Надгруппы исключительных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Лузгарев Александр Юрьевич

Надгруппы исключительных групп

01 01 06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003446130

1 8 СЕН 2001

Санкт-Петербург 2008 г

003446130

Работа выполнена па кафедре ньк шеи алюбры и теории чисо i uaieuai ико-моханичос кото факультета Сапкт-Пеюрбургскою кх утдрс т венного упивер-< и юта

Научный руководиюль доктор физико-математических наук

профессор Вавилов Николай Александрович

Официальные огшоиешы доктор фи зико-матемагичоских наук

профессор Винберг Эрпе< i Борисович

доктор физико-математических паук профессор Кузнецов Михаил Иванович

Ведущая ортапи задия Самарский государегвенпын университет

Защита состоится « С ГиТ^ <3 200/1 в 1 у ча-

сов па заседании совоы Д 212 232 29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Саикт-Поюрбургском юс ударе твепном мшперсиюто по адресу 198504, Санкт-Петербург Псчродвороц, Университетский пр 28 матемашко-мехаиичоский факулыет, ауд 405

С диссертацией можно ознакомиться r Научной библиоюке им М Горькою Санкт-Петербурге кого юсучарстг.енною университета по ацрсч у 199034 Саны-Петербург, Ун и ворс и i отекая набережная, д 7 9

Защита б\дот проходить в Петербургском отделении Матемаiиче< koiо Mili ni ту ia имени В А Стеклова РАН но адроту 191023 Санкт-Поюрбур|, наб ]> Фонтанки. д 27

Автореферат разослан « » ^ 1 ) ^ ^ 2008 г

Учепыи секро1а]>ь дне сертационио! о с ове)а домор с])нз -мат паук, профессор

В М Нсжпш кнй

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертационное исследование относится к структурной теории групп Шевалле Эта теория занимает одно из центральных мост в математике начиная со второй половины XX века Многочисленные приложения в теории чисел теории конечных групп, теории представлений, теории инвариантов, комбинаторике и других областях математики привлекают внимание специалистов

Исключительные группы с самого момента открытия в конце XIX века активно изучаются математиками Выдающиеся достижения в этой области были получены в середине XX века представителями нидерландско-бельгийской школы (Жак Тите, Ганс Фройденталь, Тони Спрингер, Фердинанд Фельдкамп) В 80-х и 90-х годах произошел новый всплеск интереса к исключительным группам к этому периоду относятся работы Арье Коэна, Брюса Куперстейна, Майкла Ашбахера, Гари Зейтца Однако подавляющее большинство авторов рассматривает только группы над полями, и почти каждый результат, касающийся исключительных групп над кольцами, оказывается определенным техническим достижением

Одно из важнейших направлений в развитии теории групп Шсваллс связано с изучением и описанием их надгрупп в различных представлениях А именно, пусть (?р(Д, Я) — группа Шевалле над коммутативным кольцом Я, построенная по системе корней А и решетке Р Для простоты записи мы будем опускать в обозначениях групп Шевалле упоминание решетки Рассмотрим представление Е(А,Я) в другой группе Шевалле С(Ф, Я)

7Г <?(Д, Я) в(Ф, Я)

Требуется описать подгруппы в (3(Ф, Я), содержащие группу тг(Е(А, Я)), где Е(А, Я) — элементарная подгруппа группы Шевалле Д, Я) Обратим внимание, что мы рассматриваем задачу описания надгрупп тг(Е(А, Я)), а не

7t(G(A, R)) в таком виде ответ, как правило, получается более естественным

В случае, когда основное кольцо R является полем, изучению этой задачи посвящено несколько сотен работ, для алгебраически замкнутого и конечного поля получены значительные результаты Отметим, что эта задача тесно связана с subgroup structure theorem Майкла Ашбахера и классификацией всех максимальных подгрупп алгебраической группы В то же время, систематическое описание надгрупп групп Шевалле над произвольным коммутативным кольцом началось относительно недавно с работ Зенона Боре-вича, Николая Вавилова, Елизаветы Дыбковой, Алексея Степанова и других в 80-х годах, в которых были описаны, в частности, надгруппы клеточно-диагональных матриц в классических группах

Для классических групп в минимальных представлениях полное описание промежуточных подгрупп над коммутативным кольцом было получено уже в этом столетии Николаем Вавиловым, Виктором Петровым и Хон Ю

Естественно возникает вопрос о переносе этих результатов на исключительные группы Специфика работы с исключительными группами состоит в том, что в большинстве подходов приходится разбирать каждый случай отдельно В последние годы в работах Вавилова и его учеников были разработаны методы вычисления в исключительных группах, которые могут быть применены к этим и многим другим задачам структурной теории исключительных групп Шевалле В настоящей работе проведен перенос некоторых результатов, относящихся к классическим группам, на исключительный случай

Доказательства для классических случаев используют технику локализаци пополнения, введенную Энтони Баком и позднее упрощенную Рузби Хаз-ратом и Николаем Вавиловым Различные варианты этой техники широко применялись для доказательств структурных теорем о группах Шевалле и унитарных группах, но к исключительным группам эта техника применялась

редко

Кроме того, результаты первой главы, связанные с описанием нормализатора группы Шовалле, можно рассматривать в контексте алгебраической /{"-теории как развитие результатов Андрея Суслина, Вячеслава Копейко, Джованнн Таддеи и других

Цель работы Целыо диссертационной работы является исследование надгрупп исключительных групп в некоторых естественных представлениях над произвольным коммутативным кольцом

Методы исследования В диссертации используются все обычные методы теории алгебраических групп и аффинных групповых схем Кроме того, техника явных матричных вычислений в работе опирается на методы теории представлений, комбинаторику систем корней и весовых диаграмм, компьютерные вычисления В работе также используются локализационные методы, а именно, вариант метода локализации-пополнения Бака

Основные результаты. В работе исследованы надгруппы исключительных групп в некоторых представлениях над коммутативным кольцом Основные результаты заключаются в следующем

• Получено описание (в том числе и явные уравнения) нормализатора группы Шевалле типа Еб в минимальном представлении

• Построена серия промежуточных подгрупп для групп Шевалле типов Еб и Е7 в минимальных представлениях Доказана совершенность построенных подгрупп

• Получено полное описание надгрупп элементарной группы Шевалле типа Р4 в группе Шевалле типа Ее

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер Полученные результаты и развитые в работе методы могут

- б -

быть использованы в дальнейших исследованиях исключительных групп Ше-валле, прежде всего в их минимальных представлениях

Апробация работы Результаты диссертации были доложены на семинаре "Seminar K-Theory, Homotopy theory and Related topics" университета Билефельда и на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Д К Фаддеева, а также на международных конференциях SNSC 2008 и АСА 2008 (Линц, Австрия), посвященных научным вычислениям и компьютерной алгебре (секция вычислений в группах)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4], перечисленных в конце автореферата В совместной работе [1] диссертанту принадлежат доказательства теорем 2 и 5, в которых получено описание уравнениями нормализатора группы Шевалле типа Еб — это теорема А и предложение 1 9 диссертации, соавтору принадлежит постановка задачи и доказательство теоремы 1 о совпадении групповых схем, соответствующих расширенной группе Шевалле и стабилизатору пересечения квадрик В совместной работе [2] диссертанту принадлежит алгоритм построения трилинейной формы, первому соавтору — постановка задачи и алгоритм вычисления структурных констант, второму соавтору — алгоритм вычисления корневых элементов Работа [1], опубликована в журнале, входящем в действующий перечень ВАК, а работы [2] и [3] — в журнале, входившем в перечень ВАК на момент публикации (до 2007 года)

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 106 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и списка литературы, содержащего 88 наименований

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса и актуальность темы диссертации, приведена формулировка основных результатов диссертации, а также кратко изложена структура работы

Основным результатом первой главы является описание нормализатора группы Шеваллс типа Ее в минимальном представлении

Первый раздел носит подготовительный характер, в нем собраны основные обозначения и необходимые факты, касающиеся групп Шеваллс над кольцами Второй и третий разделы посвящены исключительным группам Шеваллс, в частности, в третьем разделе приводится конструкция трилинейной формы, которую мы активно используем для изучения группы типа Ео Пусть Я — произвольное коммутативное кольцо, (?(Еб, Я) — односпяз-ная группа Шевалле типа Ее над Я Мы рассматриваем се в минимальном 27-мерном представлении, то есть отождествляем с подгруппой группы СЬ(27, Л) Обозначим через Е(Ф, Л) элементарную подгруппу группы Сг(Ф, Л), то есть подгруппу (3(Ф, Л), порожденную всеми корневыми элементами ха(£) для а £ Ф, £ 6 Л Через Ф,Л) мы будем обозначать расширенную группу Шевалле типа Ф она получается из С(Ф, Л) добавлением некоторых диагональных элементов Для подгрупп Н\, Яг группы б мы обозначаем через Тгапс(#1, Я2) транспортер подгруппы Н\ в подгруппу Я2, то есть множество

ТУапС(ЯЬ Я2) = {д е в \ д^Щд < Я2}

В частном случае Н\ = Яг = Я получаем нормализатор

Яс(Я)=ГЛапс(Я,Я)

Основной результат первой главы утверждает, что нормализатор группы С(Ее, Л) в СЬ(27, Л) совпадает с расширенной группой Шевалле типа Еб Более точно, доказывается следующая теорема

Теорема А. Пусть R любое коммутативное кольцо Тогда

N{E{Ее, R)) = N{G{Ее, Я)) = Tran(£(E6, R), G(E6, R)) = G(E6, R),

где нормализаторы и транспортер берутся в группе GL(27, R)

Заметим, что в работе Эйичи Абе и Джеймса Харли доказано совпадение соответствующих централизаторов, что является гораздо более простым результатом

Доказательство теоремы А приведено в четвертом разделе Пятый раздел посвящен явному комбинаторному описанию уравнений на матрицы из С(Е6,Я)

Вторая глава посвящена описанию надгрупп элементарной подгруппы Е{Ф, R) группы Шевалле типа Ф = Eß, Е7 в минимальных представлениях (размерностей п = 27 и 56 соответственно) Иными словами, мы рассматриваем группы (3(Ф, R) как подгруппы в GL(n, R) и исследуем промежуточные подгруппы

Для идеала А < R мы называем относительной элементарной подгруппой Шевалле типа Ф нормальное замыкание группы Е{Ф, А) в Е{Ф, R)

Е(Ф, R, А) = Е(Ф, Л)£(ф'й> = (ха(£) | а € е А)Е^

В случае Ф = А; мы используем стандартные обозначения

Е{п, R) = Е{Ап_ь Я), Е(п, R, А) = Е(А„_ь R, А)

Основным результатом главы является следующая теорема

Теорема В Пусть Н — подгруппа в GL(n,R), содержащая Е{Ф,Д), причем 2,3 € R* Тогда существует единственный наибольший идеал А < R такой, что Е(п, R,A) < Н При этом, если ¿аДО € Н для некоторых А, /i € Л, Л ф ц, то £ £ А

Идеал А, фигурирующий в тооромо, называется нижним уровнем подгруппы Н Таким образом, построена серия подгрупп

ЕЕ(Ф, Л, А) = Е{Ф, ЩЕ{п, Л, А)

в СЬ(п, Л), содержащих Е(Ф, Л)

Доказательство тсорему.1 В приведено в первых пяти разделах Шестой раздел посвящен доказательству предложения 2 3, в котором утверждается, что построенные подгруппы ЕЕ(Ф, Л, А) являются совершенными

В случае Ф = Е7 необходимо учитывать тот факт, что группа С(Е7, Л) в минимальном представлении вкладывается еще и в некоторую симплектиче-скую группу Бр(56, Л) Это приводит к тому, что мы можем уточнить серию промежуточных подгрупп и рассматривать подгруппы вида

ЕЕ'(Е7, Л, Л, В) = Е(Е7, Я)Е(56, Л, А) Ер(56, Л, В),

где А С В — два идеала в Л Последние три раздела второй главы посвящены построению подходящей симплектической группы 8р(56, Л), групп ЕЕ'(Е7, Л, Л, В) и доказательству того, что эти группы также являются совершенными

В третьей главе получено полное описание надгрупп элементарной группы Шевалле £^4, Л) в группе Шевалле Рд, Л) Вложение (7^4, Л) < (?(Еб, Л) возникает в результате скручивания минимального представления группы С(Ее, Л) за счет внешнего автоморфизма диаграммы Дынкина системы корней Ее Первые два раздела третьей главы носят подготовительный характер мы описываем вложение (2^4, Л) в С (Ее, Л) и доказываем некоторые факты, необходимые для проведения локализации

Задача описания промежуточных подгрупп в этом случае похожа на задачу описания надгрупп классической группы в полной линейной группе, решенную Вавиловым и Петровым Результатом является «веерное» описание

всех промежуточных подгрупп в духе Боревича Промежуточные подгруппы в этом случае также параметризуются одним идеалом Более точно, положим

ЕЕ(Р4, Я, А) = ВД, Я)Е( Ее, Я, А)

Мы доказываем следующую теорему

Теорема С. Пусть Я — коммутативное кольцо Тогда для любой подгруппы в (3 = С?(Еб, Я), содержащей группу Я), существует единственный идеал А < Я такой, что

ЕЕ(Р4, Я, А) < Н < ЯС(ЕЕ(Р4, Я, Л))

Таким образом, в этом случае удается получить полное описание промежуточных подгрупп

Разделы 3 3 и 3 4 посвящены описанию параболических подгрупп и их унипотентных радикалов в С(Еб, Я), с помощью которых в дальнейшем будет производиться извлечение корневого элемента

В пятом разделе мы доказываем аналоги результатов первой главы для вложения С(Р4, Д) < С(Еб,Я) Рассмотрим расширенную группу Шевалле

¡ВД, Я) = Я) СеШ^Ев, Я))

(через СегЛ((7) мы обозначаем центр группы б) Мы доказываем аналог теоремы А для вложения группы типа Р4 в группу типа Еб <3(Р4,Я) является нормализатором Я(Р4,Я) в С(Ев,Я), нормализатором (?(Р4, Я) в С(Ев,Я) и совпадает с транспортером Е(Р4, Я) в С(Р4, Я)

Кроме того, мы вычисляем нормализатор, фигурирующий в теореме С А именно, мы показываем, что условие принадлежности матрицы группе Лгс(ЕЕ(Р4, Я, Л)) описывается сравнениями (по модулю идеала А) на ее коэффициенты Мы явно приводим эти сравнения в предложении 3 17

и

В шестом разделе вводится понятие нижнего уровня для промежуточных подгрупп Следующие два раздела готовят техническую базу для извлечения корневого элемента, которое происходит в разделах 3 9 3 11 Говоря неформально, мы должны показать, что если подгруппа Н в (?(Ео, Л), содержащая Е(Р4, Л), не содержится в С(Ей, Л), то она содержит нетривиальный корневой элемент, соответствующий корню Ее, не лежащему в Е4 (точная формулировка этого извлечения учитывает также, что мы проводим локализацию) Мы показываем существование этого нетривиального корневого элемента при некоторых дополнительных условиях на подгруппу Н, которые постепенно ослабляются Эти условия формулируются в терминах параболических подгрупп С?(Ее, Л) и их унипотентных радикалов

После этого доказательство теоремы С завершается в разделе 3 12

Работы автора по теме диссертации

[1] Вавилов Н А , Лузгарев А Ю Нормализатор группы Шевалле типа Е6 // Алгебра и Анализ - 2007 - Т 19, № 5 - С 35-62

[2] Вавилов Н А , Лузгарев А Ю , Певзнер И М Группа Шевалле типа Ее в 27-мерном представлении // Зап научн сем ПОМИ — 2006 — Т 338 - С 5-68

[3] Лузгарев А Ю О надгруппах Е(Е6, Я) и Е(Е7, Д) в минимальных представлениях // Зап научн сем ПОМИ - 2004 - Т 319 - С 216-243

[4] Лузгарев А Ю Описание надгрупп Р4 в Ее над коммутативным кольцом // Препринт ПОМИ - 2008 - № 2 - С 1-37

Подпиано в печать 26 06 2008 г Заказ № 48-0626-85 Формат бумаги 60x84/16 Тираж 100 экз Отпечатано в «ООО Типография Унипринт» 191119, Сант-Петербург, ул Звенигородская, д 11 тел/факс (812)740-11-80

Содержание.

Введение.•.

Глава 1. Нормализатор группы Шевалле типа Ее.

1.1. Предварительные сведения о группах Шевалле.

1.2. Микровесовые представления исключительных групп

1.3. Инвариантная кубическая форма.

1.4. Вычисление нормализатора группы Шевалле типа Ее

1.5. Экспликация уравнений

Глава 2. Надгруппы исключительных групп в минимальных представлениях

2.1. План доказательства.

2.2. Построение нижнего уровня.

2.3. Совпадение идеалов.

2.4. Доказательство леммы 2.

2.5. Окончание доказательства предложения 2:

2.6. Доказательство предложения 2.

2.7. Вложение Е(Е7, R) в симплектическую группу.

2.8. Доказательство предложения 2.4.

2.9. Доказательство предложения 2.

Глава 3. Надгруппы F4 в Еб

3.1. Группа Шевалле типа F4.

3.2. Элементарные подгруппы и локализация.

3.3. Изучение уравнений в б?(Еб, R).

3.4. Параболические подгруппы

3.5. Вычисление нормализатора R) в С?(Еб,Я).

3.6. Относительные группы и нижний уровень.

3.7. Нормализатор промежуточной подгруппы.

3.8. Функтор локализации.

3.9. Извлечение корневого элемента из унипотентных радикалов

3.10. Извлечение корневого элемента из параболических подгрупп

3.11. Извлечение корневого элемента: окончание.

3.12. Доказательство теоремы С.

Настоящая диссертация посвящена изучению надгрупп исключительных групп Шевалле в различных естественных вложениях.

Линейные алгебраические группы и, в частности, группы Шевалле, активно изучаются с середины прошлого столетия. Этой теме посвящено огромное количество статей и монографий. Основы современного подхода к теории линейных алгебраических групп были заложены в статьях Колчина [50], [51], Шевалле [26], [73] и Бореля [36] в 50-е годы XX века. Одной из ключевых характеристик этих работ было рассмотрение групп над полем произвольной характеристики. Уже в работах [26], [39] были построены групповые схемы над Z, соответствующие группам Шевалле над полем, что открывало возможности для изучения алгебраических групп над произвольным кольцом. Еще более широкое обобщение было достигнуто в рамках языка групповых схем; в частности, результаты Шевалле [26], [73] были перенесены на редуктивные групповые схемы М. Демазюром и А. Гротендиком в SGA [41]. v

Задача описания промежуточных подгрупп занимает одно из центральных мест в изучении алгебраических групп. Для случая алгебраически замкнутого поля, как правило, возможно полное решение разнообразных задач описания промежуточных алгебраических подгрупп, но уже при переходе к произвольному полю некоторые вопросы, типа классификации всех максимальных подгрупп в (изотропных) полупростых группах становятся заведомо бессмысленными.

Важным общим контекстом для рассмотрения подобных задач, предлагающим схему классификации максимальных подгрупп алгебраических групп, является subgroup structure theorem Майкла Ашбахера ([28], [29], [30], [49], [56]) и особенно интересные в нашей ситуации обобщения на исключительные группы, полученный Мартином Либеком и Гари Зейтцем ([69], [55], [70], [71],

57], [53], [54], [72]). С этой точки зрения велось изучение надгрупп классических групп (это максимальные подгруппы из класса Ашбахера Полное описание таких надгрупп над коммутативным кольцом получено в работах Николая Вавилова и Виктора Петрова [11], [12], [18]. В настоящей работе получены аналогичные результаты для некоторых типов вложений исключительных групп.

Изучение исключительных групп велось вместе с изучением классических групп в общем контексте алгебраических групп начиная с 1950-х годов. Вместе с тем, во многих вопросах специфика исключительных случаев делает практически невозможным их анализ без рассмотрения отдельно каждого исключительного типа. Для такого рассмотрения в работах Николая Вавилова и его учеников [83], [85], [84], [65], [6], [9] был развит метод явных матричных вычислений в исключительных группах. Его основы — стабильные вычисления в линейных представлениях — были заложены Хидейа Мацумото [61] и Майклом Стайном [77]. Отметим, что под исключительными группами здесь подразумеваются в первую очередь группы типов Eg и Е7. Группа Шевалле типа F4 реализуется нами как сворачивание группы Шевалле типа Eg (см. главу 3). Группа типа G2 во многих вопросах гораздо ближе к классическим группам типов В3 и D4. Изучение группы типа Eg с помощью этих методов тоже возможно, но сопряжено с дополнительными сложностями: ее минимальное представление не является микровесовым.

Перечислим основные результаты работы. В первой главе мы вычисляем нормализатор группы б?(Ее, R) в GL(27, Я). Как хорошо известно, полную ортогональную группу проще всего мыслить себе как стабилизатор квадрики. В работе [8] получен аналогичный результат для исключительной группы типа Еб. А именно, там построена аффинная групповая схема G(Ee,—), которая является нормализатором G(Eg, —) в GL27. Следующая теорема утверждает, что этот «схемный» нормализатор совпадает с «поточечным» для любого коммутативного кольца R. Напомним несколько обозначений из теории групп. Пусть Н\, Щ — подгруппы группы G. Транспортером подгруппы II\ в подгруппу Hi называется множество

TranG(#b Н2) = {д е G | g~lHig < #2}. В частном случае Hi = Н2 — Н получаем нормализатор:

Ng{H) = Тгапс(Я, Я).

Основным результатом первой главы является следующая теорема. Теорема А. Пусть R — любое коммутативное кольцо. Тогда

N(E{Еб, Я)) - iV(G(E6, Л)) = Тгап(£(Е6, Я), G(Е6, Я)) = G(E6j Я), где нормализаторы и транспортер берутся в группе GL(27,Я).

1. Борелъ А. Свойства и линейные представления групп Шевалле // Семинар по алгебраическим группам. — М., 1973. — С. 9-59.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV-VI. — М.: Мир, 1972. — С. 1334.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I-III. — М.: Мир, 1976. — С. 1496.

4. Вавилов Н. А. Как увидеть знаки структурных констант? // Алгебра и Анализ. 2007. - Т. 19, № 4. - С. 34-68.

5. Вавилов Н. А. Весовые элементы групп Шевалле // Алгебра и Анализ. — 2008. Т. 20, № 1. - С. 34-85.

6. Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р. А2-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов Еб и Е7 // Алгебра и Анализ. — 2004. — Т. 16, № 4. С. 54-87.

7. Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р., Николенко С. И. Строение групп Шевалле: доказательство из книги // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2006. — Т. 330. С. 36-76.

8. Вавилов Н. А., Лузгарев А. Ю. Нормализатор группы Шевалле типа Е6 // Алгебра и Анализ. 2007. — Т. 19, № 5. - С. 35-62.

9. Вавилов Н. А., Лузгарев А. Ю., Певзнер И. М. Группа Шевалле типа Еб в 27-мерном представлении // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2006. — Т. 338. С. 5-68.

10. Вавилов Н. А., Николенко С. И. Аг-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов F4 и 2Еб // Алгебра и Анализ. — 2008. — Т. 20, № 4. С. 27-64.

11. Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах Ep(n, R) // Алгебра и Анализ. 2003. - Т. 15, № 3. - С. 72-114.

12. Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах EO(n, R) // Алгебра и Анализ. 2007. - Т. 19, № 2. - С. 10-51.

13. Вавилов П. А., Плоткин Е. Б., Степанов А. В. Вычисления в группах Шевалле над коммутативными кольцами // Докл. АН. СССР. — 1990. — Т. 40, № 1.- С. 145-147.

14. Винберг Э. БГорбацевич В. В., Онищик A. Л. Строение групп и алгебр Ли // Итоги науки и техн., сер. совр. проблемы Мат., Фундамент, направл. М.: ВИНИТИ, 1990. - Т. 41. - С. 5-253.

15. Винберг Э. БОнищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — М.: Наука, 1988. — С. 1-344.

16. Лузгарев А. Ю. О надгруппах^-Е^Ее,-R)-h~E(Ej, R) в минимальных представлениях // Зап. научн. сем. ПОМП. 2004. - Т. 319. - С. 216-243.

17. Лузгарев А. Ю. Надгруппы E{F^R) в С(Еб, R) // Алгебра и Анализ.— 2008. Т. 20, № 5. - См. также препринт ПОМИ 2008, № 2, С. 1-37.

18. Петров В. А. Надгруппы классических групп // Канд. Дисс., СПб Гос Ун-т. 2005. - С. 1-129.

19. Платонов В. П., С. Р. А. Алгебраические группы // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1983. — Т. 21.— С. 80-134.

20. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. — М.: Наука, 1982.— С. 1-344.

21. Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969. - С. 1-376.

22. Спрингер Т. А. Линейные алгебраические группы // Итоги науки и техн., сер. совр. проблемы Мат., Фундамент, направл. — М., 1989.— Т. 55.— С. 5-136.

23. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975. — С. 1-262.

24. Хамфри Д. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — С. 1399.

25. Хамфри Д. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.— М.: МЦНМО, 2003. С. 1-213.

26. Шевалле К. О некоторых простых группах // Математика, период, сб. перев. ин. статей. 1958. - Т. 2, № 1. - С. 3-58.

27. Abe Е., Suzuki К. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tohoku Math. J. (2). 1976. - Vol. 28, no. 2.- Pp. 185-198.

28. Aschbacher M. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. 1984. - Vol. 76, no. 3. - Pp. 469-514.

29. Aschbacher M. Subgroup structure of finite groups // Proceedings of the Rutgers group theory year, 1983-1984 (New Brunswick, N.J., 1983-1984). -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. — Pp. 35-44.

30. Aschbacher M. Finite simple groups and their subgroups // Group theory, Beijing 1984.— Berlin: Springer, 1986.— Vol. 1185 of Lecture Notes in Math. Pp. 1-57.

31. Aschbacher M. Some multilinear forms with large isometry groups // Geom. Dedicata. — 1988. Vol. 25, no. 1-3. - Pp. 417-465.

32. Bak A. Nonabelian /^-theory: the nilpotent class of Ki and general stability // K-Theory. 1991. - Vol. 4, no. 4. - Pp. 363-397.

33. Bak A., Vavilov N. Normality for elementary subgroup functors // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1995. - Vol. 118, no. 1. — Pp. 35-47.

34. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups. I. Elementary subgroups // Algebra Colloq. 2000. - Vol. 7, no. 2,- Pp. 159-196.

35. Berman S., Moody R. V. Extensions of Chevalley groups // Israel J. Math. — 1975. Vol. 22, no. 1. - Pp. 42-51.

36. Borel A. Groupes lineaires algebriques // Ann. of Math. (2).— 1956.— Vol. 64. Pp. 20-82.

37. Burgoyne N., Williamson C. Some computations involving simple Lie algebras // Symposium on Symbolic and algebraic manipulation. — New York: Ass. Сотр. Mach., 1971. Pp. 162-171.

38. Carter R. W. Simple groups of Lie type. — John Wiley & Sons, London-New York-Sydney, 1972,— Pp. viii+331.— Pure and Applied Mathematics, Vol. 28.

39. Chevalley C. Certains schemas de groupes semi-simples // Seminaire Bour-Ьакь 1960-1961. - Vol. Exp. 219. - Pp. 1-16.

40. Demazure M. Schemas en groupes reductifs // Bull. Soc. Math. France. — 1965. Vol. 93. - Pp. 369-413.

41. Demazure M., Grothendieck A. Schemas en groupes. I, II, III.— 1971.— Vol. 151, 152, 153 of Lecture Notes Math.

42. Dye R. H. Interrelations of symplectic and orthogonal groups in characteristic two // J. Algebra. 1979. - Vol. 59, no. 1. - Pp. 202-221.

43. Dye R. H. Maximal subgroups of GL2n(^), SL2„(fc), PGL2n(^) and PSL2n{k) U J. Algebra. 1980. - Vol. 66, no. 1. - Pp. 1-11.

44. Dye R. H. On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two // Math. Z. — 1980. — Vol. 172, no. 3. — Pp. 203212.

45. Hazrat R. Dimension theory and nonstable K\ of quadratic modules // K-Theory. 2002. - Vol. 27, no. 4. - Pp. 293-328.

46. Hazrat R., Vavilov N. K\ of Chevalley groups are nilpotent j j J. Pure Appl. Algebra. 2003. - Vol. 179, no. 1-2. - Pp. 99-116.

47. King O. On subgroups of the special linear group containing the special orthogonal group // J. Algebra. 1985. - Vol. 96, no. 1. - Pp. 178-193.

48. King O. On subgroups of the special linear group containing the special unitary group // Geom. Dedicata.— 1985. — Vol. 19, no. 3.— Pp. 297-310.

49. Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. — Vol. 129 of London Mathematical Society Lecture Note Series. — Pp. x+303.

50. Kolchin E. R. Algebraic matric groups // Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.— 1946. Vol. 32. —Pp. 306-308.

51. Kolchin E. R. The Picard-Vessiot theory of homogenous linear ordinary differential equations // Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. — 1946.— Vol. 32.— Pp. 308-311.

52. Kostant B. Groups over Z // Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965). — Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1966.- Pp. 90-98.

53. Liebeck M. W. Introduction to the subgroup structure of algebraic groups // Representations of reductive groups. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. Publ. Newton Inst. - Pp. 129-149.

54. Liebeck M. W. Subgroups of exceptional groups // Algebraic groups and their representations (Cambridge, 1997).— Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. Vol. 517 of NATO Adv. Sci. Inst. Ser. С Math. Phys. Sci. - Pp. 275290.

55. Liebeck M. W., Seitz G. M. Maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, finite and algebraic // Geom. Dedicata. — 1990. — Vol. 35, no. 1-3. — Pp. 353-387.

56. Liebeck M. W., Seitz G. M. On the subgroup structure of classical groups // Invent. Math. 1998. - Vol. 134, no. 2. - Pp. 427-453.

57. Liebeck M. W., Seitz G. M. On the subgroup structure of exceptional groups of Lie type // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. - Vol. 350, no. 9. - Pp. 34093482.

58. Li S. Z. Overgroups of SU(n,K,f) or Q(n,K,Q) in GL(n, K) // Geom. Dedicata. — 1990. Vol. 33, no. 3. - Pp. 241-250.

59. Li S. Z. Overgroups of a unitary group in GL(2, К) // J. Algebra. — 1992. — Vol. 149, no. 2. Pp. 275-286.

60. Li S. Z. Overgroups in GL(n, F) of a classical group over a subfield of F // Algebra Colloq. 1994. - Vol. 1, no. 4. - Pp. 335-346.

61. Matsumoto H. Sur les sous-groupes arithmetiques des groupes semi-simples deployes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4). 1969. - Vol. 2.- Pp. 1-62.

62. Mizuno K. The conjugate classes of Chevalley groups of type Ее // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 1977. - Vol. 24, no. 3. - Pp. 525-563.

63. Mizuno K. The conjugate classes of unipotent elements of the Chevalley groups E7 and E8 // Tokyo J. Math. 1980. - Vol. 3, no. 2. - Pp. 391-461.

64. Petrov V. Overgroups of unitary groups // К-Theory.— 2003.— Vol. 29, no. 3. Pp. 147-174.

65. Plotkin E., Semenov A., Vavilov N. Visual basic representations: an atlas // Internat. J. Algebra Comput.— 1998.- Vol. 8, no. 1,- Pp. 61-95.

66. Ree R. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type F4 // Amer. J. Math. 1961. - Vol. 83. - Pp. 401-420.

67. Ree R. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type G2 // Amer. J. Math. 1961. - Vol. 83. - Pp. 432-462.

68. Ree R. Construction of certain semi-simple groups // Canad. J. Math. — 1964. Vol. 16. - Pp. 490-508.

69. Seitz G. M. Maximal subgroups of exceptional groups // Classical groups and related topics (Beijing, 1987).— Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.— Vol. 82 of Contemp. Math. Pp. 143-157.

70. Seitz G. M. Maximal subgroups of exceptional algebraic groups // Mem. Amer. Math. Soc. 1991. - Vol. 90, no. 441,- Pp. iv+197.

71. Seitz G. M. Maximal subgroups of finite exceptional groups // Groups and geometries (Siena, 1996).— Basel: Birkhauser, 1998.— Trends Math.— Pp. 155-161.

72. Seitz G. M. Topics in the theory of algebraic groups // Group representation theory. EPFL Press, Lausanne, 2007. - Pp. 355-404.

73. Seminaire C. Chevalley, 1956-1958. Classification des groupes de Lie algebri-ques. 2 vols. — 11 rue Pierre Curie, Paris: Secretariat mathematique, 1958. — Pp. ii+166 + ii+122 pp. (mimerographed).

74. Shoji Т. The conjugacy classes of Chevalley groups of type F4 over finite fields of characteristic p Ф 2 Ц J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I A Math.— 1974. Vol. 21. - Pp. 1-17.

75. Springer T. A. Linear algebraic groups. — Second edition. — Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1998.— Vol. 9 of Progress in Mathematics.— Pp. xiv+334.

76. Steinberg R. Generateurs, relations et revetements de groups algebriques // Colloq. Theorie des Groupes Algebriques (Bruxelles, 1962).— Librairie Uni-versitaire, Louvain, 1962. — Pp. 113-127.

77. Stein M. R. Stability theorems for K\, K2 and related functors modeled on Chevalley groups // Japan. J. Math. (N.S.). — 1978.— Vol. 4, no. 1.— Pp. 77-108.

78. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // К-Theory. 2000. - Vol. 19, no. 2. - Pp. 109-153.

79. Tits J. Sur les constantes de structure et le theoreme d'existence des algebres de Lie semi-simples // Inst. Hantes Etudes Sci. Publ. Math. — 1966. — Vol. 31. Pp. 21-58.

80. Tits J. Systemes generateurs de groupes de congruence // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B. 1976. - Vol. 283, no. 9.- Pp. Ai,A693-A695.

81. Vaserstein L. N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings 11 Tohoku Math. J. (2). 1986. - Vol. 38, no. 2,- Pp. 219-230.

82. Vavilov N. A. Structure of Chevalley groups over commutative rings // Nonassociative algebras and related topics (Hiroshima, 1990).— World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1991.- Pp. 219-335.

83. Vavilov N. A third look at weight diagrams // Rend. Sem. Mat. Univ. Pado-va. 2000. - Vol. 104. - Pp. 201-250.

84. You H. Overgroups of classical groups over commutative rings in linear group // Sci. China Ser. A. 2006. - Vol. 49, no. 5. - Pp. 626-638.