Сопряженная плотность и факторизуемость подгрупп групп лиева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Факторизация и определяющие соотношения обобщенных конгруэнц-подгрупп

§1.1. Группы Шевалле и конгруэнц-подгруппы.

§1.2. Факторизация групп Шевалле и конгруэнц-подгрупп

§1.3. Факторизация обобщенных конгруэнц-подгрупп скрученных групп Шевалле типов 2 Ф = 2A2ni,2 Dn,2 Eq

§1.4. Факторизация обобщенной конгруэнц-подгруппы скрученной группы Шевалле типа 2Ф = 2А2П

§1.5. Определяющие соотношения обобщенных конгруэнцподгрупп групп Шевалле.

Глава 2. Сопряженно плотные подгруппы и вопрос П. Ноймана

§2.1. Вопрос П. Ноймана и основные результаты.

§2.2. Сопряженно плотные подгруппы произвольной группы

§2.3. Гипотеза П. Ноймана для группы GL2(K) над локально конечным полем К.

§2.4. Сопряженно плотные подгруппы групп лиева типа ранга 1.

§2.5. Вопрос П. Ноймана для групп лиева типа ранга 1 над локально конечным полем.

В диссертации исследуются вопрос П. Ноймана о подгруппах группы лиева типа над полем, получивших название сопряженно плотных, и факторизации обобщенных конгруэнц-подгрупп над кольцами.

В различных задачах теории групп возникают подгруппы, имеющие непустое пересечение с каждым классом сопряженных элементов группы; такие подгруппы называются сопряженно плотными (определение 2.1.1). Так, в "Коуровской тетради" записан вопрос о существовании нециклической конечно определенной группы с циклической сопряженно плотной подгруппой [16; вопрос 8.8 Ъ)\. Как отмечает Л. Н. Шеврин [30], понятие сопряженно плотной подгруппы возникало уже на первых заседаниях семинара отдела алгебры и топологии ИММ (г. Екатеринбург). В группе GLn{K) над алгебраически замкнутым полем К примеры собственных сопряженно плотных подгрупп дают треугольная подгруппа, а также все параболические подгруппы.

Один из центральных результатов диссертации связан со следующим вопросом, записанным П. Нойманом [16, вопрос 6.38]. а) Пусть К — (коммутативное) поле. Найти все такие неприводимые подгруппы Н из GLn(K), что Н П С ф 0 для каждого класса сопряженных элементов группы GLn(K).

Гипотеза: Н = GLn(K), за исключением случая, когда п — char К — 2, поле К квадратично замкнут,о и Н сопряжена с под

Ь) Из справедливости этого предположения следовало бы в общем случае, что произвольная подгруппа из GLn(K), пересекающаяся с каждым классом сопряженности, является параболической. Насколько этот факт верен для подгрупп других групп лиева типа? группой всех матриц

Диссертация состоит из введения и двух глав. Исследованию вопроса П. Ноймана посвящена глава 2. В §2.3 доказывается

1. Abe Е. Coverings of twisted Chevalley groups over commutative rings // Sci. Repts Tokyo Kyoiku Daigaku. - 1977. - A13, №366382. - p. 194-218.

2. Carter R. Simple groups of Lie type. — New York: Wiley and Sons, 1972. 331 p.

3. Dixon L. Linear groups. — Leipzig, 1901.

4. Dixon J., Mortimer B. Permutation groups. — New York: Springer-Verlag, 1991.

5. Newman M., Reiner R. Inclusion theorems for congruence subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. — v. 91, №3. p. 369-380.

6. Ree R. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2) 11 Amer. J. Math. 1961. - v. 83, №3. - p. 432-462.

7. Stein M. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings // Amer. Math. J. — 1971. — v. 93, №4. — p. 965-1004.

8. Stein M. Surjextive stability in dimension О for K2 and related functors 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1973. — v. 178, №1. - p. 165-191.

9. Suzuki K. On parabolic subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Sci. Reps Tokyo Kyoiku Daigaku. — 1977.- A13, Ж366-382. p. 225-232.

10. Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. of Math.- 1962. — v. 75, m. p. 105-145.

11. Боревич 3. И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом // Вест. ЛГУ. — 1976. — т. 13, №3. с. 16-24.

12. Брюханов О. В. Генетика универсальных групп Шевалле над некоторыми коммутативными кольцами // Мат. заметки. — 1995. т. 57, т. - с, 814-826.

13. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (гл. IV-VI). — М.: Мир, 1982.- 334 с.

14. Вавилов Н. А. О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР.- 1978. т. 75. - с. 43-58.

15. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1977. 240 с.

16. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп), 14-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1999.

17. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика. — 1990. — т. 29, №2. с. 141-161.

18. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотемтмых подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. — 1990. — т. 29. №3. — с. 316-338.

19. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика. 1983. - т. 22, №4. - с. 421-434.

20. Левчук В. М. Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле // Укр. мат. журн. — 1992. — т. 44, №6. — с. 786-795.

21. Левчук В. М. О порождающих множествах корневых элементов групп Шевалле над полем // Алгебра и логика. — 1983. — т. 22, №5. с. 504-517.

22. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых ABA-групп // Мат. заметки. 1982. - т. 31, №4. - с. 509-525.

23. Левчук В. М. Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых подгрупп групп Шевалле // Доклады Академии наук СССР. 1990. - т. 313, №4. - с. 799-802.

24. Левчук В. М., Нужин Я. Н. О строении групп Ри // Алгебра и логика. 1985. - т. 24, №1. - с. 26-41.

25. Мерзляков К). И. Центральные ряды и ряды коммутлнтов матричных групп // Алгебра и логика. — 1964. — т. 3, №4. — с. 49-58.

26. Носков Г. А. Порождающие элементы и определяющие соотношения симплектических групп над некоторыми локальными кольцами // Мат. заметки. — 1974. — т. 16, №2. — с. 237-246.

27. Нужин Я. Н. О строении групп лиева типа ранга 1 // Мат. заметки. 1984. - т. 36, №2. - с. 149-158.

28. Романовский Н. С. О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом // Мат. заметки. — 1971. — т. 9, №6. — с. 699-708.

29. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975. — 262 с.

30. Шеврин Л. Н. Становление свердловской алгебраической школы II Известия Уральского университета. — 2000. — т. 16, №9.- с. 64-78.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

31. Зюбин С. А. Факторизация некоторых обобщенных конгруэнц-подгрупп // Материалы XXXV междунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс"(22-24 апр. 1997 г.): Математика (тез. докл.) — Новосибирск: НГУ, 1997. — с. 37-38.

32. Зюбин С. А. Факторизация некоторых обобщенных конгруэнц-подгрупп If Труды XXX науч. студ. конф. — Красноярск, 1997.- с. 35-42.

33. Зюбин С. А. Факторизация некоторых подгрупп групп Стейн-берга // Межвузовская науч. конф. по теории групп (апр. 1998 г.): Тез. докл. Красноярск: КрасГАСА, 1998. — с. 18.

34. Войтенко Т. К)., Зюбин С. А., Левчук В. М. Определяющие соотношения обобщенных конгруэнц-подгрупп // Вестник КГТУ: мат. методы и моделирование. — Красноярск: КГТУ, 2000. — вып. 19. с. 14-18.

35. Зюбин С. А., Левчук В. М. О некоторых подгруппах групп Шевалле //IV междунар. алгебраич. конф., поев. 60-летия проф. К). И. Мерзлякова (7-11 авг. 2000 г.): Тез. докл. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000. с. 81-83.

36. Зюбин С. А., Левчук В. М. Сопряженно плотные, подгруппы группы GL2(K) над локально-конечным полем К // Симметрия и дифференциальные уравнения: Тр. междунар. конф. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. с. 110-112.

37. Зюбин С. А. Сопряженно плотные подгруппы группы Сузуки над локально конечным полем (/ Исследования по математическому анализу и алгебре. — Томск: ТГУ, 2001. — вып. 3. — с. 102-105.

38. Зюбин С. А. Сопряженно плотные подгруппы группы PSL2(K) над локально конечным полем К // Сборник работ XXXIV науч. студ. конф. — Красноярск, КрасГУ: 2001. — с. 64-69.

39. Зюбин С. А. О сопряженно плотных подгруппах групп лиева типа ранга 1 )/ Междунар. семинар по теории групп, поев. 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина (17-21 дек. 2001 г.): Тез. докл. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрГУ, 2001. - с. 83-84.

40. Зюбин С. А. Сопряженно плотные подгруппы группы PSL^(K) над локально конечным полем //II Всесибирский конгресс женщин-математиков (15-17 янв. 2002 г.): Тез. докл. — Красноярск: КрасГУ, 2002. с. 83-84.

41. Зюбин С. А., Левчук В. М. Сопряженно плотные подгруппы локально конечных групп Шевалле лиева ранга 1 // Сиб. мат. журн. — Новосибирск (в печати).