Линейные группы над телами, содержащие подгруппы квадратичных унипотентных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Вашкиров Евгений Леонидович

ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ НАД ТЕЛАМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОДГРУППЫ КВАДРАТИЧНЫХ УНИПОТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01-01.06, — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена в Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники

Официальные оппоненты ~ доктор физ.-мат. наук, профессор Вавилов Николай Александрович доктор физ!-мат. наук, профессор Койбаев Владимир Амурханович доктор физ.-мат. наук, профессор Кондратьев Анатолий Семенович

Ведущая организация —

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится nt0" 2006 г. в„__часов на заседании

диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28.

Защита будет проходить ъ Петербургском отделений Математического института им В. А. Стеклова по адресу: Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького СПбГУ по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная., д. 7/9.

Автореферат разослан "/f " (ионЛ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.29 д, ф.-м. наук;профессор

4 ^б5&бЩаЯ хаРактеРистика работы

Актуальность темы диссертации. Теория глнейных групп является одним из основных направлений в современной алгебре, чрезвычайно обширным, интенсивно развивающимся, и имеющем многочисленные точки соприкосновения г различными разделами как ^обогвенно математики, так и естествознания в целом. Фактическую гордцспину этой теории составляет изучение подгруппового строения линейных групп над ассоциативными кольцами различной степени общности. Возникнув в XIX веке как частная задача о конечных матричных группах, исходящая из потребностей теории Галуа, проблема описания и классификации подгрупп в заданных линейных группах, пройдя через многие ^гапы своего становления и развития, превратилась в обширную ветвь математического знания, обладающую своими собственными языком и проблематикой. Естественно, что получение описания всех мыслимых линейных групп над различными кольцами мапореально, и потому постановка проблемы в такой чрезвычайно широко» общности представляется совершенно непродуктивной. В связи с этим для получения существенных результатов на изучаемые матричные группы и на ассоциативные кольца, над которыми эти группы определены, приходится налагать, различные условия, характеризующие эти группы к кольца с различных сторон Наложение таких ограничений приводит к расщеплению предмета изучения подгруппового строения на множество разделов и ответвлений, тесно между собой переплетенных и взаимодействующих.

Одним из наиболее важных обстоятельств, способствовавших становлению и развитию учения о яодгрупповом строении линейных групп, явилось обнаружение того факта, что зго г!роение в значительной мере определяется некоторыми элементами (матрицами) специального вида, содержащими«» в рассматриваемых группах ПерЕ!ым примером подобного рода было, вероятно, осознание значения наличия простейших унипотентных элементов (трансвекний), в полной линейной группе конечной степени нат полем при опгсаник нормальных делителей этой группы (теорема Жордана-Диксона). ^ь-я-шпюе выше обстоятельство стимулировало активные поиски в матричных группах тех матриц, которые в той или иной степени ответственны за строение этих групп Выявление таких матриц, в свою очередь, привело к созданию различных методов распознавания матричных групп, исходя из вида содержащихся в них отдельных матриц, с цслыо последующей классификации ттих групп и отождествления их с группами из известных и уже изученных классов С другой стороны, наличие в некоторых важных

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

С.-Петербург

ОЭ 200 4ктиД-6

(в том числе и для приложений) и представляющих интерес дли исследований линейных группах элементов, определяющих свойства и строение чтих групп, естественно приводи! к постановке, до некоторой степени, обратной проблемы классификации линейных групп, которые содержат эти элементы или ими порождаются. Данная проблема очень трудна, и результаты, идущие в направлении ее решения, получены только при сильных ограничениях на рассматриваемые группы и их элементы Вместе г тем, значение результатов такого рола весьма велико, поскольку они способствуют более ясному пониманию как структуры уже известных групп, так и обнаружению новых классов линейных групп, представляющих интерес для дальнейшего изучения. Известно, в частности, чю многие наиболее важные чинейннс группы (например, классические) порождаются содержащимися в них унилотентными -элементами Поэтому класс линейных групп, содержащих или порожденных унииотентяыми элементами особенно интересен и нуждается в изучении. Этот класс, а также группы Шевалпе, порожденные различными содержащимися в них подгруппами унииотентных элементов, привлекали к себе в течение длительного времени внимание многих авторов (см , например. [4]. [5] [12], [13] {16], [18]. [20}-[22]. (24|. (26|, [30], [32], ¡33], ¡34], ]35}, [14] {-16]. [47]. [48]}. Однако результаты ->тих и других работ, посвященных этой тематике, были получены при весьма жестких ограничениях. Поэтому и линейных группах, содержащих некоторую фиксированную группу унииотентных махриц известно в общем случае сравнительно немного, и кроме того, отсутствует связное и последовательное изложение данного предмета Именно в это направление теорий линейных групп входит направление настоящей диссертации. В ней разрабатывается техника обращения с унипотентными элементами в линейных группах, и на основе этой техники создаются методы изучения линейных групп над различными асгониативяыми течами. Отметим что описание линейных групп, содержащих фиксированную линейную группу, является весьма плодотворным методом изучения подгругшоаого строения линейных групп, причем наиболее важным и интересным представляется здесь случай, когда фиксированная подгруппа состоит только из полупростых или только из унииотентных матриц. Результаты, относящиеся к этим двум, тесно связанным между собой направлениям, составляют содержание большого самостоятельного раздела теории линейных групп. Исходя из методики получения результатов, настоящая диссертация может быть отнесена ко второму из этих направлений. Что же касается первого, то здесь за последние 30 лет трудами 3. И Боревича и его последователей Н. А. Вавилова, В. А. Койбаева,

Е. В. Дыбковой и др. была разработана пубокая и весьма разветвленная теория линейных групп, содержащих подгруппу диагональных матриц. Именно это является еще одной причиной, ас которой в фокусе дайной диссертационной работы находятся вопросы теории линейных групп, связанные с наличием в этих группах уяипотентных ■элементов. Создание техники и методов, относящихся ко всей совокупности унипотснтных матриц, естественно, невозможно, и эго обстоятельство вынуждает специализировать рассматриваемые уштот^нтпые элементы. Один из способов такой специализации, дающий возможность проникнуть в предмет достаточно глубоко, и тем самым определяющий направление и рамки исследований, содержащихся в диссертации, состоит в следующем.

Пусть Я — ассоциативное тело, п, г — целые числа такие, что п > 2,0 < Т < {§]. И пусть к - подтело тепа Я. Квадратичной унипотентной к-подгруппой вычета г группы СЬп(Щ будем называть любую подгруппу группы ОЬп(Щ, сопряженную в ОЬп(Щ с группой, состоящей из всех матриц

^((о ?)"" (о -„-'—........■г раз

Всякий элемент из СЬп{Я), содержащийся в некоторой квадратичной унипотентной ¿-подгруппе вычета г группы будем называть

Есвадратичным унилотентиым элементом вычета 7 группы СЬп{Щ, Квадратичный унипотетный эчемент вычета 1 (соответственно 2) называется траневекцией (соответственно длинным корневым элементом), а соответствующая ему квадратичная унипотентиая подгруппа называется корневой ¿-подгруппой (соответственно длинной корневой ¿-подгруппой). Трансвеки,ни являются, по-видимому, наиболее изученными из всех унипотентных элементов чт<>. впрочем, весьма естествсшшо, ибо класс линейных групп, содержащих трансвекции. включает *5 -„ебя наиболее важные классические группы. В случае, если /? явпяитгя конечным полем. А Е Залксский и В. Н, Сережкин (12] перечисти -»и вое неприводимые подгруппы группы СЛп(Щ степени а > 2. содержащие траисвекиию. Для бесконечного поля В, получение подобного перечисления представляется маловероятным, и потому в чтом случае це тесообрално 01 рани питься изучением линейных групп, содержащих корневую ¿-подгруппу, где к подпоте поля К. Первый шаг в этом направлении сделал Дж. Маклафлия (33:, который классифицирогал неприводимые подгруппы группы 01п{Щ. порожденные корневыми ^-подгруппами Д А. Супрушзнко ¡15) частично распространял результат Маклафлим на линейные группы над произвольным некоммутативным ассоциативным телом Я. Полностью

результат Махлафлина был перенесен Fia некоммутативные тела Вавиловым [4] и Ли Шаньжи [30j В (1], [2] были описаны неприводимые подгруппы группы GLTi{R) над бесконечным полем R характеристики не разной 2, содержащие корневую А;-подгруппу, где к - подполе поля R такое, что расширение Я/к ачгебраично Попытки решить аналогичную проблему для квадратичных унипотентных элементов вычета больше 1 сталкиваются со значительными трудностями В последние голы получен ряд глубоких результатов, касающихся этой задачи, но недостаточно разработаны аспекты, гвязьгвющие -эти результаты в единое целое. Среди работ по этой тематике выделяется цикп статей Ф. Тиммссфельда ([40[~[43]. [451) о группах, содержащих подгруппы, определяемые абстрактным образом с помощью аксиоматизации некоторых свойств групп квадратичных унипотентных матриц. Теоретико-групповой по своей сущности метод Тиммесфельда получил более геометрическую интерпретацию в статье Г, Куйпсрса ¡19). Эта интерпретация в сочетании г понятием слабого вложения А Стейнбах [38], приводит к характеризации классических групп, содержащих трансвекции и связанных с ( косо-) эрмитовы м и или (пеевдо )квадратичными формами, как линейных групп, порожденных классом абстрактных абел&иых групп, свойства которых получаются абстрагированием некоторых свойств трансвекций. В настоящее время заметное влияние на изучение линейных групп, содержащих упитал ситные матрицы, оказывает разработанная и далеко продвинутая теория линейных групп, содержащих диагональные матрицы. Наиболее ярким примером такого влияния явяястся решение H А Вавиловым и В. А Петровым ([6|, [7]) задачи описания подгрупп полной линейной группы над кольцом К содержащих элементарные подгруппы классических групп в векторном представлении

Основная проблема, решаемая в настоящей диссертации, - это проблема описания линейных ipynn. содержащих квадратичные уиипотеитиые элементы. Для линейных групп над конечными полями эта проблема была решена в известной работе Дж. Томпсона [39] Ситуация, связанная с рассмотрением произвольных, т, е, не обязательно конечных полей, оказалась значительно более сложной так как при изучении линейных групп, содержащих квадратичные унипотентные fc-подгруппы вычета г > 1 возникает необходимость рассмотрения матричных групп над некоммутативными телами, имеющими конечную размерность над своим центром. Так, поскольку любое т?яс кватернионов реализуется матрицами степени 2 над своим максимальным подлолем, то при г = 2 мы сталкиваемся с задачей исследования матричных групп над телами квялернионов Этим обстоятельством мотивируется одно из направлений

данной работы — изучение подгрупп полной линейной группы степени п > 2 над телом кватернионов О, содержащих корневую Амюдгругтпу. где к — подполе центра тела £> такое, что £> алгебраично над к. Заметим, что такое изучение имеет самостоятельный интерес, являясь одной из давно поставленных проблем теории линейных групп, восходящей к ставшей классической статье Ж. Дьедонне [23].

Итогом применения созданных в диссертации методов является снятие многих ограничений, при соблюдении которых доказывались ранее результаты, касающиеся подгруппового строения линейных групп, содержащих унипотеитные элементы. Эта менее ограничительная ситуация, в конечном гчете, приводит к более ясному и четкому пониманию теоретике-групповой структуры и природы многих важных (в том числе классических) линейных групп. Все это подтверждает как необходимость исследования, проведенного в диссертации, так и несомненную актуальность темы этого исследования.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является описание подгрушювой структуры полных линейных групп над различными телами. Эта цель реализуется решением задачи описания подгрупп полных линейных групп над телами кватернионов, содержащих корневую подгруппу, а также подгрупп полных линейных групп над полями, содержащих коммутант ортогональной фупны индекса больше 1.

Объект и предмет исследования Объектом не следования является подгрунповая структура матричных групп над телами, а его предмет состоит в выявлении связей между внутренним строением ассоциативных ¿-алгебр с делением и строением матричных групп над этими алгебрами

Методология я методы проведенного и следования. В своей часта, относящейся к линейным группам над телами кватернионов, настоящая диссертация органично связана г исследование« пикейных групп над некоммутативными (ассоциативными) течами, проводившим™ Д. А. Супруненко и А. Е. Залссским ([9]-[П], [15]). В ходе этого исследования были приведены примеры показывающие, что хоти ряд результатов о линейных труппах над полем естественно обобщается на случай некоммутативных теп, некоторые важные теоремы и этом случае теряют силу. Другие факты подобного рода можно найти в книге [36], где систематизированы некоторые результаты, касающиеся линейных групп над некоммутативными тетами Выше,-качанное показывает, что для изучения подгруппового строения аIшейных 1 рупп над некоммутативными тэтами должны разрабатываться и применяйся методы, радикально отличающиеся от методов созданных дгя исследования линейных гр>гп(

над полями, Методы такого исследования, созданные в настоящей работе, базируются на результатах Ж Дь^донне и А. Алберта о телах кватернионов. В своей работе [23] (см. также [8{) Ж. Дьедонне обнаружил сущесч вование гомоморфизма между, с одной стороны, унитарной группой степени 3 над телом кватернионов, опредеченной с помощью косоэрмитовой формы индекса 1 относительно единственной инволюьии симвлектического типа этого тела, и, с другой стороны, унитарной группой степени 4 над максимальным подполем этого тела Этот гомоморфизм лежит в основе доказательств ряда утверждений данной работы, поскольку он дает возможность использовать доказанные ранее автором в [1], [2] результаты о линейных группах над полями, содержащих корневую подгруппу, для исследования линейных групп над тепами кватернионов.

В диссертация также создан метод исследования неприводимых чииейных групп над алгебрами с делением, основывающийся на свойствах понятия множества параметров травевекций, введенного в диссертации. Хотя зти алгебры с делением мо1ут быть коммутативными, сам лег метод может быть седан лишь при исследовании линейных групп над некоммутативными телами, которые должны при этом рассматриваться не с точки зрения их чисто внешней структуры, а как алгебры над подполями своих центров. Такой подход ведет к существенным трудностям, связанным со сложностью и разнообразием структуры некоммутативных алгебр и требует новой техники обращения с элементами линейных групп над этими алгебрами. Техника такого рода создана в диссертации и на ее основе удается выявить и распознать такие подгруппы линейных групп над телами кватернионов, которые в принципе не могут быть обнаружены применявшимися ранее чисто внешними методами Доказательства практически всех главных результатов диссертации базируются на рассмотрении содержащихся в исследуемых группах подгрупп унипогентных. -элементов, по возможности, более простого вида (в основном подгрупп квадратичных унипогентных элементов вычетов 1 и 2). Однако в некоторые ситуациях использование простейших квадратичных унипогентных элементов приводит к чрезвычайно громоздким вычислениям В этом с.дучае удобно использовать унипотентные элементы более сложного вида, т. е. те, минимальные полиномы которых имеют степень ббльшую< чем 2. Объяснение зтого феномена, по-видимому, состоит в том, что получаемые нами результаты, касающиеся подгруппового строения линейных групп, имеют, строю говоря, абстрактно-групповой характер и требуют создания именно теоретико-групповой техники обращения с. унипотентными элементами, не зависящей от их матричной природы В диссертации заложена разработка

методов доказательств, основанных на учете этого обстоятельства.

Кроме этих, созданных автором методов, в работе используются общие традиционные методы теории групп и линейной алгебры, а также более специальные методы теории линейных групп и теории конечномерных ал1«бр с делением.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты в диссертации являются новыми Одной из наиболее трудных сторон исследований, проводимых в райках тс-ории матричных групп, является необходимость изучения произвольных подгрупп полкой линейной группы над произвольным телом, скажем телом К, содержащих, фиксированную подгруппу, состоящую из матриц, все элементы которых принадлежат некоторому собственному подтелу те та К. Необходимость рассмотрения подобных ситуаций, связанных г расширением основного тела, возникает при всякой попытке решить какую-либо проблему, касающуюся достаточно глубокого проникновения в вопрос подгруппового строения линейных групп (в качестве примера такой проблемы можни привести проблему описания форм алгебраических "рупп). Характерной сторон исследований дисоергашш. подтверждающих их новизну, является проведение з 1 их исследований в контексте расширения основного поля. В диссертации впервые получено описание широкого класса подгрупп полной линейной группы над телом определяемого лишь подполом центра этого тела, « не всем центром. Это проясняет подгрупповую структуру полной тин^йной группы и является основой для дальнейших исследований в этой области.

Практическая значимость полученных результатов. Речулыахы диссертации имеют теоретический характер.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1) классификация подгрупп полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих классическую подгруппу над подтелом;

2} классификация подеру,ш полной линейной группы чад алгеброй с делением, содержащих специальную -гиней«} ю группу над подалгеброй;

3) классификация неприводимых подгрупп полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих ьорневуго подгруппу,

4) подгрупповое строение потной линейной гр\плы стчнчш 4 над телом кватернионов;

5) классификация подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих коммутант ортогональной группы.

Личный вклад соискателя. Работа выполнена соискателем лично. Совместных работ нет.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации излагались на Международной алгебраической конференции памяти М. И Каргаполова (Красноярск. 1993), конференции .Алгебра и анализ" (Казань, 1994), Белорусских математических конференциях (Минск, 1996, 2000), Международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), Международной математической конференции памяти Л. С. Понтрягина (Москва, 1998). Международной алгебраической конференции памяти 3 И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002), конференции ,Группы и групповые кольца" (Устропь. 2003) конференции по общей алгебре (Дрездеь. 2004), а также на заседаниях алгебраического семинара Института математики Академии наук Беларуси, Санкт-Петербургского городского алгебраичекого семинара, семинара по теории групп университета провинции Манитоба.

Опубликованпост ь результатов диссертации. Результаты диссертации опубликованы в ^статьях и 9 тезисах конференций

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав основной части (включая литературный обзор), заключения и списка использованных источников Работа изложена на 270 страницах, включая список использованных источников из 246 наименований,

Краткое содержание диссертации

Первая глава диссертации содержит краткий обзор статей, вышедших в основном 5а последние 15 лет, и имеющих наиболее близкое отношение к предмету диссертации. Собственно результаты диссертации содержатся в последующих четырех главах Перейдем к изложению содержания этих четырех глав.

Пусть сначала D - произвольное ассоциативное тело характеристики алгебраичнос над подполем своего центра к. Пусть п — целое число, я > 2, и L — подтело тела D. Через IJ' обозначается правое векторное L-лространство всех строк из п элементов тела L. Если V правое векторное конечномерное L-пространство, то V* — левое векторное ¿-пространство, сопряженное с V, Пусть G < GLn(D). Через T{G) обозначается множество всех трансвекций из G. Предположим, что T(G) ^ 0, и пусть у е T(G) Если OLJD) рассматривается как группа всех автоморфизмов пространства D" ^ Е, то д{х) = г + ьу{х) при всех х € Е, где

s € Е,ф & E' — фиксированные ненуаечые элементы такие, чго ф(б) — 0. Трансвекция д, определенная таким образом, будет обозначаться через д(з, ф), причем вектор $ будет называться направлением чтой трансвекции. Если д ~ д{ь.Ф) € T(G), то определим множество

M(é,i>, G) = {a € D* I g(s, а-ф) 6G}U {0},

которое назовем множеством G-параметров трансвекции gis, ф). Множество £?-параметров трансвеции зависит от выбора пары из Е х £\ определяющей эту траневекцию: при переходе к другой паре это множество заменяется на сопряженное с ним s мультипликативной группе тела D, Очевидно, M{s,i¡>,G) ~ подгруппа аддитивной i ругшы тела D. Тем не менее оказывается, что в случае, когда G ■- неприводимая подгруппа группы GLn(D), содержащая корневую ¿-подгруппу, множество <?-параметров трансвекции, содержащейся в G', несет на себе алгебраическую структуру более тонкую, чем структура аддитивной подгруппы тела D и обладает значительной инвариантностью относительно группы G в целом. Напомним, что если на векторном k-npocгранствс D ввести операцию умножения о, связанную с исходным умножением в D следующим образом: a a b ~ |(а6 + Ьа), то D относительно такого умножения и имеющегося сложения является йордаттовой Дг-ачгеброй, обозначаемой D^K Точный смысл упомянутого выше понятия инвариантности группы б'-парамегров дается"следующей теоремой.

Теорема 1 Пусть D — ассоциативное тело характеристики /2, к подполе uso центра такое, что D алгебрптно шд к. п > 2 целое число, G — пепривосНшая Т-подгруппа группы GLn(D), содержащая корневую к подгруппу. Если g — g(-s, i'), т = т(р, v) — произвольные трансвекции из G (s,р € Х?" — х & &")> т!} справедливы следующие утверждения'

1) G содержит, корневую к-подгруппу, соответствующую произвольной трансвекции из группы G;

S} М{в,ф,0) подпространство векторного к-пространстча D;

3} для некоторого 5 € и некотором г £ M(p,x,G) выполняется равенство

4) для некоторого -у € ¿># таком, что -у € М{я,ф%С) множество M(s,-fti>,G) является подалгеброй Иордановой к-алге-бры D

Теорема 1 является важным инструментом в изучении линейных групп над некоммутативными телами. D диссертации она в основном фигурирует

в применении к линейным 1руппам над толами кватернионов, которые являются главным объектом исследования глав 2 — 4. Более томно, в этих главах изучаются линейные группы над телами кватернионов, содержащие корневую подгруппу.

В дальнейшем изложении D - тело кватернионов, црнтром которого явтяется поте F характеристики -/-2: к — подпоте по ад F такое, что F алгебраичйо над к Если Р подпопе поля F, то Qsdr(/5, Р) — множество всех подтел тела D, являющихся телами кватернионов относительно операций, определенных в D. и имеющих Р своим центром. Если L — подтело тела D, то lnv(L) - множество всех антиавтоморфизмов второго порядка (инволюций) тела L. Если а 6 Inv(£), то FsdofV.а) — множество всех невырожденных а-косо эрмитовых фор?»! на векторном ¿-пространстве V, индекс Витта которых отличен от нуля Если п > 2, через Г будет обозначаться группа GLn(D) Если Ф е Fsdo(V, и) и dim V п, то Tn{L, Ф, а) — Т{у,Ф,а) — нормальный делитель унитарной группы формы Ф, порожденный всеми трансакциями, содержащимися в этой унитарной группе.

Первым, естественно возникающим этапом исследований, как и в случае поля, является описание подгрупп группы Г, содержащих одну из классических групп над подпадем тола D Вначале рассматриваются подгруппы группы Г, содержащие группу SLn(k). Уже здесь некоммутативность рассматриваемой ситуации создает значительные трудности, требуя применения приемов, основанных иа использовании теоремы I Особенно это касается групп степени 2. описание которых дается следующей теоремой, в которой фактически описываются подгруппы группы GLtiD), содержащие корневую А>подгругшу.

Теорема Ъ Если SL^k) < X < GL^iD). mo X содержит нормальный делитель G dw которого справедливо одно из следующих утверждений

1) G — SLt(K), где К - подтело пела О. К Э к.

2) G = Ъ{К, Ф.<г). где К € Qsdi(£>. Р),Р 2 к инволюция а € Inv(K) имеет ортогональный или унитарный тип, Ф £ Fsdo(/C2,а).

Если п > 3, и группа X содержит специальную линейную группу над некоторым телом (возможно коммутативным), го множество X-параметров трансвекций из X имеет структуру ассоциативного тела, что дает возможность рассмотреть этот случай для тел значительно более общего вида, чем тела кватернионов.

Теорема 3 Пусть В произвольное тела характеристики ф 2, и К ■■ подтело тела В Предположим, что В а К являются алгебрами над

подполем к центра тела В, и что В алгебраччно над к. Пусть п - целое, число, п > 3 Если ЗЬп{К) < X < ОЬп{В), то X > 8ЬпЩ, где V, -подалгебра к-алгебры В,

Далее, пусть J — единственная инволюция симплектического типа тела кватернионов О Ограничение этой инволюции на любое подтело тела О. инвариантное в целом относительно .1, также будет обозначаться через д. Пусть С ~ подтело тела £>,<? 6 1пу(С),п - целое число, п > 3, Ф € Р&ёо(С",<т) Предположим, что к содержится в множестве всех сг~ симметричных элементов тела С. Следующая теорема перечисляет случаи, в которых описание подгрупп группы Г, содержащих группу Тп{С,Ф,а) имеет стандартный характер.

Теорема 4 Пусть Т„{С,Ф,а) < X < Г. Предположим, что выполняется одно из следующих условий:

1) С некоммутативно;

2} С коммутативно. я ф 4,3) С коммутативно, п — А,М{$,ф,Х) % Р для некоторой трансвекции д($,~ф) € X;

4) С -коммутативно, п — 4, ф, X) С F для «сел д(в,ц>) £ Т{Х\афАС.

Тогда X содержит в качестве нормального делителя подгруппу, совпадающую либо с группой ЗЬп{Ь), либо с группой Тп{Ь,Ф1,а'¡, где Ь — подтело тела О, Ь 3 к, а' € 1п\'(Х),Ф/, с Гяс^/Д а') Пусть С некоммутативно. Тогда <гг имеет унитарный тип, если а имеет унитарный'тип. а' имеет ортогональный или унитарный тип, если а имеет ортогональный гтт. и, наконец, <т' имеет сумплектический или унитарный тип, ее пи <т иметп еимплехтическии тип

Теорема 4 фактически объединяет нс-колько результата касающихся подгрупп группы 0Ьп{0) над теюм кватернионив О, содержащих группу Т„ над подтелом тела О В частности, эта теорема включает рассмотрение мучая С' — А £ <Знс1г(.4.Р), где Р — подполе поля Р. Если при этом с имеет ортогональный хип, то решающим для рассмотрения этого случая является то обстоятетьетво, общее для всех тел. конечномерных над своим центром и допускающих инволюцию ортогонального типа, что мультипликативная группа тела А порождается множеством всех сг-симметричных элементов из Л. Еспя а имеет сиулдектический тип, то метод доказательства сенэлан на игпельзовании уже упоминавшегося

гомоморфизма Дьедонне с последующей редукцией случая п = 3 к линейным группам над некоторыми полями, изоморфными подполям тела А. Наконец, если а — инволюция второю рода (унитарного типа), то доказательство использует теорему А тбсрта о структуре тел кватернионов, имеющих такую инволюцию (см. 25], стр 210).

Таким образом, для описания подгрупп X группы Г, содержащих группу Тп{С, Ф,ст), остается рассмогреть (лучай одновременного выполнения следующих условий:

• тг = 4;

• С — К коммутативно;

• К £ Г;

• К является квадратичным расширением некоторого подполя поля Г (отсюда следует, что а = .7 ¡К);

• Ф е ¥адц(К4,./);

• М(а,Ф.Х) С ^ ^(я,^) € Г(Х).

Все эти условия будут предпотагаться выпочненными в формулировках нижеследуюших теорем 5 и 7. Оказывается, что этот случай, действительно, является исключительным, и результаты, возникающие при его рассмотрении, радикально отличаются от результатов, объединенных в теореме 4, не только по формулировке, но и по методам их получения. Сущность згих методов коротко состоит в следующем. Условие М(в,-ф,Х) С Р приводит к некоторым условиям, налагаемым на направление и функционал каждой трансвекщш из X. Дааее, среди множества • веек трансвекпий из СЬ^ О) выделяется подмножество, состоящее из трансвекций, удовлехворяющих этим условиям. На следующем этапе показывается, что группа, порожденная выделенным таким образом множеством трансвекций. сохраняет инвариантным в целом некоторое множество векюров из естественного модуля 134 группы ОЬц(О). Для этого вводятся в рассмотрение некоторые наборы, состоящие из подполя центра тела О и элементов этого тела, подчиненных некоторым условиям, вытекающим из условия М($,ф, X) С Г (эти наборы именуются Р-тройками, Р-четверками, Я-четверкамм). По каждому такому набору строится некоторая подгруппа группы СЬ^О). которая, как показывается на последнем этапе, возникает в качестве промежуточной подгруппы, Все группы, появляющиеся в результате осуществления этой конструкции, оказываются подгруппами групты Та{А, Ф,«/) где А - подходящим образом выбранное некоммутативное подтело тела В, Ф С Рзс1о (Л4,/).

Множество параметров трансвекций этих групп совпадает с подпаяем центра тела А. Следуя изложенной здесь общей схеме для исследования этого случая, введем в рассмотрение некоторые подгруппы группы ОНО) := П.

Через Рз(£>, F) будем обозначать множество всех пар (и, и) е (£> \ Р)г таких, что иг? = ~ьи.

Упорядоченный набор {Р,у,у) назовем ©-тройкой тела Д если выполнены следующие условия:

(1) Р — подполе поля Г,

(2) {и, г;} € Рв(0,Г). и2.и2£Р.

Ее,!« (Я,и,?;) = П, порожденную

(I 1 0 1\

0 10 0

0 111

\0 0 0 1/

Т\ — ©-тройка тела £>. корневой Р-полгруппой

/1 0 0

\0 0 0 1 /

то подгруппу группы 1п{Р) и матрицам»

-гЛ

/1 1 0

0 10 0

0 V 1 -V2

\0 0 0 1 /

обозначим через У(1)(:Гх} = У(55. Если Ах = Р(и) 4- Р(и)р, то А1 € <35ёгф,Р). Зафиксируем базис В пространства Е\ — А* и снабдим Е\ 'формой Фх € матрица которой относительно В равна

ша&(ДД), где Л = (_%) Тогда У({> < Т4(Ах,Фх). и У<г) изоморфна спинорной группе некоторой невырожденной квадратичной формы от семи переменных над Р, индекс Витта которой равен 2.

Упорядоченный набор (Р,и,ь,9) назовем ©-четверкой тела Д если выполнены,следующие условия:

(1) (Р, и, г>) — Р-тройка тела О;

(2) <?€Р\Р, 026Р.

Если {Р,и,ь,$) ~ является ©-четверкой тела £>, то определена группа УМ(Р, и, ь). Положим ■ш = но я обозначим через - У<0) подгруппу

группы П, порожденную группой У^ЦР, и, у) и матрицей

/1 1 0

0 1 0

О и>9 1

\0 0 0

-ыв \ 0

1 /

Если А0 - Р(<?.«) + Р(в>и)г>, то А0 € Озаг(ДР(0)) и У(0) £ Т4(Ао,Фо). где Фо 6 РзЛ0(£о,>/), = Л). Группа У(0> изоморфна

снинорной группе некоторой невырожденной квадратичной формы or восьми переменных над Р, индекс Витта которой равен 2.

Группы У® и У(Г) дают возможность рассмотреть случай форм Ф индекса 2.

Теорема 5 Предположим, что индекс Витта формы Ф равен 2 Тогда X содержит нормальный делитель G, для vomopo?o выполняется одно из следующих двух утверждений-

1) G — где, L Э К, и L - либо подполе тела D, либо L € Qsdi(D, Р), где Р - некоторое подполе поля F, а форма Фщ € Fsdц{£4. J) получена из Ф расширением поля К до L;

2) G сопряжен в II с группой Y^^P/u-v) или с группой Y^{P,u,v,9), т. е изоморфен группе Spin,(Р,/). где Р — подполе поля F, содержащее к, 1 — 1 или I — 8, / подходящая квадратичная форма от J переменных над Р. индекс Витта которой равен 2.

Что бы рассмотреть случай, когда форма Ф имеет индекс 1, определим ехде один класс подгрупп группы П.

Упорядоченный набор (P,n,v,û) будем называть "Р-четверкой тела D. если выполнены следующие условия:

(1) Р подполе поля F\

(2) F\p,e2ep-.

(3) (u,v) е Ps(D, F), u2 € P, V2 G P{0) \ P:

(4) тело A¡ = Р(в. и) -t Р(&, u)v С Qsdr(D, P{&)) не содержит подтел из Qsdr(ö,P).

Пррцпотожим что D обладает Р~четверкой (P,u,v.ü) ~ Понятно, что гогда поле PÍ&) — квадратичное расширение поля Р. Обозначим через а нетривиальный автоморфизм поля Р{&) над Р и положим

а3 = 2ив{{иг)" - в2)-1. а4 - -аЬ1Гг(у~'2)\ - ^ (г я 3,4). ш - ш-

Под1рупп\ группы П, порожденную КОрЧ'-ВЙЙ р-подгр)ппой t12(P) ч матрицами Í2i(l),

1 \ N -1/3 ач . 1 t/3 1 1 03/ ,

/1 1 О ОС4 \

v>l 1 — г/4 0 ~~ Ve/u

0 Olí)

-v% 1 0 1 + aj

/ 1 + 1*0 1 ЩЬ и^УоцХ! \

иЧ2 1 + ив ивоц' в(ь2}асц'Ш

-ви) V 1 - ьгал -у2(ь2)"а4

обозначим через У<2)(^} — К(2) Если в пространстве Еч ~ А\ зафиксировать базис В и снабдить Е2 формой Ф? (? Р.чс1о{£2, </), матрица которой относительно В равна diag(Д о-3. аО, то <5 Т^А^, Ф2). Группа У® изоморфна некоторой подгруппе спинорной группы подходящей квадратичной формы от восьми переменных, индекс Витта которой равен 3. Более точно, имеет место следующее утверждение.

Теорема б Для группы Усуществуют ■

• во-первых, квадратичная форма <? от во<ъми переменных над полем Р{и), коэффициенты которой лежат в Р. а индекс Витта равен 3;

• во-вторых, группа 2 < СТ%(Р(в,и)) изоморфная группе 8рщв(Я(«),9);

• в-третьих, 3-полулинейная полуитолюиия д пространства

такие, что изоморфна подгруппе группы порожденной

всеми квадратичными унипотептными элементами вычета 2 из Я коммутирующими с д.

Группы У^(Р, и, о, 0), как видно ю следующей теоремы, дают возможность получить описание подгрупп группы П, содержащих Ф), в случае, когда Ф имеет индекс 1.

Теорема 7 Предположим, что индекс Витта формы Ф равен 1, Тогда X содержит нормальный делитель С, для которого выполняется одно из следующих утверждений:

1] С такой, как в пп. 1}, 2) теоремы 5:

2) С сопряжен в П с группой У''2)(Р,и.и,в), где Р Э к.

Используя теоремы 4 и 5 получаем следующее описание подгрупп группы Г = <7£П(Х)), содержащих симнлектическую группу.

Теорема 8 Предположим, что п четно, п >4,п — Ъп. Пусть К — подполе тела О. содержащее к. Если 5рг!(Я') < X < Г, то X содержит нормальный делитель С, для которого выполнено одно из следующих утверждений:

1) б — Зрк(1), где Ь — подполе тела О, К С I;

2) С — ЗЬп(Ь), где, Ь — подтело тела О, I, Э к,

3) О — 7'п(1, д0, о), где Ь подтело тела О. I, Э к, а £ форма с/О € ГвёоСЬ". а) имеет индекс Витта т,

4) п - 4, С изоморфен группе Эрт¡(Р,/), где Р - подполе поля Р, к С Р, I = 7 или 1 = 8,/ — невирожденнпая квадратичная форма от I переменных над Р, индекс Витта которой равен 2.

Теорема 8 еще раз подтверждает высказанное ранее рядом исследователей предположение о невозможности естественного определения аналога симплектической группы над некоммутативным телом (в данном случае над телом кватернионов)

Перечисленные выше рсчугьтаты еоаавляют содержание глав 2. 3 диссертации. Гтава 4 диссертации посвящена непосредственному изучению подгрупп группы Г — СЛп(В) над телом кватернионов О, содержащих корневую ¿--подгруппу Лпя формулировки основных результатов главы нам понадобятся следующие понятия.

Пусть С - произвольное тело, VI,п целые числа такие, что п > 3,1 < т < п. Подгруппу группы СЬп{С) будем называть от-мерной, если эта подгруппа сопряжена в С1>п(С) с подгруппой вида (У]щ(Н., 1,.. , I) где Н — неприводимая подгруппа группы (7£т(С) Линейные группы, порожденные трансвекциями будут именоваться Т-группами.

Основной результат четвертой главы описание неприводимых подгрупп группы Г, содержащих корневую ¿-подгруппу. Конечно, в ходе такого описания возникаю! все группы, перечисленные в первых двух главах. Оказывается, однако, этих групп недостаточно для получения полного описания Более точно, этих групп не хватает для исследования случая п = 4, Чтобы иметь в сво^м распоряжении запас групп, достаточный для изучения групп степени 1. введем в рассмотрение еще Одно семейсгво подгрупп группы П = ОЬ^П).

Будем говорить, что упорядоченная совокупность {Р. г, 6, и, ь) является Х)-пятеркой тела Д если выполнены следующие условия-

(1) Р подполе поля Е:

(2) г.Ь,и.у — аяементы из О такие, что г € Р, Ь € Р, (и, у) € Рз(Д Р), и2. ЬЧ2 + V2, Ь т 2п>"2 е Р;

(3) [Р(*):Р]=3.

Предположим, что D обладает ©-пятеркой Т - (P.r,b,u,v), и пусть а -2пл, р ~ hu + у, q - 2р + QL• v ... la ¿у,,Д) руППу группы П, порожденную корневой Р-яодгруппой tn{P) и матрииауи

обозначим через У{Т) = У Пусть А = Р(6.и) + Тогда Л €

С^вгШ, Р(Ь)), Если зафиксировать в Е ~ А4 базис В и снабдить £ формой Ф € Fsdo{i?,./}, матрица которой относительно базиса В равна а, «Г1), то У | Т4(Л,Ф) Главной трудностью здесь является доказательство того, что У — собственная подгруппа группы ^(А.Ф). Мет-од этого доказательства состоит а описании орбит группы У при ее действии на естественное модуле Л4. Для этого выбирается система образующих группы У, состоящая из матриц, входящих в подгруппы, сопряженные с группой

где с £ А — фиксированный J-коеосимметричный элемент, / пробегает А, я а — такой элемент из А,, что для любого данного / € А а - и/ — fJef (исходная система образующих, состоящая из трансакций, через которую У определяется, не годится, поскольку приводит к чрезвычайно большим вычислениям).

Согласно приведенной ниже теореме 11 необходимым этапом классификаций неприводимых подгрупп группы П, содержащих корневую ¿-подгруппу, является описание нал групп в П группы <il&g(Ti(K, Фо), 1), где К — подполе тела D, допускающее инвэлютяеный автоморфизм с, и Фо £ Fsdoi/f3^). Это описание дается следующей теоремой.

Теорема 9 Пусть К - подполе тела D, о € bv(K"), % е FsdoiA'3,^). Предположим. что подполе Kq поля К, состоящее, из всех с -симметричных элементов поля К, содержит 'к. Зафиксируем ненулевой о-кососиммгтпричный элемент и £ К, и пусть г - элемент из такой что Ф0(«,х) « СГ<2 - С2С1 + 2(|гиСз Оля всех х = (Сь Сз) €

Если < X < GLt(D) П и X ~ неприводимая

подгруппа группы П, то X содержит нормальную подгруппу G для которой выполнено одно из следующих утверждений:

(1) yGy~l = SL4L), где у = d;ag(l3. А) € П. L - падтет тела D,

(2) yGy~x - Ti(¿,Ф,ст')> У = diag(l3, А) е П, I • подтело тела D, а' £ Inv(L), ФеРваоа4,ст').-

(3) СТ — J\K, G = Spinm(P, /) где Р подполе поля F, m — 7 или m — 8, / — невырожденная квадратичная форма от т переменных над Р, индекс Витта которой равен 2;

(4) а = J\K, существуют подполя Р, Рс поля F такие, что Ро С Р, [Р : Ро] — 2, G -изоморфна подгруппе Ze некоторой группы Z < GL$(K(P)), изоморфной типорной группе квадратичной формы от восьми переменных над полем Q — К(Р$). коэффициенты которой лежат в Ро, индекс Витта равен 3, и Zq порождаегися всеми квадратичньши унипатентными элементами вычета 2 и.з Z, коммутирующими с подходящей J-полулинейной полуинволюцией пространства (К(Р

(5) а = J\K, существуют подполе Р поля Р, элементы 6, v € D и матрица у — diag(lj,A} 6 П такие, что 7 = (P,r,b,u,v) — V-nkmepm mew D и yG'./^ = У{3~)

Отметим, что в диссертация строится пример тела кватернионов, обладающего ©-пятеркой, а также пример гела кватернионов, не имеющего Р-пятерки. Таким образом, с учетом теоремы 9 понятие тела кватернионов, обладающего Р-пятеркой явтяется содержательным и представляет интерес как предмет самостоятельного изучения.

Обозначим, далее, через Tta(D, к) множество, состоящее из следующих подгрупп группы Г = GLn(D):

SLn(L), где L ~ подтело гела D, к С L;

Tn(L, Ф, а), где L — подтело тела D,k<ZL,a е lnv{£), Ф € Fsd(Ln, сг); . Spn{L), где L — подпол» тела D,k С L (п четно);

и, г'}> где (Р. и, и) - 2>-тройка тела D, такая, что Р Эк (п = 4),

У®ЦР,и, v,9). где (P,v,v в) — Р-чет верка тела D, такая, что Р Э к {п — 4):

Y№(P,u,v.(}), где (Р. и. v. в) — Я-четверка тела D, такая, что Р Э к (п - 4);

Y(P,r,h,u,v), где (P,r,b,u,v) V пятерка тола 1?, гакая, ню Р 2 к (п = 4).

Кульминацией третьей главы является етеду юошй резутьтат

Теорема 10 Пусть п - целое число, п > 2 Если О — неприводимая Т-подгруппа группы Г, содержащая корневую к-подгруппу, то С сопряжет в Г с группой из дЯп(0,к).

Теорема 10 в сочетании с теоремой Клиффорда (см. [14]) приводит к описанию произвольных (не обязательно порожденных грансвехдинми) неприводимых подгрупп группы Г, содержащих корневую ¿-подгруппу, а затем к описанию вполне приводимых подгрупп группы Г, содержащих корневую ¿-подгруппу Весьма важным, хотя и вспомогательным, инструментом доказательства теоремы 10 является следующее утверждение, представляющее собой обобщение теоремы 2.5 ¡12] на случай некоммутативных тел.

Теорема 11 Пусть п - целое число, г> > 3, С — произвольное (ассоциативное) тело характеристики Ф 2, к - подполе центра тела С такое, что С алгебраичпо над к. Предположим, что О — неприводимая Т-подгруппа группы СЬп{С) содержащая корневую к-подгруппу. Тогда С содержит Т-подгруппу, которая содержит корневую к-подгруппу и является либо (п — 1)-мерной, либо (п — 2) мерной.

Теорема 11 дает возможность придать доказательству теоремы 10 до некоторой степени индуктивный характер и разбить это доказательство на ряд этапов, которые состоят в доказательстве следующих теорем 12-14.

Теорема 12 Пусть п > 3, € Ш1П„1(£),А-) Если С неприводимая Т-подгруппа группы Г, содержащая подгруппу <\\щ(Нц, 1), то уОу~1 6 к) для некоторой матрицы у ~ Л) € Г.

Пусть, далее, п > 4, Щ 6 Шп.г{0, к), и С — неприводимая Т-подгруппа группы Г. содержащая подгруппу ¿¡айШо, Ь)-

Теорема 13 Предположим, что Но не является группой о)? '¿де

ко — подполе тела В, содержащее к. Тогда О содержит (п — 1}-мерную Т-подгруппу.

Теорема 14 Пусть п четно, Щ — Предположим, что С не

содержит {п - 1) -мерных Т-подгрупп Тогда, у Су1 — Зрп{Р), где у = ¿{щИп-ч,!/} 6 Г (у' € СЬ2{0)),Р - подполе гпела В. содержащее к.

Пусть теперь- поле К является алгебраическим расширением своего подпол я к характеристики ф 2. Предположим, что к ф Последняя, пятая глава диссертации посвящена некоторым подгруппам группы С1п(К) Л, гдеп > 4, содержащим квадратичную уничотентную

¿-подгруппу вычета 2. Наибольший интерес эти группы представляют в том случае, если они не содержат трансвскций. Одним из наиболее важных примером такой группы, является группа 0.п{к<С}} — коммутант ортогональной группы квадратичной формы <2 над полем к, индекс Ватта которой не меньше 2 В связи с известной проблемой описания подгрупп группы Л. содержащей одну из классических групп, естественно возникает задача описания надгру.ш в Л группы {1п(к, Ранее аналогичная задача была решена дта групп ЗЬп{к).Тп{к, Ф) (ноле к имеет инволютивный автоморфизм и, т-к'>созрмитовн форма Ф имеет ненулевой индекс Витта), Зрп(к) (п > 4, г? четно). Всс перечисленные группы порождаются содержащимися в них корневыми подгруппами. Поэтому методы, использованные для решения укачанной задачи в случае этих групп, пе могут быть применены к случаю групп, содержащих Для рассмотрения этого случая в диссертации создана техника обращения с квадратичными упипотентньши элементами вычета 2, Следует отметить, что наличие в многих важных матричных группах квадратичных унипотентиых элементов вычета 2 использовалось ранее рядом авторов ((17], (28], [37]), но при весьма сильных ограничениях. Предполагалось, например, что основное поле конечно или, что вс-р изучаемые группы содержатся в некоторой фиксированной ортогональной I р^у ппс. Со -¡данная в диссертации техника позволяет получать результаты, свободные от этих и подобных им ограничений. Так. в диссертации рассматриваются квадратичные унииотентные элементы вычета 2, заранее не связанные с некоторой ортогональной группой, т. е., более общо, корневые элементы линейных алгебраических групп, принадлежащих различным лиевым типам. На основе этой, вновь созданной техники, прежде всего, выясняется то, какими могут быть линейные группы, порожденные двумя квадратичными унипотенгными ¿.-подгруппами вычета 2.

Теорема 15 Пусть X - подгруппа группы О ¿„(К), порожденная дьумя квадратичными унипотептными к-подгруппомп вычета 2 группы А. Если X пе содержит трансвРщиИ. то для. иг-е имеет место одна из следующих возможностей■

(1) X абелева;

(2) X изоморфна подгруппе группы 8Ьз{к). состоящей мл есех верхних треугольных матриц, все диагональные эле^етш которых равны 1,

(3) X изоморфна группе 5Ьг(1) над полем которое либо заключено между к и К, либо содержится в некотором поле, являющемся квадратичным расширение и поля К

Если X содержит трансвекцию, то X содержит также некоторую корневую к-подгруппу.

Этот результат примыкает к утверждениям из работы Н. А. Вавилова [3]. Заметим, впрочем, чго в теореме 15 речь идет о подгруппах полной линейной группы СЬп(К), порожденных длинными корневыми к-подгруппами, где к может и не совпадать с К. в то время как а }3] равенство К — к предполагается заведомо выполненным. Используя найденную структуру линейных групп, порожденных двумя квадратичными унипотеитиыми А'-подгрупнами вычета 2, получено следующее описание подгрупп группы Л, содержащих группу Ц)

Теорема 16 Если п > 4, то всякая не содержащая трансвещий подгруппа группы ОЬп(К). содержащая подгруппу С1п(к,С}). включает в себя в качестве нормального делителя группу где Ь — подполе

поля К, содержащее к. О/, — квадратичная форма от п переменных, полученная из <3 расширением поля ¿ до Ь.

Сходные результаты, однако значительно меньшей общности, были получены О. Кингом [27] и Ли Шаньжи [29], [31]. Так. в [27] была доказана максимальность в группе 51п(К) группы ортогональных подобий СОп(К, 0) в предположении, что индекс Витта квадратичной формы С} отличен от нуля. В [29] и [31] проводится описание групп, заключенных между С1п(К, С)) и 8Ьп(К), при том же ограничении на индекс формы С Из теоремы 16, учитывая упоминавшееся выше описание подгрупп группы Л, содержащих корневую ¿-подгруппу группы Л, приходим к следующему утверждению.

Теорема 17 Если 9.п(к, С}} < <7 < Л и п > 4. то С? содержит в качестве нормального делителя группу, сопря-жепщро в А с одной из групп Зрп(Ь),Тп(1,Ф),9,п(Ь^1).81п(Ь). где Ь подполе поля К, содержащее к.

Список литературы

[1] БашкировЕ. Л. О подгруппах специальной линейной группы степени 2 над бесконечным полем //' Матем. сб. - 1996.— Т. 187, N2.-- С. 19-36.

[2| Башкиров Е. Л. Линейные группы, содержащие корневую подгруппу // Сиб. мат. журнал. - 1996 - Т. 37, N6 - С. 1238 - 1255.

[3] Вавилов Н. А. О геометрии длинных корневыых подгрупп в группах Шевалле // Вестник Лсиингр ун-та Сер. 1. - 1988, вып. 1 - С. 8 -11

[4] Вавилов H А. Линейные группы, порожденные однопараметричегкими подгруппами одномерных преобразований Ц Успехи мат. паук - 1988. - Т. 44, вып. 1,- С 189—190.

[5] Вавилов Н. А. Унипотентные элементы в подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный тор /'/ ДАН,— 1993 - Т. 328, N 5,- С. 536-539.

[6] Вавилов Н. А. Петров В. А О надгруппах ЕОС21. R) /' ¡ Зап. научи «мин ПОМИ...... 2000 - Т 272. С. 68 85.

[7] Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах Ep(2l.R) // Алгебра и анализ,- 2003. •••• Т. 15. N 4 - С. 49 - 100.

[8] Дьедонке Ж Геометрия классических групп,— М.: Мир. 1974.-- 204 с.

[9] Залесский А. Е. Силовскис р-подгруппы полной линейной группы над телом // Изв. АН СССР, серия магем,- 1967,- Т. 31.- С. 1149-1158.

10¡ А. Е. Залесский. Строение некоторых классов матричных групп. Сиб, мат. журнал 8(1967), N6, 1284 1298.

11] Залесский А. Е. О классических группах // Доклады АН БССР.— 1968.- Т. 32. N 2 - С. 107-109

12] Залесский А Е , С°режктш В, H Линейны" группы, порожденные траисвекциями Я Изв АН СССР, сер матем - 1976 - Т, 40, N 1- С. 26-49.

13] Мартынова Л. А. Нормальные подгруппы унинотентных подгрупп групп Шевалле типов £?• i ' Вестник МГУ. Сер. Î. Мат. и мех — 1995.—N 1,- С. 3-6.

14] Супруненко Д. А Группы матриц,— М.: Наука, 1972.— 351 с.

15] С'упруненко Д. А Подгруппы полной лилейной группы над телом D, содержащие группу всех специальных треуг ольных матриц U(n, D) ' ' Доклады АН БССР,- 1970.- Т. 14.- С. 305 307.

16] Cameron Р J , Hall J. I Some gionps generated by transvection subgroups // J. Algebra, 1991.- Vol 140 - P. 184-20,9

17] Cantor W. M. Subgroups of rtassical groups generated by long root elemente // Trans. Amer Math Soc.- 1979 - Vol 248, N 2. - P. 347 179.

18] Chen Yu. Isomoiphic Che^aHey groups over iritegial domains ' ' R-nd Sem. Mat. Utr.v. Padova, 1094. Vol. 92 P. 231-237.

[19] Cuypers H. The geometry of fc-tiansvectiorjs groups. Preprint TU Eindhoven. 1994.

[20] Cuypers H, Symplectie geometries, transaction subgroups and modules // J. Comb Theory. Ser. A.- 1994,- Vol. 65 - P 39-59

[23 ] Cuypers H , Steinbach A. Linear transvection groups and embedded polar spaces // Invent Math.- 1999.-- Vol. 137.- P. 169-196.

[22] Cuypers H . Steinbach A. Special linear groups generated by transections and embedded polar spaces // J. London Math. Soc. (3).— 2001.— Vol. 64.- P. 576-594.

f23j Dieudonn^ J. Sur les groupes umtaires quaternioniques k deux et a trois variables // Bull. Sci. Math.- 1953 - Vol. 77,- P 195-213.

[24] Francis T. A. Presentations of the special and general imear groups // J. Algebra.- 1994 - Vol. 169, N 3.- P. 943 964.

[25] Jacobson N Finite dimensional division algebras over fields.— Berlin; Springer Verlag, 1996.- 278 pp.

[26] King 0. On subgroups of the special linear groups containing the special unitary group // Geom. Dedicate.- 1985,- Vol 19 - P. 297-310.

[27] King O. On subgroups of the special Imeai groups containing the special orthogonal group // J. Algebra, 1985. - Vol. 96, N 1. P. 178 193.

[28] Li Shang Zhi. Maximal subgroups in PQ(n,F,Q) with root subgroups /7 Scientia Sinica. Ser. A - 1985.- Vol. 28. X 8 - P. 826-838.

[29] Li Shahg Zhi Maximal subgroups in classical groups over arbitrary fields // Proc.Symp. Pure Math.- 1987 - Vol. 47, Part 2 - P. 487-493-

[30] Li Shang Zhi. Irreducible subgroups of SL(n,K} generated by root subgroups // Geom. Dedicate- 1989 - Vol. 31. P. 41 -44.

[31] Li Shang Zhi. Overgroups of SU{n, K,f) or (l(n,K,Q) in GL(n, K) /7 Geom. Dedicata.- 1990,- Vol. 33,- P. 241-250.

[32] Li Shang Zhi Overgroupt. in GL(n, F) of classical groups over a subfield of F //' Algebra Colloq. - 1994,- Vol. 1, N 4. P. 335 346.

[33] McLaughlin J Some groups generated by transections // Arch. Math.— 1967.- Vol. 18,- P. 364-368.

[34] Parker C., Rowley P. Extremal subgroups in Chevaliey groups // J. London Math. Soc. (2).- 1997,- Vol 50, N 2 - P. 387 -399.

¡35] Petrov V. Overgroups of unitary groups // K-Theory- 2003,— Vol. 29 -P. 147—174.

[36] Shirvani M., Wehrfrite B. A F. Skew linear groups.— Cambridge University Press.- 1986.- 233 pp.

[37] Stark B. Some subgroups of fl(V) genet ated by long group type 1 // 111 J. Math.- 1973,— Vol. 17, N 4,- P. 584-607.

[38] Steinbach A. Subgroups of classical groups generated by transvections or Siegel transvections. I, H // Geom Dedie&f-a.— 1997,-Vol. 68 — P. 281322, 323-357.

[39] Thompson J. G. Quadratic pair« // Aetes dn Congres International des Mathematiciens 1, Nice, 1970 Gauthier-Villars.- Paris, 1971,- P. 375 376

[40] Timmesfeld F. G, Groups generated by fc-transvections // invent. Math — 1990.- Vol, 100, N 1,- P. 167-206.

¡41] Timmesfeld P. G. Gioupf- generated by k-xocA subgroups // Invent. Math. - 1991. - Vol. 106. - P. 571 666.

[42] Timmesfeld P G. Subgroups generated by root elements of groups generated by k-root subgroups // Geom Dedicata.— 1994.— Vol, 49.— P 293 321.

[43] Timmesfeld P. G. Moufaxig planet» and the gioups and SLzlK), K a Caley division algebra /, Foium Math.- 1994 — Vol 6, N 2 ~ P. 209-231.

¡44] Timmesfeld F. G. Presentations for certain Chevalley groups // Geom. Dedicata.- 1998.- Vol. 73, N L- P 85-117.

[45] Timmesfeld F. G. Abstract loot subgroups and quadratic action // Adv. Math.- 1999. Vol.142. P. 1 130.

[46] Wang Deng Yin. Overgi oups of Lev: subgroups La {n(a} = 1) in Chevalley groups G(9, F) 11 Adv. Math. (China) - 2002 Vol. 31, N 2.-- P. 148 152

¡47] Wang Deng Yin, Li Shang Zhi Oveigroups of L\{F) in L(F) , / J. China Univ. Sci Tech.- 1998. " Vol. 28, N 3.- P. 264 269.

¡48] You Hong. Commutator and nnipotenh m symplectic gioups // Acta. Math Smica (N. S.).- 1994 - Vol 10. Spe.rial Issue. P. 137 179

Работы автора по теме диссертации

[49] Башкиров Е. Л. О линейных группах, содержащих коммутант ортогональной группы индекса боль,не 1 // Сиб. мат, журнал,—1992.— Т. 33, К 5— С. 15-22,

[30] Башкиров Е. Л. О линейных группах, порожденных двумя длинными корневыми подгруппами // Сиб. мат. журнал.-- 1993 — Т. 34, N С. 15-23.

[51] Башкиров Е. Л О линейных группах, заключенных между двумя специальными линейными группами над различными телами // Известия АН Беларуси, сер физ.-мат наук - 1993 - N3.-- С. 106-108.

[52] Башкиров Е Л. О подгруппах специальной линейной группы степени 2 над телом обобщенных кватернионов // Известия АН Беларуси, сер. физ.-мат. наук,- 1994.- Ml С. 34- 39

[53] Башкиров Е. Л. О подгруппах полной линейной грушы над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу // Сиб. мат. журнал.— 1998,- Т. 39, N б.~ С. 1251-1266 "

[54] Башкиров Е. Л. О подгруппах полной лилейной группы степени 4, над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу индекса 2 // -Алгебра, геометрия и топология. Тез. докл. Международной конф. посвящ. 90-летию со да я рожд. Л. С. Понтрягина, Москва, 31 авг.-С сент. 1998 г. / Мат ин-т РАН, МГУ.— Москва, 1998. - С. 52 53

[55] Башкиров Е. Л. О подгруппах полной линейной группы степени 4 над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу индекса 1 // Алгебра и анализ.- - 2001. - Т 13. вып. 3.— С. 18—42-

[об] Башкиров Е. Л. Группа Spin» и некоторые подгруппы унитарных групп степени 4 над телом кватернионов // Алгебра и анализ.— 2001.— Т. 13, вып. 3 - С. 43-64.

[57] Башкиров Е. Л. О подгруппах полной линейной группы степени 4 над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу индекса 2 / Ред. Сиб. мат. журнал. СО РАН,— 20 е.- Дед б ВИНИТИ 29. 08. 2001, No 19И-В2001 /,/ РЖ: Математика - 2001.- N 8,- 8А146

[58] Bashkirov Е. L. Linear groups over a skew field of quaternions, containing Тп(А,Ф) over a suhsfield /7 Arch. Math. (Basel).- 2002 - Vol. 79, N6.-P. 321-327

06 1 5 6 3 0

[59] Bashkirov E. L. Irreducible Hrtcar groups of degree 3 over a quaternion division rings containing a root subgroup // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции памяти 3, И. Боревича, Санкт-Петербург, Россия, 17 23 сентября 2002 - Санкт-Петербург, 2002,- С. 82.

[60] Башкиров Е. Л. О подгруппах полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих симплектическую группу // Сиб мат. журнал.- 2003,- Т. 44. N 2,- С. 279-290.

[61] Bashkirov Е. L. Some completely reducible linear groups over a quaternion division ring, containing a root subgroup /7 Comm. Algebra.— 2003.— Vol. 31, N 12,- P. 5727-5754.

[62] Bashkirov E. L. Irreducible linear groups of degree four over a quaternion division ring that contain a subgroup di&g{Tz(K, Фд), 1} // The l0i1s International Conference "Groups and Group Rings". Ustroil. Poland. June 10-14, 2003,- Abstracrs.- P. 24-26.

[63] Bashkirov E. L, Some completely reducible linear groups over a quaternion division ring, containing a root subgroup // AAA68: Workshop on General Algebra, Dresden, June 10-13. 2004,- Technical Report.- P. 14-15

[64] Bashkirov E. L. Irreducible linear groups of degree 3 over a quaternion division ring, containing a root subgroup // Comm. Algebra.— 2004. -Vol. 32, N 5 - P. 1747-1763.

[65] Bashkirov E. L. Irreducible linear groups of degree four over a quaternion division algebra that contain a subgroup diagfT^A', Фо), 1) // J, Algebra - 2005.- Vol. 287, N 2. - P. 319 350.

Подписано в печать 26.05.2006. Формат бумаги 60 х 84 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Уел печ л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 3787.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр 26

Список основных нестандартных обозначений, используемых в диссертации

Введение

1 Обзор литературы

2 Неприводимые линейные группы над некоммутативными телами

2.1 Обозначения. Некоторые с воис гва неприводимых пинейных групп . . . . '

2.2 Линейные группы над пеком м,\ шинными ie ыми, содержащие специа ii)iiyio линейную I рмш>

2.3 Линейные группы над те юм кватернионов, (одержащие i руппу

Тп над пекомм\ мшвным поди1 юм

3 Подгруппы полной линейной группы над телом кватернионов, содержащие классическую подгруппу над подиолем

3.1 Линейные группы над kviom кватернионов, содержащие сиециа 1ьную унитарную группу

3.2 ,Чиненные группы степени 1 над ie юм кватернионов, содержащие сиециа 1ьную з ни гарную группу индекса

3.3 Линейные группы с гепепи 1 над и1 юм кватернионов, содержащие специа 1ьн\ю уни iapn\ ю i р\ пн\ индекса

3.1 Группы У'(2) как под1 р\ ппы i р\ nin>i Spm

3.5 Линейные группы над гечом кватернионов, содержащие еи.мпчектическ} ю I руппу.

4 Линейные группы над телом кватернионов, содержащие корневую подгруппу

4.1 Линейные i рупиы с гепени п над ге юм кватернионов, содержащие4 {п — 1)-мерпую под! руппу

4.2 Подгруппы потной .пшенной группы иенени 4 над гелом квагергиюпов, содержащие под1 руину diag(T3(A', Фу), 1) • • •

4.3 Линейные группы с lenenn п над ie юм кватернионов, содержащие п — 2)-мерную под1 р) пиу.1()G

1.4 Неприводимые и нпоше приводимые шпейиые группы над телом кватернионов, содержащие корневую подгрупп)

5 Некоторые линейные группы над полями, содержащие квадратичные унипотентные элементы вычета два

5.1 Линейные i р\ ппы над по ie\i, по1)()/КД(чнп>1е дв\ мя д шнными корневыми нодг р\ ппами

5.2 Линейные группы, содержащие под1р\пп) Qu opiогонатьной группы индекса бспыпе 1.

Актуальность темы диссертации. Теория пшенных i рупп ян шок я одним in о( ионных паправ кмшй н (овременной апебре, чрезвычайно обширным, ишенсивпо ра лишающим* я и имеющем мноючис юнные ючки соприкосновения с раличными j)a мелями как ма1емагики. 1ак и спепвознания н це юм. Сердцевину зюй :еории состав 1жм изучение подгруппового строения линейных ipynn над ассоциативными кочьцами разчичной с гепени общноыи. Возникнув в XIX веке как час тая задача о конечных матричных ip>imax, исходящая из потребное юй кюрии Tai\a, пробчема описания и классификации подгрупп в заданных линейных Iруппах, пройдя через многие Э1лпы своего сынов 1ения и развшия, нреврагичаеь в обширную ветвь матемашчес кого знания, об ыдлкищ ю своим собственным яичком и пробчемлшкой Ее iec тенно, чю получение описания всех мыечимых чинейных i j>\1111 над рлзшчнымп кочьцами ма юверояino, и поюму постановка проб 1емы в такой чрезвычайно ШИ1ЮК0Й общнопи представ шегся совершенно непрод\мивной. В связи с 91им дчя получения с ущес i веянных рез\ платов па изучаемые мафичные 1р)нпы и на асс оциаптпые ко п.ца, над коюрыми -ни ip>niibi опродо. ieiiFii, приходи к я naiaiaib разчичные \с ювня, харям еризующие эти группы и ко шца с разчичных сюрон. Начожение 1аких ограничений приводит к расщеплению иредмеча изучения под1 pviinoBOiо строения на множесчво разделов и огветв 1ений, юсио между собой перепчекчшых и в заимодейс i вующпх.

Одним из наибо iee важных обе юяк1 и>с из, с нос обе i вовавших с ыиовчеиию и ра зви i ию > чения о под1 р\ пповом с i роении шжч'шых групп, явичось обнаружение юю фама, чю -но с iрсхмик^ в значите пшой мс^рс^ определяемся некоюрыми лемечпами сиециа пшою вида, содержащимися в рлеечкириваемых ij)Minax Первым примером подобного рода бычо, вероятно, осознание значения на шчия и])ос1ейших унипо1ентных элементов (фансвекций), в ночной чиненной ipyniie конечной с юпени над почем при описании норма п>ных дешкмей ж)й iруптл (ieope\ia Жордана-Диксопа). Указанное выше обе юяк1 же изо cihm\ шрова ю ак1ивные поиски в мафичных группах iex млфиц, кснорые в той и ш иной счепени енвечегвенны за с iроение yinx групп. С Д1)уюй стороны, наличие в некоюрых важш>1х (в юм числе и дчя при южений) и нредсыв 1яющих ингерсч-дчя исечедований линейных iрупиях )чеменк)в, определяющих свойспзл и с rj)oeiine )inx 1рмш, еекчпзенно приводиi к rioc 1лиовке до некоюроп с кчкчш o6iwnioii iij)of) юмы к iacc пфнкацни линейных грмш, кою|)Ысм одержлi -эiи -мемешы и ш ими порождаю кя.

Данная пробчема очень трудна, и рсч\лыагы. идущие в нанрав кчши ее решения, помечены точько ири весьма ма ioii общности рассматриваемых 11>>пп и эчеметпов. Ишестно, что мнение напбочее важные .пшенные ipyinibi (например, к час с ические) порождаются содержащимися в них унинокчппыми •) к'ментамп Псжом\ Kiacc шнейных групп, содержащих и in порожденных с\ нигкшч-пными )1ем(чпами. особенно шиересеп и нуждаен'я в и зучении. Этсп к час с, а 1акже i р> ппы Шевачче, по1)ожденные ратчичными содержащимися в них подтипами унипотенпгых -пеменюв, привчекали к себе в течение дшкчьною времени внимание многих авюров (см., например, [19], [21], |43], [50], [87], [91], [106]-[108], [120], [145], [163], [166], [183], [190], [192], [229], [230], [237]) Однако резу штаты этих и др>ч их работ, посвященных эти 1ема]ике. бычи иочучены при весьма жестких ограничениях Поэтому о чиненных группах, содержащих некоторую фиксированною группу унипогешпых матриц известно в общем счучае сравнительно немного, и кроме юг о, okjk ib\(4 связное и нос чедоватечыюе из южеиие данного предмета 9шм данное1 наирав кчше геории .шнейн1)1\ i j>\ 1111 огличасчся or нанрав гения, рас с магривающег о линейные iр\ппыт которые содержат иодгрмшы, сосюящие тошко из но гуирос П)1х немеиюв, где за носчедние 30 чет трэдами 3 II Боревича и его носледоваге гей Н. А Вавилова, В. А. Койбаева, Е. В. Дыбковой и др. бы га рачрабогана г цбокая и весьма развечв генная геория чиненных групп, содержащих подгрупп} диатопачьпых матриц. Именно в сиг\ этого обстоите гьства в фокусе данной диссертационной р^бо i ы находя гея вопросы теории шнейных ipyrin, связанные с пачичием в этих группах унипотентных эчеменюв. В диссертации создана гехиика обращения с гакими зчеменгами, и на основе )юй техники нос г роены меч оды изучения шнейных ip\nn над разшчными аееоциагивными кчами Разработка такой гехиики и методов, относящихся ко всей еовокмгносги унипотеш ных мат])иц, сч геч гвенно, маю рем гыга, и )io обе юяге гьс гво вынуждаем с пециачи зировагь рас( магриваемые \ нипогенг ные немеиты. Один из способов гакой снещга шзацин. дающий возможное п> проникн\ п> в предмет достаточно м\боко, и ie\i самым онреде шющий нанравчение исследований, содержащихся в диссертации, сое юн г в сле\д\ ющем.

Пусть И ассоциативное те ю, п, г — цечые чис ча такие, что п > 2,0 < г < [|], и пусть к - нодг ело тела /?. Квадратичной унипотентиой к-нод1 руиной вычета г группы GLn(R) будем называть любую подгруппу группы G'L,,(/?), сопряжению в GLn[R) с грчиюй, сое юящей п з всех матриц

ЧС 'О—С --v-' г |м)

Всякий 9ЮМРН1 и з GLn(Ii), содержащийся и пекотрой квадра1ичной унипотгнтой А'-под1 руппе вычсма г ipvinibi GLn{R), б>дем называп> квадратичным унипо1енiпым -неметом вычсма г группы G'L,,(/?). Квадратичный \нипо1счиный -немет вычсма 1 (соответственно 2) называется транс векцией (соотвек пзетшо дчинным корневым -леменгом), а соответствующая ем) квадратичная унипотентая под1 р>ппа называемся корневой А'-под1 руппой (соответственно дтинной корневой /.•-подгруппой). Трансвекции явчяются, по-видимому, наибочее изученными из всех унипотентных цементов, что, впрочем, весьма ее iec твепнпо, ибо кчасс линейных ipynii. содержащих гране векиии включает в себя наибочее важные к ыссические гр>тппы.

Основная проб ie\ia, рсчпаемая тз диссертации )io nj)o6 ie\ia описания линейных ipynn, содержащих К1зад1)а1пчные vhhiioich i ные ) к'мепты. Дчя чинейных I руин над конечными п'чамн (по тми) оизеч бы i дан в и шестпой работе Д/к. Томпсона [216|. Сш^ацпя. связанная с рассмо1|)еиием произвольных, I. е. не обязан* 1ьно конечных ночей, ока зачась значи 1ечьно более счожпой, так как при изучении линейных ipynn, содержащих квадратичные унигютенгные А'-нод1 р.\ ппы Bi>i4eia г > 1 во шикает необходимость рассмотрения матричных ipynii над некомм\ i<uивными течами, имеющими конечную размерное п> над своим ценiром. Так, поскочьку любое тело кватернионов реализ>е1ся матрицами степени 2 над своим максима 1ьным подпо тем, ю при г = 2 мы стачкиваемся с задачей исследования матричных ip\nn над темами кваюрнионов. Этим обстоятечьсчвом мотивир\oiея одно из направчений диссертации — изучение подтруни нотой пшейной iруины с ieneini п > 2 над гечом кватернионов D, содержащих корпев\ю A'-ikui р\ пп\, где к нодпоче цешра ieia D, 1акое, чю D апебраично над к Замемим, что 1акое изучение имеем самостоятельный интерес, явчяясь одной из давно поечавченных пробчем теории линейных ipynn, восходящей к павшей классической с гатье Ж. Дьедонне [111].

Итогом применения созданных в диссертации меюдов являемся снятие многих ограничений, при с обчюдении которых доказывачись ранее результаты, касающиеся подгрупповсло строения линейных ip\nn, содержащих унипотешные ^чеметпы. 3ia менее oi ранпчи 1ельная ситуация, в конечном с чече, приводи! к бо iee яс ному и четкому пониманию ieopeiиксырупповой пр>к1>ры и природы мноптх важных (в юм числе классических) шнейных ip\nn Все -но показываем как необходимое iь исследования, проведенною в диссертации, гак и актуальное ib гемы -этою исследования.

Цель работы и задачи исследования Целью рабсмы являемся описание подгрупповой с iрукiуры ночной линейной ipynnw над кмами. Эia цель реачиз\смся решением задачи описания под1рмш по тых линейных гр(\нп над кмами кватернионов, содержащих корневмо подгруппу, a iaK/KC подгрупп но тых шнейных ipynn над пенями, содержащих коммутант орююна п.ной фуппы индекса бо нлпе 1

Объект и предмет исследования Обьектом исследования яв шекя подгр)пповая (ткi\pa мафичных ip\mi над те ыми, а ею предмет с ос тоит в выявтении связей между вн\ фепним строением асс оциат ивных алгебр с дечением и с iроением матричных ip}im над )1ими атюбрами.

Методология и методы проведенного иследования. В своей части, относящейся к линейным группам над ieia\m кватернионов, настоящая диссертация органично связана с исс гедованнем чинейных групп над пекомм\ iaiивными (ассоциапгвнымн) кмами, проводившимся Д. Л. Супрунепко ir А Е. Зачесть им ([37] [39], |(17]). В ходе1 шно исследования бы ш ггриг}одош>г примеры, иоказывющие, чю хотя ])яд результатов о линейных группах над по гями ечкчгвенно обобгцаегся на с чучай некомм\ гапггзных км, некоюрые важные1 i(ч>рс»мы в -пом счучае 1е])яют спчу. Другие факты подобного рода можно наЙ1и в книге [202], где сис гемати зированы некоторые рез> чьтагы, кас ающиеся линейных групп над некоммутативными кмами Вышесказанное показывает, что дчя изучения подгруппового строения линейных i рупп над некомм) гатившими телами должны разрабатываться и применяться меюды. радика п.по отличающиеся ог мегодов, созданных д 1Я исследования чинейных ip\nn над почями. Методы такою исс тсмоваиия, созданные в настоящей работе, базируются на результатах Ж. Дьедонне и А. Ачберга о ieiax квагернионов. В своей работе [111] (см также [31]) Ж. Дьедонне обнаружит с ущес гвованне гомоморе|)н зма межд\, с одной с троны, унитарной I репной степени 3 над кмом кватернионов, опредетенной с помощт.ю кос о-эрмитовой формы индекса 1 опюсикмыю единственной ипвочюции симп ieKiического типа пою геча, и, с другой ciopoHi.i, унитарной группой степени 1 над максима п.пым подпо ie\i этою км а Э i о i гомоморфизм лежиг в основе дока за км ьс из данной ])аботы, носкотьк\ OIT дасч возможность не по п> зоваi т. доказанные ранее автром ([3], [4]) результат о линейных группах над почями, содержащих корневою подгруппу, дчя исследования линейных групп над кмами кватернионов.

В диссертации создан метод исследования неприводимых линейных групп над апебрами с делением, основывающийся на свойствах понятия множества параметров транс векций, введенного в диссертации. Хотя упомянутые ачгебры с делением могут быть комм\ гативными, сам эют метод может бьпь создан лишь при исследовании линейных групп над некоммутативными юлами, коюрые до ькиы п])и этом рассма!рива1ься не с ючки зрения их чис ю внешней структуры, а как атнебры над подпо 1ями своих цен I ров. Такой подход ведем к сущее гвенпым грустное 1ям, связанным со с южное 1ыо и разнообразием с ipvi\i\ры пекомм\ raiивпых апебр, и ipe6yei новой юхппки обращения с -немец ыми линейных ipynii над этими алтебрами Такая юхиика создана в диссертации. и на ее1 основе удается выявип> и распознай, мкие rio;nруины линейных групп над юлами кваюрнионов, коюрые в принципе не могу i бьпь обнару/кены применявшимися ранее чис ю внешними меюдами

Доклзаю 1ьс та пракшчески вееч i чавных резучыаюв диссерыции базирукжя на рассмо1рении содержащихся в иссчед\емых группах подг1)упи унипоюншых племенЮ1,. по возможное in, бо iee просюю вида (в основном подгрупп квадра1ичных упипогентных эчементов вычетов 1 и 2). Однако в некоторых си1\ациях испочь зование П1юс гейших квадратичных \ пипоюш пых )1емсчпов приводиi к чрезвычайно громоздким вычис кчшям. В )юмс iy чае удобно ис но п> зов.и ь унинс)1ентные -леменш бо iee г южною вида, i. е. ie, минимачьпые по 1Иномы коюрых имею1 с ieiMMib бб1ып\ю чем 2. Обьяспепие зюю с|)еномена, по-видимому, coctohi в юм, чю но iy чеппые памп резучыаш, касающиеся гюд1 руиповою с iро(М1ия чипейпых ip\nn. имеют, строго юворя, абс фактно-i рупповой харакюр и ipe6yioi разработки именно ieopeiHKO-i ру пповой техники обращения с унипоюнiными цементами, не зависящей 01 их ма1ричной природы В диеермции за южсч1а разработка методов доказательств, основанных на уче1е этю обе юяючьс 1ва.

Кроме зтих, созданных автором мемодов, в pa6oie испочь зу юте я общие чрадиционные меч оды теории ipynn и линейной апебры, а также белее1 специальные меч оды теории пшейных ipynn и юории конечномерных алгебр с де нчшем.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты в дпссерьщии явшюкя новыми. В дне с е^р 1ацнм впервые иочучепо описание широкою Kiaeca no,ui)\iin потоп линейной iруппы над телом, определяемым шшь подпочем ценipa -жно тела, а не всем ценIром. Эю проясняем под1 рупповую счруктуру по той шнейной труппы и яв чяе I с я основой дчя дальнейших исследований в зтй обчасчи.

Практическая значимость полученных результатов. Рез\лыа1ы диссертации имеют leopei нческии характер.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Нд защиту вынос як я:

1) кчассификация под! р\им по шои шнейиой 1р\ппы над нмом кватернионов, содержащих классическою под1р\пиу над подтелом;

2) классификация неприводимых подкупи нотой чинейпой iруины над телом кватернионов, содержащих корневую подгруппу.

3) подгрупповое с iроение по той чинейпой ipynrn.i с ieiieim 4 над чечом кватернионов;

4) классификация подгрупп полной жнейной группы над алюброй с дечением, содержащих специа 1ьн> ю чинейнмо гр>пи> над пода пеброн;

5) кчассификация ио.црмш ночной пшейпой группы над шлем, содержащих комм\ iaHi 0])40iоначьной ipyinibi.

Личный вклад соискателя. Pa6oia выношена соискатечем лично Совмес Iных работ нем.

Апробация результатов диссертации. Рез> лыаш дисссрыции изчагались на Международной ал1 ебраической конференции иамя1и М. И. Карыпочова (К])асноярск, 1993), конференции „Алюбра и аначиз'" (Казань, 1994), Бечорусских маюмачических конференциях (Минск, 1996, 2000), Международной л шебраической конференции намят Д. К Фаддеева (Санк1-Псчербург, 1997). Межд>народной \iaie\iaiической конференции памяти Л. С. Пошряпша (Москва, 1998), Международной ал1 ебраической конференции памяш 1. II. Боревича (Санк1-Печербург. 2002), конференции „Группы и грошовые ко п.ца" (Усфонь, 2003), конс})еренцпи по общей апебре (Дрезден, 2004). а ыкже па заседаниях а.н ебраическою семинара IIncini>ia маичшикп Академии на\к Белар>си, CanKi-IIeiep6yprckoiо юродскою ачюбраичекою семинара, семинара по 1еории групп универсикма провинции Маниюба

Опубликованность результатов диссертации. Резульгаш диссертации оп\бчико*/ШЫ в 13 сьпьях и 9 ичисах конференций

Структура и объем диссертации. Диссерыция с ос юш и з введения, пяти глав основной часчи (вк шчая лшерап'рный об юр), заключения и списка испо 1ьзованных исючников. Работ изчожепа на 270 ираницах, включая список испочьзованных ис iочников из 216 наименований.

Заключение

1) Проведенное в диссертационной работе исследование вносит ясность в понимание структуры подгрупп полной линейной ipynnbi над различными телами. В первую очередь это касается тет кватернионов, дтя которых иотучено описание неприводимых, а также вио ше приводимых линейных групп, содержащих корневую под1 р> ппу ([250], [257], [259], [261], [262]).

2) В ходе изучения подгруппового строения полной линейной группы над телом кватернионов получены преде 1ав ппощие самостоятельный интерее' описания подтруни этой группы, содержащих одну из слсугующих ipynii над подтелом -ною юла1 специальную линейную ([249]), специальную унитарную ([251], [252], [253], [254], [255], [256]), симплектическую ([258]).

3) Получены результаты, показывающие особый характер подгрупповою строения ночной группы степени 4 над юлом кватернионов ([252], [253], [254], [255], [260], [263]). Возникающие в ходе такого описания группы оказывются формами линейных алгебраических групп типа £>4, а методы, созданные для такого описания позволяют распознавать эти формы.

4) Метод увязывания под1 рупповой структуры линейных групп над некоммутативными телами с структурой этих тел, как алгебр над их центральными подполями, можем бып, использован на основе разработанных в диссертации технических приемов для изучения линейных ipynii над другими ассоциативными ал1ебрами с делением, более общею вида чем тела кватернионов. В диссертации на основании такого метода проводится классификация групп G, удовлетворяющих одному из следующих условий: SLn(k) < G < GLn(K) (п > 3) или cliag(SXni(/c), 1) < G < GLn(K) (п > 4, группа G неприводима), где К — тело характеристики ф 2, к ею подтело, причем К и к являются алгебраическими алюбрами над некоторым подполем центра тела К ([249]).В основе метода лежит установленная в диссертации инвариантность множества параметров трансвекций в неприводимых линейных группах над течами, а 1акже наличие па этих множес 1вах параметров с iрукiуры епециа 1ьной йордаповой а'небры.

5) В диссертации описаны подгруппы группы GLn{K) eienenn п > 4 над почем К, содержащие подгруппу iln{k,Q), соответствующую квадратичной скорме Q индекса больше 1 над подполем к таким, что расширение К/к алтебраично ([217], [248]). Для получения такого описания создается техника работы с квадратичными унипотентными элементами вычета 2, принадлежащими, вообще» говоря, линейным группам раз шчиых лиевских пшов.

G) Предполагается, что меюды и результаты, созданные и полученные в диссертационной работе, послужат основой для последующего изучения линейных групп, не содержащих трансвекций, но содержащих квадратичные унипотешные э тементы вычета 2 над произвольными нолями.

1. Автоморфизмы классических групп: Сб. пер. /Под ред. Ю. И. Мерзлякова.- М.: Мир, 197G. - 264 с

2. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969. 283 с.

3. Башкиров Е. Л. О подгруппах специальной линейной группы степени 2 над бесконечным полем Магем. сб. - 1996. Т. 187, N 2.— С. 19 -36.

4. Башкиров Е. Л. Линейные группы, содержащие корневую подгруппу // Сиб. мак журна i. 1996. Т 37, N 6. С. 1238 1255

5. Бондаренко А. А. Расположение по/ц рупп, содержащих неразвечвченный квадратичный юр в нотой матричной ipyime степени 2 над локатьным чистовым почем (р ф 2) Зап. научн. семин. ПОМП.- 1994. Т. 221. С. 67- 79.

6. Бондаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих неразветвченный квадратичный юр в нотой чинейной группе степени 2 над локальным числовым нолем (р = 2) /' Зап. научи, семин. ПОМИ.- 1994.- Т. 221.- С. 80 -90.

7. Бондаренко А. А. О промежуточных подгруппах полной линейной группы, содержащих группу кватернионов // Зап. научн. семин. ПОМП,- 1997. Т. 236. С. 13- 28.

8. Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных мафиц // Зап. научн. семин. ЛОМИ 1976.- Т. 64.- С. 12 29

9. Боревич 3. И. О раепоюжении подгрупп Зап на\чп. семин ЛОМИ. 1979. Т 94 - С. 5 19

10. Боревич 3. И., Койбаев В. А. О ко п>цах мпожиюлей, связанных с промежуточными подгруппами дня квадратичною юра Вестник СПбГУ. Сер. 1 1993.- N 2. С. 5-10.

11. Боревич 3. И., Койбаев В А., Чан Нгок Хой. Peine г ки подгрупп в GL(2,Q), содержащих пераещепимый тор Зап. научн. семин. ЛОМИ.- 1991.- Т. 191. С. 24-43.

12. Боревич 3 И., Мацедонская О. Н. О решетке подгрупп // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980.- Т. 103. С. 13 -19.

13. Боревич 3 И., Мысовских В И. Бесконечные цепи пос ледоваюлыгых нормачизаюров в полной линейной группе над нолем / Зап. научн. семин. ЛОМИ.- 1991.- 'Г. 191- С. 44 48.

14. Боревич 3 И., Панин А. А О максимальном юре в подгруппах полной линейной группы Зап. научн. семин. ПОМИ.— 1995. -Т. 227.- С. 15- 22.

15. Брюханов О. В. Генетика универсальных групп Шевалле над некоюрыми коммугагивными кольцами // Mai. заметки.— 1995.— Т. 57, N 6. С. 614-626.

16. Буй Ксуан Хай. Подгруппы специальной линейной группы над телом, содержащие группу диагональных малриц ,/ Зап. научи, семин. ПОМИ,- 1994 Т. 211. С. 91-103.

17. Вавилов Н. А. Линейные группы, порожденные однопарамегричес кими подгруппами одномерных преобразований '' Успехи маг. паук 1988.- Т. 44, вып. 1- С. 189-190.

18. Вавилов Н. А. О геометрии длинных корневых подгрупп в группах Шевалле ' Вестник Ленипгр. ун-та. Сер 1. 1988.- Выи. 1.— С. 811.

19. Вавилов Н. А. Унипотептные элементы в подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный лор // ДАН.— 1993. -Т. 328, N 5.- С. 536-539.23 24 [25 [2627