Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РОЖКОВ Александр Викторович

УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ ДЕРЕВЬЕВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степеии доктора физико-математических наук

Красноярск 1997

Диссертация выполнена на кафедре алгебры и геометрии Челябинского государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Р.И. Григорчук;

доктор физико-математических наук, профессор 11.С. Романовский;

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Шунков.

Ведущая организация — Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " 2 Ч " О1997 г. в '¡С часов на заседании Специализированного совета Д. 064. 61. 02. при Красноярском государственном университете по адресу: г. Красноярск, проспект Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " " Сйлй$ь\}д\ 1997 г.

Учёный секретарь Специализированного совета

кандидат физ.-мат. наук

С.В. Бабенышев

Актуальность темы. В настоящее время о не локально конечных периодических группах, будем их называть бернсайдовыми, известно достаточно много. С.И. Адян, А.Ю. Ольшанский и их ученики далеко продвинулись в изучении свободных бернсайдовых групп ограниченного периода [1; 2; 10; 18; 20; 22 - 25; 54]. Больших успехов в абстрактном описании бернсайдовых групп достигла красноярская алгебраическая школа В.П. Шункова [17; 30 - 33; 36; 39; 42; 44 - 51].

Активно развивается и конструктивное направление исследования бернсайдовых групп, восходящее к работам Е.С. Голода [4] и С.В. Алешина [3]. Конструктивное направление разбивается условно на две ветви: направление, связанное с представлением группы как присоединенной группы некоторой фактор-алгебры, и направление, изучающее группы автоморфизмов однородных деревьев.

В рамках обоих направлений получены очень интересные результаты, решены многие трудные проблемы теории групп и смежных разделов математики. Прежде всего отметим результаты Р.И. Гри-горчука [5-8], решившего в частности с помощью групп автоморфизмов деревьев знаменитую проблему Милнора о росте групп.

Среди многочисленных результатов, развивающих конструкцию Е.С. Голода, можно выделить исследования А.И. Созутова и A.B. Ти-мофеенко.

Тема настоящей диссертации — детальное изучение общей конструкции групп автоморфизмов однородных деревьев или AT- групп. 'Основной идеей, заложенной в эту конструкцию, является наличие двух видов порождающих: корневых и продольных. Благодаря этому, при сужении на поддеревья, мы получаем порождающие того же вида. Таким образом, AT- группа индуцирует на поддеревьях группу, подобную себе, что позволяет вести индукцию. Именно эта индукция делает AT- группы доступными прямому изучению.

Следует отметить важность работ Ю.И. Мерзлякова, В.И. Сущан-ского, И.Г. Лысенка, Н. Гупты, С. Сидки, М. Диксона и Т.Форнелли по группам автоморфизмов однородных деревьев [19; 21; 31; 32; 52; 53; 56; 57].

В диссертации систематически изучается класс групп автоморфизмов однородных деревьев. Разрабатываются единые методы их изучения, строится технический аппарат. В последующем этот аппарат применяется для решения известных алгебраических проблем.

Одними из важных условий, налагаемых на группы являются условия конечности. В настоящей дисертации изучаются условия конечности, связанные с конечностью подгрупп, порожденных тем или иным конечным множеством элементов. Много подобных условий, ослабляющих локальную конечность, введены В.П. Шунковым. Эти условия оказались очень полезными при абстрактном описании многих интересных классов групп. Однако вопрос о разграничении этих условий во многих важных классах групп был открыт.

В данной диссертации строятся примеры, разграничивающие в классе финитно аппроксимируемых групп некоторые из условий конечности Шункова, а также некоторых обобщений этих условий.

Цель работы. Основная цель данной диссертации — всестороннее изучение AT- групп, получение информации о структуре их подгрупп, создание методов и приемов работы с такими группами. Естественным приложением излагаемых конструкций является построение примеров, отвечающих на те или иные вопросы теории групп.

Общая методика исследования. Методы общей теории групп, прямых произведений, линейной алгебры, коммутаторного исчисления.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории не локально конечных периодических групп.

Апробация работы. Результаты докладывались на семинарах по алгебре в МГУ (рук. А.И. Кострикин), по теории групп в Институте Математики им. В.А. Стеклова (рук. Р.И. Григорчук и B.C. Куликов ), на семинарах "Алгебра и логика", "Теория групп", "Эварист Галуа" при Новосибирском госуниверситете и Институте математики СО РАН, на городском алгебраическом семинаре при Красноярском госуниверситете, на алгебраическом семинаре в Институте математики и механики УрО РАН, на семинарах по алгебре при Уральском и

Челябинском госуниверситетах и при Челябинском техническом университете.

Автор выступал с докладами на нескольких Всесоюзных симпозиумах по теории групп и Всесоюзных алгебраических конференциях; на Международных алгебраических конференциях (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993); на Международной конференции, посвященной 1000-му заседанию семинара "Алгебра и логика" (Новосибирск, 1994); на 1-й Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (Челябинск, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60 - 75].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав и списка литературы (156' наименований), занимает 231 страницу текста, набранного в ШрХе. Нумерация тройная: номер главы, номер параграфа в главе, номер пункта в параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К основным результатам диссертации можно отнести следующие:

— решен вопрос Р. И. Григорчука 13.21 а) из,Коуровской тетради о существовании финитно аппроксимируемых групп с функцией роста периодов более медленной, чем Любая степенная;

— разграничены в классе финитно аппроксимируемых групп'некоторые из условий конечности В. ГГ. Шункова (полный ответ на вопрос А. И. Созутова 8.66 из Коуровской тетради);

— решен вопрос Леннокса [55] о централизаторах порождающих элементов в 2-группе Григорчука;

— вычислены индексы нижнего центрального ряда 2-группы Григорчука, подтверждена гипотеза Р.И. Григорчука [9].

Можно отметить также следующие результаты:

— найдено новое решение вопроса 2.83 из Коуровской тетради, верное в классе конечно порожденных групп;

— получено существенное продвижение в решении вопросов 9.77 и 9.78 из Коуровской тетради;

— описаны костабилизаторы и группы без неединичных нормальных подгрупп бесконечного индекса в важном классе АТШ— групп;

— обобщены и разграничены в классе финитно аппроксимируемых групп некоторые из условий конечности В. П. Шункова;

— вычислены обобщенные размерности централизаторов элементов 2-группы Григорчука.

Перейдем к точным формулировкам.

Первая глава носит в основном вводный характер. В ней дается определение АТ- групп, фиксируются обозначения, вводятся основные понятия и определения. Следует отметить, что большинство терминов и обозначений принадлежит Юрию Ивановичу Мерзлякову.

Доказываются важные технические утверждения о строении коста-билизаторов и стабилизаторов АТ- групп. Здесь же даются обобщения конструкции АТ- групп, используемые далее. Приводятся примеры АТ- групп. Вводятся некоторые классы АТ- групп, допускающие более глубокое изучение, чем общая конструкция. Здесь же доказывается основной вариант теоремы о строении костабилизаторов вершин АТШ- групп.

Основной объект нашего изучения — группы автоморфизмов бесконечных однородных деревьев.

Пусть А = (А\, Л-2,...) — произвольная последовательность множеств, каждое из которых содержит не менее двух элементов. Наборы

и = (аь ..., й„), а{ 6 Аг,

будем называть кортежами длины п, обозначая длину кортежа и через |и|. Множество всех кортежей обозначим символом Т или, подробнее, Т(А). Превратим множество Т в дерево, объявляя вершинами кортежи и соединяя ребрами только вершины

« = (аъ • • •, ап) и V = («ь..., ап, ап+1), п 6 N.

при этом помечая построенное ребро символом ап+1 6 Ап+\.

Всякий автоморфизм / дерева Т, фиксирующий начальную, вершину, однозначно задается набором подстановок ребер дерева Т, то есть множеств Ап, размещенных в вершинах дерева Т:

/ = {/(«) I «€ Т}, где /(и) — подстановка множества Л|и|+х, размещенная в вершине и. Подстановку /(и) будем называть и-й, а если важна только длина п вершины и, то п-й сопровождающей подстановкой автоморфизма /.

Бесконечный кортеж будем называть путем в дереве Т.

Костабилизатором вершины и € Т в группе G < AutT назовем поточечный стабилизатор всех вершин, лежащих вне поддерева Т,(и) с начальной вершиной и

costG(«) = stс(Т \ Т(„)).

Если U — некоторое множество вершин дерева Т, то по определению

cost(i/) = гр ( [J cost(u)).

u€t/

Понятие костабилизатора двойственно понятию стабилизатора: st(U)— наибольшая подгруппа, содержащаяся во всех стабилизаторах st(u), и £ U, a cost(u) — наименьшая подгруппа, содержащая все cost(u), и £ U.

Автоморфизм / дерева Т называется корневым, если /(0) — единственная нетождественная сопровождающая подстановка автоморфизма /•

Пусть 7 — некоторый путь в дереве Т. Автоморфизм / дерева Т называется продольным, с направляющим путем 7, если из f(u) ф 1

следует, что

и = (7l72 - • -lnan + l) для некоторого п £ N и an+i £ An+i, причем an+i ф 7п+1-

1.2.3. Определение AT- группы. Пусть А иТ те же, что и выше, F — некоторое множество корневых и продольных автоморфизмов дерева Т. Группа G = гр^) называется AT- группой дерева Т (или последовательности А) с каноническим порождающим множеством F, если группа подстановок

П„ = гр(/(и) | / € F, |u| = п)

транзитивна на множестве An+i для любого п £ N.

Группа Пга называется п-й сопровождающей группой подстановок группы G.

Одним из основных технических средств при изучении AT- групп является понятие и—срезки, позволяющее переходить от AT- групп,

действующих на всем дереве, к их сужению на поддерево, рассматриваемому как самостоятельное дерево. При этом, в силу геометрического вида канонических порождающих, мы снова получаем группу или подгруппу АТ- группы и можем пользоваться индуктивными соображениями.

1.2.4. Определение срезки. Пусть Т — дерево над последовательностью А, |«| = 71, п — натуральное число. Отображение

(и) : АиЬТАиЬТ(п),

где Т(п) — дерево над последовательностью (Л(п+1), Л(„+2)> ■ ■■), заданное правилом

/ = {/(«) I «ет}и/м = {/м(«) = /Н | «еЗД,

называется и — срезкой автоморфизма /. Если п — 1, то и— срезку назовем главной.

Во 2-й главе детально изучаются костабилизаторы в важном классе АТЫ— групп. Изложение ведется на языке лодпрямых произведений. Вводится некоторое конечномерное пространство над конечным полем, связанное с исходной АТ- группой, и в его терминах описывается пересечение подпрямого произведения с прямым сомножителем. Ответ зависит от последовательности простых чисел и ~ ...) и включает рассмотрение большого числа случаев.

2.1.1. Обозначения. Пусть р и q — нечетные простые числа, Ър = гр(с),. ,ЪЧ = гр(а) — циклические группы, гр(Х) — свободная группа с базой X, Н — гр(Х) *ЪЧ — свободное' произведение. Рассмотрим сплетение Н1ЖР и в нем подгруппу С вида С = гр(с,Х),

Х = {х = (х,ащ,...,а>-1)\ = «¿(®) £2, х е X, 1 <г'<р}.

Пусть 11(2;) = [ь1[х),..., ур-1(х)). Подпространство

V = У(С) = (у{х) | х € X)

.......V " 1 *

р-1.

назовем сопровождающим для группы в.

Пусть р, д — нечетные простые числа, е — корнь р-й степени из 1 в поле СГ(д). Вектор ь вида

где VI, «2, •. •, г>3 € СР(д), в — (р — 1)/2, назовем е— симметричным вектором.

При фиксированном е подпространство (над СР(д)) всех е— симметричных е— симметричным пространством и обозначим И^е) .

Из нескольких теорем, описывающих величину пересечения для различных типов сопровождающего пространства, отметим наиболее вал ную, являющуяся итогом всей главы 2.

2.7.2. Теорема. Включение С > Н' имеет место всегда, за исключением случая, когда р делит (ц — 1), сопровождающее пространство V группы С одномерно и V < \У{е), где е — некоторый корень р—й степени из 1 в поле СР{ц). Тогда

Н'С'/С." "

Глава 3 посвящена ответу на вопрос Леннокса [55]. •

3.2.10. теорема. Централизатор С(/) порождающего / группы Григорчука Н бесконечно порожден. Таким образом, ответ на вопрос Леннокса [55] отрицателен.

Здесь же описываются повторные централизаторы элементов.

3.3.4. Теорема. Для любого элемента х группы Григорчука Н повторный централизатор Сн(Сц(х)) конечен.

В главе 3 вводится полезное понятие высоты элемента.

Скажем, что автоморфизм х дерева Т имеет высоту п, если при движении вдоль любого бесконечного пути а дереве Т (двигаемся без возвращений) нетождественная подстановка либо не встретится вовсе, либо встретится первый раз в некоторой вершине v, < п. И число п с этим свойством минимальное.

В силу этого определения порождающий с имеет высоту 1, а порождающие /, д, К не имеют конечной высоты.

3.4.1. ТЕОРЕМА. Пусть х — элемент группы Григорчука Н. Централизатор С(х) элемента х конечно порожден тогда и только тогда, когда все степени элемента х имеют конечную высоту.

Это в конечном счете позволяет описать конечно порожденные централизаторы элементов.

3.4.4. Следствие. Ценрализатор элемента х группы Н конечно порожден тогда и только тогда, когда элемент х сопряжен с корневым порождающим группы Н.

В главе 4 детально изучаются некоторые условия конечности в группе Григорчука [5]. Прежде всего продолжается исследование централизаторов элементов, начатое в предыдущей главе. Здесь выясняется их взаимное расположение, вложимость друг в друга, в частности, вложимость централизатора элемента в централизатор степени этого элемента. Находятся пересечения некоторых централизаторов, устанавливается, что группа Григорчука не обладает свойством Хаусона, то есть в ней содержатся конечно порожденные подгруппы, имеющие бесконечно порожденное пересечение.

Вычисляются индексы некоторых важных подгрупп группы Григорчука. Прежде всего это индексы конгруэнц-подгрупп и малых конгруэнц-подгрупп, а также индексы рядов коммутантов и индексы членов нижнего центрального ряда.

Завершают главу примеры максимальных локально конечных подгрупп, у которых явно указываются порождающие элементы и выясняются некоторые свойства этих подгрупп. В частности, то, что они имеют тривиальные централизаторы во всей группе автоморфизмов дерева Т, ив них вложима любая конечная 2-групла.

4.1.9. Теорема. Централизатор С(х) элемента х £ Н тогда и только тогда не является собственной подгруппой любого другого централизатора С(у), когда или х = 1, или х — инволюция и С(С(х)) = гр(х).

В этой же главе приводится явное описание всех таких инволюций.

В теореме 4.2.3 указывается формула для индексов ряда коммутантов, а также для некоторых других важных подгрупп.

4.2.3. ТЕОРЕМА. Имеют место равенства:

\Н : cost(l)| = 16, \Н : st(2)| = 8;

|Я : собЦп)! =4 - |созЬ(п) :собЦп + 1)| = 4-42", п = 2,3,...; ¡Я : б^п)! =4-| : Б^п + 1)| = 4 • 322"~\ п = 3,4,...; |Я : Я'| = 8, |Я : Я"| = 27, Я(п) = сов^я - 3), п > 3.

Мы приведем также формулу для индексов членов нижнего центрального ряда. Для них формула проще, чем для ряда коммутантов, но доказательство значительно сложнее.

4.4.1. Теорема. Имеют место соотношения:

где тп = 1,2,...

Изложим содержание главы 5.

Описание нормальных подгрупп в группе очень важно для понимания структуры группы. Рассматриваемые нами в этой главе АТ-группы над локально конечным деревом являются финитно аппроксимируемыми, благодаря чему они насыщены нормальными подгруппами конечного индекса. Однако во многих случаях никаких других неединичных нормальных подгрупп АТ- группа не имеет. Группу, не имеющую неединичных нормальных подгрупп бесконечного индекса, Ю.И. Мерзляков предложил называть оо— простыми. Мы будем придерживаться этой терминологии.

В случае произвольной АТ- группы над локально конечном деревом нами устанавливается некоторое достаточное условие оо— простоты, а в случае нечетных АТУ— групп даются необходимые и достаточные условия.

В [34] В.И. Сущанским решен старый вопрос В.П. Шункова из [16] о возможности факторизовать периодическую нелокально конечную группу локально конечными группами. В диссертации эта тема развивается в рамках теории АТ- групп и регулярных АТ- групп. Оказывается, что каждая АТ- группа вложима в АТ- группу, фактори-зуемую локально конечными группами. Более того, если исходная группа, была конечно порожденной периодической, то и факторизу-емая локально конечными группами АТ- группа, в которую она вложима, тоже является конечно порожденной периодической.

Я/72 = 22Ф22ФЖ2, 72/73 = ^8 22,

^ Г Ж2 ® Ъг , при '2т + 1 < п < 3 • 2"!~1 + 1 ~ \ Ъг , при 3 • 2т'1 + 1 <п< 2т+1 + 1,

Следующая теорема дает достаточное условие оо- простоты АТ-группы над локально конечным деревом.

5.1.1. ТЕОРЕМА. Пусть б — АТ- группа над локально конечным . деревом Т. Пусть индексы всех коммутантов всех п— срезок группы б конечны. Если, сверх того, для любой вершины и € Тп и—срезка ко стабилизатор а соз1<з(и) содержит некоторый коммутант группы С(п), то все неединичные нормальные подгруппы группы б имеют конечный индекс.

Для класса же АТи— групп удается полутать необходимые и достаточные условия.

5.2.1. ТЕОРЕМА. Пусть ш — произвольная последовательность нечетных простых чисел. Пусть С? = гр(С, В) — АТ^~ группа, С[п) — ее п— срезка, С'"' — п-й коммутант, п € N. Следующие условия равносильны :

■ а) группа С оо — проста;

б) группа (?(!) оо— проста;

в) индекс : конечен для любого

г) индекс |С : конечен для любого п€К

При этом в условиях в), г) нельзя ограничиться конечным числом номеров тг, а второй коммутант С"п> нельзя заменить на централ 1С(п)'С(п)>С(п)]-

Из теорем о факторизуемости отметим наиболее интересную.

. 5.3.4. ТЕОРЕМА. Пусть в — п- порожденная нечетная периодическая АТи- группа, тогда она содержится в не более чем (2п + 1)-порожденной периодической АТШ. г группе, факторизуемой локально конечными подгруппами.

В [6] Р. И. Григорчуком введено понятие функции роста периодов группы и сформулирована проблема построения финитно аппроксимируемой р- группы, в которой рост периодов был бы более медленным, чем любой степенной, В главе 6 доказывается, что сформулирован. ный выше вопрос решается положительно для любого простого числа р. При этом функция роста периодов может расти медленнее суперпозиции любого числа логарифмов.

6.1.1. Основной ПРИМЕР. Пусть п — фиксированное целое положительное число, р — простое число, q — ps, s 6 N. Положим щ — п, rti+i — {q — 1)"', г 6 N. Рассмотрим последовательность абелевых групп

_____...

Построим дерево Т над этой последовательностью и рассмотрим в нем регулярную AT- группу

G = G(n,p, s) = rp((i,c(a1),...,c(an)),

где ai,..., ап — некоторая база группы ZJ, c(aj) — корневой автоморфизм дерева Т, единственная нетождественная подстановка которого . является сдвигом на элемент aj, 1 < j < п. Чтобы не вводить новых обозначений, считаем, что ... ,ащ — база группы ZJ'. При работе с группами И^ будем пользоваться аддитивными обозначениями. Опишем строение продольного порождающего d. Пусть (0,0,...) — его направляющий путь. Пусть, далее, b — вершина дерева Т длины г+ 1. Положим, что Ь—я сопровождающая подстановка d(b) автоморфизма d задается формулой

{а(Ь), если b = (0,0,..., 0, aiaj -f ... + апащ), 0 < aj,..., anj < q, - . ,

1, в противном случае,

где элемент а(Ь) пробегает все множество порождающих группы Zqi+t.

6.1.4. Теорема. Для каждого простого числа р существует конечно порожденная финитно аппроксимируемая р~ группа неограниченного периода, функция роста порядка элементов которой удовле- . творяет условию: для любого натурального к существует натуральное I такое, что при тп > I выполняется неравенство

l{m) < „ . 1ц(тл).

к ..,.•,.

Другой числовой функцией, рассматриваемой в этой главе, является обобщенная размерность, обладающая некоторыми естественными свойствами обычной размерности векторных пространств и совпадающая с обычной размерностью, если применяется к прямому произведению

полей. Выясняются полезные свойства этой размерности в классе АТ-групп. Вычисляются обобщенные размерности централизаторов элементов 2-группы Григорчука.

Понятием, двойственным^, обобщенной размерности, является обобщенная коразмерность. Для нее доказывается теорема, верная в классе AT- групп над локально конечным деревом, связывающая коразмерность подгруппы и величину ее централизатора:

Пусть X — бесконечная группа, X" — ее прямая степень, Y < Хп — подгруппа, п £ N. Пусть далее II — семейство всех подмножеств множества {1,2, ...,n}, I € I. Если у = Пг=1 xi € т0 положим Vi = Г1«е/ х>> и Y[ = {yi\y £ Y}.

Определим размерность и коразмерность по подгруппе X по правилу:

diniy Y = max{j/| j Yi имеет конечный индекс вХ'}, cdimx Y — max{|/| | У/ конечно}.

Пусть Т — локально конечное дерево, G — AT- группа над деревом Т, Хп — costc(ti)(u), \и\ = п. Вместо dimx„ будем писать просто dimn .

Пусть Y — подгруппа группы G. Размерностью подгруппы Y по подгруппе X назовем предел

dimn(Y П costG(n)) dixK = hm —-—:-i—.

n-»oo ~ • |i„|

Предел существует, поскольку последовательность неубывающая, ограниченная сверху числом 1.

Коразмерностью по подгруппе X назовем предел

cdixF = lim Cdim"(Y.rn,StG(n)),

n-Юо |Jn|

где cdimn = cdimxn, X„ = stG(w)M, |u| = n.

Обратим внимание, что размерность определена нами через коста-билизатор, а коразмерность через стабилизатор. Причина здесь в существе дела. Размерность измеряет, насколько подгруппа Y "велика", а коразмерность — насколько она "мала". Однако, если даже пересечение подгруппы с костабилизатором единичное, это еще не значит, что подгруппа действительно мала.

При исследовании АТ-групп было установлено, что конечные подгруппы в них имеют бесконечные централизаторы. При более детальном изучении этого вопроса удалось установить, что более глубокой причиной этой бесконечности является отличие от нуля коразмерности централизуемых подгрупп.

Пусть G — группа и F — ее подгруппа. Любую максимальную подгруппу централизатора Cg(F), имеющую с подгруппой F тривиальное пересечение, назовем внешним центр&чизатором и обозначим C(F)g-

6.2.8. Теорема. Пусть G — АТ-группа над локально конечным деревом. Тогда, если для некоторой подгруппы F cdixF > 0, то найдется такой внешний централизатор C{F)g, что dix (C(F)q) > 0. В частности внешний централизатор бесконечен.

Обобщенная размерность вообще говоря не является аддитивной функцией, но для группы Григорчука это свойство имеет место.

6.3.2. Теорема. Пусть H — группа Григорчука, dix — размерность по подгруппе H. Тогда для любых подгрупп Y, Z < H таких, что Y х Z < H имеет место равенство

dix(y х Z) = dix У + âixZ.

6.4.2. Теорема. Пусть H — группа Григорчука, х H.

(1) Если х — инволюция, С(х) — ее централизатор в группе Григорчука, то dix(C(a;)) > 1/2, причем dix(C(a:)) — 1/2 тогда и только ■ тогда, когда элемент х сопряжен с порождающим с. г

(2) Для любого х € Я имеет место неравенство

dix(C(i)) < dix(C(x2)) < 2 ■ dix(C(a:)), ......

причем равенство имеет место только для элементов, действующих регулярно на множестве бесконечных путей.

(3) Отношение dix(C(a;2))/dix(C,(2;)) может быть любым рациональным числом из отрезка [1,2].

6.4.3. Теорема. В группе Григорчука имеет место равенство множеств

- jji

{dix№)) I хеН} = {—I 0 < m < 7 • 2", n G N}.

В то же время с61х(С(х)) тождественно равно нулю.

Перейдем к изложению результатов главы 7.

Среди условий конечности наиболее естественны условия, связанные с конечностью подгрупп, порождаемых тем или иным множеством. В случае, когда таким множеством является любое конечное множество, мы получаем локальную конечность. Наиболее интересны условия конечности, ослабляющие локальную конечность. Например, если требовать, чтобы конечную подгруппу порождали множества, содержащие не более п элементов, то мы получаем условие п- конечности, самое слабое среди которых — условие бинарной конечности. Можно пойти дальше и требовать, чтобы конечные подгруппы порождали только пары сопряженных элементов — сопряженная бинарная конечность; или даже пары сопряженных элементов простых порядков — слабая сопряженная бинарная конечность (определения введены В. П. Шунковым).

В. П. Шункову принадлежат также многочисленные другие условия, ослабляющие локальную конечность. Мы обобщаем некоторые из этих условий конечности.

7.3.1. Условия конечности. Назовем группу (п,т) — конечной (соответственно [п,т] —конечной), еслив ней любыеп сопряженных элементов (соответственно любые п элементов),, порядки которых делят число р™, порождают конечную подгруппу, где р пробегает множество всех простых чисел, п > 1, т > 1.

Назовем группу С? (п, т) — конечной (соответственно [п,т]- конечной), если фактор-группа (п,т)~ конечна (соответственно [п,т]~ конечна) для любой конечной подгруппы К группы в.

В этой терминологии слабая сопряженная бипримитивная конечность — это (2,1)— конечность, а бипримитивная конечность — это [2,1]-конечность.

Одновременное выполнение условий (п, т)- конечности для всех п > 1 назовем (оо, т)~ конечностью, а для всех т > 1 (п,оо)— конечностью. В частности, если выполнены условия (п,т)— конечности для всех п > 1, т > 1, то получаем (оо, оо)— конечность.

После этого доказываются следующие теоремы.

7.3.5. ТЕОРЕМА. Пусть р — простое число, т — натуральное, тогда существует финитно аппроксимируемая р- группа, в которой любое конечное множество элементов, порядки которых делят число р'"~\ порождает конечную (абелеву) подгруппу. В то же время найдется пара сопряженных элементов порядка рт (при р > 2) или порядка рт+1 (при р = 2), порождающих бесконечную подгруппу.

7.3.7. Теорема. В классе финитно аппроксимируемых групп условия [п,т]— конечности попарно различны, п > 1,т > 1. Более того, множество этих условий частично упорядочено как множество пар (п, т) натуральных чисел со стандартным координатным порядком.

В [16] под номером 8.66 А. И. Созутовым поставлен вопрос о разграничении в классе финитно аппроксимируемых групп наиболее важных из условий конечности Шункова.

8.66 [10]. Построить примеры финитно аппроксимируемых групп, разделяющие введенные В. П. Шунковым классы групп с условием (а, Ь)—конечности, (слабо) сопряженно бипримитивно конечных групп и (слабо) бипримитивно конечных групп. Нельзя ли извлечь такие примеры из конструкции Е. С. Голода ?

Самим Шунковым в Коуровской тетради поставлены следующие вопросы.

9.77 [16]. Существует ли бесконечная конечно порожденная финитно аппроксимируемая бинарно конечная группа с конечными си-ловскими подгруппами ?

9.78 [16]. Существует ли периодическая финитно аппроксимируемая .Г*— группа с конечными силовскими подгруппами, не являющаяся бинарно конечной? .

В главе 7 строятся примеры финитно аппроксимируемых групп, различающие условия конечности из вопроса 8.66. Таким образом, вопрос А. И. Созутова находит свое полное решение. Не исключено, что вопрос 8.66 можно решить и опираясь на конструкцию Е. С. Голода, поскольку построенные для его решения группы близки по свойствам к группам Голода. Однако они обладают некоторыми более "конечными" свойствами по сравнению с уже известными группами Голода, и именно эти свойства обеспечивают успех дела.

Кроме этого в диссертации строятся примеры бесконечных конечно порожденных финитно аппроксимируемых бинарно конечных групп с локально конечными силовскими подгруппами, что является существенным продвижением в решении вопроса 9.77.

Для любого натурального п > 1 приводятся примеры групп, которые являются периодическими финитно аппроксимируемыми не бинарно конечными сопряженно п— конечными с локально конечными силовскими подгруппами.

Доказывается теорема, переносящая многие свойства со случая р— групп на 7г—' группы, где тс — любое конечное множество простых чисел.

7.4.2. Теорема. Пусть к — произвольное конечное множество простых чисел, п > 1 — фиксированное натуральное число. Тогда существует группа (7 = С(п,7г,), Являющаяся (п + 1)— порожденной финитно аппроксимируемой 7Г— группой, обладающей свойствами:

(1) функция 7(ш) роста периодов группы С удовлетворяет условию: для любого к £ N существует I € N такое, что для всех т > I верно неравенство

7(т) < ¿п^Лг}(т); к

(2) группа б -— (п — 1)— конечна;

(3) группа б — сопряженно к— конечна, где к некоторое число из отрезка [^/^Ь п1 ~ 1]- В частности, 7Г— группа может быть не бинарно конечной, но к— сопряженно конечной, где к сколь угодно велико; "

(4) все неединичные нормальные подгруппы группы О имеют конечный индекс;

(5) абелевы подгруппы исчерпываются не более чем счетными прямыми суммами циклических р— групп, р £ я-;

(6) конечные подгруппы группы С исчерпываются конечными разрешимыми 7Г— группами, причем любая конечная разрешимая тг~ группа вложима в группу О;

(7) централизаторы всех неединичных элементов группы б бесконечны и имеют в. группе С бесконечный индекс.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• 1. Адян С.И. О некоторых группах без кручения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. Т. 35, N 3. С. 459-468.

2. Адян С.И. Проблема Вернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

3. Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки. 1972. Т. 11, N 3. С. 319-328.

4. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах //. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, N 2. С. 273-276.

5. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ и его приложения. 1980. Т. 14, N 1. С. 53-54.

6. Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и инвариантное среднее // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т.48, N 5. С. 572-589.

7. Григорчук Р.И. Конструкция р—групп промежуточного роста, обладающих континуумом фактор-групп // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, N 4. С. 383-394.

8. Григорчук Р.И. О степенях роста р— групп и групп без кручения // Мат. сб. 1985. T. 12G, N 2. С. 194-214.

9. Григорчук Р.И. О ряде Гильберта - Пуанкаре градуированных алгебр, ассоциированных с группами // Мат. сб. 1989. Т. 180, N 2. С. 207-225.

10. Губа B.C. Конечно-порожденная полная группа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, N 5. С. 883-924. ,.,

11. Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя // Изв. АН СССР. Сор. матем. 1990. Т. 54, N 1. С. 42 -59.

12. Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп // Мат. сб. 1991. Т. 182, N 4. С. 56S - 592.

13. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

14. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23, N 1. С. 3-34.

15. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.

16. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. 13-е изд. Новосибирск, 1995.

17. Левчук В.М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, N 4. С. 421 - 434.

18. Лысенок И.Г. Бесконечность бернсайдовых групп периода 2к при к > 13 // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47, N 2. С. 201-202.

19. Лысенок И.Г. Система определяющих соотношений для группы Григорчука // Мат. заметки. 1985. Т.38, N 4. С. 503-516.

20. Лысенок И.Г. О проблеме Бернсайда для нечетных показателей п > 115 // Тез. докл. по теории групп. Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1989. С. 75.

21. Мерзляков Ю.И. О бесконечных конечно-порожденных периодических группах // ДАН СССР. 1983. Т. 268, N 4. С. 803-805.

22. Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах. I, II, III// Изв. АН СССР. Сер.матем. 1968. Т. 32, N 1 - 3. С. 212-244, 251-524, 709-731.

23. Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, N 2. С. 309-321.

24. Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, N 5. С. 553-618.

25. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

26. Ольшанский А.Ю., Шмелькин А.Л. Бесконечные группы // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1989. Т. 37. С. 5-113.

27. Романовский Н.С. Об элементарной теории почти полициклической группы // Мат. сб. 1980. Т. 123, N 1. С. 135-143.

28. Романовский Н.С. О проблеме равенства для центральнометабелевых групп // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, N 4. С. 201-205.

29. Романовский Н.С. Пример 7—диаграммы групп, не являющейся диаграммой нильпотентного пополнения // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, N 4.

30. Сенатов В.И. Слойно конечные группы. Новосибирск, 1993.

31. Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробониуса на бесконечные группы // Мат. сб. 1976. Т. 100, N 4. С. 495-506.

32. Созутов А.И. Об одной модификации примеров Е. С. Голода // Тез. докл. 6-го симпоз. по теории колец, алгебр и модулей. Льпоб, 1990. С. 117.

33. Созутов А.И. О группах с классом фробениусово-абелевых элементов // Алгебра и логика. 1995. Т. 34, N 5. С. 531 - 549.

34. Сущанский В.И. Сплетения и периодические факторизуемые группы // Мат. сб. 1989. Т. 180, N 8. С. 1073-1093. . :

35. Сущанский В.И. Периодические р—группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР. 1979. Т. 247, N 3. С. 561-565.

36. Тимофеенко A.B. О 2-порождепных р-группах Голода // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, N 2. С. 211-225.

37. Трофимов В.И. Функции роста групп подстановок // Группы и другие алгебраические системы с условиями конечности. Новосибирск, 1984. С. 118-138.

38. Хухро Е.И. Нильпотентные группы и их автоморфизмы простого порядка. Фрайбург, 1992.

39. Череп A.A. О множестве элементов конечного порядка в бипримвтивно конечной группе // Алгебра и логика. 1987. Т. 26, N 4. С. 518-521.

40. Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. Киев: Наукова думка, 1987.

41. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: На-■ука, 1980.

42. Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примаркой минимальности // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, N 2. С. 226-231.

43. Шмидт О.Ю. Локальная конечность одного класса бесконечных периодических групп // Шмидт О.Ю. Избранные труды. Математика. М., 1959. С. 298-300.

44. Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика. 1967. Т. 6, N 3. С. 113-124.

45. Шунков В.П. О проблеме? минимальности для локально конечных групп // Алгебра и логика. 1972. Т. 9, N 2. С. 220-248.

4G. Шунков В.П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, N 4. С. 484-490.

47. Шунков В.П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, N 5. С. 579-615.

48. Шунков В.Г1. Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, N 5. С. 603-614.

49. Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, N 5. С. 491-522.

50. Шунков В.П. Мр-групцы. М.: Наука, 1990.

51. Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе. Новосибирск, 1992.

52. Dixon M.П., Foarnclle Т.A. The construction of infinite finitely generated periodic groups using wreate product // .1. Algebra. 1988. V. 115, N 1. P. 150-163.

53. Gupta N., Sidki S. Some infinite p-groups // Алгебра и логика. 1983. T. 22, N 5. С. 584-589.

54. lvaiiov S.V. // Bull. Amer. Math. Soc. 1992. V. 27., N 2. P. 257 - 2G1.

55. Lennox J.С., Hassauabatli A.M., Stewart A.G.R., Wiegold J. Nilpotent extensibility and centralisera in infinite 2-groups // Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2, 39, Suppl. N 2B (1990). P. 209-219.

56. Sidki S. On a 2-genrratrd infinite 3-group: the presentation problem // J. Algebra. 1987. V. 110, N 1. P. 13-23.

57. Sidki S. On a 2-generated infinite 3-group: subgroups and automorphisms // J. Algebra. 1987. V. 110, N 1. P. 24-55.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

58. Рожков A.B. К теории групп алешинского типа // Мат. заметки. 1986. Т.40, N 5. С.572-589.

59. Рожков A.B. О подгруппах некоторых групп алешинского типа // Алгебра и логика. 1986. Т. 25, N 6. С.543-571.

60. Рожков A.B. О группах алешинского типа // Тез. докл. 19-й Всесоюз. алге-браич. конф. Ч. 1. Львов, 1987. С.236.

61. Рожков A.B. О конечных и нормальных подгруппах некоторых групп алешинского типа // Тез. II конф. молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, 1988. С.140-142.

62. Рожков A.B., Пястолова С.М. Уточнение одной теоремы о группах алешинского типа / Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1989, Деп. в ВИНИТИ 04.01.89, N102.

63. Рожков A.B. О подгруппах конечного индекса некоторых групп алешинского типа // Тез. докл. 11-го Всесоюз. симпозиума по теории групп. Свердловск, 1989. С.101.

64. Рожков A.B. О периодических нелокально конечных группах // Междуяар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1989. С.91.

65. Рожков A.B. О стабилизаторах кортежей в некоторых группах алешинского типа // Мат. заметки. 1990. Т. 47, N 3. С.121-128.

66. Рожков A.B. Условия конечности в группах алешинского типа // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, N 6. С. 724-745.

67. Рожков A.B. Централизаторы и самонормализующиеся подгруппы в группе Григорчука//Тез. докл. по теории групп. Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1991. С. 86.

68. Рожков A.B. Группы автоморфизмов деревьев // III Междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 283-284.

69. Рожков A.B. Централизаторы элементов в одной группе автоморфизмов деревьев // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т.57, N 6. С. 82-105.

70. Рожков A.B. Нижний центральный ряд одной группы автоморфизмов дерева // Мат. заметки. 199G. Т. 60, N 2: С. 225 -237.

71. Рожков'A.B., Филиппова Т.П. Централизаторы элементов в группах автоморфизмов деревьев // Вестник Челяб. ун-та. Сер. математика, механика. 1996. N 1. С. 99-110.

72. Рожков A.B. Подпрямые произведения, близкие к прямым / Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1996, Деп. в ВИНИТИ 29.11.96, N 3469.

73. Рожков A.B. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев / Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1996, Деп. в ВИНИТИ 29.11.96, N 3470.

74. Рожков A.B. О вопросе Григорчука и группе Григорчука // Междунар. кон-фер. по алгебре. Санкт-Петербург, 1997. С. 266-268.

75. Рожков A.B. Условия конечности Шункова // Междунар. конф. по алгебре. Санкт-Петербург, 1997. С. 268-269.