с результатом Басса-Милнора-Серра о тривиальности относительного SKi для дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) позволяет дать, например, явное описание всех надгрупп симплектической группы над такими кольцами (параграф 3.4.2). Этим еще раз подтверждается связь структурной теории классических групп над кольцами с алгебраической К-теорией, которая прослеживается с самого возникновения обеих теорий.

Перейдем к описанию структуры работы. Первая глава посвящена изложению основ теории обобщенных унитарных групп в смысле Бака. Мы следуем работам [31] и [37] с небольшими модификациями. В разделе 1.1 дается определение форменных параметров и обобщенных унитарных групп. В разделе 1.2 определены трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона (играющие ту же роль, что линейные трансвекции в случае полной линейной группы) и элементарная унитарная подгруппа. В разделе 1.3 показано, что классические группы являются частными случаями унитарных. Особое внимание уделено полной линейной группе, которой посвящен раздел 1.4.

Во второй главе изучается "геометрия" унитарных групп (т.е. свойства действия группы на модуле естественного представления) и младшая унитарная К-теория (т.е. вопросы о факторе унитарной группы по ее элементарной подгруппе и о нетривиальных соотношениях между трансвекциями). В разделе 2.1 вводится понятие стабильного ранга форменного кольца и доказывается аналог теоремы Витта о продолжении изометрии. В разделе 2.2 доказываются теоремы о стабилизации KUi и KU2, а также аналог теоремы Витта о сокращении. В разделе 2.3 устанавливается (при некоторых предположениях) независимость элементарной унитарной группы от выбора гиперболической пары.

Основному вопросу об описании надгрупп классической группы в естественном представлении посвящена третья глава. В разделе 3.1 определяются элементарные линейно-унитарные группы (являющиеся базисными для веерного описания) и линейно-унитарные конгруэнц-подгруппы, доказывается, что последние являются нормализаторами первых. Ядром доказательства основного результата является раздел 3.2; именно, там показывается, что надгруппа унитарной группы, не содержащаяся в нормализаторе последней, содержит линейную трансвекцию. Веерное описание надгрупп дается в разделе 3.3; там же рассматриваются частные случаи ортогональной и симплектической группы и полной линейной группы в представлении, являющемся суммой естественного и контрагредиентного (интересно отметить, что в последнем случае основной результат совпадает с теоремой Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы). Вычислению факторов нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам посвящен раздел 3.4; в качестве примера дается полное описание надгрупп симплектической группы над не вполне мнимым деде-киндовым кольцом арифметического типа.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в работе.

Содержание диссертации отражено в работах автора [9, 10] (совместно с Н.А. Вавиловым), [21, 47], [29] (совместно с Э. Баком и Г. Тангом).

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в работе.

• Получено "веерное" описание надгрупп классических групп в естественном представлении над широким классом колец, включающем почти коммутативные и полулокальные кольца (Теорема 8 и Следствие из нее, Теоремы 9 и 10). При этом для базисных подгрупп (EEU(V, А, Г) в наших обозначениях) заданы явные образующие, а элементы нормализаторов базисных подгрупп (CGU(V, А, Г) по Теореме 7) задаются явными сравнениями по модулю идеала А. Интересным частным случаем полученного результата является теорема Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы (Теорема 11).

• Выведена точная последовательность, связывающая факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам с линейными и унитарными нестабильными К-функторами (Теоремы 12 и 13). В случае дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) этот результат в комбинации с результатом Бас-са, Милнора и Серра о тривиальности относительного SKi дает явное описание всех надгрупп симплектической группы в простых арифметических терминах (параграф 3.4.2).

• Доказана теорема о независимости элементарной унитарной группы индекса Витта хотя бы три от выбора гиперболической пары над широким классом колец (Теорема 6 и Следствие из нее). Ранее подобные результаты были известны лишь в гиперболическом случае или для некоторых специальных типов унитарных групп.

• Получен аналог классической теоремы Витта о продолжении изометрии для форменных колец конечного стабильного ранга (Теорема 1), а также доказан вариант теоремы Витта о сокращении (Теорема 2).

• Получены (частично совместно с Э. Баком и Г. Тангом) результаты о стабилизации младших унитарных К-функторов с лучшими оценками на момент стабилизации, чем имеющиеся в литературе (Теорема 3 и Следствие из нее, Теорема 4 и Следствия из нее, Теорема 5).

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969. — 285 с.

2. Ба М.С., Боревич З.И. О расположении промежуточных подгрупп // Кольца и линейные группы. — Кубанский государственный университет. — 1988. с. 14-41.

3. Басс X. Алгебраическая if-теория. — М.: Мир, 1973. — 591 с.

4. Башкиров E.JI. Линейные группы, содержащие специальную унитарную группу ненулевого индекса // Вести АН БССР, Сер. Физ-мат. Наук. 1985. - по. 5. - с. 122-123.

5. Башкиров Е.Л. Линейные группы, содержащие симплектическую группу // Вести АН БССР, Сер. Физ-мат. Наук. —1987. — по. 3. — с. 116-117.

6. Башкиров Е.Л. Линейные группы, содержащие группу Spn(K) над полем характеристики 2 // Вести АН БССР, Сер. Физ-мат. Наук. — 1991.по. 4. — с. 21-26.

7. Башкиров Е.Л. Линейные группы, содержащие коммутант ортогональной группы индекса большего 1 // Сиб. Мат. Журн. — 1992. — т. 33. — по. 5. — с. 754-759.

8. Башкиров Е.Л. О подгруппах полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу // Сиб. Мат. Журн. 1998. - т. 39. - по. 6. - с. 1251-1266.

9. Вавилов Н.А., Петров В.А. О надгруппах EO(2l, R) // Зап. Научн. Сем. ПОМИ. 2000. - т. 272. - с. 68-85.

10. Вавилов Н.А., Петров В.А. О надгруппах Ep(2l,R) j j Алгебра и Анализ. — 2003. — т. 15. — по. 4. — с. 72-114.

11. Васерштейн Л.Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функц. Анализ и его приложения. — 1971. — т. 5.- с. 102-110.

12. Васерштейн J1.H. О стабилизации для ^-функтора Милнора // Успехи Мат. Наук. — 1975. — т. 30. — no. 1. — с. 224.

13. Голубчик И.З. О полной линейной группе над ассоциативным кольцом // Успехи Мат. Наук. — 1973. т. 28. — по. 3. — с. 179-180.

14. Голубчик И.З. О подгруппах полной линейной группы GLn(R) над ассоциативным кольцом R // Успехи Мат. Наук. — 1984. — т. 39. — no. 1.- с. 125-126.

15. Голубчик И.З., Михалев А.В. О группе элементарных матриц над PI-кольцами // Исследования по алгебре. — Тбилиси, 1985. — с. 20-24.

16. Голубчик И.З., Михалев А.В. Элементарная подгруппа унитарной группы над PI-кольцом // Вестник Моск. ун-та, Сер. I Мат. Мех. — 1985. — no. 1. с. 30-36.

17. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. — М.: Мир, 1974. — 204 с.

18. Клейн И.С., Михалев А.В. Ортогональная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией // Алгебра и Логика. — 1970. — т. 9. — по. 2. — с. 145-166.

19. Клейн И.С., Михалев А.В. Унитарная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией // Алгебра и Логика. — 1970. — т. 9. — по. 5. — с. 510-519.

20. Милнор Дж. Введение в алгебраическую if-теорию. — М.: Мир, 1974.- 196 с.

21. Петров В.А. Нечетные унитарные группы // Зап. Научн. Сем. ПОМИ.- 2003. т. 305. - с. 195-225.

22. Плоткин Е.Б. Сюръективная стабилизация -Кгфунктора для некоторых исключительных групп Шевалле // Зап. Научн. Сем. ЛОМИ. — 1991. т. 198. - с. 65-88.

23. Суслин А.А., Туленбаев М.С. Теорема о стабилизации для ^-функтора Милнора // Зап. Научн. Сем. ЛОМИ. 1976. - т. 64. - с. 131-152.

24. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов // Изв. АН СССР, Сер. Мат. — 1977. — т. 41. — по. 2. — с. 235-252.

25. Хлебутин С.Г. Достаточные условия нормальности для подгруппы элементарных матриц // Успехи Мат. Наук. — 1984. — т. 39. — по. 3. — с. 245-246.

26. Aschbacher М. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. 1984. — vol. 76. — no. 3. — pp. 469-514.

27. Bak A. The stable structure of quadratic modules. — Thesis. — Columbia University, 1969. — 121 p.

28. Bak A. .ftT-theory of forms. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1981.

29. Bak A., Petrov V., Tang G. Stability for quadratic Кг // K-Theory. — 2003. vol. 29. — no. 1. — pp. 1-11.

30. Bak A., Tang G. Stability for Hermitian K\ // J. Pure Appl. Algebra. — 2000. vol. 150. - pp. 107-121.

31. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups I: Elementary subgroups // Algebra Colloq. — 2000. — vol. 7. — no. 2. — pp. 159-196.

32. Bass H., Milnor J., Serre J.-P. Solution of the congruence subgroup problem for SLn (n > 3) and Sp2n (n > 2) // Publ. Math. IHES. 1967. — vol. 33.pp. 59-137.

33. Costa D., Keller G. The E(2,A) sections of SL(2, A) // Ann. of Math. -1991. vol. 134. - pp. 159-188.

34. Dennis R.K. Surjective stability for the functor K2 // Lect. Notes in Math.1973. — vol. 353. — pp. 85-94.

35. Dye R. Maximal subgroups of GL2n(K), SL2n(K), PGL2n(K) and PSL2n(K) associated with symplectic polarities j j J. Algebra. — 1980.vol. 66. — pp. 1-11.

36. Dye R. On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two // Math. Z. — 1980. — vol. 172. — pp. 203-212.

37. Hahn A.J., O'Meara O.T. The classical groups and JC-theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1989. — 576 p.

38. Kallen W. van der, Magurn В., Vaserstein L.N. Absolute stable rank and Witt cancellation for non-commutative rings // Invent. Math. — 1988. — vol. 91. pp. 525-542.

39. King O. On subgroups of the special linear group containing the special orthogonal group // J. Algebra. — 1985. — vol. 96. — pp. 178-193.

40. King 0. On subgroups of the special linear group containing the special unitary group // Geom. Dedicata. — 1985. — vol. 19. — pp. 297-310.

41. Kleidman P., Liebeck M.W. The subgroup structure of the finite classical groups. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. — 303 p.

42. Knus M.-A. Quadratic and Hermitian forms over rings. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

43. Li Sh. Overgroups of SU(n,K,f) or Q(n,K,Q) in GL(n, K) // Geom. Dedicata. — 1990. — vol. 33. — pp. 241-250.

44. Li Sh., Wei Z. Overgroups of a symplectic group in a linear group over a euclidean ring // J. Univ. Science and Technology of China. — 2002. — vol. 32. — no. 2. — pp. 127-134.

45. Magurn B. An algebraic introduction to if-theory. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. — 676 p.

46. Mustafa-Zade N.M. On epimorphic stability of a unitary i^-functor // Russian Math. Surveys. — 1980. — vol. 35. — no. 6. — pp. 99-100.

47. Petrov V. Overgroups of unitary groups // K-Theory. — 2003. — vol. 29. — no. 3. — pp. 147-174.

48. Quillen D. Projective modules over polynomial rings // Invent. Math. — 1976. vol. 36. - pp. 167-171.

49. Stafford J.T. Absolute stable rank and quadratic forms over non-commutative rings // K-Theory. — 1990. — vol. 4. — pp. 121-130.

50. Stein M.R. Relativizing functors on rings and algebraic if-theory // J. Algebra. — 1971. vol. 19. — no. 1. — pp. 140-152.

51. Stein M.R. Stability theorems for K\, K2 and related functors modeled on Chevalley groups // Japan. J. Math. — 1978. — vol. 4. — no. 1. — pp. 77108.

52. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // K-Theory. 2000. - vol. 19. - pp. 109-153.

53. Tits J. Systёmes ge^rateurs de groupes de congruence // C. R. Acad. Sci. Paris Sdr. A-B. 1976. — vol. 283. - no. 9. — pp. 693-695.

54. Vaserstein L.N. On the normal subgroups of the GLn of a ring j j Springer Lecture Notes Math. — 1981. — vol. 854. — pp. 454-465.

55. Vaserstein L.N., You H. Normal subgroups of classical groups over rings // J. Pure Appl. Algebra. — 1995. — vol. 105. — no. 1. — pp. 93-106.

56. Wall C.T.C. On the axiomatic foundation of the theory of Hermitian forms // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1970. — vol. 67. — pp. 243-250.

57. Wilson J.S. The normal and subnormal structure of general linear groups // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1972. — vol. 71. — pp. 163-177.

58. You H., Zheng B. Overgroups of symplectic group in linear group over local rings // Comm. Algebra. 2001. — vol. 29. — no. 6. — pp. 2313-2316.