Подгрупповое строение АТ-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 Предварительные сведения Ю

1.1 Основные определения . Ю

1.1.1 Сферически регулярные деревья

1.1.2 Автоморфизмы деревьев

1.1.3 АТ-группы.

1.2 Факторгруппы по коммутанту

1.3 Основные примеры

1.3.1 Периодические группы Григорчука G^

1.3.2 Вторая группа Григорчука G

1.3.3 Периодические GGS-группы Ga

1.3.4 EG5'-группы Га

2 Конгруэнц-проблема

2.1 Группы Григорчука. •

2.1.1 Группы

2.1.2 Вторая группа Григорчука

2.2 GGS-группы

2.2.1 Нормальные подгруппы GGS-групп.

2.2.2 Конгруэнц-свойство в GGS-группах с несимметричным сопровождающим вектором.

2.2.3 Конгруэнц-свойсгво в GGS-группах с симметричным сопровождающим вектором

2.3 АТ-группы без конгруэнд-свойства

2.3.1 2-порожденные АТ-группы без конгруэнц-свойства

2.3.2 i?G.S-группы

3 Максимальные подгруппы

3.1 Срезки подгрупп групп Григорчука: специальный случай

3.2 Срезки подгрупп GGS-групп: специальный случай

Диссертация посвящена изучению некоторых свойств АТ-групп - одного подкласса групп автоморфизмов деревьев.

В 1972 году в качестве контр-примеров к общей проблеме Бернсай-да С.В. Алешин [1] указал семейство конечно порожденных бесконечных р-групп (самый первый пример не локально конечной периодической группы был построен в 1964 году E.G. Голодом [7]). Группы Алешина возникли как группы автоматных преобразований, но допускали и другое описание, в частности, как группы преобразований множества р-ичных долей отрезка и как группы автоморфизмов р-дерева. На языке групп преобразований множества 2-ичных долей отрезка в 1980 году Р.И. Григорчук построил аналогичное семейство групп Gw — бесконечных 3-порожденных 2-групп, которые обладают рядом других интересных свойств, в частности, промежуточным ростом (это были первые контр-примеры к гипотезе Милнора) [8, 9]. Позже Ю.И. Мерзляков показал, что оба этих типа групп тесно связаны друг с другом и составляют по существу одно семейство — группы Григорчука являются секциями групп Алешина, а те в свою очередь могут быть собраны из нескольких экземпляров своей секции Григорчука [21]. Также примеры р-групп, схожих с группами работы [1], были приведены в [15] на языке автоморфизмов деревьев.

АТ-группы, или группы алешинского типа, были определены А.В. Рожковым в [39] как обобщение перечисленных выше примеров; там же были доказаны многие их основные свойства. Подкласс АТ-групп, являющихся экстремальными (т.е. таких, все собственные факторгруппы которых конечны), составляет важное подмножество в классе так называемых ветвящихся групп [14] — одном из трех классов, на которые разбивается класс всех экстремальных групп [49].

С другой стороны, многие интересные и легко доступные изучению АТ-группы являются в то же время самоподобными группами в смысле [22]. Они также получили название фрактальных, по двум причинам. Во-первых, у ряда известных примеров хаусдорфова размерность их замыканий в полной группе автоморфизмов соответствующего дерева является дробной. Например, замыкание первой группы Григорчука имеет хаусдорфову размерность | [14]. Во-вторых, действуя на регулярных деревьях (или, что то же самое, на множествах слов в фиксированных алфавитах), такие группы порождают некоторые некоммутативные динамические системы. Для ряда примеров, например, для первой группы Григорчука и 3-группы Гупта-Сидки, спектры этих динамических систем являются множествами Жюлиа полиномиальных отображений интервала [2].

Как перечисленные примеры, так и упомянутые общие конструкции интенсивно изучаются в настоящее время. Для многих групп из этих классов решены проблемы слов и сопряженности [18, 44, 12], вычислены копредставления [19, 45]. Эти результаты были применены к построению примера конечно представленной аменабельной, но не элементарной аменабельной группы [10]. Изучен нижний центральный ряд 2-группы Григорчука [41] (пока это единственный результат такого рода), группы автоморфизмов отдельных групп [17, 46). Критерии периодичности изучались в [39, 48]. Начинает развиваться теория представлений этих групп [2].

В настоящей работе рассматриваются несколько классов конкретных примеров АТ-групп. Это периодические группы Григорчука описанные в [9], вторая группа Григорчука, введенная в [8], G'G.S'-rpynnbi, введенные в [16] как частный случай описываемого там класса групп, и E'GS'-rpynnbi. Для этих групп решаются две задачи: вопрос о наличии в них конгруэнц-свойства и вопрос о максимальных подгруппах.

Пусть G — одна из групп перечисленных выше серий. Тогда G действует автоморфизмами некоторого корневого регулярного дерева Т. Вершины такого дерева естественным образом разбиты на уровни — множества вершин, находящихся на одинаковом расстоянии от корня. Стабилизатор в группе G п-то уровня называется тг-ой конгруэнц-подгруппой, и говорят, что G обладает конгруэнц-свойством, если любая подгруппа конечного индекса содержит некоторую конгруэнц-подгруппу.

Вопрос о наличии в группе G конгруэнц-свойства допускает эквивалентную формулировку в терминах проконечной топологии на G. Действительно, как подгруппа в AutT, G снабжена топологией ть индуцированной проконечной топологией на AutT. Поскольку стабилизаторы уровней в AutT образуют базу окрестностей единицы в проконечной топологии на AutT, то конгруэнц-подгруппы в G образуют базу окрестностей единицы в топологии С другой стороны, G имеет свою собственную проконечную топологию г2. Естественный вопрос здесь, когда эти две топологии совпадают? В [2] было показано, что это происходит тогда и только тогда, когда G обладает конгруэнц-свойством.

Вопрос о максимальных подгруппах перечисленных групп представляет интерес из-за его связи с теорией представлений. Пусть G — произвольная группа, и К — поле. Групповая алгебра K[G] называется полупростой, если ее радикал Джекобсона JK[G} тривиален. Ответ на вопрос, когда алгебра K\G] полупроста, и более общо, каково строение ее радикала Джекобсона, хорошо известен в случае конечных групп. Он следует из теоремы Машке [20], утверждающей, что если характеристика поля К равна нулю, то алгебра K[G] обязательно полупроста, а если характеристика равна некоторому простому р > 0, го K[G] будет полупростой тогда и только тогда, когда G не содержит элементов порядка р. Однако ситуация с бесконечными группами более сложна; некоторые основные результаты в этом направлении изложены в [24].

Пусть К — поле характеристики р > 0, и пусть G — некоторая конечно порожденная группа. Пусть AK[G] — фундаментальный идеал алгебры K[G}. Тогда AK[G] является максимальным правым идеалом алгебры K[G] и соответственно содержит радикал Джекобсона JK[G]. Капланским была высказана следующая гипотеза: если char К — р > 0 и G — конечно порожденная группа, то JK[G] = AK[G\, если и только если G — конечная р-группа.

Утверждение "если" проверяется легко (см. [25]), поэтому основная сложность заключается в доказательстве обратного утверждения. Теорема 6.3 из [25] утверждает, что если G — конечно порожденная группа, К — поле характеристики р > 0, и JK[G] = AK[G], то, в частности, G является р-группой, и любая максимальная подгруппа в G является нормальной подгруппой индекса р. Таким образом, если бы G оказалась бесконечной, то она была бы конечно порожденной бесконечной р-группой, т.е. бернсайдовой группой. Таковыми являются, в частности, все группы из перечисленных выше серий. Поэтому представляет интерес вопрос о том, есть ли среди их максимальных подгрупп подгруппы, не являющиеся нормальными простого индекса.

Перейдем теперь к точным формулировкам основных результатов. Глава 1 носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 приводятся основные определения.

Пусть А — (Ai, А2,. .) — последовательность множеств мощности, большей или равной 2. Наборы и = ai а2 .ап> а{ е Ai} будем называть кортежами длины п, обозначая длину кортежа через |и|. Множество всех кортежей обозначим символом Т. Множество Т можно рассматривать как дерево, рассматривая кортежи как вершины и соединяя ребрами только вершины вида и = а\а2 . ап и v = ауа2 ■. anan+i, п £ N.

Построенное ребро помечается символом an+1 6 Ап+\.

Всякий автоморфизм / дерева Т, фиксирующий начальную вершину, однозначно задается набором подстановок ребер дерева Т, т.е. множеств Ап, размещенных в вершинах дерева Т:

J = {j(v)eSymmAw+1\veT}.

Образ произвольной вершины v находится по формуле: ?,mvf(rn) f(mv2) f(viv2.vn-i) и — и1 и2 U3 . . . ип , где п — |г>|. Подстановка f{y) называется v-ой сопровождающей подстановкой автоморфизма /. Подстановки f(v) при \v\ = п называются п-ми сопровождающими подстановками автоморфизма /.

Назовем глубиной автоморфизма / минимальное п такое, что для любой вершины v длины |г>| > п /(v) = 1. Если такого п не существует, то будем говорить, что / имеет бесконечную глубину. Глубину тривиального автоморфизма полагаем равной минус бесконечности.

Пусть v — вершина дерева Т. Стабилизатором вершины v в подгруппе X < Aut Т называется подгруппа stx(^) = £ X\vx = и}.

Костабилизатором вершины v в подгруппе X называется подгруппа stx(v) = {х G Х\Уи 6 Т \ Tv их = и).

Обозначим через stх{р) подгруппу П|„|=„st^r(v), а через cost^(n) — подгруппу Пм=пС0!з1* С^

Если элемент / € stj\ut T?(v)> г0 коРРектно определено его сужение на поддерево Tv. Тем самым определен гомоморфизм ipv, отображающий s1;Aut т(и) в Aut Tv. Образ автоморфизма / при этом гомоморфизме называется и-срезкой (или |у|-срезкой, если важна только длина вершины v) элемента /. Если У < st^^ 'j(ti), то ее образ ipv(Y), который мы будем также обозначать через Yv, называется и-срезкой подгруппы Y. Через Фп обозначим мономорфизм, отображающий т(п) в AutT(re) х . х AutT(n) по правилу: х Y[\v\=n^-«{^) для любого х €

И.1И2|.И„| stAut ТН

Автоморфизм / дерева Т называется корневым, если он имеет ровно одну нетривиальную сопровождающую подстановку, расположенную в вершине 0. Автоморфизм / называется продольным, если он имеет бесконечную глубину и в дереве Т найдется такой бесконечный путь 7 = а\й2 ■ ■ ■ ап ., что любая нетривиальная сопровождающая подстановка автоморфизма / расположена в вершине вида . amb, где b £

Ат+\ \ {am+l}

Определение AT-группы. Пусть С — некоторое множество корневых, D — некоторое множество продольных автоморфизмов. Группа G < Aut Т, порожденная множеством CUD, называется AT-группой, если для любого п подгруппа П^ = (f(v)\j Е CUD, \v\ = п) < SymmAn4-i действует транзитивно на множестве Ап+\, Множество CUD называется каноническим порождающим множеством группы G.

Заметим, что любая ^-срезка АТ-группы G сама является АТ-группой. При этом для различных вершин и и и одной и той же длины п срезки группы G совпадают (при естественном отождествлении поддеревьев Ти и Tv). Поэтому имеет смысл говорить об л-срезке группы G.

Если последовательность [А\, А2,.) состоит из циклических групп простых порядков, и все сопровождающие подстановки автоморфизмов из множества С U D принадлежат правым регулярным представлениям этих групп, то группа G называется АТш-группой, где через uj обозначается последовательность • • •) порядков этих групп.

В разделе 1.2 рассматриваются факторгруппы АТ-групп по коммутанту.

В разделе 1.3 описывается конструкция основных примеров, вычисляются их факторгруппы по коммутанту и костабилизаторы.

Главы 2 и 3 являются основными в работе. Глава 2 посвящена изучению конгруэнц-проблемы в АТ-группах. Пусть G — произвольная АТ-группа. Конгруэнц-подгруппой в G называется любая подгруппа stc(ra). Таким образом, G обладает конгруэнц-свойством, если любая ее подгруппа конечного индекса содержит некоторую подгруппу stc(n). В этом случае говорят о положительном решении конгруэнц-проблемы в G. В [38] высказывалась следующая гипотеза.

Гипотеза. Любая периодическая АТШ-группа обладает конгруэнц-свойством.

В разделе 2.1 доказывается, что все периодические группы и вторая группа Григорчука обладают конгруэнц-свойством (теоремы 2.1.1 и 2.1.2). В разделе 2.2 устанавливается аналогичный факт для периодических GGS-групп (теорема 2.2.1).

В разделе 2.3 строятся примеры АТ-групп, не обладающих конгруэнц-свойством. Они разделяются на два подкласса: 2-порожденные АТ-группы и р-группы (класс EGS-групп).

Пусть G — АТш-группа с одним продольным порождающим d над последовательностью ш = (рьрг, ■ • ■), G{ — ее г-я срезка. Тогда Сг- имеет один продольный порождающий d;, который определяется следующим образом: i + D i;(i+1>! где сг+1 — корневой порождающий группы G^i. Вектор (г>|г+1\ ., г^^) называется сопровождающим вектором срезки G{.

Теорема 2.3.1. Пусть G — АТш-группа, для любого п > 1 рп ф Pn+i, и каждое рп встречается в последовательности и бесконечное число раз. Предположим, далее, что для любого i > 0 сопровождающий вектор ., Vp^^j) срезки Gi обладает следующими свойствами: существует такое G {1, 2,. ,Pi+i — 1}, 4moVjt+l =0 uvPi+1-ji+1 фО, и + .-(- Wp^jLi = 0( mod Pi+г)- Тогда коммутант группы G не содержит ни одной конгруэнц-подгруппы.

Таким образом, опровергается вышеупомянутая гипотеза из [38]. Однако при этом возникает следующий естественный вопрос. Среди групп, удовлетворяющих условиям теоремы 2.3.1, имеются периодические, но заведомо нет р-групп. Существуют ли р-группы без конгруэнц-свойства? (Аналогичный вопрос был задан в [4]). Следующая теорема дает положительный ответ.

Теорема 2.3.2 Никакая EGS-группа с несимметричным сопровождающим вектором не обладает конгруэнц-свойством.

Глава 3 посвящена исследованию максимальных подгрупп в группах Сц,, периодических GGS-группах, и EGS-rpynnax. Основная сложность при этом состоит в установлении того, содержат ли перечисленные группы максимальные подгруппы бесконечного индекса (легко проверяется, что все другие максимальные подгруппы являются нормальными подгруппами простого индекса). Как устанавливается в разделе 3.3.1, существование в любой из перечисленных групп максимальных подгрупп бесконечного индекса эквивалентно наличию в ней собственных подгрупп, всюду плотных в проконечной топологии. Опираясь на технические результаты, полученные в разделах 3.1 и 3.2, мы получаем, что любая всюду плотная в проконечной топологии подгруппа совпадает со всей группой, см. теоремы 3.3.1, 3.3.2 и 3.3.3. Отсюда вытекает основной результат Главы 3:

Теорема 3.3.4. Все максимальные подгруппы групп Gw, ш € По, 9 периодических GGS-групп G& и EGS-групп Гй являются нормальными подгруппами простого индекса.

В частности, эта теорема дает ответ на вопрос (1) из [47].

В главе 4 рассматривается структура множества степенных подгрупп некоторых АТ-групп, т.е. подгрупп, порожденных n-ми степенями заданной группы. В общем случае такое возведение группы в степень неассоциативно, и возникает вопрос о структуре множества подгрупп, полученных последовательным возведением в степени кл, к2, ., кт, если сумма + k<i + . + кт фиксирована. Эта задача рассматривалась для одной серии р-групп, р > 5 (р-групп Гупта-Сидки [15]), и для одной АТ-группы почти без кручения (группы Фабриковского-Гупты [6]). Оказалось, что У р-групп Гупта-Сидки множество степенных подгрупп линейно упорядочено по включению, а возведение в степень группы Фабриковского-Гупты ассоциативно.

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [26]-[37].

Автор выражает признательность профессору А.В. Рожкову за всестороннюю помощь и научное руководство. Также хотелось бы поблагодарить кафедру компьютерной топологии и алгебры ЧелГУ и ее заведующего члена-корреспондента РАН С.В. Матвеева за стимулирующую и дружелюбную атмосферу, которая очень помогала в работе.

1. Алешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах . // Мат. заметки. 1986. Т. 11. №3. С. 319-328.

2. Bartholdi L., Grigorchuk R. On parabolic subgroups and Heche algebras of some jractal groups. // Preprint Forschungsinst. Math. ETH-Ziirich, 1999.

3. Bartholdi L., Grigorchuk R.I. On the spectrum of Heche type operators related to some fractal groups. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2000. T. 231. С. 5-45.

4. Bartholdi L., Grigorchuk R.I., Sunik Z. Branch groups. // Preprint, 2002.

5. Baumslag G. Topics in combinatorial group theory. // Lectures in Mathematics. ETH Zurich, Birkhauser Verlag, Basel, 1993

6. Fabrykowski J., Gupta N.D. On groups with subexponential growth functions. // J. Indian Math. Soc. (N.S.) 1985. V. 49. №3-4. P. 249-256.

7. Голод E.G. О нилъ-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1964. Т. 28. Ш С. 273-276.

8. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах. // Функдион. анализ и его приложения. 1980. Т. 14. №1. С. 53-54.

9. Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и инвариантное среднее. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. №5. С. 939-996.

10. Григорчук Р.И. Пример конечно определенной аменабелъной группы, не принадлежащей классу EG. // Мат. сборник. 1998. Т. 189. №1. С. 75-98.

11. Grigorchuk R.I., Wilson J.S. The conjugacy problem for certain branch groups. // Труды МИАН. 2000. Т. 231. С. 215-230.

12. Григорчук Р.И., Некрашевич В.В., Сущанский В.И. Автоматы, динамические системы и группы. (( Труды МИАН. 2000. Т. 231. С. 134-214.

13. Grigorchuk R.I. Just infinite branch groups. // New horizons in prop groups (Aner Shalev, Marcus P.F. du Sautoy, and Dan Segal, eds.), Progress in Mathematics, vol. 184, Birkhauser Verlag, Basel, ets., 2000. P. 121-179.

14. Gupta N.D., Sidki S.N. On the Burnside problem for periodic groups. // Мат. заметки. 1983. Т. 182. С. 385-388.

15. Gupta N.D., Sidki S.N. Extensions of groups by tree automorphisms. // Contributions to group theory. Amer. Math. Soc., Providence, R.I. 1984. P. 232-246.

16. Lavreniuk Y., Nekrashevych V. Rigidity of branch groups acting on rooted trees, j j Geometriae Dedicate. 2002. V. 89. P. 159-179.

17. Леонов Ю.Г. Проблема сопряженности в одном классе 2-групп. I j Мат. заметки. 1998. Т. 64. №4. С. 573-583.

18. Лысенок И.Г. Система определяющих соотношений для группы Григорчука. // Мат. заметки. 1985. Т. 38. №4. С. 503-516.

19. Maschke Н. Uber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher Substitutionsgruppen. // Math. Ann. 1898. V. 50. P. 492-498.

20. Мерзляков Ю.И. О бесконечных конечно порожденных периодических группах. // ДАН СССР. 1983. Т. 268. №4. С. 803-805.

21. Nekrashevych V. Limit spaces of self-similar group actions. // Preprint of University of Geneva. 2002. 35 pp.

22. Nekrashevych V. Iterated monodromy groups, // Preprint of University of Geneva. 2002. 31 pp.

23. Passman D.S. Semiprimitivity of group algebras: past results and recent progress. // In "Trends in Ring Theory", Conf. Proc. Canadian Math. Soc. (vol. 22), Amer. Math. Soc. Providence, 1997.

24. Passman D.S. The semiprimitivity of group algebras. //In "Methods in Ring Theory". Vol. 198. Marcel Dekker. New York. 1998. P. 199-211.

25. Первова E.JI. Индексы подгрупп степеней в АТ-группе почти без кручения. // Весгник ЧелГУ. 1999. №1. С. 174-182.

26. Первова E.JI. Подгруппы степеней в АТ-группе. // ЧелГУ, Челябинск. 1999. Деп. в ВИНИТИ 30.04.99. Ш398-В99. 12 с.

27. Pervova E.L. Power subgroups of groups of tree automorphisms. // Internat. conf. "Low-dimensional topology and combinatorial group theory". Chelyabinsk, July 31 August 7, 1999. Abstracts of talks. Chelyabinsk: Chelyabinsk State University. 1999. P. 45.

28. Первова E.JI. Всюду плотные подгруппы одной группы автоморфизмов дерева. // Труды МИАН. 2000. Т. 231. С. 356-367.

29. Первова Е.Л. Максимальные подгруппы и определяющие соотношения AT-групп. //IV Межд. алг. конф., поев. 60-летию Ю.И. Мерз-лякова (Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.): Тез. докл. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С. 137-139.

30. Первова E.JI. Конгруэнц-свойство АТ-групп. // Алгебра и логика. 2002. Т. 41. №5. С. 553-567.

31. Первова E.J1. Решение конгруэнц-проблемы для некоторых АТ-групп. // Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тезисы докладов. Красноярск. 2002. С. 95-96.

32. Pervova E.L. Profinite topologies in just infinite branch groups, j j Preprint MPI 2002 154. 28 pp.

33. Pervova E.L. Maximal subgroups of поп locally finite p-groups. j j Preprint MPI 2002 158. 40 pp.

34. Рожков А.В. К теории групп алешинского типа. // Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Новосибирск, 1986.

35. Рожков А.В. К теории групп алешинского типа. // Матем. заметки. 1986. Т. 40. №5. С. 572-589.

36. Рожков А.В. Централизаторы элементов в одной группе автоморфизмов деревьев, j j Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 56. №6. С. 82105.

37. Рожков А.В. Нижний центральный ряд одной группы автоморфизмов дерева. // Мат. заметки. 1996. Т. 60. №2. С. 225-237.

38. Рожков А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев. // Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Челябинск, 1996.

39. Рожков А.В. Максимальные локально конечные подгруппы в группе Григорчука. j j Мат. заметки. 1998. Т. 64. JVM. С. 617-624.

40. Рожков А.В. Проблема сопряженности в одной группе автоморфизмов бесконечного дерева. // Матем. заметки. 1998. Т. 64. №4. С. 592-597.

41. Sidki S.N. On a 2-generated infinite 3-group: the presentation problem. // J. Algebra. 1987. V. 110. P. 13-23.

42. Sidki S.N. On a 2-generated infinite 3-group: subgroups and automorphisms. I j J. Algebra. 1987. Y. 110. P. 24-55.

43. Sidki S.N. A primitive ring associated to a Burnside 3-group. // J. London Math. Soc. 1997. V. 55(2). №1. P. 55-64.112

44. Vovkivsky Т. Infinite torsion groups arising as generalizations of the second Grigorchuk group. // Algebra (Moscow, 1998), de Gruyter, Berlin. 2000. P. 357-377.

45. Wilson J.S. Groups with every proper quotient finite. J j Proc. Camb. Phil. Soc. 1971. V. 69. P. 373-391.

46. Wilson J.S. Just infinite abstract and profinite groups. // New horizons in pro-p groups (Aner Shalev, Marcus P.F. du Sautoy, and Dan Segal, eds.). Progress in Mathematics. Vol. 184. Birkhcuser Verlag, Basel, ets. 2000. P. 181-203.