Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.54

ГАЗДАНОВА МАРИНА АЛТЕГОВНА

СТРОГО ВЕЩЕСТВЕННЫЕ УНИПОТЕНТНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математический наук

Красноярск - 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Я.Н. Нужин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Созутов

кандидат физико-математических наук, доцент Г.С. Сулсйманова

Ведущая организация:

Институт Математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится "04" июля 2006 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан "01" июня 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, у ^^

доцент ^Аъф?*?^ Голованов М.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нормальные и скрученные группы лиева типа являются естественным обобщением классических линейных групп. Группа UTn(K)— группа верхних унитрсугольных п х п - матриц над кольцом К и ее аналоги для других групп лиева типа представляют особый интерес, в частности, как силовские р-подгруппы, когда К— поле характеристики р. Подгруппа UTn(K) и унипотентные подгруппы групп лиева типа изучались многими авторами с разных сторон: абелевы подгруппы наивысшей размерности, нормальные подгруппы, группы автоморфизмов, элементарная эквивалентность и др. С другой стороны сама группа UTn(K) и ее предельные случаи являются неиссякаемым источником различных примеров.

Основным объектом исследований в диссертации являются унипотентные подгруппы групп лиева типа над полем характеристики 2.

Элемент группы G назовем вещественным (строго вещественным), если он сопряжен некоторым элементом (некоторой инволюцией) из G со своим обратным элементом. Все комплексные характеры принимают на вещественных элементах вещественные значения. Группа G называется вещественной (строго вещественной), если все ее элементы вещественны (если все ее неединичные элементы строго вещественны). Отметим, что вещественность (строгая вещественность) всей группы не влечет вещественность (строгую вещественность) ее подгруппы.

В 1995 г. A.A. Кириллов высказал гипотезу, о вещественности характеров унитреугольной группы UTn(K) над полем К = GF(2), т.е. гипотезу о вещественности группы (7Т„(2). При п < 12 А. Вера-Лопэз и Дж.М. Арреги, опираясь на свои результаты [16, 17], установили вещественность группы UTn(2). В 1998 г. И.М. Айзеке и Д. Карагуиу-зян [14] привели пример матрицы А из группы t/Ti3(2), которая не

з

сопряжена в группе UTu(2) со своей обратной, тем самым гипотеза A.A. Кириллова при п > 13 была опровергнута. Как выяснилось позже, в группе иТ\з(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов (с представителями А и А~1) [18].

В силу результатов Д.З. Джоковича [19] (1967 г.), П.Х. Тьепа и А.Е. Залесского [6] (2005 г.) в общей линейной группе GLn(2m) все унипотентные элементы являются строго вещественными. В [19] доказано, что в GLn(K) для любого поля К все вещественные элементы являются строго вещественными, а в [6] утверждается, что все унипотентные элементы из специальной линейной группы SLn('2m) вещественны. С другой стороны, Р. Гов [1] (1981 г.) доказал строгую вещественность симплектической группы PSp>n{K) для любого поля К характеристики 2. Учитывая этот результат Р. Гова и указанный выше пример матрицы И.М. Айзекса и Д. Карагуиузяна получаем, что в силовской 2-подгруппе строго вещественной группы PSp2n{'2m) при п > 14 существует элемент, который не является вещественным в подгруппе S2.

Я.Н. Нужин записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Какие унипотентные погруппы (силовские 2-подгруппы) групп лиева типа над полем характеристики 2 являются строго вещественными [21, вопрос 1б.7С[. При исследовании этого вопроса, а также как и следующего, принципиально важно и полезно знать являются ли строго вещественными регулярные унипотентные элементы?

В 1999 г. А.И. Созутовым был записан в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [20, вопрос 14.82]. Отмстим, что конечная простая группа является строго вещественной тогда и только тогда, когда каждый ее элемент представим в виде произведения двух инволюций.

Вопрос о строгой вешествснности отдельных классов конечных простых групп рассматривался и ранее. К. Багински [4] (1987 г.) доказал, что знакопеременная группа Ап, п > 5, строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5,6,10,14; строгую вещественность симплектической группы Р5р2п(?) установили Р. Гов при ц — 2т [1] (1981 г.) и при q = 1 {тов. 4) [3] (1988 г.) и Э.В. Элерс и В. Нольт при д = 2т [2] (1982 г.); в [5] (2005 г.) С.Г. Колесников и Я.Н. Нужин доказали, что среди спорадических групп только две группы Янко и -Л являются строго вещественными, там же было установлено, что группы ,(<?), п > 3, Р5(Уп(д), п > 3, РБр2П{я) при п > 1 и ? = 3{тов. 4), а также некоторые ортогональные группы и некоторые исключительные группы лиева типа не являются строго вещественными. В 2005 г. П.Х. Тьеп и А.Е. Залесский [6] показали, что все исключительные группы лиева типа над любым конечным полем не являются даже вещественными. Таким образом, вопрос о строгой вещественности конечных простых групп (следовательно, и вопрос 14.82) остается открытым только для некоторых ортогональных групп.

Целью работы является:

— исследование строгой вещественности унипотентных подгрупп групп лиева типа над полем характеристики 2 [21, вопрос 16.70].

— исследование строгой вещественности классов сопряженных регулярных унипотентных элементов групп лиева типа над полем характеристики 2.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории линейных групп, теории групп Шевалле и теории графов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях линейных групп и групп лиева типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Международной конференции в Томске (2003 г.), на: "Мальцевских чтениях" (Новосибирск, 2003-2004 г.) , на Международной конференции "АЛиК-2004" (Иркутск) , на IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2006 г.). Они были были представлены на Международных алгебраических конференциях в Москве (2004 г.), Екатеринбурге (2005 г.) и Гомеле (2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22] - [27].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 28 наименований и занимает СО страниц текста., набранного в редакционпо-издательской системе ЬУЩХ. Нумерация утверждений включает номер главы, параграфа и порядковый номер утверждения в параграфе.

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Красноярского краевого фонда науки, грант №12Р021М, и Российского фонда фундаментальных исследований, грант 06-01-00824.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Одним из основных результов диссертации является

Теорема 1. Пусть II — унипотентная подгруппа группы лиева типа С ранга I над полем К характеристики 2.

Подгруппа 17 не является строго вещественной если:

1) тип С? равен I > 1, гВ2,

е

2) I > 13 и тип G равен -Af-ь Bi, Q, Di, 2A2i-i, 2A+i,"

3) в поле К существует, элемент Т) такой, что многочлен Х2+Х+Т} неприводим в К[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен F4, Eq, Ет, Е$.

4) в подполе неподвижных элементов Ко существует элемент щ такой, что многочлен X2 + X + щ неприводим в Kq[X] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен 2Eq.

Подгруппа U является строго вещественной, если I < 4 и тип G отличен от типов из пунктов 1), 3), 4) или тип G равен Ai и I = 5,6.

Из формулировки теоремы 1 следует, что получен ответ на вопрос 16.76 для классических групп лиева ранга I при I < 4 и I > 13 , а для типа А[ и при I — 5,6, над произвольным полем характеристики 2, и исключительных групп лиева типа над полем К характеристики 2, в котором существует элемент г) такой, что многочлен X2 + X + г/ неприводим в К[Х\ или Л"0[А'] (в частности, если К — конечное поле).

В §1.1 главы 1 приводятся основные обозначения подгрупп, элементов и вспомогательные леммы для группах лиева типа. В §1.2 приведены леммы, описывающие основные свойства строго вещественных групп и вводится понятие графа коммутативности Г(<?) элемента g в заданном представлении. По определению графом коммутативности Г(<?) элемента g произвольной группы G в представлении

g = gi ■ - ■ gn, gi e G,

является простой граф Г(д) = T(g,gi,... ,g„) на вершинах gi,.-.,gn, в котором вершины <у, и д3 соединены ребром тогда и только тогда, когда 9i9j Ф 9j9i-

На основе данного понятия и леммы 1.2.4 формулируется лемма 1.2.5, которая является основной при доказательстве теоремы 2 и теоремы 1 для групп малых рангов.

Лемма 1.2.5. Пусть в представлении д = <71... дп, <7« £ С, все gi

— инволюции и граф коммутативности Г(</) является лесом. Тогда д

— строго вещественный элемент.

Глава 2 посвящена регулярным унипотентным элементам. По определению регулярными унипотентными элементами в группе лиева типа (7, ассоциированной с фундаментальной системой корней П = {г|, ..., г;}, являются элементы, сопряженные с элементами вида

В частности, если группа С? типа Л), то регулярным элементом является элемент, приводимый к нормальной жордановой форме с одним блоком. В §2.1 приводится известная лемма 2.1.1 о числе классов сопряженных регулярных унипотентных элементов <1(С) расширенной группы лиева типа над конечным полем характеристики 2 и доказываются вспомогательные леммы.

Лемма 2.1.2. Пусть б — группа лиева типа над произвольным полем К, В — ее борелевская подгруппа, и — унипотентпная подгруппа из Б. Пусть д £ С, и — регулярный элемент из 1}. Тогда, если дид~1 £ и, то д € В. Более того, если скагК = 2 ид— инволюция, то д Е 1/. Таким образом, регулярный унипотентный элемент группы II над полем характеристики 2 является строго вещественным в V тогда и только тогда, когда он строго вещественный во всей группе (7.

Отметим, что в простой линейной алгебраической группе все регулярные унипотентные элементы сопряжены и справедлива

Лемма 2.1.4. В простого линейной алгебраической группе О над полем характеристики 2 все регулярные унипотентные элементы строго вещественны.

Основным результатом главы 2 является следующая

Теорема 2. Пусть <3 - группа лиева типа над конечным полем характеристики 2.

1) В группе О типа А[, В{, С[, 2Д, 304, все регулярные унипотентные элементы строго вещественны.

2) В группе С типа ~В2, 2/?4, все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны.

3) Группа С типа Е^, содержит один класс строго вещественных и один класс не строго веи^ественных сопряженных регу.аярных унипотентных элементов.

4) Группа С типа Еу, Е$, содержит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.

По теореме 2 группы типа 2Лгь I > 1, 2В2, 2 ^Ео, Ее, Е%

над конечным полем характеристики 2 содержат хотя бы один не строго вещественный класс сопряженных регулярных уннпотентных элементов. Таким образом, из теоремы 2 вытекает

Следствие. Группы Шевалле типа Ее, Е-[, Е% над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными.

Результаты главы 2 наглядно представлены в таблице 1, в которой для каждого типа (исключая типы 2 В2 и 2 Р^) явно выписаны представители каждого класса сопряженных регулярных унипотентных элементов группы лиева типа над конечным полем К и указано, является ли данный класс строго вещественным. Для групп нормального типа г] 6 К и многочлен X2 + X + г) неприводим в кольце А^Х]. Со скрученными группами типа 2Ац, 2Ац-1, 2 Д+ь 2Ее, 3-04 мы ассоциируем системы корней типа С;, £?;, 02 соответственно и в этих случаях т] € Ко к многочлен X2 + X + ч неприводим в кольце Ко М-

Таблица 1.

тип представители классов сопряженных

группы регулярных унипотентных элементов

Ли 1 > 1 !)*«( )...х„(1) +

{> 2 1)«п( )...«п(х) +

/ > 1 1КЛ )...хГ1.1(1)хР1(1,4) -

В,, 1 > 2 хп !)**( )...хг,(1) +

хп ).--Хг,(1)хг,_1+2г,(г?) +

с,,1>2 Х,л )...хп(1) +

х,-, )...ХГ1(1)ХГ1+2Г,(Г7) +

Д, / > 4 1п )...х„,(1) +

Хг, ) ... хг,(1)хг, г+г,_1+гДт;) +

2А, ' > 4 *г, )•■ •*.,(!) +

хГ1 )...Хг,(1)Хг,_1+2г,(Г7) +

)хгз(1)хГ4(1) +

ХГ1 )хгз(1)хг4(1)хг1+2г3(т7) -

хГ1 )хгз(1)хг1(1)хг2+2г1+2г<('7) +

)хгз(1)хг4(1)хг2+2г1(1?)1г2+2г,+2г«(г/) -

Ев х^ )хгз(1)хг5(1)хг,(1)хгб(1) +

)хгз(1)хг5(1)хгз+г<+г5(>7)хг1(1)хг|!(1) -

Ег 1)*ч( )хг2(1)х^(1)хге(1)хгт(1)хг1(1) +

1)«Г4( )хг2(1)хг2+г,+г,()7)хг5(1)1гв(1)хг1(1)хг1(1) -

*г3 1)*г,( )хга(1)хг5(1)хгб(1)хгз+,.3+г<+г5+гб(7;)гг7(1)хг1(1) +

^гз 1К„( )хгз(1)хг2+га+г4(»у)хг!1(1)хгв(1)хгг+гз+т.4+г5+т.в(7})хг7(1)хг1 (1) -

Е* 1)*г«( )хГа(1)хга(1)хге(1)хгт(1)хп(1)хг>(1) +

!)*-.( )хга(1)хг1+гз+г<(>7)хг5(1)х^(1)хтт(1)1г1(1)хгв(1) -

1)*г4( )хгз(1)хгб(1)хгб(1)хга+гз+г4+г5+гб(1;)хгт(1)хг1(1)хг8(1) +

)хг;1(1)хг1+г;,+г4(7г)хгз(1)хг(>(1)хга+гз+г4+г5+г„(г;)хгт(1)хп -

)хгз(1)хг4(1) +

)ХГ1(1)ХГ;!+2гз(Т;)ХГ4(1) -

С2, 3£»4 ) +

)13г,+г,(Г/) +

2В2 »1. 9г -

51, 32, </3, 91 -

В главе 3 приводится доказательство теоремы 1. В §3.1 рассматриваются группы больших рангов и исключительные группы лиева типа. При доказательстве теоремы 1 для групп больших рангов используется пример унитреуголыюй матрицы А размерности 13 х 13 над полем GF(2) И.M. Айзэкса и Д. Карагуиузяна [14], которая не сопряжена со своей обратной. Для исключительных групп типа Ее,2 Ее, Е-?, Es, F4 утверждение теоремы 1 выводится из доказательства теоремы 2, в котором для конкретных регулярных унипотентных элементов устанавливалось, что они не являются строго вещественными, при этом на основное поле К накладывалось только следующее ограничение: многочлен Х- + X + 77 неприводим в кольце К\Х\ для некоторого т] £ К. В §3.2 приводится доказательство теоремы 1 для групп малых рангов, а именно, для групп лиева типа ранга I < 4 и для типа Л/ при I < 6. Каждый из типов рассматривается отдельно, хотя схема доказательства общая.

Автор выражает благодарность научному руководителю доктору ф.-м. наук, профессору Я.Н. Нужину за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.

Список литературы

[1] Gow R. Products of two involutions in classical groupe of characteristic 2 // J.Algebra. 1981. V. 71. P. 583-591.

[2] Elers E.W., Nolte W. Bireflectional of orthogonal and symplectic groups // Arch. Math. 1982. V. 39. P. 113-118.

[3] Gow R. Commutators in the symplectic group // Arch. Math. 1988. V. 50. P. 204-209.

[4] Baginski С. On sets of elements of the same order in the alternating group A„ U Publ.Math. 1987. V. 34. P. 313-315.

[5] Kolesnikov S.G.. Nuzhin Ya.N. On strong reality of finite simple groups // Acta Appl. Math. 2005. V. 85, № 1-3. P. 195-203.

[G] Tiep P.H., Zalcsskii A.E. Real conjugacy classes in algebraic groups and ; finite groups of Lie type// J.Group Theory. 2005. V. 8. P. 291-315.

[7] Бурбяки H. Группы и алгебры Ли. VII-VIII. Москва: Мир, 1978.

[8] Carter R. VV. Simple groups of lie type. London: Wiley and Sons, 1972.

[9] Борель А. и др. Семинар по алгебраическим группам. Москва: Мир, 1973.

[10] Carter R. W. Finite groups of Lie type. London: Wiley and Sons, 1985.

[11] Mizuno K. The conjugate classes of unipotent elements of the Chevalley groups E7, Es // Tokyo J. Math. 1980. V. 3, № 2. P. 391-459.

[12] Tiep P.H., Zalesskii A.E. Unipotent elements of finite groups of Lie type and realization fields of their complex representations // J.Algebra. 2004. V. 271. P. 327-390.

[13] Shinoda K. The conjugacy classes of Chevalley groups of type F\ // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1974. V. 21. P. 133-159.

[14] Isaacs I.M., Karagneuzian D. Conjugacy in groups of upper triagular matrices // J.Algebra. 1998. V. 202. P. 704-711.

[15] Isaacs J.M., Karagueuzian D. Erratum (Isaacs I.M., Karagueuzian D. Conjugacy in groups of upper triagular matrices // J.Algebra. 1998. V. 202. P. 704-711.) // J.Algebra. 1998. V. 208. P. 722.

[16] Arregi J.M., Vera-Lopez A. Conjugacy classes in Sylow p-subgroups of GL(n,q) Ц J.Algebra. 1992. T. 152. C. 1-19.

[17] Arregi J.M., Vera-Lopez A. Some algorithms for the calculation conju-gacy classes in the Sylow p-subgroups of GL(n,q) // J.Algebra. 1995. V. 177. P. 899-925.

[18] Arregi J.M., Vera-Lopez A. Computing in unitriangular matrices over finite fields // Linear algebra and its applications. 2004. V. 387. P. 193219.

[19] Djokovic D.Z. Product of two involutions// Arch.Math. 1967. V. XVIII. P. 582-584.

[20] Коуровская тетрадь// Новосибирск, CO РАН ИМ, 2002.

[21] Коуровская тетрадь// Новосибирск, СО РАН ИМ, 2006.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[22] Газданова М.А., Нужин Я.Н. Об унипотентных подгруппах групп лиева типа// Сборник материалов международной конференции: "Алгебра, логика и кибириетика". Иркутск, 2004, С. 241.

[23] Газданова М.А. О строгой вещественности унитреугольпых подгрупп матриц над полем характеристики 2// Сборник материалов всероссийской конференции: "Молодежь и наука". Красноярск: ИПЦ, КГТУ, 2005, С. 62-64.

[24] Газданова М.А., Нужин Я.II. О строгой вещественности унипотентных подгрупп групп лиева тииа над полем характеристики 2 // Международная алгебраическая конференция: Тезисы докладов. Екатеринбург, 2005, С. 46—47.

[25] Газданова М.А., Нужин Я.Н. О регулярных унипотентных элементах групп лиева типа над полем характеристики 2//

Международная алгебраическая конференция "Классы групп и алгебр": Тезисы докладов. Гомель, 2005, С. 5&-60.

[20] Газдапова М.А. О строгой вещественности группы унитреугольных матриц размерности 6x6 над полем характеристики 2// Algebra and Model Theory. Novosibirsk: NSTU, 2005, T. 5, C. 44-53.

[27] Газдапова М.А. О строгой вещественности группы унитреугольных матриц размерности 7x7 над полем характеристики 2 // Вестник КрасГУ: физ.-мат. науки. Красноярск, 2006, №7, С. 43-53.

[28] Газдапова М.А., Нужин Я.Н. О строгой вещественности упипотентных подгрупп групп лиева типа над полем характеристики 2 // Сибирский математический журнал, 2006, №5 (в печати).

Подписано в печать 30.05.06. Формат 60x84 1/16. Тираж 100 экз. Заказ № 432.

Отпечатано в ИП Азарова H.H. 660125, г. Красноярск, ул. 9 Мая, 58-164, тел. 53-49-14.

Введение

1 Обозначения и предварительные результаты

1.1. Обозначения в группах лиева типа.

1.2. Свойства строго вещественных групп.

2 Регулярные унипотентные элементы

2.1. Предварительные леммы.

2.2. Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов

3 Доказательство основной теоремы

3.1. Исключительные группы и группы больших рангов

3.2. Группы малых рангов.

Нормальные и скрученные группы лиева типа являются естественным обобщением классических линейных групп. Группа UTn(K)— группа верхних унитреугольных п х п - матриц над кольцом К и ее аналоги для других групп лиева типа представляют особый интерес, в частности, как силовские р -подгруппы, когда К—поле характеристики р. Подгруппа UTn(K) и унипотентные подгруппы групп лиева типа изучались многими авторами с разных сторон: абелевы подгруппы наивысшей размерности, нормальные подгруппы, группы автоморфизмов, элементарная эквивалентность и др. С другой стороны сама группа UTn(K) и ее предельные случаи являются неиссякаемым источником различных примеров.

Основным объектом исследований в диссертации являются унипотентные подгруппы групп лиева типа над полем характеристики 2.

Элемент группы G назовем вещественным (строго вещественным), если он сопряжен некоторым элементом (некоторой инволюцией) из G со своим обратным элементом. Все комплексные характеры принимают на вещественных элементах вещественные значения. Группа G называется вещественной (строго вещественной), если все ее элементы вещественны (если все ее неединичные элементы строго вещественны). Отметим, что вещественность (строгая вещественность) всей группы не влечет вещественность (строгую вещественность) ее подгруппы.

В 1995 г. A.A. Кириллов высказал гипотезу, о вещественности характеров унитреугольной группы UTn(K) над полем К = GF{2), т.е. гипотезу о вещественности группы UTn(2). При п < 12 А. Вера-Лопэз и Дж.М. Арреги, опираясь на свои результаты [16, 17], установили вещественность группы UTn(2). В 1998 г. И.М. Айзеке и Д. Карагуиузян [14] привели пример матрицы А из группы UTiz(2), которая не сопряжена в группе UT\2,{2) со своей обратной, тем самым гипотеза A.A. Кириллова при п > 13 была опровергнута. Как выяснилось позже, в группе UT\z(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов с представителями Ап А *) [18].

В силу результатов Д.З. Джоковича [19] (1967 г.) , П.Х. Тьепа и А.Е. Залесского [6] (2005 г.) в общей линейной группе GLn(2m) все уни-потентные элементы являются строго вещественными. В [19] доказано, что в GLn(K) для любого поля К все вещественные элементы являются строго вещественными, а в [6] утверждается, что все унипотент-ные элементы из специальной линейной группы SLn(2m) вещественны. С другой стороны, Р. Гов [1] (1981 г.) доказал строгую вещественность симплектической группы PSp2n{K) для любого поля К характеристики 2. Учитывая этот результат Р. Гова и указанный выше пример матрицы И.М. Айзекса и Д. Карагуиузяна получаем, что в силовской 2-иодгруппе S2 строго вещественной группы PSp2n{2m) при п > 14 существует элемент, который не является вещественным в подгруппе 5г.

Я.Н. Нужин записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Какие унипотентные погруппы (силовские 2-подгруппы) групп лиева типа над полем характеристики 2 являются строго вещественными [21, вопрос 16.76].

Одним из основных результатов работы является

Теорема 1. Пусть U — унипотентная подгруппа группы лиева типа G ранга I над полем К характеристики 2.

Подгруппа U не является строго вещественной если:

1) тип G равен 2Á2i, I > l, 2В2, 2F±;

2) I > 13 и тип G равен A¡-i, B¡, Q, Di, 2A2i-i, 2Di+ц

3) в поле К существует элемент r¡ такой, что многочлен X2+X+r¡ неприводим в К[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен F4, Eq, £7,

4) в подполе неподвиэюных элементов Kq существует элемент щ такой, что многочлен X2 + X + щ неприводим в Kq[X] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен 2Eq.

Подгруппа U является строго вещественной, если I < 4 и тип G отличен от типов из пунктов 1), 3), 4) или тип G равен Ai и I = 5,6.

Из формулировки теоремы 1 следует, что получен ответ на указанный выше вопрос 16.76 для классических групп лиева ранга I при I < 4 и I > 13 , а для типа Ai и при / = 5,6, над произвольным полем характеристики 2, и исключительных групп лиева типа над полем К характеристики 2, в котором существует элемент r¡ такой, что многочлен X2+X+r¡ неприводим в К[Х] или (в частности, если К — конечное поле).

При исследовании вопроса 16.76 принципиально важно и полезно знать являются ли строго вещественными регулярные унипотентные элементы?

По определению регулярными унипотентными элементами в группе лиева типа (7, ассоциированной с фундаментальной системой корней П = {гь Г2,., г;}, являются элементы, сопряженные с элементами вида хГ1 г щ). .Х8к(ик), и ф О, Т{< ву

В частности, если группа С? типа А[, то регулярным элементом является элемент, приводимый к нормальной жордановой форме с одним блоком. Основным результатом главы 2 является следующая

Теорема 2. Пусть (2 — группа лиева типа над конечным полем характеристики 2.

1) В группе (7 типа А\, 2Л2/-ъ В/, Сг, Д, 2Д, 3£>4, С?2 все регулярные унипотентные элементы строго вещественны.

2) В группе С типа М2ь 252, все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны.

3) Группа С? типа 2Е6 содержит один класс строго вещественных и один класс не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.

4) Группа (7 типа Ет, Е&, ^ содержит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.

По теореме 2 группы типа 2Л2/, I > 1, 2#2, 2Ее, Ее, В?, Е& над конечным полем характеристики 2 содержат хотя бы один не строго вещественный класс сопряженных регулярных унипотентных элементов. Таким образом, из теоремы 2 вытекает

Следствие. Группы Шевалле типа I > 1, 2£2> F4, 2Л?6, Ее, Еъ Е8 над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными.

В 1999 г. А.И. Созутов записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [20, вопрос 14.82]. Отметим, что конечная простая группа является строго вещественной тогда и только тогда, когда каждый ее элемент представим в виде произведения двух инволюций.

Вопрос о строгой вещественности отдельных классов конечных простых групп рассматривался и ранее. К. Багински [4] (1987 г.) доказал, что знакопеременная группа Ап, п > 5, строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5, б, 10,14; строгую вещественность симплектиче-ской группы ) установили Р. Гов при q = 2т [1] (1981) и при д = 1 {той 4) [3] (1988 г.) и Э.В. Элерс и В. Нольт при д = 2т [2] (1982 г.); в [5] (2005 г.) С.Г. Колесников и Я.Н. Нужин доказали, что среди спорадических групп только две группы Янко «Д и Зч являются строго вещественными, там же было установлено, что группы Р5Хп(д), п > 3, Р5С/п(д), п > 3, Р8р2п{(1) при п > 1 и д = 3{той 4), а также некоторые ортогональные группы и некоторые исключительные группы лиева типа не являются строго вещественными. В 2005 г. П.Х. Тьеп и А.Е. За-лесский [6] показали, что все исключительные группы лиева типа над любым конечным полем не являются даже вещественными. Таким образом, вопрос о строгой вещественности конечных простых групп (следовательно, и вопрос 14.82) остается открытым только для некоторых ортогональных групп.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Опишем содержание диссертации по главам.

1. Gow R. Products of two involutions in classical groups of characteristic 2 11 J. Algebra. 1981. V. 71. P. 583-591.

2. Elers E.W., Nolte W. Bireflectional of orthogonal and symplectic groups 11 Arch. Math. 1982. V. 39. P. 113-118.

3. Gow R. Commutators in the symplectic group // Arch. Math. 1988. V. 50. P. 204-209.

4. Baginski C. On sets of elements of the same order in the alternating group An // Publ.Math. 1987. V. 34. P. 313-315.

5. Kolesnikov S.G., Nuzhin Ya.N. On strong reality of finite simple groups 11 Acta Appl. Math. 2005. V. 85, № 1-3. P. 195-203.

6. Tiep RH., Zalesskii A.E. Real conjugacy classes in algebraic groups and finite groups of Lie type// J.Group Theory. 2005. V. 8. P. 291-315.

7. Вурбаки H. Группы и алгебры Jin. VII-VIII. Москва: Мир, 1978.

8. Carter R.W. Simple groups of lie type. London: Wiley and Sons, 1972.

9. Борель А. и др. Семинар по алгебраическим группам. Москва: Мир, 1973.

10. Carter R.W. Finite groups of Lie type. London: Wiley and Sons, 1985.

11. Mizuno K. The conjugate classes of unipotent elements of the Chevalley groups E7, Es // Tokyo J. Math. 1980. V. 3, № 2. P. 391-459.

12. Tiep P.H., Zalesskii A.E. Unipotent elements of finite groups of Lie type and realization fields of their complex representations // J.Algebra. 2004. V. 271. P. 327-390.

13. Shinoda K. The conjugacy classes of Chevalley groups of type F4 // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1974. V. 21. P. 133-159.

14. Isaacs I.M., Karagueuzian D. Conjugacy in groups of upper triagular matrices // J.Algebra. 1998. V. 202. P. 704-711.

15. Isaacs I.M., Karagueuzian D. Erratum (Isaacs I.M., Karagueuzian D. Conjugacy in groups of upper triagular matrices // J.Algebra. 1998. V. 202. P. 704-711.) // J.Algebra. 1998. V. 208. P. 722.

16. Arregi J.M., Vera-Lopez A. Conjugacy classes in Sylow p-subgroups of GL{n,q) // J.Algebra. 1992. T. 152. C. 1-19.

17. Arregi J.M., Vera-Lopez A. Some algorithms for the calculation conjugacy classes in the Sylow p-subgroups of GL(n,q) // J.Algebra. 1995. V. 177. P. 899-925.

18. Arregi J.M., Vera-Lopez A. Computing in unitriangular matrices over finite fields // Linear algebra and its applications. 2004. V. 387. P. 193— 219.

19. Djokovic D.Z. Product of two involutions// Arch.Math. 1967. V. XVIII. P. 582-584.

20. Коуровская тетрадь// Новосибирск, CO РАН ИМ, 2002.

21. Коуровская тетрадь// Новосибирск, СО РАН ИМ, 2006.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

22. Газданова М.А., Нужин Я.Н. Об унипотентных подгруппах групп лиева типа// Сборник материалов международной конференции: "Алгебра, логика и кибирнетика". Иркутск, 2004, С. 241.

23. Газданова М.А. О строгой вещественности унитреугольных подгрупп матриц над полем характеристики 2// Сборник материалов всероссийской конференции: "Молодежь и наука". Красноярск: ИПЦ, КГТУ, 2005, С. 62-64.

24. Газданова М.А., Нужин Я.Н. О строгой вещественности унипотентных подгрупп групп лиева типа над полем характеристики 2 // Международная алгебраическая конференция: Тезисы докладов. Екатеринбург, 2005, С. 46-47.

25. Газданова М.А., Нужин Я.Н. О регулярных унипотентных элементах групп лиева типа над полем характеристики 2// Международная алгебраическая конференция "Классы групп и алгебр": Тезисы докладов. Гомель, 2005, С. 59-60.

26. Газданова М.А. О строгой вещественности группы унитреугольных матриц размерности 6x6 над полем характеристики 2// Algebra and Model Theory. Novosibirsk: NSTU, 2005, T. 5, C. 44-53.

27. Газданова М.А. О строгой вещественности группы унитреугольных матриц размерности 7x7 над полем характеристики 2 // Вестник КрасГУ: физ.-мат. науки. Красноярск, 2006, №7, С. 43-53.

28. Газданова М.А., Нужин Я.Н. О строгой вещественности унипотентных подгрупп групп лиева типа над полем характеристики 2 // Сибирский математический журнал, 2006, №5 (в печати).