Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами

Колесников, Сергей Геннадьевич

Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Колесников, Сергей Геннадьевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами"

На правах рукописи

□ОЗОБ721

Колесников Сергей Геннадьевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЩЕВАЛЛЕ НАД ПОЛЯМИ И КОНЕЧНЫМИ КОЛЬЦАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Левчук Владимир Михайлович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Бардаков Валерий Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Зенков Виктор Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Сучков Николай Михайлович

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 26 января 2007 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан декабря 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

Актуальность темы. В диссертации исследуются вопросы теории групп Шевалле над полем и конечными кольцами и смежные вопросы.

Группы Шевалле являются наиболее естественным обобщением классических линейных групп. Интерес к группам Шевалле произвольного типа над конечным полем вызывается тем, что они составляют основной массив конечных простых неабелевых групп, как показывает анонсированная классификация последних, и исчерпывают их вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами.

В теории конечных групп и при перенесении её результатов на периодические группы естественно возникают вопросы специальной порож-даемости конечных групп, вопросы о различных свойствах силовских подгрупп и так далее, см. известные обзоры С.А. Чунихина и Л.А. Ше-меткова, А.И. Кострикина, В.Д. Мазурова, A.C. Кондратьева и др. В диссертации рассматривается следующий, записанный А.И. Созутовым в Коуровской тетради, как известный, вопрос:

(А) Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [4, вопрос 14-82].

Группу, в которой любой элемент представим в виде произведения не более чем двух инволюций (это равносильно сопряженности элемента посредством инволюции со своим обратным), называют строго вещественной. Известно, что в конечной простой неабелевой группе любая инволюция лежит в четверной подгруппе. Поэтому вопрос (А) эквивалентен вопросу описания строго вещественных конечных простых групп.

Группу, в которой взаимно обратные элементы всегда сопряжены, называют вещественной, поскольку вещественны все значения её комплексных неприводимых характеров, согласно [1, стр. 54]. С другой стороны, конечную группу называют рациональной, если все значения её комплексных неприводимых характеров рациональны. Названным группам посвящена монография [24]. Их исследования в различных конкретных ситуациях, в частности, для групп Вейля (см. также вопрос о рациональности силовских 2-подгрупп симметрических групп S2», [4, вопрос 15.25]) приводят к следующей задаче.

(Б) Найти необходимые и достаточные условия свойств строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп.

Традиционно важное направление в теории классических групп и групп Шевалле — изучение автоморфизмов, гомоморфизмов и коммутаторного строения. Здесь достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций (О'Мира, Ю.И. Мерзляков, A.B. Михалёв, В.М. Петечук, И.З. Голубчик, Б.И. Зельманов, JI.H. Васерштейн, Б. Абэ и др.).

В группе Шевалле Ф(К), ассоциированной с системой корней Ф и полем или кольцом К, через 11Ф(К) обозначают унипотентную подгруппу, которую порождают корневые подгруппы, соответствующие всевозможным положительным корням; аналогично определяют унипотентную подгруппу UG(K) скрученного типа G. Унипотентная подгруппа является силовской р-подгруппой. когда основное поле конечно или характеристики р. Гиббс [21] описал автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле нормальных и скрученных типов над любым полем характеристики ф 2,3. Группы Шевалле над полем или кольцом К с необратимым элементом 2 или 3, как правило, оказываются исключительными и по свойствам, и по методам исследований.

Описание автоморфизмов унипотентных подгрупп групп Шевалле над полем завершил В.М. Левчук. В [5], [6], [7] установлено описание автоморфизмов унитреугольных групп UT(n, К) над (ассоциативным) кольцом К с единицей, а также унипотентных подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами, с ограничениями для малых рангов. В разложении произвольного автоморфизма группы 11Ф(К) использовались графовые, кольцевые, внутренние и диагональные автоморфизмы, выделявшиеся Стейнбергом [30], центральные автоморфизмы, действующие тождественно по модулю центра, а также введенные, как обобщение центральных, гиперцентральные автоморфизмы. Автоморфизм нильпотент-ной группы ступени п называют гиперцентральным, если для некоторого к < « он не является внутренним по модулю (к — 1)-го гиперцентра, а по модулю к-го гиперцентра действует тождественно.

Как выявилось в [5], группа Aut UT(n, 2), п ф 4, является 2-группой. Поэтому всякая конечная 2-группа изоморфно вложима в конечную 2-группу, у которой группа автоморфизмов также является 2-группой. Аналогичный результат для конечных р-групп с нечетным простым р вытекает, как следствие, из работы [12] М.В. Хорошевского. Используя группы матриц над кольцом Zрт классов вычетов целых чисел по модулю

рт, он дал положительный ответ на вопрос о существовании конечных р-групп с группой автоморфизмов, также являющейся р-группой.

В 1992 году В.М. Левчук поставил следующий вопрос.

(В) Описать автоморфизмы силовской р-подгруппы группы Шевалле нормального типа над кольцом 2рт, т > 1, где р — простое число, [4, вопрос 12.42].

Заметим, что при переходе к кольцу коэффициентов К = 2рт си-ловскую р-подгруппу группы Шевалле даёт произведение 1/Ф{К) на конгруэнц-подгруппу уровня ,/ = (р). При т = 1 силовская р-подгруппа группы Шевалле Ф(Жр,») совпадает с унипотентной подгруппой. Известно также, что силовская р-подгруппагруппы ОЬп(7,рт) изоморфна присоединенной группе кольца

Нп(К, Г) = МТп{К) 4- Мп(.7), К = 3 — (р),

где через А#п(<7) обозначается множество квадратных п х п матриц с элементами из идеала 3 кольца К.

В описании автоморфизмов групп 1/Ф(К) ключевым явился случай Ф = Ап или случай унитреугольных групп. Здесь существенно использовалось найденное структурное соответствие между лиевыми идеалами кольца нильтреугольных матриц МТп{К) и нормальными подгруппами его присоединенной группы; последняя изоморфна унитреугольной группе иТп(К). А именно, выявленно, что идеалы ассоциированного кольца Ли и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы.

Вопрос 10.19 из Коуровской тетради о характеризации радикальных колец с указанным структурным соответствием в общем случае остается открытым. В то же время Г.С. Сулейманова [9] показала, что радикальное кольцо Еп(К, ■/) (то есть с квазирегулярным идеалом </) обладает названным структурным соответствием только, когда 7 = (0) (и, следовательно, Яп(К. */) = ЫТп[К)). Именно, отсутствие названных структурных связей, как отмечалось в [26], создает дополнительные трудности в решении открытого вопроса об автоморфизмах; силовских р-подгрупп групп Шевалле над кольцом Ъ^п. В [26] была найдена группа автоморфизмов кольца Яп{К,./) или, что то же самое, пересечение группы авто-

морфизмов присоединённой группы кольца Яп(К, ,/) и группы автоморфизмов ассоциированного кольца Ли.

С линейными группами над кольцом связан и следующий открытый вопрос Б. Верфрица:

(Г) Найти все пары пит, при которых силовская р-подгруппа группы СЬп(Хр*) регулярна ([4, вопрос 8.3].

Регулярная р-группа введена Ф. Холлом. По определению, для любых двух её элементов а и Ь в коммутанте подгруппы {а, Ь) всегда найдётся элемент с с условием (аЬ)р — ар№ср. Регулярные р-группы дают классический пример зависимости свойств конечной р-группы от соотношений между р-ми степенями её элементов и коммутаторами.

С другой стороны, важную роль в последние годы, в частности, в теории про-р-групп стало играть введенное А. Манном в 1982 году понятие мощной р-группы. Конечную р-группу называют мощной, если для любых двух её элементов а и Ь коммутатор [а, Ь] разложим в произведение р-х степеней элементов группы при р > 2, а прир = 2 — четвёртых степеней. Как выявляется в [29], [27], [32], различные вопросы теории про-р-групп тесно связаны с соответствующими свойствами мощных р-групп.

Поэтому, наряду с вопросом (Г) в диссертации исследуется и более общая задача:

(Д) Выявить, какие силовские р-подгруппы групп Шевалле нормального типа над кольцом являются 1) регулярными и 2) мощными.

Цель работы. Основные результаты работы связаны, главным образом, с решением вопросов (А) — (Д):

1) найти основные элементарные автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Шевалле нормального типа над кольцом Ър™ и, доказав разложимость через них произвольного автоморфизма, получить решение вопроса

(В);

2) выявить для различных классов групп Шевалле нормального типа над кольцом Жрт а) условия регулярности и б) условия мощности силовских р-подгрупп;

3) завершить решение вопроса о строгой вещественности в классах простых конечных симплектических, унитарных, специальных линейных

и спорадических групп;

4) найти эффективный критерий рациональности и строгой вещественности сплетения конечных групп и разработать его приложения к си-ловским 2-подгруппам групп Вейля и классических линейных групп.

Методика исследования. Применяются как стандартные методы теории групп и коммутативной алгебры, так и специальные методы теории представлений, теории линейных групп и групп Шевалле.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут применяться в теории конечных групп, в различных вопросах, связанных со строением и представлениями классических групп и групп Шевалле. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2002-2006 гг.), "Алгебра и её приложения" (Красноярск, 2002 г.), "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003 г.), "Алгебра и кибернетика" (Иркутск, 2004 г.), алгебраических конференциях в Москве (1998, 2004 гг.) и Анталии (2004 г.), на международных семинарах по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.; Нальчик, 2006 г.). Они неоднократно обсуждались на Красноярском алгебраическом семинаре, на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" (ИМ СО РАН), на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МГУ и семинаре отдела "Алгебры и топологии" ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34]—[51].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав разбитых на 22 параграфа и списка литературы. Библиография содержит 75 наименований. Нумерация параграфов ведётся независимо для каждой главы. Нумерация теорем сквозная, другие утверждения и формулы имеют независимую нумерацию в каждой главе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации получены следующие основные результаты:

— доказана разложимость произвольного автоморфизма силовской р-подгруппы группы Шевалле над кольцом в произведение внутреннего, диагонального, графового автоморфизмов и гиперцентрального автоморфизма (решение вопроса 12.42 из Коуровской тетради и задачи (В));

— доказано, что силовская р-подгруппа группы ОЬпС^р™) регулярна при п2 < р и не является регулярной, если п ^ (р + 1)/2ит)2 (частичное решение вопроса Верфрица и задачи (Г));

— доказано, что силовская р-подгруппа группы Шевалле Ф(Жр,-) является мощной тогда и только тогда, когда т — 1 и Ф типа А\ (решение задачи (Д2)); установлена регулярность силовской ¿»-подгруппы при условии |Ф| + |П(Ф)| < р (частичное решение задачи (Д1))|

— выявлены все, за исключением некоторых ортогональных, простые классические конечные группы, которые являются строго вещественными (частичное решение вопроса 14.82 и задачи (А));

— найдены критерии строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп и приложения критериев к силовским 2-подгруппам знакопеременных групп, групп Вейля и классических линейных групп над конечным полем нечетной характеристики.

Перейдём к изложению содержания диссертации по главам.

В первой главе исследуется свойство строгой вещественности в конечных простых группах. Напомним, что конечную группу называют вещественной, если все значения характеров её комплексных неприводимых представлений вещественны. Как отмечалось выше, вещественность группы равносильна тому, что любой её элемент сопряжен со своим обратным. Группу называют строго вещественной, если каждый её элемент инвертируется инволюцией. Последнее условие равносильно тому, что каждый элемент группы представим в виде произведения не более чем двух инволюций. Группы с таким свойством ещё называют '2-рефлексивными (биинволютивными, если каждый элемент есть произведение ровно двух инволюций).

К.Багински доказал, что знакопеременная группа Ап (n ^ 5) строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5,6,10,14. В работах [22], [19], [23], [14] установлена строгая вещественность симплектической группы при q = 2m и q ~ 1 (mod 4), и доказано, что группа F^q) не является строго вещественной. Изучению перечисленных свойств в некоторых ортогональных группах посвящены работы Воненбургер [33], Фейт и Цукерманн [20].

Следующая, основная в первой главе, теорема закрывает вопрос (А) для простых проективных специальных линейных, симплектических, унитарных, знакопеременных и спорадических групп, а также для групп Судзуки и Ри.

Теорема 1. (а) Среди 26 спорадических групп только две группы Янко J\ и J-2 являются строго вещественными.

(б) Следующие простые группы лиева типа G(q) не являются строго вещественными.

(61) При любом q группы типа Ai (I ^ 2), 2 Л/ (I ^ 2), 2Вг, 2Gt-

(62) При 5 = 3 (mod 4) и I ^ 1 группы типа С;, Вц+\, Ду+г,

Е?.

(63) При нечетном q > 3 и I ^ 3 группы типа ¿bi-i-

(64) При q > 3 группы типа

Отметим, что в недавней работе [31] были перечислены все конечные квазипростые вещественные группы. Из неё, в частности, следует, что все группы исключительного лиева типа над конечным полем не являются вещественными, а значит, и строго вещественными.

Для групп лиева типа теорема доказывается в параграфах 2, 3. В доказательстве для спорадических групп, приведенном в §1, используется информация о характера?: и максимальных подгруппах этих групп из атласа конечных простых групп.

Результаты первой главы получены совместно с Я.Н. Нужиным и опубликованы в [39], [40], [46].

Во второй главе выявляются, прежде всего, условия рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп.

Известно, что группы Вейля являются строго вещественными, а значения всех их неприводимых комплексных характеров рациональны, см.

[2] и ссылки там же. В монографии [24] исследуются вопросы рациональности силовских 2-подгрупп в группах Вейля. В то же время, силовские 2-подгруппы групп Вейля и классических линейных групп над конечными полями нечетной характеристики строятся с помощью операции сплетения групп из специальных конечных групп. Это естественно приводит к необходимости поиска критериев рациональности и строгой вещественности сплетения конечных групп. Такие критерии устанавливают в §§ 1,2 следующие две теоремы, опубликованные в [48].

Теорема 2. Сплетение Н I К двух конечных неединичных групп Н и К является рациональной группой тогда и только тогда, когда Н — рациональная группа, а К — элементарная абелева 2-группа.

Теорема 3. Сплетение Н \ К двух конечных неединичных групп Н и К является строго вещественной группой тогда и только тогда, когда Н — строго вещественная группа, а К — элементарная абелева 2-группа.

Как приложения теорем 2 и 3, в теореме 4 из § 3 доказана строгая вещественность силовских 2-подгрупп групп Вейля и знакопеременных групп, а также передоказана их рациональность, установленная в [24]. Отметим, что в связи с вопросом 15.25 Я.Г. Берковича рациональность силовских 2-подгрупп симметрических групп передоказывалась другим способом автором [41] и Д.О. Ревиным [11].

В теоремах 5 и 6 из §4 устанавливается описание классических линейных групп с рациональными и строго вещественными силовскими 2-подгруппами. Пусть С? — одна из классических линейных групп ОЬп[д), Зр2„(д), ип{д), 02~„+1(<7) О^д) над полем нечётной характеристики.

Теорема 5. Силовская 2-подгруппа группы (? является рациональной тогда и только тогда, когда С = 5р2п(?), ^гп+гС?) или О^д) и НОД{д2- 1,16) -8.

Теорема 6. Силовская 2-подгруппа группы б является строго вещественной тогда и только тогда, когда С ортогональная группа оим или 0^п{д).

Результаты второй главы опубликованы в [41], [43], [44], [45], [48].

Центральным результатом диссертации является описание автомор-

физмов силовской р-подгруппы SФ(Zpm) группы Шевалле нормального типа Ф над кольцом 2рт вычетов целых чисел. Описание получено в третьей и четвёртой главах.

Автоморфизм нильпотентной группы ступени п называем гиперцентральным, если для некоторого к < п, называемого высотой, он не является внутренним по модулю (А; — 1)-го гиперцентра, а по модулю к-го гиперцентра действует тождественно. Гиперцентральные автоморфизмы обобщают центральные, то есть действующие тождественно по модулю центра. Если все константы из коммутаторной формулы Шевалле обратимы, ступень нильпотентности группы 5Ф(2рт) равна тк — 1. Как правило, в других случаях ступень ниже, но всегда ^ (га — 1)Л.

Центральным результатом главы 3 является следующая

Теорема 7. Всякий автоморфизм группы когда Ф ранга

больше 2, является произведением внутреннего, диагонального, графового и (явного) гиперцентрального высоты ^ /г автоморфизма (К - число Кокстера Ф).

Описание автоморфизмов групп 5Ф(2р™) ранга 1 и 2 указывают теоремы 8-11 в главе 4.

Ключевым для описания автоморфизмов является доказательство предложения 2 (в § 3 главы 3) и леммы 2 (в § 1 главы 4) о характеристичности в группе 5Ф(2р»>) конгруэнц-подгруппы уровня Jl = (р1), 1 ^ I ^ т, т.е. ядер естественных гомоморфизмов Ф(2рг») —> Ф(2р.). Факторгруппа группы й'Ф^р.п) по конгруэнц-подгруппе изоморфна ¿>Ф(Хр<) и поэтому описание автоморфизмов оказалось возможным вести индукцией по показателю т. Доказательство характеристичности коигруэнц-подгрупп использует известное описание нижнего центрального ряда группы 5Ф(2р™) в работе В.М. Левчука [8], когда константы из коммутаторной формулы Шевалле обратимы, и в работе автора [36] для исключительных случаев.

Теоремы 7-11 решают задачу (В) и дают ответ на вопрос 12.42 из Коуровской тетради.

В связи с вопросом, изучавшимся М.В. Хорошевским (см. также [5, следствие 2]), отметим, что доказанные теоремы дают новые примеры 2-групп, которых группа автоморфизмов также является 2-группой. А

именно, из теорем 7-11 вытекает

Следствие 1. Группа автоморфизмов силовской 2-подгруппы З'Ф^гт) при т > 1, Ф ф £?4, является 2-группой.

Результаты третьей и четвёртой глав опубликованы автором в работах [35], [36], [42], [49], [50].

Последняя глава диссертации посвящена исследованию задач (Г) и (Д) о регулярных и мощных силовских р-подгруппах групп ОЬп{Ърт) и групп Шевалле над тем же кольцом.

Конечная р-группа Р называется регулярной, если для любых двух её элементов а и Ь и любого п —ра имеет место равенство

(аЬ)п = а-Ь-ЯГ ...

где 51,... ,— подходящие элементы коммутанта подгруппы, порожденной элементами а и Ь. Свойство регулярности наследуется подгруппами и фактор-группами. Известно также, что условие регулярности группы Р эквивалентно следующему более простому для проверки свойству: для любых двух элементов а,Ь Е Р имеет место равенство

арУ = {аЬ)рЗр, 5б<а,Ь>'.

Частичный ответ на вопрос Верфрица [4, вопрос 8.3] (см. также задачу 4 (Г)) в §1 главы 5 даёт

Теорема 12. Силовская р-подгруппа группы СЬп(Хр™) регулярна при п2 < р и не является регулярной, если п ^ (р + 1)/2 и т ^ 2.

Как показал Ю.И. Мерзляков [10], силовская р-подгруппа Рп{Хрт) группы ОЬп(Хрт) нильпотентна ступени тп — 1 и, следовательно, она регулярна при тп < р, в силу известных свойств регулярных групп. Отсюда и из теоремы 12 вытекает полное решение вопроса (Г) для п — 2. Работа [13] даёт решение вопроса Верфрица для т = 1. Вопрос остаётся открытым в оставшихся случаях, когда

2п — 1 < р ^ п2, п > 2, т > 2, тп ^ р.

Существенную роль в доказательстве теоремы 12 играют обобщенные конгруэнц-подгруппы Е + Мп(к): аналогичные ковровым подгруппам из

[10], которые строятся по функции fn(i,j,k) = — [(j — i — к)/п] ([х] — целая часть числа х) и fn{i, j, к)-м степеням идеала J. (Отметим, что Мп(к) есть к-я степень кольца Rn{Zpm, J).) Наряду со свойствами обобщенных конгруэнц-подгрупп (леммы 1 и 2 из § 1 главы 5), используется следующая лемма 1.2.11 из [27].

Лемма 3. Конечная р-группа G регулярна, если |G : Gp\ < pf.

В главе 5 выявлены также все пары п, т, для которых группа P„(Zpm) является мощной.

Теоремы 13 и 14 главы 5 дают решение задачи (Д2) и частичное решение задачи (Д1). Они дают достаточное условие регулярности силовской р-подгруппы БФ(Zpm) в группе Шевалле над кольцом Zp™, а также необходимые и достаточные условия её мощности.

Теорема 13. Силовская р-подгруппа ЗФ(ЖГ,™) является регулярной, если |Ф| + ]П(Ф)| < р.

Теорема 14. Группа Рп{Zpm) является мощной тогда и только тогда, когда п = 2 и т ~ 1. Группа >^>(Zpm) является мощной тогда и только тогда, когда Ф = и rri = 1.

Результаты главы 5 опубликованы автором в работах [38], [44], [49].

При написании диссертации автор пользовался поддержкой гранта Президента РФ (код проекта МК-1133.2005.1), грантов Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 03-01-00905, 06-0100824) и Красноярского краевого фонда науки (код проекта 15G090).

Список литературы

[1] Белоногое В.А., Представления и характеры в теории конечных групп. Ид-во УрО РАН, Свердловск, 1990.

[2] Картер Р., Классы сопряженных элементов в группе Вейля //в кн. "Семинар по алгебраическим группам", М., Мир, 1973.

[3] Кондратьев A.C., Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук, Т. 41, №1 (1986), с.57-96.

[4] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 15-е изд., Новосибирск.: ИМ СО РАН, 2002.

[5] Левчук В.М., Связи унитреуголыюй группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. журнал, Т. 24, №4 (1983), с.63-80.

[6] Левчук В.М., Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика, Т. 29, №2 (1990), с.141-161.

[7] Левчук В.М., Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевал-ле // Алгебра и логика, Т. 29, №3 (1990), с.315-338.

[8] Левчук В.М., Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле // Укр. мат. журн., Т. 44, №6 (1992), с.786-795.

[9] Левчук В.М., Сулейманова Г. С., Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K, J) // Сиб. мат. журнал, Т. 43, m (2002), с.418-437.

[10] Мерзляков Ю.И., Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп // Алгебра и логика, Т. 3, №4 (1964), с.49-53.

[11] Ревип Д. О., Характеры групп вида X ¡ Zv // Сиб. электрон, матем. изв., Т. 1 (2004), 110-116, (http://semr.math.nsc.ru)

[12] Хорошевский М.В., О группах автоморфизмов конечных р-групп // Алгебра и логика, 10, №1 (1971), с.81-86.

[13] Ягжев A.B., О регулярности силовских подгрупп полных линейных групп над кольцами вычетов // Мат. заметки, Т. 56, №6 (1994), с.106-116.

[14] Austin С., Nolle IV., Products of invoutions in the finite Chevalley groups of type F4{K) // Commun, in Algebra, V. 30, №8 (2002), p.4019-4029.

[15] Baginski C., On sets of elements of the same order in the alternating group An 11 Publications Math., V.34 (1987), p.313-315.

[16] Baumslag G., Wreath products and p-groups // Proc. Camb. Phil. Soc., V. 55 (1959), p. 224-231.

[17] Carter R., Simple groups of Lie type, New York, Wiley and Sons, 1972.

[18] Carter R., Fong P., The Sylow 2-Subgroups of the Finite Classical Groups// J. Algebra, V. 1 (1964), p. 139-151.

[19] Ellers E.W., Nolte IV., Bireflectionality of orthogonal and symplectic groups // Arch. Math., V. 39 (1982), p.113-118.

[20] Feit W., Zuckermartn G.J., Reality proerties of conjugacy casses in spin groups and symplectic groups // Contemp. Math., V. 13 (1982), p.239-253.

[21] Gibbs J. A., Automorphisms of certain unipotent groups //J. Algebra, V. 14, m (1970), p.203-228.

[22] Gow R., Products of two involutions in classical groups of characteristic 2 // J.Algebra, V. 71 (1981), p.583-591.

[23] Gow R., Commutators in the symplectic group // Arch. Math., V. 50 (1988), p.204-209.

[24] Kletzing D., Structure and representations of Q-groups. Lect. Notes in Math., 1084, Springer, Berlin, 1984.

[25] Knuppel F., Thomsen G., Invoution and commutators in orthogonal groups // J. Austral. Math. Soc., Ser. A, V. 65, №1 (1998), p.1-36.

[26] Kuzucuoglu F., Levchuk V.M., The automorphism group of certain radical matrix rings // J. Algebra, V. 243 (2001), p.473-485.

[27] Leedham-Green C.R., McKay S., The Structure of Groups of Prime Power Order. Oxford University press, 2002.

[28] Libek H., Concerning nilpotent wreath products // Proc. Camb. Phil. Soc., V. 58 (1962), p.443-451.

[29] Lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups. I: finite groups, II: p-adic analytic groups // J. Algebra, V. 105, №2 (1987), p.484-505.

[30] Steinberg R., Automorphisms of finite linear groups // Canad. J. Math., V. 12 (1960), p.606-615.

[31] Tiep P.H., Zalesski A.E., Real conjugacy classes in algebraic groups of Lie type // J. Group Theory, V. 8, №6 (2005), p.291-315.

[32] Wilson L.E., The power-commutator structure of certain finite p-groups // J. Group Theory, V. 7, №1 (2004), p.75-80.

[33] Wonenburger M.J., Transformation which are products of two invoutions // J. of Math, and Mech.,V. 16, №4 (1966), p.327-338.

Работы автора по теме диссертации:

[34] Колесников С.Г., Левчук В.М., Коммутаторные и центральные ряды обобщенных конгруэнц-подгрупп // Международная конференция по алгебре: Тез. докл. Санкт-Петербург: СПбГУ, 1997, с.87.

[35] Колесников С.Г., Нижние центральные ряды силовских 2-подгрупп симплектической и ортогональной групп над кольцом Z-¡™. // Алгебра и логика, Т. 37, №4 (1998), с.413-431.

[36] Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-падгрупп групп Ше-валле над кольцами вычетов // Международная конференция по алгебре: Тез. докл. Москва: МГУ, 1998, с.180-181.

[37] Колесников С.Г., Левчук В.М., Обобщенные конгруэнц-подгруппы групп Шевалле // Сиб. мат. журнал, Т. 40, №2 (1999), с.336-351.

[38] Колесников С.Г., О регулярности силовских р-подгрупн групп GLn(Zpг») // Исследования по математическому анализу и алгебре: Выпуск 3, Томск: ТГУ, 2001 с.117-124.

[39] Колесников С.Г., Нужин Я.Н., Биинволютивность конечных простых групп // Международная конференция "Алгебра и её приложения": Тез. докл. Красноярск: КрасГУ, 2002, с.64.

[40] Колесников С.Г., Нужин Я.Н., Строгая вещественность конечных простых групп // V Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тез. докл. Тула: ТГПУ, 2003, с.134-135.

[41] Колесников С.Г., О рациональности значений комплексных характеров силовских 2-подгрупп симметрических групп 5г» // Algebra and Model Theory, вып 4, Новосибирск: НГТУ, 2003, с.44-46.

[42] Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле, определенных над кольцами вычетов целых чисел // Алгебра и логика, Т. 43, №1 (2004), с.32-59.

[43] Колесников С.Г., О рациональности и строгой вещественности силовских 2-подгруип групп Вейля и знакопеременных групп // Международная алгебраическая конференция: Тез. докл., Москва: МГУ, 2004, с.74-75.

[44] Kolesnikov S.G., Several problems about p—groups // Proceed. Int. Conf. "VI Antalya Algebra Days". Istanbul: Bilgi Univ., 2004,

[45] Колесников С.Г., О рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп /'/ Алгебра, логика и кибернетика: материалы международной конференции: Иркутск, 2004, с. 241-242.

[46] Kolesnikov S.G., Nuzhin Ya.N., On strong reality of finite simple groups // Acta Appl. Math. V. 85, (2005), c.195-203.

[47] Колесников С.Г., О рациональности и строгой вещественности силовских 2—подгрупп групп Вейля и знакопеременных групп // Алгебра и логика, Т.44, №1 (2005), с.44-53.

[48] Колесников С.Г., О рациональности и 2-рефлексивности сплетений конечных групп // Математические заметки, Т.80, вып. 3 (2006), с. 395-402.

[49] Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле малых рангов над кольцом Zpm // Известия Гомельского университета, №3 (2006), с.137-146.

[50] Колесников С.Г., О регулярных силовских р-подгруппах групп Ше-валле над кольцом Zp™ // Сиб. мат. журнал, Т.47, Ле6 (2006), с.1289-1295.

[51] Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле над р-примарными кольцами вычетов целых чисел // Фунд. и ггрикл. математика, Т.12, вып. 8 (2006), с.121-158.

Подписано в печать и т icocr Формат 60x84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. /'Л* Тираж WC Заказ ¿н-7-

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Колесников, Сергей Геннадьевич

Введение

Глава 1. Огой вещественности конечных простых групп

§1. Спорадические группы.

§2. Основные леммы для групп лиева типа.

§3. Доказательство основной теоремы для групп лиева типа

Глава 2. О рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп

§1. Критерий рациональности сплетения конечных групп

§2. Критерий строгой вещественности сплетения конечных групп.

Введение диссертация по математике, на тему "Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами"

В диссертации исследуются вопросы теории групп Шевалле над полем и конечными кольцами и смежные вопросы.

В теории конечных групп и при перенесении её результатов на периодические группы естественно возникают вопросы специальной порождаемое™ конечных групп, вопросы о различных свойствах силовских подгрупп и так далее, см. известные обзоры С.А. Чунихина и JI.A. Ше-меткова, А.И. Кострикина, В.Д. Мазурова, A.C. Кондратьева и др. В диссертации рассматривается следующий, записанный А.И. Созутовым в Коуровской тетради, как известный, вопрос:

А) Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [10, вопрос Ц.82'].

Группу, в которой взаимно обратные элементы всегда сопряжены, называют вещественной, поскольку вещественны все значения её комплексных неприводимых характеров, согласно [3, стр. 54]. С другой стороны, конечную группу называют рациональной, если все значения её комплексных неприводимых характеров рациональны. Названным группам посвящена монография [43]. Их исследования в различных конкретных ситуациях, в частности, для групп Вей ля (см. также вопрос о рациональности силовских 2-подгрупп симметрических групп ¿>2", [10, вопрос 15.25]) приводят к следующей задаче.

Б) Найти необходимые и достаточные условия свойств строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп.

Традиционно важное направление в теории классических групп и групп Шевалле — изучение автоморфизмов, гомоморфизмов и коммутаторного строения. Здесь достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций (О'Мира, Ю.И. Мерзляков, A.B. Михалёв, В.М. Петечук, И.З. Голубчик, Е.И. Зельманов, JI.H. Васерштейн, Е. Абэ и др.).

В группе Шевалле Ф(К), ассоциированной с системой корней Ф и полем или кольцом К, через U$(K) обозначают унипотентную подгруппу, которую порождают корневые подгруппы, соответствующие всевозможным положительным корням; аналогично определяют унипотентную подгруппу UG(K) скрученного типа G. Унипотентная подгруппа является силовской р-подгруппой, когда основное поле конечно или характеристики р. Гиббс [36] описал автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле нормальных и скрученных типов над любым полем характеристики ф 2,3. Группы Шевалле над полем или кольцом К с необратимым элементом 2 или 3, как правило, оказываются исключительными и по свойствам, и по методам исследований.

Описание автоморфизмов унипотентных подгрупп групп Шевалле над полем завершил В.М. Левчук. В [11], [13], [14] установлено описание автоморфизмов унитреугольных групп С/Т(п, К) над (ассоциативным) кольцом К с единицей, а также унипотентных подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами, с ограничениями для малых рангов. В разложении произвольного автоморфизма группы 11Ф(К) использовались графовые, кольцевые, внутренние и диагональные автоморфизмы, выделявшиеся Стейнбергом [52], центральные автоморфизмы, действующие тождественно по модулю центра, а также введенные, как обобщение центральных, гиперцентральные автоморфизмы. Автоморфизм нильпотент-ной группы ступени п называют гиперцентральным, если для некоторого k < п он не является внутренним по модулю (к — 1)-го гиперцентра, а по модулю к-го гиперцентра действует тождественно.

Как выявилось в [11], группа Aut UT(n, 2), пф 4, является 2-группой. Поэтому всякая конечная 2-группа изоморфно вложима в конечную 2-группу, у которой группа автоморфизмов также является 2-группой. Аналогичный результат для конечных р-групп с нечетным простым р вытекает, как следствие, из работы [23] М.В. Хорошевского. Используя группы матриц над кольцом Zp™ классов вычетов целых чисел по модулю рт, он дал положительный ответ на вопрос о существовании конечных р-групп с группой автоморфизмов, также являющейся р-группой.

В 1992 году В.М. Левчук поставил следующий вопрос.

В) Описать автоморфизмы силовской р-подгруппы группы Шевалле нормального типа над кольцом Ърт, т > 1, гдер — простое число, [10, вопрос 12.42].

Заметим, что при переходе к кольцу коэффициентов К = Ърт силов-скую р-подгруппу группы Шевалле даёт произведение 11Ф(К) на конгру-энц-подгруппу уровня 3 = (р). При т = 1 силовская р-подгруппа группы Шевалле Ф(2рт) совпадает с унипотентной подгруппой. Известно также, что силовская р-подгруппа группы ОЬп{Ърт) изоморфна присоединенной группе кольца

Ип{К, 3) = МТп(К) + Мп(3), К = %рт, 3 = (р), где через Мп(3) обозначается множество квадратных п х п матриц с элементами из идеала 3 кольца К.

В описании автоморфизмов групп 11Ф(К) ключевым явился случай Ф = Ап или случай унитреугольных групп. Здесь существенно использовалось найденное структурное соответствие между лиевыми идеалами кольца нильтреугольных матриц ЫТп(К) и нормальными подгруппами его присоединенной группы; последняя изоморфна унитреугольной группе иТп(К). А именно, выявленно, что идеалы ассоциированного кольца Ли и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы.

Вопрос 10.19 из Коуровской тетради о характеризации радикальных колец с указанным структурным соответствием в общем случае остается открытым. В то же время Г.С. Сулейманова [16] показала, что радикальное кольцо Яп{К, 3) (то есть с квазирегулярным идеалом </) обладает названным структурным соответствием только, когда 3 = (0) (и, следовательно, Яп{К, 3) = МТп(К)). Именно, отсутствие названных структурных связей, как отмечалось в [48], создает дополнительные трудности в решении открытого вопроса об автоморфизмах силовских р-подгрупп групп Шевалле над кольцом Ърт. В [48] была найдена группа автоморфизмов кольца Яп(К, 3) или, что то же самое, пересечение группы автоморфизмов присоединённой группы кольца 11п(К, 3) и группы автоморфизмов ассоциированного кольца Ли.

С линейными группами над кольцом Ърт связан и следующий открытый вопрос Б. Верфрица:

Г) Найти все пары пит, при которых силовская р-подгруппа группы ОЬп(Ърт) регулярна ([10, вопрос 8.3].

Регулярная р-группа введена Ф. Холлом. По определению, для любых двух её элементов а и 6 в коммутанте подгруппы (а, Ь) всегда найдётся элемент с с условием (аЬ)р = ар№ср. Регулярные р-группы дают классический пример зависимости свойств конечной р-группы от соотношений между р-ми степенями её элементов и коммутаторами.

С другой стороны, важную роль в последние годы, в частности, в теории про-р-групп стало играть введенное А. Манном в 1982 году понятие мощной р-группы. Конечную р-группу называют мощной, если для любых двух её элементов а и 6 коммутатор [а, Ь] разложим в произведение р-х степеней элементов группы при р > 2, а при р = 2 — четвёртых степеней. Как выявляется в [51], [49], [56], различные вопросы теории про-р-групп тесно связаны с соответствующими свойствами мощных р-групп.

Поэтому, наряду с вопросом (Г) в диссертации исследуется и более общая задача:

Д) Выявить, какие силовские р-подгруппы групп Шевалле нормального типа над кольцом Ърт являются 1) регулярными и 2) мощными.

Цель работы. Основные результаты работы связаны, главным образом, с решением вопросов (А) — (Д):

1) найти основные элементарные автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Шевалле нормального типа над кольцом Хрт и, доказав разложимость через них произвольного автоморфизма, получить решение вопроса

В);

2) выявить для различных классов групп Шевалле нормального типа над кольцом Хрт а) условия регулярности и б) условия мощности силовских р-подгрупп;

3) завершить решение вопроса о строгой вещественности в классах простых конечных симплектических, унитарных, специальных линейных и спорадических групп;

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации получены следующие основные результаты: доказана разложимость произвольного автоморфизма силовской р-подгруппы группы Шевалле над кольцом Zpm в произведение внутреннего, диагонального, графового автоморфизмов и гиперцентрального автоморфизма (решение вопроса 12.42 из Коуровской тетради и задачи (В)); доказано, что силовская р-подгруппа группы GLn(Zpm) регулярна при п2 < р и не является регулярной, если п ) (р + 1)/2 ит ) 2 (частичное решение вопроса Верфрица и задачи (Г)); доказано, что силовская р-подгруппа группы Шевалле Ф(Ърт) является мощной тогда и только тогда, когда т = 1 и Ф типа А\ (решение задачи (Д2)); установлена регулярность силовской р-подгруппы при условии |Ф| + |П(Ф)| < р (частичное решение задачи (Д1)); выявлены все, за исключением некоторых ортогональных, простые классические конечные группы, которые являются строго вещественными (частичное решение вопроса 14.82 и задачи (А)); найдены критерии строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп и приложения критериев к силовским 2-подгруппам знакопеременных групп, групп Вейля и классических линейных групп над конечным полем нечетной характеристики.

Перейдём к изложению содержания диссертации по главам.

В первой главе исследуется свойство строгой вещественности в конечных простых группах. Напомним, что конечную группу называют вещественной, если все значения характеров её комплексных неприводимых представлений вещественны. Как отмечалось выше, вещественность группы равносильна тому, что любой её элемент сопряжен со своим обратным. Группу называют строго вещественной, если каждый её элемент инвертируется инволюцией. Последнее условие равносильно тому, что каждый элемент группы представим в виде произведения не более чем двух инволюций. Группы с таким свойством ещё называют 2-рефлексивными (биинволютивными, если каждый элемент есть произведение ровно двух инволюций).

Багински доказал, что знакопеременная группа Ап (п ^ 5) строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5,6,10,14. В работах [39], [34], [41], [25] установлена строгая вещественность симплектической группы при q = 2ТО и q = 1 (mod 4), и доказано, что группа F±(q) не является строго вещественной. Изучению перечисленных свойств в некоторых ортогональных группах посвящены работы Воненбургер [57], Фейт и Цу-керманн [35].

Следующая, основная в первой главе, теорема закрывает вопрос (А) для специальных линейных, симплектических, унитарных, знакопеременных и спорадических групп, а также для групп Судзуки и Ри.

Теорема 1. (а) Среди 26 спорадических групп только две группы Янко J\ и Зч являются строго вещественными. б) Следующие простые группы лиева типа G(q) не являются строго веществ енными.

61) При любом q группы типа Ai (I ^ 2), 2Ai (I ^ 2), 2#2, 2G!2

62) При q = 3 (mod 4) и I ^ 1 группы типа С\, #4f+b Д^+2,

E-j.

63) При нечетном q > 3 и I ^ 3 группы типа D^i-i

64) При q > 3 группы типа

Отметим, что в недавней работе [54] были перечислены все конечные квазипростые вещественные группы. Из неё, в частности, следует, что все группы исключительного лиева типа над конечным полем не являются вещественными, а значит, и строго вещественными.

Для групп лиева типа теорема доказывается в параграфах 2, 3. В доказательстве для спорадических групп, приведенном в §1, используется информация о характерах и максимальных подгруппах этих групп из атласа конечных простых групп.

Результаты первой главы получены совместно с Я.Н. Нужиным и опубликованы в [63], [64], [70].

Известно, что группы Вейля являются строго вещественными, а значения всех их неприводимых комплексных характеров рациональны, см. [7] и ссылки там же. В монографии [43] исследуются вопросы рациональности силовских 2-подгрупп в группах Вейля. В то же время, силовские 2-подгруппы групп Вейля и классических линейных групп над конечными полями нечетной характеристики строятся с помощью операции сплетения групп из специальных конечных групп. Это естественно приводит к необходимости поиска критериев рациональности и строгой вещественности сплетения конечных групп. Такие критерии устанавливают в §§ 1,2 следующие две теоремы, опубликованные в [72].

Теорема 2. Сплетение НIК двух конечных неединичных групп Н и К является рациональной группой тогда и только тогда, когда Н — рациональная группа, а К — элементарная абелева 2-группа.

Теорема 3. Сплетение Н I К двух конечных неединичных групп Н и К является строго вещественной группой тогда и только тогда, когда Н — строго вещественная группа, а К — элементарная абелева 2-группа.

Как приложения теорем 2 и 3, в теореме 4 из § 3 доказана строгая вещественность силовских 2-подгрупп групп Вейля и знакопеременных групп, а также передоказана их рациональность, установленная в [43]. Отметим, что в связи с вопросом 15.25 Я.Г. Берковича рациональность силовских 2-подгрупп симметрических групп передоказывалась другим способом автором [65] и Д.О. Ревиным [19].

В теоремах 5 и 6 из §4 устанавливается описание классических линейных групп с рациональными и строго вещественными силовскими 2-подгруппами. Пусть С — одна из классических линейных групп ип(д), 02п+1(д) наД полем нечётной характеристики.

Теорема 5. Силовская 2-подгруппа группы (7 является рациональной тогда и только тогда, когда С = Зр2п(я), 6^1+1(9) или п(я) и НОД (<?2 — 1,16) = 8.

Теорема 6. Силовская 2-подгруппа группы <9 является строго вещественной тогда и только тогда, когда <7 ортогональная группа

02п+г(я) или 02п(д).

Результаты второй главы опубликованы в [65], [67], [68], [69], [72].

Центральным результатом диссертации является описание автоморфизмов силовской р-подгруппы б'Ф(Жрт) группы Шевалле нормального типа Ф над кольцом 2/рт вычетов целых чисел. Описание получено в третьей и четвёртой главах.

Автоморфизм нильпотентной группы ступени п называем гиперцентральным, если для некоторого к < п, называемого высотой, он не является внутренним по модулю (к — 1)-го гиперцентра, а по модулю к-го гиперцентра действует тождественно. Гиперцентральные автоморфизмы обобщают центральные, то есть действующие тождественно по модулю центра. Если все константы из коммутаторной формулы Шевалле обратимы, ступень нильпотентности группы 5Ф(2рт) равна тк — 1. Как правило, в других случаях ступень ниже, но всегда ^ (ш — 1)/г.

Центральным результатом главы 3 является следующая

Теорема Т. Всякий автоморфизм группы вФ(Хрт), когда Ф ранга больше 2, является произведением внутреннего, диагонального, графового и (явного) гиперцентралъного высоты ^ к автоморфизма (к - число Кокстера Ф).

Описание автоморфизмов групп 5Ф(Жрт) ранга 1 и 2 указывают теоремы 8-11 в главе 4.

Ключевым для описания автоморфизмов является доказательство предложения 3 (в § 3 главы 3) и леммы 2 (в § 1 главы 4) о характеристичности в группе 5Ф(Жрт) конгруэнц-подгруппы уровня Зг = (рг), 1 ^ г ^ т, т.е. ядер естественных гомоморфизмов Ф(Жр™) ->• Ф(2р.). Факторгруппа группы 5Ф(2рт) по конгруэнц-подгруппе изоморфна и поэтому описание автоморфизмов оказалось возможным вести индукцией по показателю т. При доказательстве характеристичности конгруэнц-подгрупп используется известное описание нижнего центрального ряда группы 5Ф(Жрт) из работы В.М. Левчука [15], когда константы из коммутаторной формулы Шевалле обратимы, и работы автора [60] для исключительных случаев.

Теоремы 7-11 решают задачу (В) и дают ответ на вопрос 12.42 из Коуровской тетради.

В связи с вопросом, изучавшимся М.В. Хорошевским (см. также [11, следствие 2]), отметим, что доказанные теоремы дают новые примеры 2-групп, у которых группа автоморфизмов также является 2-группой. А именно, из теорем 7-11 вытекает

Следствие 1. Группа автоморфизмов 2-группы ЗФ^™) при га > 1, Ф ф £>4, является 2-группой.

Результаты третьей и четвёртой глав опубликованы автором в работах [59], [60], [66], [73], [74].

Последняя глава диссертации посвящена исследованию задач (Г) и (Д) о регулярных и мощных силовских ^подгруппах групп СЬп(Хрт) и групп Шевалле над тем же кольцом.

Конечная ^группа Р называется регулярной, если для любых двух её элементов а и Ь и любого п = ра имеет место равенство аЪ)п = апЬп^. где 51,. ,St — подходящие элементы коммутанта подгруппы, порожденной элементами а и 6. Свойство регулярности наследуется подгруппами и фактор-группами. Известно также, что условие регулярности группы Р эквивалентно следующему более простому для проверки свойству: для любых двух элементов а,Ь £ Р имеет место равенство аРЬР = (а6)р5р, (а, 6)'.

Частичный ответ на вопрос Верфрица [10, вопрос 8.3] (см. также задачу (Г)) в §1 главы 5 даёт

Теорема 12. Силовская р-подгруппа группы регулярна при п2 <р и не является регулярной, если п ^ (р + 1)/2 иго)2.

Как показал Ю.И. Мерзляков в [17], силовская р-подгруппа Рп(Хрт) группы СЬп{Хрт) нильпотентна ступени тп — 1 и, следовательно, она регулярна при тп < р, в силу известных свойств регулярных групп. Отсюда и из теоремы 12 вытекает полное решение вопроса (Г) для п = 2. Работа [24] даёт решение вопроса Верфрица для т— 1. Вопрос остаётся открытым в оставшихся случаях, когда

2п — 1 < р ^ п2, п > 2, т > 2, тп ^ р.

Существенную роль в доказательстве теоремы 12 играют обобщенные конгруэнц-подгруппы Е + Мп(к), аналогичные ковровым подгруппам из [17], которые строятся по функции /«(¿,.7, = -[(.?' — г — к)/п] ([ж] — целая часть числа х) и ¡п(г^,к)-м степеням идеала J. (Отметим, что Мп(к) есть к-я степень кольца Яп(2рт,«/).) Наряду со свойствами обобщенных конгруэнц-подгрупп (леммы 1 и 2 из § 1 главы 5), используется следующая лемма 1.2.11 из [49].

Лемма 5. Конечная р-группа С? регулярна, если |(7 : (7Р| < рР.

В главе 5 выявлены также все пары п, т, для которых группа Рп(Хрт) является мощной.

Теоремы 13 и 14 главы 5 дают решение задачи (Д2) и частичное решение задачи (Д1). Они дают достаточное условие регулярности силовской р-подгруппы 5Ф(2рт) в группе Шевалле над кольцом а также необходимые и достаточные условия её мощности.

Теорема 13. Силовская р-подгруппа 5Ф(2рт) является регулярной, если |Ф| + |П(Ф)| <р.

Теорема 14. Группа Рп(Хрт) является мощной тогда и только тогда, когда п = 2 и т = 1. Группа 5Ф(2рт) является мощной тогда и только тогда, когда Ф = А\ и т = 1.

Результаты главы 5 опубликованы автором в работах [62], [68], [73].

Диссертация состоит из введения, 5 глав разбитых на 22 параграфа и списка литературы. Библиография содержит 75 наименований. Нумерация параграфов ведётся независимо для каждой главы. Нумерация теорем сквозная, другие утверждения и формулы имеют независимую нумерацию в каждой главе.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Колесников, Сергей Геннадьевич, Красноярск

1. Абе Э., Автоморфизмы групп Шевалле над коммутативными кольцами // Алгебра и анализ, Т. 5, №3 (1993), с. 74-90.

2. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.: Наука, 1969.

3. Белоногое В.А., Представления и характеры в теории конечных групп. Ид-во УрО РАН, Свердловск, 1990.

4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М., Мир, 1972.

5. Вапнэ Ю.Е., Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых матричных групп // Сиб. мат. журнал, Т. 12, №3 (1971), с.497-504.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

7. Картер Р., Классы сопряженных элементов в группе Вейля // в кн. "Семинар по алгебраическим группам", М., Мир, 1973.

8. Кондратьев A.C., Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук, Т. 41, №1 (1986), с.57-96.

9. Кострикин А.И, Чубарое И.А., Представление конечных групп // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Геометрия. Топология. Фундаментальные направления. Т.23. М.: ВИНИТИ, 1985. С.119-196.

10. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 15-е изд., Новосибирск.: ИМ СО РАН, 2002.

11. Левчук В.М., Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. журнал, Т. 24, №4 (1983), с.63-80.

12. Левчук В.М., Некоторые локально нильпотентные кольца и х присоединённые группы // Матем. заметки, Т. 42, №5 (1987), с.631-641.

13. Левчук В.M., Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика, Т. 29, №2 (1990), с.141-161.

14. Левчук В.М., Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевал-ле // Алгебра и логика, Т. 29, №3 (1990), с.315-338.

15. Левчук В.М., Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле // Укр. мат. журн., Т. 44, №6 (1992), с.786-795.

16. Левчук В.М., Сулейманова Г. С., Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K, J) // Сиб. мат. журнал, Т. 43, №2 (2002), с.418-437.

17. Мерзляков Ю.И., Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп // Алгебра и логика, Т. 3, №4 (1964), с.49-53.

18. Ремесленников В.Н., Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. журнал, Т. 12, №5 (1971), с.1085-1095.

19. Ревин Д. О., Характеры групп вида XI Zp // Сиб. электрон, матем. изв., Т. 1 (2004), 110-116, (http://semr.math.nsc.ru)

20. Серр Ж.-П., Группы Галуа над Q // в кн. "Труды семинара Бурбаки за 1988г.", М.: Мир, 1990.

21. Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

22. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

23. Хорошевский М.В., О группах автоморфизмов конечных р-групп // Алгебра и логика, Т. 10, №1 (1971), с.81-86.

24. Ягжев A.B., О регулярности силовских подгрупп полных линейных групп над кольцами вычетов // Мат. заметки, Т. 56, №6 (1994), с.106-116.

25. Austin СNolte W., Products of invoutions in the finite Chevalley groups of type F4(K) // Commun, in Algebra, V. 30, №8 (2002), p.4019-4029.

26. Baginski C., On sets of elements of the same order in the alternating group An // Publicationes Math., V.34 (1987), p.313-315.

27. Baumslag G., Wreath products and p-groups // Proc. Camb. Phil. Soc., V. 55 (1959), p.224-231.

28. Berggren J.L., Finite groups in which every element is conjugate to its inverse // Pacific J. Math., V. 28 (1969), p.289-293.

29. Carter R., Simple groups of Lie type, New York, Wiley and Sons, 1972.

30. Carter R., Conjugacy classes in the Weyl group // Compositio Math., V. 25, Fasc. 1 (1972), p.1-59.

31. Carter R., Fong P., The Sylow 2-Subgroups of the Finite Classical Groups// J. Algebra, V. 1 (1964), p.139-151.

32. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A., Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985.

33. Djokovic D.Z., roducts of two invoution // Arch. Math. (Basel), V. 18 (1967), p.582-584.

34. Ellers E. W., Nolte W., Bireflectionality of orthogonal and symplectic groups 11 Arch. Math., V. 39 (1982), p.113-118.

35. Feit W., Zuckermann G.J., Reality proerties of conjugacy casses in spin groups and symplectic groups // Contemp. Math., V. 13 (1982), p.239-253.

36. Gibbs J. A., Automorphisms of certain unipotent groups //J. Algebra, V. 14, №2 (1970), p.203-228.

37. Gow R., Real-valued characters and Schur index // J.Algebra, V. 40 (1976), p.258-270.

38. Gow R., Groups whose characters are rationally-valued // J.Algebra, V. 40 (1976), p.280-299.

39. Gow R., Products of two involutions in classical groups of characteristic 2 11 J.Algebra, V. 71 (1981), p.583-591.

40. Gow R., Real representations of the finite orthoganal and symplectic groups of odd characteristic // J.Algebra, V. 96 (1985), p.249-274.

41. Gow R., Commutators in the symplectic group // Arch. Math., V. 50 (1988), p.204-209.

42. Humphreys J.F., On the automorphism of infinite Chevalley groups // Canad. J. Math., V. 21 (1969), p.908-911.

43. Kletzing D., Structure and representations of Q-groups. Lect. Notes in Math., 1084, Springer, Berlin, 1984.

44. Knuppel F., Products of invoutions in orthogonal groups // Ann. Discrete Math. Soc., V. 37, (1988), p.231-248.

45. Knuppel F., Nielsen K., On products of two invoutions in the orthogonal group of a vector spase // Linear Algebgra Appl., V. 94, (1987), p.209-216.

46. Knuppel F., Nielsen K., SL(V) is 4-reflectional // Geom. Dedicata, V. 38, (1991), p.301-308.

47. Knuppel F., Thomsen G., Invoution and commutators in orthogonal groups // J. Austral. Math. Soc., Ser. A, V. 65, №1 (1998), p.1-36.

48. Kuzucuoglu F., Levchuk V.M., The automorphism group of certain radical matrix rings // J. Algebra, V. 243 (2001), p.473-485.

49. Leedham-Green C.R., McKay S., The Structure of Groups of Prime Power Order. Oxford University press, 2002.

50. Libek H., Concerning nilpotent wreath products // Proc. Camb. Phil. Soc., V. 58 (1962), p.443-451.

51. Lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups. I: finite groups, II: p-adic analytic groups // J. Algebra, V. 105, №2 (1987), p.484-505.

52. Steinberg R., Automorphisms of finite linear groups // Canad. J. Math., V. 12 (1960), p.606-615.

53. Suzuki K., On the automorphisms of Chevalley groups over p-adic integer rings // Kumamoto J. Sci (Math.), V. 16 (1984), p.39-47.

54. Tiep P.H., Zalesski A.E., Real conjugacy classes in algebraic groups of Lie type 11 J. Group Theory, V. 8, №6 (2005), p.291-315.

55. Tiep P.H., Zalesski A.E., Unipotent elements of finite groups of Lie type and realization fields of their complex representation // // J. Algebra, V. 271 (2004), p.327-390.

56. Wilson L.E., The power-commutator structure of certain finite p-groups 11 J. Group Theory, V. 7, №1 (2004), p.75-80.

57. Wonenburger M.J., Transformation which are products of two invoutions 11 J. of Math, and Mech.,V. 16, №4 (1966), p.327-338.Работы автора по теме диссертации:

58. Колесников С.Г., Левчук В.М., Коммутаторные и центральные ряды обобщенных конгруэнц-подгрупп // Международная конференция по алгебре: Тез. докл. Санкт-Петербург: СПбГУ, 1997, с.87.

59. Колесников С.Г., Нижние центральные ряды силовских 2-подгрупп симплектической и ортогональной групп над кольцом Z2m // Алгебра и логика, Т. 37, №4 (1998), с.413-431.

60. Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле над кольцами вычетов // Международная конференция по алгебре: Тез. докл. Москва: МГУ, 1998, с.180-181.

61. Колесников С.Г., Левчук В.М., Обобщенные конгруэнц-подгруппы групп Шевалле // Сиб. мат. журнал, Т. 40, №2 (1999), с.336-351.

62. Колесников С.Г., О регулярности силовских р-подгрупп групп GLn(Zpm) // Исследования по математическому анализу и алгебре: Выпуск 3, Томск: ТГУ, 2001 с.117-124.

63. Колесников С.Г., Нужин Я.Н., Биинволютивность конечных простых групп // Международная конференция "Алгебра и её приложения": Тез. докл. Красноярск: КрасГУ, 2002, с.64.

64. Колесников С.Г., Нужин Я.Н., Строгая вещественность конечных простых групп // V Международная конференция " Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тез. докл. Тула: ТГПУ, 2003, с.134-135.

65. Колесников С.Г., О рациональности значений комплексных характеров силовских 2-подгрупп симметрических групп S2« // Algebra and Model Theory, вып 4, Новосибирск: НГТУ, 2003, с.44-46.

66. Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Шевалле, определенных над кольцами вычетов целых чисел // Алгебра и логика, Т. 43, №1 (2004), с.32-59.

67. Колесников С.Г., О рациональности и строгой вещественности си-ловских 2-подгрупп групп Вейля и знакопеременных групп // Международная алгебраическая конференция: Тез. докл., Москва: МГУ, 2004, с.74-75.

68. Kolesnikov S.G., Several problems about p—groups // Proceed. Int. Conf. "VI Antalya Algebra Days". Istanbul: Bilgi Univ., 2004,

69. Колесников С.Г., О рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп // Алгебра, логика и кибернетика: материалы международной конференции: Иркутск, 2004, с. 241-242.

70. Kolesnikov S. G., Nuzhin Ya.N., On strong reality of finite simple groups // Acta Appl. Math. V. 85, (2005), c.195-203.

71. Колесников С.Г., О рациональности и строгой вещественности си-ловских 2—подгрупп групп Вейля и знакопеременных групп // Алгебра и логика, Т.44, №1 (2005), с.44-53.

72. Колесников С.Г., О рациональности и 2-рефлексивности сплетений конечных групп // Математические заметки, Т.80, вып. 3 (2006), с. 395-402.

73. Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле малых рангов над кольцом Zрт // Известия Гомельского университета, №3 (2006), с. 137-146.

74. Колесников С.Г., О регулярных силовских р-подгруппах групп Ше-валле над кольцом Zр™ // Сиб. мат. журнал, Т.47, №6 (2006), с.1289-1295.

75. Колесников С.Г., Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле над р-примарными кольцами вычетов целых чисел // Фунд. и прикл. матем., Т.12, вып. 8 (2006), с.121-158.