Надгруппы нерасщепимого максимального тора, содержащие одномерное преобразование, в полной линейной группе над полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Джусоева Нонна Анатольевна

НАДГРУППЫ НЕРАСЩЕПИМОГО МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНОМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, В ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЕ НАД ПОЛЕМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 я моя 2013

Красноярск — 2013

005539790

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова»

Научный руководитель:

д-р физ.-мат. наук,

профессор Койбаев Владимир Амурханович

Официальные оппоненты:

Нужин Яков Нифантьевич, д-р физ.-мат. наук, профессор ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», кафедра алгебры и математической логики, профессор

Маслова Наталья Владимировна, канд. физ.-мат. наук, Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения РАН, научный сотрудник

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 20 декабря 2013 г. в 15.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан 0 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федченко Д.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важнейших, перспективных и интенсивно развивающихся разделов современной алгебры является теория линейных групп. Теория линейных групп имеет связи с такими областями, как общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др. Линейные группы изучаются как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т. д. Большое количество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида (например, транс-векциями и отражениями), представление, изоморфизмы, максимальные подгруппы. Наша работа связана с изучением расположения подгрупп в линейных группах, точнее, с направлением, в котором изучаются подгруппы линейной группы, содержащие фиксированную подгруппу. Перечислим некоторые результаты этого направления.

Классическим результатом этого направления является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом. Далее, в 1965 г. в работе Бореля-Титса [16] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы б = СЬ(п, к), содержащих группу диагональных матриц Г>(п, к) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат был значительно усилен 3. И. Боревичем [2] в 1976 г.

Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмидт, Я. Н. Нужин), посвященных описанию подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [3, 10-12, 14, 15 ]). Отметим, что в работе Я. Н. Нужина [10] описаны промежуточные подгруппы всех групп лиева типа, когда основное поле является алгебраическим расширением меньшего. В работах [13, 18] изучались максимальные подгруппы в линейных группах.

Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения подгрупп ленинградской-петербургской алгебраической школы (3. И. Бо-

ревич, H. А. Вавилов и их ученики). На протяжении многих лет усилиями этой алгебраической школы была развита техника и методика исследований подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Именно с этими исследованиями и методиками тесно связаны результаты нашей работы. Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа 3. И. Бореви-ча [2], в которой было дано описание подгрупп H полной линейной группы GL(n, к) = G над полем к, содержащих группу диагональных матриц D = D(n,k). Оказалось, что для любого поля к все промежуточные подгруппы H являются алгебраическими, решетка Lat(Z), G) всех промежуточных подгрупп конечна и эта решетка не зависит от поля к, если только число элементов в к не менее семи. В дальнейшем, в работах 3. И. Боревича и Н. А. Вавилова этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы G — GL{n,R), содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть (ковер, см. [3, 7, 9]) идеалов а = (о^) над кольцом R такая, что G(a) < Я ^ N(a), где N(cr) — нормализатор сетевой группы G{a) в полной линейной группе G.

Подгруппы специальной линейной группы SL(n, к) над полем к, содержащие группу диагональных матриц SD{n, к) были описаны в серии работ Н. А. Вавилова [5].

Первый шаг в решении проблемы описания надгрупп максимального тора в группах Шевалле сделал Г. Зейтц [25, 26], который это описание получил для групп Шевалле над конечным полем из q элементов, q > 11 (при этом в случае максимального расщепимого тора предполагается, что q нечетно [25], а в случае произвольного тора — характеристика поляр > 5 [26]).

Исследование надгрупп нерасщепимого тора является, на наш взгляд, более сложной задачей. А именно, в случае произвольного поля вопрос с описанием надгрупп нерасщепимого тора остается открытым. В настоящей работе мы концентрируем внимание на исследовании промежуточ-

ных подгрупп полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с расширением основного поля (минизотроп-ный тор). В более общей постановке эта задача (связанная по классификации Ашбахера с надгруппами класса Сз) может быть сформулирована следующим образом. Пусть К/к — конечное расширение полей степени т, V — векторное пространство размерности п над полем К (и размерности тп над к), тогда, очевидно (ЛГ-липейное отображение является к-линейным), СЬк{У) < СЬк(у), или в матричной форме СЬ{п,К) < СЬ(тп,к). Заметим, что при п — 1 группа ,К) = К* является нерасщепимым максимальным тором. Сформулируем результат, принадлежащий Ли Шанчжы [23], который сводит рассматриваемую задачу к нерасщепимому тору. Пусть п > 3, тогда для всякой промежуточной подгруппы Я, БЦп, К) <Н < СЬ{тп, к) = <3,

найдется единственное промежуточное подполе к < Ь < К, [К : Ь] = <1 так, что подгруппа Н заключена между группой вЦскп, Ь) и ее нормализатором в С (заметим, что случай п = 2 также рассмотрен, там появляются еще и симплектические группы).

К настоящему времени полное описание надгрупп нерасщепимого тора получено лишь для некоторых специальных полей таких, как конечные или локальные. Для конечных полей это работы У. Кантора, Г. Зейтца и Р. Дая [19-21, 22, 25, 26], в которых получены окончательные результаты для полей (характеристики не равной 2 и 3), содержащих не менее 13 элементов. Отметим, что в работах Г. Зейтца получено описание подгрупп конечных групп Шевалле, содержащих произвольный максимальный тор. Важные результаты о надгруппах нерасщепимого тора для локальных и глобальных полей получены В. П. Платоновым [24]. Случай поля вещественных чисел рассмотрен в работе Д. Дьековича [17]. Во всех этих случаях ответ носил геометрический характер. А именно, всякая промежуточная подгруппа была связана с промежуточным подполем. В работе [8] В. А. Койбаевым было показано, что для произвольных полей ответ выглядит значительно сложнее, точнее, он зависит от арифметики основного поля; были изучены подгруппы полной линейной группы С?Ь(2, (Ц))

над полем рациональных чисел, содержащих мультипликативную группу квадратичного расширения основного поля (Ц) (нерасщепимый максимальный тор — квадратичный тор), в частности, показано, что в рассмотренном случае существует континуум промежуточных подгрупп. В дальнейшем, в работе 3. И. Боревича, В. А. Койбаева и Чан Нгок Хоя [4] было получено полное описание указанных подгрупп. В работе А. А. Бондаренко [1] рассмотрен случай локального числового поля. В [6] дано описание подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций (с коэффицентами из конечного поля нечетной характеристики), содержащих нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор).

Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением подгрупп в линейных группах, содержащих нерасщепимый максимальный тор. Вопросы и методы, возникающие в работе оказываются естественно связанными с перечисленными циклами исследований. Это и определяет актуальность темы диссертации.

Цель работы. Целью работы является исследование решетки подгрупп полной линейной группы степени п над полем к, содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с радикальным расширением степени п основного поля к.

Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы теории групп, колец, полей. Методика исследования подгрупп основана на построении колец, определяющих промежуточные подгруппы, извлечении трансвекций, а также некоторых матриц специального вида, определяющих нерасщепимый максимальный тор.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты:

- определены модули трансвекций и кольца множителей промежуточной подгруппы; доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, а модуль трансвекций является целым идеалом кольца множителей;

- получены необходимые и достаточные условия нормализуемости сетевого кольца тором;

- определены сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с

промежуточной подгруппой;

- доказана структурная теорема о включении промежуточной подгруппы в нормализатор элементарной сетевой группы для случая, когда все модули трансвекций (первого столбца) промежуточной подгруппы совпадают с кольцом. С помощью полученных результатов строятся максимальные нетривиальные (не содержащие специальную линейную группу) подгруппы полной линейной группы, содержащие нерасщепимый максимальный тор.

В работе также вычислен нормализатор элементарной подгруппы в полной линейной группе.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Развитые в ней методы, введенные понятия, техника извлечения трансвекций и полученные результаты могут быть использованы в теории линейных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IX Международной школе-конференции по теории групп (Владикавказ, 2012), Международной конференции «Алгебра и комбинаторика» (Екатеринбург, 2013), а также представлены на Международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения» (Красноярск, 2013). Неоднократно результаты докладывались на объединенном семинаре «Алгебра и анализ» Южного математического института ВНЦ РАН и Северо-Осетинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27-34], включая [27-29], [31], [33] в изданиях из перечпя ВАК, перечисленные в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и занимает 99 страниц машинописного текста. Библиография содержит 95 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения и трех глав.

В первой главе, которая носит предварительный характер, рассматриваются общие вопросы расположения подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п,к), содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т((1). связанный с расширением К степени п основного поля к. В §1.1 рассматривается общая постановка задачи, в §1.2 — факторизация промежуточных подгрупп. В §1.3 вычисляется нормализатор подгруппы, связанной с промежуточным подполем, в частности, нормализатор тора. В §1.4 напоминается определение сети и сетевой группы. Однако основное внимание в этой главе уделено надгруппам нерасщепимого максимального тора, содержащим одномерное преобразование. Излагаются в основном технические результаты (§1.5-1.6), касающиеся свойств матричного представления максимального тора, а также свойств одномерных преобразований, содержащихся в промежуточной подгруппе. Представляется также техника извлечения элементарных трансвекций (§1.7) в промежуточных подгруппах, содержащих одномерное преобразование. В §1.8 доказывается (теорема 1.8.2), что в случае простого (в частности, радикального) расширения степени п основного поля всякая промежуточная подгруппа, содержащая одномерное преобразование, содержит элементарную трансвекцию на каждой позиции

(г, Я, 1<гфз<п.

Основные результаты получены во второй и третьей главах.

Во второй главе проводится исследование структуры подгрупп Н (содержащих одномерное преобразование) полпой линейной группы б = СЬ(п, к) порядка п над полем к, содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т(<£). В силу результатов (теоремы 1.8.1 и 1.8.2) §1.8 главы 1, мы можем считать, что каждая такая промежуточная подгруппа Н «богата трансвекциями». А именно, для любых г ф ], ¿¡¿(£) € Н для некоторого £ £ к, £ ф 0. Далее, на протяжении всей главы в качестве поля к, скагк ф 2, мы рассматриваем либо произвольное поле, либо поле, которое является полем частных области главных идеалов Л, причем все про-

межуточные подкольца Д, Л С Я С к, также являются кольцами главных идеалов, (все эти условия выполняются, например, когда к — О1). В последнем случае поле мы обозначаем через Е, к = Е. В дальнейшем, если в качестве поля мы рассматриваем поле Е, то мы считаем, что (1 = Р1Р2---Рт — произведение попарно различных (неассоциированных) простых элементов р,ёЛ, (1 е Л.

В §2.1 рассматриваются свойства матриц тора для случая произвольного расширения основного поля. §2.2 посвящен общей постановке задачи, а также построению матриц С(х) (которыми мы пользуемся на протяжении всей работы) тора Т = Т((1) для случая радикального расширения основного поля.

Пусть хп — й — неприводимый многочлен степени п над полем к, (I € к. Тогда = в1'1,! < г < п, образует базис радикального расширения К = к(Щ, в = поля К = к{в) над к. Мы рассматриваем нерас-щепимый максимальный тор Т = Т(<1), который является образом мульти-пликативнои группы поля

к* —5- Аиьк(К), ь —+ Т,

при регулярном вложении в С = АиЬк(К) и С?1/(п, к), где ¿(а) = Ьа а €Е К. Таким образом, матрица отображения £ в выбранном базисе имеет вид

^ Х\ йхп ... йх^ Х2 Х\ ... йх 3

уХп Хп—\ . . . Х\ !

Следовательно, в выбранном базисе тор Т = Т{<£) определяется как матричная группа

Т = Т{й) = {С{х):хекп\ 0}.

Для элементов матрицы С(х), определенной для произвольного вектора х = {х1,...,х„) справедлива формула

(_ ахп+{+J >г + 1.

9

ОД

В параграфе 2.3 для промежуточной подгруппы, содержащей тор Т, мы определяем модули трансвекций

Получена формула выражения произвольного модуля трансвекций через модули трансвекций первого столбца. В случае, когда основное поле к совпадает с полем 2 все кольца множителей совпадают между собой. Теорема 1. Положим Ai = Ац = Ац(Н), 1 = 2,...,п. Тогда 1) Имеет место формула

причем А\ С Л3, Л2Аз С А4, ..., А2Ап_1 С Ап, —1 •

2) Пусть к = Е, причем Л С Rtj С Е . Тогда все кольца множителей совпадают между собой: Ду = Я, ъ ф причем А^ — целый идеал кольца

Пусть а = (a,j) — сеть аддитивных подгрупп поля к: a¡j < к+, <Tircrrj С 1 < i,j < Щ M (а) = {а = (ац): ау G <7у} — соответствующее сетевое кольцо. В параграфе §2.4 (теорема 2.4.8) мы даем необходимые и достаточные условия на сеть а, для которой соответствующее сетевое кольцо М(ст) нормализуется тором Т = T(d).

Определим кольцо Д0, которое играет важную роль при решении нашей задачи, а также при описании промежуточных подгрупп, содержащих нерасщепимый тор. С каждой матрицей С = С(х) = (су) связана обратная матрица С"1 = С(у) = (c'y),у = у = (yi,...,yn) е где у* = -¡^у, причем Cii — алгебраическое дополнение элемента Сц матрицы С = С (х). В работе рассматривается унитальное подкольцо Rq = R(d) поля к. порожденное элементами Xtyj, dxrys:

Ro - R(d) = (Xiyj, dxrys : i+j<n+l,r + s>n + l, x G kn \ 0).

Лу = Aij(H) = {a G к : ty(a) G Я},

и их кольца множителей

% = Ду(Я) = Ду(Лу) = {Л G к: XAij С Аг]}.

Ai+i-j, j < г, dAn+i+i-j, j > г,

(*)

R, 1 < i,j < n, i^j. □

Теорема 2. Пусть к = Е, причем Л С Г{4] С Е . Пусть, далее, а = (а^) — сеть аддитивных подгрупп поля к. Следующие условия эквивалентны:

1) Тор Т = Т(с1) нормализует сетевое кольцо М(сг);

2) Для сети а = (о^) справедлива формула

где dAn Ç Ai С А2 Ç ■ • • С Ап, причем для любого г, 1 < i < п, Ai — целый идеал кольца R, содержащего подкольцо Ro. □

Замечание. Импликация 2) =>• 1) справедлива для произвольного поля к.

В §2.5 и §2.6 строятся сети и элементарные сетевые группы, ассоциированные с тором и с промежуточной подгруппой H, Т = T(d) < H < G = GL(n, к). В основе этих понятий лежат сети следующего вида. Пусть R — унитальное подкольцо поля к, содержащее кольцо Ro = R(d), d € Rq. Пусть, далее, Ai,..., Ап — идеалы кольца R, причем

Через а = (<Ту) = u(Ai, А2,..., Ап) мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой (**). Так определенную сеть идеалов (удовлетворяющих включениям приведен- ным выше) мы называем сетью, ассоциированной с тором Т — T(d). Подгруппу Е(а), порожденную всеми (не обязательно элементарными) трансвекциями из G{a), мы называем элементарной сетевой подгруппой ассоциированной с тором Т. Из теоремы 2 (и замечания) следует, что тор Т = T(d) нормализует подгруппу Е(сг), а потому ТЕ{а) является промежуточной подгруппой. В следующем предложении (2.5.3) определяются порождающие элементы подгруппы ТЕ(а).

Предложение. Группа ТЕ(а) порождается тором Т и корневыми подгруппами:

Ai+i-j, j < г; dAn+i+i-j, j > i,

(**)

dA„ ç Ai ç • • • ç A,

TE(a) = (T,tii(Ai) : 2 < i < n). Более точно, всякая трансвекция из Е{а) имеет вид

C(x)t2i(a2)t3i(a3)... tni(an)C х(х) 11

для некоторых С(х) £ Г, О; € Л;. □

Далее (§2.6) определяются сеть и элементарная сетевая группы, ассоциированные с промежуточной подгруппой Я, Т = Т(в) < Н < О — СЬ(п, к). С промежуточной подгруппой Я, содержащей трансвекцию связаны модули трансвекций Ау = ф у, и их кольца множителей Д^ = Ду(Я) (см.выше) Очевидно, что Лу являются подгруппами аддитивной группы к+ поля к (Ду—модули). Положим А,, = Ац,2 < г < п. Тогда (теорема 1) справедлива формула (*). Мы будем предполагать (это так, например при к = Е, см. теорему 1), далее, что все кольца Ду совпадают между собой и равны кольцу Д, А^ — целые идеалы кольца Д, (I е Д, Д До- Тогда (опираясь на теорему 2) мы предполагаем, что

Л2с--сл„, <1Ап с А2.

Определение. Положим А\ = с?Ап. Сеть и = (сгц) = сг(у11, А2,..., Ап), определенную формулой (**), мы называем сетью ассоциированную с подгруппой Я, а соответствующую элементарную сетевую группу Е(а) — элементарной сетевой группой, ассоциированной с промежуточной подгруппой Я.

Из теоремы 2 следует, что ТЕ(а)— группа (подгруппа группы Я). Мотивировка названий «сеть, ассоциированная с промежуточной подгруппой Я» и «элементарная сетевая группа, ассоциированная с промежуточной подгруппой Я» вытекает из теоремы 2.6.2, в которой доказано, что если а — сеть, ассоциированная с промежуточной подгруппой Я, то ТЕ(а) < Я и Е(а) — наибольшая элементарная сетевая подгруппа (нормализуемая тором), содержащаяся в Я.

§2.7 посвящен исследованию структуры промежуточных подгрупп для случая, когда все модули трансвекций первого столбца (подгруппы Я) совпадают с кольцом Д, До С Д. Сформулируем основной результат этого параграфа (теорема 2.7.1). Пусть Д — промежуточное подкольцо, До Я: К- ^ к, (1 € Д. Через од обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал ¿Д, а ниже диагонали — Д, а через сгя — сеть, у

которой на главной диагонали и ниже стоит R, а выше — dR:

( АП ЙТ7 ¿ц\

dR

<?R

dR dR R dR

R R

dR

l R dR ... dR

aR =

R R

R R

dR

y IL л ... uj-x j \^lx ix ... R j

Теорема 3. Пусть H — подгруппа полной линейной группы G = GL(n, к), содержащая нерасщепимый максимальный тор Т = T{d). Предположим, что сеть а, ассоциированная с подгруппой Н, совпадает с сетью ад. Тогда TE(cjr) — группа и справедливы включения

TE(aR) < H < N(aR),

где N(ajj) = Ng(E(<tr)) — нормализатор элементарной сетевой подгруппы Е{ап) в группе G. Для нормализатора ЛГ(од) справедливо равенство N(aR) = TG(aR). □

Предположим, что для сети сг, ассоциированной с промежуточной подгруппой H, выполняются равенства Ai = • • • = Ап = А, где А — идеал кольца R, R D По. Соответствующую сеть мы обозначаем через о д. Таким образом, у сети а а на главной диагонали и выше стоит идеал dA, а ниже диагонали — идеал А

UA dA ... dA^ A dA ... dA

а А —

А А

dA

\Л Л •••

Следующая теорема (2.7.7) носит структурный характер.

Теорема 4. Пусть Н — промежуточная подгруппа, причем сеть ассоциированная с подгруппой Н совпадает с сетыо А ~ идеал унитально-го кольца R, Ro С R. Предположим, что выполнено одно из следующих трех условий:

(а) к = Е;

(б) А = Щ

(в) d £ R\

Тогда имеет место формула [[H, Е(ад)], Е{оа)\ < Е(оа). □ В § 2.8 для сети а (ассоциированной с тором), рассмотренной в § 2.5, мы вычисляем (теорема 2.8.4) нормализатор N(cr) = Nc(E(a)) элементарной группы Е(а) в G = GL{n,k). Итак, мы рассматриваем сеть

dA2\

( Ai dAn dAn

A2 Л3

A!

A2

dAn Аг

dA3 dA4

\Л„ Л„_1 Ап—2 ... Ах)

где Аг = сгц, г = 1,2,..., п, Аг - идеал кольца Д, До С Д С к, причем с1Ап С Ах С Л2 С • • • С Ап, .

Теорема 5. Пусть к = Е. Тогда нормализатор ЛГ(сг) элементарной сетевой группы Е(а) совпадает с группой ТС{<тп), №{а) — ТС(сгй).П

В третьей главе строятся (3.3.6 и 3.3.7) максимальные подгруппы (не содержащие БЬ{п,к)) полной линейной группы СЬ(п,к), содержащие нерасщепимый максимальный тор Т = Т(с1). При этом мы предполагаем, что к — поле частных целостного факториального кольца Д (кольца с однозначным разложением на простые множители); й £ R, причем d = р\р2...рт — произведение попарно различных (иеассоциированных) простых элементов р{ £ Д.

Пусть р — простой делитель элемента d, d £ Д. Мы рассматриваем КОЛЬЦО Д(р) всех р-целых элементов поля к (то есть всех дробей у которых Ъ взаимно просто с р).

Теорема 6. Пусть р — простой делитель элемента d. Тогда для сети ар

/

Д(р) dRt Ri,л Д,

■(р)

(р) л(р)

dR dR

\

\R(p) R(p) •■• R(p) и

группа Нр = Т ■ С? (ар) является максимальной нетривиальной (не содержащей ЗЬ(п,к)) подгруппой полной линейной группы С = СЬ(п,к), содержащей тор Т. □

Следствие. Для всякого простого числа р группа Т(р)С(ар) является максимальной нетривиальной (не содержащей ЗЬ(п,к)) подгруппой полной линейной группы СЬ(п,к). □

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору В.А.Койбаеву за внимание и ценные указания в работе, а также с глубокой благодарностью вспоминает З.И.Боревича, поставившего задачу настоящей диссертации, чьи прекрасные и содержательные спецкурсы и семинары довелось прослушать во время учебы в аспирантуре Санкт-Петербургского госуниверситета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боидаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих иеразветв-ленпый квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р ф 2), Зап. науч. семинаров ПОМИ 211 (1994), с. 67-79.

2. Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 64 (1976), с. 12-29.

3. Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекци-ями, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 75 (1978), с. 22-31.

4. Боревич 3. И., Койбаев В. А., Чан Нгок Хой. Решетки подгрупп в (?Ь(2,<5), содержащих нерасщепимый тор, Зап. науч. семинаров ПОМИ 191 (1991), с. 24-43.

5. Вавилов Н. А. О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. 1-1У, Вестник ЛГУ 22 (1985), №1, 3-7; 1 (1986), 10-15; 2 (1987), 3-8; 3 (1988), с. 10-15.

6. Дзигоева В. С., Койбаев В. А., Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций,

содержащие квадратичный тор, Владикавказский мат.ж. 10 (2008), №1, с. 27-34.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, -М.: Наука, 1982.-288 с.

8. Койбаев В. А. Подгруппы группы GL{2,Q), содержащие нерасщепи-мый максимальный тор, Докл. АН СССР 312 (1990), № 1, с. 36-38.

9. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых ABА-групп, Мат. заметки 31 (1982), № 4, с. 509-525.

10. Нужин Я. Н. О группах, заключенных между группами лиева типа над различными полями , Алгебра и логика 22 (1983), № 5, с. 525-541.

11. Нужин Я. Н. О подгруппах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами, Красноярск: Краснояр. политехи, ин-т, 1984.-6 с. Деп. в ВИНИТИ 5.12.84, № 7764-84.

12. Нужин Я. Н., Якушевич А. В. Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов, Алгебра и логика 39 (2006), № 3, с. 347-358.

13. Романовский Н. С. Максимальные подкольца поля Q и максимальные подгруппы группы SL(n, Q), Алгебра и логика 6 (1967), № 4, с. 75-82.

14. Романовский Н. С. Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом Мат. заметки 6 (1969), № 3, с. 335-345.

15. Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца , Зап. науч. семинаров ЛОМИ 94 (1979), с. 119-130.

16. Borel A., Tits J. Groupes reductifs, Inst. Hautes Etudes. Sei. Publ. Math. 27 (1965), c. 55-150.

17. Djokovic D. Z. Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed, Proc. Amer. Math. Soc. 83 (1981), № 2, c. 431-432.

18. Dye R. H. On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two, Math. Z. 172 (1980), № 3, c. 203-212.

16

19. Dye R. H. Maximal subgroups of symplectic groups stabilizing spreads, I, II // J. Algebra 87 (1984), № 2, 493-509; J. London. Math. Soc. 40 (1989), № 2, c. 215-226.

20. Dye R. H. Maximal subgroups of PSpen(q) stabilizing spreads of totally isotropic planes, J. Algebra 99 (1986), c. 111-129.

21. Dye R. H., Spreads and classes of maximal subgroups of GL„(5),SLn(q), PGLn(g) and PSLn(<?), Ann. Math. Рига Appl. 158(1991), c. 33-50.

22. Kantor W. M. Linear groups containing a Singer cycle, J. Algebra 62 (1980), № 1, c. 232-234.

23. Li Shangzhi. Overgroups in GL(nr, F) of certain subgroups of SL(n, K), J. Algebra 125 (1989), № 1, c. 215-235.

24. Platonov V. P. Subgroups of algebraic groups over local or a global field containing a maximal torus, C. R. Acad. Sci. Paris 318 (1994), № 10, c. 899-903.

25. Seitz G. M. Subgroups of finite groups of Lie type, J. Algebra 61 (1979), c. 16-27.

26. Seitz G. M. Root subgroups for maximal tori in finite gi-oups of Lie type, Pacif. J. Math. 106 (1983), № 1, c. 153-244.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

27. Джусоева Н. А., Койбаев В. А. Максимальные подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений дедекиндовой области, Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН 289 (2002), с. 149-153.

28. Джусоева Н. А., Койбаев В. А. Подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений кольца с однозначным разложением, Вла-дикавк. мат. журнал 5 (2003), № 4, с. 31-39.

29. Джусоева Н. А., Дзигоева В. С., Койбаев В. А. О максимальных подгруппах полной линейной группы над полем рациональных функций , Владикавказский мат.ж. 12 (2010), №4, с. 12-14.

30. Джусоева Н. А. Сетевые группы, ассоциированные с тором, Тезисы IX Международной школы-конференции по теории групп. Владикав-

17

каз (9 -15 июля). 2012. с. 47.

31. Джусоева Н. А. О извлечении трансвекций в надгруппах нерасщепи-мого максимального тора, Владикавк. мат. журнал 15 (2013), № 1, с. 15-18.

32. Джусоева Н. А. О сетевых кольцах, нормализуелшх максимальным торолі nadQ, Междунар.конфер. "Алгебра и комбинаторика". Тезисы. Екатеринбург (3-7 июня). 2013. с. 50-51.

33. Джусоева Н. А. Сетевые кольца нормализуемые тором, Труды ИММ УрО РАН 19 (2013) № 3, с. 113-119.

34. Джусоева Н. А., Койбаев В. А. Нормализатор элементарной сетевой группы, связанной с нерасщепимым максимальным тором в полной линейной группе над полем рациональных чисел, Междунар.конфер. "Алгебра и логика: теория и приложения". Тезисы. Красноярск (2127 июля). 2013. с. 45-46.

Подписано в печать 1.11.2013. Формат 60x84 '/16. Усл. п.-л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 149.

Издательство Северо-Осетинского государственного университета имени К. Л. Хетагурова, 362025, г. Владикавказ, ул. Ватутина, 46.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова

На правах рукописи

04201 453051

ДЖУСОЕВА Нонна Анатольевна

Надгруппы нерасщепимого максимального тора, содержащие одномерное преобразование, в полной линейной группе над

полем

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В.А. КОЙБАЕВ

Владикавказ - 2013 1

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.......................................... 4

ГЛАВА 1. Элементарные трансвекции в надгруппах нерас-щепимого максимального тора, содержащих одномерное преобразование ....................................... 18

§1.1. Общая постановка задачи............. 18

§1.2. Факторизация.................... 20

§1.3. Нормализатор полной линейной группы, связанной с промежуточным подполем............ 23

§1.4. Сети и сетевые группы............... 25

§1.5. Поведение трансвекций и связанных с ними элементов в промежуточных подгруппах......... 27

§1.6. Подгруппа с одномерным преобразованием содержит трансвекцию .................. 33

§1.7. Техника извлечения элементарных трансвекций 34 §1.8. Трансвекции в надгруппах нерасщепимого тора 35 ГЛАВА 2. Исследование структуры подгрупп (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы к),

содержащих нерасщепимый максимальный тор.......... 40

§2.1. Свойства матриц тора в случае произвольного

базиса конечного расширения.............. 41

§2.2. Тор, связанный с радикальным расширением основного поля....................... 43

§2.3. Кольца множителей и модули трансвекций промежуточной подгруппы................. 45

§2.4. Описание сетевых колец, нормализуемых тором 47 §2.5. Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с тором...................... 57

§2.6. Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с промежуточной подгруппой......... 60

§2.7. Включение в нормализатор (случай, когда все модули трансвекций первого столбца совпадают с кольцом Я, Яо С Я)..................... 63

§2.8. Нормализатор элементарной группы (случай произвольной сети) ..................... 69

ГЛАВА 3. Максимальные подгруппы (не содержащие 5Х(?г, к)) полной линейной группы С1/(п, /с), содержащие нерасщепи-

мый максимальный тор.............................. 73

§3.1. Факториальные кольца. Постановка задачи ... 73 §3.2. Свойства определителей матриц, определяющих

нерасщепимый тор.................... 77

§3.3. Построение максимальных промежуточных подгрупп, не содержащих 5Х(п, к) ............ 79

Литература....................................... 88

Обозначения...................................... 98

Введение

Одним из важнейших, перспективных и интенсивно развивающихся разделов современной алгебры является теория линейных групп. Теория линейных групп имеет связи с такими областями, как общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др. Линейные группы изучаются как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т. д. Большое количество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида (например, трансвекциями и отражениями), представление, изоморфизмы, максимальные подгруппы. Наша работа связана с изучением расположения подгрупп в линейных группах, точнее, с направлением, в котором изучаются подгруппы линейной группы, содержащие фиксированную подгруппу. Перечислим некоторые результаты этого направления.

Классическим результатом этого направления является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом. Далее, в 1965 г. в классической работе Бореля — Титса [72] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п,/с), содержащих группу диагональных матриц -0(п, к) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат Бореля — Титса был значительно усилен 3. И. Бореви-чем [9] в 1976 г.

Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмидт. Я. Н. Нужин), посвященных описанию подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [10, 61-63, 65, 70 ]). Отметим, что в работе Я. Н. Нужина [61] описаны промежуточные подгруппы всех групп лиева типа, когда основное поле является алгебраическим расширением меньшего. В серии работ [24, 64. 75, 82] изучались максимальные подгруппы в линейных группах и группах Шевалле.

Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения

подгрупп ленинградской-петербургской алгебраической школы (3. И. Бо-ревич, Н. А. Вавилов и их ученики). На протяжении многих лет усилиями этой алгебраической школы была развита техника и методика исследований подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Именно с этими исследованиями и методиками тесно связаны результаты нашей работы. Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа 3. И. Бореви-ча [9], в которой было дано описание подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. Оказалось, что для любого поля к все промежуточные подгруппы H, D = D(n, к) ^ H ^ GL(n: к) — G, являются алгебраическими, решетка Lat(D, G) всех промежуточных подгрупп конечна и эта решетка не зависит от поля /с, если только число элементов в к не менее семи (случаи полей из 3,4 и 5 элементов были рассмотрены В. А. Койбаевым (см., например, [45, 46])). В дальнейшем, в работах З.И.Боревича и Н.А.Вавилова (см., например, [11. 12, 21]) этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы G — GL(n,R), содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть (ковер, см. [10, 43, 58]) идеалов о = (аг]) над кольцом R такая, что G (а) ^ H ^ N(cr), где N(a) - нормализатор сетевой группы G (а) в полной линейной группе G.

Цикл работ Н. А. Вавилова, Е. В. Дыбковой, С. JI. Крупецкого посвящен описанию надгрупп расщепимого максимального тора в ортогональной, симплектической и унитарной группах (см, например, [27, 57]).

Отметим обобщающий результат Н. А. Вавилова [22], в котором дается описание подгрупп расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный расщепимый тор над полем к с числом элементов не менее семи элементов.

Описанию подгрупп линейных групп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц, посвящены работы 3. И. Боревича, Н. А. Вавилова, Н. С. Романовского, С. JI. Крупецкого и В. А. Койбаева (см., например,

[13, 14, 15, 26, 44, 66]).

Первый шаг в решении проблемы описания надгрупп максимального тора в группах Шевалле сделал Г. Зейтц [87, 90], который это описание получил для групп Шевалле над конечным полем из д элементов, д > 11 (при этом в случае максимального расщепимого тора предполагается, что д нечетно [87], а в случае произвольного тора — характеристика поляр > 5 [90]).

Подгруппы специальной линейной группы 5Х(п, Я) над полем Д, содержащие группу диагональных матриц в И (п. Я) были описаны при п ^ 3 в серии работ Н. А. Вавилова [23] 1-1V . Было установлено стандартное описание для случаев, когда Я = К - поле, содержащее не менее семи элементов, а также когда Я - коммутативное полулокальное кольцо и каждое его поле вычетов содержит не менее Зп + 2 элементов. Базисными подгруппами стандартного описания в этом случае служат группы С(сг)п5Х(п, Я). Как показано в работах В.А.Койбаева [45, 46] в случае полей из четырех и пяти элементов можно также говорить о стандартном описании решетки промежуточных подгрупп. Отметим отдельно, что достаточно сложный случай решетки подгрупп специальной линейной группы второго порядка над полем (нечетной характеристики и содержащим не менее 13 элементов), содержащих группу диагональных матриц был рассмотрен О.Кингом [83], который доказал стандартность указанной решетки. Особо отметим, наконец, цикл работ Н. А. Вавилова (см., например, [23, 25]), где задача описания надгрупп расщепимого максимального тора решается для групп Шевалле всех типов над полями, содержащими не менее семи элементов.

Исследование надгрупп нерасщепимого тора является, на наш взгляд, значительно более сложной, задачей. В настоящей работе мы концентрируем внимание на исследовании промежуточных подгрупп полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с расширением основного поля (минизотропный тор). В более общей постановке эта задача (связанная по классификации Ашбахера с надгруппами класса Сз) может быть сформулирована следующим образом. Пусть К/к — конечное расширение полей степени га, V — векторное пространство раз-

мерности п над полем К (и размерности тп над к), тогда, очевидно (нелинейное отображение является /с-линейным), СЬк(У) < СЬ^У), или в матричной форме СЬ(п,К) < СЬ(тп,/с). Заметим, что при п — 1 группа СЬ{\,К) = К* является нерасгцепимым максимальным тором. Сформулируем результат, принадлежащий Ли Шанчжы [84], который сводит рассматриваемую задачу к нерасщепимому тору. Пусть п > 3, тогда для всякой промежуточной подгруппы Н,

БЬ^п, К) < Н < СЬ(тп, /с) = С, найдется единственное промежуточное подполе к < Ь < К, [К : Ь] = с1 так, что подгруппа Н заключена между группой I/) и ее нормализатором в С. В случае п = 2, к ^ Рг, возникает еще одна серия промежуточных подгрупп, а именно, группы Бр{2(1, Ь), для всех промежуточных полей Ь,к < Ь < К, [НС : Ь] = (1.

Отметим, что для случая конечного поля Роджер Дай [76-78] описал надгруппы СЬ(п, К) в СЬ(пт, к) в предположении п > 1.

К настоящему времени полное описание надгрупп нерасщепимого тора получено лишь для некоторых специальных полей таких, как конечные или локальные. Для конечных полей это работы У. Кантора, Г. Зейтца и Р. Дая [76-78, 80, 87, 90], в которых получены окончательные результаты для полей (характеристики не равной 2 и 3), содержащих не менее 13 элементов. Отметим, что в работах Г. Зейтца получено описание подгрупп конечных групп Шевалле, содержащих произвольный максимальный тор. Вопросы классификации торов рассмотрены в [81]. Важные результаты о надгруппах нерасщепимого тора для локальных и глобальных полей получены В. П. Платоновым [86]. В случае поля вещественных чисел К надгруппы максимального тора замкнуты в вещественной топологии и, в частности, имеется только конечное число промежуточных подгрупп [74, 86].

В отличие от конечных полей в случае бесконечных полей расположение надгрупп нерасщепимого тора определяется некоторым классом подколец основного поля. А именно, определяется некоторое наименьшее кольцо Яо основного поля к так, что расположение всякой подгруппы, содержащей нерасщепимый тор, фиксируется элементарной сетевой группой, построенной (сетью идеалов) над промежуточным кольцом Я, Яо < Я < к.

На примере работ [4-6, 18, 39, 48, 49] покажем как выглядит кольцо До в случае группы Если к — локальное числовое поле (конечное

расширение поля р-адических чисел, р ^ 2), а тор определяется нераз-ветвленным квадратичным расширением поля /с, то кольцо До совпадает с кольцом целых элементов нормализованного нормирования поля к (в этом случае мы имеем счетное число промежуточных подгрупп). В случае глобальных полей картина сложнее. Если к = (Ц) — поле рациональных чисел (тор определяется квадратичным расширением , с? — целое рацио-

нальное, свободное от квадратов), то кольцо Д о состоит из всех рациональных чисел, в знаменатели которых (в несократимой записи) входят только те простые числа, по модулю которых с1 является квадратичным вычетом. Таким образом, в случае поля рациональных чисел в группе СЬ(2, (О)) имеется континуум надгрупп нерасщепимого тора. Если же к — ^(¿) — поле рациональных функций (с коэффициентами из конечного пoляFg нечетной характеристики), а тор определяется квадратичным расширением к{-^ДГ). где /1 — неквадрат поля Fg, то кольцо До совпадает с множеством всех (полуправильных) рациональных дробей с^(/) < знаменатели

которых являются произведением неприводимых многочленов над полем F9 четной степени (континуум промежуточных подгрупп).

Отметим, что для более подробного ознакомления с проблематикой мы рекомендуем обзоры А.Е. Залесского [40-42], А. С. Кондратьева [55],

A. С. Кондратьева, А. А. Махнева, А. И. Старостина [56], Н. А. Вавилова,

B. В. Нестерова , А. В. Степанова [25, 28, 29, 30, 94, 95].

Настоящая работа посвящена исследованию подгрупп (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы СЬ(п, £;), содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с радикальным расширением степени п поля к.

Сформулируем основные результаты диссертации:

- определены модули трансвекций и кольца множителей промежуточной подгруппы; доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, а модуль трансвекций является целым идеалом кольца множителей:

- получены необходимые и достаточные условия нормализуемости сете-

вого кольца тором;

- определены сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с промежуточной подгруппой;

- доказана структурная теорема о включение промежуточной подгруппы в нормализатор элементарной сетевой группы для случая, когда все модули трансвекций (первого столбца) промежуточной подгруппы совпадают с кольцом;

- вычисляется нормализатор элементарной группы в полной линейной группе;

- строятся максимальные нетривиальные (не содержащие специальную линейную группу) подгруппы полной линейной группы, содержащие нерас-щепимый максимальный тор.

Содержание диссертации распределено по трем главам.

В первой главе, которая носит предварительный характер, рассматриваются общие вопросы расположения подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п,/с), содержащих нерасщепимый максимальный тор Т — Т(с?), связанный с расширением К степени п основного поля к. В §1.1 рассматривается общая постановка задачи, в §1.2 — факторизация промежуточных подгрупп. В §1.3 вычисляется нормализатор подгруппы, связанной с промежуточным подполем, в частности, нормализатор тора. В §1.4 напоминается определение сети и сетевой группы. Однако основное внимание в этой главе уделено надгруппам нерасщепимого максимального тора, содержащим одномерное преобразование. Излагаются в основном технические результаты (§1.5-1.6), касающиеся свойств матричного представления максимального тора, а также свойств одномерных преобразований, содержащихся в промежуточной подгруппе. Представляется также техника извлечения элементарных трансвекций (§1.7) в промежуточных подгруппах, содержащих одномерное преобразование. Эти результаты мы будем использовать в дальнейшей нашей работе. В §1.8 доказывается (теорема 1.8.2), что в случае простого (в частности, радикального) расширения степени п основного поля всякая промежуточная подгруппа, содержащая одномерное преобразование, содержит элементарную трансвекцию на каждой позиции

(г, Л 1 <ъфз<п.

Основные результаты получены во второй и третьей главах.

Во второй главе проводится исследование структуры подгрупп Н (содержащих одномерное преобразование) полной линейной группы С = СЬ(п, к) порядка п над полем /с, содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т{(£). В силу результатов (теоремы 1.8.1 и 1.8.2) §1.8 главы 1, мы можем считать, что каждая такая промежуточная подгруппа Н "богата трансвекциями". А именно, для любых г ф € Н для

некоторого £ Е к, £ ф 0. Далее, на протяжении всей главы в качестве поля к, сНагк ф 2, мы рассматриваем либо произвольное поле, либо поле, которое является полем частных области главных идеалов Л, причем все промежуточные подкольца Я. А С Я С /с, также являются кольцами главных идеалов, (все эти условия выполняются, например, когда к — ((])). В последнем случае поле мы обозначаем через Е, к = Е. В дальнейшем, если в качестве поля мы рассматриваем поле Е, то мы считаем, что (1 = Р1Р2---Рт — произведение попарно различных (неассоциированных) простых элементов рг Е А, (1 Е А.

В §2.1 рассматриваются свойства матриц тора для случая произвольного расширения основного поля. §2.2 посвящен общей постановке задачи, а также построению матриц С{х) (которыми мы пользуемся на протяжении всей работы) тора Т = Т(ё) для случая радикального расширения основного поля.

Пусть хп — с1 — неприводимый многочлен степени п над полем к, <1 Е к. Тогда ег = вг~\1 < г < п, образует базис радикального расширения

поля К = к (в) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(с^), который является образом мульти-пликативнои группы поля

К*—> АЫк(К), г—

при регулярном вложении в С = АиЬк{К) ~ С1/(п. к), где Ь{а) = Ьа а Е

К. Таким образом, матрица отображения £ в выбранном базисе имеет вид

С(х) =

(

00{¿Х^

х2 XI

(1X2 (1X2,

\^хп хп^1 . . . х\ у

Следовательно, в выбранном базисе тор Т = Т{в) определяется как матричная группа

Т = Т{(1) = {С(х) :хекп\ 0}.

Для элементов матрицы С(х), определенной для произвольного вектора х = (а?!,..., хп) справедлива формула

2-1+1—^)

3 < ц

с1хт

В параграфе 2.3 для промежуточной подгруппы, содержащей тор Т, мы определяем м�