Строение изотропных ортогональных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЛШНГАЦСКйй ОРДЕНА ЛЕНИНА. И ОРДЕНА ПОДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ' ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.46

Г0ЛУБ03СКИ Вальдемар

СТРОЕНИЕ ИЗОТРОПНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУШ'

01.01.05 - математическая логика, алгебра и теория чгсол

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физихо-матвмаютесккх наук

Ленинград - 1931

(оЛлл С1ьи &

Работа выложена ка кафедре вксшай алгебры я теория чисел Ленинградского ордена- Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета.

НАУЧНЫЙ РЖВОДИГЕЛЬ ~ доктор физико-математических наук,

доцент ВАК1Л0В Николай Александрович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОШОНЖШ - доктор физюсо-матаматгЕчесхях наук,

профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович

- кандидат физико-математических наук, доцент КЭЙБАЕВ Владимир Амурханович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Московский государственный университет •

им.. М.В.Ломоносова

Защл1 а состоится "/3" 05 1991 г. в " "

часов на заседании Специализированного совета К G63.57.45 при

Ленинградском государственном университете /адрес совета: 198 904, Ленинград, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, математзвсо-мвханжческий факультет ЛГУ/.

Защита будет происходить по аярасу : 191 011, Ленинград, наб. реки Фонтанки, 27, атак, зал 3// /помещение ЛОМИ/.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А .М. Горком Ленинградского университета.: Университетская наб., 7/S.

Автореферат разослан

'07* 0Z 1991 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета,

кандидат физико-математических наук,

доцент ?.А.Ч>едт

ОЕШ ХАРАКТЕРИСТИК.". РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТК.и. Б предлагаемой диссертация мы изучаем полгруппы изотропной, ортогональной группы содержащие централи- • затор максимального расцепимото тора.

Вопросы списания структуры подгрупп, содеркая'ях некоторую фиксировашгув подгруппу ш .юрчализуемых ей, занимает важное место в теория лннейних групп. Зто:^у направлзнию посвящены многочисленные циклы исследований, среди которых мы выделим несколько основных, с которыми наша работа соприкасается особенно тесно. Общий обзор и дальнейшие ссвдки иокко найти б (63 Л7].19]-1Ш , [131 .

Традяилоняой задачек, которой, посьяцено громадное количество работ, является из уценке нормальных делителей'. С ней связаны работы Я.Иордана, Л.Диксона, Х.Дьедоане, В.Клингенбер-га, Х.Басса, Дк.Вильсона, Д.Н.Васерпггейца, И.З.Голубчпка /для полной линейной группы/, К.Шевалле, Р.Стейяберга, Ж.Тятса, В.П.Платонова, Э.Абе, К.Судзуки, Я.Н.Васеритейка /для; групп Шева&яэ/ и штатах других авторов»

Параболические подгруппы, для групп над полем описаны в работах д.Тятса. В дальнейиэм, это описанио переносилось, на различные классы колец Н.С.Романовским, З.Й.Боревкчем, К.Судзуки, 5.А.Вавиловым, Н.ВДкбковой, Е.Б.Пдотнинкм, Й.З.Голуб-чиком и другими авторама. Свда хе а относится описание яарахо-рических подгрупп, связанное с именами Н.Ивахори, Х.Мацумого, Ф.Бриа и £.Тятса.

Описание подгрупп содерладих максимальный тор является направлением, самым непосредственна/, образом связанным с темой, нашей диссертации.' Для случая расцепаюго максимального тора /т.е. трупы диагональных матриц в обнчшга представлениях классических групп/ основные результаты были получены А.Бсрелем,' Е.Тит с ом, 3.й»Борввичем, Г.Зейтцем, Й.А.Завиловда, В.'А.Койбае-вкм [1] , 12} , [4.] . (5] , (а] , [12] „ [16] , [17] . Случай нерасщвпимого тора изучался в работах У.Кантора, Г.Зейтца, З.И.Боревета, С.Л.Крулецкого и В.А.Койбаевз. Здесь описание далеко от завераенности /см, [б] , [7 ] /.

Близко связачяш направленной является изменив к ад групп полупростой подгруппы /т.е.' например, грушш типа группы клеточке диагональных матриц дет линейного случая/. Для случая регулярных вло:<?ний этот вопрос решен почтя полностью в работах

Н.С.Романовского, З.К.Борерма, Н.А.Вавилова, В.А.Койбаева я И.З.Голубчика. Для конечного тля имеется несколько изолированных результатов Б.Кулерстейна, И.Д.Супруненко и Г.Зе&тка, относящихся к некоторым нерегулярном влояоякягл;

Огромное количество работ носвяцеяо классификации всех ма-хсималышх подгрупп в лл/тейиых группах или доказательству максимальности некоторых классов подгрупп. Сдесь могло упомянуть, в частности, М.Ашбахера, Г.5ептца, П.Кляйдлана, М.Либека, О.Кинга, Р.Дая я Ли Шанг-чая. Отметим, что многие из работ, о которых ылг речь виза, дам в частности, доказательства махсималь-hocti: разлмных классов подгрупп в классических группах.

Слгдуег упомянуть и работы яосвящеяы изучению подгрупп, по-рояяонных элекентатя некоторого специального вида, например, траксвеккиами, отражегаями /ЯгиМаклафпн, А.Е.Залеоский, В.Н.Се-резвкин, /¿Вагнер, У.Кантор, Б.ХулерстеГш, Дх.Токпсон, Ф.Тиммес-фельд/.

Основную роль в описании каогях из перечисленных вше классов подгрупп играют сетевые пдцгрупян, т.е. подгруппы линейных, групп, определенные линейными: сравнениями, вклэчаицили только один элемент глатриаы. йяекно введение этих групп явилось ключей к получении шопа важных результатов о промежуточных подгруппах. Их систематическое изучение началось с работы З.И.Боревича Г ll / си, (_9"1 /, в отдельных частных случаях близкие конструктам рассматривались довольно давно. 3 дальнейшем зтн грудям широко ислользоваливь б работах З.И.Боревича и его учеников и последователей. Откатим здесь Н.А.'Вавилова, И.3.Голубчика, Е.З.Дкйову, £.Ю.Кологилияу, С.Л.Крупецкого, Е.Б.Плотшна, В.А.Койбаева, А.В.Степанова и Р.АЛмвдта.

Настоящая диссертация тоже относятся к этому направлению. Однако в го время как задача описания надгрулд расщодшого максимального тора получила в случае пола практически исчерпывающее решение, почти ничего не известно о над1рупдах немаксимальных торов и связанных с юта групп. Проблема описания над-групп торов в кмбикаторних терминах насказана в 1977 году О.Д.Берманом С73 • Однако дана частный случай этой задачи, связанней с описании яадгрупя централизатора максимального рас-сеяишго тора, далек от решения, хотя здесь полностью исчезают трудности лежащие в анизотропном ядре,- Настоящая работа как раз и посвящена решении этой задачи для случал ортогональных групп. Таим образом тема .диссертации вполне актуальна.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью работы являема, описание под-груш1 изотропной ортогональной группы над бесконечным полем, содер.та:цих централизатор максимального расщмшмого тора.

ОЩАЯ МЕТОДИКА ИССЖСБАЖЙ. В работе применяются методы . и результаты теории линейных групп, квадратичных форм и линейной алгебры.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основном новым научный результатом диссертации является описание подгрупп изотропной ортогональной группы я ад бесконечным полегл, содержали централизатор максимального рае ¡делимого тора.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКПНЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Предлагаемая диссертация носит теоретический характер.' Ее методы и результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по подгруппам классических групп над кольцами л в теории алгебраических групп.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинара по линейным группам в Ленинградском университете и на совместном семинаре лаборатории алгебры Ленинградского отделении Математического института АН СССР я кафедры выспей, алгебры и тэоряи чисел ЛГУ.

ПУБЛИКАЦИИ.' Но материалам диссертации опубликована одна статья. Одна работа подготовлена к печати.

ОБЪЕЛ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глаз и списка литературы. Общий объем работы - 60 страниц машинописного текста. Библиография содержит 65 наименований работ.

СОДЕРКАНИЗ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, проведенного в работе, дана структура изложения материала диссертации с формулировкой основного результата и краткий обзор некоторых вопросов близких к теме диссертации.

Глава 1 носит подготовительный характер. В ней приводятся основные определения и обозначения. Ввиду возможных обобщений, изложение в нзй ведется в большей общности, чем это нам понадобится в дальнейпем.

В § 1' гш напоминаем определение ортогональной группы .Пусть Я - кот/мутатнвноэ кольцо с 1, такое, что 2 € Я* , где Я* - мультипликативная группа кольца Л . Пусть - невырожденная

симметрическая билшслная форма на свободном конечно порожденном Р. —модуле Y с йазиоом , F - матрица Грама формы f в этом базисе.

Ортогональной группой Г= ,-f) отвечакцой форме -f

называется подгруппа полной ликейдой группы G>«G>LCv»1R,| порядка "v над R , определенная: формулой

00, ft ",f ) = С ge 6LU.R)! - ^

где, как обычно, gT - матрица транспонированная Kg . Ma " будем алеть дело только о ортогональными группами в базисе Вит-та.- Е этом, случае матрица

F-(i

где D-3l=scilo.3Ci)...>i) , матрица размера L * L , в которой на побочной диагонали стоят едкхиды, в- остальных местах нули. Йрк это:»; F ° - есть матрица Грама ограничения f" форш -f на анизотропное ядро /порожденное векторами eL>1)... /,т.е. индекс Витта формы -f ° равен О , a vfe)= L . Мы будем

считать матрицу F° диагональной F®» du^Ct,.^,..^ E^-oV Это ке является существенны;,! ограничением, так как для случая поля характеристики но равной 2 матрица любой симметрической билинейной форт' мояег быть приведена к диагональному виду. Аналогичной результат справедлив и для коммутативных полулокальных колец таких, что 2 е R* /см. [14] , [lJ."J /, Если индекс Витта vft)« максимален, 'то мы приходим к так называемому расщепи-мому счучаю, для которого иадгруялы максимального тора-изучено в L5^ » [18] , Группа Р называется изотропной, осла форма -f изотропна, т.е. v if} > 1.

В качестве максимального расщешмого тора Т в Г /т.е. тора максимального среди всех расщэюшых торов в Г / и его централизатора Cr (Т-) мокко взять следующие подгруппы

/Ь

crm-

V

ь\

где Ь--си0и3(Л11...,Х,Л,

~ единичная матр.чца порядка ^ - .1 ь , а £ - произвольная матрица ;га 0(-л-1Я, .В работе описываются надгруппы С Р СТЧ) в Г

В следующем параграфа описываем элементарные корневые элементы и некоторые элементы из централизатора С.г(д) и приводим. связыганчяе их коммугадшн.чне формулы. Это основной технический инструмент всех ныгах доказательств. Зсе форкули приведены матричном языке и, по-видимому, в' такой форме ке публиковалась.

В § 3 мы напоминаем определение сети и сотовой, подгруппы и вводим нужную кем модификацию атих. понятий, учитывгтоуд специфику нерасщедлютй ортогональной группа» Именно в терминах сетевых подгрупп формулируются основные результаты настоящей; диссер-ацли. Напомним /см. [,13 , £2}/, что система <г = ( с-^ ) , 1 < ъ, ^ < «л. идеалов кольца Я назнваьтся сетью в Л порядка 1ч, , если дли любых -о, ^ «*»- вшкхгаем включение

Для произвольной сети (Г множество И матриц <х-порядка ^ над Я , таких что е. О"^ , является подколь-цом кольца всех матриц порядка -п. над Я , Сетевой

подгруппой. с»С<г> в соответствующей. сети С называ-

ется наибольшая подгруппа. л & , содержащаяся в Еч+ М(У). Сетевой, подгруппой в Р соответствующей; сети с называется подгруппа ГСс}* Гп6»(<г} . Через Гч|Р(<г) обозначается норма» лиэатор подгруппы Г(о-) в Г . Пусть Г = Ъ 1,.. ., , а { ,... (. » Введем для сетей операции

} г « л е 1о

полагая

Назовем сеть с псоадоуртогональной, если с1*« <г и ортогональной, если, кроме того,

гае суммирование ведется по всем, 5 отличным от \> и »л, - х ч- \ . Ортогональная сеть <г называется Д - сетью, если для всех г., ^ е I о имеем с-у К , и скЧ= К- для всех к« I .

3 § 4 , при небольших ограничениях на основное кольцо /эти ограничения в случае доля не существенны/, мы показываем, что для любой подгруппы Н в Г , содержащей СгСт), существует единственная наибольшая ортогональная ¿х - сеть с- такгл, что Сгс«г> ^ Н .

В завершающем глазу § 5 ш приводим два критерия принадлежности матрлцы х из Г к сетевому нормализатору Мг(о*) . Во втором критерии, более удобным для каких целей, основное кольцо предполагается полулокальным.

Глава 2 косит вспомогательны!! характер. В ней приводятся стандартные леммы об извлечении грансвекцкй /§6/ и другие вспомогательные факты /§7/. Если в § 6 все результаты доказываются. в основном для коммутативного полулокального кольца, то в § 7 основное кольцо К-К всегда предполагается полем» Здесь мы доказываем равенство Ег(агусг(т), которое в случае поля позволяет заключить, что ГСс^ И Для построенной в § 4 сети <Г , и одну техническую, но важную лемму. Получение доказательств аналогичных утверждений для полулокальных колед сняло бы часть препятствий, на 'пути к обобщении напиг результатов на этот класс колец.

Глава 3 посвящена доказг>тачьству следующая основной теоремы и получении некоторых следствий из нее.

ТЕОРЕМА 1. Пусть К - бесконечное поле характеристики не равной 2. Тогда для любой подгруппы Н изотропной ортогональной группы Г. О (-п., К, {) , содержащей централизатор Сг(т) максимального расщегшмого тора Тг , существует единственная наибольшая ортогональная Д - сеть с такая, что

Г(о-) < Н < .

Иначе говоря, в Г имеется стандартное описание подгрупп содержащих СГ(Т)

Заметим, что ограничение наложенное в теореме яа нужно лииь, чтобы исключить тривиальный случай. В самом деле, если

- 0 , то форда анизотропна и следовательно, максимальный расщепимнй тор в Г < тривиален, гак что его централизатор совладает с самой группой Г .

Тагам образом, эта теорема является дальнейшим развитием результатов А.Бореля, Ж.Титса, З.И.Ворекгча, Г.ЗеЗтда, Н.А.Вавилова и др. относящихся к описаний надгруяп торов и свясашых с ними подгрупп. Весьма правдоподобно, что аналогичный розуль-тат мохет бк-ть получен для нздтрутщ цэнтрализатора максикально-го расщепгаого тора в группе точек произвольной полупростой алгебраической группы над бесконечным полем.

В § 8 ш устанавливаем нашу теорему в срхж частном случае, аналогичном четномэрному случаю для расзепкмых групп, и сгодга доказательство в обдей ситуации к неприводимые подгруцпач.

В § 9 мы завершаем доказательство теореш. Здесь мы доказываем самую вачяуи. и в техническом отношении, самую трудную лемму во всей диссертации о существовании в Н корневой подгруппы. Если все предыдущие рассуждения являются модификацией достаточно стандартных иетохов в применении к нашей ситуации, то наша лемма потребовала преодоления значительных трудностей и привлечение дополнительных соображений.- Это центральное место всего доказательства. Послз этого завершение доказательства нг? представляет большого труда. Пгломнкм, 4то можем считать, что И неприводкма, и тем стоил лриштивна. Найденная корневая подгруппа на содержится ни в одной из максимальных подгрупп в Г содержащих корневые подгруппы, которые известны из работы Ли Шанг-чжл [15} • Отсюда заключаем, что Н = Г .

В § 10 содержится описание подгрупп в' Г нормализуемых централизатором максимального расщешшого тора и заключительные замечания. Небольшие изменения доказательств позволяют сформулировать следующий результат.

ТЕОРЕМА 2. Пусть К - бесконечное поле характеристик:! не равной 2, Пусть нечетное число. Тогда в изотропной

специальной ортогонально! группа $()(•<., К имеется стандартное описание подгрупп содержащих централизатор максимального расщепи-мого тора.

Ми гоже доказываем

Т£СРй.'А 3. В предположениях теоремы 1 группа СгСт) пронор-мальна в Г= ОС-п., К , ,

В заключений, автор выражает искреннюю благодарность своему научному рухоаодигвлы? Н.А.Вавилову.'

- 1С -

ЛИТЕРАТУРА

1. Боревяч З.И, Описание подгрупп полной линейной группы, со-деряздкх группу диагональннх матриц// Зап.науч.сомикаров Лени. нгр.отд.Мат.ил-та АН СССР. - 1976. - т.64. - с.12 - 29.

2» Бореаич 3 Л., Вавилов Н.А. Подгруппы полкой лилейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных . матриц //.Тр.Мат.ин-та All СССР. - 1978. -т.148.-с.43-57.

3. Борев;л З.И., Мацедонсхая О.Н. О рэиотке подгрупп // Зал. науч.семинаров Ленингр,отд,Йаг.ин-та АН СССР. - 1980. -т.103. - с.13-19.

4. Бороль А., Тите В. Родуктявнке группы // Математика.Период. сб.парев.и11.статей.'-1967.-т.11,1.-с.43-111^ 2.-0.3-31.

5. Вавилов. Я„А. О подгруппах расщвшмых ортогональных групп // Сиб.мат.журн.-19Ва,-т.29.-^3.-с.'12-25.

6. Вавилов К.А. О подгруппах расщешшнх хлаосичесгшх групп // . Тр.Мат.ик-та АН СССР 1.:Наука.-Ш0.-т.1аз.-с.29-42.

7. Вавилов Н.А. Подкупим групп Еевалло содержащие расцопклхй максимальный тор // Труди Лонинградокого мат.' общества.

. - 1990. - г.1. - 0.69-1G4»

8. Вавилов Н.А., Днбдова Е.В. О подгруппах полней, симшгекти-чвехой грушш, содержаа^х группу диагональных матриц. 1,2 // 3an.Hcj4,семинаров Ленингр.отд.Мат.ян-та АН СССР. -1980.. ТЛОЗ.-с.31-47. ; -1S83.-т.132.-0.44-56.

S. Залелский А.Е. Линейные группы // Успехи мат. наук. -1981. . - Т.35, КБ.- с.56-107,

10. Залесский А.Е. Линейные группы // В кн.:Игоги науки.Алгебра. , Тспология.Геомбтрая.'-М. ,1983.-вш.21.-е.135-182.

IX. Залясскай А.Е. Дкнв&шо грушш // Итоги науни.и техи.ВИЕИТй Согр.Пробл.матем.Оундаиентальные направления.-1989.'-37.-е. . 114-226. ■ •

12, КоЗбаев В.А. Подгруппы группа GiC(a,Q> ,содержащие нерас-цошехкй максаадлышй тор // Докл.' АН СССР. - 1990; «^.312.

. J* 1. - о. 35-38.

13, Кондратьев А. С. Подгруппы конечных, групп Шэвалле // Успехи '. дат. науа. -198S.-41, Я 1. -0.57-96.'

14, Ba«za il. Quadratic ferma о rex asfnllaoel rings. Loot, Hates Math, - 378, - y.655. - I99p,

35. LI Shangzhi, Maximal aubgroupe In P ,Q) with root

oubgroupo// Cclenta einloa (ssri«a A), - 1985, - У.28Й.8. - p.B26-33&.

ré. Seita G.M. Subgroups ef finit« groupa of Lie type // J.A1-

g«bra, -07a* -v.28,S.e. - p. 10-27. 17. Selta <3.K» Boot subgroups fer naximal tori in finite groups

of Li» type // racif.J.Muth, -ДОЗ. -y. 106, N. I,-p. 153-244. 10. Vavilov N. A. 0.1 outigroupu of uplit orthogonal groups in even dimensions ]J Bull.Acad.Polon.Soi., ser.soi.math. - 1931.

- г.гЭ,Я.Э-Ю. - рЛ25-429.

Acta mathematics einlest. ,

- 1986. - тЛ9,&5. ~ с.632-641.

РАБОТА АВТОРА ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИИ

20. Годубовскл Б. Подгруппы изотропной ортогональной грушш, содержащие централизатор максимального расщешшого тора // Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Маг.нн-та АН СССР. -1991. " - т.191. - о.75-79.