Подгруппы в линейных группах, содержащие максимальный тор тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

? п 110Й

'- И Санкт-

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Владимир Амурханоиич КОЙБАЕВ

ПОДГРУППЫ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ, СОДЕРЖАЩИЕ МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ д-р физ.-мат. наук, проф. Зенон Иванович БОРЕВИЧ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ д-р физ.-мат. иаук, проф. Николай Александрович ВАВИЛОВ д-р физ.-мат. наук, проф. Александр Васильевич МИХАЛЕВ д-р физ.-мат.наук, проф. Николай Семенович РОМАНОВСКИЙ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Защита состоятся 139 в //'часов на заседании

Специализированного Совета Д u63.57.29 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете.

Адрес совета: 198904, С.-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет.

Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, паб.р.Фонтанки, д.27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского университета: С.-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан "/с'а?й>.Л994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доцент

С.М.Ананьевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория линейных групп — один из центральных разделов современной алгебры. Она имеет многочисленные связи с такими областями, как теория алгебраических групп, теория колец, теория групп и алгебр Ли, геометрическая я линейная алгебра, алгебраическая /¿"-теория, алгебраическая теория чисел.

Большое количество работ, связанных с теорией линейных групп, определяется широким интересом к этой теории. При этом линейные группы изучаются в самых различных аспектах: как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т.д. Ис- ■ следования посвящены таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида, представление, изоморфизмы. Наша работа относится к изучению расположения подгрупп в линейных группах.

. Конечно, недостижимым идеалом было бы явное описание вообще всех подгрупп в линейных группах. Однако до сих пор такое описание получено лишь в линейных группах небольших степеней над конечным полем. Поэтому обычно ограничиваются изучением подгрупп, выделяемых условиями различного характера: теоретико-группового, матричного и т.д. Перечислим несколько фундаментальных циклов исследований.

Отметим важное направление — изучение подгрупп, порожденных элементами специального вида. Классификация конечных линейных групп, порожденных отражениями над полем характеристики ноль относится к числу классических результатов теории линейных групп (см., например, [0], [35]). Значительным достижением является выполненная Дж. Томпсоном [48] классификация неприводимых линейных групп над конечным полем характеристики р > 3, содержащих матрицу, удовлетворяющую уравнению (г — I)2 = 0. Полная классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных трансвекциями пад полями положительной характеристики получена в работах Дж. Маклафлииа, А. Е. Залесского, В. Н. Сережкина, А. Вагнера, Поллачек ([41], [42], [44], [21]). В работах А. Е. Залесского и В. Н. Сережкина ([22], [23]) получена полная классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных отражениями пад полем нечетпых характеристик. Отметим также работу А. В. Корлюкова [27], в которой классифицирова-

ны конечные линейные группы, порожденные двумерными преобразованиями порядка г > 5 над полями характеристики р > 7.

Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмндт), посвященных описанию подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [4], [7], [31], [33]).

В серии работ (см. [13], [30], [37], [39]) изучались максимальные подгруппы в линейных группах и группах Шевалле.

Еще одно направление в изучении линейных групп — это описание надгрупп некоторой фиксированной подгруппы. Классическим результатом такого рода является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом [49]. Далее, в 1966 году в классической работе Вореля-Титса [34] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы G = GL(n,fc), содержащих группу диагональных матриц Т = D(n,k) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат Бореля-Титса был значительно усилеи 3. И. Боревнчем [3] в 1976 году. Как выяснилось, для любого поля к все промежуточные подгруппы II, D(n,k) < Н < GL(n,k), являются алгебраическими, решетка Lat (Т, G) промежуточных подгрупп конечна и не зависит от поля к, если только card к > 7. Работа 3. И. Боревича [3] дала мощный импульс в изучении подгрупп содержащих группу диагональных матриц (вполне расщепимый максимальный тор). Исследование развивалось в основном в двух направлениях. С одной стороны велась работа по перенесению результатов с полной линейной группы на классические линейные группы, а также группы Шевалле над полем. С другой стороны, многие результаты были перенесены на линейные группы над кольцами.

В серии работ 3. И. Боревича и Н. А. Вавилова описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц было перенесено на полулокальные кольца (см. [5], [10]).Цикл работ Н. А. Вавилова, Е. В. Дыбковой, С. Л. Крупецкого посвящен описанию подгрупп ортогональной, симплектической и унитарной групп, содержащих вполне расщепимый максимальный тор (см. [14], [15], [18], [19], [28-29]). •

Отметим обобщающий результат Н. А. Вавилова [11], в котором дается описание подгрупп расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный вполне расщепимый тор над полем к, содержа-

щим не менее семи элементов.

Описанию подгрупп линейных групп, содержащих группу кле-точно-диагональных матриц, посвящены работы 3. И. Боревнча, Н. А. Вавилова, Н. С. Романовского, С. Л. Крупецкого и автора (см. [6], [14-10], [18], [24], [25], [28], [32]).

Первый шаг в решении проблемы описания подгрупп групп Ше-валле, содержащих максимальный тор, сделал Г. Зейтц [45], [47], который это описание получил для групп Шевалле над конечным полем из г/ элементов, д > 11 (при этом в случае максимального вполне расщепимого тора предполагается, что д нечетно [45], а в случае произвольного тора — характеристика поля р > 5 [47]). В серии работ Н. А. Вавилова [12] I—IV получено описание подгрупп специальной линейной группы ЗЬ{п,к), п > 3, содержащих группу диагональных матриц, над произвольным полем к, содержащим не менее семи элементов. Отметим также замечательную работу О. Кинга [40], который получил описание подгрупп специальной линейной группы 51/(2,^) над произвольным полем К, содержащих группу диагональных матриц. Особо отметим, наконец, большой цикл работ Н. А. Вавилова (см., например, [12], [17]), где задача описания подгрупп, содержащих вполне расщепимый максимальный тор, решается для групп Шевалле всех типов над полями, содержащими не менее семи элементов.

Перейдем теперь к обзору результатов о подгруппах, содержащих нерасщештмый тор. На данный момент этот участок деятельности представляется нам наименее исследованным. В работе У. Кантора [38] получено описание подгрупп полной линейной группы над конечным полем, содержащих максимальный нерасшепимый тор (цикл Зингера). Далее, Г. Зейтц [45], [47], перенес этот результат на конечные группы Шевалле. Достаточно простой случай поля вещественных чисел исследован в работе Дьековича [36]. В работах А. А. Еоп-дарешео [1,2] описываются подгруппы полной линейной группы второго порядка йЬ (2, к) над локальным числовым полем к, содержащие нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор), соответствующий неразветвленному квадратичному расширению К локального числового поля к. В работах автора [57],[59], атакже (совместно с 3. И. Воревичем и Чан Нгок Хоем) [8] исследуются подгруппы полной линейной группы йЬ (2,0) над полем рациопальных чисел (2, содержащие максимальный нерасщепимый тор. В работе В. П. Платонова [43] анонсируется результат исследований подгрупп группы

б л" А'-точек редуктивной группы С, содержащих максимальный тор Тк. Достаточно подробное исследование в ней проведено для поля вещественных чисел К. и для случая, когда К — локальное поле; рассматривается также случай глобального поля К.

Отметим, что для более подробного ознакомления с проблематикой мы рекомендуем обзоры Н. А .Вавилова [16,17], А. Б. Залесского [20] и А. С. Кондратьева [26].

Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением расположения подгрупп в линейнных группах, содержащих максимальный тор. Вопросы и методы, возникающие в работе оказываются естественно связанными с перечисленными циклами исследований. Таким образом ,тематик:а диссертации является вполне актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является исследование подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих иерасщепи-мый максимальный тор, а также окончательное решение проблемы Зейтца для БЬп>з.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются методы и результаты теории линейных групп, а также методы теории колец и полей. Методика выполнения исследования структуры промежуточных подгрупп основана на технике извлечения трансвекций, а также некоторых матриц специального внда. Для исследования промежуточных подгрупп построен метод, основанный на определении модуля трансвекций и его кольца множителей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются повыми. Получены следующие основные результаты:

1) Получено достаточное условие на подкольцо основного поля, при котором это кольцо реализуется с помощью промежуточной подгруппы полной линейной группы над полем, содержащей нерасще-пимый максимальный тор. В частности, строится серия максимальных нетривиальных (не содержащих специальную линейную группу) подгрупп, содержащих иераацепимый максимальный тор для поля рациональных чисел.

2) Исследованы подгруппы полной линейной группы порядка 2 над полем, содержащие нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор). В качестве приложения дается описание указанных промежуточных подгрупп в случае поля рациональных чисел.

3) Дается окончательное решение проблемы Зейтца для 5Ь„>з-

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейшем при описании подгрупп линейных групп, содержащих максимальный тор.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на IX и X Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Москва, 1984; Минск, 198С), XVIII Всесоюзной алгебраической конференции (Кишинев, 1985), Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, 1991; Красноярск, 1993), а также неоднократно докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Петербургского отделения Математического института РАН и кафедры высшей алгебры п теории чисел Санкт-Петербургского университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50]-[64], перечисленных в конце автореферата.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения н пяти глав и занимает 205 страниц машинописного текста. Библиография содержит 134 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит предварительный характер и посвящена общим вопросам расположения промежуточных подгрупп. В этой главе (в хронологическом порядке) излагаются понятия и методы, необходимые нам для изложения результатов диссертации. В §1 напоминается определение сети и сетевой группы. В §2 дается определение веерной подгруппы и полниормальной подгруппы. В §3 излагается общий подход, предложенный 3. И. Боревнчем, к исследованию решетки

Lat (T,G) = {Я: T<H<G}

промежуточных подгрупп произвольной группы G, содержащих фиксированную подгруппу Т. А именно, па решетке Lat(T,G) вводится структура графа (граф нормальности), принимая в качестве вершин графа все промежуточные подгруппы: вершина Яi соединяется направленным ребром с вершиной Я2, если Н\ < Я2. Связные компоненты графа нормальности называются гирляндами решетки Lat{T,G). Таким образом, решетка Lat(T,G) представляется в виде дизъюнктного объединения своих гирлянд. Следовательно, изучение решетки Lat (Т, (?) сводится к описанию множества пс?х

гирляпд, а затем к описанию строения каждой гирлянды а отдельности. Среди множества всех гирлянд выделяются две: гирлянда Г,, содержащая подгруппу Т и гирлянда Г", содержащая группу G. Они называются соответственно нижней и верхней гирляндами решетки Lat(T,G). На решетке Lat(T,G) вводятся операции подъема Я — HW = iVG(tf) и спуска II —» Я(1) = Т" = {Ir'Th: h £ II). Очевидно, что каждая гирлянда Г решетки Lot(T,G) шшарипигпя относительна этих операций. Операции подъема и спуска допускают итерирование: Я(п) = (Я'"-1*)^1', Я(„) = (Я(,,_]))(]). Таким образом, всякая промежуточная подгруппа Я определяет две последовательности (два субнормальных ряда): возрастающую последовательность подъемов и убывающую последовательность спусков подгруппы Я. Гирлянда Г решетки Lat (Г, G) называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если для любой подгруппы II 6 Г последовательность подъемов (спусков) стабилизируется на конечном шаге. Гирлянда имеет конечный тип, если она ограничена сверху л снизу. В §3 формулируются утверждения об ограниченных сверху и снизу гирляндах. Оказывается, что гирлянда Г решетки Lat(T,G) ограничена снизу тогда и только тогда, когда она содержит полную промежуточную подгруппу (то есть подгруппу F 6 Г такую, что TF = F). Следовательно, все ограниченные снизу гирлянды решетки Lat(T,G) находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми полными промежуточными подгруппами. Аналогичное утверждение справедливо для ограниченных сверху гирлянд (при условии, что операция подъема удовлетворяет условию монотонности на гирляндах: если А, В 6 Г и А < В, то < В(1)); в этом случае роль полных промежуточных подгрупп играют самопормалпзуемые промежуточные подгруппы.

Во второй главе излагаются результаты, связанные с расиоложе-нием подгрупп полной линейной группы G = GL{n,k) степени п над iцюизиольиъш нолем к, содержащих иерасщешшыН максимальный тор Т. В §1 даегся общая постановка задачи. Пусп> к — иоле, К/к — конечное расширение степени « ноля к. Имеет место регулярное вложение мультипликативной группы А"* ноля А" в группу G = GLj..(A") = Аи1ь(К) всех ¿-линеКных обратимых отображений поля ft":

К* —* G,

при котором всякому элементу а б Л"* ставится в соответствии отображение 5: а (.г) = а/, х £ К. Образ К* при этом вложении

мы обозначаем через Т — Т (К) (нерасщепимый максимальный тор). Ясно, что Т = Т (К) = GLk(K). Очевидно, что если зафиксировать базис ноля К над к, то группе СК^(К) соответствует полная линейная группа G = GL(n,k), а тору Т = Г (Л") некоторая матричная группа, которую мы также обозначаем через Т. Таким образом, мы получили задачу изучения решетки

Lat (Т, G) = {Я: Т < Я < G}

подгрупп Н группы G = GL(n,k), содержащих нерасщепимый максимальный тор Т.

В качестве примера промежуточных подгрупп выделим полные линейные группы GLi(K), связанные с промежуточными подполями L, к С L С А". А именно, GL^(K) — это группа всех ¿-линейных обратимых отображений векторного пространства К над полем L. Яспо, что

Т = Т(Л') = GLK(I<) < GLl{I{) < GLk(K) = G.

В §3 мы вычисляем (отметим, что нумерация утверждений соответствует нумерации, соответствующих утверждений диссертации) нормализатор подгруппы GLi(K) в группе G = GLk(K): он совпадает (следствие 2.3.6) с полупрямым произведением нормального делителя GLi(K) и группы, изоморфной группе Aut(L/k) всех автоморфизмов поля L, тождественных па к. На самом деле в §3 доказывается более общий результат, однако мы выделили тот случай, который касается непосредственно нашей работы. Для промежуточного подполя L, к С L С К, через Г^ обозначим гирлянду решетки Lat(T,G), содержащую подгруппу GLc(K). §5 посвящен вычислению гирлянды Г/;. Пусть Я = GLi(K), тогда (теорема 2.5.8)

Г L = Lat(Tl!,NG(H)),

причем как показано в 2.5.1 (за исключением одного случая)

Т" =T-SLL(K),

причем '2.5.3) группа Т" является полной промежуточной подгруппой и решетке Lat (Т, G). В частности, в заключение §5 дается описание верхней и нижней гирлянды решетки Lat,(T,G) соответственно Г* = Г,- и Г. = Г*.

В §7 (см. также §1 гл.Ш) мы определяем модуль трансакций и кольцо множителей, связанные с промежуточной подгруппой Л, содержащей трансвекцшо. Эти понятия играют существенную роль и дальнейшей работе. Итак, пусть Н — промежуточная подгруппа, Т < Я < G = GLic(K), содержащая трансьекцшо, то есть отображение т (a, ¡р) = 1 + а<р, где а G А", ¥>: А" —> к — ненулевой функционал, причем ip (а) = 0. Зафиксируем ip п рассмотрим множество (модуль трансвекций)

= е К: т (ы, ф) € Я},

которое является подгруппой аддитивной группы А'+, далее, рассмотрим кольцо множителей R модуля А^.

R = R(A„) = {А 6 к: АС AJ.

Оказывается это кольцо множителей R ire зависит от функционала 9?, а зависит только от подгруппы Н. Таким образом, всякой промежуточной подгруппе И, содержащей траисвекцшо, мы ставим в соответствие некоторое нодкольцо R = Л (Я) поля к, которое и называем кольцом множителей промежуточной подгруппы Я. Под-кольцо R поля к называется допустимым, если для некоторой промежуточной подгруппы Я, Т < Я < G, нодкольцо R совпадает с кольцом множителей Я (Я): R = Я (Я). Исследование таких колец, реализуемых с помощью промежуточной подгруппы, позволяет нам извлекать информацию о строении решетки промежуточных подгрупп Lat(T,G). В §7 исследуются промежу точные подгруппы, содержащие элементарную трансвек цшо. Сформулируем основной результат §7.

Пусть К — к () — радикальное расширение степени п поля к, G = GL(n,k), Т = T(¡i) — максимальный нерасщепимый тор, связанный с радикальным расширением К/к. В естественном базисе ноля К — k(tfjl) над к тор X = T{fi) совпадает с множеством всех матриц с = с (i) = (c,j), х = (ац,... ,£„) € к", х ф 0, элементы которых определяются следующим образом:

/ x¡+i-j> j < I ¿ix„ + i + 1-.j, j>l + 1.

С каждой матрицей с — с (.т) 6 Т (/0 связана обратная матрица с-1 =

е(у) = {c'ij) е ТОО, У = (у 1,...,!/«) 6 кп, причем y¡ = где

а - = / 3

I I^An+¡+■i-j, 3 ;

С— алгебраическое дополнение элемента сц матрицы с — с (.г). Введем и рассмотрение подкольпо Яо = Л(/х) поля к следующего вида:

Я() = Я{)1) = т\щ(хцн,11хгу»: i+ j < п + 1,г + .1 > п + 1,х в кп\0).

Теперь мы формулируем основной результат §7. Пусть Я — подкольпо поля к, содержащее кольцо Яо. Пусть, далее, .4 \,..., Л п — плеачы кольца Я, причем

С ■•• С Ап, /1АП С Л].

Рассмотрим сеть идеалов а — определенную следующим образом:

< «'; ' >¿ + 1.

Теорема 2.7.7. Тор 1 — Т (ц) нормализует сетевую группу С (а), а потому II — Т ■ О (сг) — промежуточная подгруппа, содержащая т,ор Т, причем для всех г ф } корневая подгруппа А-,] =.{« € 6 Н} совпадает с <7;у.

Рассмотрим частный случай этой теоремы, взяв Лг = • • • = Ап = Я, Л Э Но, а а = — сеть, для которой = Я, если г > ] и о,) — /¡Я, если I < j. Тогда Нл = Т ■ ¿У (ол) — промежуточная подгруппа, содержащая тор Т, причем, как нетрудно впдеть,кольцо множителей подгруппы Нц совпадает с кольцом Я. Следствие 2.7.8. Надкольцо Я поля к, содержащее кольцо Я о = Я (/<) является допустимым.

В §8 мы применяем результаты исследований §7 к случаю полной линейной группы (7 = 0,{п, <2) степени п над полем рациональных чисел 0>. А именно, мы строим примеры максимальных нетривиальных (не содержащих 5.£(п,<0>)) подгрупп группы <3 = СгЬ(п,<0|), содержащих тор Т. Пусть Л" = ($( \/3) — радикальное расширение степени п поля рациональных чисел где [1 — (I — целое, свободное от квадратов, Т = Т(Щ — максимальный нерасщепимый тор, связанный с этим расширением. Основным результатом §8 является Теорема 2.8.7. Пусть р — простой делитель числа (1, —

кольцо всех р-целых чисел. Тогда Эля сети ор

Чр) ••■

Чр) ••■ Нг)

группа Нр = Т ■ G (ар) является максимальной нетривиальной (не содержащей SL (n, <Q>)) подгруппой полной линейной группы G — GL (п, Q), содержащей тор Т = T(d).

Отметим интересное следствие 2.8.8 из этой теоремы, взяв и качестве d произвольное простое число р: для всякого простого числа р группа Т (p)-G (стр) является максимальной нетривиальной подгруппой полной линейной группы GL (n,Q).

В главе III рассматривается случай квадратичного тора. Пусть к — произвольное ноле характеристики не равной 2, К = k(^/Ji) — квадратичное расширение ноля к. Пусть, далее, Т = X (/¿) — максимальный нерасщепимый тор в полной линейной группе G = GL (2, к), связанной с квадратичным расширением К/к (квадратичный тор). В третьей главе исследуется решетка промежуточных подгрупп Lat(T,G). Как было указано в главе II, всякой промежуточной подгруппе Н, содержащей трансвекцшо, ставится в соответствие кольцо множителей R = Л (Я). В §1 доказывается следующий результат.

Теорема 3.1.2. Пусть R — R(II) — кольцо множителей промежуточной подгруппы Н, Т < Н < G, Т — Т(ц) — квадратичный тор. Тогда для всех z 6 К*

где tr (2) и N (г) — соответственно след и норма элемента г в расширении К/к.

Эта теорема служит основанием для рассмотрения подкольца R0 = R (/<) ноля к, определенного квадратичнь..л расширением К/к\

Яо = ЯМ= ring (1,2-

Таким образом, согласно теореме 3.1.2 кольцо множителей R -R(H) всякой промежуточной подгруппы Н содержит подкольцо R0.

Далее, для удобства мы переходим к матричному языку исследования. Выбирая естественный базис \,\ffi поля

К = k(y/Jl) над

к, мм исследуем промежуточные подгруппы Н, Т = T(/i) < Н < GL (2, к) = G, где

Т = Т(,«) = {(* *.t/e*, (*,!/)*(0,0)}.

Если промежуточная подгруппа Я не содержит элементарной транс-векцни, то как следует пз §4 (см. 3.4.7) II совпадает либо с тором Т, либо с его нормализатором JVg(T) (который равен нолупрямому произведению тора Т на циклическую группу порядка 2, порожденную

матрицей ^ ^ ^ ). Поэтому мы сосредоточим наши исследования на промежуточных подгруппах, содержащих элементарную транс-векцшо. В этом случае модуль трансвекцнй А н кольцо множителей R = Л (Я) промежуточной подгруппы Я определяются следующим образом

.4 = Л(Я) = {а6*: !) 6 Я} '

заметим, что А ф (0), так как Я содержит трансвекцию,

R — R(H) = {А £ к: АД С Л}.

На протяжении всего дальнейшего изложения результатов этой главы мы считаем, что 2 е Щ. Согласно теореме 3.1.2 кольцо множителей R содержит подкольцо Ro = R((t), которое (в базисе) имеет вид

Ro = ring —\ • xefc - М/

Лемма 3.2.1. Для любых х,у 6 к элементы рх уху

x2-/i' (.т2 - ц)(у2 ~ /О

содержатся а кольце Rq.

Так как R Э R0, то эта лемма позволяет нам определить идеал

Q кольца множителей R. А именно, пусть Q — идеал кольцо R,

их

порожденный всеми элементами ---6 Ro Q R, х е к:

х1 — 11

Q = ideal (-—-) ■

xZk \х2 - ¡1 J Нетрудно видеть, что справедливы включения • (iRCQC R, Q2 С ,//?.

Пусть теперь А произвольная аддитивная подгруппа поля к, А < к+, А Ф (0), Я — Я (Л) — кольцо множителе!! модуля Л. Предположим, что ЯЗЯ о и цА2 С Я. Рассмотрим та блицу

V Л (2А)' которая (согласно лемме 3.2.3) является сетыо.

Теорема 3.2.5. Пусть А < к+, Я — кольцо множителей модуля А. Если Я Э Я0 и /'А2 С Я, то тор Т нормализует сетевую группу в (а), а потому Т ■ С (ст) — промежуточная подгруппа, содержащая тор Т.

Определение. Пусть А — подгруппа аддитивной группы поля к, А ф (0), Л < II = Я (А) — кольцо множителей модуля А. Пара (Я, А) называется допустимой, если для некоторой промежуточной подгруппы Я, Т < II < С, А совпадает с модулем трансвекций группы II, а Я с его кольцом множителей: А — А(Н), Я = Я(Н). Далее, 1шдколъцо Я пом. к допустимо, если для некоторой промежуточной подгруппы II мы имеем Я = Я(Н).

Теорема 3.2.6. Для того чтобы нара (Я, Л) била допустимой необходимо и достаточно, чтобы Я0 С Я и /хА2 С Я.

Доказательство этой теоремы непосредственно использует теорему 3.2.5.

Как было уже сказано выше со всякой промежуточно!) подгруппой Я, содержащей трапсвекцшо, связан модуль траисвокцнй Л = Л (Я) и его кольцо множителей Я = Я(Н). Согласно теореме 3.2.0 тогда Яа С Я и цА2 С Я. Следовательно, с подгруппой Я связана сечь

/С?Л

\А (}А)■

Через Е{а) обозначим подгруппу, порожденную всеми (общими) трансакциями из в (а). В §3 доказывается следующая теорема, ко-юрая носит структурный характер.

Теорема 3.3.1. Для всякой промежуточной подгруппы]-}содержащей трансвекцию, Т ■ Е (гг) является группой, причем

Т-Е(о)<Н <Агс,(Е(а)).

Далее, мы вычисляем нормализатор Nc(E (а)). Согласно предложению 3.3.2 нормализатор Na(E(a)) совпадает с группой Т • G (u<), где

П (Г 1Q R

. /1 J

Пусть (R, .4) — допустимая пара. Положим

Lut (R, /1) = {Я 6 Lut (Т, G)-. A(II) = A, JÎ(H) = R}.

Согласно теореме 3.5.1 Lat (R, Л) является иодрешеткой решетки тех промежуточных подгрупп Lut(T,G), причем очевидно, что для различных допус тимых пар (R.A) подмножества Lat(rt,A) не пересекаются. Следовательно, решетка промежуточных подгрупп Lut (Г, G) представляется в виде дизъюнктного объединения

Io/(T,G) = {T}lJ{JY(7(r)} (J Lat{R,A), m,Л)

где объединение берется по всем допустимым парам (Л, А). Так как (теорема 3.2.6) мм имеем описание допустимых нар, то изучение решетки промежуточных подгрупп сводится к изучению иодрешегки Lat (Г!, А) для произвольной допустимой пары (R,A).

В §б доказывается, что подрешетка Lat(R,A) обладает наибольшей и наименьшей подгруппами и дается их построение. Рассмотрим функции)

(/in+x)2-/i ( fix \2 / /< У

/ (.г, п) = --- =14- —,-« - /II ~--а ) ,

х2-/г \ х* - ц J \х--ц J

определенную для всех а 6 Л, х 6 к. Имеем / (х, о) 6 (1 -j- Q.1)* < R* для всех а 6 Л,х 6 к. В группе (1 -f QA)' рассмотрим подгруппу

Пп(А) = (/(т,сг): пел, хек).

Тогда (теорема 3.G.1) наимеш.шая подгруппа F0 = /о(.4) решетки Lat (R,A) совпадает c, произведение,«

Далее, рассмотрим подмножество S из R:

S = {s £ R: Qs С (IА},

которое является наибольшим идеалом кольца R с условием QS С /¡А. Далее, мы имеем QA С S С А. Положим

ю°(А) = {еея*: o2~ieS}.

Тогда (теорема 3.6.3) наибольшая подгруппа F° = F°(A) подрешетки Lat (R, А) совпадает с произведением

= ОР{А)) '

Да ice (§7), мы даем описание подгрупп подрешетки Lat (R, Л). Рассмотрим функцию

g(M)»--i + / 02 хек, век'.

X2 - fi

Оказывается, что если Д = По (Л) или Д = П°(Л), то д{х,Ь) £ Д для всех г £ к, S б Д- Рассмотрим множество

[/?, Л] = {Д < Я*: Па(Л) < Д < П°(Л), 3(М) £ Д, .г 6 fc, Ä £ Д}.

Мы показываем (предложение 3.7.2), что для всякого Д £ [/?, Л] множество

»-*■(} 1)

является группой, а потому И £ Lat (R, А). Теорема 3.7.3. Отображение

[.R,A}—>Lat(R,A),

которое всякому Д £ [R, Л} ставит в соответствие, подгруппу Н = Т ■ д^ является биективным..

Заме (им, чю указанное отображение является структурным изоморфизмом.

Согласно §5 подрешетка Lat (Я, .4) инвариантна относительно операций спуска и подъема: Н —► Нц) и Н —> причем операция подъема обладает свойством1.монотонности (предложение 3.5.4). В заключительных параграфах 8 и 9 главы III исследуются операции спуска и подъема на иодрешетке Lat (Ii, А).

В главе IV мы обращаемся к случаю поля к — Q рациональных чисел и исследуем решетку подгрупп полной линейной группы G = GL(2,Q), содержащей перасщепимый максимальный тор Т = T(d), связанный с квадратичным расширением Л." = Q(\/d) поля рациональных чисел'Q. В этой главе находят приложения результаты исследований главы III. Мы предполагаем, что d — целое, свободное от квадратов. Заметим, что в §§1-5 мы не используем предположение 2 е Я£.

Пусть Р — множество всех простых чисел. Рассмотрим подмножество P(d) множества Р, определенное следующим образом:

где — символ Лежандра. Рассмотрим кольцо частных 5 ' Z,

где S — мультипликативная система, порожденная множеством P(d). Обозначим это кольцо частных через Я((f).

Теорема 4.1.4. Кольцо Rq совпадает с кольцом R(d).

Если Я — промежуточная подгруппа, Т — T(d) < Н < GL(2, <tj) = G, А = А (Я) ф (0), Я = Я(#), то (предложение 4.4.1) .4 С Я,

то есть Л — целый идеал кольца Я.

Теорема 4.4.3. Пусть Я — подкольцо (унитальное) пвля О, Л — идеал кольца Я. ДлА того, чтобы пара (Я, Л) была допустимой необходимо и достаточно, чтобы Я 2 Яо и « случае нечетного

Л А С 2Я.

Доказательство этой теоремы основано на результатах §3, в котором для произвольного нодкольца Я поля <0>, содержащего кольцо Яо, и произвольного идеала Л кольца Я строится промежуточная подгруппа Я дня которой Л = Л (Я) и Я = Я (Я).

В §5 мы даем полное описание максимальных нетривиальных (не содержащих йЬ (2, ¡0>)) подгрупп группы С = 0,(2,0), содержащих

P(d) =

р € Р, рф 2 и (f) = 1, (mod 8);

реР, р = 2 или (р) = 1, if г 1 (mod 8),

тор Т = T(d). Отметим, что частично результаты этого параграфа могут быть получены из результатов §8 гл. II.

Теорема 4.5.8. Пусть р — простой делитель числа d. Тогда группа

Tf1(P) pZ(;,)V

является максимальной нетривиальной подгруппой группы GL (2,Q). В случае d = 3 (mod 4) кроме указанных подгрупп группа

/ 1 + 2Z(2) 2Z(j) У V 2Zm 1 + 2Z(2) J

также является максимальной нетривиальной подгруппой, группы GL (2, Q), Перечисленными подгруппами исчерпываются все максилшлъные нетривиальные промежуточные подгруппы, группы GL( 2,Q).

Отметим одно интересное следствие из этой теоремы. Следствие 4.5.9. Для всякого простого числа р группа

\ z(p) zIP) )

является максимальной нетривиальной подгруппой группы, GL (2, Q).

В заключительных параграфах 6-8 главы IV исследуются полные и самоиормалпзуемые подгруппы решетки Тлй(П,А). На протяжение этих трех параграфов мы предполагаем, что 2 6 1С и я.г.П = 1 (s.r. -- стабильны!! ранг). Положим н = 1 + и2{Ф ('')). где ф —теоретико-числовая функция Эйлера, i^C) — степень вхождения числа 2 в целое I.

Положим Д°(А) = По(/1)(1 + Л)*2" и, дачее,

J{A)).

Далее, положим (см. §6 гл. ИГ)

'о По°л))

Теорема 4.6.1. Множество всех полных подгрупп из Lat(R,A) совпадает с интервалом

ГаЦЩА), И(Л)) = {#: Г„(Л) < Я < Vo(А)}.

Промежуточная подгруппа Я = Т • ^ ^ Д ) ^ Lat (R, А) является

полной тогда и только тогда, когда индекс (Д : П()(Л)) является нечетным числом. Наконец, для всякой подгруппы H £ Lat (R, А) при m > п группа Щт) является полной. Положим

ДоИ) = {0 6 в2" g (1 + A4)*},

пусть, далее,

Далее, положим (см. §G гл. III)

Теорема 4.7.1. Множество всех самонормализуемих подгрупп из Lat(R,A) совпадает с интервалом

Lat (No(Л), JV°(¿)) s {Я: N„(A) < Я < N°(A)}.

Промежуточная подгруппа Я — Т ■ ^ ^ д) ^ Lat(R,A) является

самонормализуемой тогда и только тогда, когда индекс,({Io (А) : Д) нечетен. Наконец, для всякой промежуточной подгруппы Я 6 Lat(R,A) при m > п группа Я*"1' симонормализуема.

Пусть Я £ Lat(T,G). Черед Гц обозначим гирлянду решетки Lat (Т, G), содержащую подгруппу Я. Как уже было отмечено выше (см. 3.4.7) нижняя гирлянда Г. = Г-j- состоит из -гора Т п его нормализатора Na(T). Далее, согласно 3.8.1 и 3.9.1 всякая нетривиальная гирлянда целиком содержится в Lat (R, Л) для некоторой допустимой пары (Я, Л). D §8 дается описание множества всех гирлянд из Lat (R, Л) и каждой гирлянды в отдельности. В нашем

случае (2 € R*, s.r.R = 1) каждая гирлянда из Lat(R,A) имеет конечны!! тип (см. §3 гл.1), а потому множество всех гирлянд нэ Lnt(R,A) находится во взаимно однозначном соответствии со всеми полными промежуточным« группами из Lat(R,A). Согласно теореме. 4.6.1 множество всех полных подгрупп из Lat(R,A) совпадает с интервалом Lai (Vo(A), 1'°(Л)). Пусть теперь V —■ полная подгруппа из Lat(R,A), Г\- — гирлянда, содержащая подгруппу V. lb теорем 4.6.1 и 4.7.1 следует, что

IV = Lat(V,N) = {//: 1'<Я<ЛГ}, где, N —■ самопорма'шзуемая подгруппа, причем N = и N{n+^=V,

где п = 1 + и-2(ф (<!)).

D заключение отметим, что в силу 4.2.2 и сказанного выше мы имеем полное описание графа нормальности решетки Lat{T,G) в случае d < 0 и </ = 1 (mod 8).

В главе V мы рассматриваем вопрос описания подгрупп специальной линейной группы Г = SL(n,K) над полями К ~ F-^Fe из четырех и пяти элементов, п > 3, содержащих группу диагональных матриц X = SD(n,K) (вполне расщепнмый максимальный тор). Началом решения задачи описания подгрупп группы Г = SL(n,K), ii > 3, содержащих группу диагональных матриц Т = SI) (п, Л"), явилась работа Зсйтца [45], п которой эта задача решена для конечного ноля К = F, из q элементов, где q > 13 и q ф 2"'. В работах [12] 1-1V Н. А. Вавилов дал полное решение этой задачи для произвольного поля Л", содержащего не .менее семи элементов. Он показал, что описание промежуточных подгрупп Я, Т < Я < Г, п > 3 стандартно. Точнее, для каждой промежуточной подгруппы Я существует единственная D-ccxu идеалов а п К порядка п такая, что

Г(<т)<Я< АгН,

где Г (сг) = G (сг)ПГ — сетевая подгруппа в Г, соответствующая сети а [3], a A'r(tr) — нормализатор подгруппы Г (а) в Г.

В главе V мы даем описание решетки Lat(T,G) промежуточных подгрупп в случае нолей К = р4,р5 из четырех и пяти элементов.

При этом мы предполагаем, что п > 6 при К = и п > 5 при К — F5. Для групп SL (п,</), п < 5, ич)»'С1 по описание всех (или по крайне!! мере неприводимых) подгрупп с точностью до сопряженности. Выделить подгруппы, содержащие группу Т = SD(n,q) — достаточно громоздкая, но не слитком сложная задача. Таким образом, пместе с результатами [45], [12] мы получаем полное решение проблемы Зейтна для SL («, К), п > 3 ([46], проблема 1), в которой предлагалось найтн описание промежуточных подгрупп специальной линейной группы Г = SL(n,K) для нолей, содержащих не менее четырех элементов.

В рассматриваемых нами случаях решетка промежуточных подгрупп (в отличие от случая ]А") > 7) оказывается более насыщенной. В §1 гл. V мы определяем iiporcjn 11 нросетсвые группы в группе Г = SL (п, К), A" = F.,,F0.

Теорема 5.1.1. Пугтпь К — F.i.Fjs, причем п > 7 при К = п п > tj при А" = Fj. Tondu для каждой промежуточной подгруппы Я, Т < II < Г, однозначно определена проесть (ст, х) в иоле К порядка п такая, что

Г (<7, х) < Я < Na(<y, х),

где JVp(cr, х) ■•- нормализатор подгруппы Г (а, х) в группе Г.

Следствие 5.1.2. В предположениях теоремы 5.1.1, если II — неприводимая примитивная промежуточная подгруппа, то либо II = SL (п, А"), либо К = Fi й II = SU(n,F.,).

Доказательству теоремы 5.1.1 посвящены §§1-4.

В §§5 0 рассматривается случай промежуточных подгрупп в группе SL(0, F,(). Оказывается в этом случае подгруппа диагональных матриц Т = SD(6,F4) также является веерной и группе Г = SL(6,F^). Точное, в §5 мы" определяем множество С базисных промежуточных подгрупп веера (см. §2 гл. I).

Теорема 5.6.1 Для каждой промежуточной подгруппы Н,Т = SD(6,F.() < Я < Г = 5L(G,E|), однозначно определена группа Г{ 6 £ такая., что

Г £ < Я < Nit где N( — нормализатор подгруппы Г{ в группе Г.

Следствие 5.6.8. Пусть Н — неприводимом примитивная, промежуточная подгруппа, Т < Н < Г = SL (6,Е(). Тогда II совпадает, с одной из следующих групп

SL(6,F4), SU{6,¥4), \V(K6)/Z2, ch(a)(\V (A"6)/Z2)(i,(a-!), W+(K6)/Z2, ¿»(aJflF+iA'eJ/ZjJd^e-1),

где И'+(Л"в) — подгруппа группы Вейля W (lie) системы корней Л'е, состоящая из всех матриц с определителем +1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вондаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих нераз-ветплепный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р ф 2) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 1994. Т. 211. С.67-79.

2. Бондаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих нераз-ветвленный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р = 2) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 1994. Т. 211. С.80-90.

3. Воревич 3. И. Онисаиие подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1976. Т.64. С.12-29.

4. Борепич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трапс-векциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1978. Т.75. С.22-31.

5. Боревнч 3. II., Вавилов Н. А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц //Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1978. Т. 148. С.43--57.

6. Бореиич 3. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной лпнейпе;! группе над коммутативным кольцом // Тр. Мат. ин-та All СССР. 1984." Т. 165. С.24-42.

7. Боревнч 3. И., Вавилов Н. А., Шмидт Р. А. Подгруппы полной линейной группы над кольцом частных коммутативного кольца //XI Всесогози. симпоз. по теории групп. Тезисы сообщений. Свердловск. 1989. С.20.

8. Воревич 3. П., Койбаев В. А., Чаи Нгок Хой. Подгруппы полной линейной группы степени 2 над полем рациональных чисел, содержащие перасщеннмый тор // Междунар. конф. по алгебре. Тезисы докл. но теории групп. Новосибирск. 1991. С.12.

9. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл.IV-VI. М.: Мир. 1972. 331 с.

10. Вавилон Н. А. О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц // Вестник Лешшгр. ун-та. 1981. N 1. С.10-15.

11. Вавилов Н. А. О подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный тор // XVI Всесоюзн. алгебр, коцф. Тезисы. 4.1. Л. 1981. С.26-27.

12. Вавилов Н. А. О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. 1-1\' // Вест. Лешшгр. ун-та. Сер.1. 1985." N 22. С.3-7; 1986. Вып.1. С.10-15; 1987. Вып.2. С.3-8; 1988. Вын.З. С.10-15.

13. Вавилов Н. А. Максимальные подгруппы группы Шевалле, содержащие максимальный расщепимый тор // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.1. 1986. С. 67-75.

14. Вавилов Н. А. Подгруппы расщепимых классических групп // Дскт. дисс. Л. 1987. 338 с.

15. Вавилов Н. А. Строение расщепимых классических групп над коммутативным кольцом // Докл. АН СССР. 1988. Т.299. N 6. С.1300-1303.

16. Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых классических групп // Тр. Мат. ии-та АН СССР. 1990. Т.183. С.29-42.

17. Вавилов II. А. Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор // Тр. Ленингр. мат. об-ва. 1990. Т.1. С.64-109.

18. Вавилов И. А. О подгруппах полной симплектической группы над коммутативным кольцом // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.З. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 1993. С. 16-38.

19. Вавилов Н. А., Дыбкова Б. В. О подгруппах полной симплектической группы, содержащих группу диагональных матриц. 1,П // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1980. Т.103. С.31-47. 1983. Т.132. С.44-56.

20. Залесский А. Е. Линейные группы // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. 1983. Т.21. С.135-182.

21. Залесский А. В., Сережкин В. Н. Линейные группы, порожденные траисвекциями // Изв. АН СССР. Сер.Мат. 1976. Т.40. N 1. С.26-49.

22. За лесский А. Е., Сережкик В. Н. Конечные линейные груп-

вы, порожденные отражениями, над полями нечетных характеристик// Препринт N 20(76). Минск. 1S79. 59 с.

23. Залесский А. Е., Сережкип В. Н. Конечные линейные группы, порожденные отражениями // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 19S0. Т.44. N 6; С.1279-1307.

24. Койбаев В. А. О подгруппах лолпой линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-днагоиальных матриц // Всспг. Лепингр. ун-та. 1982. N 13. С.33-40.

25. Койбаев В. А. Подх-руппы полной линейной группы над конечным полем, содержащие группу элементарных клеточпо-диагопаль-иых матриц // Структурные св-na групп. Орджоникидзе (Владикавказ). 1982. С.6-16.

26. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. паук. 1986. Т.41, N 1. С.57-96.

27. Корлюков А. В. Линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка г > 5 // Вести. МГУ. Сер. Мат. Мех. 1983. N 5. С. 19-32.

28. Крупецкий С. Л. Подгруппы ортогональной группы, содержащие группу клеточко-диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. Т.94. С.73-80.

29. Крупецкий С. Л. О подгруппах унитарной группы над локальным полем // Зап. uav4. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. Т.94. С.81-103.

30. Романовский Н. С. Максимальные цодкольца поля Q и максимальные подгруппы группы SL (п, Q) // Алгебра и логика. 1967. Т.6. N 4. С.75-82.

31. Романовский Н. С, Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и- его подкольцом // Мат. заметки. 1969. Т.6. N 3. С.335-345.

32. Ромаиовскпй Н. С. О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом // Мат. заметки. 1971. Т.9. N 6. С.С69-708.

33. Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. Т.94. С.119-130.

34. Borel A., Tits J. Groupes reductifs // Inst. Hautes Etudes. Sei. Puhl. Math. 1965. T.27. P.55-150.

35. Cohen A. M. Finite complex reflection groups // Ann. sei. Ее. Norm. Sup. 4 serie. 1976. T.9. P.379-436.

36. Djokovic D. Z. Subgroups of copract Lie groups containing a

maximal torus are closed // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. Vol.83. N 2. P.431-432,

37. Dye R. H. On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two // Math. Z. 1980. Bd.172. N 3. S.203-212.

38. Kantor W. M. Linear groups containing a Singer cycle // J. Algebra. 19S0. Vol.62. N 1. P.232-234.

39. Key J. D. Some maximal subgroups of certain projective unimodular groups // J.London Math.Soc. 1979. Vol.19. N 2. P.291-300.

40. King 0. H. Subgroups of the special linear group containing the diagonal subgroup // J.Algebra. 1990. Vol.132. N 1. P.198-204.

41. McLaughlin J. Some groups generated by transvections // Arch. Math. 1976. Vol.18. N 4. P.364-368.

42. McLaughlin J. Some groups of SLn(F2) // Illinois J. Math. 1969. Vol.13. N 1. P.108-115.

43. Platonov V. P. Subgroups of algebraic groups over local or global fields containing a maximal torus // Comptes Rendus. Acad. Sci. Paris. 1994. T.318. Ser.l. P.899-903.

44. Pollatsek H. Irreducible groups generated by transvections of over finite fields of characteristic two //J. Algebra, 1976. Vol.39. N1. P.328-333.

45. Seitz G. M. Subgroups of finite groups of Lie type //J. Algebra, 1979. Vol.61. P. 16-27.

46. Seitz G. M. Properties of the known simple groups // Proc. Symp. Pure Math. 1980. Vol.37. P.231-237.

47. Seitz G. M. Root, subgroups for maximal tori in finite groups of Lie type // Pacif.J.Math. 1983. Vol.106. N 1. P.153-244.

48. Thompson J. G. Quadratic pairs // Proc. Intemat. Congr. Math. (Nice, 1970). Vol.1. Gauthier- ViUais. Paris. 1971. P.375-376.

49. Tits J. Theon;me de Bruhat et sous-groupes paraboliques // C.R.Acad.Sci.Paris. 1962. Vol.254. N 16. P.2910-2912.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

50. Боревич 3. И., Койбаев В. А. Подгруппы полной линейной группы иад полем из пяти элементов // Алгебра и теория чисел. Межвуз. сб. Вып.З. Орджоникидзе (Владикавказ). 1978. С.9-32.

51. Боревич 3. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами для квадратичных торов // Вестн. Санкт-Петербургск. ун-та. Сер.1. 1993. N 2. С. 5-10.

52. Боревич 3. И., Койбаев В. А., Чан Нгок Хой. Решетки иод-групп в С£(2,ф), содержащих нерасщепимый тор // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН. 1991. Т.191. С.24-43.

53. Койбаев В. Л. Подгруппы полной линейной группы над полем из четырех элементов // Алгебра и теория чисел. Вып.4. Нальчик. 1979. С.21-31.

54. Койбаев В. А. Подгруппы специальной линейной Группы над полем из пяти элементов, содержащие группу диагональных матриц // IX Всссоюзи.симпозиум по теории групп. Тезисы докл. М. 1984. С.210-211.

55. Койбаев В. А. Подгруппы специальной линейной группы над полем из четырех элементов, содержащие группу диагональных матриц//XVIII Всёсоюзн.алгебр.конф. Тезисы докл. Кишинев. 1985. С.264.

56. Койбаев В. А. Промежуточные подгруппы в специальной линейной группе порядка 6 над полем из четырех элементов // X Все-союзн. симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Минск. 1986. С.115.

57. Койбаев В. А. О подгруппах группы <?£(2,ф), содержащих нерасщепимый максимальный тор // Междунар. конф. по алгебре, тегшеы докл. по теории групп. Новосибирск. 1989. С.61.

58. Койбаев В. А. Подгруппы специальной линейной группы над полями из четырех и пяти элементов, содержащие группу диагональных матриц // Арифметика и геомерия многообразий. Куйбышев (Самара). 1989. С.78-91.

59. Койбаев В. А. Подгруппы группы <31 (2, ф), содержащие нерасщепимый максимальный тор // Докл. АН СССР. 1990. Т.312. N 1. С.36-38.

60. Койбаев В. А. Нормализатор группы автоморфизмов модуля, возникающего при расширении основного кольца // Ш Международ-пая конфер. по алгебре. Тезисы докл. Красноярск. 1993. С.157.

61. Койбаев В. А. Подгруппы специальной линейной группы порядка 6 над полем из четырех элементов, содержащие группу диаго-нальпых матриц // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.З. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та. 1993. С.61-70.

62. Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы, содержащих максимальный нерасщешшый тор, связанный с радикальным расширением // Веста. С.-Петербург, ун-та. Сер.1.

63. Койбаев В. А. Подгруппы группы <31, (2, К), содержащие не-расщепимый максимальный тор // Зап. науч., семинаров ПОМИ РАН. 1994. Т.211. С.136-145.

64. Койбаев В. А. Нормализатор группы автоморфизмов модуля, возникающего при расширении основного кольца // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН. 1994. Т.211. С. 133-135.