О росте порядков заданных подмножеств централизаторов инволюций конечных простых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Голованова Ольга Владимировна

О РОСТЕ ПОРЯДКОВ ЗАДАННЫХ ПОДМНОЖЕСТВ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОВ ИНВОЛЮЦИЙ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Красноярском государствен ном университете и в Институте вычислительного моделирования СО РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Левчук В. М., доктор физико-математических наук, профессор Шунков В. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Нужин Я. Н., доктор физико-математических наук, профессор Сучков Н.М.

Ведущая организация: Новосибирский государственный

педагогический университет

Защита состоится 8 сентября 2006 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан 7 августа 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наукУ

доцент Голованов М. И.

Общая характеристика работы1

Актуальность темы. По известной теореме Фейта - Томпсона, конечная простая неабелева группа всегда содержит инволюцию. Около полувека назад Р. Брауэр доказал следующую теорему:

Существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1].

Эта теорема послужила в 50-е — 70-е годы XX века фундаментом программы классификации конечных простых групп по заданному централизатору инволюции. Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем г в группе С обозначаем через та, а централизатор гв О — через Сс(т). В различных исследованиях последних десятилетий вызывала интерес зависимость порядка конечной простой группы от определенных заданных подмножеств централизаторов ее инволюций. Именно на этом пути возникла (см., например, [12]), исследуемая в диссертации

Гипотеза 1. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп С, имеющих инволюцию г с условием |Сс;(т) П т°\ < М.

Инволюцию г в группе С? называют конечно вложенной, если пересечение дСс(т) Л (тат°) конечно при всех д ЕС, и называют конечной инволюцией, если она порождает конечную подгруппу с каждой

сопряженной инволюцией. Важным явилось следующее понятие.

'Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты Л> 05-01-00576-а, X» 06-01-00824).

Определение 1 [2|. Параметром вложения инволюции т в группе <?, называется число

ЦС,т) = ткк\9Сс(т)П(тата)\.

Это понятие лежит в основе следующего обобщения теоремы Брау-эра на периодические группы, которое В.П. Шунков разрабатывает с 2001-го года (анонс см. [4], [5]):

Существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.

Доказательство обобщения редуцируется к конечным группам с помощью характеризации групп с конечной и конечно вложенной инволюцией [3], [5]. Обобщение основывается на следующем предположении.

Гипотеза 2. Число конечных простых групп с заданным конечным параметром вложения инволюции — конечно.

Очевидно, из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и гипотезы 2, поскольку выполняется неравенство

ЧС,т) > \Сс(т) П тс|.

По модулю классификации конечных простых групп обе гипотезы достаточно подтвердить для бесконечных семейств знакопеременных групп и групп лиева типа.

Цель работы: Исследовать гипотезы 1 и 2 по модулю классификации конечных простых групп.

В диссертации используются стандартные методы теории групп. Диссертация носит теоретический характер.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми и могут применяться в теориях конечных и бесконечных групп.

Апробация диссертации. Результаты диссертации были представлены на международных конференциях "Мальцевекие чтения" (Новосибирск, 2002, 2003 гг.), но математике и механике (Томск, 2003 г.), "Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra" (Новосибирск — Эрлогол, 2003 г.), на конгрессах женщин-математиков (Красноярск, 2000, 2006 гг.), на международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.) и конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН, 2002, 2003 гг.). Они неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах при Институте математики СО РАН (Новосибирск), Красноярском государственном университете и Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6] — [12].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на семь параграфов, и списка литературы, содержащего 36 наименований. Нумерация теорем, определений и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

Содержание диссертации

В диссертации получены следующие основные результаты:

— доказана конечность числа простых конечных групп G с одним классом сопряженных инволюций с инволюцией г такой, что |Се(т)П т°| < M для любого наперед заданного М;

— доказано аналогичное свойство для групп PSLn(q) с четным q, знакопеременных и симметрических групп.

Тем самым, в классах указанных групп подтверждаются гипотезы 1 и 2. Частичное подтверждение эти гипотезы находят для других классов групп. А именно, для наперед заданного M неравенство |Сс(т) П тс\ > M доказано

— для групп G — PSLn(q) достаточно больших порядков с любой диагонализируемой инволюцией г из С? и нечетным q;

— для групп G лиева типа достаточно больших порядков над нолем четного порядка и специальных инволюций т из G.

Рассмотрим содержание по главам. В § 1.1 главы 1 обсуждаются основные задачи. В § 1.2 приводятся предварительные свойства. К главным результатам главы относится

Теорема 1. Пусть M — натуральное число и G — простая конечная группа с одним классом сопряженных инволюций. Тогда для любой инволюции г из G при достаточно большом |G| имеем \Gg{t) П tg\ > M.

Теорема 1 опубликована в [11].

По модулю ККПГ, простые конечные группы с одним классом сопряженных инволюций, за исключением конечного числа спорадических групп и знакопеременных групп А„ (п < 7), исчерпываются группами РБЬ3(7) и группами лиева типа ранга 1, т.е. группами

Доказательство теоремы 1 для пяти перечисленных семейств устанавливают леммы 1.3.3 — 1.3.7. Точные оценки выявляет

Лемма 1.3.3. Пусть т — произвольная инволюция группы <7 = Р£Х2(<?), д > 3. Тогда £(<3,т) = |Сс(т)| и более того:

а) Если 7 четно, то выполняются равенства

1(в,т) = ч, |Сс(г)Пгс| = 9-1;

б) Если «у = 1(гпос1 4), то

*(С,г) = 9-1, |СЬ(т) П т°\ —

е^ Если q = —1(то</ 4), то

«(0,^=9+1, |Сс(Т)ПТс| = ^±Л

Доказательство этой леммы опирается на лемму 1.3.2 о диэдраль-ных подгруппах с центральной инволюцией в группах с одним классом сопряженных инволюций.

В § 1.4 вычисляются значения параметров вложения инволюций во всех диэдральных группах и (с применением системы компьютерной алгебры ГАП) в некоторых спорадических группах.

в

Центральным результатом второй главы является

Теорема 2. Пусть М — произвольное натуральное число и С? = Зп, Ап или Р3[;п(ц) с четным д. Тогда для любой инволюции т из С при достаточно большом |С| имеем \Со(т) П тс| > М.

Теорема 2 получена как следствие теорем 2.1.1 и 2.3.1. Она опубликована в [12] в нераздельном соавторстве с В.М. Левчуком. Теоремы 1 и 2 подтверждают гипотезу 1 для указанных в них классов конечных простых групп.

Для других классов групп гипотезы исследуются в следующих теоремах частично.

Теорема 3. Пусть М — произвольное натуральное число и в — группа лиева типа над полем четного порядка. Если ее порядок достаточно большой, то в группе С? существует инволюция т с условием \Сс.{т) П та\ > М.

Теорема 4. Пусть М - произвольное натуральное число и С? = Р5'£„(<?) с нечетным q■ Если порядок \С\ группы достаточно большой, то для любой диагонализируемой инволюции т из й выполняется неравенство |Со(т) П тс| > М.

Теоремы 3 и 4 устанавливаются в § 2.2 и § 2.3 (теоремы 2.2.1 и 2.3.1). Они опубликованы в [12].

Автор благодарен своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору В.М. Левчуку и д.ф.-м.н., профессору В.П. Шункову за постановку задач и внимание к работе.

Список литературы

[1] Брауэр Р. О строении групп конечного порядка. // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. Москва: Физ-матгиз. - 1961. — С. 23 — 35.

[2] Рябинина H.A., Сучков Н.М., Шунков В.П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями // Алгебраические системы (сборник научных трудов). Красноярск: Препринт ВЦ СО РАН.

- 1995. — Л* 10. — С. 3 - 11.

[3] Шунков В.П. Группы с конечно вложенной инволюцией // Алгебра и логика. — 1990. - Т. 29, Л* 1. — С. 102 - 123.

[4] Шунков В.П. Группы с инволюциями // В сб. тезисов докл. международ. сем. по теории групп. Екатеринбург: ИММ УрО РАН.

- 2001. - С. 245 - 246.

[5] Шунков В.П. Теория групп и космос // Препринт N 1. — Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2005. - 16 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[6] Голованова (Листова) О.В. О группе Матье Мп // В сб. тезисов докл. международ, сем. но теории групп. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2001. - С. 135.

[7] Листова О. В. Параметры вложения инволюций в некоторых спорадических и знакопеременных группах // В сб. тезисов докл.

междуна]юд. конф. "Алгебра и ее приложения". Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 79 - 80.

[8] Листова О. В. Об инволюциях групп Матье // Сборник научных трудов "Ученые — юбилею вуза". Красноярск: КрасГАСА.

- 2002. - С. 79 - 85.

[9] Листова О. В. Параметры вложения инволюций некоторых групп // Материалы конф. молодых ученых. Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2003. - С. 30 - 35.

[10] Листова О. В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory. Новосибирск: НГТУ. — 2003. - № 4. - С. 62 - 68.

[11] Голованова О.В. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ. Красноярск: КрасГУ. - 2006. - № 4. - С. 49 - 54.

[12] Голованова О.В, Левчук В.М. Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. — 2006. — Т. 3, Xa- 36.

- С. 124 - 130.

Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Основная задача и ее решение в группах с одним классом сопряженных инволюций

§1.1. Постановка задачи и основные результаты

§ 1.2. Предварительные свойства.

§ 1.3. Группы с одним классом сопряженных инволюций

§ 1.4. Значения параметра вложения инволюций в диэдральных и некоторых простых группах.

Глава 2. Оценка параметра вложения инволюции г и числа \Со{т) П tg\ в конечных простых группах

§ 2.1. Симметрические и знакопеременные группы

§ 2.2. Группы лиева типа над конечным полем четного порядка

§ 2.3. Исследование гипотез 1 и 2 для групп PSLn(q)

По известной теореме Фейта - Томпсона, конечная простая неа-белева группа всегда содержит инволюцию. Около полувека назад Р. Брауэр доказал следующую теорему:

Существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1].

Эта теорема послужила в 50-е — 70-е годы XX века фундаментом программы классификации конечных простых групп по заданному централизатору инволюции. Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе G обозначаем через rG, а централизатор т в G — через Сс(т). В различных исследованиях последних десятилетий вызывала интерес зависимость порядка конечной простой группы от определенных заданных подмножеств централизаторов ее инволюций. Именно на этом пути возникла (см., например, [36]), исследуемая в диссертации

Гипотеза 1. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G, имеющих инволюцию г с условием \Cq(t) flrg| < М.

Инволюцию г в группе G называют конечно вложенной, если пересечение дСд{т) П (tgtg) конечно при всех д G G, и называют конечной инволюцией, если она порождает конечную подгруппу с каждой сопряженной инволюцией. Важным явилось следующее понятие.

Определение 1 [12]. Параметром вложения инволюции т в группе G, называется число t(G,r) = max\gCG{r)n{rgtg)\.

Это понятие лежит в основе следующего обобщения теоремы Брауэра на периодические группы, которое В.П. Шунков разрабатывает с 2001-го года (анонс см. [17], [18]):

Существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.

Доказательство обобщения редуцируется к конечным группам с помощью характеризации групп с конечной и конечно вложенной инволюцией [15], [18]. Обобщение основывается на следующем предположении.

Гипотеза 2. Число конечных простых групп с заданным конечным параметром вложения инволюции —• конечно.

Очевидно, из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и гипотезы 2, поскольку выполняется неравенство

1(С,т)>\Сс(т)Пт%

По модулю классификации конечных простых групп обе гипотезы достаточно подтвердить для бесконечных семейств знакопеременных групп и групп лиева типа.

В диссертационной работе гипотезы 1 и 2 исследуются по модулю классификации конечных простых групп. Получены следующие основные результаты: доказана конечность числа простых конечных групп G с одним классом сопряженных инволюций с инволюцией г такой, что \сс(т) П tg\ < м для любого наперед заданного м; доказано аналогичное свойство для групп PSLn(q) с четным q, знакопеременных и симметрических групп.

Тем самым, в классах указанных групп подтверждаются гипотезы 1 и 2. Частичное подтверждение эти гипотезы находят для других классов групп. А именно, для наперед заданного М неравенство \Cg(t)Otg\ > М доказано для групп G = PSLn(q) достаточно больших порядков с любой диагонализируемой инволюцией т из G и нечетным q; для групп G лиева типа достаточно больших порядков над полем четного порядка и специальных инволюций г из G.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Брауэр Р. О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. Москва: Физматгиз. - 1961. - С. 23 - 35.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. / М.: "Мир". — 1972.

3. Бусаркип В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы / М.: изд-во "Наука". — 1968.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: "Наука". 1982.

5. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. 1986. - Т. 41, № 1. - С. 57 - 96.

6. Кондратьев А.С., Махнев А.А., Старостин А.И. Конечные группы // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ. 1986. - № 24. - С. 3 - 120.

7. Левчук В.М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Математические заметки. — 1982. — Т. 31, № 4. — С. 509 525.

8. Левчук В.М., Нужип Я.Н. О строении групп Ри // Алгебра и логика. 1985. - Т. 24, № 1. - С. 26 - 41.

9. Левчук В.М. Автоморфизмы унипотеитных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29, № 2. С. 141 - 161.

10. Рябинипа Н.А., Сучков Н.М., Шунков В.П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями // Алгебраические системысборник научных трудов). Красноярск: Препринт ВЦ СО РАН. — 1995. — № 10. — С. 3 11.

11. Супруненко Д.А. Группы матриц. — М: Наука. — 1972. — 351 с.

12. Тимофеенко А.В. О порождающих тройках инволюций в спорадических группах // Ред. Сибир. мат. журн. Сиб. отд. РАН. Новосибирск. Деп. в ВИНИТИ 19.03.01 N693-B2001. 2001. -18 с.

13. Шунков В.П. Группы с конечно вложенной инволюцией // Алгебра и логика. 1990. - Т. 29, № 1. - С. 102 - 123.

14. Шунков В.П. Мр-группы. М: Наука. - 1990.

15. Шунков В.П. Группы с инволюциями // В сб. тезисов докл. международ, сем. по теории групп. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2001. - С. 245 - 246.

16. Шунков В.П. Теория групп и космос // Препринт N 1. — Красноярск: ИВМ СО РАН. 2005. - 16 с.

17. Холл М. Теория групп. Под ред. J1.A. Калужнина. — М.: издательство иностранной литературы. — 1962.

18. Aschbacher М. and Seitz G.M. Involutions in chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. 1976. - V. 63. - P. 1 -91.

19. Carter R. W. Simple groups of Lie type. / New York: Wiley and Sons. 1972.

20. Curtis R. T. Geometric interpretations of the "natural" generators of the Mathieu groups // Math. Proc. Phil. Soc. 1990. - V. 107, Part 1. - P. 19 - 26.

21. Dickson L.E. Linear groups with an exposition of the Galois Field theory. Dover, New York. 1958.

22. Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. - V. 14, № 2. - P. 203 - 228.

23. Kolesnikov S.G., Nuzin J A.N. On Strong Reality of Finite Simple Groups. Acta Applicandae Mathematicae. 2005. - № 85. - P. 195- 203.

24. Suzuki M., On class of doubly transitive groups, I, II / Ann. Math.- 1962. N 75. - P. 105-145; 1964. - № 79. - P. 514 - 589.27. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/gap.

25. Wilson R. http://www.mat.bham.ac.Uk/atlas/v2.0/.

26. Тимофееико А.В. http://icm.krasn.ru/seminar/contrus.html (22 августа 2000 г.).РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

27. Голованова (JIucmoea) О.В. О группе Матье Ми // В сб. тезисов докл. международ, сем. по теории групп. Екатеринбурга ИММ УрО РАН. 2001. - С. 135.

28. JIucmoea О.В. Параметры вложения инволюций в некоторых спорадических и знакопеременных группах // В сб. тезисов докл. международ, конф. "Алгебра и ее приложения". Красноярск: КрасГУ. 2002. - С. 79 - 80.

29. JIucmoea О.В. Об инволюциях групп Матье // Сборник научных трудов "Ученые — юбилею вуза". Красноярск: КрасГАСА. 2002. - С. 79 - 85.

30. JIucmoea О.В. Параметры вложения инволюций некоторых групп // Материалы конф. молодых ученых. Красноярск: ИВМ СО РАН. 2003. - С. 30 - 35.

31. JIucmoea О.В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory. Новосибирск: НГТУ. — 2003. № 4. - С. 62 - 68.

32. Голованова О. В. Параметры вложения инволюций конечных простых групп лиева типа ранга 1 // Вестник КрасГУ. Красноярск: КрасГУ. 2006. - № 4. С. 49 - 54.

33. Голованова О.В, Левчук В.М. Зависимость порядков конечной простой группы и пересечения централизатора и класса сопряженных элементов инволюции // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. — 2006. — Т. 3, № 36. С. 124 - 130.