Спорадические простые группы и их геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1. Введение

1.1. Основные определения

1.2. Морфизмы геометрий.

1.3. Амальгамы.

1.4. Геометрические амальгамы

1.5. Универсальные пополнения и накрытия.

1.6. Основные результаты.

2. Монстр

2.1. Основные свойства

2.2. Тильда геометрия группы Монстр.

2.3. Максимальная параболическая геометрия

2.4. В направлении к Бэйби Монстру

2.5. 2Е6(2)-подгеометрия.

2.6. В направлении к группе Фишера М(24)

2.7. Отождествление М(24).

2.8. Группы Фишера и их свойства.

2.9. Геометрия группы Хельда.

2.10. Граф Бэйби Монстра.

2.11. Односвязность геометрии 0(ВМ).

2.12. Второй граф Монстра.

2.13. Единственность амальгамы типа Монстра.

2.14. Односвязность геометрий 0(М) и %{М)

3. 2-накрытия Р-геометрий

3.1. Свойства Р-геометрий.

3.2. Необходимое условие.

3.3. Нерасщепимые расширения.

3.4. Геометрия £(323 • Со2).

3.5. Случай ранга 5: ограничение ядра

3.6. Геометрия £(34371 • ВМ)

4. У-группы

4.1. Исторические замечания.

4.2. Теорема о 26 вершинах

4.3. От У-групп к У-графам

4.4. Некоторые ортогональные группы.

4.5. Группы Фишера как У-группы

4.6. Монстры.

Спорадические простые группы - по-видимому самые удивительные объекты современной алгебры. Открытие спорадических простых групп и, в особенности, наибольшей из них - Монстра, считают одним из наиболее важных вкладов в математику классификации конечных простых групп. Некоторые из спорадических простых групп были исходно открыты как группы автоморфизмов определенных комбинаторно - геометрических структур, таких как системы Штейнера, дистанционно-регулярные графы, пространства Фишера и другие. В своей эпохальной статье [Вие79] Ф. Бекенхаут, развивая ранние идеи Титса, заложил аксиоматические основы этих и связанных с ними структур под названием "диаграммные геометрии". Билдинги конечных групп типа Ли входят в специальный класс диаграммных геометрий: геометрий Титса. Это дает основание надеяться, что диаграммные геометрии могут послужить основой для единообразного изучения всех конечных простых групп.

1.1. Основные определения

Эта секция представляет краткий и неформальный обзор геометрий классических групп, цель которого - мотивировать общее определение геометрий.

Пусть С - конечная классическая группа (предполагается проективная версия). Саму группу С и ее геометрию можно определить в терминах естественного модуля, который представляет собой некоторое п-мерное векторное пространство V = 14 (<?) над полем Галуа порядка q. Здесь q - это степень некоторого простого числа р, называемого характеристикой поля. Имеется полулинейная форма Ф на V, которая либо тривиальна (тождественно равна нулю), либо невырождена, такая, что элементами С являются все проективные преобразования пространства V, которые сохраняют Ф с точностью до скалярных множителей. Если Ф тривиальна, то С - это просто проективная линейная группа пространства V. Если же Ф невырождена, то она симплекти-ческая, унитарная или ортогональная и С - это симплектическая, унитарная или ортогональная группа подходящего типа, который определяют п, <?, а также тип Ф. Тривиальная форма введена в рассмотрение с тем, чтобы трактовать все классические группы единообразно.

Если IV - подпространство в V, то мы можем рассмотреть ограничение формы Ф на \¥. Подпространства, для которых ограничение Ф является тривиальной формой, играют особую роль и их называют вполне изотропными подпространствами пространства V по отношению к форме Ф. Ясно, что каждое подпространство во вполне изотропном подпространстве вполне изотропно и что в случае линейных групп все подпространства вполне изотропны. Если Ф невырождена, то по теореме Витта все максимальные вполне изотропные подпространства имеют одну и ту же размерность, называемую индексом Витта формы Ф.

Геометрией 0 = Я(0) классической группы (7 является множество всех подпространств в естественном модуле V, вполне изотропных по отношению к инвариантной форме Ф, снабженное симметрическим отношением инцидентности *, по отношению к которому два подпространства инцидентны, если одно из них содержится в другом. В случае линейной группы мы получаем соответствующую проективную геометрию, а в других случаях - разнообразные полярные пространства.

По определению каждый элемент геометрии классической группы инцидентен самому себе, тем самым отношение инцидентности * рефлексивно. Мы можем трактовать С/ как граф на множестве элементов, ребра которого соединяют пары инцидентных элементов. Поскольку два подпространства одной и той же размерности инцидентны тогда и только тогда, когда они совпадают, можно заметить (игнорируя петли), что этот граф многодольный так, что две вершины содержатся в одной доле тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность. Поэтому естественно определить тип элемента как его размерность. Из теоремы Витта и ее тривиального аналога для линейных групп следует, что каждое максимальное множество попарно инцидентных элементов в 0 (максимальная клика в теоретико-графовых терминах) содержит ровно один элемент каждого типа. Это построение приводит к общему понятию геометрии, введенному Ж. Титсом в 50-х годах.

Геометрии являются специальным видом систем инцидентности. Системой инцидентности называют четверку (0, /), где 0 - множество элементов, * -бинарное рефлексивное отношение инцидентности на 0 и £ - функция типа, которая приписывает каждому элементу из 0 его тип, являющийся элементом множества, I всех возможных типов; никакие два различных элемента одного и тоже же типа не инцидентны. Обычно систему инцидентности (£,*,£,/) обозначают просто через предполагая, что *, £ и / ясны из контекста. Число различных типов системы инцидентности (то есть мощность I) называют рангом 0. Если не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что в системе инцидентности ранга п имеем I — {1,2, .,п}. Через О1 мы будем обозначать множество всех элементов в О, имеющих тип ¿, то есть множество

Как мы отмечали, систему инцидентности <3 ранга п можно рассматривать (игнорируя петли) как п-дольный граф с долями С/1, Система инцидентности называется связной, если она представляет собой связный граф.

Произвольное множество Ф попарно инцидентных элементов в системе инцидентности <3 называют флагом. В этом случае |Ф| и ¿(Ф) есть ранг и тип флага Ф, соответственно. Если 0 является системой инцидентности ранга п над множеством типов I, то п — |Ф| и I \ ¿(Ф) называют корангом и котипом флага Ф, соответственно. Пусть Ф - флаг в системе инцидентности <3. Тогда остаточная система инцидентности геэ^Ф) флага Ф в 0 (или просто остаток) - это четверка (£ф, *ф,2ф, /ф), где 0ф = {х | х € х*у для всех у € Ф}\Ф; $ = /\£(Ф); *ф есть ограничение * на С/ф, а ¿ф есть ограничение I на Оф. В случае флага, состоящего из единственного элемента х мы будем записывать его остаток через геэ^х), а не через гез^({х}). Легко заметить, что произвольный остаток можно построить индуктивно, рассматривая на каждом шагу остаток одного элемента.

Определение 1.1.1. Геометрией называется система инцидентности ((/,*,£, /), для которой выполнены следующие два условия:

1) каждый максимальный флаг содержит в точности один элемент каждого типа; п) для всех 1,3 6 t(Q) граф на множестве 0г и О3, в котором два элемента смежны, если они инцидентны в О, является связным, и аналогичное условие выполнено для каждого остатка в 0 ранга по меньшей мере 2.

Граф на множестве элементов геометрии Су, в котором два различных элемента смежны, если они инцидентны в 0 называют графом инцидентности <3. Графы инцидентности геометрий ранга п можно охарактеризовать как п-дольные графы, обладающие следующими свойствами: (1) каждая максимальная клика содержит по одной вершине из каждой доли; (и) подграф, индуцированный любыми двумя долями, является связным и аналогичное свойство выполнено для каждого остатка ранга по меньшей мере 2. Легко заметить, что остаток в геометрии сам является геометрией.

Пусть (С/ь Д) и (С?2? Ь) - это две геометрии, у которых множества элементов и множества типов не пересекаются. Прямой суммой геометрий и называется геометрия, у которой множество элементов - это объединение и б2] множества типов - Д и /2, в которой отношение инцидентности и функция, задающая тип совпадают, соответственно с *,• и будучи ограничены на Qi для г = 1 и 2 и в которой каждый элемент из С/х инцидентен каждому элементу из Я2

Приведенные выше определения остатка и прямой суммы мотивируются следующим образом в контексте геометрий классических групп. Пусть (? классическая группа, для которой V - естественный модуль, а Ф - инвариантная форма. Пусть 0 = б(О) - определенная выше геометрия группы 6?. Пусть Ж - некоторый элемент £/, т.е. подпространство в V, вполне изотропное по отношению к Ф. Тогда легко заметить, что гезд(И^) есть прямая сумма двух геометрий: гез^И^) и гез^(И^), где первая является проективной геометрией всех собственных подпространств в Ж, а вторая образована вполне изотропными подпространствами, содержащими \У и допускает следующее описание. Пусть

IV1 = {и | V € V, Ф(и, т) = О для всех го е Ш} обозначает ортогональное дополнение подпространства IV в V. Тогда IV < Ш-1 и Ф индуцирует на и := Ж1 /У/ невырожденную форму Ф'. В этих терминах элементами гев^И^) являются все подпространства в II, которые вполне изотропны по отношению к Ф' и отношение инцидентности задано включением. Тем самым гез^(И^) - это геометрия классической группы, имеющей (У в качестве естественного модуля и Ф' в качестве инвариантной формы. Безусловно геэ^(И^) или геэ^ (И-7) или даже оба остатка могут оказаться пустыми и легко понять, когда это происходит. Так или иначе мы замечаем, что класс прямых сумм геометрий классических групп замкнут относительно взятия остатков.

Введя в рассмотрение геометрии классических групп, мы стали трактовать вполне изотропные подпространства в естественных модулях как абстрактные элементы, сохранив от их векторного происхождения лишь отношение инцидентности, определенное включением и функцию типа, определяемую размерностью. Оказывается, что в большинстве случаев векторное пространство удается однозначно восстановить по соответствующей геометрии и что, более того, сама геометрия в определенной степени характеризуются своими локальными свойствами, а именно структурой остатков. Теория и классификация геометрий могут быть развиты достаточно глубоко без каких-либо предположений об их группах автоморфизмов, однако нас, главным образом, интересуют так называемые флаг-транзитивные геометрии которые, вводятся в следующей секции.